Comprobación de funciones para paridad par e impar. funciones pares e impares

Las funciones pares e impares son una de sus principales propiedades, y la paridad ocupa una parte impresionante del curso escolar de matemáticas. Determina en gran medida la naturaleza del comportamiento de la función y facilita enormemente la construcción del gráfico correspondiente.

Definamos la paridad de la función. En términos generales, la función en estudio se considera incluso si para valores opuestos de la variable independiente (x) ubicada en su dominio, los valores correspondientes de y (función) son iguales.

Demos una definición más rigurosa. Considere alguna función f (x), que está definida en el dominio D. Será incluso si para cualquier punto x ubicado en el dominio de definición:

-x (punto opuesto) también se encuentra en el alcance dado,

f(-x) = f(x).

De la definición anterior se sigue la condición necesaria para el dominio de definición de tal función, a saber, la simetría con respecto al punto O, que es el origen de coordenadas, ya que si algún punto b está contenido en el dominio de definición de una incluso función, entonces el punto correspondiente - b también se encuentra en este dominio. De lo anterior, por lo tanto, se sigue la conclusión: una función par tiene una forma que es simétrica con respecto al eje de ordenadas (Oy).

¿Cómo determinar la paridad de una función en la práctica?

Sea dado usando la fórmula h(x)=11^x+11^(-x). Siguiendo el algoritmo que se deriva directamente de la definición, primero estudiamos su dominio de definición. Obviamente, se define para todos los valores del argumento, es decir, se cumple la primera condición.

El siguiente paso es sustituir el argumento (x) por su valor opuesto (-x).
Obtenemos:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Dado que la suma satisface la ley conmutativa (desplazamiento), es obvio que h(-x) = h(x) y la dependencia funcional dada es par.

Comprobemos la uniformidad de la función h(x)=11^x-11^(-x). Siguiendo el mismo algoritmo, obtenemos h(-x) = 11^(-x) -11^x. Sacando el menos, como resultado, tenemos
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Por lo tanto, h(x) es impar.

Por cierto, cabe recordar que hay funciones que no se pueden clasificar según estos criterios, se les llama ni pares ni impares.

Incluso las funciones tienen una serie de propiedades interesantes:

como resultado de la suma de funciones similares se obtiene una par;
como resultado de restar tales funciones, se obtiene uno par;
incluso, también incluso;
como resultado de multiplicar dos de esas funciones, se obtiene una par;
como resultado de la multiplicación de funciones pares e impares, se obtiene una impar;
como resultado de dividir las funciones pares e impares se obtiene un impar;
la derivada de tal función es impar;
Si elevamos al cuadrado una función impar, obtenemos una función par.

La paridad de una función se puede utilizar para resolver ecuaciones.

Para resolver una ecuación como g(x) = 0, donde el lado izquierdo de la ecuación es una función par, bastará con encontrar su solución para valores no negativos de la variable. Las raíces obtenidas de la ecuación deben combinarse con números opuestos. Uno de ellos está sujeto a verificación.

El mismo se utiliza con éxito para resolver problemas no estándar con un parámetro.

Por ejemplo, ¿hay algún valor para el parámetro a que haga que la ecuación 2x^6-x^4-ax^2=1 tenga tres raíces?

Si tenemos en cuenta que la variable entra en la ecuación en potencias pares, entonces está claro que reemplazar x con -x no cambiará la ecuación dada. De ello se deduce que si cierto número es su raíz, entonces también lo es el número opuesto. La conclusión es obvia: las raíces de la ecuación, distintas de cero, se incluyen en el conjunto de sus soluciones por “pares”.

Está claro que el número 0 en sí mismo no lo es, es decir, el número de raíces de tal ecuación solo puede ser par y, naturalmente, para cualquier valor del parámetro no puede tener tres raíces.

Pero el número de raíces de la ecuación 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 puede ser impar, y para cualquier valor del parámetro. De hecho, es fácil comprobar que el conjunto de raíces de una ecuación dada contiene soluciones en "pares". Comprobemos si 0 es una raíz. Al sustituirlo en la ecuación, obtenemos 2=2. Por lo tanto, además de "pares" 0 también es una raíz, lo que demuestra su número impar.

- (matemáticas). La función y \u003d f (x) se llama incluso si no cambia cuando la variable independiente solo cambia de signo, es decir, si f (x) \u003d f (x). Si f (x) = f (x), entonces la función f (x) se llama impar. Por ejemplo, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x es un ejemplo de una función impar. f(x) = x2 es un ejemplo de una función par. f(x) = x3 ... Wikipedia

Una función que satisface la igualdad f (x) = f (x). Ver funciones pares e impares... Gran enciclopedia soviética

F(x) = x es un ejemplo de una función impar. f(x) = x2 es un ejemplo de una función par. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funciones especiales introducidas por el matemático francés E. Mathieu en 1868 al resolver problemas sobre la oscilación de una membrana elíptica. M. f. también se utilizan en el estudio de la propagación de ondas electromagnéticas en un cilindro elíptico... Gran Enciclopedia Soviética

La solicitud de "pecado" se redirige aquí; ver también otros significados. La solicitud "sec" se redirige aquí; ver también otros significados. "Seno" vuelve a dirigir aquí; ver también otros significados... Wikipedia

De vuelta atras

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Objetivos:

formar el concepto de funciones pares e impares, enseñar la habilidad de determinar y usar estas propiedades en el estudio de funciones, graficar;
desarrollar la actividad creativa de los estudiantes, el pensamiento lógico, la capacidad de comparar, generalizar;
cultivar la diligencia, la cultura matemática; desarrollar habilidades de comunicación .

Equipamiento: instalación multimedia, pizarra digital interactiva, folletos.

Formas de trabajo: frontal y grupal con elementos de actividades de búsqueda e investigación.

Fuentes de información:

1. Clase de álgebra 9 A.G. Mordkovich. Libro de texto.
2. Álgebra Grado 9 A.G. Mordkovich. Libro de tareas.
3. Álgebra grado 9. Tareas para el aprendizaje y desarrollo de los estudiantes. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE LAS CLASES

1. Momento organizacional

Establecer metas y objetivos de la lección.

2. Revisar la tarea

No. 10.17 (Libro de problemas de noveno grado A.G. Mordkovich).

A) en = F(X), F(X) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. mi( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 para X ~ 0,4
4. F(X) >0 en X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La función aumenta con X € [– 2; + ∞)
6. La función está limitada desde abajo.
7. en contratar = - 3, en naib no existe
8. La función es continua.

(¿Utilizó el algoritmo de exploración de funciones?) Deslizar.

2. Revisemos la tabla que le pidieron en la diapositiva.

llenar la mesa
	Dominio	Ceros de función	Intervalos de constancia		Coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con Oy
	Dominio	Ceros de función
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x€ (–5; 2)

3. Actualización de conocimientos

– Se dan funciones.
– Especificar el dominio de definición de cada función.
– Comparar el valor de cada función para cada par de valores de argumento: 1 y – 1; 2 y - 2.
– ¿Para cuáles de las funciones dadas en el dominio de definición son las igualdades F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (introducir los datos recibidos en una tabla) Diapositiva

		F(1) y F(– 1)	F(2) y F(– 2)	gráficos	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = \| X \|
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		y no definido.

4. Material nuevo

- Mientras hacíamos este trabajo, muchachos, hemos revelado una propiedad más de la función, desconocida para ustedes, pero no menos importante que las otras: esta es la igualdad y la imparidad de la función. Escriba el tema de la lección: "Funciones pares e impares", nuestra tarea es aprender a determinar las funciones pares e impares, descubrir el significado de esta propiedad en el estudio de las funciones y el trazado.
Entonces, busquemos las definiciones en el libro de texto y leamos (p. 110) . Deslizar

Def. 1 función en = F (X) definido en el conjunto X se llama incluso, si por cualquier valor XЄ X en curso igualdad f (–x) = f (x). Dar ejemplos.

Def. 2 funciones y = f(x), definido en el conjunto X se llama extraño, si por cualquier valor XЄ X se cumple la igualdad f(–х)= –f(х). Dar ejemplos.

¿Dónde encontramos los términos "par" e "impar"?
¿Cuál de estas funciones será par, crees? ¿Por qué? ¿Cuáles son raros? ¿Por qué?
Para cualquier función de la forma en= x norte, Dónde norte es un número entero, se puede argumentar que la función es impar para norte es impar y la función es par para norte- incluso.
– Ver funciones en= y en = 2X– 3 no es ni par ni impar, porque no se cumplen las igualdades F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

El estudio de la cuestión de si una función es par o impar se denomina estudio de una función de paridad. Deslizar

Las definiciones 1 y 2 se ocupan de los valores de la función en x y -x, por lo que se supone que la función también está definida en el valor X, y en - X.

Definición 3. Si un conjunto numérico, junto con cada uno de sus elementos x, también contiene el elemento opuesto -x, entonces el conjunto X se llama conjunto simétrico.

Ejemplos:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) son conjuntos simétricos, y , [–5;4] no son simétricos.

- ¿Incluso las funciones tienen un dominio de definición, un conjunto simétrico? ¿Los raros?
- Si D( F) es un conjunto asimétrico, entonces ¿cuál es la función?
– Así, si la función en = F(X) es par o impar, entonces su dominio de definición es D( F) es un conjunto simétrico. Pero, ¿es cierto lo contrario, si el dominio de una función es un conjunto simétrico, entonces es par o impar?
- Entonces la presencia de un conjunto simétrico del dominio de definición es una condición necesaria, pero no suficiente.
– Entonces, ¿cómo podemos investigar la función de paridad? Intentemos escribir un algoritmo.

Deslizar

Algoritmo para examinar una función para la paridad

1. Determinar si el dominio de la función es simétrico. Si no, entonces la función no es ni par ni impar. En caso afirmativo, vaya al paso 2 del algoritmo.

2. Escribe una expresión para F(–X).

3. Compara F(–X).Y F(X):

Si F(–X).= F(X), entonces la función es par;
Si F(–X).= – F(X), entonces la función es impar;
Si F(–X) ≠ F(X) Y F(–X) ≠ –F(X), entonces la función no es ni par ni impar.

Ejemplos:

Investigue la función de paridad a) en= x 5 +; b) en= ; V) en= .

Solución.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e función h (x) \u003d x 5 + impar.

b) y =,

en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), conjunto asimétrico, por lo que la función no es ni par ni impar.

V) F(X) = , y = f(x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opcion 2

1. ¿Es simétrico el conjunto dado: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examine la función de paridad:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. En la fig. trazado en = F(X), para todos X, satisfaciendo la condición X? 0.
Trazar la función en = F(X), Si en = F(X) es una función par.

3. En la fig. trazado en = F(X), para todo x que satisface x? 0.
Trazar la función en = F(X), Si en = F(X) es una función impar.

Comprobación de diapositivas.

6. Tarea: No. 11.11, 11.21, 11.22;

Prueba del significado geométrico de la propiedad de paridad.

*** (Asignación de la opción USO).

1. La función impar y \u003d f (x) se define en toda la línea real. Para cualquier valor no negativo de la variable x, el valor de esta función coincide con el valor de la función g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Encuentra el valor de la función h( X) = en X = 3.

7. Resumiendo

En julio de 2020, la NASA lanza una expedición a Marte. La nave espacial entregará a Marte un soporte electrónico con los nombres de todos los miembros registrados de la expedición.

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Otra víspera de Año Nuevo... clima helado y copos de nieve en el vidrio de la ventana... Todo esto me llevó a escribir de nuevo sobre... fractales, y lo que Wolfram Alpha sabe al respecto. En esta ocasión, hay un artículo interesante en el que hay ejemplos de estructuras fractales bidimensionales. Aquí consideraremos ejemplos más complejos de fractales tridimensionales.

Un fractal se puede visualizar (describir) como una figura o cuerpo geométrico (lo que significa que ambos son un conjunto, en este caso, un conjunto de puntos), cuyos detalles tienen la misma forma que la figura original. Es decir, es una estructura autosimilar, teniendo en cuenta los detalles de los cuales, cuando se amplía, veremos la misma forma que sin aumento. Mientras que en el caso de una figura geométrica ordinaria (no un fractal), al hacer zoom, veremos detalles que tienen una forma más simple que la propia figura original. Por ejemplo, con un aumento suficientemente alto, parte de una elipse parece un segmento de línea recta. Esto no sucede con los fractales: con cualquier aumento en ellos, volveremos a ver la misma forma compleja, que con cada aumento se repetirá una y otra vez.

Benoit Mandelbrot, el fundador de la ciencia de los fractales, en su artículo Fractals and Art for Science escribió: "Los fractales son formas geométricas que son tan complejas en sus detalles como en su forma general. Es decir, si parte del fractal ampliado al tamaño del conjunto, se verá como el conjunto, o exactamente, o tal vez con una ligera deformación.

. Para hacer esto, use papel cuadriculado o una calculadora gráfica. Seleccione cualquier número de valores numéricos para la variable independiente x (\displaystyle x) y conéctelos a la función para calcular los valores de la variable dependiente y (\displaystyle y). Coloca las coordenadas encontradas de los puntos en el plano de coordenadas y luego conecta estos puntos para construir una gráfica de la función.

Sustituya los valores numéricos positivos x (\displaystyle x) y los valores numéricos negativos correspondientes en la función. Por ejemplo, dada una función f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) . Sustituya los siguientes valores de x (\displaystyle x) en él:

Comprueba si la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje Y. La simetría significa la imagen especular de la gráfica con respecto al eje Y. Si la parte del gráfico a la derecha del eje y (valores positivos de la variable independiente) coincide con la parte del gráfico a la izquierda del eje y (valores negativos de la variable independiente), el la gráfica es simétrica con respecto al eje Y. Si la función es simétrica con respecto al eje Y, la función es par.

Comprueba si la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen. El origen es el punto de coordenadas (0,0). La simetría sobre el origen significa que un valor y positivo (\displaystyle y) (cuando x es positivo (\displaystyle x)) corresponde a un valor y negativo (\displaystyle y) (cuando x es negativo (\displaystyle x)), y viceversa. Las funciones impares tienen simetría con respecto al origen.

Comprueba si la gráfica de la función tiene alguna simetría. El último tipo de función es una función cuya gráfica no tiene simetría, es decir, no hay una imagen especular tanto en relación con el eje y como en relación con el origen. Por ejemplo, dada una función.

Sustituya algunos valores x positivos y negativos correspondientes (\displaystyle x) en la función:
Según los resultados obtenidos, no existe simetría. Los valores de y (\displaystyle y) para los valores opuestos de x (\displaystyle x) no coinciden ni son opuestos. Por tanto, la función no es ni par ni impar.
Tenga en cuenta que la función f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) se puede escribir así: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Escrita de esta forma, la función parece ser par porque hay un exponente par. Pero este ejemplo demuestra que la forma de una función no se puede determinar rápidamente si la variable independiente está entre paréntesis. En este caso, debe abrir los paréntesis y analizar los exponentes resultantes.