gráfico de función. Funciones y sus gráficas 3 x 1 2 gráfica

1. Función fraccionaria lineal y su gráfica

Una función de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, se denomina función racional fraccionaria.

Probablemente ya esté familiarizado con el concepto de números racionales. Similarmente funciones racionales son funciones que se pueden representar como cociente de dos polinomios.

Si una función racional fraccionaria es un cociente de dos funciones lineales - polinomios de primer grado, es decir ver función

y = (ax + b) / (cx + d), entonces se llama fraccionario lineal.

Tenga en cuenta que en la función y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (de lo contrario, la función se vuelve lineal y = ax/d + b/d) y que a/c ≠ b/d (de lo contrario, el función es una constante). La función fraccionaria lineal está definida para todos los números reales, excepto para x = -d/c. Las gráficas de funciones fraccionarias lineales no difieren en forma de la gráfica que conoces y = 1/x. La curva que es la gráfica de la función y = 1/x se llama hipérbole. Con un aumento ilimitado de x en valor absoluto, la función y = 1/x decrece indefinidamente en valor absoluto y ambas ramas de la gráfica se acercan al eje de abscisas: la derecha se acerca por arriba y la izquierda por abajo. Las rectas a las que se acercan las ramas de una hipérbola se llaman sus asíntotas.

Ejemplo 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Solución.

Seleccionemos la parte entera: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: desplazar 3 segmentos unitarios a la derecha, estirar a lo largo del eje Oy 7 veces y desplazar 2 segmentos de unidad hacia arriba.

Cualquier fracción y = (ax + b) / (cx + d) se puede escribir de la misma forma, resaltando la “parte entera”. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones fraccionarias lineales son hipérbolas desplazadas a lo largo de los ejes de coordenadas de varias maneras y alargadas a lo largo del eje Oy.

Para trazar un gráfico de alguna función lineal-fraccional arbitraria, no es necesario transformar la fracción que define esta función. Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, bastará encontrar las rectas a las que se aproximan sus ramas - las asíntotas de la hipérbola x = -d/c y y = a/c.

Ejemplo 2

Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función y = (3x + 5)/(2x + 2).

Solución.

La función no está definida, para x = -1. Por lo tanto, la recta x = -1 sirve como asíntota vertical. Para encontrar la asíntota horizontal, averigüemos a qué se acercan los valores de la función y(x) cuando el argumento x aumenta en valor absoluto.

Para ello, dividimos el numerador y el denominador de la fracción por x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Como x → ∞ la fracción tiende a 3/2. Por tanto, la asíntota horizontal es la recta y = 3/2.

Ejemplo 3

Traza la función y = (2x + 1)/(x + 1).

Solución.

Seleccionamos la “parte entera” de la fracción:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: un desplazamiento de 1 unidad hacia la izquierda, una representación simétrica con respecto a Ox y un desplazamiento de intervalos de 2 unidades hacia arriba a lo largo del eje Oy.

Dominio de definición D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rango de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puntos de intersección con ejes: c Oy: (0; 1); c Buey: (-1/2; 0). La función crece en cada uno de los intervalos del dominio de definición.

Respuesta: figura 1.

2. Función fraccional-racional

Considere una función racional fraccionaria de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado mayor que el primero.

Ejemplos de tales funciones racionales:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) o y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Si la función y = P(x) / Q(x) es un cociente de dos polinomios de grado mayor que el primero, entonces su gráfico será, por regla general, más complicado y, a veces, puede ser difícil construirlo exactamente. , con todos los detalles. Sin embargo, muchas veces es suficiente aplicar técnicas similares a las que ya hemos conocido anteriormente.

Sea la fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Obviamente, la gráfica de una función racional fraccionaria se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales.

Trazar funciones racionales fraccionarias

Considere varias formas de representar gráficamente una función fraccionaria-racional.

Ejemplo 4

Trace la función y = 1/x 2 .

Solución.

Usamos el gráfico de la función y \u003d x 2 para trazar el gráfico y \u003d 1 / x 2 y usamos el método de "dividir" los gráficos.

Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rango de valores E(y) = (0; +∞).

No hay puntos de intersección con los ejes. La función es pareja. Aumenta para todo x desde el intervalo (-∞; 0), disminuye para x desde 0 hasta +∞.

Respuesta: figura 2.

Ejemplo 5

Trace la función y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Solución.

Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x/3 + 1/3.

Aquí utilizamos la técnica de factorización, reducción y reducción a una función lineal.

Respuesta: figura 3.

Ejemplo 6

Trace la función y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Solución.

El dominio de definición es D(y) = R. Dado que la función es par, la gráfica es simétrica respecto al eje y. Antes de graficar, nuevamente transformamos la expresión resaltando la parte entera:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Tenga en cuenta que la selección de la parte entera en la fórmula de una función fraccionaria-racional es una de las principales al trazar gráficos.

Si x → ±∞, entonces y → 1, es decir, la recta y = 1 es una asíntota horizontal.

Respuesta: figura 4.

Ejemplo 7

Considere la función y = x/(x 2 + 1) e intente encontrar exactamente su valor más grande, es decir, el punto más alto en la mitad derecha del gráfico. Para construir con precisión este gráfico, el conocimiento actual no es suficiente. Es obvio que nuestra curva no puede "trepar" muy alto, ya que el denominador rápidamente comienza a “superar” al numerador. Veamos si el valor de la función puede ser igual a 1. Para hacer esto, debes resolver la ecuación x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Esta ecuación no tiene raíces reales. Entonces nuestra suposición es incorrecta. Para encontrar el valor más grande de la función, debe averiguar para qué A más grande la ecuación A \u003d x / (x 2 + 1) tendrá una solución. Reemplacemos la ecuación original por una cuadrática: Ax 2 - x + A \u003d 0. Esta ecuación tiene una solución cuando 1 - 4A 2 ≥ 0. A partir de aquí encontramos el valor más grande A \u003d 1/2.

Respuesta: Figura 5, max y(x) = ½.

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La función y=x^2 se llama función cuadrática. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La vista general de la parábola se muestra en la siguiente figura.

función cuadrática

Fig 1. Vista general de la parábola

Como puede verse en el gráfico, es simétrico con respecto al eje Oy. El eje Oy se llama eje de simetría de la parábola. Esto significa que si dibuja una línea recta paralela al eje Ox sobre este eje en el gráfico. Luego interseca a la parábola en dos puntos. La distancia de estos puntos al eje y será la misma.

El eje de simetría divide el gráfico de la parábola, por así decirlo, en dos partes. Estas partes se llaman las ramas de la parábola. Y el punto de la parábola que está sobre el eje de simetría se llama vértice de la parábola. Es decir, el eje de simetría pasa por la parte superior de la parábola. Las coordenadas de este punto son (0;0).

Propiedades básicas de una función cuadrática

1. Para x=0, y=0 e y>0 para x0

2. La función cuadrática alcanza su valor mínimo en su vértice. Ymín en x=0; También se debe tener en cuenta que el valor máximo de la función no existe.

3. La función decrece en el intervalo (-∞; 0] y crece en el intervalo )