Какви са числата рационални и кои ирационални примери. Числа

Рационално число - броя, представен от обикновена фракция от m / n, където числителят m е цяло число, а знаменателят N е естествено число. Всяко рационално число е идеологическо под формата на периодична безкрайна десетична фракция. Наборът от рационални числа се обозначава с Q.

Ако валиден номер не е рационален, тогава той ирационално число. Десетичните фракции, експресиращи ирационални номера, са безкрайни и не периодични. Много ирационални номера обикновено се посочват от латично писмо I.

Нарича се валиден номер алгебрийскиАко е коренът на някаква полиномна (ненулева степен) с рационални коефициенти. Всяко безцветно число се нарича трансцендентен.

Някои свойства:

Множество рационални номера се намират на числовата ос навсякъде гъсто: между две различни рационални числа се намира най-малко един рационален номер (и следователно е безкрайният набор от рационални числа). Въпреки това се оказва, че наборът от рационални числа Q и набор от естествени числа n са еквивалентни, т.е. е възможно да се създаде взаимно недвусмислен мач между тях (всички елементи на набора от рационални числа могат да бъдат наети).

Рационалните номера на SET Q са затворени спрямо добавянето, изваждането, умножаването и разделянето, т.е. количеството, разликата, продукта и частните две рационални числа са също рационални числа.

Всички рационални номера са алгебрични (противоположното изявление е неправилно).

Всяко истинско трансцендентално число е ирационално.

Всеки ирационален номер е алгебрично или трансцендентално.

Много ирационални числа навсякъде плътно на числото директно: между две номера има ирационален номер (и следователно безкрайният набор от ирационални номера).

Възникват много ирационални номера.

Когато решавате задачи, тя е удобна заедно с ирационалното число a + b√ c (където a, b е рационални числа, c - цял квадрат на естествено число) помислете за "конюгат" номер А - B√ C: Неговата сума и работят с начални - рационални числа. Така че a + b√ c и a - b√ c са корени на квадратно уравнение с целочислени коефициенти.

Задачи с решения

1. Докажете това

а) номер √ 7;

б) броя на LG 80;

в) числото √ 2 + 3 √ 3;

е ирационално.

а) Да предположим, че броят е 7 рационален. След това има такива взаимно прости Р и Q, които са 7 \u003d P / Q, откъдето получаваме P2 \u003d 7Q 2. Тъй като p и q са взаимно прости, след това p2 и следователно p се разделя на 7. след това p \u003d 7k, където k е някакъв естествен брой. Оттук и q2 \u003d 7k 2 \u003d pk, което противоречи на факта, че p и q са взаимно прости.

Така че, предположението е невярно, това означава, че броят √ 7 е ирационален.

б) Да предположим, че броят на LG 80 е рационален. След това има такъв естествен p и q, че lg 80 \u003d p / q, или 10 p \u003d 80 q, от където получаваме 2 р-4q \u003d 5 Q-p. Като се има предвид, че числата 2 и 5 са \u200b\u200bвзаимно прости, ние получаваме, че последното равенство е възможно само при P-4Q \u003d 0 и QP \u003d 0. от където p \u003d q \u003d 0, което не е избрано, тъй като P и Q са избрани от естествено.

Така че предположението е невярно, това означава, че броят на LG 80 е ирационален.

в) означават с този номер чрез x.

След това (x - √ 2) 3 \u003d 3, или x 3 + 6x - 3 \u003d √2 · (3x 2 + 2). След изграждането на това уравнение на площада получаваме, че X трябва да задоволи уравнението

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 \u003d 0.

Неговите рационални корени могат да бъдат само цифри 1 и -1. Проверете показва, че 1 и -1 не са корени.

Така че, този брой е 2 + 3 √ 3 \u200b\u200bе ирационален.

2. Известно е, че номера А, Б, √ a - √ b, - Рационално. Докажи това √ А и √ b- Също така рационални числа.

Помислете за работата

(√ a - √ b) · (√ a + √ b) \u003d a - b.

Номер √ a + √ b, което е равно на съотношението на числа a - b и √ a - √ b, Рационално е, тъй като частното от разделянето на две рационални числа е рационално число. Сумата от две рационални номера

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) \u003d √ a

- броят им е рационален, разликата им,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) \u003d √ b,

също така рационално число, което се изискваше да докаже.

3. Докажете, че има положителни ирационални номера А и Б, за които е естествено числото a b.

4. Има ли някакви рационални числа A, B, C, D, които отговарят на равенството

(A + B √ 2) 2N + (c + d√ 2) 2n \u003d 5 + 4√ 2,

където n е естествено число?

Ако се извършва равенство, дадено в състоянието, а броят A, B, C, D е рационален, тогава равенството се извършва:

(A - b √ 2) 2N + (c - d√ 2) 2N \u003d 5 - 4√ 2.

Но 5 - 4√ 2 (A - B√ 2) 2N + (C - D√ 2) 2N\u003e 0. Полученото противоречие доказва, че първоначалното равенство е невъзможно.

Отговор: не съществувайте.

5. Ако сегментите с дължини А, В, С образуват триъгълник, след това за всички n \u003d 2, 3, 4,. . . Сегменти с дължини n √ а, n √ b, n √ c просто образуват триъгълник. Докажи го.

Ако сегментите с дължините на A, B, C образуват триъгълник, тогава неравенството на триъгълника дава

Следователно имаме

(n √ a + n √ b) n\u003e a + b\u003e c \u003d (n √ в) n,

N √ a + n √ b\u003e n √ c.

Останалите случаи на проверка на неравенството на триъгълника се третират по подобен начин, откъдето следва.

6. Докаже, че безкрайната десетична фракция 0,1234567891011121314 ... (след полукълъка подред всички естествени числа са написани) е ирационален номер.

Както е известно, рационалните числа се изразяват от десетични фракции, които имат период от някакъв знак. Ето защо е достатъчно да се докаже, че тази фракция не е периодична от всеки знак. Да предположим, че това не е така, и някаква последователност t, състояща се от n числа, е период на фракция, започвайки от сутринта след запетая. Ясно е, че сред номерата след марката M-TH има ненулева, поради което има ненулева цифра в последователността на числата. Това означава, че започвайки с m-ти номерата след запетая, сред всички n числа подред, има ненулева цифра. Въпреки това, в десетичната записа на тази фракция, трябва да има десетичен запис за числото 100 ... 0 \u003d 10 k, където k\u003e m и k\u003e n. Ясно е, че този запис ще се срещне с правото на m-OH номера и съдържа повече n zeros подред. Така получаваме противоречие, окончателни доказателства.

7. Безкрайна десетична фракция е дадена 0, 1 A 2 .... Докаже, че числата в неговия десетичен запис могат да бъдат пренаредени така, че получената фракция да изрази рационалното число.

Припомнете си, че фракцията изразява рационално число в това и само случаят, когато е периодичен, започвайки от някакъв знак. Фигури от 0 до 9 Разделяме на два класа: в първия клас ще включим тези числа, които се намират в оригиналната фракция. Последният брой пъти във втория клас - тези, които се срещат в оригиналната част от безкраен брой пъти. Започваме да пишем периодична фракция, която може да бъде получена от първоначалната пермутация на числа. Първо, след нула и запетая, напишете всички числа от първия клас в произволен ред - колкото повече пъти, когато се намира в записа на първоначалната фракция. Записаните първокласни цифри ще предхождат периода в частичната част на десетичната фракция. След това пишем в някаква поръчка за едно време на числата от втория клас. Тази комбинация ще декларира периода и ще повтори своя безкраен брой пъти. По този начин изпускаме желаната периодична фракция, която изразява някакво рационално число.

8. Докажете, че във всяка безкрайна десетична фракция има последователност от десетични признаци на произволна дължина, която в разлагането на Fraci се случва безкрайно много пъти.

Нека m е произволно определено естествено число. Прекъсваме тази безкрайна десетична фракция на сегментите, на m числа във всеки. Ще има безкрайно много от тези сегменти. От друга страна, различни системи, състоящи се от m числа, съществуват само 10 m, т.е. крайния номер. Следователно най-малко една от тези системи трябва да се повтори тук за неопределено време много пъти.

Коментар. За ирационални номера √ 2, π или д. Ние дори не знаем коя цифра се повтаря безкрайно многократно в представянето на техните безкрайни десетични фракции, въпреки че всеки от тези числа може да бъде доказан, съдържа най-малко два различни такива числа.

9. Докажете елементарния начин, че положителният корен на уравнението

е ирационално.

За X\u003e 0 лявата част на уравнението се увеличава с увеличаване на X и е лесно да се види, че при X \u003d 1.5 е по-малко от 10 и при X \u003d 1.6 - повече от 10. Следователно единственият положителен корен на Уравнението е вътре в интервала (1.5; 1.6).

Пишаме корена като нерешаваща фракция p / q, където p и q са някои взаимно прости естествени числа. След това при x \u003d p / q уравнението ще приеме следната форма:

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

откъде следва, че P е делител 10, следователно, Р е равен на един от числата 1, 2, 5, 10. Въпреки това, предписване на фракциите с цифри 1, 2, 5, 10, ние веднага забелязваме, че никой от тях не е попада в интервала (1.5; 1.6).

Така че положителният корен на уравнението на източника не може да бъде представен като обикновена фракция, което означава ирационален номер.

10. а) Има ли три такива точки A, B и C на равнината, които за всяка точка x дължината на поне един от сегментите Xa, XB и XC ирационално?

б) координатите на върховете на триъгълника са рационални. Докажете, че координатите на центъра на описания кръг също са рационални.

в) Има ли такава сфера, на която има точно една рационална точка? (Рационална точка - точка, която има и трите детайлиански координати - рационални числа.)

а) да съществуват. Нека c е средата на ab. След това XC2 \u003d (2xA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. Ако номер AB 2 е ирационално, номерата на XA, XB и XC не могат едновременно да бъдат рационални.

б) (A 1; B 1), (2; B 2) и (a 3; B 3) - координатите на върховете на триъгълника. Координатите на центъра на описания кръг са определени от системата на уравнения:

(X - A 1) 2 + (Y - B 1) 2 \u003d (X - A 2) 2 + (Y - B 2) 2,

(X - A 1) 2 + (Y - B 1) 2 \u003d (X - A 3) 2 + (Y - B3) 2.

Лесно е да се провери дали тези уравнения са линейни и следователно решаването на въпросната система на уравненията е рационално.

в) съществува такава сфера. Например, сферата с уравнението

(X - √ 2) 2 + y 2 + z 2 \u003d 2.

Точка o с координати (0; 0; 0) - рационална точка, разположена на тази област. Останалите точки на сферата са ирационални. Доказваме го.

Да приемем обратното: да (x; y; z) - рационалната точка на сферата, различна от точка o. е ясно, че X е различен от 0, тъй като при X \u003d 0 има едно решение (0; 0; 0), че сега не се интересуваме. Изземване на скоби и експрес √ 2:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 \u003d 2

√ 2 \u003d (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

какво не може да бъде с рационално X, Y, Z и ирационални √ 2. Така, o (0; 0; 0) е единствената рационална точка в разглеждания сектор.

Задачи без решения

1. Докажете, че номерът

[Sqrt (10+ sqrt (24) + sqrt (40) + sqrt (60)) \\ t

е ирационално.

2. При това какво се извършва друго m и n (5 + 3√ 2) m \u003d (3 + 5√ 2) n?

3. Има ли такъв номер A, така че номерът А е 3 и 1 / A + √ 3 са цели числа?

4. Може ли цифрите 1, √ 2, 4 да бъдат членове (не е задължително съседна) аритметична прогресия?

5. Докажете, че при всяко естествено N, уравнението (X + O√ 3) 2N \u003d 1 + √ 3 не разполага с разтвори в рационални числа (x; y).

Какво е ирационални числа? Защо се наричат \u200b\u200bтака? Къде се използват и какви са те? Малцина може да са, без да мислят да отговорят на тези въпроси. Но всъщност отговорите на тях са доста прости, въпреки че не всички са необходими в много редки ситуации.

Същност и обозначение

Ирационалните номера са безкрайни неспециални необходимост да се въведат това понятие поради факта, че за решаването на нови проблеми, които преди това не са били съществуващи понятия за валидни или реални, цели числа, естествени и рационални числа. Например, за да се изчисли, квадратът от коя стойност е 2, е необходимо да се използват неспециални безкрайни десетични фракции. Освен това много прости уравнения също нямат решение без въвеждането на понятието за ирационален номер.

Този комплект е показан като I. и, както вече е ясно, тези стойности не могат да бъдат представени като проста фракция, в числатора, на който ще има цяло число, и в знаменателя -

За първи път индийски математици през VII век са изправени пред това явление, когато е установено, че квадратните корени от някои ценности не могат да бъдат посочени изрично. И първото доказателство за съществуването на такива номера се приписва на питагорейски хиппи, което го прави в процеса на изучаване на еднакво видим правоъгълен триъгълник. Сериозен принос за изучаването на този комплект донесе още няколко учени, които са живели в нашата епоха. Въвеждането на концепцията за ирационални номера доведе до преразглеждане на съществуващата математическа система, поради което те са толкова важни.

Произход на име

Ако съотношението, преведено от латински - това е "фракция", "отношение", тогава префиксът "il"
дава тази дума обратната стойност. Така името на набора от тези числа предполага, че те не могат да бъдат корелирани с цялото или частично, да имат отделно място. Това предполага от тяхната същност.

Място в обща класификация

Ирационалните номера заедно с рационалното се отнася до групата на реално или валидна, което от своя страна се отнасят до комплекса. Няма подгрупи, но разграничават алгебричното и трансцендентно разнообразието, което ще бъде обсъдено по-долу.

Имоти

Тъй като ирационалните номера са част от набор от валидни, тогава всичките им свойства са приложими за тях, които са проучени в аритметика (те също се наричат \u200b\u200bголеми алгебрични закони).

a + B \u003d B + A (комутатив);

(A + B) + C \u003d A + (B + с) (асоцииране);

a + (-a) \u003d 0 (наличието на противоположния номер);

aB \u003d BA (Закон за движение);

(Ab) c \u003d a (bc) (разпределение);

a (B + с) \u003d AB + AC (разпределителен закон);

a x 1 / a \u003d 1 (наличието на обратния номер);

Сравнението се извършва и в съответствие с общите закони и принципи:

Ако a\u003e b и b\u003e c, след това a\u003e c (транзитивността на съотношението) и. t. д.

Разбира се, всички ирационални номера могат да бъдат преобразувани с помощта на основно аритметично действие. Няма специални правила.

В допълнение, действието на Архимед Аксимтерес се прилага към ирационални номера. Той посочва, че за всеки два величиния А и Б, твърдението е вярно, че приемате като значителен брой пъти, можете да надвишавате b.

Използвайки

Въпреки факта, че в обикновения живот не се сблъскват с тях, ирационалните числа не са податливи на сметка. Техният огромен комплект, но те са практически незабележими. Ние заобикаляме ирационални номера навсякъде. Примери, познати на всички са броят на PI, равен на 3,1415926 ..., или Е, всъщност, в основата на естествения логаритъм, 2,718281828 ... в алгебра, тригонометрия и геометрия ги използват за постоянно. Между другото, известната стойност на "златната секция", т.е. съотношението както на по-малките, така и напротив, също

се отнася до този комплект. По-малко известното "сребро" също.

На цифровия директ те са разположени много стегнати, така че да има ирационални да бъдат намерени между две стойности, свързани с набора от рационален.

Досега има много нерешени проблеми, свързани с този комплект. Има критерии като мярката за ирационалност и нормата на номера. Математиката продължава да изследва най-значимите примери за тяхната принадлежност към определена група. Например, се смята, че Е е нормален номер, т.е., вероятността от различни номера в нейните записи е една и съща. Що се отнася до PI, проучването все още се провежда. Мярката за ирационалност се нарича стойност, показваща колко добър или друг може да бъде приблизително рационални.

Алгебрични и трансцендентални

Както вече споменахме, ирационалните числа условно се разделят на алгебрични и трансцендентални. Условно, тъй като, стриктно казано, тази класификация се използва за разделяне на комплекта C.

При това обозначение са скрити сложни числа, които включват валидни или реални.

Така че алгебриката се нарича такава стойност, която е корен на полином, а не равен на нула. Например, квадратният корен от 2 ще се позове на тази категория, тъй като е разтвор на уравнение X 2 - 2 \u003d 0.

Въпреки това останалите реални числа, които не отговарят на това състояние, се наричат \u200b\u200bтрансцендентални. Този вид включва най-известните и вече споменати примери - броят на PI и основата на естествения логаритъм Е.

Какво е интересно, нито един, нито второто първоначално е било отглеждано от математици в този капацитет, тяхната ирационалност и трансцендентност са доказали много години след откриването им. За доказателство за PI, тя е показана през 1882 г. и е опростена през 1894 г., която сложи край на споровете на предизвикателството на кварталите на кръга, които са продължили 2,5 хиляди години. Все още не е проучен до края, така че има модерни математици за това какво да работят. Между другото, първото точно точно изчисляване на тази стойност се извършва чрез архимеди. Преди него всички изчисления бяха твърде приблизителни.

За E (брой на EULER или NEFE) доказателството за неговата трансцендентност е намерено през 1873 г. Използва се в решаването на логаритмични уравнения.

Други примери са стойностите на синуса, косинуса и допирателната за всяка алгебрична ненулева стойност.

Наборът от всички естествени числа се обозначава с буквата N. Натурални номера, това са номерата, които използваме за сметките на позициите: 1,2,3,4, ... в някои източници, числото 0 включва също така естествените числа.

Комплектът от всички цели числа се обозначава с буквата Z. Целевите числа са всички естествени числа, нулеви и отрицателни числа:

1,-2,-3, -4, …

Сега се присъединете към набор от всички цели числа много от обикновените фракции: 2/3, 18/17, -4/5 и това следващо. Тогава получаваме много рационални числа.

Много рационални номера

Наборът от всички рационални числа се обозначава с буквата Q. Комплектът от всички рационални числа (Q) е комплект, състоящ се от номера на формуляра m / n, -m / n и номер 0. Всяко естествено число може да действа като n , m. Трябва да се отбележи, че всички рационални числа могат да бъдат представени под формата на крайна или безкрайна десетична фракция. Също така е вярно, че всяка крайна или безкрайна периодична десетична фракция може да бъде написана под формата на рационално число.

Но как да бъдем например с номер 2.0100100010 ...? Това е безкрайно неразбираема десетична част. И тя не се прилага за рационални числа.

През учебната година алгебри се изследват само по реални (или валидни) числа. Комплектът от всички валидни номера е обозначен с буквата R. Set R се състои от всички рационални и всички ирационални номера.

Концепцията за ирационални номера

Нерационалните номера са безкрайни десетични непериодични фракции. Ирационалните номера нямат специално обозначение.

Например, всички числа, получени чрез извличането на квадратен корен от естествени числа, които не са квадрати от естествени числа, са ирационални. (√2, √3, √5, √6 и т.н.).

Но не мислете, че ирационалните номера се получават само чрез извличане на квадратни корени. Например, числото "PI" също е ирационално и се получава чрез разделение. И как не се опитвате, няма да можете да го получите, премахвате квадратния корен от всяко естествено число.

Ирационално число - това е общ бройкоето не е рационално, т.е. не може да бъде представено като фракция, където - цели числа ,. Ирационалното число може да бъде представено като безкрайна непериодична десетична фракция.

Много ирационални номера обикновено се обозначават с латично писмо в удебелен шкаф без пълнене. Така:, т.е. Има много ирационални номера разликата в наборите от реални и рационални числа.

Относно съществуването на ирационални номера, по-точно разфасовки, които са несъизмерими с сегмент с една дължина, вече знаеха древните математици: те бяха известни, например, непълната диагонална и страната на квадрата, която е еквиварателна на ирационалността на номера.

Имоти

• Всяко реално число може да бъде написано под формата на безкрайна десетична фракция, докато ирационалните номера и само те се записват от неестепенни безкрайни десетични фракции.
• Ирационалните номера определят приспаданията на раздел в набор от рационални числа, които в по-ниската класа няма най-големият, а в горната част няма най-малък брой.
• Всяко истинско трансцендентално число е ирационално.
• Всеки ирационален номер е алгебрично или трансцендентално.
• Много ирационални числа навсякъде гъсто числовите директни: между две номера има ирационален номер.
• Поръчката на набора от ирационални номера е изоморфна за набора от реални трансцендентални числа.
• Много ирационални номера са ненужни, е множество от втората категория.

Примери

Ирационалните са:

Примери за доказателства за ирационалност

Корен от 2.

Да предположим, че обратното: рационално, т.е. то е представено под формата на нестабилна фракция, където е цяло число, но естествено число. Изградени очакваното равенство на квадрата:

Оттук следва това, което е ясно, това означава това и. Нека цялото. Тогава

Следователно това означава също така. Имаме, че те са черни, които противоречат на несъответствието на фракцията. Това означава, че първоначалното предположение е неправилно и е ирационален номер.

Двоичен логаритм номер 3

Да предположим обратното: рационално, т.е. то изглежда под формата на фракция, където и - цели числа. Тъй като и може да бъде избран положителен. Тогава

Но дори и в странно. Получаваме противоречие.

д.

История

Концепцията за ирационални номера беше имплицитно възприемана от индийски математици през VII век пр. Хр., Когато Манава (около 750 г. пр. Хр. E. - OK. 690 г. пр. Хр. ER) установи, че квадратните корени на някои естествени числа, като 2 и 61, не може да бъде изразено.

Първото доказателство за съществуването на ирационални номера обикновено се приписва на хипоспаза от Мемапонт (около 500 gg. Пр. Хр.), Питагоров, който намери това доказателство, изучавайки дължината на пентаграма. По времето на питагорейците се смяташе, че има една дължина, достатъчно малка и неделима, която е цяло число във всеки сегмент. Въпреки това, Hippas обосновава, че няма нито една дължина на дължината, тъй като предположението за неговото съществуване води до противоречие. Той показа, че ако хипотенузата на уравнителен правоъгълен триъгълник съдържа цяло число на единични сегменти, тогава този номер трябва да бъде дори и дори и нечетен. Доказателството изглеждаше следното:

• Съотношението на дължината на хипотензите към дължината на съотношението на уравнителен правоъгълен триъгълник може да бъде изразен като а.:б.където а. и б. Възможно най-малко.
• Според теоремата на Питагор: а.² \u003d 2. б.².
• Като а.² вече а. Трябва да е равномерно (тъй като площадът на нечетен брой би било нечетно).
• Дотолкова доколкото а.:б. нестабилен б. Трябва да е странно.
• Като а. Дори и обозначен а. = 2y..
• Тогава а.² \u003d 4. y.² \u003d 2. б.².
• б.² \u003d 2. y.², следователно б.² дори, тогава и б. дори.
• Въпреки това, беше доказано това б. нечетно. Противоречие.

Гръцката математика нарече това съотношение на неомесени стойности алогос. (неизразим), но според легендите не дават уважение на Hippasus. Налице е легенда, която хипаите са открили, че е в морския поход и е хвърлен зад борда с други питагорейци "за създаването на елемент на вселената, който отрича доктрината, че всички субекти във Вселената могат да бъдат намалени до цели числа и техните взаимоотношения. " Откриването на хипа е доставено сериозен проблем пред питагорейската математика, унищожавайки предположението, което е паднало в основата, че числата и геометричните обекти са обединени и неразделни.

Какви числа са ирационални? Ирационално число - Това не е рационално реално число, т.е. тя не може да бъде представена като фракция (като съотношение на две цели числа), където м. - цяло число н.- естествен брой. Ирационално число Може да бъде представен като безкрайна непериозна десетична фракция.

Ирационално число не може да има точен смисъл. Само във формата на 3,333333 .... например, Квадратен корен от два - е номер ирационален.

Какво е ирационално? Ирационално число (За разлика от рационалното), се нарича безкрайна десетична непериодна фракция.

Много ирационални номера Често означаваме латинското писмо за заглавието в смелния надпис без попълване. Така.:

Тези. Много ирационални числа са разликата в набори от реални и рационални числа.

Свойства на ирационални номера.

• Сумата от 2 не-отрицателни ирационални номера може да бъде рационално число.
• Ирационалните номера определят приспаданията на секцията в различни рационални числа, в по-ниския клас, които нямат най-голям брой и няма по-малък в горната част.
• Всяко истинско трансцендентално число е ирационален номер.
• Всички ирационални номера са или алгебрични, или трансцендентални.
• Много ирационални числа навсякъде гъсто числовата линия: между всяка двойка числа има ирационален номер.
• Поръчката на набора от ирационални номера е изоморфна за набора от реални трансцендентални числа.
• Много ирационални номера са безкрайно, е множество от втората категория.
• Резултатът от всяка аритметична операция с рационални числа (с изключение на разделение с 0) е рационални числа. Резултатът от аритметични операции над ирационалните номера може да бъде както рационален, така и ирационален номер.
• Размерът на рационалните и ирационални числа винаги ще бъде ирационален номер.
• Количеството на ирационалните номера може да бъде рационално число. Например, нека бъде х. ирационално, тогава y \u003d x * (- 1) също ирационални; x + y \u003d 0, Номер 0 Рационални (ако, например, сгънете корена от всякакъв размер от 7 и минус корена от същата степен от седем, тогава получаваме рационално число 0).

Ирационални номера, примери.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — Δ. — α — д. — π — δ