Конвергенция и дивергенция на вътрешните интеграли. Невалидни интеграли

Примери за изследване на неправилни интеграли за конвергенция

Пример 1.
.

Така, този интеграл се слива при\u003e 1 и се разсейва в £ 1.

Пример 2. Разгледайте сближаването. Изчислете интеграла по дефиниция:
.

Така, този интеграл се сближава, когато a<1 и расходится при a³1.

Пример 3. Разгледайте конвергенцията .

<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

Конвергенцията на първия интеграл I1 изследва използването на еквивалентна функция: (t. N\u003e 0) и интеграл се сближават при m\u003e -1 (Пример 2). По същия начин, за интегрални I2:

И интеграл се сближават на m + n<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 и m + n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

Пример 4. Разгледайте сближаването.

Интегрираната функция може да бъде безкрайно голяма (ако m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

Тъй като ARCTGX »X на X®0, тогава интегралът I1 е еквивалентен на интеграла, който се превръща в m + 1\u003e -1 i.e. при m\u003e -2 (пример1).

За интегративната функция в несъвместимия интеграл от първия вид I2 ще изберем еквивалент:

T. K. ARCTGX »P / 2 с x® ¥. Следователно, според втория знак за сравнение, интегралът I2 ще бъде сближен на m + n<-1, и расходится в противном случае.

Комбиниране на условия за сближаване на интегралите I1 и I2 Получаваме условията за сближаване на оригиналния интеграл: m\u003e -2 и m + n<-1 одновременно.

Коментар. В примери 2-4 се използват 2 признаци на сравнение, което осигурява необходимите и достатъчни условия за сближаване, което позволява, поставяйки конвергенцията в определено състояние на стойностите на параметрите, да не се доказва интегралното отклонение в нарушаването на условията на конвергенция.

Пример 5. Разгледайте сближаването.

Този интеграл съдържа специална точка 0, в която функцията Integand може да се превърне в безкрайност при p<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

I1 Integral е несъвместим интеграл на втория род, а функцията за интегриране е еквивалентна на X®0 XP (E-X ®1 при X®0), т.е. I1 се превръща в p\u003e -1 (Пример 1).

I2 интегралът е несъвместим интеграл от първия вид. Изберете функция, която е еквивалентна на интегрираната функция, така че да не съдържа индикативна функция, тя се проваля. Следователно, за да се използва знак за сравнение 2, както в предишните примери, това е невъзможно. Прилагайте първия знак за сравнение, за който използваме следния добре известен факт:

С\u003e 0 и всеки стр. От това и фактът, че функцията XPE-AX е непрекъсната, следва, че тази функция е ограничена, т.е. има такава константа m\u003e 0, че XPE-AX< M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:

Това означава, че I2 интеграл се сгъва във всеки п.

По този начин първоначалният интеграл се сгъва при P\u003e -1.

Пример 6. Разгледайте сближаването.

Ще заменим променливата: t \u003d lnx и get

Разделянето на интеграла на две се произвежда по аналогично на пример 5. Интеграл I1 е напълно еквивалентен на интегралния I1 от пример 5 и следователно се сближава, когато q<1.

Разгледайте интегралната I2. Предостави 1-p<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения и a \u003d (1-p) / 2.).

Така, i2 се сближава при p\u003e 1. Въпреки това, по това проучване на конвергенцията на този интеграл не е завършен, тъй като използваният знак за сближаване дава само достатъчно условия за сближаване. Ето защо е необходимо да се изследва конвергенцията при 1-P £ 0.

Помислете за случая p \u003d 1. Тогава I2 интегралът е еквивалентен, който се приближава при Q\u003e 1 (отбелязваме, че в този случай интегралът I1 е отклонителен) и се разпръсква по друг начин.

В P.<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что При 1-p\u003e 0 и следователно, започвайки от някои a\u003e 1. T.- Q.Д.(1- Пс.) T. ³ m \u003d const\u003e 0. Тогава за I2 интеграл е валиден

,

Където интеграл в правилната част е разсеяна, която доказва разликата на интегралната I2.

Обобщавайки получените резултати, ние получаваме, че източникът се сгъва, когато q<1 и p>1, в противен случай интегралът се различава.

Пример 6. Разгледайте абсолютната и условна конвергенция.

Тежка оригиналния интеграл на две:

.

Конвергенция. Интегрален I1 еквивалент , т.е.<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

Интеграл I2 се слива на знака на Дирихлеба-Абел при P\u003e 0 t. Първият sin (x) е ограничен и функцията 1 / xp монотонно има тенденция да нула с X-X са склонни към безкрайност.

Ние показваме, че в P паунда Integral се отклоняват. Ние използваме критерия за това, или по-скоро чрез отказ

.

Вземете следните стойности като R1i R2: R1 \u003d 2PK и R2 \u003d 2PK + P / 2, след това

, с p\u003e 0.

По този начин, интегралът се слива на 0

Абсолютна конвергенция Абсолютната конвергенция на интегралната I1 вече е установена, помислете за абсолютната конвергенция на I2. Ние оценяваме интеграла отгоре:

, т.е. интеграл се сгъва в p\u003e 1.

Да докажем разликата в P £ 1, оценяваме интеграла от дъното

.

Ние прекъсваме последния интеграл от разликата в функциите за разликата в интегралите

.

Ако и двата интеграла се сближат, интеграл на разликата се сближи, ако един от интегралите се различава, а другият се сгъва - тогава интегралът е отделен от разликата. В случай на отклонение на двата интеграла, сближаването на интеграла на разликата подлежи на по-нататъшно проучване. Ние се интересуваме от второто от описаните случаи.

Различен (пример 1) при p<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p\u003e 0 (виж конвергенция), затова интегралът се оценява на дъното с различен интеграл, т.е. той е разпръснат.

Случаят с P³1 не ни интересува, тъй като тези стойности на параметъра интеграл се различават.

Така първоначалният интеграл се сгъва абсолютно в 0

Теорема 12.11 (знак за сравнение на вътрешните интеграли). Нека функциите f (x) и g (x) са непрекъснати на интервала [a, "\u003e) и отговарят на състоянието на 0 фиксиране)? (X). След това от конвергенцията на интеграла

това следва сближаването на интегралите

обратно, интегралното отклонение (12.64) трябва да включва интегрално отклонение (12.63).

Доказателства. Въвеждаме нотация:

Функция P (k) е несъвместима; Всъщност, ако и I 2, тогава

Й. fix) Dx\u003e 0, и след това

Вземете последователността на стойностите (/? ") -\u003e"\u003e; След това съответната последователност на функционалните стойности (F (r n)) е монотонен и незабележим. Нека интеграл (12.63) се приближава, след това последователността (67 ( R. ))) Limited; Но след това ограничена и последователност (F. (/? ")), Така че, по силата на теорема 7.13, тя се сближава. Следователно има ограничение F (r) за R. - + "\u003e, т.е. Интеграл (12.64) се сближава.

Сега ще докажем втората част на теоремата; Нека интеграл (12.64) разсея. Ако приемете, че интеграл (12.63) се сближава, след това върху доказания над интеграл (12.64) трябва също да се сближи, което противоречи на състоянието. Теорема се доказва. ?

Коментар. Подобен знак за сравнение също е справедлив за неправилни интеграли от втория вид. Ако функции / (x) и г. (х) Непрекъснато на полу-интервал [A\u003e b) и за всички точки в някои квартали на специална точка б. Завършен

условия 0. (x), след това от конвергенцията на интегралната JG (x) dx следва

мостът на интегралната J / (x) dx и от различията на интегралния J / (x) dx -

моста на интегралната JG (x) dx.

Разгледайте примери за изследване на сближаването на вътрешните интеграли.

Пример 27. t. ^ -.

X 3 (1 + e l)

Решение. Сравнете интегрираната функция в този интеграл с функцията

ГД. Очевидно, за - - -

х. g * (1 + 0 x j

коуст J-JDX се сгъва; Следователно, поради признак за сравнение и Дан - 1 Х.

nY интеграл.

Пример 28. I-.

Решение. Сравняване на интегралната функция на този интеграл с функция от 1 / x,

виждаме това (1 + в x) / x\u003e 1 / x на интервала 1

следователно този интеграл се основава и на знак за сравнение.

В заключение, ние даваме без доказателство критерий за конвергенция на Cauchy на непоследователния интеграл от първия вид.

12.10.4. Абсолютно и условно сближаване на вътрешните интеграли

Дефиниция 5. Присвояван enthegl j / (x) dx се нарича абсолютно

конвергентАко интегралът J | / (x) се сближава | DX.

Определение 6. Невидим интеграл J / (x) dx се нарича условно заседание

носенеАко се сближи, и интегралът J | / (x) | DX се различава.

Отбележете, че от абсолютната сближаване на интеграла и нейното сближаване поради оценката на трите специфични интегрални и Cauchy crycention.

Theorem 12.13 (знак на Дирихлеба - ABEL *). Нека функцията / (x) е непрекъсната и има ограничен примитивен Е. (x) В интервала [a, "\u003e) и функцията g (x) има непрекъснато производно на тази празнина, не се увеличава и се стреми за нула при x -\u003e © за. Тогава въображаем интеграл

сближаване.

Доказателства. Приложете интегриране в части към интегралния J / (x) g (x) dx

на произволно рязане R r от [ но, °°). Ние имаме:

Теорема 12.12. За сближаване на интеграла на имунитета (12.64) е необходимо и достатъчно, за да се намери такъв номер за всеки E\u003e 0 НО \u003e 0, какво за всеки R и /? НО, Извършва се неравенство:

Чрез теорема за състоянието F (x) Ограничен, т.е. | F (x) | K. Функцията g (x) не се увеличава и има тенденция да нула при x - ""\u003e, това означава. g (x) \u003e 0, a g "(x)

Абел Нилс Хенрик (1802-1829) - Норвежки математик.

Тъй като при условие на теорема g (x) - "0 при x -\u003e © °, за произволен номер e\u003e 0 може да се намери A\u003e. такова R 'L. Ще се извърши неравенство g (r ") заместване на това в оценката (12.68), получаваме:

това, което съответства на любопитния критерий за интегралното сближаване (12.66). Теорема се доказва. ?

Помислете за примерите за използване на функцията на сближаването на вътрешните интеграли на Дирико.

Пример 29. f ^^ dx, a\u003e 0.

Решение. Put / (x) \u003d sin x g (x) \u003d L / x "; лесно е да се гарантира, че са направени всички условия на теоремата, т.е. този интеграл се сближи. Когато a\u003e 1 този интеграл

rAL се слива абсолютно. Наистина, | грях x / XP 1 / D L, Integral J (L / x E) DX

скорост, т.е. Според сравнение (теорема 12.11), този интеграл се сближава.

Пример 30. JSIN X 2 DX - FRESNEL интеграл,

Решение. Представете си този интеграл под формата на сумата:

Тъй като SIN X 2 е непрекъсната функция на сегмента (0, 1J, съществува първият интеграл в (12.69). За да се определи сближаването на несъвместимия интеграл в дясната страна (12.69), ние поставяме / (x) \u003d x sin 2, г. (x) \u003d 1 / x. След това за функцията / (x) примитивна F (x) = -COSX 2 /! Той е ограничен до интервала | 1, "\u003e), и # (x) е положителен, има тенденция да нула при x -" °° и има непрекъснато производно на (1, © o). Това означава въз основа на Дирихле - Авел, вторият интеграл в (12.69) сгъстяване, т.е. Фрейнел интеграл също се слива.

Както знаете, намирането на интеграла може да бъде доста сложна задача. Това би било голямо разочарование да се направи изчисляване на несъвместим интеграл и да открие в края на начина, по който разсее. Следователно, методите позволяват, без сериозно изчисление, в един вид функции, да направят заключение за конвергенция или дивергенция на непълна интеграл. Първите и второто сравнение теореми, които ще бъдат обсъдени по-долу, до голяма степен помагат да се проучат непълни интеграли за сближаване.

Нека f (x)? 0. Тогава функции

са монотонно увеличаващи се от променливи t или-d (докато приемаме d\u003e 0, тя се стреми да нулира отляво). Ако с увеличаване на аргументите на функцията F 1 (t) и F 2 (-d) остават ограничени от по-горе, това означава, че съответните неразбираеми интеграли се сближават. Това се основава на първото сравнение на теорема за интеграли от неотрицателни функции.

Да предположим за функцията F (x) и g (x) с x? Условия:

• 1) 0? F (x)? G (x);
• 2) Функции f (x) и g (x) са непрекъснати.

След това от сближаването на интеграла следва конвергенцията на интеграла и разликата от интеграла трябва да бъде

Тъй като 0? F (x)? G (x) и функции са непрекъснати, тогава

Чрез състояние, интегралното сгъване, т.е. Той има крайната величина. Следователно, интегралните сгъстрици също.

Нека интегралът сега се различава. Да предположим, че интегралните се сближават, но тогава интегралът трябва да се сближи, което противоречи на състоянието. Нашето предположение е неправилно, интегралното отклонение.

Теоремата за сравнение за неподходящи интегрални в 2-ри вид.

Да предположим за функции F (x) и g (x) върху пропастта, все по-често се увеличава с x\u003e +0. За нея при неравенство x\u003e +0<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

Теорема за сравнение за неправилни интеграли на първия род.

Да предположим за функцията f (x) и g (x) на интервала, а интерком сегментът е крайният, т.е. числата са ограничени, а не безкрайност. Някои задачи водят до необходимостта да се откажат от тези ограничения. Така се появяват необходимите интеграли.

Геометрично значение на несъвместим интеграл Оказва се доста прост. В случая, когато функцията за график y. = е.(х.) Намира се над ос Вол. Дефинираният интеграл изразява площта на криволинейния трапек, ограничена крива y. = е.(х.) Ос на абсциса и поръчки х. = а. , х. = б. . На свой ред, неподходящият интеграл изразява площта на неограничен (безкраен) криволинеен трапец, сключен между линиите y. = е.(х.) (на фигурата по-долу - червено), х. = а. и ос абсциса.

По същия начин се определят несъвместими интеграли и за други безкрайни интервали:

Площта на безкрайна криволинеен трапец може да бъде краен номер и в този случай неизменният интеграл се нарича конвергент. Районът може да бъде безкрайност и в този случай неизменният интеграл се нарича различен.

Използвайте интегралната граница вместо най-несъвместимия интеграл. За да изчислим несъвместимия интеграл, трябва да използвате границата на конкретен интеграл. Ако този лимит съществува и е ограничен (не е равен на безкрайността), тогава един невероятен интеграл се нарича сближаване и в противен случай - различава се. Каква променлива се стреми към знак за лимит, зависи от това дали имаме случая с несъвместим интеграл от първия или втори вид. Сега ще разберем за това.

Интегрални интеграли от първия вид - с безкрайни граници и тяхното сближаване

Ненадбрани интеграли с безкрайна горна граница

Така че записът на интеграла на имунитета е различен от обичайния определено неразделна част от факта, че границата на горната интеграция е безкрайна.

Определение. Невалиден интеграл с безкрайна горна граница на интеграция от непрекъсната функция е.(х.) На интервала от а. преди ∞ наречена граница на интеграла на тази функция с горната граница на интеграция б. и по-ниска граница на интеграция а. при условие, че горната граница на интеграция е неопределено.

.

Ако това ограничение съществува и е равно на някакъв брой, а не безкрайност, тогава входящият интеграл се нарича конвергенти номера, до който границата е равна на нейната стойност. В противен случай участващият интеграл се нарича различен И той не приписва никакво значение.

Пример 1. Изчислете несъвместимия интеграл (ако се сближи).

Решение. Въз основа на определението за несъвместим интеграл, ние откриваме

Тъй като лимитът съществува и е равен на 1, тогава включваше интеграл и равно на 1.

В следващия пример функцията за интегриране е почти както в пример 1, само степента на ICA не е два пъти, но буквата на алфа, но задачата е да проучи непълна интегрална за сближаване. Това е, за да отговорим на въпроса: при какви стойности на алфа, този входящ интеграл се сгъва и в това, което се различава?

Пример 2. Да се \u200b\u200bизследват сближаването на неразделността на неподвижност (По-ниската интеграционна граница е по-голяма от нула).

Решение. Да предположим първо, че тогава

В резултатния израз се обръщаме към лимита, когато:

Лесно е да се види, че границата в дясната част съществува и е нула, когато това е, няма, когато това е така.

В първия случай, т.е. когато има място. Ако тогава И няма.

Оттеглянето на нашето изследване е следното: това включваше интеграл В I. различни в.

Прилагане към представения вид вътрешна интегрална формула Newton-Leibnia , Можете да изтеглите следната формула, много подобна на нея:

.

Това е обобщената формула на Нютон Labitsa.

Пример 3. Изчислете несъвместимия интеграл (ако се сближи).

Границата на този интеграл съществува:

Вторият интеграл, съставляващ сумата, изразяваща първоначалния интеграл:

Границата на този интеграл също съществува:

.

Ние намираме сумата от два интеграла, която е и стойността на първоначалния несъвместим интеграл с две безкрайни граници:

Ненадмините интеграли от втория вид - от неограничени функции и тяхното сближаване

Нека функцията е.(х.) на сегмента от а. преди б. И неограничен от него. Да предположим, че функцията се обръща безкрайност в точката б. , докато във всички останали точки на сегмента той е непрекъснат.

Определение. Несъвместима интегрална функция е.(х.) На разстояние от а. преди б. наречена граница на интеграла на тази функция с горната граница на интеграция ° С. Ако с преследване ° С. да се б. Функцията се увеличава за неопределено време и в точката х. = б. Функцията не е дефинирана.

.

Ако това ограничение съществува, входящият интеграл на втория вид се нарича сближаване, в противен случай се различава.

Използването на формула "Нютон-Лалер", ние извличаме.