Методи за решаване на логаритмични уравнения. Логаритми: примери и решения Решаване на логаритмични уравнения в корен
Както знаете, когато се умножават изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b *a c = a b+c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с цели показатели. Именно те послужиха за по-нататъшното откриване на логаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където трябва да опростите тромавото умножение чрез просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. На прост и достъпен език.
Дефиниция в математиката
Логаритъмът е израз на следната форма: log a b=c, т.е. логаритъмът на всяко неотрицателно число (т.е. всяко положително) „b“ спрямо основата му „a“ се счита за степен „c“ ”, до която трябва да се повдигне основата „a”, за да се получи в крайна сметка стойността „b”. Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направим някои изчисления наум, получаваме числото 3! И това е вярно, защото 2 на степен 3 дава отговора като 8.
Видове логаритми
За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три отделни вида логаритмични изрази:
- Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
- Десетично a, където основата е 10.
- Логаритъм на произволно число b при основа a>1.
Всяка от тях се решава по стандартен начин, включващ опростяване, редукция и последваща редукция до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и последователността от действия, когато ги решавате.
Правила и някои ограничения
В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са истината. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече четен корен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да се научите да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:
- Основата „а“ винаги трябва да е по-голяма от нула и да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби значението си, тъй като „1“ и „0“ във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
- ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че „c” също трябва да е по-голямо от нула.
Как се решават логаритми?
Например, дадена е задачата да намерите отговора на уравнението 10 x = 100. Това е много лесно, трябва да изберете степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 = 100.
Сега нека представим този израз в логаритмична форма. Получаваме log 10 100 = 2. При решаването на логаритми всички действия практически се събират, за да се намери степента, на която е необходимо да се въведе основата на логаритъма, за да се получи дадено число.
За да определите точно стойността на неизвестна степен, трябва да се научите как да работите с таблица с градуси. Изглежда така:
Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате технически ум и познаване на таблицата за умножение. Въпреки това, за по-големи стойности ще ви е необходима таблица за мощност. Може да се използва дори от тези, които не разбират нищо от сложни математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степен c, на която е повдигнато числото a. В пресечната точка клетките съдържат числовите стойности, които са отговорът (a c =b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!
Уравнения и неравенства
Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всички математически числови изрази могат да бъдат записани като логаритмично равенство. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм с основа 3 от 81, равен на четири (log 3 81 = 4). За отрицателните степени правилата са същите: 2 -5 = 1/32, записваме го като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения по-долу, веднага след изучаването на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.
Даден е следният израз: log 2 (x-1) > 3 - това е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност “x” е под логаритмичния знак. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.
Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм 2 x = √9) предполагат една или повече конкретни числени стойности в отговора, докато при решаване на неравенство, както обхватът на приемливите стойноститеи точките се определят чрез нарушаване на тази функция. Вследствие на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнение, а непрекъсната серия или набор от числа.
Основни теореми за логаритмите
При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става дума за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще разгледаме примери за уравнения; нека първо разгледаме всяко свойство по-подробно.
- Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само когато a е по-голямо от 0, не е равно на единица, и B е по-голямо от нула.
- Логаритъмът на продукта може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай задължителното условие е: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази логаритмична формула с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, тогава a f1 = s 1, a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства на градуса ), и след това по дефиниция: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
- Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Теоремата под формата на формула приема следния вид: log a q b n = n/q log a b.
Тази формула се нарича „свойство на степента на логаритъм“. Наподобява свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на естествени постулати. Нека да разгледаме доказателството.
Нека log a b = t, оказва се, че a t = b. Ако повдигнем двете части на степен m: a tn = b n ;
но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.
Примери за задачи и неравенства
Най-често срещаните видове задачи за логаритми са примери за уравнения и неравенства. Има ги в почти всички сборници със задачи, а също така са задължителна част от изпитите по математика. За да влезете в университет или да преминете приемни изпити по математика, трябва да знаете как правилно да решавате такива задачи.
За съжаление, няма единен план или схема за решаване и определяне на неизвестната стойност на логаритъма, но определени правила могат да бъдат приложени към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или намален до обща форма. Можете да опростите дълги логаритмични изрази, ако използвате техните свойства правилно. Нека бързо да ги опознаем.
Когато решаваме логаритмични уравнения, трябва да определим какъв тип логаритъм имаме: примерен израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.
Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че те трябва да определят степента, на която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За да решите естествени логаритми, трябва да приложите логаритмични идентичности или техните свойства. Нека да разгледаме примери за решаване на различни видове логаритмични задачи.
Как да използваме логаритмични формули: с примери и решения
И така, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритмите.
- Свойството логаритъм на произведение може да се използва в задачи, при които е необходимо да се разложи голяма стойност на числото b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъм, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Просто трябва да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.
Задачи от Единния държавен изпит
Логаритмите често се срещат в приемните изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит (държавен изпит за всички завършили училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-сложните и обемни задачи). Изпитът изисква точни и завършени познания по темата “Натурални логаритми”.
Примерите и решенията на задачите са взети от официалните версии на Единния държавен изпит. Да видим как се решават такива задачи.
Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4, следователно 2x = 17; х = 8,5.
- Най-добре е да намалите всички логаритми до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
- Всички изрази под знака за логаритъм са посочени като положителни, следователно, когато показателят на израз, който е под знака за логаритъм и като негова основа е изваден като множител, изразът, който остава под логаритъма, трябва да бъде положителен.
Подготовката за финалния тест по математика включва важен раздел - „Логаритми“. Задачите от тази тема задължително се съдържат в Единния държавен изпит. Опитът от минали години показва, че логаритмичните уравнения създават трудности за много ученици. Следователно учениците с различни нива на обучение трябва да разберат как да намерят правилния отговор и бързо да се справят с тях.
Преминете успешно сертификационния тест с помощта на образователния портал Школково!
Когато се подготвят за Единния държавен изпит, зрелостниците се нуждаят от надежден източник, който предоставя най-пълната и точна информация за успешно решаване на тестови задачи. Учебникът обаче не винаги е под ръка, а търсенето на необходимите правила и формули в интернет често отнема време.
Образователният портал на Школково ви позволява да се подготвите за Единния държавен изпит навсякъде и по всяко време. Нашият уебсайт предлага най-удобния подход за повтаряне и усвояване на голямо количество информация за логаритми, както и с едно и няколко неизвестни. Започнете с лесни уравнения. Ако се справите с тях без затруднения, преминете към по-сложни. Ако имате проблеми с решаването на конкретно неравенство, можете да го добавите към любимите си, за да можете да се върнете към него по-късно.
Можете да намерите необходимите формули за изпълнение на задачата, повторение на специални случаи и методи за изчисляване на корена на стандартно логаритмично уравнение, като разгледате раздела „Теоретична помощ“. Учителите в Школково събраха, систематизираха и представиха всички материали, необходими за успешното преминаване в най-простата и разбираема форма.
За да се справите лесно със задачи с всякаква сложност, на нашия портал можете да се запознаете с решението на някои стандартни логаритмични уравнения. За да направите това, отидете в секцията „Каталози“. Имаме голям брой примери, включително уравнения с профилното ниво на Единния държавен изпит по математика.
Ученици от училища в цяла Русия могат да използват нашия портал. За да започнете занятия, просто се регистрирайте в системата и започнете да решавате уравнения. За да консолидирате резултатите, ви съветваме да се връщате ежедневно на уебсайта на Школково.
В този урок ще прегледаме основните теоретични факти за логаритмите и ще разгледаме решаването на най-простите логаритмични уравнения.
Нека си припомним централната дефиниция - дефиницията на логаритъм. Включва решаване на експоненциално уравнение. Това уравнение има един корен, нарича се логаритъм от b по основа a:
определение:
Логаритъмът от b при основа a е степента, до която трябва да се повдигне основа a, за да се получи b.
Нека ви напомним основно логаритмично тъждество.
Изразът (израз 1) е коренът на уравнението (израз 2). Заместете стойността x от израз 1 вместо x в израз 2 и получете основната логаритмична идентичност:
Така че виждаме, че всяка стойност е свързана със стойност. Означаваме b с x(), c с y и по този начин получаваме логаритмична функция:
Например: 
Нека си припомним основните свойства на логаритмичната функция.
Нека отново обърнем внимание тук, тъй като под логаритъма може да има строго положителен израз, като основа на логаритъма.
Ориз. 1. Графика на логаритмична функция с различни основи
Графиката на функцията при е показана в черно. Ориз. 1. Ако аргументът нараства от нула до безкрайност, функцията нараства от минус до плюс безкрайност.
Графиката на функцията при е показана в червено. Ориз. 1.
Свойства на тази функция:
Домейн: ;
Диапазон от стойности: ;
Функцията е монотонна в цялата си област на дефиниция. При монотонно (строго) нарастване по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията. Когато монотонно (строго) намалява, по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.
Свойствата на логаритмичната функция са ключът към решаването на различни логаритмични уравнения.
Нека разгледаме най-простото логаритмично уравнение; всички други логаритмични уравнения, като правило, се свеждат до тази форма.
Тъй като основите на логаритмите и самите логаритми са равни, функциите под логаритъма също са равни, но не трябва да пропускаме областта на дефиницията. Под логаритъма може да се появи само положително число, имаме:
Открихме, че функциите f и g са равни, така че е достатъчно да изберете което и да е неравенство, за да се съобразите с ODZ.
Така имаме смесена система, в която има уравнение и неравенство:
По правило не е необходимо да се решава неравенство, достатъчно е да се реши уравнението и да се заменят намерените корени в неравенството, като по този начин се извърши проверка.
Нека формулираме метод за решаване на най-простите логаритмични уравнения:
Изравняване на основите на логаритмите;
Приравняване на сублогаритмични функции;
Извършете проверка.
Нека разгледаме конкретни примери.
Пример 1 - решаване на уравнението:
Основите на логаритмите първоначално са равни, имаме право да приравняваме подлогаритмични изрази, не забравяйте за ODZ, ние избираме първия логаритъм, за да съставим неравенството:
Пример 2 - решаване на уравнението:
Това уравнение се различава от предишното по това, че основите на логаритмите са по-малки от единица, но това не влияе на решението по никакъв начин:
Нека намерим корена и го заместим в неравенството:
Получихме неправилно неравенство, което означава, че намереният корен не удовлетворява ОДЗ.
Пример 3 - решаване на уравнението:
Основите на логаритмите първоначално са равни, имаме право да приравняваме сублогаритмични изрази, не забравяйте за ODZ, ние избираме втория логаритъм, за да съставим неравенството:
Нека намерим корена и го заместим в неравенството:
Очевидно само първият корен удовлетворява ODZ.
Логаритмични уравнения и неравенствав Единния държавен изпит по математика е посветен на проблем C3 . Всеки ученик трябва да се научи да решава задачи С3 от Единния държавен изпит по математика, ако иска да издържи предстоящия изпит с „добър” или „отличен”. Тази статия предоставя кратък преглед на често срещаните логаритмични уравнения и неравенства, както и основните методи за тяхното решаване.
И така, нека днес разгледаме няколко примера. логаритмични уравнения и неравенства, които бяха предложени на учениците на Единния държавен изпит по математика от предишни години. Но ще започне с кратко обобщение на основните теоретични точки, които ще ни трябват, за да ги разрешим.
Логаритмична функция
Определение
Функция на формата
0,\, a\ne 1 \]" title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Наречен логаритмична функция.
Основни свойства
Основни свойства на логаритмичната функция г=дневник a x:
Графиката на логаритмична функция е логаритмична крива:
Свойства на логаритмите
Логаритъм на произведениетодве положителни числа е равно на сумата от логаритмите на тези числа:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Логаритъм на частнотодве положителни числа е равно на разликата между логаритмите на тези числа:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Ако аИ b а≠ 1, тогава за произволно число r равенството е вярно:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Равенстводневник а T=дневник а с, Където а > 0, а ≠ 1, T > 0, с> 0, валидно тогава и само ако T = с.
Ако а, b, ° Сса положителни числа и аИ ° Сса различни от единица, тогава равенството ( формула за преминаване към нова основа на логаритъм):
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Теорема 1.Ако f(х) > 0 и ж(х) > 0, тогава log на логаритмичното уравнение a f(х) = дневник a g(х) (Където а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на уравнението f(х) = ж(х).
Решаване на логаритмични уравнения и неравенства
Пример 1.Решете уравнението:
Решение.Обхватът на приемливите стойности включва само тези х, за които изразът под знака на логаритъма е по-голям от нула. Тези стойности се определят от следната система от неравенства:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Като се има предвид това
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
получаваме интервала, който определя обхвата на допустимите стойности на това логаритмично уравнение:
Въз основа на теорема 1, всички условия на която са изпълнени тук, ние пристъпваме към следното еквивалентно квадратно уравнение:
Диапазонът от приемливи стойности включва само първия корен.
Отговор:х = 7.
Пример 2.Решете уравнението:
Решение.Диапазонът на приемливите стойности на уравнението се определя от системата от неравенства:
ql-right-eqno">
Решение.Диапазонът на приемливите стойности на уравнението се определя тук лесно: х > 0.
Използваме заместване:
Уравнението става:
Обратно заместване:
И двете отговорса в обхвата на приемливите стойности на уравнението, тъй като са положителни числа.
Пример 4.Решете уравнението:
Решение.Нека започнем решението отново, като определим обхвата на приемливите стойности на уравнението. Определя се от следната система от неравенства:
ql-right-eqno">
Основите на логаритмите са еднакви, така че в диапазона от приемливи стойности можем да продължим към следното квадратно уравнение:
Първият корен не е в обхвата на приемливите стойности на уравнението, но вторият е.
Отговор: х = -1.
Пример 5.Решете уравнението:
Решение.Ще търсим решения между тях х > 0, х≠1. Нека трансформираме уравнението в еквивалентно:
И двете отговорса в обхвата на приемливите стойности на уравнението.
Пример 6.Решете уравнението:
Решение.Системата от неравенства, определяща обхвата на допустимите стойности на уравнението, този път има формата:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Използвайки свойствата на логаритъма, трансформираме уравнението в уравнение, което е еквивалентно в диапазона от приемливи стойности:
Използвайки формулата за преминаване към нова основа на логаритъм, получаваме:
Диапазонът от приемливи стойности включва само една отговор: х = 4.
Нека сега да преминем към логаритмични неравенства . Точно с това ще трябва да се справите на Единния държавен изпит по математика. За да разрешим други примери, се нуждаем от следната теорема:
Теорема 2.Ако f(х) > 0 и ж(х) > 0, тогава:
при а> 1 логаритмично неравенство log a f(х) > log a ж(х) е еквивалентно на неравенство със същото значение: f(х) > ж(х);
на 0< а < 1 логарифмическое неравенство log a f(х) > log a ж(х) е еквивалентно на неравенство с противоположно значение: f(х) < ж(х).
Пример 7.Решете неравенството:
Решение.Нека започнем с определяне на обхвата на приемливите стойности на неравенството. Изразът под знака на логаритмичната функция трябва да приема само положителни стойности. Това означава, че необходимият диапазон от приемливи стойности се определя от следната система от неравенства:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Тъй като основата на логаритъма е число, по-малко от едно, съответната логаритмична функция ще бъде намаляваща и следователно, съгласно теорема 2, преходът към следното квадратно неравенство ще бъде еквивалентен:
Накрая, като вземем предвид диапазона от приемливи стойности, получаваме отговор:
Пример 8.Решете неравенството:
Решение.Нека започнем отново, като дефинираме диапазона от приемливи стойности:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
На множеството от допустими стойности на неравенството извършваме еквивалентни трансформации:
След редукция и преход към неравенството, еквивалентно на теорема 2, получаваме:
Като вземем предвид обхвата на приемливите стойности, получаваме окончателния отговор:
Пример 9.Решете логаритмично неравенство:
Решение.Диапазонът на допустимите стойности на неравенството се определя от следната система:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Вижда се, че в диапазона от приемливи стойности изразът в основата на логаритъма винаги е по-голям от единица и следователно, съгласно теорема 2, преходът към следното неравенство ще бъде еквивалентен:
Като вземем предвид обхвата на допустимите стойности, получаваме крайния отговор:
Пример 10.Решете неравенството:
Решение.
Диапазонът на допустимите стойности на неравенството се определя от системата от неравенства:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Метод IНека използваме формулата за преход към нова основа на логаритъма и да преминем към неравенство, което е еквивалентно в диапазона от приемливи стойности.
Математиката е повече от наука, това е езикът на науката.
Датският физик и общественик Нилс Бор
Логаритмични уравнения
Сред типичните задачи, предлагани при приемни (състезателни) тестове, са задачите, свързани с решаването на логаритмични уравнения. За да решите успешно такива задачи, трябва да имате добри познания за свойствата на логаритмите и да имате уменията да ги използвате.
Тази статия първо представя основните понятия и свойства на логаритмите., и след това се разглеждат примери за решаване на логаритмични уравнения.
Основни понятия и свойства
Първо, представяме основните свойства на логаритмите, използването на които позволява успешно решаване на относително сложни логаритмични уравнения.
Главното логаритмично тъждество се записва като
, (1)
Сред най-известните свойства на логаритмите са следните равенства:
1. Ако , , и , тогава , ,
2. Ако , , и , то .
3. Ако , , и , то .
4. Ако , , и естествено число, Че
5. Ако , , и естествено число, Че
6. Ако , , и , то .
7. Ако , , и , то .
По-сложните свойства на логаритмите се формулират чрез следните твърдения:
8. Ако , , , и , тогава
9. Ако , , и , тогава
10. Ако , , , и , тогава
Доказателството за последните две свойства на логаритмите е дадено в учебника на автора „Математика за гимназисти: допълнителни раздели на училищната математика“ (М.: Lenand / URSS, 2014).
Също така си струва да се отбележикаква е функцията се увеличава, ако , и намаляваща , ако .
Нека да разгледаме примери за задачи за решаване на логаритмични уравнения, подредени в ред на нарастваща трудност.
Примери за решаване на проблеми
Пример 1. Решете уравнението
. (2)
Решение.От уравнение (2) имаме . Нека трансформираме уравнението, както следва: , или .
защото, тогава коренът на уравнение (2) е.
Отговор: .
Пример 2. Решете уравнението
Решение. Уравнение (3) е еквивалентно на уравненията
Или .
От тук получаваме.
Отговор: .
Пример 3. Решете уравнението
Решение. От уравнение (4) следва, Какво . Използване на основната логаритмична идентичност (1), можем да пишем
или .
Ако поставите тогава от тук получаваме квадратно уравнение, който има два коренаИ . Въпреки това, следователно и подходящ корен на уравнениетое само . Тъй като , тогава или .
Отговор: .
Пример 4. Решете уравнението
Решение.Диапазон от допустими стойности на променливатав уравнение (5) са.
Нека бъде . Тъй като функциятав областта на дефиницията намалява, и функцията нараства по цялата числова ос, тогава уравнението не може да има повече от един корен.
Чрез селекция намираме единствения корен.
Отговор: .
Пример 5. Решете уравнението.
Решение.Ако двете страни на уравнението се вземат логаритмично при основа 10, тогава
Или .
Решавайки квадратното уравнение за , получаваме и . Следователно тук имаме и .
Отговор: , .
Пример 6. Решете уравнението
. (6)
Решение.Нека използваме идентичност (1) и преобразуваме уравнение (6), както следва:
Или .
Отговор: , .
Пример 7. Решете уравнението
. (7)
Решение.Като вземем предвид свойство 9, имаме . В тази връзка уравнението (7) приема формата
От тук получаваме или .
Отговор: .
Пример 8. Решете уравнението
. (8)
Решение.Нека използваме свойство 9 и пренапишем уравнение (8) в еквивалентна форма.
Ако тогава обозначим, тогава получаваме квадратно уравнение, Където . Тъй като уравнениетоима само един положителен корен, тогава или . Това предполага .
Отговор: .
Пример 9. Решете уравнението
. (9)
Решение. Тъй като от уравнение (9) следватогава тук. Според имот 10, може да се запише.
В това отношение уравнение (9) ще бъде еквивалентно на уравненията
Или .
От тук получаваме корена на уравнение (9).
Пример 10. Решете уравнението
. (10)
Решение.Диапазонът на допустимите стойности на променливата в уравнение (10) е. Според свойство 4, тук имаме
. (11)
Тъй като , тогава уравнение (11) приема формата на квадратно уравнение, където . Корените на квадратно уравнение са и .
Тъй като , тогава и . От тук получаваме и .
Отговор: , .
Пример 11. Решете уравнението
. (12)
Решение.Нека обозначим тогава и уравнение (12) приема формата
Или
. (13)
Лесно се вижда, че коренът на уравнение (13) е . Нека покажем, че това уравнение няма други корени. За да направите това, разделете двете страни на и получете еквивалентното уравнение
. (14)
Тъй като функцията е намаляваща, а функцията нараства по цялата числена ос, тогава уравнение (14) не може да има повече от един корен. Тъй като уравнения (13) и (14) са еквивалентни, уравнение (13) има един корен.
Тъй като , тогава и .
Отговор: .
Пример 12. Решете уравнението
. (15)
Решение.Нека означим и . Тъй като функцията намалява в областта на дефиниция, а функцията нараства за всякакви стойности, уравнението не може да има същия корен. Чрез директен избор установяваме, че желаният корен на уравнение (15) е .
Отговор: .
Пример 13. Решете уравнението
. (16)
Решение.Използвайки свойствата на логаритмите, получаваме
От тогава и имаме неравенство
Полученото неравенство съвпада с уравнение (16) само в случай, когато или .
Чрез заместване на стойносттав уравнение (16) сме убедени, че, Какво е неговият корен.
Отговор: .
Пример 14. Решете уравнението
. (17)
Решение.Тъй като тук , тогава уравнение (17) приема формата .
Ако поставим , тогава получаваме уравнението
, (18)
Където . От уравнение (18) следва: или . Тъй като уравнението има един подходящ корен. Обаче затова.
Пример 15. Решете уравнението
. (19)
Решение.Нека означим , тогава уравнение (19) приема формата . Ако вземем това уравнение при основа 3, получаваме
Или
От това следва, че и . Тъй като , тогава и . В тази връзка и.
Отговор: , .
Пример 16. Решете уравнението
. (20)
Решение. Да въведем параметъраи пренапишете уравнение (20) във формата на квадратно уравнение по отношение на параметъра, т.е.
. (21)
Корените на уравнение (21) са
или , . Тъй като имаме уравнения и . От тук получаваме и .
Отговор: , .
Пример 17. Решете уравнението
. (22)
Решение.За да се установи областта на дефиниране на променливата в уравнение (22), е необходимо да се разгледа набор от три неравенства: , и .
Прилагане на свойство 2, от уравнение (22) получаваме
Или
. (23)
Ако в уравнение (23) поставим, тогава получаваме уравнението
. (24)
Уравнение (24) ще бъде решено, както следва:
Или
От това следва, че и , т.е. уравнение (24) има два корена: и .
Тъй като , тогава , или , .
Отговор: , .
Пример 18. Решете уравнението
. (25)
Решение.Използвайки свойствата на логаритмите, трансформираме уравнение (25), както следва:
, , .
От тук получаваме.
Пример 19. Решете уравнението
. (26)
Решение.От тогава.
След това имаме. следователно равенство (26) е изпълнено само ако, когато двете страни на уравнението са равни на 2 едновременно.
По този начин , уравнение (26) е еквивалентно на системата от уравнения
От второто уравнение на системата получаваме
Или .
Лесно се виждакакво е значението също удовлетворява първото уравнение на системата.
Отговор: .
За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на логаритмични уравнения можете да се обърнете към учебниците от списъка с препоръчителна литература.
1. Кушнир А.И. Шедьоври на училищната математика (задачи и решения в две книги). – Киев: Астарта, кн.1, 1995. – 576 с.
2. Сборник задачи по математика за кандидати в колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.
3. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. – 216 с.
4. Супрун В.П. Математика за гимназисти: задачи с повишена сложност. – М.: CD “Либроком” / URSS, 2017. – 200 с.
5. Супрун В.П. Математика за гимназисти: нестандартни методи за решаване на задачи. – М.: CD “Либроком” / URSS, 2017. – 296 с.
Все още имате въпроси?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Зареждане...