Интеграция в части от фракцията. Интегриране на фракционна рационална функция

Както отбелязах, няма удобна формула за интегриране на фракцията в цялостното изчисление. И затова има тъжна тенденция: "процъфтяващата" фракция, толкова по-трудно е да се намери неразделна част от нея. В това отношение трябва да прибягвате до различни трикове, които ще кажа сега. Подготвените читатели могат незабавно да се възползват офис на масата:

Спестяване на диференциален знак за знак за най-простите фракции

Метода на изкуствена трансформация на числителя

Пример 1.

Между другото, разглежданият интеграл може да бъде решен и методът за замяна на променливата, обозначаващ, но записът на решението ще бъде много по-дълъг.

Пример 2.

Намерете неопределен интеграл. Извършете чек.

Това е пример за независимо решение. Трябва да се отбележи, че методът за подмяна на променливата вече няма да мине.

Внимание! ПРИМЕРИ Номер 1,2 са типични и често се случват. Включването на подобни интеграли често се появяват по време на решаването на други интеграли, по-специално при интегриране на ирационални функции (корени).

Полученото приемане също работи в случая ако по-старата степен на числителя, повече от старша степен на знаменател.

Пример 3.

Намерете неопределен интеграл. Извършете чек.

Започваме да блъскаме число.

Алгоритъмът за избор на селектор е приблизително подобен:

1) В цифроратора трябва да се организирам, но там. Какво да правя? Завършвам в скоби и умножавам :.

2) Сега се опитайте да разкриете тези скоби, какво ще се случи? . Хмм ... вече по-добре, но няма двойки с оригинален номер в числителя. Какво да правя? Трябва да доминират:

3) Отново разкривам скобите :. И тук е първият успех! Правото се оказа! Но проблемът е, че несъответствието се е появило. Какво да правя? Така че изразът не се е променил, трябва да добавя към моя дизайн е:
. Живото е станало по-лесно. Възможно ли е отново да се организира в числителя?

4) може да бъде. Опитваме: . Разкриват скоби от втория мандат:
. Съжалявам, но наистина имах в предишната стъпка, а не. Какво да правя? Трябва да умножите втория срок на:

5) Рестотна скоби във втория мандат:
. Сега е нормално: получено от крайния дизайн на параграф 3! Но отново има малък "но", разминаването се появява, това означава, че трябва да добавя към моя израз:

Ако всичко е направено правилно, след това, когато разкриването на всички скоби, трябва да имаме цифров източник на източник функция. Проверка:
Качулка.

По този начин:

Готов. В последния термин, приложих метод за обобщаване на функция за разликата.

Ако намерите производно на отговора и доведете израз на общ знаменател, тогава ще се окажем точно първоначалната функция на интеграция. Разглежданият метод за разлагане в сумата не е нищо друго освен обратния ефект за повдигане на експресията към общия знаменател.

Алгоритъмът за избор в такива примери е най-добре направен по проекта. В някои умения ще бъде и психически. Спомням си калъф за реч, когато изиграх селекцията за 11-та степен, и разлагането на числителя отне почти две линии Vodo.

Пример 4.

Намерете неопределен интеграл. Извършете чек.

Това е пример за независимо решение.

Спестяване на диференциален знак за знак за най-простите фракции

Превръщаме се към разглеждането на следния вид фракции.
,,, коефициентите не са равни на нула).

Всъщност няколко случая с Arksinus и Arctgennes вече са се подхлъзнали в урок. Метод за замяна на променлива в неопределен интеграл. Такива примери се решават от пътя за обобщаване на функцията на диференциал и по-нататъшна интеграция, използвайки таблицата. Тук все още са типични примери с дълъг и висок логаритъм:

Пример 5.

Пример 6.

Тук е препоръчително да се вземе таблица на интегралите и следите, за които формули и като Извършва се трансформация. Забележка, как и защо В тези примери се разпределят квадрати. По-специално, в Пример 6, първо трябва да изпратите знаменател под формата на , след това донесе под знака на диференциал. И това е необходимо, за да се възползвате от стандартната формула за таблици .

Да, какво да погледнете, опитайте се да решавате примери №7,8, особено, те са достатъчно къси:

Пример 7.

Пример 8.

Намерете неопределен интеграл:

Ако успеете да извършите повече проверка на тези примери, тогава голямото уважение е уменията ви за диференциация на височината.

Пълна квадратна изолация

Интеграли на формуляра (коефициенти и не е равна нула) са решени метод за разпределение на пълен квадраткоито вече се появяват в урока Геометрични трансформации на диаграма.

Всъщност такива интеграли се свеждат до един от четирите таблични интеграла, които току-що разгледахме. И това се постига с помощта на познати формули на съкратено умножение:

Формулите се използват именно в тази посока, т.е. идеята за метода е изкуствено организиране на изрази в знаменателя или и след това и след това да ги конвертира според двете.

Пример 9.

Намери неопределен интеграл

Това е най-простият пример, в който с Slink - един коефициент (а не някакъв брой или минус).

Ние гледаме на знаменателя, всичко е ясно намалено в случая. Започваме превръщането на знаменателя:

Очевидно е необходимо да се добави 4. и така, че изразът не се променя - същите четири и изваждат:

Сега можете да приложите формулата:

След приключване на трансформацията ВИНАГИ Препоръчително е да извършите обратния ход: всичко е наред, няма грешки.

Окончателният дизайн на примерния пример трябва да погледне нещо такова:

Готов. Обобщаване на комплексната функция "замразяване" под знака на разликата: по принцип е възможно да се пренебрегне

Пример 10.

Намерете неопределен интеграл:

Това е пример за независимо решение, отговорът в края на урока

Пример 11.

Намерете неопределен интеграл:

Какво да правя, когато пред е минус? В този случай трябва да направите минус за скоби и да подредите компонентите в реда, от който се нуждаем :. Констанца ("Две" в този случай) не докосвайте!

Сега в скоби добавете едно. Анализ на изразяването, стигаме до заключението, че е необходимо да добавите към скобата - Добавяне:

Тук се оказа формулата, ние използваме:

ВИНАГИ Извършване на проверка на проекта:
Какво е необходимо да се провери.

Дизайнът на окръга на примера изглежда така:

Завършете задачата

Пример 12.

Намерете неопределен интеграл:

Тук, с термин вече няма нито един коефициент, но "пет".

(1) Ако когато има постоянна, тя веднага се приема от скоби.

(2) и като цяло, тази константа винаги е по-добра да издържи извън интеграла, така че да не пречи на краката.

(3) Очевидно всичко ще бъде сведено до формулата. Трябва да разберем термина, а именно, да получим "двойка"

(4) Да ,. Така добавянето към изразяването и същата фракция ще се приспадне.

(5) Сега подчертаваме пълен квадрат. Като цяло, също така е необходимо да се изчисли, но тук имаме дълъг логаритъм формула. И действието няма смисъл, защо става ясно точно по-долу.

(6) Всъщност можете да приложите формулата , Само вместо "x", ние не анулираме справедливостта на таблицата интеграл. Строго говорейки, една стъпка липсваше - преди да се интегрира функцията, следваща диференциалния знак: Но, както многократно съм отбелязал, често се пренебрегва.

(7) В отговор е желателно всички скоби обратно:

Сложен? Това не е най-трудното нещо в интегралното мнение. Въпреки че разглежданите примери не са толкова сложни, тъй като изискват добри компютърни техники.

Пример 13.

Намерете неопределен интеграл:

Това е пример за независимо решение. Отговора в края на урока.

Има интеграли с корени в знаменателя, който чрез замяна се намалява до интегралите на разглеждания тип, можете да прочетете за тях в статията. Комплексни интегралиНо тя е предназначена за много обучени студенти.

Обобщаване на числителя под знака на разликата

Това е последната част от урока, обаче, интегралите от този тип са доста често срещани! Ако умората е натрупана, може би е по-добре да прочетете утре? ;

Интегралите, които ще обмислим, са подобни на интегралите на предишния параграф, те изглеждат: или (коефициенти, а не равна нула).

Това е, в числителя, имаме линейна функция. Как да решават такива интеграли?

Задачата за намиране на неопределен интеграл на фракционна рационална функция се свежда до интегрирането на най-простите фракции. Ето защо препоръчваме първо да се запознаем с раздела на теоретичното разлагане на фракцията на най-простата.

Пример.

Намерете неопределен интеграл.

Решение.

Тъй като степента на цифровата функция е равна на степента на знаменателя, след това за началото разпределяме цялата част, провеждайки разделението на полином към полином:

Следователно, .

Разлагането на правилната рационална фракция върху най-простата фракция има формата . Следователно,

Полученият интеграл е интеграл на най-простата част от третия тип. Стартирайте малко напред, отбелязваме, че можем да го вземем, използвайки метода за обобщаване на диференциален знак.

Като T. . Следователно

Следователно,

Сега се обръщаме към описанието на интеграционните методи на най-простите фракции на всеки от четирите вида.

Интегриране на най-простите фракции от първия тип

За да разрешите тази задача, методът за директна интеграция е идеален:

Пример.

Намерете разнообразни функции

Решение.

Ние намираме неопределен интеграл, използвайки свойствата на примитивния, таблицата с примитивна и интеграционното правило.

Начало на страницата

Интегриране на най-простите фракции от втория тип

За да разрешите тази задача, методът за директна интеграция също е подходящ:

Пример.

Решение.

Начало на страницата

Интегриране на най-простите фракции от третия тип

Да започнем с, представете си неопределен интеграл Количество:

Първият интеграл приема метода за обобщаване на диференциален знак:

Следователно,

Полученият интеграл превръща знаменателя:

Следователно,

Формулата за интегриране на най-простите фракции от третия тип приема формата:

Пример.

Намери неопределен интеграл .

Решение.

Използваме получената формула:

Ако нямахме тази формула, как бихме направили:

Начало на страницата

Интегриране на най-простите фракции на четвъртия тип

Първата стъпка е да подпишете диференциала:

Втората стъпка е да се намери интеграл от типа . Интеградите на този вид се използват с помощта на рецидивиращи формули. (Вижте раздела за интегриране, използвайки рецидивиращи формули). За нашия случай подхожда следната повтаряща се формула:

Пример.

Намери неопределен интеграл

Решение.

За този тип интегрирана функция използвайте метода за заместване. Въвеждаме нова променлива (вж. Раздел Интеграция на ирационалните функции):

След заместването имаме:

Дойде да намери четвъртия интеграл на фракцията. В нашия случай имаме коефициенти M \u003d 0, p \u003d 0, q \u003d 1, n \u003d 1 и n \u003d 3.. Ние използваме повтаряща се формула:

След обратно заместване получаваме резултата:

Интегриране на тригонометрични функции

1.Инлетките от типа

Изчислени чрез преобразуване на продукта на тригонометрични функции в количеството на формулите:

Например, 2.integlles на вида

където м. или н.- Нечетният положителен брой се изчислява чрез сумиране на диференциалния знак. Например,

3.Резист от тип

където м. и н.Текущите положителни номера се изчисляват, като се използват формули за намаляване на степента: например,

4. Интеграли

където променливата замяна се изчислява: или например,

5. Интезистите на вида се намаляват до интеграли от рационални фракции, използвайки универсално тригонометрично заместване (защото

\u003d [след разделяне на цифровия и знаменател] \u003d;

Например,

Трябва да се отбележи, че използването на универсална заместване често води до обемисти изчисления.

§Five. Интегриране на най-простите ирационални

Разгледайте методите за интегриране на най-простите видове ирационални. един.

Функциите на този вид са интегрирани по същия начин, както най-простите рационални фракции на третия тип: в знаменателя, пълен квадрат се подчертава от квадрат три намалена и се въвежда нова променлива. Пример.

2. (под знака на интегралната рационална функция на аргументите). Интеградите от този тип се изчисляват чрез замяна. По-специално, в интегралите на видовете. Ако интегрираната функция съдържа корените на различни степени:

, той е обозначен, където н.- най-малките общи многобройни номера m, К.. Пример 1.

Пример 2.

-Направна рационална фракция, подчертайте цялата част:

–

3.Резист от тип Изчислено с тригонометрични замествания:

45 дефинирани интегрални

Определен интеграл - адитивна монотонална нормализирана функционалност, посочена в различни двойки, първият компонент на който е единствената функция или функционален, а вторият е областта в набора от задачи на тази функция (функционален).

Дефиниция

Да се \u200b\u200bдефинира. Прекъсваме се в части с няколко произволни точки. Тогава те казват, че разделянето на сегмента следва да избере произволна точка , ,

Определен интеграл на функцията на сегмента се нарича граница на интегрираните количества, когато рангът на счупване до нула, ако съществува, независимо от разделянето и избора на точки, т.е.

Ако има определен лимит, функцията се нарича интегрирана на Riemann.

Обозначения

· - Долна граница.

· - горен лимит.

· - Инхибираща функция.

· - продължителността на частичния сегмент.

· - интегрална сума от функцията на съответния дял.

· - максимална честота.

Имоти

Ако функцията е интегрирана според Riemann, тя е ограничена до нея.

Геометрично значение

Дефиниран интеграл като област на фигури

Специфичният интеграл е числено равен на площта на фигурата, ограничена от оста на абсцисата, директна и графиката на функцията.

Теоремата на Нютон - лапия

[редактиране]

(Пренасочени с формула Нютон Лейбница)

Формула на Нютон - лапия или теорема за основна анализ Дава връзка между две операции: предприемане на конкретен интеграл и изчисляване на примитивни.

Доказателства

Позволете на сегмента. Нека започнем с факта, че отразяваме това

това означава, че няма значение коя буква (или) е под знака в определен интеграл в сегмента.

Задайте произволна стойност и определете нова функция. . Той се дефинира за всички ценности, защото знаем, че ако има неразделна част от това, тогава има и неразделна част откъде. Припомнете, че разглеждаме по дефиниция

(1)

забележи това

Ние показваме, че тя е непрекъсната по сегмента. Всъщност, нека; тогава

и ако тогава

Така тя е непрекъснато независимо дали или няма прекъсвания; Важно е да се интегрира.

Фигурата показва графика. Областта на променливата фигура е равна на. Неговото увеличение е равно на площта на фигурата което поради ограничение, очевидно се стреми за нула без значение дали ще има точка на приемственост или празнина, като например точка.

Сега оставете функцията не само да се интегрира, но и непрекъсната в точката. Доказваме, че тогава има производно в тази точка, равна на

(2)

Всъщност, за посочената точка

(1) , (3)

Сложихме и от постоянната спрямо това . След това, по силата на приемствеността в точката за всеки, можете да укажете такава за.

какво доказва, че лявата страна на това неравенство е около (1).

Преходът до границата (3) с наличието на производно от точка и валидността на равенството (2). В това идва тук, съответно, за дясно и ляво дериват.

Ако функцията е непрекъсната, след това въз основа на функционалната функция по-горе

(4)

има производна равна. Следователно функцията е примитив.

Това заключение понякога се нарича интегрирана теорема с променливата горна граница или теоремата за барове.

Доказахме, че произволната непрекъсната функция на сегмента има примитивна, дефинирана равенство (4) на този сегмент. Това се доказва, че съществуването на примитивна функция за всеки непрекъснат сегментът.

Нека сега да имаме произволна примитивна функция. Знаем, че къде - някои постоянни. Вярвайки в това равенство и като се има предвид какво, получаваме.

По този начин, . Но

Включени интегрални

[редактиране]

Уикипедия Материал - Безплатна енциклопедия

Определен интеграл Наречен невалиденАко е изпълнено поне едно от следните условия:

· Границата А или Б (или и двете граници) са безкрайни;

· Функцията f (x) има една или повече точки на разрушаване в сегмента.

[редактиране] инвалидни интегрални интеграли

. Тогава:

1. ако и интегралът се нарича . В такъв случай наречен конвергент.

или просто се различава.

Да се \u200b\u200bдефинира и непрекъснато на зададения от и . Тогава:

1. ако тогава се използва обозначението и интегралът се нарича несъвместим интеграл на Риман от първия вид. В такъв случай наречен конвергент.

2. Ако няма ограничени (или), тогава интегралът се нарича различен или просто се различава.

Ако функцията е дефинирана и непрекъсната по цялата цифрова линия, може да има неизменна интеграл на тази функция с две безкрайни гранични стойности на интеграция, която се определя с формулата:

където c е произволен номер.

[редактиране] Геометричен смисъл на несъвместимия интеграл i мил

Участващият интеграл изразява площ от безкрайно дълъг криволинеен трапец.

[редактиране] Примери

[редактиране] инвалидни интеграли на рода

Да предположим, че се определя от това, толерира безкрайната пролука в точката x \u003d a и . Тогава:

1. ако тогава се използва обозначението и интегралът се нарича

наречен разминаващ се К. или просто се различава.

Да предположим, че се определя от, толерира безкрайната пролука при x \u003d b и . Тогава:

1. ако тогава се използва обозначението и интегралът се нарича инвалиден интеграл riemann от втория вид. В този случай интегралът се нарича конвергент.

2. ако или, обозначението е запазено и наречен разминаващ се К. или просто се различава.

Ако функцията нарушава пропастта във вътрешната точка на сегмента, вътрешният интеграл от втория вид се определя по формулата:

[редактиране] Геометричен смисъл на неправилни интеграли на рода

Участващият интеграл изразява площта на безкрайно висок изкривен трапец

[редактиране] Пример

[редактиране] отделен случай

Да предположим, че функцията се определя на цялата цифрова ос и има пропаст в точки.

След това можете да намерите интеграл на имунитет

[редактиране] Любопитен критерий

1. Позволете да се определи на зададения от и .

Тогава сближаване

2. Да се \u200b\u200bдефинира и .

Тогава сближаване

[редактиране] абсолютна конвергенция

Интеграл Наречен абсолютно конвергент, ако сближаване.
Ако интегралът се сгъва абсолютно, той се сближава.

[редактиране] условно сближаване

Интегралът се нарича условно конвергентноАко се приближите, но се различавайте.

48 12. Невалидни интеграли.

Когато разглеждаме определени интеграли, предположихме, че областта на интеграция е ограничена (по-конкретно, е сегмент [ а. ,б. ]); За съществуването на конкретен интеграл се изисква границата на функцията за интегриране [ а. ,б. ]. Ще се обадим на определени интеграли, за които се извършват и двете от тези условия (ограничени и интеграционни области и интегрираната функция) собственШпакловка Интеграли, за които се нарушават тези изисквания (т.е. неограничена или интегрирана функция, или интеграционна зона, или и двете заедно) невалиден. В този раздел ще проучим несъвместими интеграли.

12.1. Непълни интеграли на неограничен интервал (непоследователни интеграли от първия вид).

12.1.1. Определяне на несъвместим интеграл в безкрайна междина. Примери.
12.1.2. Формулата Нютон Labnice за несъвместим интеграл.
12.1.3. Признаци за сравнение за неотрицателни функции.

12.1.3.1. Знак за сравнение.
12.1.3.2. Знак за сравнение в лимитната форма.

12.1.4. Абсолютно сближаване на вътрешните интеграли в безкрайно междинен продукт.
12.1.5. Признаци на сближаване на Абел и Дирийкъл.

12.2. Непълни интеграли от неограничени функции (неразбираеми интегрални от втория вид).

12.2.1. Определяне на несъвместим интеграл от неограничена функция.

12.2.1.1. Функция в левия край на интервала на интеграция.
12.2.1.2. Прилагане на формулата на Нютон Labitsa.
12.2.1.3. Функция в десния край на интервала на интеграция.
12.2.1.4. Функция във вътрешната точка на интервала на интеграция.
12.2.1.5. Няколко характеристики на интервала на интеграция.

12.2.2. Признаци за сравнение за неотрицателни функции.

12.2.2.1. Знак за сравнение.
12.2.2.2. Знак за сравнение в лимитната форма.

12.2.3. Абсолютно и условно сближаване на вътрешните интеграли от прекъснати функции.
12.2.4. Признаци на сближаване на Абел и Дирийкъл.

12.1. Невалидни интеграли за неограничен интервал

(непоследователни интеграли от първия вид).

12.1.1. Определяне на несъвместим интеграл в безкрайно междинно съединение. Нека функцията е. (х. ) се определя на полуоста и може да се интегрира за всеки сегмент [ От, което означава във всеки от тези случаи съществуването и крайникът на съответните граници. Сега решенията на примерите изглеждат по-просто: .

12.1.3. Признаци за сравнение за неотрицателни функции. В този раздел ще приемем, че всички интегрирани функции не са неотрицателни в цялото поле на дефиниция. Досега сме решили сближаването на интеграла, изчисляването му: ако има ограничена граница на примитивния с подходящото желание (или), интегралните конскорс, в противен случай - разсейване. При решаването на практическите задачи обаче е важно да се установи фактът, че фактът на самата конвергенция е основно установен и само след това изчислява интегралната (освен това, първичната често се изразява чрез елементарни функции). Ние формулираме и доказваме редица теореми, които ви позволяват да установите конвергенция и дивергенция на интегралите на имунитета от неотрицателни функции, без да ги изчислявате.
12.1.3.1. Знак за сравнение. Нека функциите е. (х. ) I. г. (х. ) Интеграция

Материалът, изложен в тази тема, се основава на информацията, представена в темата "рационални фракции. Разлагане на рационални фракции върху елементарни (прости) фракции." Много съм съветван поне през тази тема, преди да се преместя, за да чета този материал. Освен това се нуждаем от маса с несигурни интеграли.

Нека напомням няколко термина. Затова говорехме за тях в съответната тема, следователно ще огранича кратката формулировка тук.

Съотношението на два полиномида $ frac (p_n (x)) (Q_m (x)) $ се нарича рационална функция или рационална фракция. Рационалната фракция се нарича дясноАко $ n.< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется погрешно.

Елементарни (прости) рационални фракции се отнасят до рационални фракции от четири вида:

$ Frac (a) (x-a) $;
$ Frac (a) ((x-a) ^ n) $ ($ n \u003d 2,3,4, ldots $);
$ Frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) $ ($ p ^ 2-4q< 0$);
$ Frac (mx + n) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) $ ($ p ^ 2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Забележка (желателно за по-пълно разбиране на текст): Показване / скриване

Защо имате нужда от условие $ p ^ 2-4q< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например, за да изразите $ x ^ 2 + 5x + $ 10 получаваме: $ p ^ 2-4q \u003d 5 ^ 2-4 cdot 10 \u003d -15 $. Тъй като $ p ^ 2-4q \u003d -15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Между другото, не е необходимо да се казва за това, че коефициентът преди $ x ^ 2 $ е равен на 1. Например, за $ 5x ^ 2 + 7x-3 \u003d 0 $ Получаваме: $ d \u003d 7 ^ 2-4 cdot 5 cdot (-3) \u003d $ 109. Тъй като $ d\u003e 0 $, тогава изразът $ 5x ^ 2 + 7x-3 $ разложен върху мултипликатори.

Примери за рационални фракции (правилни и неправилни), както и примери за разлагане на рационална фракция върху елементарно могат да бъдат намерени. Тук ще се интересуваме само от тяхната интеграция. Да започнем с интегрирането на елементарни фракции. Така че, всеки от четирите вида на гореспоменатите елементарни франи са лесни за интегриране, като се използват формулите, посочени по-долу. Позволете ми да ви напомня, че при интегрирането на фракции от тип (2) и (4) се приема, че е $ n \u003d 2,3,4, ldots $. Формули (3) и (4) изискват изпълнението на условието $ p ^ 2-4q< 0$.

Int (уравнение) int (a) (xa) dx \u003d c cdot ln | xa | + c уравнение започва (уравнение) int frac (a) ((xa) ^ n) dx \u003d - FRAC (A) ((N- 1) (XA) ^ (N - 1)) + C уравнение започват (уравнение) int frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) dx \u003d Frac (m) (2) cdot (x ^ 2 + px + q) + frac (2N-mp) (sqrt (4Q-p ^ 2)) arctg frac (2x + p) (SQRT (4Q-P ^ 2)) + C уравнение

За $ int (mx + n) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) dx $ slement $ t \u003d x + \\ t (P) (2) $, след получените булдера са разделени на две . Първото ще бъде изчислено с помощта на въвеждането под знака на разликата, а вторият ще има форма $ i_n \u003d int (dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) $. Този интеграл се взема с помощта на повтаряща се връзка

Начало (уравнение) i_ (n + 1) \u003d frac (1) (2na ^ 2) frac (t) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) + frac (2N-1) (2N-1) (2N-1) ^ 2) i_n, \\ t N in in nom (уравнение)

Изчисляването на такъв интеграл се разглобява в пример № 7 (виж третата част).

Схема за изчисляване на интегралите от рационални функции (рационални фракции):

Ако вградената фракция е елементарна, след това се прилага формули (1) - (4).
Ако интегрираната фракция не е елементарна, след това го изпратете под формата на елементарни фракции и след това интегрирайте формулите (1) - (4).

Горният алгоритъм за интегриране на рационалните фракции има неоспоримо достойнство - тя е универсална. Тези. Използвайки този алгоритъм, можете да се интегрирате всеки рационална фракция. Ето защо почти всички заменят променливите в неопределен интеграл (заместване на еулер, чебишев, универсално тригонометрично заместване) са направени с такова изчисление, така че след като се смене, рационалната фракция се получава. И вече приложи алгоритъма към него. Незабавното използване на този алгоритъм ще разгледа примерите, след като направи малка бележка.

$$ int frac (7dx) (x + 9) \u003d 7 ln | x + 9 | + c. $$.

По принцип този интеграл е лесен за получаване без механична употреба на формулата. Ако направите константа от 7 долара за интегрален знак и вземете под внимание, че $ dx \u003d d (x + 9) $, тогава получаваме:

$$ int frac (7dx) (x + 9) \u003d 7 ccot int frac (dx) (x + 9) \u003d 7 cdot int frac (d (x + 9)) (x + 9) ) \u003d | U \u003d x + 9 | \u003d 7 ccot int \\ t (u) \u003d 7 ln | u | + c \u003d 7 ln | x + 9 | + c. $$.

За подробна информация, разгледана за виждането на темата. Разглежда се подробно как се решават подобни интеграли. Между другото, формулата се доказва от същите трансформации, които са били приложени в този момент, когато правят "ръчно".

2) Отново има два начина: Нанесете готовата формула или направете без нея. Ако приложите формулата, тогава трябва да се отбележи, че коефициентът преди $ x $ (номер 4) ще трябва да бъде премахнат. За да направите това, просто издържате четвъртата:

$$ int frac (11DX) ((4x + 19) ^ 8) \u003d int frac (11dx) (ляво (ляво (X + rot (19) (4) вдясно) \\ t ^ 8) \u003d int frac (11dx) (4 ^ 8 остава (x + \\ t) (4)) ^ 8) \u003d int frac (frac (11) (4 ^ 8) \\ t Dx) (ляво (x + \\ t frac (19) (4) вдясно) ^ 8). $$.

Сега скелетът е дошъл за използването на формула:

$$ int frac (frac (11) (4 ^ 8) dx) (ляво (x + \\ t frac (19) (4)) ^ 8) \u003d - frac (FRAC (11) ( 4 ^ 8)) ((8-1) наляво (X + \\ t (8-1) (4)) ^ (8-1)) + С \u003d - FRAC (FRAC (11) (4 ^ 8) )) (7 ляво (x + frac (19) (4) вдясно) ^ 7) + c \u003d - \\ t FRAC (11) (7 cdot 4 ^ 8 ляво (X + \\ t FRAC (19) 4) ^ 7) + c. $$.

Можете да направите без използването на формула. И дори без да прави константа от $ 4 $ за скоби. Ако считаме, че $ dx \u003d frac (1) (4) d (4x + 19) $, тогава получаваме:

$$ int (11dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d 11 int frac (dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d frac (11) (4) int \\ t d (4x + 19)) ((4x + 19) ^ 8) \u003d | u \u003d 4x + 19 | \u003d \u003d frac (11) (4) int frac (du) (u ^ 8) \u003d \\ t FRAC (11) (4) int u ^ (- 8); du \u003d frac (11) (4) ccot (u ^ (- 8 + 1) (- 8 + 1) + c \u003d CRAC (11) (4) cdot (u ^ (- 7)) (- 7) + c \u003d - frac (11) (28) cdot frac (1) (U ^ 7 \\ t ) + C \u003d - frac (11) (28 (4x + 19) ^ 7) + С. $$.

Подробни обяснения за намиране на такива интеграли са дадени в тема "Интегриране на заместването (въвеждане под знака на диференциал)".

3) Трябва да интегрираме фракцията от $ \\ t (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) $. Тази фракция има структура $ frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) $, където $ m \u003d $ 4, $ n \u003d $ 7, $ p \u003d $ 10, $ q \u003d $ 34. Въпреки това, за да се уверите, че това е наистина елементарна част от третия тип, трябва да проверите изпълнението на състоянието $ p ^ 2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ int frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d frac (4) (2) cdot (x ^ 2 + 10x + 34) + frac (2 cdot) \\ t 7-4 cdot 10) (sqrt (4 cdot 34-10 ^ 2)) arctg frac (2x + 10) (sqrt (4 cdot 34-10 ^ 2)) + c \u003d \\ t 2 ccot ln (x ^ 2 + 10x + 34) + frac (-26) (sqrt (36)) ARCTG FRAC (2x + 10) (sqrt (36)) + c \u003d 2 ccot (x ^ 2 + 10x + 34) + frac (-26) (6) ARCTG (2x + 10) (6) + c \u003d \u003d 2 cdot (x ^ 2 + 10x) \\ t +34) - FRAC (13) (3) ARCTG (X + 5) (3) + C. $$.

Решавам същия пример, но без използването на готовата формула. Нека се опитаме да изберем дериват на знаменател в числителя. Какво означава това? Знаем, че $ (x ^ 2 + 10x + 34) "\u003d 2x + $ 10. Това е израз на $ 2X + $ 10 за нас и да се определи в числителя. Досега числителят съдържа само $ 4X + $ 7, но това не е дълго. Приложете към числителя такова преобразуване:

$ 4X + 7 \u003d 2 ccot 2x + 7 \u003d 2 ccot (2x + 10-10) + 7 \u003d 2 ccot (2x + 10) -2 cdot 10 + 7 \u003d 2 cdot (2x + 10) -13. $$.

Сега необходимия израз на $ 2X + $ 10 се появява в числителя. И нашият интеграл може да бъде пренаписан в този формуляр:

$ int frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d int frac (2 ccot (2x + 10) -13) (x ^ 2 + 10x + 34) dx. $$.

Заплашват интегралната фракция за две. Е, съответно самата интеграл също е "разделена":

$$ int frac (2 ccot (2x + 10) -13) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d int е ляво (frac (2 cdot (2x + 10)) (x ^ 2) \\ t + 10x + 34) - FRAC (13) (x ^ 2 + 10x + 34) дясно) \\ t dx \u003d int int (2 ccot (2x + 10)) (x ^ 2 + 10x + 34) dx- \\ t (13dx) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d 2 ccot \\ t int frac ((2x + 10) dx) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 cdot int (dx) (x ^ 2 + 10x + 34). $$.

Да поговорим първо за първия интеграл, т.е. Около $ int frac ((2x + 10) dx) (x ^ 2 + 10x + 34) $. Тъй като $ d (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d (x ^ 2 + 10x + 34) "dx \u003d (2x + 10) dx $, след това в интегрирания фракционен числител е диференциал на знаменателя. Накратко, вместо това на експресия $ (2x + 10) DX $ Пишем $ d (x ^ 2 + 10x + 34) $.

Сега да кажем няколко думи за втория интеграл. Ние подчертаваме пълния квадрат в знаменателя: $ x ^ 2 + 10x + 34 \u003d (x + 5) ^ 2 + 9 $. В допълнение, ние вземаме под внимание $ dx \u003d d (x + 5) $. Сега получихме по-рано, че количеството на интегралите могат да бъдат пренаписани в няколко други форма:

$$ 2 cdot int int ((2x + 10) dx) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 cdot int frac (dx) (x ^ 2 + 10x + 34) \u003d 2 ccot \\ t int frac (d (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 cdot int (d (x + 5)) ((x + 5) ^ 2 + девет). $$.

Ако в първия интеграл, за да замени $ u \u003d x ^ 2 + 10x + 34 $, тогава той ще отнеме формата $ int frac (du) (u) $ и поема използването на втората формула от. Що се отнася до втория интеграл, замяната на $ u \u003d x + $ 5 се реализира за него, след което ще отнеме формата $ int frac (du) (U ^ 2 + 9) $. Това е най-чистата вода единадесета формула от таблицата на несигурните интеграли. Така че, връщайки се към сумата на интегралите, ние ще имаме:

$$ 2 CDOT int (d (x ^ 2 + 10x + 34)) (x ^ 2 + 10x + 34) -13 cdot int \\ _ frac (d (x + 5)) ((x +) 5) ^ 2 + 9) \u003d 2 ccot ln (x ^ 2 + 10x + 34) - FRAC (13) (3) ARCTG FRAC (X + 5) (3) + С. $$.

Получихме същия отговор като при използване на формулата, която всъщност не е изненадваща. Като цяло формулата се доказва със същите методи, като използвахме този интеграл. Считам, че внимателният читател може да има един въпрос тук, затова го формулирам:

Въпрос номер 1.

INT $ intr intral (D (x ^ 2 + 10x + 34))) (x ^ 2 + 10x + 34) $ Приложете втората формула от таблицата с несигурни интеграли, след това ще получим следното:

Защо е имал модул в решаването?

Отговор на въпрос №1

Въпросът е напълно научен. Модулът отсъства само защото изразът $ x ^ 2 + 10x + 34 $ с всеки $ x в R $ повече нула. Той е напълно лесно да се покажат няколко пътища. Например, тъй като $ x ^ 2 + 10x + 34 \u003d (x + 5) ^ 2 + 9 $ и $ (x + 5) ^ 2 ≥ 0 $, след това $ (x + 5) ^ 2 + 9\u003e 0 $ . Тя може да бъде съдена и в различна, без да се привлича пускането на пълен квадрат. От $ 10 ^ 2-4 cdot 34 \u003d -16< 0$, то $x^2+10x+34 > 0 $ за всеки $ x в R $ (ако тази логическа верига е изненадваща, съветвам ви да видите графичния метод за решаване на квадратни неравенства). Във всеки случай, тъй като $ x ^ 2 + 10x + 34\u003e 0 $, след това $ | x ^ 2 + 10x + 34 | \u003d x ^ 2 + 10x + 34 $, т.е. Вместо модула можете да използвате конвенционални скоби.

Всички елементи от пример № 1 са решени, остава само за записване на отговора.

Отговор:

$ int frac (7dx) (x + 9) \u003d 7 ln | x + 9 | + c $;
$ int frac (11dx) ((4x + 19) ^ 8) \u003d - frac (11) (28 (4x + 19) ^ 7) + с $;
$ int frac (4x + 7) (x ^ 2 + 10x + 34) dx \u003d 2 cdot ln (x ^ 2 + 10x + 34) - frac (13) (3) ARCTG \\ t +5) (3) + C $.

Пример номер 2.

Намерете интегралния $ int (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) dx $.

На пръв поглед, заместваща фракция от $ \\ t (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) $ е много подобна на елементарната част на третия тип, т.е. На $ frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) $. Изглежда, че една видима разлика е коефициент от $ 3 $ преди $ x ^ $ 2, но коефициентът и да бъде отстранен за дълго време (за скобите). Въпреки това, това сходство е очевидно. За фракции $ frac (mx + n) (x ^ 2 + px + q) $ задължително е условието $ p ^ 2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Имаме коефициент преди $ x ^ 2 $ не е равен на един, затова проверете състоянието $ p ^ 2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D > Следователно 0 $, следователно, експресията $ 3x ^ 2-5x-2 $ може да бъде разложена на мултипликатори. Това означава, че фракцията от $ \\ t FRAC (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) $ не е елементарна част от третия тип и се прилага към $ int frac enteral (7x + 12) (3x ^ 2- 5x-2) DX $ формула е невъзможно.

Е, ако определената рационална фракция не е елементарна, тя трябва да бъде представена като количеството на елементарните фракции и след това да се интегрира. Накратко, следата се възползва. Как да се разложи рационалната фракция на елементарността е написана подробно. Да започнем с факта, че знаменателят ще се разложи:

$ $ 3x ^ 2-5x-2 \u003d 0; начало (подравнено) & d \u003d (- 5) ^ 2-4 cdot 3 ccot (-2) \u003d 49; \\ t - (- 5) - sqrt (49)) (2 ccot 3) \u003d frac (5-7) (6) \u003d frac (-2) (6) \u003d - frac (1) (3); frac (- (- 5) + sqrt (49)) (2 ccot 3) \u003d frac (5 + 7) (6) \u003d frac (12) (6) \u003d 2. \\ t End (подравнен) 3x ^ 2-5x-2 \u003d 3 cdot лява (x- lew left (- frac (1) (3) дясно) вдясно) ccot (X-2) \u003d 3 ccot лява (X + \\ t FRAC (1) (3) (X-2). $$.

Подзенталната фракция ще бъде подадена в този формуляр:

$$ frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) \u003d frac (7x + 12) (3 cdot лява (X + \\ t FRAC (1) (3) \\ t (X-2 \\ t )) \u003d Frac (frac (7) (3) x + 4) (оставен (x +] (1) (3) вдясно) (x-2)). $$.

Сега разграждайте фракцията $ RAC (FRAC (7) (3) x + 4) (лява (x +] (1) (3) вдясно) (x-2)) $ за елементарно: \\ t

$$ frac (frac (7) (3) x + 4) (ляво (x + \\ t (1) (3) вдясно (x-2)) \u003d frac (a) (x + \\ t FRAC (1) (3)) + FRAC (b) (x - 2) \u003d frac (a (x-2) + b оставен (x +] (1) (3)) (\\ t наляво (x + \\ t frac (1) (3) вдясно) (x-2)); frac (7) (3) x + 4 \u003d a (x - 2) + b оставен (x + \\ t FRAC (1) (3) вдясно). $$.

За да намерите коефициентите от $ a $ и $ b $ има два стандартни пътя: метод на несигурни коефициенти и метод за заместване на частни стойности. Използваме метода на заместване на частни стойности, заместващи $ x \u003d 2 $, а след това $ x \u003d - frac (1) (3) $:

$$ frac (7) (3) x + 4 \u003d a (x-2) + b оставен (x + \\ t (1) (3). \\ T FRAC (7) (3) CCOT 2 + 4 \u003d a (2-2) + b оставена (2+ frac (1) (3) дясно); ; Frac (26) (3) \u003d frac (7) (3) b; \\ t B \u003d frac (26) (7). \\ T \\ _ x \u003d - - (1) (3); \\ t FRAC (7) (3) cdot лява (- frac (1) (3) дясно) + 4 \u003d ляво (- frac (1) (3) -2 дясно) + b \\ t (- frac (1) (3) + frac (1) (3) вдясно); ; Frac (29) (9) \u003d - frac (7) (3) a; \\ t A \u003d - frac (29 ccot 3) (9 cdot 7) \u003d - frac (29) (21). \\ T

Тъй като коефициентите са намерени, тя остава само за записване на завършеното разлагане:

$$ frac (frac (7) (3) x + 4) (ляво (X + \\ t (1) (3) вдясно) (x-2)) \u003d frac (- frac (29) \\ t (21)) (X + Rac (1) (3)) + FRAC (FRAC (26) (7)) (X-2). $$.

По принцип можете да оставите този запис, но имам по-точен вариант:

$$ frac (frac (7) (3) x + 4) (ляво (x + \\ t (1) (3) вдясно) (x-2)) \u003d - frac (29) (21) \\ t CDOT FRAC (1) (X + RAC (1) (3)) + FRAC (26) (7) CDOT FRAC (1) (X-2). $$.

Връщайки се към първоначалния интеграл, ние ще заменим полученото разлагане. След това прекъсваме интеграла на две и на всеки прилагаме формулата. Константи Предпочитам незабавно да издържам интегралния знак:

$$ int frac (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) dx \u003d int остави (- frac (29) (21) cdot frac (1) (x + \\ t (1) (1) (1) \\ t (1) \\ t (3)) + FRAC (26) (7) CDOT FRAC (1) (x-2) дясно) dx \u003d int остави (- frac (29) (21) ccot FRAC (1) (X + RAC (1) (3)) DX + int остави (FRAC (26) (7) CDOT FRAC (1) (X-2) \\ t DX \u003d - FRAC (29) (21) CDOT int (DX) (X + RAC (1) (3)) + FRAC (26) (7) CDOT INT FRAC (DX) \\ t (X-2) DX \u003d \u003d - FRAC (29) (21) cdot ляво | X + frac (1) (3) отдясно | + frac (26) (7) cdot \\ t Ln | x- 2 | + c. $$.

Отговор: $ int int (7x + 12) (3x ^ 2-5x-2) dx \u003d - frac (29) (21) cdot ln ляво | х + frac (1) (3) \\ t | + Frac (26) (7) cdot | x-2 | + c $.

Пример номер 3.

Намерете $ int frac интеграл (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) dx $.

Трябва да интегрираме фракцията от $ \\ t (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9) (x-9)) $. Броят съдържа полином от втора степен, а в знаменателя - полином от трети степен. Тъй като степента на полином в числа е по-малка от степента на полинома в знаменателя, т.е. $ 2.< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) \u003d - frac (3) (x - 1) + frac (5) (x +4) - FRAC (1) (x-9). $$.

Трябва само да прекъснем посочения интеграл от три и на всеки да прилагаме формулата. Константи Предпочитам незабавно да издържам интегралния знак:

$$ int frac (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9) (x-9)) dx \u003d int остави (- frac (3) (x-1) + FRAC (5) (X + 4) - RAC (1) (x-9) вдясно) dx \u003d \u003d - 3 cdot int (dx) (x - 1) + 5 ccot Frac (DX) (x + 4) - int (dx) (x-9) \u003d - 3 ln | x-1 | +5 ln | x + 4 | - ln | x- 9 | + c. $$.

Отговор: $ int (x ^ 2-38x + 157) ((x-1) (x + 4) (x-9)) dx \u003d -3 ln | x-1 | +5 ln | x + 4 | - ln | x-9 | + c $.

Продължаването на анализа на примерите на тази тема се намира във втората част.

Примери за интегриране на рационални функции (фракции) с подробни решения се разглеждат.

Съдържание

Вижте също: Корените квадратно уравнение

Тук даваме подробни решения на три примера за интегриране на следните рационални фракции:
, , .

Пример 1.

Изчислете интеграла:
.

Тук под интегралния знак има рационална функция, тъй като интеграцията е част от полиноми. Степента на полином на знаменателя ( 3 ) по-малко от степента на полиномна цифра ( 4 ). Следователно, в началото е необходимо да се разпредели цялата част от фракцията.

1. Ние подчертаваме цялата част на Фрач. Delim X. 4 на X. 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Оттук
.

2. Пространство на деномотератора на фракциите върху мултипликатори. За да направите това, решайте кубично уравнение:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Заместител x \u003d. 1 :
.

1 . Разделяме се на X - 1 :

Оттук
.
Решаваме квадратното уравнение.
.
Коренни уравнения: ,.
Тогава
.

3. Разлагаме ниската част от най-простите.

.

Така че открихме:
.
Ние се интегрираме.

Пример 2.

Изчислете интеграла:
.

Тук, в числатора на фракцията - полином от нулева степен ( 1 \u003d x 0). В знаменателя - полином от третата степен. Дотолкова доколкото 0 < 3 , раздробяването е правилно. Разстелете го на най-простата фракция.

1. Пространство на деномотератора на фракциите върху мултипликатори. За да направите това, е необходимо да се реши уравнението на третата степен:
.
Да предположим, че има поне един цялостен корен. Тогава той е разделител на номера 3 (Член без x). Това означава, че целият корен може да бъде един от числата:
1, 3, -1, -3 .
Заместител x \u003d. 1 :
.

Така че открихме един корен x \u003d 1 . Delim X. 3 + 2 x - 3 на x - 1 :

Така,
.

Решаваме квадратното уравнение:
х. 2 + x + 3 \u003d 0.
Ние намираме дискриминантност: D \u003d 1 2 - 4 · 3 \u003d -11. От D.< 0 Уравнението няма валидни корени. Така получихме декомпозиция на знаменателя за множителите:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Заместител x \u003d. 1 . След това x - 1 = 0 ,
.

Заместител Б. (2.1) x \u003d. 0 :
1 \u003d 3 A - C;
.

Гарантират Б. (2.1) Коефициенти при X. \\ t 2 :
;
0 \u003d A + B;
.

3. Ние се интегрираме.
(2.2) .
За да изчислите втория интеграл, изберете деноминационното производно в числителя и дайте на знаменателя на сумата на квадратите.

;
;
.

Изчислете I. 2 .

.
От уравнение Х. 2 + x + 3 \u003d 0 няма валидни корени, след това x 2 + x + 3\u003e 0. Следователно знакът на модула може да бъде пропуснат.

Захранване (2.2) :
.

Пример 3.

Изчислете интеграла:
.

Тук, под знака на интеграла, си струва част от полиноми. Следователно интегрирането е рационална функция. Степента на полином в цифровия номер е равна 3 . Степента на полинома на знаменателя на фракцията е равна 4 . Дотолкова доколкото 3 < 4 , раздробяването е правилно. Следователно може да се постави на най-простата фракция. Но за това трябва да разложите знаменателя за множителите.

1. Пространство на деномотератора на фракциите върху мултипликатори. За да направите това, е необходимо да се реши четвъртото уравнение на степента:
.
Да предположим, че има поне един цялостен корен. Тогава той е разделител на номера 2 (Член без x). Това означава, че целият корен може да бъде един от числата:
1, 2, -1, -2 .
Заместител x \u003d. -1 :
.

Така че открихме един корен x \u003d -1 . Разделяме се на X - (-1) \u003d x + 1:

Така,
.

Сега трябва да решите уравнението от трета степен:
.
Ако приемем, че това уравнение има цял корен, тогава това е разделител на номера 2 (Член без x). Това означава, че целият корен може да бъде един от числата:
1, 2, -1, -2 .
Заместител x \u003d. -1 :
.

Така че намерихме друг корен x \u003d -1 . Би било възможно, както в предишния случай да разделим полиномът, но ние групираме членове:
.

От уравнение Х. 2 + 2 = 0 Той няма реални корени, получихме разлагане на знаменателя за фактори:
.

2. Разлагаме ниската част от най-простите. Търсим разлагане във формата:
.
Ние сме освободени от знаменателя на фракциите, умножават се (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Заместител x \u003d. -1 . След това x +. 1 = 0 ,
.

Димисия (3.1) :

;

.
Заместител x \u003d. -1 И ние вземаме под внимание, че X + 1 = 0 :
;
; .

Заместител Б. (3.1) x \u003d. 0 :
0 \u003d 2 A + 2 B + D;
.

Гарантират Б. (3.1) Коефициенти при X. \\ t 3 :
;
1 \u003d B + C;
.

Така че, намерихме разлагане на най-простите фракции:
.

3. Ние се интегрираме.

.

Вижте също:

Припомнете си фракционни рационални Функции за повикване на типа $$ f (x) \u003d frac (p_n (x)) (q_m (x)), $$ в общия случай е съотношението на два полинома %% p_N (x) %% и %% (x) %% и %% Q_M (x)%%.

Ако %% m\u003e n \\ t след това се нарича рационална фракция дясноВ противен случай, погрешно. Използвайки разделянето на полиномите, неправилната рационална фракция може да бъде представена като количество на полином %% p_ (N- m) %% от степен %% n - m %% и някаква правилна фракция, т.е. $$ frac (p_n (x)) (q_m (x)) \u003d p_ (пМ) (x) + frac (p_l (x)) (q_n (x)), $$, където %% l %% полином \\ t % p_l (x) %% по-малко от степен %% n %% на полиномния %% Q_N (x) %%.

Така, неопределен интеграл от рационална функция може да бъде предаден на сумата на несигурните интеграли от полином и от правилната рационална фракция.

Интегрални от най-простите рационални фракции

Сред правилните рационални фракции се разграничават четири вида, които принадлежат най-простите рационални фракции:

%% DisplessSley Frac (A) (x - а) %%,
%% DisplessSley Frac (a) ((x - a) ^ k) %%, \\ t
%% DisplessSley Frac (AX + B) (x ^ 2 + px + q) %%, \\ t
%% DisplaySley FRAC (AX + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ k) %%, \\ t

където %% k\u003e 1 %% - цяло число и %% p ^ 2 - 4q< 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.

Изчисляване на несигурни интеграли от фракциите на първите два вида

Изчисляването на несигурни интеграли от фракциите на първите два вида не причиняват затруднения: $$ начало (масив) (ll) int frac (a) (x - a) mathrm (d) x & \u003d int Frac (mathrm (d) (x - a)) (x - a) \u003d a ln | x - a | + C, Frac (a) ((x - a) ^ k) mathrm (d) x \u003d a int \\ _ \\ t X - A) ^ k) \u003d a frac ((xa) ^ (- k + 1)) (- k + 1) + c \u003d \\ t, frac (a) ((k-1) (xa) \\ t ^ (K-1)) + C. End (масив) $ $

Изчисляване на несигурни интеграли от фракции от третия тип

Фракцията на третия тип първо се трансформираме, маркирайте пълния квадрат в знаменателя: $$ frac (AX + B) (x ^ 2 + px + q) \u003d frac (AX + B) ((x + p / р / 2) ^ 2 + Q - p ^ 2/4), $$ като %% p ^ 2 - 4q< 0%%, то %%q - p^2/4 > 0 %%, който обозначава като %% a ^ 2 %%. Смяна на %% t \u003d x + p / 2, mathrm (d) t \u003d mathrm (d) x %%, ние превръщаме знаменателя и напишим интеграл от третата типа фракция във формата $$ започват (масив) ) (Ll) int frac (AX + B) (x ^ 2 + px + q) mathrm (d) x \u003d int frac (ax + b) ((x + p / 2) ^ 2 + Q - p ^ 2/4) mathrm (d) x \u003d int frac (a (t - p / 2) + b) (t ^ 2 + a ^ 2) mathrm (d) t \u003d Frac (при + (b - р / 2)) (t ^ 2 + a ^ 2) mathrm (d) t. Край (масив) $ $

Последният интеграл, използвайки линейността на неопределен интеграл, си представете под формата на сумата от две и в първата от тях въвеждате %% t %% под диференциалния знак: $$ започват (array) int AT + (b - AP / 2)) (t ^ 2 + a ^ 2) mathrm (d) t & \u003d int \\ t (t] (t] (t] (t ^ 2 + a ^ 2) + ляво (b - frac (pa) (2) вдясно) int frac (mathrm (d) t) (t ^ 2 + a ^ 2) \u003d frac (a) (2) \\ t ) int frac (mathrm (d) ляво (t ^ 2 + a ^ 2 дясно)) (t ^ 2 + a ^ 2) + - frac (2b - pa) (2) int \\ t (Mathrm (d) t) (t ^ 2 + a ^ 2) \u003d frac (a) (2) ляво | T ^ 2 + a ^ 2 дясно | + FRAC (2B - PA) (2A) текст (ARCTG) FRAC (t) (а) + C. End (масив) $ $

Връщайки се към оригиналната променлива %% x %%, в резултат на част от третия тип, получаваме $$ int (AX + B) (x ^ 2 + px + q) \\ t X \u003d frac (a) (2) ляво | x ^ 2 + px + q \\ _ + FRAC (2B - PA) (2A) Текст (ARCTG) FRAC (X + P / 2) (a) + c, $$, където %% a ^ 2 \u003d q - p ^ 2/4\u003e 0% %.

Изчисляването на интеграла тип 4 е трудно, затова не се разглежда в този курс.