Възможностите за местоположението на правия и равнина в пространството. Взаимно положение на директната и самолета, две равнини

Местоположение

Знак:ако е права, без да лежите в този самолет, успоредно на някои директни лежи в този самолет, тогава тя е успоредна на този самолет.

1. Ако равнината преминава през тази директна, паралелна друга равнина и пресича тази равнина, тогава линията за пресичане на линията е успоредна на това директно.

2. Ако един от 2-правия паралел с това, тогава другият директен или успореден на този самолет или се намира в този самолет.

Взаимно местоположение на самолетите. Паралелизъм на равнините

Местоположение

1. Самолетите имат най-малко 1 обща точка, т.е. пресичайте в пряк

2. Самолетите не се пресичат, т.е. В този случай те няма 1 обща точка, те се наричат \u200b\u200bпаралелен.

знак

ако 2 пресичащи прави 1 самолета са успоредни на 2 преки други равнини, тогава тези равнини са успоредни.

Sv-v.

1. Ако се пресичат 2 паралелни самолета 3, тогава линиите на тяхното пресичане са успоредни

2. Сегменти на паралелни прави линии, затворници между паралелни самолети са равни.

Перпендикулярност на прав и равнина. Знак за перпендикулярност на директната и равнината.

Директно име perpendioland.Ако се пресичат<90.

Лема:ако 1 от 2 паралелни директни перпендикулярни на третата права линия, тогава другата директно е перпендикулярна на тази права линия.

Право обикновен перпендикулярен на равнината,ако е перпендикулярно на всяко пряко в тази равнина.

Теорема: Ако 1 от техните 2 паралелни директни са перпендикулярни на равнината, другият директно е перпендикулярно на тази равнина.

Теорема:ако 2 директно е перпендикулярно на равнината, те са успоредни.

Знак

Ако директно е перпендикулярно на 2M пресичащия се директно лежащ в равнината, той е перпендикулярно на тази равнина.

Перпендикулярно и наклонено

Ние изграждаме самолета и така нататък, не принадлежащи на самолета. Понякога те ще прекарат прав, перпендика на самолета. Точката на пресичане на права линия със самолета е N. секция AN - перпендикулярна, извършена от равнината. Така наречената е основата на перпендикуляра. Ние сме в равнината на ТМ, която не съответства на N. секция Am - наклонена, извършена от TA към самолета. M е основата на наклонена. Нарежете mn - проекция наклонена на равнината. Перпендикулярно е разстоянието от t.а до равнината. Всяко разстояние е част от перпендикуляра.

Три перпендикулярна теорема:

Директно, проведено в равнината през основата на наклонената перпендикулярна на нейната проекция върху тази равнина, перпендикулярна на най-наклонена.

Ъгълът между правия и самолета

Ъгълът между прав исамолетът нарече ъгъла между тази права и нейната проекция в самолета.

ДИХДРАЛНИЯ Ъгъл. Ъгълът между самолетите

Dihed Corner. Фигурата, образувана от прав и 2 полумесеца с обща граница А, не принадлежаща към една равнина.

Граница a - ръба на фиктивния ъгъл.Половин самолет - лицето на ъгъла на Dugran.За измерване на диедралния ъгъл. Трябва да изградите линеен ъгъл в нея. Отбелязваме на ръба на ъгъла на курграра, а във всяко лице от тази точка носим лъч, перпендикулярно на ръба. Ъгълът на ъгъла, образуван от тези лъчи ъгъл на линеен бум.Вътре в ъгъла на джуджето може да бъде безкрайно много. Всички те имат една и съща стойност.

Перпендикулярност на две равнини

Две пресичащи се равнини перпендикулярно,ако ъгълът между тях е 90.

Знак:

Ако 1 от 2-те самолети преминават през права, перпендикулярна на друга равнина, тогава такива равнини са перпендикулярни.

Polyhedra.

Polyhedron.- повърхността, съставена от полигони и ограничава някакво геометрично тяло. Лице - полигони, от които са съставени полихедрата. Ребрата - лицеви лица. Vershins. - краища на ребрата. Диагонален полихедрон Сегментът, свързващ 2 върха, които не принадлежат на 1 аспект. Самолет, от двете страни, от които има полиедрон точки, наречени . Sastm самолет.Общата част от полихедрона и защитената зона на Naz напречно сечение на полихедрона.Полиедрата са изпъкнали и вдлъбнати. Полихедрън се обади изпъкналАко се намира един път от равнината на всяка от нейните аспекти (тетраедър, паралепипед, октаедрон). В изпъкналия полихед сумата от всички плоски ъгли на всеки отгоре е по-малка от 360.

Призм

Полихедрът, съставен от 2 равни полигони, разположени в паралелни самолети и P - паралелограми призма.

Полигони A1A2..A (p) и v1v2..V (p) - основите на призмата. A1A2V2B1 ... - паралелограми, A (p) a1v1v (p) - странично лице. Сегменти A1B1, A2B2..A (P) в (P) - странични ръбове. В зависимост от полигона, в основата на призмата, призмата наречени P-въглища.Перпендикулярно проведено от всяка точка на една база към равнината на друга основа, наречена височина.Ако страничните ръбове на призмата са перпендикулярни на основата, след това призма - Правои ако не е перпендикулярно на - след това наклонена.Височината на директната призма е равна на дължината на страничния му ръб. Директен prismanaz правилноАко основата му е правилните полигони, всички странични лица са равни правоъгълници.

Паралепипед

AVSD // A1B1S1D1, AA1 // BB1 // SS1 // DD1, AA1 \u003d BB1 \u003d SS1 \u003d DD1 (според паралелните самолети)

Паралепипед се състои от 6 паралела. Наречени паралела лица.ABSD и A1B1S1D1 - бази, други лица страна. Точки А в C D A1 B1 C1 D1 - върхове. Сегменти, свързващи върхове - ребра. AA1, BB1, SS1, DD1 - странични ръбове.

Диагонална паралепипеда -сегментът, свързващ 2 върха, които не принадлежат на 1 аспект.

Sv-v.

1. противоположни лица на паралепипедадния паралел и равни. 2. Диагоналът на паралепипеда се пресича в една точка и се разделя на тази точка наполовина.

Пирамида

Помислете за полигона A1A2..A (P), точката P, която не лежи в равнината на този многоъгълник. Свържете точката P с върховете на полигона и получаваме триъгълниците: Ra1a2, Ra2a3 ..... (P) A1.

Полихедрът, съставен от P-cornel и P-триъгълници наречена пирамида.Многоъгълник - база.Триъгълници - странично лице.R - топ пирамида.Сегменти A1R, A2R..A (P) R - странични ръбове.В зависимост от полигона, лежащ в основата, пирамидата p-въглища. Височина на пирамидатанед перпендикулярно, проведено от върха до основната равнина. Пирамида на нацистАко основата му е десният многоъгълник и височината попада в центъра на основата. Апотем- Височина на страничната повърхност на дясната пирамида.

Пресечена пирамида

Помислете за пирамидата на RA1A2A3A (P). Извършваме закрепващата равнина успоредно на основата. Този самолет разделя нашата пирамида на 2 части: горната - пирамидата, подобна на тази, по-ниската пресечена пирамида. Страничната повърхност се състои от трапец. Страничните ръбове се присъединяват към върховете на основата.

Теорема:площта на страничната повърхност на правилната пресечена пирамида е равна на работата на периметъра на основата на апотела.

Точно полихедра

Изпъкнали имена на полиедрона правилноАко всичките му лица са равни на десните полигони и всеки от неговите топ води до същия брой ребра. Пример за правилния полихед на OLL куба. Всички негови гранични квадрати, и във всеки връх той се слива с 3 ребра.

Десен тетраедронима 4 равностранени триъгълника. Всеки връх - горната част на 3 триъгълника. Сумата от плоски ъгли на всеки връх 180.

Правилен октаедрон Цена на 8 естанция на триъгълниците. Всеки връх е връх от 4 триъгълника. Сумата от плоски ъгли на всеки връх \u003d 240

Десен икосахдрон Цена на 20 равностранени триъгълника. Всеки връх е триъгълник на Vertex 5. Сумата от плоски ъгли на всеки връх 300.

Кубикцена на 6 квадрата. Всеки връх е връх 3 квадрати. Сумата от плоски ъгли на всеки връх \u003d 270.

Право Додекаедронразходите от 12 редовни пентони. Всеки връх - връх 3 на десните пентони. Сумата от плоски ъгли на всеки връх \u003d 324.

Няма други видове правилни полиедри.

Цилиндър

Тялото, ограничено от цилиндричната повърхност и две кръгове с границите на L и L1 цилиндър.Кръгове l и l1 бази на цилиндъра. Нарязани mm1, aa1 - формиране. Образуване на цилиндричната или страничната повърхност на цилиндъра. Директни, всеобхватни земни центрове O и O1 оста на цилиндъра.Дължината на формирането - височина на цилиндъра.Радиус на базата (R) -родиус цилиндър.

Напречни сечения на цилиндъра

Аксиаленпреминава през оста и диаметъра на основата

Перпендикулярно на оста

Цилиндърът е тялото на въртене. Оказва се, че завърта правоъгълника около 1 от страните.

Конус

Помислете за кръга (O; R) и директно или перпендикулярно на равнината на този кръг. През всяка точка на обиколката L, а TR ще извърши сегментите, те са безкрайно много. Те образуват конична повърхност и се наричат форма.

R- vertex., ИЛИ - оста на коничната повърхност.

Тялото, ограничено от коничната повърхност и кръга с границата l наречен конус. Кръг -конусна база. Горната част на конична повърхност - Топ конус.Образуване на конична повърхност - модерационен конус. Конична повърхност - странична повърхност на конуса.Ro - оста на конуса. Разстояние от R до О - височина Конус.Конусът е тялото на въртене. Оказва се, че завърта десния триъгълник около категорията.

Напречно сечение на конуса

Аксиална секция

Напречно сечение перпендикулярна ос

Сфера и драк

Сферанозната повърхност, състояща се от всички точки на място, разположени на дадено разстояние от тази точка. Тази точка е център на сферата.Това разстояние е Радиус на сферата.

Намалете свързването на 2 точки на сферата и преминаване през центъра затъмнени с диаметър на сферата.

Тялото е ограничено до сферата топка.Център, радиус и диаметър на сферата център, радиус и диаметър на топката.

Сфера и топка - това са телата на въртене. Сфера Оказва се, че завърта полукръд около диаметъра и топка Оказва се въртенето на полукръг около диаметъра.

в правоъгълната координатна система уравнението на сферата на радиуса R с центъра C (X (0), Y (0), Z (0) има формата (x (0)) (2) + (UY (0) ) (2) + (zz (0)) (2) \u003d r (2)

Взаимното подреждане на директното и равнината в пространството позволява три случая. Директното и равнината могат да се пресичат в една точка. Те могат да бъдат успоредни. И накрая, прав може да лежи в самолета. Откриването на специфичната ситуация за директна и равнина зависи от метода на тяхното описание.

Да предположим, че равнината π е дадена от общото уравнение π: ax + by + cz + d \u003d 0 и права линия l - канонични уравнения (x - x 0) / l \u003d (y - y 0) / m \u003d ( z - z 0) / n. Уравненията директно дават координатите на точката m 0 (x 0; y 0; z 0) върху директните и координатите на водещия вектор s \u003d (l; m; n) от това директно, и уравнението на равнината - координатите на нормалния му вектор n \u003d (a; b; c).

Ако права линия l и равнината π се пресичат, тогава направляващият вектор s права не е паралелен самолет π. Така че, нормалната векторна равнина не е ортогонален вектор s, т.е. Техният скаларен продукт не е нула. Чрез коефициентите на правилните уравнения, това състояние се записва като неравенство A1 + BM + CN.

Ако прав и равнинът е паралелен или директни лъжи в равнината, тогава се извършва състоянието S ⊥ N, което в координатите се намалява до равенството al + bm + cn \u003d 0, за да се разделят случаите "паралелни" и "директно." Принадлежи към равнината ", трябва да проверите дали да проверите дали точка на директна равнина.

Така и трите случая на взаимно подреждане на директната и равнината са разделени чрез проверка на подходящите условия:

Ако директният L е даден от своите общи уравнения:

възможно е да се анализира взаимното подреждане на директната и равнината π, както следва. От общите уравнения на прякото и общото уравнение на равнината ще бъде система от три линейни уравнения С три неизвестни

Ако тази система няма разтвори, след това директно успоредно на равнината. Ако има едно решение, тогава правото и равнината се пресичат в една точка. Последният е еквивалентен на факта, че определена система (6.6)

различен от нула. И накрая, ако системата (6.6) има безкрайно много решения, след това директно принадлежи към равнината.

Ъгълът между прав и равнина. Ъгълът φ между права линия L: (x - x 0) / l \u003d (y - y 0) / m \u003d (z - z 0) / n и равнината π: AX + by + cz + d \u003d 0 е В диапазона от 0 ° (в случай на паралелизъм) до 90 ° (в случай на перпендикулярност на прав и равнина). Синусът на този ъгъл е равен на | cosψ |, където ψ е ъгълът между директния воден вектор и нормалния N равнинен вектор (фиг. 6.4). Изчисляване на косина на ъгъла между два вектора чрез техните координати (виж (2.16)), ние получаваме

Състоянието перпендикулярност на прав и равнина е еквивалентно на факта, че нормалният равнинен вектор и директният водещ вектор. Чрез координатите на векторите това условие е написано под формата на двойно равенство.

В планината, самолетът е една от основните цифри, следователно е много важно да има ясна представа за това. Тази статия е предназначена да разкрие тази тема. Първоначално концепцията на самолета, нейното графично представяне и показва обозначенията на самолетите. След това самолетът се разглежда заедно с точка, пряка или друга равнина, докато има варианти от взаимното местоположение в пространството. Във втория и третия и четвъртия параграф на статията са представени всички варианти на взаимно подреждане на две равнини, директни и самолети, както и точки и самолети, са представени основните аксиоми и графична илюстрация. В заключение са дадени основните начини за определяне на равнината в пространството.

Навигация.

Самолет - основни концепции, нотация и образ.

Най-простите и основните геометрични форми в триизмерното пространство са точката, права и равнина. Вече имаме представа за точката и директно в самолета. Ако поставите самолета, на който точки и директни, в триизмерно пространство, тогава ще получим точки и право в космоса. Изгледът на равнината в пространството ви позволява да получите, например, повърхността на таблицата или стената. Въпреки това, таблицата или стената има крайни размери, а самолетът се простира за техните граници в безкрайност.

Точките и директните в пространството са обозначени, както и на равнината - големи и малки латински букви, съответно. Например, сочи a и q, прави a и d. Ако две точки са зададени на права линия, тогава директният може да бъде обозначен с две букви, съответстващи на тези точки. Например, AV или WA преминава през точки А и Б. Самолетът е направен да обозначи с малки гръцки букви, например равнина, или.

При решаването на задачите е необходимо да се изобрази равнината в чертежа. Самолетът обикновено е изобразен като паралелограма или произволна проста затворена площ.

Самолетът обикновено се разглежда заедно с точки, директни или други равнини, докато възникват различни опции за тяхното взаимно местоположение. Отидете в описанието.

Взаимно местоположение на самолета и точка.

Да започнем с аксиомите: във всяка равнина има точки. Следва първата версия на относителната позиция на равнината и точката - точката може да принадлежи на равнината. С други думи, равнината може да премине през точката. За да се позовете на принадлежността на всяка точка на всеки самолет, използвайте символа "". Например, ако самолетът преминава през точката А, тогава можете да го изгорите накратко.

Трябва да се разбере, че на дадена равнина в пространството има безкрайно много точки.

Следващата аксиома показва колко точки в пространството трябва да се отбележат, че определят специфичната равнина: чрез три точки, които не лежат на една права линия, равнината преминава и само един. Ако са известни три точки, лежащи в равнината, тогава равнината може да бъде обозначена в три букви, съответстващи на тези точки. Например, ако равнината преминава през точки А, В и С, тогава тя може да бъде обозначена с ABC.

Ние формулираме друга аксиома, която дава втори вариант на относителното местоположение на равнината и точки: има поне четири точки, които не лежат в една и съща равнина. Така че, точката на пространството не може да принадлежи на равнината. Наистина, поради предишните аксиоми през три точки на пространството, самолетът минава, а четвъртата точка може да бъде като лежаща на този самолет и да не лъжа. С кратък запис, използвайте символа "", който е еквивалентен на фразата "не принадлежи."

Например, ако точката и не лежи в равнината, тогава използвайте кратък запис.

Директно и самолет в пространството.

Първо, прав може да лежи в самолета. В този случай самолетът лежи поне две точки от това право. Това е поставено от аксиома: ако две точки директно лежат в самолета, тогава всичките точки на тази прясна лъжа в самолета. За кратък запис на принадлежността на някаква директна равнина използвайте символа "". Например, записът означава, че прав и лежи в равнината.

Второ, директно може да пресече самолета. В същото време, прав и равнина имат една единствена обща точка, която се нарича точка на пресичане на прав и равнина. С кратък запис, пресичането показва символа "". Например, записът означава това право и пресича равнината в точката m. С пресечната точка на равнината се появява някакво прав концепцията за ъгъла между прав и равнина.

Отделно си струва да спрете по права линия, която пресича самолета и перпендикулярно на всяко пряко лежащо в тази равнина. Такива директно се нарича перпендикулярно на равнината. За кратък запис на перпендикулярност се използва SYMOMAL "" ". За по-дълбоко проучване на материала можете да се обърнете към елемента перпендикулярността на директен и равнина.

Специално значение при решаването на проблеми, свързани с равнината, има така наречения нормален вектор. Нормалният вектор на равнината е всеки ненулев вектор, лежащ на прав, перпендикулярно на тази равнина.

Трето, директното може да бъде успоредно на равнината, т.е. няма да има общи точки в нея. С кратък запис на паралелизма използвайте символа "". Например, ако е направо и успоредно на равнината, тогава можете да пишете. Препоръчваме да четете този случай по-подробно, като се позовавате на паралелизма на прав и равнина.

Трябва да се каже, че правният, лежащ в самолета, разделя тази равнина в две полу-самолети. Директен в този случай се нарича граница на полупозицията. Всякакви две точки от един половин самолет лежат от едната страна от линията, а две точки на различни полу-самолети лежат на различни страни на границата.

Взаимно местоположение на самолетите.

Две равнини в пространството могат да съвпадат. В този случай те имат най-малко три общи точки.

Две равнини в пространството могат да се пресичат. Пресечването на две равнини е права линия, която се определя от аксиома: ако две равнини имат обща точка, тогава те имат обща линия, на която лежат всички общи точки от тези равнини.

В този случай се случва концепцията за ъгъла между пресичащите се равнини. Отделен интерес е случаят, когато ъгълът между самолетите е равен на деветдесет градуса. Такива равнини се наричат \u200b\u200bперпендикулярни. Говорихме за перпендикулярността на самолетите в статията.

И накрая, две равнини в пространството могат да бъдат успоредни, т.е. да не разполагат с общи точки. Препоръчваме ви да се запознаете с статията паралелизъм на равнините, за да получите пълна представа за това изпълнение на роднините.

Начини за задаване на самолет.

Сега изброяваме основните начини за определяне на конкретна равнина в пространството.

Първо, равнината може да бъде настроена чрез фиксиране на три, които не лежат върху една права точка на пространството. Този метод се основава на аксиома: чрез всякакви три точки, които не лежат на една права линия, единственият самолет преминава.

Ако дадена равнина е записана в триизмерното пространство, използвайки индикацията на координатите на три различни точки, които не лежат по едно право, тогава можем да напишем уравнението на равнината, преминаваща през три зададени точки.

Следващите два метода за определяне на равнината са следствие от предишния. Те се основават на последствията от аксията на равнината, преминаващи през три точки:

• чрез директна и не лъжлива точка, точката преминава самолета, освен това, само един (вж. Също направление на равнината, преминаваща през прав и точка);
• чрез две пресичащи се прави линии, единственият самолет преминава (препоръчваме ви да се запознаете с материала на изделието чрез уравнението на равнината, преминаваща през две пресичащи се прави линии).

Четвъртият начин за задаване на равнината в пространството се основава на определението за паралелни прави линии. Припомнете си, че две прави линии се наричат \u200b\u200bпаралел, ако лежат в една и съща равнина и не се пресичат. По този начин, показвайки две паралелни прави линии в пространството, ние определяме единствения самолет, в който лъжат тези лъжи.

Ако в триизмерното пространство спрямо правоъгълната координатна система, равнината се определя по посочения начин, тогава можем да направим уравнението на равнината, преминаваща през две паралелни прави линии.

Курсът на гимназията в геометрените уроци се доказва от следната теорема: чрез фиксирана точка на пространството, единственият самолет се извършва, перпендикулярно на това директно. По този начин можем да поставим самолета, ако зададете точката, през която преминава, и прави, перпендикулярно на него.

Ако в триизмерното пространство е записано правоъгълна координатна система и равнината се определя по посочения начин, тогава уравнението на равнината, преминаваща през определената точка, е перпендикулярно на посочената права линия.

Вместо права, перпендикулярна на равнината, можете да посочите един от нормалните вектори на този самолет. В този случай е възможно да се напише

Взаимно местоположение на две прави линии

Следните твърдения изразяват необходимите и достатъчно признаци на взаимно подреждане на две директно в пространството, определено от канонични уравнения

но) Направо го пресича, т.е. Не лежи върху една и съща равнина.

Б.) Направо пресичане.

Но вектори и нелюлипланислави (в противен случай техните координати са пропорционални на).

в) Направен паралел.

Вектори и колинеар, но векторът е нелипланинг.

Г.) Прав съвпадение.

И трите версии:, Collinear.

Доказателства. Нека докажем адекватността на тези знаци

но) Помислете за векторните и направляващите вектори на преките данни

тогава тези вектори не са несвързани, следователно тези насоки не лежат на една и съща равнина.

Б.) Ако векторите са отделения, следователно, преките данни са в една и съща равнина и от случая ( б.) Водащите вектори и тези директно се приемат, че са нелюлиони, след това директно пресичат.

в) Ако направляващите вектори и данни за директна колинеар, след това прав или паралелен, или съвпадат. Кога ( в) направо паралелно, защото Чрез състоянието, векторът, началото на който се намира в точката на първия прав, и края - в точката, в която второто директно не е колинеар и.

г) Ако всички вектори и колинеар, след това директно съвпадат.

Необходимостта от функции се доказва от метода от гаден.

Checker No. 1007.

Следните твърдения дават необходимите и достатъчни условия за взаимно местоположение на директно определени канонични уравнения.

и самолет, даден от общото уравнение

по отношение на общата десертална координатна система.

Самолет и директно пресичане:

Самолет и направо паралел:

Прави лъжи в самолета:

Първо доказваме достатъчността на тези признаци. Ние пишем уравненията на тази директна параметрична форма:

Замествайки в уравнение (2 (равнина)) координатите на произволна точка на този ред, взети от формули (3), ще имат: \\ t

1. Ако уравнението (4) има относително t. Само решение:

така че, този директен и този самолет има само една обща точка, т.е. Кръст.

2. Ако уравнението (4) не е изпълнено с всякаква стойност t.. По този начин няма смисъл да се лежи на тази равнина, следователно данните са прав и равнината са успоредни.

3. Ако уравнението (4) е изпълнено по всяко значение t.. Всички точки на тази директна лъжа на тази равнина, това означава, че това директно се крие в този самолет.

Изследвахме достатъчно условия за взаимното подреждане на директната и равнината са необходими и доказани незабавно по метода от обратното.

От доказаната, необходимото и достатъчно състояние е последвано от факта, че векторният компонент на равнината, определен от общото уравнение по отношение на общата десертална координатна система.

Директен обект принадлежиАко има две общи точки или една обща точка и паралелно с директно лежи в равнината. Нека самолетът в чертежа се настрои от два пресичащи се права. В тази равнина се изисква да се конструират два права m и n в съответствие с тези условия ( Г. (A b)) (фиг. 4.5).

RE W E. 1. Аз произволно извършвам m 2, тъй като директният принадлежи към равнината, отбелязва проекцията на точките на пресичане с директно но и б. И ние определяме техните хоризонтални прогнози, след 1 1 и 2 1 извършваме m 1.

2. След точката до самолета, ние извършваме n 2 ║m 2 и n 1 ║m 1.

Директен паралелен планАко е успоредно на всяко директно лежи в равнината.

Пресичане на пряк и равнина. Три случая на пряка и равнинна локация са възможни по отношение на равнините на прогнозите. В зависимост от това се определя точката на пресичане на пряка и равнина.

Първи случай - Директно и самолет - проекция. В този случай точката на пресичане в чертежа е достъпна (както на прогнозите), тя трябва да бъде обозначена само.

PRI Mers. Чертежът е поставен самолет с следи σ ( h 0. f 0) - хоризонтално прожекционна позиция - и права л. - Предно изпонна позиция. Определят точката на тяхното пресичане (фиг. 4.6).

Точката на пресичане в чертежа вече е там - K (k 1 до 2).

Втори случай - или права или самолет - проекция. В този случай, по една от равнините на прогнозите, проекцията на точката на пресичане вече е налична, тя трябва да бъде обозначена, а на втората равнина на прогнозите - да се намери на аксесоарите.

Pri mers. На фиг. 4.7, и изобразена равнина със следи от предната позиция на отглеждане и директно л. - Обща ситуация. Проекцията на точка на пресичане до 2 на чертежа вече е налична и проекцията до 1 трябва да бъде намерена в точката на точка на директна точка л.. На
Фиг. 4.7, b равнина на общата позиция, и прав m - прожектиране на преден мащаб, след това до 2 вече яде (съвпада с m 2) и до 1 трябва да откриете от състоянието на точката на точка до равнината . Да направим това, за да похарчите
прав ( х. - хоризонтално) лежи в равнината.

Трети кадри - и права и обща позиция. В този случай, за да се определи точката на пресичане на пряката и равнината, е необходимо да се използва така нареченият посредник - равнината на проекцията. За това се извършва спомагателният светски равнина. Този самолет пресича зададената равнинна равнина. Ако тази линия пресича посочената директна, точката на пресичане на прав и равнина.

Pri mers. На фиг. 4.8 показва равнината на ABS триъгълника - обща позиция - и права л. - Обща ситуация. За определяне на точка на пресичане k, е необходимо чрез л. За да извършите фронтално прожектиращата равнина σ, за изграждане на линия в триъгълника на пресичането на δ и σ (в чертежа той е сегмент 1.2), за да се определи до 1 и чрез аксесоари - до 2. След това видимостта на директното л. Във връзка с триъгълника върху конкурентни точки. На P 1 точки за конкурентни точки 3 и 4. видими на P 1 проекция на точка 4, тъй като координира Z е по-голям от точка 3, следователно, проекцията l 1. От тази точка до 1 ще бъде невидима.

На P 2 състезателни точки, които са взети точка 1, принадлежащи към AB, и точка 5, собственост на л.. Видима ще бъде точка 1, тъй като има координира повече от точка 5 и следователно проекцията на директното l 2.до 2 невидима.