Правоъгълен паралелепипед. Наклонен паралелепипед: свойства, формули и задачи на преподавател по математика Основен правоъгълен паралелепипед ромб с диагонали

Паралелепипед се нарича четириъгълна призма, в основата на които са паралелограми. Височината на паралелепипед е разстоянието между равнините на основите му. На фигурата височината е показана с линията ... Има два вида паралелепипеди: прави и коси. По правило преподавателят по математика първо дава подходящите определения за призмата, а след това ги прехвърля на паралелепипед. Ние ще направим същото.

Нека ви напомня, че призма се нарича права, ако страничните й ръбове са перпендикулярни на основите, ако няма перпендикулярност, призмата се нарича наклонена. Тази терминология се наследява и от паралелепипеда. Правият паралелепипед не е нищо повече от един вид права призма, чийто страничен ръб съвпада с височината. Запазват се дефинициите на такива понятия като лице, ръб и връх, които са общи за цялото семейство многогранници. Появява се концепцията за противоположните страни. Паралелепипедът има 3 двойки противоположни лица, 8 върха и 12 ръба.

Диагонал на паралелепипед (диагонал на призма) е сегмент, който свързва две върхове на многогранник и не лежи в нито една от неговите лица.

Диагонален разрез - участък от паралелепипед, преминаващ през неговия диагонал и диагонала на неговата основа.

Свойства на коса кутия:
1) Всичките му страни са паралелограми, а противоположните лица са равни паралелограми.
2)Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и се разделят наполовина в тази точка.
3)Всеки паралелепипед се състои от шест триъгълни пирамиди с еднакъв обем. За да ги покаже на ученика, учителят по математика трябва да отреже половината от диагоналния му участък от паралелепедото и да го раздели отделно на 3 пирамиди. Основите им трябва да лежат върху различни лица на оригиналния паралелелепипед. Учителят по математика ще намери приложение на това свойство в аналитичната геометрия. Използва се за извеждане на обема на пирамида чрез смесен продукт от вектори.

Формули за обем за паралелепипед:
1), където е площта на основата, h е височината.
2) Обемът на паралелепипеда е равен на произведението на площта на напречното сечение и страничния ръб.
Учител по математика: Както знаете, формулата е обща за всички призми и ако преподавателят вече го е доказал, няма смисъл да се повтаря едно и също нещо за паралелепипед. Въпреки това, когато работите с ученик от средно ниво (формулата не е полезна за слаб), препоръчително е учителят да действа точно обратното. Оставете призмата на мира и направете чисто доказателство за паралелепипеда.
3), където е обемът на една от шестте триъгълни пирамиди, от които се състои паралелепипедът.
4) Ако, тогава

Площта на страничната повърхност на паралелепипед е сумата от площите на всичките му страни:
Пълната повърхност на паралелепипед е сумата от площите на всичките му страни, тоест площ + две области на основата:.

За работата на учител с наклонен паралелепипед:
Учителят по математика не се занимава често с проблеми на наклонен паралелепипед. Вероятността за появяването им на Единния държавен изпит е доста малка, а дидактиката е неприлично лоша. Горе -долу приличен проблем с обема на наклонен паралелепипед причинява сериозни проблеми, свързани с определянето на местоположението на точката Н - основата на нейната височина. В този случай учителят по математика може да бъде посъветван да отреже паралелепипеда до една от шестте му пирамиди (които са разгледани в свойство номер 3), да се опита да намери обема му и да го умножи по 6.

Ако страничният ръб на паралелепипеда има равни ъглисъс страните на основата, тогава H лежи върху бисектрисата на ъгъла A на основата ABCD. И ако например ABCD е ромб, тогава

Задачи по преподавател по математика:
1) Ръбовете на паралелепипеда са равни ребра със страна 2 cm и остър ъгъл. Намерете обема на паралелепипед.
2) В наклонен паралелепипед страничният ръб е 5 cm. Перпендикулярното на него сечение е четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали с дължини 6 см и 8 см. Изчислете обема на паралелепипеда.
3) В наклонен паралелепипед е известно, че и в ABCD е ромб със страна 2 cm и ъгъл. Определете обема на кутията.

Учител по математика, Александър Колпаков

В този урок всеки ще може да изучава темата „Правоъгълен паралелепипед“. В началото на урока ще повторим какво представляват произволен и прав паралелепипед, ще припомним свойствата на техните противоположни лица и диагонали на паралелепипед. След това ще разгледаме какво е правоъгълен паралелепипед и ще обсъдим основните му свойства.

Тема: Перпендикулярност на линии и равнини

Урок: Правоъгълен паралелепипед

Повърхност, съставена от два равни паралелограма ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири паралелограма ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, се нарича паралелепипед(Фиг. 1).

Ориз. 1 паралелепипед

Тоест: имаме два равни паралелограма ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основа), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от паралелограми паралелепипед.

По този начин повърхността на паралелепипед е сумата от всички паралелограми, които съставляват паралелепипеда.

1. Противоположните лица на кутията са успоредни и равни.

(формите са равни, тоест могат да се комбинират чрез наслагване)

Например:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни паралелограми по дефиниция),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).

2. Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и се разделят наполовина от тази точка.

Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O и всеки диагонал се разделя наполовина от тази точка (фиг. 2).

Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипеда се пресичат и се разделят наполовина от точката на пресичане.

3. Има три четворки с равни и успоредни паралелепипедни ръбове: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Определение. Паралелепипед се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.

Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че права линия AA 1 е перпендикулярна на прави линии AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че правоъгълниците лежат в страничните страни. А в основите са произволни паралелограми. Обозначаваме, ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.

Ориз. 3 Прав паралелепипед

И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.

Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ребра са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.

Паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен (фиг. 4), ако:

1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, тоест прав паралелепипед).

2. ∠BAD = 90 °, тоест има правоъгълник в основата.

Ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед

Правоъгълен паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но те са допълнителни имотикоито са получени от определението правоъгълен паралелепипед.

Така, правоъгълен паралелепипеде паралелепипед със странични ръбове, перпендикулярни на основата. Основата на правоъгълния паралелепипед е правоъгълник.

1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.

ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълници по дефиниция.

2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата... Това означава, че всички странични страни на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.

3. Всички двугранни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Да разгледаме например двугранния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, тоест двугранен ъгъл между равнините ABB 1 и ABC.

AB е ръб, точка A 1 лежи в една равнина - в равнина ABB 1, а точка D в друга - в равнина A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двугранен ъгъл може да се обозначи и както следва: ∠A 1 ABD.

Вземете точка А на ръба АВ. AA 1 - перпендикулярна на ръба AB в равнината ABB -1, AD перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Следователно, ∠А 1 АD е линейният ъгъл на дадения двугранен ъгъл. ∠А 1 АD = 90 °, което означава, че двугранният ъгъл на ръба AB е 90 °.

∠ (ABB 1, ABC) = ∠ (AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90 °.

По подобен начин се доказва, че всички двустранни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.

Квадрат на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равна на суматаквадрати от трите му измерения.

Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на правоъгълника, са размерите на правоъгълния паралелепипед. Понякога се наричат ​​дължина, ширина, височина.

Дадено: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).

Докажи: .

Ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед

Доказателство:

Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC, а оттам и на правата AC. Това означава, че триъгълник CC 1 A е правоъгълен. Според Питагоровата теорема:

Обмисли правоъгълен триъгълник ABC. Според Питагоровата теорема:

Но BC и AD са противоположни страни на правоъгълника. Следователно BC = AD. Тогава:

Защото , а , тогава. Тъй като CC 1 = AA 1, тогава това, което беше необходимо за доказване.

Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.

Нека обозначим измерванията на паралелепипед ABC като a, b, c (виж фиг. 6), след това AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

или (еквивалентно) многогранник с шест лица на успоредник. Шестоъгълник.

Паралелограмите, които съставят паралелепипеда, са фасетина този паралелепипед страните на тези паралелограми са ръбове на паралелепипед, а върховете на паралелограмите са върхове паралелепипед... За паралелепипед всяко лице е паралелограм.

По правило всяка 2 противоположни лица се разграничават и извикват основите на паралелепипеда, а останалите лица са странични страни на паралелепипеда... Ръбовете на кутията, които не принадлежат към основите, са странични ребра.

2 лица на кутия, които имат общ ръб, са свързани, и тези, които нямат общи ръбове - обратното.

Сегментът, който свързва 2 върха, които не принадлежат на 1 -вата страна, е по диагонала на паралелепипеда.

Дължините на ръбовете на правоъгълен паралелепипед, които не са успоредни, са линейни размери (измервания) на паралелепипед. Правоъгълен паралелепипед има 3 линейни измерения.

Видове паралелепипеди.

Има няколко вида паралелепипеди:

Директене паралелепипед с ръб, перпендикулярен на равнината на основата.

Правоъгълен паралелепипед с всички 3 измерения със същата величина е куб... Всяка от граните на куба е еднаква квадрати.

Произволен паралелепипед.Обемът и съотношенията в наклонен паралелепипед се определят главно с помощта на векторна алгебра. Обем на паралелепипедравно на абсолютна стойностсмесен продукт от 3 вектора, които се определят от 3 страни на паралелепипед (които идват от един връх). Съотношението между дължините на страните на паралелепипеда и ъглите между тях показва твърдението, че определителят на Грам на тези 3 вектора е равен на квадрата на техните смесена работа.

Свойства на кутията.

• Паралелепипедът е симетричен около средата на диагонала си.
• Всеки сегмент с краища, които принадлежат на повърхността на паралелепипеда и който минава през средата на диагонала му, се разделя от него на две равни части. Всички диагонали на паралелепипеда се пресичат в първата точка и са разделени от него на две равни части.
• Противоположните лица на кутията са успоредни и с еднакъв размер.
• Квадратът с дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е