Решението на приложните задачи се намалява до изчислението на интеграла, но не винаги е възможно да се направи точно. Понякога е необходимо да се знае стойността на конкретен интеграл с известна степен на точност, например до хилядна.

Съществуват задачи, когато трябва да се намери приблизителната стойност на специфична интегрална с необходимата точност, след това цифровата интеграция се използва като метод на простота, трапецоиди, правоъгълници. Не всички случаи ви позволяват да го изчислите с определена точност.

Тази статия разглежда прилагането на формулата на Нютон-ластер. Това е необходимо за точно изчисляване на конкретен интеграл. Ще бъдат дадени подробни примери, ще бъде разгледано заместването на променливата в конкретен интеграл и ще намерите стойностите на конкретен интеграл при интегриране в части.

Формула Нютон Labitsa.

Определение 1.

Когато функцията y \u003d y (x) е непрекъсната от сегмента [a; b] и f (x) е една от първите функции на този сегмент, след това формула Нютон Labitsa. Разглеждан. Пишем го така ∫ a b f (x) d x \u003d f (b) - f (a).

Тази формула вярва основната формула на интегралното мнение.

За да се представи доказателство за тази формула, е необходимо да се използва концепцията за неразделна част от съществуваща променлива горна граница.

Когато функцията y \u003d F (x) е непрекъсната от сегмента [a; b], след това стойността на аргумента X ∈ А; b, и интегралът има формата ∫ a x f (t) d t и се счита за функция на горната граница. Необходимо е да се приеме обозначението на функцията ще се вземе формата ∫ AXF (t) dt \u003d φ (x), тя е непрекъсната, и за нея, неравенството на формата ∫ AXF (t) dt "\u003d φ" ( x) \u003d f (x) е вярно.

Ние определяме, че увеличаването на функцията φ (x) съответства на увеличаването на аргумента Δ x, е необходимо да се използва петото първично свойство на конкретен интеграл и да се получи

Φ (x + 5 x) - φ x \u003d ∫ AX + 5 XF (t) DT - ∫ AXF (t) DT \u003d \u003d ∫ AX + 5 XF (t) Dt \u003d F (c) · x + 5 x - x \u003d F (c) · Δ x

къде е стойността c ∈ x; X + Δ x.

Фиксирайте равенството във формата φ (x + 5 x) - φ (x) 5 x \u003d f (c). По дефиниция на деривативната функция е необходимо да се премине към лимита при Δ x → 0, след това получаваме формулата на формата "(x) \u003d f (x). Получаваме, че φ (x) е един от Примитивните видове за функцията Y \u003d F (X), разположени на [a; b]. В противен случай изразът може да бъде записан

F (x) \u003d φ (x) + c \u003d ∫ a x f (t) d t + c, където стойността c е постоянна.

Изчислете f (a) използване на първото свойство на конкретен интеграл. Тогава го получаваме

F (a) \u003d φ (a) + c \u003d ∫ a a f (t) d t + c \u003d 0 + c \u003d c, следователно получаваме това c \u003d f (a). Резултатът е приложим при изчисляване на f (b) и да получите:

F (b) \u003d φ (b) + c \u003d ∫ ABF (t) dt + c \u003d ∫ ABF (t) dt + f (a), с други думи, f (b) \u003d ∫ ABF (t) dt + f (а). Равенството доказва формулата на Newton Labnica ∫ A B F (X) D X + F (B) - F (A).

Увеличаването на функцията е прието като f x a b \u003d f (b) - F (a). С обозначението на формулата "Нютон-лабна", приема формата ∫ a b f (x) d x \u003d f x a b \u003d f (b) - F (a).

За да приложите формулата, е необходимо да се знае един от примитивните y \u003d f (x) на интегрираната функция y \u003d f (x) от сегмента [a; b], изчислете увеличаването на примитивния от този сегмент. Помислете за леко изчисление, като използвате формулата на Newton-Labender.

Пример 1.

Изчислете специфичен интеграл ∫ 1 3 x 2 d x според формулата на Newton-Labender.

Решение

Счита, че интегрираната функция на формата y \u003d x 2 е непрекъсната от сегмента [1; 3], след това се интегрират на този сегмент. Според таблицата на несигурните интеграли виждаме, че функцията Y \u003d X 2 има много примитивни за всички валидни стойности X, което означава x ∈ 1; 3 ще бъдат записани като F (x) \u003d ∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c. Необходимо е да се вземе примитивен с c \u003d 0, след това получаваме това f (x) \u003d x 33.

Ние използваме формулата "Нютон" и получаваме, че изчисляването на специфична интеграл ще вземе формата ∫ 1 3 x 2 d x \u003d x 33 1 3 \u003d 3 3 3 - 1 3 3 \u003d 26 3.

Отговор: 1 3 x 2 d x \u003d 26 3

Пример 2.

Изчислете специфичен интеграл ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x чрез формула Newton-Leibice.

Решение

Посочената функция е непрекъсната от сегмента [- 1; 2], това означава, че е цялостен. Необходимо е да се намери стойността на неопределен интеграл ∫ x · ex 2 + 1 dx, използвайки метода на подаване до диференциалния знак, след това получаваме ∫ x · ex 2 + 1 dx \u003d 1 2 ∫ ex 2 + 1 d ( x 2 + 1) \u003d 1 2 2 + 1 + c.

Оттук имаме много примитивни функции y \u003d x · e x 2 + 1, които са валидни за всички x, x ∈ - 1; 2.

Необходимо е да се вземе примитивен, когато c \u003d 0 и да се прилага формулата на Нютон-ластер. След това получаваме изразяването

∫ - 1 2 x · ex 2 + 1 dx \u003d 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 \u003d 1 2 е 22 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 \u003d 1 2 e (- 1) 2 + 1 \u003d 1 2 E 2 (E 3 - 1)

Отговор: ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x \u003d 1 2 e2 (е 3 - 1)

Пример 3.

Изчислете интегралите ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

Решение

Разрез - 4; - 1 2 предполага, че функцията под интегралния знак е непрекъсната, това означава, че тя е интегрирана. Оттук ще намерим много примитивни функции y \u003d 4 x 3 + 2 x 2. Получаваме това

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x \u003d 2 х 2 - 2 х + С

Необходимо е да се вземе примитивен f (x) \u003d 2 х 2 - 2 х, след това чрез прилагане на формула Newton-labender, ние получаваме неразделна част, която изчислява:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx \u003d 2 х 2 - 2 х - 4 - 1 2 \u003d 2 - 1 22 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 \u003d 1 2 + 4 - 32 - 1 2 \u003d - 28

Ние произвеждаме преход към изчисляването на втория интеграл.

От сегмента [- 1; 1] Ние имаме, че интегрираната функция се счита за неограничена, защото lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 \u003d + ∞, след това следва от това, че необходимо условие за интегриране от сегмента. След това f (x) \u003d 2 х 2 - 2 х не е примитивен за y \u003d 4 x 3 + 2 х 2 от сегмента [- 1; 1], тъй като точката o принадлежи към сегмента, но не е включена в областта на дефиницията. Това означава, че има известен интеграл на Riemann и Newton Leibher за функцията Y \u003d 4 x 3 + 2 х 2 от сегмента [- 1; един].

Отговор: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,има специфичен интеграл на Riemann и Newton Labnice за функцията Y \u003d 4 x 3 + 2 х 2 от сегмента [- 1; един].

Преди да използвате формулата Нютон-Лабица, трябва да знаете точно за съществуването на конкретен интеграл.

Замяна на променливата в определен интеграл

Когато функцията y \u003d f (x) се определя и непрекъснато от сегмента [a; b], след това съществуващия набор [a; b] се счита за площта на стойностите на функцията X \u003d g (Z), дефинирана на сегмента α; β със съществуващо непрекъснато производно, където g (α) \u003d a и g β \u003d b, получаваме, че ∫ a b f (x) d x \u003d α р f (g (z)) · g "(z) d z.

Тази формула се използва, когато е необходимо да се изчисли интегралът ∫ a b f (x) d x, където неопределеният интеграл има формата f (x) d х, изчислява се с помощта на метода на заместване.

Пример 4.

Изчислете специфичен интеграл на формата 9 18 1 x 2 x - 9 d x.

Решение

Интегрирането се счита за непрекъсната интеграция на интеркома, което означава, че се осъществява определен интеграл. Ние даваме на обозначението, че 2 x - 9 \u003d z ⇒ x \u003d g (z) \u003d z 2 + 92. Стойността X \u003d 9, това означава, че z \u003d 2 · 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 и при X \u003d 18 получаваме Z \u003d 2 · 18 - 9 \u003d 27 \u003d 33, след това g α \u003d g (3) \u003d 9, g β \u003d g 3 3 \u003d 18. При заместване на стойностите, получени във формулата ∫ A B F (x) d x \u003d ∫ α pf (g (z)) · g "(z) d z, ние го получаваме

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx \u003d 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 "dz \u003d ∫ 3 3 3 1 z2 + 92 · z · zdz \u003d ∫ 3 3 3 2 Z 2 + 9 dz

Според таблицата на несигурните интеграли, имаме, че един от примитивните функции 2 Z 2 + 9 вземат стойността 2 3 A Rctg3. След това, когато прилагате формулата на Нютон-Лабица, ние го получаваме

∫ 3 3 3 2 Z 2 + 9 D Z \u003d 2 3 ARCTGZ 3 3 3 3 \u003d 2 3 ARCTG 3 3 3 - 2 3 ARCTG 3 3 \u003d 2 3 ARCTG 3 - ARCTG 1 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18.

Намирането може да бъде направено без използване на формулата ∫ A B F (x) d x \u003d ∫ α pf (g (z)) · g "(z) d z.

Ако, с метода на замяна, използвайте интеграла на формуляра ∫ 1 x 2 x - 9 d x, след това можете да стигнете до резултата ∫ 1 x 2 x - 9 d x \u003d 2 3 ARC Tg2 х - 9 3 + c.

Оттук ще изчислим формулата на Lewton Labits и изчисляваме конкретен интеграл. Получаваме това

∫ 9 18 2 Z 2 + 9 DZ \u003d 2 3 ARCTGZ 3 9 18 \u003d 2 3 3 ARCTG 2 · 18 - 9 3 - ARCTG 2 · 9 - 9 3 \u003d 2 3 3 ARCTG 3 - ARCTG 1 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Резултатите съвпадат.

Отговор: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x \u003d π 18

Интеграция в части при изчисляване на специфичен интеграл

Ако е на сегмента [a; b] дефинирани и непрекъснати функции u (x) и v (x), след това техните деривативи от първи ред v "(x) · u (x) са интегрируеми, следователно от този сегмент за интегралната функция U" (x) · v (x) Равенство ∫ ABV "(x) · U (x) dx \u003d (u (x) · v (x)) ab - ∫ abu" (x) · v (x) dx е валиден.

Формулата може да се използва тогава, е необходимо да се изчисли интегралът ∫ a b f (x) d x, и ∫ f (x) d X трябва да се търси чрез интегриране в части.

Пример 5.

Изчислете специфичен интеграл ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x.

Решение

Функцията x · sin x 3 + π 6 е вграждаща се на сегмента - π 2; 3 π 2, това означава, че е непрекъснато.

Нека u (x) \u003d x, след това d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d sin x 3 + π 6 dx и d (u (x)) \u003d u" (x) dx \u003d dx, и v (x) \u003d - 3 cos π 3 + π 6. От формулата ∫ A B V "(x) · U (x) d x \u003d (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u" (x) · v (x) d x Получаваме това

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 dx \u003d - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Примерният разтвор може да се извърши по различен начин.

Намерете много примитивни функции x · sin x 3 + π 6 Използване на интеграция в части с формула на Newton-Leibnia:

∫ x · sin xx 3 + π 6 dx \u003d u \u003d x, dv \u003d sin x 3 + π 6 dx ⇒ du \u003d dx, v \u003d - 3 cos x 3 + π 6 \u003d \u003d - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 DX \u003d - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + c ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 dx \u003d - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 \u003d 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Отговор: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Деривати на по-високи поръчки

В този урок ще се научим да намираме производни с по-високи поръчки, както и да записват общата формула на деривата на Анна. В допълнение, формулата на лапията ще бъде разгледана и на многобройни искания - деривати от по-високи поръчки от имплицитно определена функция. Предлагам да преминете незабавно през мини тест:

Ето функция: И тук е първото му производно:

В случай, че имате някакви затруднения / недоразумения за този пример, моля започнете с два основни статии от моя курс: Как да намерим дериват? и Деривативна сложна функция. След развитието на елементарни деривати препоръчвам да се запознаете с урока Най-простите задачи с дериваткъдето сме разбрали, по-специално с второто производно.

Лесно е дори да се предположи, че второто производно е производно на 1-ва дериват:

По принцип, второто производно вече се счита за дериват на най-висок ред.

По същия начин: третото производно е производно на втория дериватив: \\ t

Четвъртото производно произтича от третото дериватив: \\ t

Пето дериват: и е очевидно, че всички деривати с по-високи поръчки също ще бъдат нула:

В допълнение към римското номериране на практика често се използва следната нотация:
Производството на поръчката "ЕНИН" се обозначава с. В същото време индексът на втория индекс трябва да бъде конфигуриран в скоби - Да се \u200b\u200bразграничи дериват от "игри" до степента.

Понякога има такъв запис: - трето, четвърто, пето, ..., "енънс" деривати, съответно.

Напред без страх и съмнения:

Пример 1.

Дана. Да намеря .

Решение: Какво боли ... - напред за четвъртото дериват :)

Четирите удара вече не се приемат, затова отидем на числови индекси:

Отговор:

Е, и сега помислете за такъв въпрос: какво да правите, ако, чрез условие, е необходимо да не се открие 4-то, но например 20-та деривация? Ако за 3-4-5-годишното дериватив (максимум, 6-7) Процедурата за решението се прави доста бързо, а след това преди дериватите на по-високи поръчки, ние ще "правим" о, колко скоро. Не пишете, всъщност, 20 реда! В такава ситуация трябва да анализираме няколко различни производни, за да видим модела и да направим формулата на производно на Анна. Така че, в пример 1 е лесно да се разбере, че с всяка следваща диференциация, преди експонатът да "се появи" допълнителна "тройка" ще "се появи", и на всяка стъпка, степента на "тройка" е равна на "Troika" е равна на Производителен номер, следователно:

Където - произволно естествено число.

И наистина, ако се окаже точно 1-ва дериват: Ако - тогава 2-ри: и т.н. Така двадесетото производно се определя незабавно: - и няма "километрови листове"!

Ние се затопляме:

Пример 2.

Намерете функции. Поставете деривативна поръчка

Решение и отговор в края на урока.

След ободряване на тренировка, ние считаме за по-сложни примери, в които ще работим по-горе алгоритъм за решение. Тези, които успяха да се запознаят с урока Лимит на последователносттаще бъде малко по-лесно:

Пример 3.

Намери за функция.

Решение: Да се \u200b\u200bизясни ситуацията ще намери няколко деривати:

Получените номера не бързат! ;-)


Може би достатъчно. ... дори се премести малко.

В следващата стъпка най-добре е да се направи производна формула "Анна" (Отскоро, състоянието не изисква това, тогава можете да направите Чернивия). За това разглеждаме резултатите и разкриваме моделите, които се получават всяко следващо производно.

Първо, те са алтернативни. Осигурява подравняване "Мигаща"И тъй като 1-ва дериват е положителен, следният мултипликатор ще въведе общата формула: . Подходящ е и еквивалентен на опцията, но аз лично, като оптимист, обичам знака "плюс" \u003d)

Второ, в числатора "намотка" факторИ той "изостава" от броя на деривата на единица:

И трето, степента на "две" нараства в цифровия номер, който е равен на деривативния номер. Същото може да се каже и за степента на знаменател. Накрая:

За тестови цели ще заменим няколко "EN" стойности, например и:

Прекрасно, сега позволяват грешка - просто грях:

Отговор:

По-проста функция за саморешения:

Пример 4.

Намерете функции.

И задачата нараства:

Пример 5.

Намерете функции.

Още веднъж повтарям процедурата:

1) Първо откриваме няколко деривати. Да хванете модели обикновено грабва три или четири.

2) след това силно препоръчваме (поне в проекта) Дериватив "Анна" - ще бъде гарантирано да спаси грешките. Но можете да направите без, т.е. Да прецени и незабавно изгори, например, двадесети или осмия дериват. Освен това някои хора обикновено са в състояние да решават въпросните задачи орално. Въпреки това трябва да се помни, че "бързите" методи са изпълнени и е по-добре да се ограничи.

3) На последния етап изпълнете проверка на производа на "ЕНна" - вземете няколко "en" стойности (по-добре съседни) и извършвайте замяна. И още по-надеждни - проверете всички открити деривати. След това заменяме желаната стойност, например или и спретнато с резултата.

Резюме на 4 и 5 примера в края на урока.

В някои задачи, за да се избегнат проблеми, трябва да седнете по функцията:

Пример 6.

Решение: Разграничаване на предложената функция изобщо не желае, защото се оказва "лоша" фракция, която значително ще намери следните деривати.

В това отношение е препоръчително да се извършат предварителни трансформации: използване формула за квадратна разлика и логаритм за собственост :

Други неща:

И стари приятелки:

Мисля, че всичко е видимо. Моля, обърнете внимание, че втората фракция е редувана и 1-ви - не. Изграждане на деривативна поръчка:

Контрол:

Е, за красота, аз ще донеса фактически за скоби:

Отговор:

Интересна задача за саморешения:

Пример 7.

Напишете процедура за деривативна поръчка за функция

И сега за непоклатимия кръгъл ред, който дори италианската мафия ще завижда:

Пример 8.

Дана. Да намеря

Осемнадесети дериват в точка. Просто.

Решение: Първо, очевидно трябва да намерите. Отивам:

Синус започна да синуси и дойде. Ясно е, че с по-нататъшна диференциация този цикъл ще продължи безкрайно и ще възникне следният въпрос: как най-добре да се "получи" до осемнадесетото производно?

Метод "аматьор": бързо записване надясно в броя на последващите производни: \\ t

По този начин:

Но той работи, ако редът на деривата не е твърде голям. Ако трябва да намерите, да речем, сто производни, тогава трябва да използвате разделение с 4. Едната сто е разделена на 4 без остатък и е лесно да се види, че такива номера са разположени в крайния ред, така че :.

Между другото, 18-та дериватив може също да бъде определена от подобни съображения:
Във втория ред има числа, които са разделени на 4 с остатъка 2.

Друг, по-академичен метод се основава на честотата на синуса и формули на ролите. Ние използваме завършената формула на производно "Ена" на синусоида В който желаният номер е просто заместен. Например:
(формулата на ролите ) ;
(формулата на ролите )

В нашия случай:

(1) Тъй като синусът е периодична функция с период, тогава аргументът може да бъде безболезнено "отвътре" 4 периода (т.е.).

Производството на поръчката от работата на две функции може да бъде намерено по формулата:

В частност:

Специално не си спомням нищо, защото колкото повече формули знаете - толкова по-малко разбирате. Много по-полезно е да се запознаете бином НютонТъй като формулата Leibnia е много сходна с него. Добре, тези, които ще получат дериват на 7-ми или по-високи поръчки (Какво, обаче, малко вероятно)ще бъдат принудени да го направят. Въпреки това, когато херодите ще достигнат комбинаторика - Все още ще има \u003d)

Намерете третата деривативна функция. Използваме формулата Leibnitsa:

В такъв случай: . Деривати, лесни за надзор:

Сега внимателно и внимателно проверете заместването и опростяваме резултата:

Отговор:

Подобна задача за саморешения:

Пример 11.

Намерете функции

Ако в предишния пример решението "в челото" дори се състезава с формулата на Лайбница, тогава тук ще бъде наистина неприятно. И още по-неприятно - в случай на дериват на по-висок ред:

Пример 12.

Намерете дериват на посочения ред

Решение: Първата и съществена забележка - да се реши това, вероятно не е необходимо \u003d) \u003d)

Пишем функции и откриваме техните деривати до 5-ия ред. Предполагам, че дериватите на дясната колона стават устни за вас:

В лявата колона "живи" производни бързо "приключи" и е много добра - във формулата, лапията се презарежда с три термина:

Ще спра отново на дилемата, която се появи в статията комплексни деривати: Опростяване на резултата? По принцип можете да си тръгнете и така - учителят ще по-лесен за проверка. Но може да се наложи да вземе решение. От друга страна, опростяването по собствена инициатива е изпълнено с алгебрични грешки. Въпреки това, имаме отговор, получен от "примитивен" метод \u003d) (Вижте справка в началото)И се надявам, че е вярно:

Страхотно, всичко излезе.

Отговор:

Щастлива задача за саморешения:

Пример 13.

За функция:
а) Намерете пряка диференциация;
б) намерете формулата на Labitsa;
в) изчисляване.

Не, изобщо не съм на всички садист - артикул "А" тук е съвсем прост \u003d)

И ако сериозно, "прякото" решение за последователна диференциация също има "правото на живот" - в някои случаи нейната сложност е сравнима със сложността на прилагането на ластерната формула. Използвайте, ако смятате за подходящо - малко вероятно е да бъде основата за дефектните задачи.

Кратко решение и отговор в края на урока.

За да повдигнете последния параграф, трябва да можете разграничаване на имплицитни функции:

Деривати с по-високи поръчки от функциите, определени имплицитно

Много от нас прекарали дълги часове, дни и седмици от живота, за да учат кръгове, парабол, хипербол - а понякога обикновено изглеждаше наказание. Така че нека да отбележим и да ги подходящи, както следва!

Да започнем с "училището" парабола в нея канонична позиция:

Пример 14.

Уравнението е дадено. Да намеря .

Решение: Първата стъпка е добре запозната:

Фактът, че функцията и нейното производно са имплицитно имплицитно, същността на делото не се променя, второто производно е производно на 1-то дериват: \\ t

Въпреки това, съществуват техните правила на играта: дериватите на втората и по-високи поръчки се приемат за изразяване само чрез "X" и "Igarek". Следователно, в полученото 2-деривативно заместване:

Третото производно произтича от втория дериватив: \\ t

По същия начин ще заменим:

Отговор:

"Училище" хиперболе в канонична позиция - за независима работа:

Пример 15.

Уравнението е дадено. Да намеря .

Повтарям, че второто производно и резултатът трябва да бъдат изразени само чрез "X" / "Ikrar"!

Кратко решение и отговор в края на урока.

След детските шеги, ние ще разгледаме германската подразделение @ FIU да разгледаме повече примери за възрастни, от които научаваме друга важна техника на решения:

Пример 16.

Елипса себе си.

Решение: Намерете първото дериват:

И сега ще спрем и анализираме следващия момент: Фракцията трябва да бъде диференцирана, че изобщо не е щастлива. В този случай, разбира се, е просто, но в действителните задачи на такива подаръци два пъти и се обърнах. Има ли начин да се избегне намирането на обемист дериватив? Съществува! Ние приемаме уравнението и използваме същото приемане, тъй като намирам първия дериват - "Hang" удари на двете части:

Второто производно трябва да бъде изразено само чрез и, така че сега (точно сега) Удобно е да се отървете от 1-то производно. За да направите това, заместваме полученото уравнение:

За да избегнете ненужни технически трудности, умножете двете части на:

И само на последния етап, украсихме фракцията:

Сега разглеждаме първоначалното уравнение и забелязваме, че полученият резултат е опростен:

Отговор:

Как да намерим стойност на второто производно във всяка точка (което е ясно, принадлежи към елипсата), например, в точката ? Много лесно! Този мотив вече се срещна в урока нормално уравнение: В изразяването на второто производно трябва да замени :

Разбира се, във всичките три случая е възможно да се получат изрично определени функции и да ги разграничат, но след това да се настроите да работите с две функции, които съдържат корените. Според мен решението е по-удобно за провеждане на "имплицитен начин".

Окончателен пример за саморешения:

Пример 17.

Намерете имплицитно определена функция

Дадена е формула на лайбер, за да се изчисли N-Thro производно на продукта от две функции. Представя се доказателство по два начина. Пример за изчисляване на деривата на N-ред се разглежда.

Съдържание

Вижте също: Деривативна работа на две функции

Формула Leibniza.

Използвайки лабораторната формула, можете да изчислите дериват на N-то място от продукта на две функции. Той има следната форма:
(1) ,
Където
- Биномиални коефициенти.

Биномиалните коефициенти са коефициенти на разлагане на бинома в градуси и:
.
Също така, номерът е броят на комбинациите от n от k.

Доказателство за формула Leibniz

Прилагаме формулата за производителя на работата на две функции:
(2) .
Пренаписваме формула (2) в следната форма:
.
Това е, че вярваме, че една функция зависи от променливата x, а другата - от променливата y. В края на изчислението приемаме. След това предишната формула може да бъде написана като:
(3) .
Тъй като производно е равно на количеството на членовете, и всеки член е продукт от две функции, след това да се изчислят дериватите на най-висок ред, може да се прилага последователно към правилото (3).

Тогава за дериват на N-ред имаме:

.
Като се има предвид, че ние получаваме формулата Лейбница:
(1) .

Доказателство чрез индукцията

Предвиждаме доказателство за формулата на лайвера по метода на математическата индукция.

Още веднъж отблъсквайте формулата Leibnitsa:
(4) .
За n \u003d 1 имаме:
.
Това е формула за производно продукт от две функции. Тя е справедлива.

Да предположим, че формулата (4) е валидна за дериват на N-ред. Доказваме, че е валидно за производно n + 1 - Поръчка.

Диференциас (4):
;



.
Така че открихме:
(5) .

Заместител в (5) и помислете ::

.
Може да се види, че формулата (4) има същия вид за производно n + 1 - Поръчка.

Така, формула (4) е валидна за n \u003d 1 . От предположението, че се изпълнява, за някакъв номер n \u003d m следва, че се извършва за n \u003d m + 1 .
Доказана е формула Leibnitsa.

Пример

Изчислете N-Thr деривативна функция
.

Приложете формула Leibnica.
(2) .
В нашия случай
;
.

На дериватите на масата имаме:
.
Прилагане на свойствата на тригонометричните функции:
.
Тогава
.
Може да се види, че диференциацията на синусната функция води до нейната промяна. Тогава
.

Ние откриваме деривати от функцията.
;
;
;
, .

Тъй като, във формулата, Лайбер е различен от нула само първите трима членове. Ние намираме биномни коефициенти.
;
.

По формулата, лапията има:

.

Вижте също:

Текстът на работата се поставя без изображения и формули.
Пълната версия на работата е достъпна в раздела "Работни файлове" в PDF формат

"За мен също, Бинин Нютон!»

от романа "майстор и маргарита"

"Триъгълникът на Паскал е толкова просто, че дори десетгодишно дете може да го напише. В същото време той плаща неизчерпаеми съкровища и обвързва различни аспекти на математиката, които нямат какво да правят на пръв поглед. Такива необичайни свойства правят възможно разглеждането на триъгълника на Паскал една от най-елегантните схеми в цялата математика "

Мартин Гарднър.

Цел на работа: За да обобщим формулата на съкратеното умножение, покажете приложението им за решаване на проблеми.

Задачи:

1) да проучи и систематизира информация по този въпрос;

2) разглобяване на примери за задачи за използване на бинома на Нютон и формулите на количеството и разликата на градусите.

Изследователски обекти: Бинин Нютон, формулата на количеството и разликата на градусите.

Изследователски методи:

Работа с образователна и популярна литература, интернет ресурси.

Изчисления, сравнение, анализ, аналогия.

Значение.Човек често трябва да се занимава със задачите, в които трябва да изчислите броя на всички възможни начини за местоположението на някои елементи или броя на всички възможни методи за прилагане на някои действия. Различни пътеки или опции, които трябва да изберете човек, се сгъват в голямо разнообразие от комбинации. И цяла част от математиката, наречена комбинаторика, се занимава с търсене на отговори на въпроси: колко комбинации са в един или друг случай.

Комбинаторите трябва да се справят с много специалности: учен по химия, биолог, конструктор, диспечер и др. Укрепване на интереса към комбинаторния наскоро е причинено от бързото развитие на кибернетиката и компютърното оборудване.

Въведение

Когато искат да подчертаят, че събеседникът преувеличава сложността на задачите, с които се сблъсква, те казват: "за мен, Бинин Нютон!" Кажете, тук бин Нудон, трудно е и какви проблеми имате! Дори и тези хора, чиито интереси не са свързани с математиката, са чували за бионома на Нютон.

Думата "бин" означава биконово, т.е. Сумата на двата термина. От учебната година са известни така наречените формули от съкратено умножение:

( но + б) 2 \u003d А. 2 + 2AB + B 2 (A + b) 3 \u003d А. 3 + 3A. 2 b + 3AB. 2 + Б. 3 .

Обобщаването на тези формули е формула, наречена Binomine формула на Нютон. Използва се в училище и формули, разлагане на множители на квадратни различия, количества и разлики в кубчетата. Имате ли генерализация за други степени? Да, има такива формули, те често се използват в решаването на различни задачи: относно доказателства за разделяне, намаляване на фракциите, приблизителни изчисления.

Изследването на обобщаващите формули се развива дедуктивно-математическо мислене и общи способности за мислене.

Раздел 1. Формула на Binoma Binoma

Комбинации и техните свойства

Нека X е набор, състоящ се от n елементи. Всяка подгрупа от Y на SET X, съдържаща K елементи, се нарича комбинация от K елементи от n, докато, k ≤ n.

Броят на различните комбинации от K елементи от N са обозначени с N K. Една от най-важните формули за комбинаторика е следната формула за номера с N K:

Тя може да бъде записана след очевидни контракции, както следва:

В частност,

Това е съвсем съобразено с факта, че в комплекта X има само една подгрупа от 0 елемента - празна подгрупа.

Числата C N K имат редица прекрасни свойства.

Формулата е валидна с N K \u003d с N - K N, (3)

Значението на формула (3) е, че има взаимно недвусмислено съответствие между множеството от всички K-мембранни подгрупи от X и набора от всички (N - K) подгрупи от X: за установяване на тази кореспонденция, тя е достатъчна Към всеки k-членен подгрупа y съответства на добавянето му в комплекта X.

Формула C 0 N + C1 N + C2N + ... + с n n \u003d 2N (4)

Сумата, която стои в лявата страна, изразява броя на всички подгрупи на комплекта X (C 0 N е броят на 0-членове на подгрупа, C 1N е броят на единичните подгрупи и др.).

С всеки k, 1≤ k≤ n, равенството е справедливо

C K N \u003d C N -1 K + C N -1 K -1 (5) \\ t

Това равенство е лесно да се получи с помощта на формула (1). Наистина,

1.2. Изходът на формулата Binoma Newton

Разгледайте степените на скача A +.б. .

n \u003d 0, (a +б. ) 0 = 1

n \u003d 1, (a +б. ) 1 \u003d 1a + 1б.

n \u003d 2,(A +.б. ) 2 \u003d 1А. 2 + 2а.б. +1 б. 2

n \u003d 3,(A +.б. ) 3 \u003d 1 А. 3 + 3а. 2 б. + 3а.б. 2 +1 б. 3

n \u003d 4,(A +.б. ) 4 \u003d 1А. 4 + 4а. 3 б. + 6а. 2 б. 2 + 4а.б. 3 +1 б. 4

n \u003d 5,(A +.б. ) 5 = 1а. 5 + 5а. 4 б. + 10а. 3 б. 2 + 10а. 2 б. 3 + 5а.б. 4 + 1 б. 5

Обърнете внимание на следните мономери:

Броят на членовете на получената полином на единица е по-голям от показателя за степента на бинома;

Индикаторът за степента на първия термин намалява от N до 0, индикаторът за степента на втория термин се увеличава от 0 до N;

Степените на всички едно-панели са равни на степента на отскочи в състоянието;

Всяко еднокрило е продуктът от първия и втория израз в различни степени и някакъв брой - коефициента на биномин;

Биномативните коефициенти, равни на началото и края на разлагането са равни.

Обобщението на тези формули е следната формула, наречена биноминова формула на Нютон:

(а. + б. ) н. = ° С. 0 н. а. н. б. 0 + ° С. 1 н. а. н. -1 б. + ° С. 2 н. а. н. -2 б. 2 + ... + ° С. н. -1 н. aB. н. -1 + ° С. н. н. а. 0 б. н. . (6)

В тази формула н. Може би всяко естествено число.

Извличаме формула (6). На първо място, ние пишем:

(а. + б. ) н. = (а. + б. )(а. + б. ) ... (а. + б. ), (7)

където броят на променливите скоби е равен н.. От обичайното правило на умножаването на сумата в сумата предполага, че изразът (7) е равен на сумата от всякакви произведения, които могат да бъдат както следва: първото резюме на всеки a + B. умножени по втората сума на никого a + B., третата сума на всеки и т.н.

От това, което е ясно, че терминът в изразяването (а. + б. ) н. съответстват (взаимно недвусмислени) струни от n, съставени от букви а и b. Сред компонентите ще се срещнат с такива членове; Очевидно тези членове съответстват на струните, съдържащи същия брой букви. но. Но броят на линиите, съдържащи точно k пъти писмо ноЕднакво с n k. Това означава, че сумата на всички членове, съдържащи писмото и мултипликатора е точно k пъти, равно на n k а. н. - к. б. к. . Тъй като K може да приеме стойности 0, 1, 2, ..., N - 1, N, тогава формула (6) следва от нашия аргумент. Обърнете внимание, че (6) можете да записвате по-кратък: (8)

Въпреки че формулата (6) се нарича името на Нютон, в действителност тя е разкрита пред Нютон (например Паскал го знаеше). Заслугата на Нютон е, че той е намерил обобщение на тази формула в случай, че не цели показатели. Това е i.nyuton през 1664-1665. Той донесе формулата, която експресира усукани за произволни частични и отрицателни показатели.

Числата C 0 N, C'N, ..., CNN, които са включени във формула (6), се наричат \u200b\u200bбиномни коефициенти, които се определят, както следва:

От формула (6) можете да получите редица свойства на тези коефициенти. Например, вярваше но \u003d 1, b \u003d 1, получаваме:

2 N \u003d C 0 N + C 1 N + C2N + C3N + ... + C N N,

тези. Формула (4). Ако е поставен но \u003d 1, b \u003d -1, тогава ще имаме:

0 \u003d C 0 N - C1 N + C2N - C3N + ... + (-1) nc n n

или с 0 N + C2 N + C4 N + ... \u003d C 1 N + C3 N + + C5 N + ....

Това означава, че сумата на коефициентите на активните членове на разпадане е равна на сумата на коефициентите на членовете на нечетните разлагания; Всеки от тях е 2 N -1.

Коефициентите на членовете е равносилни от краищата на разлагането са равни. Тези свойства следва от връзката: с n k \u003d с n n-k

Интересен частен случай

(X + 1) n \u003d C 0 N X N + C1 N XN-1 + ... + C K N x N - K + ... + C N N x 0

или накратко (x +1) n \u003d σc n k x n-k.

1.3. Полиномна теорема.

Теорема.

Доказателства.

Така че след оповестяване скобите се оказаха нетрошен, трябва да изберете тези скоби, от които се приемат, тези скоби, от които се вземат и т.н. И тези скоби, от които са взети. Коефициентът едновременно, след като привежда такива членове, е равен на броя на начините, по които може да се приложи такъв избор. Първата стъпка на избирателната последователност може да се извърши по методи, втората стъпка - третата - и т.н. -y стъпка по пътя. Желаният коефициент е равен на работата

Раздел 2. Деривати с по-високи поръчки.

Концепцията за деривати с по-високи поръчки.

Нека функцията се диференцира в някакъв интервал. След това производно, общо казано, зависи от това х.това е функция от х.. Следователно, във връзка с нея е възможно да се повдигне въпросът за съществуването на деривата.

Дефиниция . Производно на първото производно се нарича производно или второ производно или е посочено от символа или, т.е.

Дефиниция . Производството на второто производно се нарича дериват на трета поръчка или трето производно и е посочено от символа или.

Дефиниция . Деривативн. поръчкафункции наречена първото производно на деривата (н. -1) - Поръчка на тази функция и е обозначена със символа или:

Дефиниция . Извикват се производни на поръчката над първите най-високи производни.

Коментар. По същия начин можете да получите формула н. Деривативната функция:

Второто производно на параметрично определената функция

Ако функцията е зададена от параметрични уравнения, е необходимо да се използва експресията за първото му производно, за да се намери дериват на втори ред, като сложна функция на независима променлива.

От тогава

и вземане предвид факта, че

Получаваме това.

По същия начин можете да намерите третото производно.

Диференциална сума, работи и частно.

Тъй като диференциалът се получава от независимо променливо размножаване на производно, тогава, като знаят дериватите на основните елементарни функции, както и правилата за намиране на деривати, може да се стигне до същите правила за намиране на разлики.

1 0 . Диференциалната константа е нула.

2 0 . Диференциалът на алгебричното количество на крайния брой диференцируеми функции е равно на алгебричното количество диференциали на тези функции .

3 0 . Диференциалът на работата на две диференцируеми функции е равен на размера на произведенията на първата функция към диференциал на втората и втората функция върху разликата от първия .

Следствие. Постоянен мултипликатор може да бъде изваден от диференциалния знак.

2.3. Функциите са посочени параметрично, тяхната диференциация.

Дефиниция . Функцията се нарича даден параметрик, ако и двете променливи х. и es се дефинират поотделно като недвусмислени функции от една и съща спомагателна променлива - параметърътt. :

къдетоt. варира в рамките на.

Коментар . Предвиждаме параметрични кръгове и уравнения елипса.

а) заостян с центъра в началото на координатите и радиуса r. Има параметрични уравнения:

б) пишем параметрични уравнения за елипсата:

Чрез изключване на параметъра t. От параметричните уравнения на разглежданите линии е възможно да се стигнат до техните канонични уравнения.

Теорема . Ако функцията u от аргумент x се дава от параметрични уравнения, където и диференцируемиt. Функции и след това.

2.4. Формула Leibnitsa.

Да намери дериват н. - OH ред от работата на две функции е голяма практическа стойност на формулата Labitsa.

Нека бъде улавяне и в. - Някои функции от променлива х.с производни на всякакъв ред и. \\ t y. = uV. . Експрес н. Деривати чрез получени функции улавяне и в. .

Имаме последователни

Лесно е да се забележи аналогия между изрази за втората и третата деривати и разлагане на бинома на Нютон, съответно, във втората и третата степен, но вместо показателите на степента струва номера, който определя процедурата за дериват, \\ t и самите функции могат да се считат за "производни на нула". Като се има предвид това, получаваме формула Leibnitsa:

Тази формула може да се докаже от математическа индукция.

Раздел 3. Прилагане на формулата на Labender.

За да се изчисли производителят на всякакъв ред от продукта от две функции, се заобикаля последователното използване на формулата за изчисляване на произволята от продукта от две функции, формула Leibniza..

Използвайки тази формула, помислете за примери за изчисляване на дериват на N-такъв ред от продукта на две функции.

Пример 1.

Намерете деривативна функция втори ред

Съгласно дефиницията, второто производно е първото производно на първото производно, което е

Ето защо първо намерим производно от първа поръчка от дадена функция според правила за диференциация и използване деривати на масата:

Сега откриваме производно на дериват на първия ред. Това ще бъде производно за втори ред:

Отговор:

Пример 2.

Намерете производно на реда на функцията

Решение.

Ние последователно ще намерим дериватите на първата, втората, третата, и така нарежата на посочената функция, за да създадем модел, който може да бъде обобщен с производно.

Дериват за първи ред Намерете как частна деривация:

Тук изразът се нарича факториален номер. Факторът на броя е равен на продукта от числа от един до, който е

Дериват на втори ред е първото производно на първото производно, което е

Дериват на третия ред:

Четвърто дериват:

Обърнете внимание на модела: в числителя има фактор на номера, който е равен на реда на производно, а в знаменателя изразът до степента на единица е по-голяма от реда на производно, т.е.

Отговор.

Пример 3.

Намерете стойността на третата деривативна функция в точката.

Решение.

Според деривати на таблици с по-високи поръчкиНие имаме:

В примера, който се разглежда, ние получаваме

Обърнете внимание, че такъв резултат може да бъде получен с последователна намиране на производни.

В дадена точка третото производно е равно на:

Отговор:

Пример 4.

Намерете втората деривативна функция

Решение. За да започнем, откриваме първото производно:

За да намерите второто производно, изразът за първото производно отново е да бъде безразличен:

Отговор:

Пример 5.

Намерете IF

Тъй като определената функция е продукт от две функции, след това да се намери производно на четвъртия ред, ще бъде препоръчително да се прилага формулата Leibniza:

Ние откриваме всички деривати и разглеждаме коефициентите с компонентите.

1) Разгледайте коефициентите при условията:

2) Ще намерим деривати от функцията:

3) Ние откриваме деривати от функцията:

Отговор:

Пример 6.

Дадена е функцията y \u003d x 2 cos3x. Намерете дериват на трета поръчка.

Нека u \u003d cos3x, v \u003d x 2 . След това, от формулата Labitsa, намираме:

Дериватите в този израз имат формата:

(Cos3x) '\u003d - 3sin3x,

(cos3x) '' \u003d (- 3sin3x) '\u003d - 9COS3X,

(cos3x) '' '\u003d (- 9cos3x)' \u003d 27sin3x,

(x2) '\u003d 2x,

(x2) '' \u003d 2,

(x2) '' '\u003d 0.

Следователно третото производно на определената функция е равно на

1 ⋅ 27SIN3X ⋅ x2 + 3 ⋅ (-9cos3x) ⋅ 2x + 3 ⋅ (-3Sin3x) ⋅ 2 + 1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2SIN3X-54XCOS3X-18SIN3X \u003d (27x2-18) SIN3X-54XCOS3X.

Пример 7.

Намерете дериватн. - функция за поръчкаy \u003d x 2 cosx.

Използваме формулата Leibnitsa, вярвамеu \u003d cosx., v \u003d X. 2 . Тогава

Останалите членове на реда са нула, тъй като(x2) (i) \u003d 0 при i\u003e 2.

N. Дериватив - Заповедта Cosino функция:

Следователно производителят на нашата функция е равен

Заключение

Училищните проучвания и използват така наречените формули на съкратеното умножение: квадратите и кубчетата на сумата и разликата в две изрази и формулата за разлагане върху множителите на квадратната разлика, количествата и разликата на кубчетата от две изрази. Обобщението на тези формули е формула, наречена Формула за бинома в Нютон и формулата за разлагане на включването на количеството и разликата на градусите. Тези формули често се използват при решаването на различни задачи: относно доказателства за разделяне, намаляване на фракциите, приблизителни изчисления. Разглеждат се интересни свойства на триъгълника на Паскал, които са тясно свързани с Бином Нютон.

Информацията на темата е систематизирана в работата, примери за задачите за използване на бинома на Нютон и формулите на количеството и разликата на градусите. Работата може да се използва в работата на математическия кръг, както и за самообучение на тези, които обичат математиката.

Списък на използваните източници

1.VILENKIN N.YA. Комбинаторика. - ЕД. "Науката". - М., 1969

2. Николски и., Потапов М.К., Рехетенков н., Шевкин А.в. Алгебрата и началото на математическия анализ. 10 клас: проучвания. За общо образование. Организации Основни и задълбочени нива - м.: Просвещение, 2014. - 431 стр.

3. Отпадъци за статистика, комбинаторика и теория на вероятностите. 7-9 cl. / Автор - компилатор v.n. Студент. - Ед. 2-ри, sn., - Волгоград: учител, 2009

4.Savushkina i.a., Hugaev K.D., Tishkin S.B. Алгебрични уравнения на по-високи степени / методически ръководства за слушатели на подготвителния отдел "Интеруниверсивност". - Санкт Петербург, 2001.

5. Шировка I.f. Незадължителен курс по математика: решаване на проблеми. Урок за 10 cl. гимназия. - m.: Просветление, 1989.

6.Наука и живот, Бинин Нютон и Триъгълник Паскал [Електронен ресурс]. - режим на достъп: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/