Напречното сечение в правилната четириъгълна призма. Участък в дясната четириъгълна призма в правилната четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1

При правилната четиримесечна призма на ABCDA 1 B '° С1, основните страни са 2, а страничните ребра са равни на 5. на ръба AA 1, точка Е е отбелязана, че AE: EA 1 \u003d 3: 2. Намерете ъгъла между ABC и леглата 1.

Решение. Нека Direct d 1 e пресече директната реклама в точката K. След това ABC и леглото 1 самолети ще бъдат нулирани в права линия KB.

От точка Е, ние намаляваме перпендикулярната ЕН в директна KB, след това сегментът AH (проекция EH) ще бъде перпендикулярно на директната KB (три перпендикулярна теорема).

Ъгълът на AHE е линеен ъгъл на обков ъгъл, оформен от ABC и легло 1 равнини.

Тъй като AE: EA 1 \u003d 3: 2, получаваме :.

От сходството на триъгълниците a 1 d 1 e и ake ние получаваме: .

В правоъгълен триъгълник AKB с директен ъгъл А: AU \u003d 2, AK \u003d 3,; Откъде е височина
.

От правоъгълен триъгълник, с прав ъгъл, получаваме: и ∠ AHE \u003d ARCTG (√13 / 2).

Отговор: ARCTG (√13 / 2).

Задавани въпроси самостоятелност

1. Б. правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 d 1 AB 1 \u003d 2, AD \u003d AA 1 \u003d 1. Намерете ъгъла между директен AV и ABC 1 равнина.

2. В пряката шестоъгълна призма на ABCDEFA 1 B 1 c 1 d 1 e 1 F 1 1 Всички ъгли са равни на 1. Намерете разстоянието от точката до равнината DEA 1.

3. В правоъгълния паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 d1 ab \u003d 1, aa 1 \u003d 2. Намерете ъгъла между директната AV 1 и ABC 1 равнина.

Задачата.

Вдясно четириъгълна награда ABCDA 1 B 1C 1 d1 страни на основата са равни на 3, а страничните ребра са равни на 4. на ръба AA 1, точка Е е отбелязана така, че AE: EA 1 \u003d 1: 3.

а) изгради прякото пресичане на ABC и леглото 1 равнини.

б) Намерете ъгъла между ABC и леглото 1 самолети.

Решение:

а) изграждане на пряка пресечка на самолетитеABC I.Легло 1..

Ние изграждаме самолета легло 1. Точките e и d 1 лежат в една и съща равнина, така че ще прекараме директно ED 1.

Точките e и b лъжат в една и съща равнина, така че ще прекараме директен EV. Така че ръба на правилната четириъгълна призма е паралелна, ние извършваме в границите на BB 1 Cy с директен BF успоредно на директен ED 1. Точките F и D 1 лежат в една и съща равнина, така че ще прекараме директен FD 1. Получи желаното легло 1.

Тъй като права линия ED и директна реклама лежат в една и съща равнина на добавяне 1, след това те се пресичат в точката k, лежаща в равнината на ABC. Точки и б лъжат в самолетите ABC и легло 1, следователно, самолетът ABC и леглото 1 се пресичат по права линия. Изградена е желаната директна пресечка на ABC и легло 1.

б) Намерете ъгъла между самолетитеABC I.Легло 1.

Сегментът AE е перпендикулярно на равнината на ABC, от точката Е, за да намали EH перпендикулярно на директното тримесечие. Точка Н лъжа в равнината на ABC, след това Ах е проекцията на ЕН на равнината на ABC. Чрез точката Н преминава директно, перпендикулярно на наклонената ЕХ, след това от теоремата около трите перпендикулярни участъка на Ах перпендикулярно на директното тримесечие.

Ъгълът на ∠eha е линеен ъгъл на обков ъгъл, образуван от ABC и легло 1 равнини. Ъгълът на ∠eha е желаният ъгъл между самолетите ABC и легло 1. Ние намираме величината на този ъгъл.

Обмисли право триъгълник EHA (∠a \u003d 90˚):

Чрез условие AE: EA 1 \u003d 1: 3, след това AE: AA 1 \u003d 1: 4.

Триъгълници ake и 1 d 1 e са подобни, тогава

A 1 d 1 \u003d 3, ae \u003d 1, a 1 e \u003d AA 1 - AE \u003d 3

Помислете за правоъгълния триъгълник AKB (∠a \u003d 90˚).

Помислете за следващата двустепенна стереометрична задача за обучение на Ким.

Задача. В дясната четириъгълна призмаABCDA 1 B 1 C 1 d 1 Side AB Foundation 5, а страният ръб AA 1 е равен на коренния квадрат от пет. По ръбовете на слънцето иC 1 d 1 отговорили точки k и l съответно, със SK \u003d 2 иC 1 l \u003d 1. Самолет г. успоредно на Direct B.Д. и съдържа точки към иЛ.

а) докажете, че направо 1 с перпендикулярна равнинаг..

b) Намерете обема на пирамидата, чийто връх е точка 1, а основата е напречно сечение на тази призма равнинаг..

Решение. а) внимателно извършете чертежа и анализирайте данните. КатоABCDA 1 B 1 C 1 d 1 - дясната четириъгълна призма, това означава основаниеABCD. - квадрат със странични ръбове, перпендикулярни на основите. От самолетаг. преминава през точката и успоредна на правД. Тогава линията за пресичане на равнинатаг. и равнината на ABC успоредно на правД. (Ако другата равнина е пряко успоредна на тази равнина, тогава кръстовището на тези равнини ще бъде успоредно на това директно).

През точката, за да харчите прав паралелД. преди пресичането на S.CD. В точка М. означава km перпендикулярно на ( като диагонални площад BD. и говорители перпендикулярни ).

Триъгълници BCD. и scm са сходни (както правоъгълни, така и равни), това означава cm \u003d cop \u003d 2. Според теоремата на Питагоре на SCM триъгълника, откриваме, че km \u003d 2√2и от триъгълникаBCD BD \u003d 5 √2 . Диагоналът на квадрата е равен, това означава и двете \u003dBD \u003d 5 √2.

Сега, чрез точкатаЛ. ние изпълняваме прав паралелД. преди пресичането на S.B 1 C 1 В точката на t. по раздел tL Самолет км l пресича горната база ( Ако две паралелни равнини пресичат третия равнина, тогава кръстовището ще бъдат успоредни). Така че Т.C 1 \u003d C 1 L \u003d 1. От триъгълника Т.LC 1. Според теоремата на Питагор tL \u003d √2.

В изравняващ трапецовиден KtЛ. M dot n - средна основата, точкаН. - средата на долната основа, което означаваН. - височина на трапеца, nН. перпендикулярно на км. Така че cm е перпендикулярно на AA 1 C равнина, включително Direct A 1 S.

Помислете за диагоналното напречно сечение на правоъгълника на призмаAA 1 C 1 В. от точката n, перпендикулярна на AU. ТогаваN e \u003d eu \u003d h c 1 \u003d 0.5 √2. Не \u003d c 1 \u003d √5.

В триъгълници AA 1 C иН. RS ъгъл на RS - генерал. Тангентен ъгъл АА 1 С е 5√2: √5 \u003d √10 допиращ ъгъл H N E от триъгълника nN e е равен на √5: 0.5 √2 \u003d √10 . Така ъгли aa 1 c и nН. E е еднаква. Но след това останалите ъгли на 1 spell \u003dN RS \u003d 90 ⁰ . Имаме 1 с перпендикулярно директноН. и км, това означава 1 с перпендикулярно на равнината на KT TrapezЛ. М. Какво е необходимо да се докаже.

За да се намери обемът на пирамидата 1 ctЛ. M, трябва да намериш площада на KT TrapezЛ. M и височина 1 r. От триъгълника nН. E от теоремата на Pythagora nN 2. \u003d 5.5. Квадратура KT Trapezium.L m е равен на n * (tl + km) / 2 \u003d √5.5 * (√2 + 2 √2) / 2 \u003d 1.5 √11.