Tutorial: Cilindro. Las secciones más simples de un cilindro Se llama cilindro de sección axial cuadrada.

Un cilindro es una figura espacial simétrica, cuyas propiedades se consideran en la escuela secundaria en el curso de estereometría. Para describirlo se utilizan características lineales como la altura y el radio de la base. En este artículo consideraremos cuestiones sobre cuál es la sección axial de un cilindro y cómo calcular sus parámetros a través de las características lineales básicas de la figura.

Figura geométrica

Primero, definamos la figura que se discutirá en el artículo. Un cilindro es una superficie formada por el movimiento paralelo de un segmento de longitud fija a lo largo de una curva determinada. La condición principal para este movimiento es que el segmento no pertenezca al plano de la curva.

La siguiente figura muestra un cilindro cuya curva (guía) es una elipse.

Aquí un segmento de longitud h es su generador y altura.

Se puede observar que el cilindro consta de dos bases idénticas (en este caso elipses), que se encuentran en planos paralelos, y una superficie lateral. Este último pertenece a todos los puntos de las líneas de formación.

Antes de pasar a considerar la sección axial de los cilindros, te contamos qué tipos de estas figuras existen.

Si la línea generadora es perpendicular a las bases de la figura, entonces hablamos de un cilindro recto. De lo contrario, el cilindro quedará inclinado. Si conectas los puntos centrales de dos bases, la línea recta resultante se llama eje de la figura. La siguiente figura muestra la diferencia entre cilindros rectos e inclinados.

Se puede observar que para una figura recta, la longitud del segmento generador coincide con el valor de la altura h. Para un cilindro inclinado, la altura, es decir, la distancia entre las bases, es siempre menor que la longitud de la línea generatriz.

Sección axial de un cilindro recto.

Axial es cualquier sección del cilindro que contiene su eje. Esta definición significa que la sección axial siempre será paralela a la generatriz.

En un cilindro recto, el eje pasa por el centro del círculo y es perpendicular a su plano. Esto significa que el círculo considerado se cruzará a lo largo de su diámetro. La figura muestra medio cilindro, que es el resultado de la intersección de la figura con un plano que pasa por el eje.

No es difícil entender que la sección axial de un cilindro circular recto es un rectángulo. Sus lados son el diámetro d de la base y la altura h de la figura.

Escribamos las fórmulas para el área de la sección transversal axial del cilindro y la longitud h d de su diagonal:

Un rectángulo tiene dos diagonales, pero ambas son iguales entre sí. Si se conoce el radio de la base, entonces no es difícil reescribir estas fórmulas a través de él, dado que tiene la mitad del diámetro.

Sección axial de un cilindro inclinado.

La imagen de arriba muestra un cilindro inclinado hecho de papel. Si haces su sección axial, ya no obtendrás un rectángulo, sino un paralelogramo. Sus lados son cantidades conocidas. Uno de ellos, como en el caso de la sección transversal de un cilindro recto, es igual al diámetro d de la base, el otro es la longitud del segmento que se está formando. Denotémoslo b.

Para determinar inequívocamente los parámetros de un paralelogramo, no basta con conocer las longitudes de sus lados. Se necesita otro ángulo entre ellos. Supongamos que el ángulo agudo entre la guía y la base es α. Este también será el ángulo entre los lados del paralelogramo. Entonces la fórmula para el área de la sección transversal axial de un cilindro inclinado se puede escribir de la siguiente manera:

Las diagonales de la sección axial de un cilindro inclinado son algo más difíciles de calcular. Un paralelogramo tiene dos diagonales de diferentes longitudes. Presentamos expresiones sin derivación que nos permiten calcular las diagonales de un paralelogramo utilizando lados conocidos y el ángulo agudo entre ellos:

l 1 = √(d 2 + segundo 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + segundo 2 + 2*b*d*cos(α))

Aquí l 1 y l 2 son las longitudes de las diagonales pequeña y grande, respectivamente. Estas fórmulas se pueden obtener de forma independiente si consideramos cada diagonal como un vector introduciendo un sistema de coordenadas rectangular en el plano.

Problema del cilindro recto

Le mostraremos cómo utilizar el conocimiento adquirido para resolver el siguiente problema. Se nos dará un cilindro redondo y recto. Se sabe que la sección transversal axial de un cilindro es cuadrada. ¿Cuál es el área de esta sección si toda la figura mide 100 cm 2?

Para calcular el área requerida, necesitas encontrar el radio o el diámetro de la base del cilindro. Para ello utilizamos la fórmula del área total S f de la figura:

Como la sección axial es un cuadrado, esto significa que el radio r de la base es la mitad de la altura h. Teniendo esto en cuenta, podemos reescribir la igualdad anterior como:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

Ahora podemos expresar el radio r, tenemos:

Dado que el lado de una sección cuadrada es igual al diámetro de la base de la figura, la siguiente fórmula será válida para calcular su área S:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

Vemos que el área requerida está determinada únicamente por la superficie del cilindro. Sustituyendo los datos en igualdad, llegamos a la respuesta: S = 21,23 cm 2.

La estereometría es una rama de la geometría en la que se estudian figuras en el espacio. Las principales figuras del espacio son un punto, una recta y un plano. En estereometría aparece un nuevo tipo de disposición relativa de las líneas: las líneas cruzadas. Esta es una de las pocas diferencias significativas entre estereometría y planimetría, ya que en muchos casos los problemas de estereometría se resuelven considerando varios planos en los que se satisfacen las leyes planimétricas.

En la naturaleza que nos rodea existen muchos objetos que son modelos físicos de esta figura. Por ejemplo, muchas piezas de máquinas tienen forma de cilindro o son una combinación de ellas, y las majestuosas columnas de templos y catedrales, hechas en forma de cilindros, enfatizan su armonía y belleza.

Griego − kylindros. Un término antiguo. En la vida cotidiana: un rollo de papiro, un rodillo, un rodillo (verbo - torcer, rodar).

Para Euclides, un cilindro se obtiene girando un rectángulo. En Cavalieri - por el movimiento de la generatriz (con una guía arbitraria - un "cilindro").

El objetivo de este ensayo es considerar un cuerpo geométrico: un cilindro.

Para lograr este objetivo, es necesario considerar las siguientes tareas:

− dar definiciones de cilindro;

− considerar los elementos del cilindro;

− estudiar las propiedades del cilindro;

− considerar los tipos de secciones de cilindros;

− derivar la fórmula para el área de un cilindro;

− derivar la fórmula para el volumen de un cilindro;

− resolver problemas utilizando un cilindro.

1.1. Definición de cilindro

Consideremos una línea (curva, quebrada o mixta) l que se encuentra en algún plano α, y alguna línea recta S que corta este plano. Por todos los puntos de una recta dada l trazamos rectas paralelas a la recta S; la superficie α formada por estas líneas rectas se llama superficie cilíndrica. La línea l se llama guía de esta superficie, las líneas s 1, s 2, s 3,... son sus generadoras.

Si la guía está rota, entonces dicha superficie cilíndrica consta de varias tiras planas encerradas entre pares de líneas rectas paralelas y se llama superficie prismática. Las generatrices que pasan por los vértices de la línea discontinua guía se denominan bordes de la superficie prismática, las franjas planas entre ellas son sus caras.

Si cortamos cualquier superficie cilíndrica con un plano arbitrario que no sea paralelo a sus generadores, obtendremos una línea que también puede tomarse como guía para esta superficie. Entre las guías destaca la que se obtiene cortando la superficie con un plano perpendicular a las generatrices de la superficie. Dicha sección se denomina sección normal y la guía correspondiente se denomina guía normal.

Si la guía es una línea cerrada (convexa) (quebrada o curva), entonces la superficie correspondiente se llama superficie prismática o cilíndrica cerrada (convexa). La más simple de las superficies cilíndricas tiene un círculo como guía normal. Diseccionemos una superficie prismática convexa cerrada con dos planos paralelos entre sí, pero no paralelos a los generadores.

En secciones obtenemos polígonos convexos. Ahora bien, la parte de la superficie prismática encerrada entre los planos α y α" y las dos placas poligonales formadas en estos planos limitan un cuerpo llamado cuerpo prismático: un prisma.

Cuerpo cilíndrico: un cilindro se define de manera similar a un prisma:
Un cilindro es un cuerpo limitado en los lados por una superficie cilíndrica cerrada (convexa) y en los extremos por dos bases planas paralelas. Ambas bases del cilindro son iguales y todos los constituyentes del cilindro también son iguales, es decir segmentos de las generatrices de una superficie cilíndrica entre los planos de las bases.

Un cilindro (más precisamente, un cilindro circular) es un cuerpo geométrico que consta de dos círculos que no se encuentran en el mismo plano y se combinan mediante traslación paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos círculos (Fig.1). .

Los círculos se llaman bases del cilindro y los segmentos que conectan los puntos correspondientes de las circunferencias de los círculos se llaman generadores del cilindro.

Como la traslación paralela es movimiento, las bases del cilindro son iguales.

Dado que durante la traslación paralela el plano se transforma en un plano paralelo (o en sí mismo), las bases del cilindro se encuentran en planos paralelos.

Dado que durante la traslación paralela los puntos se desplazan a lo largo de líneas paralelas (o coincidentes) la misma distancia, entonces los generadores del cilindro son paralelos e iguales.

La superficie del cilindro consta de la base y la superficie lateral. La superficie lateral está compuesta de generatrices.

Un cilindro se llama recto si sus generadores son perpendiculares a los planos de las bases.

Un cilindro recto se puede imaginar visualmente como un cuerpo geométrico que describe un rectángulo al girarlo alrededor de su lado como eje (Fig. 2).

Arroz. 2 − Cilindro recto

En lo que sigue, consideraremos sólo el cilindro recto, llamándolo simplemente cilindro por brevedad.

El radio de un cilindro es el radio de su base. La altura de un cilindro es la distancia entre los planos de sus bases. El eje de un cilindro es una línea recta que pasa por los centros de las bases. Es paralelo a los generadores.

Un cilindro se llama equilátero si su altura es igual al diámetro de la base.

Si las bases del cilindro son planas (y, por tanto, los planos que las contienen son paralelos), entonces se dice que el cilindro está sobre un plano. Si las bases de un cilindro que se encuentra en un plano son perpendiculares a la generatriz, entonces el cilindro se llama recto.

En particular, si la base de un cilindro situado en un plano es un círculo, entonces hablamos de un cilindro circular (circular); si es una elipse, entonces es elíptica.

1. 3. Secciones del cilindro.

La sección transversal de un cilindro con un plano paralelo a su eje es un rectángulo (Fig. 3, a). Sus dos lados son los generadores del cilindro y los otros dos son cuerdas paralelas de las bases.

A) b)

V) GRAMO)

Arroz. 3 – Secciones del cilindro

En particular, el rectángulo es la sección axial. Esta es una sección de un cilindro con un plano que pasa por su eje (Fig. 3, b).

La sección transversal de un cilindro con un plano paralelo a la base es un círculo (Figura 3, c).

La sección transversal de un cilindro con un plano no paralelo a la base y su eje es un óvalo (Fig. 3d).

Teorema 1. Un plano paralelo al plano de la base del cilindro cruza su superficie lateral a lo largo de un círculo igual a la circunferencia de la base.

Prueba. Sea β un plano paralelo al plano de la base del cilindro. La traslación paralela en la dirección del eje del cilindro, combinando el plano β con el plano de la base del cilindro, combina la sección de la superficie lateral por el plano β con la circunferencia de la base. El teorema ha sido demostrado.

El área de la superficie lateral del cilindro.

Se toma como área de la superficie lateral del cilindro el límite al que tiende el área de la superficie lateral de un prisma regular inscrito en el cilindro cuando el número de lados de la base de este prisma aumenta indefinidamente.

Teorema 2. El área de la superficie lateral de un cilindro es igual al producto de la circunferencia de su base por su altura (S lado.c = 2πRH, donde R es el radio de la base del cilindro, H es la altura del cilindro).

A) b)
Arroz. 4 − Superficie lateral del cilindro

Prueba.

Sean P n y H el perímetro de la base y la altura de un prisma n-gonal regular inscrito en el cilindro, respectivamente (Fig. 4, a). Entonces el área de la superficie lateral de este prisma es S lado.c − P n H. Supongamos que el número de lados del polígono inscrito en la base crece sin límite (Fig. 4, b). Entonces el perímetro P n tiende a la circunferencia C = 2πR, donde R es el radio de la base del cilindro y la altura H no cambia. Así, el área de la superficie lateral del prisma tiende al límite de 2πRH, es decir, el área de la superficie lateral del cilindro es igual al lado S.c = 2πRH. El teorema ha sido demostrado.

La superficie total del cilindro.

La superficie total de un cilindro es la suma de las áreas de la superficie lateral y las dos bases. El área de cada base del cilindro es igual a πR 2, por lo tanto, el área de la superficie total del cilindro S total se calcula mediante la fórmula S lado.c = 2πRH+ 2πR 2.

Arroz. 5 − Superficie total del cilindro

Si la superficie lateral del cilindro se corta a lo largo de la generatriz FT (Fig.5, a) y se despliega de modo que todos los generadores estén en el mismo plano, como resultado obtenemos un rectángulo FTT1F1, que se llama desarrollo de la superficie lateral del cilindro. El lado FF1 del rectángulo es el desarrollo del círculo de la base del cilindro, por lo tanto, FF1=2πR, y su lado FT es igual a la generatriz del cilindro, es decir, FT = H (Fig. 5, b). Así, el área FT∙FF1=2πRH del desarrollo del cilindro es igual al área de su superficie lateral.

1.5. Volumen del cilindro

Si un cuerpo geométrico es simple, es decir, se puede dividir en un número finito de pirámides triangulares, entonces su volumen es igual a la suma de los volúmenes de estas pirámides. Para un cuerpo arbitrario, el volumen se determina de la siguiente manera.

Un cuerpo dado tiene un volumen V si hay cuerpos simples que lo contienen y cuerpos simples contenidos en él con volúmenes que son tan poco diferentes de V como se desee.

Apliquemos esta definición para encontrar el volumen de un cilindro con radio base R y altura H.

Al deducir la fórmula para el área de un círculo, se construyeron dos n-gonos (uno que contiene el círculo y el otro contenido en el círculo) de modo que sus áreas, con un aumento ilimitado de n, se acercaban al área de el círculo sin límite. Construyamos tales polígonos para el círculo en la base del cilindro. Sea P un polígono que contiene un círculo y P" un polígono contenido en un círculo (Fig. 6).

Arroz. 7 − Cilindro con un prisma descrito e inscrito en él.

Construyamos dos prismas rectos con bases P y P" y una altura H igual a la altura del cilindro. El primer prisma contiene un cilindro y el segundo prisma está contenido en un cilindro. Dado que con un aumento ilimitado de n, la Las áreas de las bases de los prismas se acercan ilimitadamente al área de la base del cilindro S, luego sus volúmenes se acercan ilimitadamente a SH. Según la definición, el volumen de un cilindro

V = SH = πR 2 H.

Entonces, el volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura.

Tarea 1.

La sección axial del cilindro es un cuadrado de área Q.

Encuentra el área de la base del cilindro.

Dado: cilindro, cuadrado - sección axial del cilindro, S cuadrado = Q.

Encontrar: S cilindro principal

El lado del cuadrado es . Es igual al diámetro de la base. Por lo tanto el área de la base es .

Respuesta: Cilindro principal S. =

Tarea 2.

Un prisma hexagonal regular está inscrito en un cilindro. Encuentre el ángulo entre la diagonal de su cara lateral y el eje del cilindro si el radio de la base es igual a la altura del cilindro.

Dado: cilindro, prisma hexagonal regular inscrito en el cilindro, radio de la base = altura del cilindro.

Encuentre: el ángulo entre la diagonal de su cara lateral y el eje del cilindro.

Solución: Las caras laterales del prisma son cuadrados, ya que el lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual al radio.

Los bordes del prisma son paralelos al eje del cilindro, por lo tanto el ángulo entre la diagonal de la cara y el eje del cilindro es igual al ángulo entre la diagonal y el borde lateral. Y este ángulo es de 45°, ya que las caras son cuadrados.

Respuesta: el ángulo entre la diagonal de su cara lateral y el eje del cilindro = 45°.

Tarea 3.

La altura del cilindro es de 6 cm y el radio de la base es de 5 cm.

Encuentre el área de una sección trazada paralela al eje del cilindro a una distancia de 4 cm de él.

Dado: H = 6 cm, R = 5 cm, OE = 4 cm.

Encontrar: S seg.

S seg. = KM×KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Triángulo OKM - isósceles (OK = OM = R = 5 cm),

El triángulo OEK es un triángulo rectángulo.

Del triángulo OEK, según el teorema de Pitágoras:

KM = 2EK = 2×3 = 6,

S seg. = 6×6 = 36 cm 2.

El propósito de este ensayo se ha cumplido, se ha considerado un cuerpo geométrico como es un cilindro.

Se consideran las siguientes tareas:

− se da la definición de cilindro;

− se consideran los elementos del cilindro;

− se estudiaron las propiedades del cilindro;

− se consideran los tipos de secciones de cilindros;

− se deriva la fórmula para el área de un cilindro;

− se deriva la fórmula para el volumen de un cilindro;

− problemas resueltos utilizando un cilindro.

1. Geometría de Pogorelov A. V.: Libro de texto para los grados 10 a 11 de instituciones educativas, 1995.

2. Beskin L.N. Estereometría. Manual para profesores de secundaria, 1999.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometría: libro de texto para los grados 10 a 11 de instituciones educativas, 2000.

4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometría: libro de texto para los grados 10-11 en instituciones de educación general, 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometría: estereometría: grados 10 – 11: libro de texto y libro de problemas, 2000.

1. sección axial Cilindro es una sección del cilindro por un plano que pasa por su eje. La sección transversal axial del cilindro es rectángulo.

2. Sección de un cilindro con un plano paralelo a la base..
En este caso, la sección transversal es un círculo igual y paralelo a la base.

Cono

Un cono es un cuerpo geométrico que consta de un círculo. jardines cono, un punto que no se encuentra en el plano de este círculo, − picos cono y todos los segmentos que conectan la parte superior del cono con las puntas de la base.

Los segmentos que conectan el vértice del cono con los puntos del círculo base se llaman formando cono

El cono se llama directo, si la línea recta que conecta la parte superior del cono con el centro de la base es perpendicular al plano de la base.

En arroz. A) cono recto, b) cono inclinado.

¡En lo que sigue, sólo consideraremos un cono recto!

S- la parte superior del cono.

Circulo con centros ACERCA DE– la base del cono.

S.A.,C.B., CAROLINA DEL SUR– formando conos.

Altura de un cono se llama perpendicular que desciende desde su vértice hasta el plano de la base.

Eje de un cono se llama línea recta que contiene su altura ( ENTONCES).

Propiedades del cono:

Los generadores del cono son iguales.

Un cono puede considerarse como un cuerpo que se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de su lado.

Las secciones más simples de un cono.

1. sección axial cono es una sección de un cono por un plano que pasa por su eje. La sección axial del cono es triángulo.

2. Sección de un cono con un plano paralelo a la base..
En este caso, la sección transversal es un círculo similar y paralelo a la base.

Una bola es un cuerpo geométrico que consta de todos los puntos del espacio ubicados a una distancia no mayor que una determinada de un punto determinado.

Este punto ( ACERCA DE) se llama centro pelota, y esta distancia es radio pelota.

El límite de la pelota se llama superficie esférica o esfera.

Cualquier segmento que une el centro de una bola con un punto de la superficie esférica se llama radio pelota ( SOBREDOSIS., transmisión exterior, OA).

Diámetro de la bola es un segmento que conecta dos puntos en una superficie esférica y pasa por el centro de la pelota ( AB).

Propiedades de la bola:

Los radios de la pelota son iguales;

Los diámetros de la bola son iguales.

Una bola puede considerarse como un cuerpo que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro.

Las secciones más simples de una pelota.

1. Sección de una bola por un plano que pasa por su centro. En este caso, la sección es gran circulo.

2. Sección de una bola por un plano. No pasando por su centro. En este caso, la sección es círculo.

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