Функцията на плътността на нормално разпределена произволна променлива. Нормално разпределение и неговите параметри

В много предизвикателства, свързани с нормално разпределени случайни стойности, е необходимо да се определи вероятността от случайни вариации, подчинени на нормалния закон с параметрите, към сайта от до. За да изчислим тази вероятност, използваме общата формула

където - размера на разпределението на размера.

Намерете функцията на разпределението на случайна променлива, разпределена в съответствие с нормален закон с параметри. Стойността на гъстотата на разпределение е:

Оттук откриваме функцията за разпространение

. (6.3.3)

Ще направим в интеграла (6.3.3) чрез замяна на променливата

и ние го даваме на ум:

(6.3.4)

Интеграл (6.3.4) не се изразява чрез елементарни функции, но може да се изчисли чрез специална функция, изразяваща известен интеграл от експресия или (така наречената вероятностна интеграла), за която е съставена таблицата. Има много разновидности на такива функции, например:

;

и т.н. Коя от тези функции използва - въпрос на вкус. Ние ще изберем като такава функция.

. (6.3.5)

Не е трудно да се види, че тази функция не е нищо друго освен функция за разпространение за нормална разпределена случайна променлива с параметри.

Ние се съгласяваме да се обадим на функцията чрез нормалната функция за разпространение. Приложение (таблица 1) показва таблиците за таблици.

Изразява функцията за разпространение (6.3.3) на стойностите с параметрите и чрез нормалната функция за разпространение. Очевидно

Сега откриваме вероятността за входящо произволно отклонение към сайта от преди. Съгласно формула (6.3.1)

По този начин изразихме вероятността за входяща случайна променлива, разпределена в съответствие с нормален закон с всички параметри, чрез стандартната разпределителна функция, съответстваща на най-простия нормален закон с параметрите 0.1. Обърнете внимание, че функционалните аргументи във формула (6.3.7) имат много просто значение: има разстояние от десния край на обекта до центъра на дисперсията, изразен в средни квадратични отклонения; - Същото разстояние за левия край на площадката и това разстояние се счита за положително, ако краят е разположен отдясно на центъра на дисперсия и отрицателен, ако отляво.

Както всяка функция за разпространение, функцията има свойства:

3. - Функция за функциониране.

В допълнение, от симетрията на нормалното разпределение с параметрите по отношение на началото на координатите, следва това

Използвайки този имот, всъщност би било възможно да се ограничат таблиците на функцията само с положителни стойности на аргумента, но за да се избегне излишната работа (изваждане от една), в таблица 1 на заявлението, стойностите са валидни за положителни и отрицателни аргументи.

На практика, задачата за изчисляване на вероятността от влизане в нормално разпределена случайна променлива в областта често е симетрична спрямо центъра за разсейване. Разгледайте такава част от дължината (фиг. 6.3.1). Изчисляваме вероятността да влизат в този раздел с формула (6.3.7):

Като се има предвид имуществото (6.3.8) на функцията и предоставяне на лявата част на формула (6.3.9) по-компактен външен вид, получаваме формула за вероятността от случайна променлива, разпределена в съответствие с нормалния закон в областта, симетрична по отношение на центъра за разсейване:

. (6.3.10)

Нека следната задача. Ние отлагаме от центъра на разпръскване на последователни сегменти с дължина (фиг. 6.3.2) и изчисляваме вероятността за входящо произволно отклонение във всяка от тях. Тъй като кривата на нормалния закон е симетрична, е достатъчно да се отложи такива сегменти само един начин.

С формула (6.3.7) откриваме:

(6.3.11)

Както може да се види от тези данни, вероятностите за влизане всеки от следните сегменти (пети, шести и т.н.) с точност от 0.001 са нулеви.

Около вероятностите да попаднете в сегменти до 0.01 (до 1%), ще получим три числа, които са лесни за запомняне:

0,34; 0,14; 0,02.

Сумата от тези три стойности е 0.5. Това означава, че за нормална разпределена случайна променлива, цялата дисперсия (с точност на процента) е подредена на мястото.

Това позволява, като знаете средното квадратично отклонение и математическото очакване на случайна променлива, условно посочете интервала на практически възможните стойности. Този метод за оценка на обхвата на възможните стойности на случайно отклонение е известен в математическата статистика, наречена "правило от три сигма". От трите правила за сигма, прогнозният метод за определяне на средното квадратично отклонение на произволна променлива се следва също: вземете максимално практически възможно отклонение от средното и да го разделяте на три. Разбира се, този груб прием може да се препоръча само ако няма други, по-точни методи за определяне.

Пример 1. Случайна променлива, разпределена в зависимост от нормалния закон, е грешка в измерването на определено разстояние. В измерването е разрешено систематична грешка за надценяване с 1.2 (m); Средното квадратично отклонение на измервателната грешка е 0.8 (m). Намерете вероятността отклонението на измерената стойност от вятъра да не надвишава абсолютната стойност от 1.6 (m).

Решение. Грешка в измерването Съществува случайна стойност подчинен на нормалния закон с параметрите и. Необходимо е да се намери вероятността от тази величина към сайта преди. С формула (6.3.7) имаме:

Използване на таблиците на функцията (приложение, таблица 1), ние ще намерим:

; ,

Пример 2. Намерете същата вероятност, както в предишния пример, но при условие, че няма системна грешка.

Решение. Във формула (6.3.10), вярвайки, намираме:

Пример 3. За цел да има вид лента (магистрала), чистата ширина е 20 m, стрелба в посока, перпендикулярна на магистралата. Целта се извършва в средната линия на магистралата. Средното квадратично отклонение по посока на стрелбата е равно на m. Има системна грешка в посоката на стрелбата: седмица 3 m. Намерете вероятността да влезете в магистралата на един изстрел.

В теорията на вероятностите се разглеждат достатъчно голям брой различни закони за разпространение. За да решават проблеми, свързани с изграждането на контролни карти, само някои от тях са интересни. Най-важното от тях е нормален закон за разпределениекойто се използва за изграждане на контролни карти, използвани, когато количествен знак. Когато се занимаваме с непрекъсната случайна променлива. Нормалното законодателство за разпространение заема специална позиция сред другите закони. Това се дължи на факта, че първо, най-често срещан на практика и второ, е пределното законодателство, към което другите закони за дистрибуция се приближават с много обичайни типични условия. Що се отнася до второто обстоятелство, в теорията на вероятностите се докаже, че сумата на достатъчно голям брой независими (или слабо зависими) случайни променливи подчиняват на това колко законови на разпределение (при някои много не-твърди ограничения ), приблизително се подчинява на нормалния закон и това е по-точно, толкова по-голям е броят на случайните променливи се сумират. Повечето хора, срещани в практиката на случайни променливи, като грешките на измерване, могат да бъдат представени като сума от много по-голям брой относително малки термини - елементарни грешки, всяка от които е причинена от действието на една причина, независима от остатъка. Нормалното право се проявява в случаите, когато случайна променлива Х. Това е резултат от голям брой различни фактори. Всеки фактор поотделно по величина Х. Той влияе леко и не можете да укажете кой е по-голяма степен от останалите.

Нормална дистрибуция(лаплас Гаус Дистрибуция) - Разпределение на вероятностите на непрекъсната произволна променлива Х. такава, че плътността на вероятностното разпределение, когато - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

Еж (3)

Това означава, че нормалното разпределение се характеризира с два параметъра m и s, където m е математическо очакване; S-стандартно отклонение на нормалното разпределение.

С. 2 - Това е дисперсията на нормалното разпределение.

Математическото очакване m характеризира позицията на дистрибуторския център и стандартното отклонение S (SBE) е характеристика на дисперсията (фиг. 3).

f (x) f (x)

Фигура 3 - Функции на плътността на нормалното разпределение с:

а) различни математически очаквания m; б) различни ски.

Така стойността μ определено от позицията на кривата на разпределение на оста на абсциса. Измерение μ - същото като размерът на произволната променлива Х.. С растежа на математическите очаквания, тълпата на функцията се променя успоредно надясно. С намаляваща дисперсия s 2 Плътността става все по-концентрирана около m, докато функцията за разпространение става по-хладна.

Стойността на σ определя формата на кривата на разпределение. Тъй като площта под кривата на разпределение винаги трябва да остане равна на една, а след това с увеличаване на σ, кривата на разпределение става по-плоска. На фиг. 3.1 показва три криви при различни σ: σ1 \u003d 0.5; σ2 \u003d 1.0; σ3 \u003d 2.0.

Фигура 3.1 - функции на плътността на нормалното разпределение сразлични ски.

Функцията за разпространение (интегрална функция) има формата (фиг. 4):

(4)

Фигура 4 - интегрална (а) и диференциална (б) функция на нормалното разпределение

Особено е важно за линейна трансформация на нормално разпределена случайна променлива. Х.след което се получава случайна променлива Z. С математическо очакване 0 и дисперсия 1. Такава трансформация се нарича rationing:

Може да се извърши за всяка случайна променлива. Създаването позволява всички възможни варианти на нормалното разпределение, за да се намали в един случай: m \u003d 0, s \u003d 1.

Нормално разпределение с m \u003d 0, s \u003d 1 се нарича нормално нормално разпределение (стандартизирано).

Стандартно нормално разпределение (Стандартно разпределение на LAPLAS-GAUSS или нормализирано нормално разпределение) е разпределението на вероятността за стандартизирана нормална променлива Z., чиято плътност на разпространението е:

кога -<z.< + ¥

Функционални стойности F (z) Определено по формулата:

(7)

Функционални стойности F (z) и плътност f (z) Нормализираното нормално разпределение се изчислява и се намалява до таблиците (таблично). Маса, съставена само за положителни стойности z.така:

F (–z) \u003d 1–F (z) (8)

Използвайки тези таблици, можете да определите не само стойностите на функцията и плътността на нормализираното нормално разпределение за посочените z., но и стойностите на функцията на общото нормално разпределение, като:

; (9)

. 10)

В много предизвикателства, свързани с нормално разпределени случайни стойности, е необходимо да се определи вероятността от произволна променлива Х., подчинен на нормалния закон с параметрите m и s, до определена област. Такава секция може да бъде например полето за толерантност към параметъра от горната стойност Улавяне Nizhny. Л..

Вероятност за въвеждане на интервала от х. 1 BE. х. 2 може да се определи по формулата:

По този начин, вероятността от случайни вариации (стойност на параметъра) Х. В полето на толерантността се определя с формулата

Можете да намерите вероятността дадена случайна променлива Х. Оказва се, че е в μ К.с. . Получените стойности за к. \u003d 1.2 и 3 са следните (вижте също на фиг. 5):

Така, ако някоя стойност се появи извън тристранната част, в която има 99,73% от всички възможни стойности, а вероятността за такова събитие е много малко (1: 270), трябва да се има предвид, че разглежданата стойност се обърна да бъде твърде малък или твърде голям. Не заради случайно изменение, но поради съществена намеса в самия процес, може да причини промени в естеството на разпределението.

Нарича се и парцел, разположен в тристранни граници статистическа толерантност подходяща машина или процес.

Пример за файлове

Помислете за нормалното разпределение. Използване на функция MS Excel Norm.rasp () Ние изграждаме графики на разпределителната функция и плътността на вероятността. Нека генерираме масив от случайни числа, разпределени в съответствие с нормален закон, ще оценим параметрите на разпространението, средното и стандартното отклонение .

Нормална дистрибуция (Наричано още разпределение на Гаус) е най-важното, както и на теория, така че в приложенията за управление на приложенията. Значението на смисъла Нормална дистрибуция (инж. Нормално Дистрибуция) В много области на науката следва от теорията на вероятността.

Дефиниция : Случайна стойност Х. Разпределени от Нормален закон Ако има:

Нормална дистрибуция Зависи от два параметъра: μ (MJ) - и σ ( Sigma) - Това е (стандартно отклонение). Параметърът μ определя позицията на центъра Плътност на вероятностите Нормална дистрибуция и σ - разпръснати по отношение на центъра (средата).

Забележка : Върху ефекта на параметрите μ и σ на разпределителната форма се определя в статията за и в. \\ T Примерен файл върху листния ефект на параметрите Можете да пуснете, за да промените формата на кривата.

Нормално разпределение в MS Excel

В г-жа Excel, започвайки през 2010 г., за Нормална дистрибуция Има норма на нормите. ARP (), английски име - norm.dist (), което ви позволява да изчислите Плътност на вероятностите (виж формулата по-горе) и Функция за интегрална дистрибуция (Вероятността, че случайната стойност x, разпределена от Нормален закон ще отнеме стойност по-малка или равна на x). Изчисленията в последния случай са направени по следната формула:

Горното разпространение има обозначение Н. (μ; σ). Също често използват обозначението чрез Н. (μ; σ 2).

Забележка : Към MS Excel 2010 в Excel имаше само функция на Нормал (), която също ви позволява да изчислите функцията за разпространение и плътността на вероятността. NORMRASP (), оставен в MS Excel 2010 за съвместимост.

Стандартно нормално разпределение

Стандартно нормално разпределение Наречен нормална дистрибуция C μ \u003d 0 и σ \u003d 1. Горното разпространение има обозначение Н. (0;1).

Забележка : В литературата за случайна променлива, разпределена от Стандарт Нормален закон Специалното обозначение Z е фиксирано.

Всеки нормална дистрибуция може да се преобразува в стандарт чрез променлива подмяна Z. =( Х. -μ)/σ . Този процес на преобразуване се нарича Стандартизация .

Забележка : MS Excel има функция за нормализация () (), която извършва горното преобразуване. Въпреки че в г-жа Excel тази трансформация се нарича по някаква причина Нормализация . Формули \u003d (x-μ) / σ и \u003d Нормализация (x; μ; σ) Върнете същия резултат.

В MS Excel 2010 за Съществува специална функция на нормите. Str.SP () и нейната остаряла версия на Normstrap (), изпълняваща подобни изчисления.

Ще покажем как процесът на стандартизация се осъществява в MS Excel Нормална дистрибуция Н. (1,5; 2).

За да направите това, изчисляваме вероятността, че произволна променлива разпределена от Нормален закон N (1.5; 2) , по-малко или равно на 2.5. Формулата изглежда така: \u003d Норми. Rasp (2.5; 1.5; 2; истина) \u003d 0.691462. Чрез замяна на променливата Z. =(2,5-1,5)/2=0,5 , Напишете формулата за изчисляване Стандартно нормално разпределение: \u003d Norm.st.rasp (0.5; истина) =0,691462.

Естествено, и двете формули дават същите резултати (виж Пример за пример на листа).

забележи, че Стандартизация само C. (аргумент интеграл равен на истината), а не Плътност на вероятностите .

Забележка : В литературата за функция, която изчислява вероятността от случайна променлива, разпределена от Стандарт Нормален закон Специално обозначение F (Z). В MS Excel тази функция се изчислява по формулата \u003d Norm.st.sp (z; истина) . Изчисленията се правят по формулата

Поради паритета на функцията Дистрибуции F (x), а именно F (x) \u003d F (s), функция Стандартно нормално разпределение Той има свойството F (-X) \u003d 1-F (x).

Обратните функции

Функция Norm.st.sp (x; истина) Изчислява вероятността P, че произволната стойност x ще отнеме стойност по-малка или равна на x. Но често е необходимо да се проведе обратното изчисление: знанието на вероятността p, е необходимо да се изчисли стойността на x. Изчислената стойност на X се нарича Стандарт Нормална дистрибуция .

В MS Excel за изчисляване Клон Използване на функцията на normssstro.ob () и норми.

Функции Графика

Примерният файл съдържа Графика на гъстота на разпределение вероятност I. Функция за интегрална дистрибуция .

Както знаете, около 68% от стойностите, избрани от съвкупния нормална дистрибуция са в рамките на 1 стандартно отклонение (σ) от μ (средно или математическо очакване); Около 95% - в рамките на 2 σ и в рамките на 3 σ вече има 99% от стойностите. Уверете се, че това Стандартно нормално разпределение Можете да напишете формула:

= Norm.st.sprasp (1; истина) -NORM.ST.RASP (-1; истина)

което ще върне стойност от 68.2689% - това е точно процентът на стойностите в рамките на +/- 1 от стандартното отклонение от Средна (см. Графика на графиката в примерния файл).

Поради паритета на функцията Стандартна нормална плътност Разпределение: Е. ( Х.)= Е. (с) функция Стандартно нормално разпределение Той има свойството F (-X) \u003d 1-F (x). Следователно горната формула може да бъде опростена:

= 2 * norm.st.rasp (1; истина) -1

За произволно Функции на нормалното разпределение N (μ; σ) Подобни изчисления трябва да бъдат направени по формулата:

2 * norms.rsp (μ + 1 * σ; μ; σ; истина) -1

Необходими са горепосочените изчисления на вероятностите.

Забележка : За лесно писане, формулите в примерния файл се създават за параметри на разпространение: μ и σ.

Генериране на случайни числа

Нека генерираме 3 масив от 100 номера с различен μ и σ. Да направите това в прозореца Поколение Случайни числа Задайте следните стойности за всяка двойка параметри:

Забележка : Ако зададете опцията Случайно дисперсия ( Случайни семена) Можете да изберете конкретен случайно набор от генерирани числа. Например, като зададете тази опция до 25, можете да генерирате същите набори от случайни номера на различни компютри (освен ако, разбира се, други параметри на разпространение). Стойността на опцията може да има цели стойности от 1 до 32 767. Име на опциите Случайно дисперсия може да обърка. Би било по-добре да го преведете като Задайте номер с случайни числа .

В резултат на това ще имаме 3 колони от числа, въз основа на които можете да оцените параметрите на разпределението, от които е направена пробата: μ и σ . Оценката за μ може да се извърши с помощта на функцията на Srnavov () и за σ - използвайки стандартната функция за столон (), вижте.

Забележка : Да генерира масив от числа, разпределени от Нормален закон , можете да използвате формулата \u003d Норми. Проф (лепило (); μ; σ) . Адхезивната функция () генерира от 0 до 1, което просто съответства на промяната на вероятността (виж Файл Примерно генериране на листа).

Задачи

Задача1. . Фирмата произвежда найлонови нишки със средна якост на 41 MPa и стандартно отклонение на 2 МРа. Потребителят иска да придобие нишки с издръжливост най-малко 36 MPa. Изчислете вероятността автобусите, направени от компанията за потребителя, ще отговарят на изискванията или да ги надвишават. Решение1. : = 1-норми. Колекции (36; 41; 2; истина)

Задача2. . Предприятието произвежда тръби, средният външен диаметър е 20.20 mm и стандартното отклонение е 0.25 mm. Съгласно техническите условия тръбите се разпознават като подходящи, ако диаметърът е в диапазона от 20.00 +/- 0.40 mm. Каква част от произведените тръби прави това? Решение2. : = NORM.RASP (20.00 + 0.40; 20.20; 0.25; истина) - norms.rsp (20.00-0.40; 20.20; 0.25) Фигурата по-долу е подчертана стойностите на областта с диаметър, която отговаря на спецификациите на спецификацията.

Разтворът е даден Б. Пример за по-малко задачи .

Задача3. . Предприятието произвежда тръби, средният външен диаметър е 20.20 mm и стандартното отклонение е 0.25 mm. Външният диаметър не трябва да надвишава определена стойност (предполага се, че долната граница не е важна). Каква горска граница в техническите спецификации трябва да бъде инсталирана така, че 97,5% от всички произведени продукти да го съвпадат? Решение3. : = Норма. Произвеждат (0.975; 20.20; 0.25) \u003d 20,6899 или \u003d Norm.st.ob (0,975) * 0.25 + 20,2 (Направено "обозначение", виж по-горе)

Задача 4. . Намиране на параметри Нормална дистрибуция Чрез стойности от 2 (или). Да предположим, че е известно, че произволната стойност има нормално разпределение, но параметрите му не са известни, но само 2-ри проценти (например 0,5- проценти . Медиана и 0,95г проценти). Като Известен, тогава знаем, т.е. μ. За да намерите, трябва да използвате. Разтворът е даден Б. Пример за по-малко задачи .

Забележка : До момента на MS Excel 2010 в Excel има норми () и Normster () (), които са еквивалентни на нормите. Комуникации () и норми. Normobra () и Normsman () са оставени в г-жа Excel 2010 и над само за съвместимост.

Линейни комбинации от нормално разпределени случайни променливи

Известно е, че линейна комбинация от нормално разпределени случайни променливи Х. ( I.) с параметри μ. ( I.) и σ. ( I.) Той също се разпространява нормално. Например, ако случайната стойност y \u003d x (1) + x (2), тогава y ще има разпределение с параметри μ (1) + μ (2) и Корен (σ (1) ^ 2 + σ (2) ^ 2). Уверете се, че MS Excel.

Определение. Нормалнонаречена разпределение на вероятностите на непрекъсната произволна променлива, която е описана от плътността на вероятността

Нарича се и нормален закон за разпределение право Гауса.

Нормалното законодателство за разпространение заема централно място в теорията на вероятността. Това се дължи на факта, че този закон се проявява във всички случаи, когато случайната стойност е резултат от голям брой различни фактори. Всички други закони за разпространение се приближават към нормалния закон.

Може лесно да се покаже, че параметрите и гъстотата на разпределение са съответно математическото очакване и средното квадратично отклонение на произволната променлива X.

Намерете функцията за разпространение F (x).

Нарича се графика на плътността на нормалното разпределение нормална криваили крива Гаса.

Нормалната крива има следните свойства:

1) Функцията се определя на цялата цифрова ос.

2) за всички х. Функцията за разпространение отнема само положителни стойности.

3) ос o, хоризонталната асимптота на графиката на вероятностната плътност, защото с неограничено увеличение на абсолютната стойност на аргумента х.Стойността на функцията се стреми към нула.

4) Ние намираме екстремалната функция.

Като за y '\u003e 0 за х.< m и y '< 0 за x\u003e М. Тогава в точката x \u003d t. Функцията има максимален равен.

5) функцията е симетрична за директна x \u003d A.като разлика

(x - A.) Включени в функцията за гъстота на разпределение на площада.

6) За да намерите точките на инфлексията на графиката, ние намираме второто производно на функцията за плътност.

За x \u003d M. + S I. x \u003d M. - S Втората дериват е нула и при преминаването през тези точки променя знака, т.е. В тези точки функцията има инфлексия.

В тези точки функционалната стойност е еднаква.

Ние изграждаме графика на функцията за плътност на разпределението.

Графиките са конструирани t. \u003d 0 и три възможни стойности на средното квадратично отклонение s \u003d 1, s \u003d 2 и s \u003d 7. Както може да се види, с увеличаване на стойността на средното квадратично отклонение, графиката става по-нежна и. \\ T Максималната стойност намалява.

Ако но \u003e 0, тогава графикът ще се измести в положителната посока, ако но < 0 – в отрицательном.

За но \u003d 0 и s \u003d 1 извикана крива нормален. Уравнението на нормализираната крива:

За краткост се казва, че сътрудниците на закона n (m, s), т.е. X ~ n (m, s). Параметрите m и s съвпадат с основните характеристики на разпределението: m \u003d m x, s \u003d s x \u003d. Ако sv x ~ n (0, 1), тогава се нарича стандартизирана нормална величина. FR стандартизирана нормална магнитура функция за лапла и посочено като F (x). С него е възможно да се изчислят интервалите за нормалното разпределение n (m, s):

P (x 1 £ x< x 2) = Ф - Ф .

При решаването на задачите към нормалното разпределение често е необходимо да се използват стойностите на таблицата на функцията Лаплас. Тъй като функцията Лаплас е валидна F (s) = 1 - F (x)Тогава е достатъчно да имаш таблични стойности на функцията F (x) Само за положителни стойности на аргумента.

За вероятността за влизане в симетричен по отношение на математическите очаквания, интервалът на формула: p (| x - m x |< e) = 2×F (e / s) - 1.

Централните моменти на нормалното разпределение отговарят на повтарящото съотношение: m n +2 \u003d (n + 1) s 2 m n, n \u003d 1, 2, .... От това следва, че всички централни моменти на нечетния ред са нула (тъй като m 1 \u003d 0).

Намерете вероятността за входяща произволна променлива, разпределена в съответствие с нормален закон в даден интервал.

Обозначаваме

Като Интегралът не се изразява чрез елементарни функции, функцията се взема предвид.

,

което се нарича функция за лаплаили интегрални вероятности.

Стойностите на тази функция при различни стойности х. Разгледани и са дадени в специални таблици.

Графиката на функцията Лаплас е показана по-долу.

Лаплас разполага със следните свойства:

2) F (- х.) \u003d - f ( х.);

Функцията Лаплас също се нарича функция за грешка и обозначи ERF. х..

Все още се използва нормаленфункция Лаплас, която е свързана с функцията Лаплас от съотношението:

Графиката на нормализираната функция на LAPLAS е показана по-долу.

При разглеждане на нормалния закон за разпределение се разпределя важно частно събитие, известно като правило три сигма.

Ние пишем вероятността отклонението на нормално разпределена случайна променлива от математическото очакване да е по-малко от дадена стойност D:

Ако вземете d \u003d 3s, ние получаваме стойностите на функциите на Лаплас с помощта на таблици:

Тези. Вероятността, че произволната стойност ще се отклони от нейното математическо очакване със стойност, по-голяма от стягащото средно квадратично отклонение, е почти равно на нула.

Това правило се нарича правило на три сигма.

Не практикувайте, че се смята, че ако за всяка случайна променлива се извършва правилото от три SIGM, тогава тази случайна стойност има нормално разпределение.

Пример. Влакът се състои от 100 вагона. Маса на всяка кола - произволна променлива, разпределена съгласно нормален закон с математическо очакване но \u003d 65 тона и средно квадратично отклонение S \u003d 0.9 t. Локомотив може да носи маса от не повече от 6600 тона, в противен случай е необходимо да се обучи второто локомотив. Намерете вероятността, че вторият локомотив не се изисква.

Вторият локомотив няма да се изисква, ако отклонението на масата на състава от очакваното (100 × 65 \u003d 6500) не надвишава 6600 - 6500 \u003d 100 тона.

Като Масата на всеки мърша има нормално разпределение, след което масата на целия състав също ще бъде разпределена нормално.

Получаваме:

Пример. Обикновено разпределена случайна вариабилност X се определя от нейните параметри - a \u003d 2 -математическо очакване и S \u003d \u200b\u200b1 - средно квадратично отклонение. Необходимо е да се напише плътност на вероятността и да се изгради своя график, да открие вероятността от интервала (1; 3), да се намери вероятността X да бъде отхвърлен (по модул) от математическото очакване за не Повече от 2.

Плътността на разпределение е:

Изграждане на график:

Намерете вероятността за входящо произволно отклонение към интервала (1; 3).

Ние намираме вероятността за отклонение на случайна променлива от математическото очакване със стойност, не по-голяма от 2.

Същият резултат може да бъде получен, като се използва нормализираната функция на Лаплас.

Лекция 8 Законът на големите числа(Раздел 2)

Планирайте лекции

Централна теорема (обща формулировка и частна формулировка за независими разпределени случайни променливи).

Неравенство на Чебишев.

Законът за големите числа под формата на Чебишев.

Концепцията за честотата на събитията.

Статистическо разбиране на вероятността.

Законът за големите номера под формата на Бернули.

Изследването на статистическите модели позволи да се установи, че при определени условия общото поведение на голям брой случайни променливи почти губи произволен характер и става естествено (с други думи, случайни отклонения от някакво средно поведение са взаимно изплатени). По-специално, ако въздействието върху количеството на индивидуалните условия е равномерно малко, количеството на разпределението на количеството приближава нормалното. Математическата формулировка на това изявление е дадена в група теореми, наречени законът за големите номера.

Законът за големите номера - общия принцип, по силата на който съвместното действие на случайни фактори води до някои много общи условия в резултат на това, което е почти независимо от случая. Първият пример за действието на този принцип е сближаването на появата на произволно събитие с вероятността от увеличаване на броя на тестовете (често се използва на практика, например, когато се използва честотата на настъпване на качеството на всеки респондент пробата като селективна оценка на съответната вероятност).

Същност закон за големите номера Това е, че с голям брой независими експерименти честотата на появата на някакво събитие е близка до вероятността му.

Централната теорема (CPT) (в текста на Ляпунов а.М. за еднакво разпределени SV). Ако двойки независими SV x 1, x 2, ..., xn, ... имат същия закон за разпространение с крайни цифрови характеристики m \u003d m и d \u003d s 2, след това с n ®, законът за разпределение на SV е неограничен приближаващ нормалния закон n (n × m).

Следствие. Ако в състоянието на теоремата , след това при n ® ¥, законът за разпределение на CV Y е неограничен до нормалния закон n (m, s /).

Модерната теорема от Лаплас.Нека SV K са броят на "успеха" в N тестовете според схемата Bernoulli. След това при N ® ¥ и фиксираната стойност на вероятността за "успех" в един тест Р, законът за разпределение на CV K е неограничен до нормалния закон N (n × P,).

Следствие. Ако в състоянието на теоремата, вместо C / N, честотата на "успеха" в N тестовете съгласно схемата Bernoulli, нейният закон за транзакцията с N ® и фиксираната стойност p е неограничен приближаването на нормалния закон n (P,).

Коментар. Нека SV K са броят на "успеха" в N тестовете според схемата Bernoulli. Правото на разпределението на такъв биномен закон. След това, при N ®, биноминът разполага с две гранични разпределения:

n дистрибуция Поясон (за n ® ¥ и l \u003d n × p \u003d const);

n дистрибуция Гауса N (n × p,) (с n ® и p \u003d const).

Пример. Вероятността за "успех" в един тест е само р \u003d 0.8. Колко трябва да тествате тестовете, така че с вероятност най-малко 0,9, можете да очаквате, че наблюдаваната честота на "успех" в тестовете съгласно схемата Bernoulli ще се отклони от вероятността p не повече от e \u003d 0.01?

Решение. За сравнение ще решим проблема по два начина.

В сравнение с други видове разпределения. Основната характеристика на това разпространение е, че всички други закони на разпределенията се стремят към този закон с безкрайно повторение на броя на тестовете. Как се получава това разпространение?

Представете си, че като вземете ръчен динамометър, се намирате на по-младото място на града си. И всеки, който минава покрай, предлагате да измерите силата си, притискайки динамометъра с дясната или лявата ръка. Отчитането на динамометри са спретнато. След известно време, с достатъчно голям брой тестове, поставяте показанията на динамометъра на оста на абсциса и количеството хора, които "притиснати" са свидетелството. Получените точки се присъединиха към гладката линия. Резултатът е кривата, показана на фиг. 9.8. Външният вид на тази крива няма да бъде особено променен чрез увеличаване на времето на опита. Освен това, от известен момент, новите стойности ще определят само кривата, без да променят формата си.

Фиг. 9.8.

Сега ще се движим с нашия динамометър в атлетящата зала и ще повторим експеримента. Сега максималната крива ще се премести надясно, левият край ще бъде малко затегнат, докато десният му край ще бъде по-остър (фиг. 9.9).

Фиг. 9.9.

Обърнете внимание, че максималната честота за второто разпределение (буква б) ще бъде по-ниска от максималната честота на първото разпределение (точка а). Това може да се обясни с факта, че общият брой на хората, посещаващи атлеката, ще бъде по-малък от броя на хората, които са преминали близо до експериментатора в първия случай (в центъра на града на достатъчно човешко място). Максималният изместен вдясно, тъй като атлетичните зали посещават физически по-силни хора в сравнение с общия фон.

И накрая, посетете училището, детските градини и домовете за кърмене със същата цел: да идентифицирате ръцете на посетителите на тези места. И отново кривата на разпространение ще има подобна форма, но сега, очевидно, левият му край ще бъде по-стръмен, а правото е по-затегнато. И както във втория случай, максималният (точка в) ще бъде по-нисък от точката А (фиг. 9.10).

Фиг. 9.10.

Това е чудесно собственост на нормалното разпределение - за да се запази формата на вероятностната гъвкавост на разпределение (Фиг. 8 - 10) е забелязана и описана през 1733 г. от Moavr и след това изследвани от Гаус.

В научни изследвания, в техниката, в масови явления или експерименти, когато става въпрос многократно повтарящи се случайни стойности при постоянни условия на опит, се казва, че резултатите от теста изпитват случайно разсейване, подлежащи на правото на нормалната крива на разпределение

(21)

Къде е най-често срещаното събитие. Като правило във формула (21) вместо параметъра. Освен това, дължината му е експериментална серия, толкова по-малко параметърът ще се различава от математическото очакване. Площта под кривата (фиг. 9.11) е на равна единица. Районът, който отговаря на абсцисания ос на абсциса, е числено равен на вероятността от случаен резултат в този интервал.

Фиг. 9.11.

Функцията на нормалното разпределение има формата

(22)

Обърнете внимание, че нормалната крива (фиг. 9.11) е симетрична по отношение на директна и асимптотично приближаваща оста о, при.

Изчислете математическите очаквания за нормален закон

(23)

Свойства на нормалното разпределение

Помислете за основните свойства на това най-важното разпространение.

Имот 1.. Функцията на плътността на нормалното разпределение (21) на определяне върху цялата ос на абсциса.

Имот 2.. Функцията на плътността на нормалното разпределение (21) е по-голяма от нула за някоя от определената област ().

Имот 3.. С безкрайно увеличение (намаление), разпределителната функция (21) има тенденция към нула .

Имот 4.. С посочената функция за разпространение (21), има най-голяма стойност равна на

(24)

Имот 5.. Функционалната графика (фиг. 9.11) е симетрична за директна.

Имот 6.. Функционалната графика (фиг. 9.11) има две точки на инфлексикална симетрична сравнително права:

(25)

Имот 7.. Всички странни централни моменти са нула. Обърнете внимание, че използването на свойство 7, асиметрията на функцията се определя с формулата. Ако след това се стига до заключението, че изследваното разпределение е симетрично относително право. Ако казват, че ред се измества надясно (по-често десен клон на графиката или затегнат). Ако, тогава се смята, че редът се измества вляво (по-често левият клон на графиките Фиг. 9.12).

Фиг. 9.12.

Имот 8.. Излишъкът от разпределението е 3. Често на практика се изчисляват и в близостността на тази стойност до нула, определяте "компресията" или "размазване" на графиката (фиг. 9.13). И тъй като тя е свързана, тогава в крайна сметка характеризира степента на разсейване на честотата на данните. Както и определя