Разрез в правилна четириъгълна призма. Разрез в правилна четириъгълна призма В правилна четириъгълна призма abcda1b1c1d1

В правилна четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 страните на основата са 2, а страничните ръбове са 5. Точка E е отбелязана на ръба AA 1, така че AE: EA 1 = 3: 2. Намерете ъгълът между равнините ABC и BED 1 ...

Решение. Нека правата D 1 E пресича правата AD в точка K. Тогава равнините ABC и BED 1 ще се пресичат по правата KB.

От точка E пускаме перпендикуляра EH на правата KB, тогава отсечката AH (проекция EH) ще бъде перпендикулярна на правата KB (теоремата за три перпендикуляра).

Ъгъл AHE е линейният ъгъл на двугранния ъгъл, образуван от равнините ABC и BED 1.

Тъй като AE: EA 1 = 3: 2, получаваме:.

От сходството на триъгълници A 1 D 1 E и AKE получаваме: .

В правоъгълен триъгълник AKB с прав ъгъл A: AB = 2, AK = 3,; къде е височината
.

От правоъгълен триъгълник AHE с прав ъгъл A получаваме: и ∠ AHE = арктан (√13 / 2).

Отговор: arctg (√13 / 2).

Задачи за независимо решение

1.В правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 = 2, AD = AA 1 = 1. Намерете ъгъла между правата AB и равнината ABC 1.

2. В права шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всички ъгли са равни на 1. Намерете разстоянието от точка B до равнината DEA 1.

3. В правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 1, AA 1 = 2. Намерете ъгъла между правата AB 1 и равнината ABC 1.

Нека разгледаме друг стереометричен проблем от две точки от обучение на CMM.

Задача.В правилния четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 страната AB на основата е равна на 5, а страничният ръб на AA 1 е равен на корен квадратен от пет. На ребрата на самолета и C 1 D 1 отбелязани точки K и L съответно с CK = 2 и C 1 L = 1. Самолет жуспоредно на права Бд и съдържа точки K иЛ.

а) Докажете, че правата А 1 С е перпендикулярна на равнинатаж.

б) Намерете обема на пирамидата, чийто връх е точка A1, а основата е сечението на дадената призма от равнинатаж.

Решение.а) Внимателно изпълнете чертежа и анализирайте данните. Защото ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правилна четириъгълна призма, което означава основата ABCD - квадрат със страна 5. Страничните ребра са перпендикулярни на основите. От самолетажминава през точка K и е успоредна на права Bд , след това линията на пресичане на равнинатажи равнината ABC е успоредна на права Bд (Ако друга равнина бъде начертана през права линия, успоредна на тази равнина, тогава пресечната линия на тези равнини ще бъде успоредна на тази права линия).

Начертайте права линия, успоредна на B през точка Kд преди пресичане CD в точка M. Значи KM е перпендикулярна на AC ( защото диагонали на квадрат BD и AC са перпендикулярни ).

BCD триъгълници и SCM са подобни (правоъгълни и равнобедрени), което означава CM = KS = 2. По теоремата на Питагор от триъгълника CKM намираме, че KM = 2√2, и от триъгълника BCD BD = 5 √2 ... Диагоналите на квадрата са равни, което означава, че AC = BD = 5 √2.

Сега, през точкатаЛ начертаваме прав паралел Bд преди пресичане B 1 C 1 в точка T. По отсечка T L равнина KM L ще пресече горната основа ( Ако две успоредни равнини се пресичат от трета равнина, тогава пресечните линии ще бъдат успоредни). Така че Т C 1 = C 1 L = 1. От триъгълник Т LC 1 по питагоровата теорема Т L = √2.

В равнобедрен трапец CTЛ M точка H - средата на горната основа, точкан - средата на долната основа, след това Hн - височина на трапец, Nн перпендикулярно на CM. Това означава, че KM е перпендикулярна на равнината AA 1 C, включително правата линия A 1 C.

Помислете за диагонално сечение на правоъгълна призма AA 1 C 1 C. От точка H пуснем перпендикуляра на AC. Тогава N E = EC = H C 1 = 0,5 √2. НЕ = C C 1 = √5.

В триъгълници AA 1 C ин PC ъгъл PCA - общ. Тангенсът на ъгъл AA 1 C е 5√2: √5 = √10 Тангенс на ъгъл H N E от триъгълник H N E е равно на √5: 0,5 √2 = √10 ... Оттук ъглите AA 1 C и Hн E са равни. Но тогава останалите ъгли A 1 AC = N РС = 90 ⁰ ... Имаме A 1 C перпендикулярно на правите Hн и KM, така че A 1 C е перпендикулярна на равнината на трапеца KTЛ М. Какво се изискваше да се докаже.

За да намерите обема на пирамидата A 1 CTЛ M, трябва да намерите областта на CT трапецаЛ M и височина A 1 R. От триъгълник Hн E по питагоровата теорема H N 2 = 5,5. CT трапецовидна област L M е равно на H N * (T L + KM) / 2 = √5,5 * (√2 + 2 √2) / 2 = 1,5 √11.

Упражнение.

В правилна четириъгълна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 страните на основата са равни на 3, а страничните ръбове са равни на 4. Точка E е отбелязана на ръба AA 1, така че AE: EA 1 = 1 : 3.

а) Построете пресечната линия на равнините ABC и BED 1.

б) Намерете ъгъла между равнините ABC и BED 1.

Решение:

а) Построете права линия на пресичане на равниниABC иЛЕГЛО 1.

Нека построим самолета BED 1. Точките E и D 1 лежат в една и съща равнина, така че начертаваме линия ED 1.

Точките E и B лежат в една и съща равнина, така че начертаваме линия EB. Така че лицата на правилната четириъгълна призма са успоредни, начертайте в лицето BB 1 C 1 C правата линия BF, успоредна на правата линия ED 1. Точките F и D 1 лежат в една и съща равнина, така че начертаваме права FD 1. Получих желания самолет BED 1.

Тъй като правата ED 1 и правата AD лежат в една и съща равнина ADD 1, те се пресичат в точка K, която лежи в равнината ABC. Точките K и B лежат в равнините ABC и BED 1, следователно равнините ABC и BED 1 се пресичат по правата линия KB. Построена е търсената пресечна линия на равнини ABC и BED 1.

б) Намерете ъгъла между равнинитеABC иЛЕГЛО 1

Отсечката AE е перпендикулярна на равнината ABC, от точка E спускаме перпендикуляра EH до правата KB. Точката H лежи в равнината ABC, тогава AH е проекцията на EH върху равнината ABC. Права линия, перпендикулярна на наклонената EH, минава през точка H, след което според теоремата за три перпендикуляра отсечката AH е перпендикулярна на правата KB.

Ъгълът ∠EHA е линейният ъгъл на двугранния ъгъл, образуван от равнините ABC и BED 1. Ъгъл ∠EHA - желаният ъгъл между равнините ABC и BED 1. Нека намерим стойността на този ъгъл.

Обмисли правоъгълен триъгълник EHA (∠А = 90˚):

По условие AE: EA 1 = 1: 3, след това AE: AA 1 = 1: 4.

Тогава триъгълниците AKE и A 1 D 1 E са подобни

A 1 D 1 = 3, AE = 1, A 1 E = AA 1 - AE = 3

Да разгледаме правоъгълен триъгълник AKB (∠A = 90˚).