Esperanza matemática de una variable aleatoria continua. Expectativa matemática es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria Días expectativa matemática semana
Como ya se sabe, la ley de distribución caracteriza completamente una variable aleatoria. Sin embargo, la ley de distribución a menudo se desconoce y uno tiene que limitarse a una información menor. A veces es aún más rentable usar números que describen una variable aleatoria en total; tales números se llaman características numéricas de una variable aleatoria.
La esperanza matemática es una de las características numéricas importantes.
La expectativa matemática es aproximadamente igual al valor promedio de una variable aleatoria.
Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades.
Si una variable aleatoria se caracteriza por una serie de distribución finita:
| X | x1 | x2 | x3 | … | x norte |
| R | pág. 1 | pág. 2 | pág. 3 | … | r pag |
entonces la expectativa matemática M(X) está determinada por la fórmula:
La expectativa matemática de una variable aleatoria continua está determinada por la igualdad:
donde es la densidad de probabilidad de la variable aleatoria X.
Ejemplo 4.7. Encuentre la expectativa matemática del número de puntos que caen cuando se lanza un dado.
Solución:
Valor aleatorio X toma los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hagamos la ley de su distribución:
| X | ||||||
| R |
Entonces la expectativa matemática es:
Propiedades de la expectativa matemática:
1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma:
M(S)=S.
2. El factor constante se puede sacar del signo de expectativa:
M(CX) = CM(X).
3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
M(XY) = M(X)M(Y).
Ejemplo 4.8. Variables aleatorias independientes X Y Y están dadas por las siguientes leyes de distribución:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria XY.
Solución.
Encontremos las expectativas matemáticas de cada una de estas cantidades:
variables aleatorias X Y Y independiente, por lo que la expectativa matemática deseada:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Consecuencia. La expectativa matemática del producto de varias variables aleatorias independientes entre sí es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Consecuencia. La expectativa matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.
Ejemplo 4.9. Se hacen 3 tiros con probabilidades de dar en el blanco igual a pág. 1 = 0,4; p2= 0.3 y pág. 3= 0,6. Encuentre la expectativa matemática del número total de aciertos.
Solución.
El número de aciertos en el primer tiro es una variable aleatoria X 1, que puede tomar solo dos valores: 1 (acierto) con probabilidad pág. 1= 0.4 y 0 (error) con probabilidad q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
La expectativa matemática del número de aciertos en el primer tiro es igual a la probabilidad de acertar:
De manera similar, encontramos las expectativas matemáticas del número de aciertos en el segundo y tercer tiro:
M(X2)= 0.3 y M (X 3) \u003d 0,6.
El número total de aciertos también es una variable aleatoria que consiste en la suma de aciertos en cada uno de los tres tiros:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
La esperanza matemática deseada X encontramos por el teorema de la matemática, la expectativa de la suma.
Las variables aleatorias, además de las leyes de distribución, también se pueden describir características numéricas .
expectativa matemática M (x) de una variable aleatoria se llama su valor promedio.
La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta se calcula mediante la fórmula
Dónde – valores de una variable aleatoria, p i- sus probabilidades.
Considere las propiedades de la expectativa matemática:
1. La expectativa matemática de una constante es igual a la constante misma
2. Si una variable aleatoria se multiplica por un cierto número k, entonces la expectativa matemática se multiplicará por el mismo número
M (kx) = kM (x)
3. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas
METRO (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d METRO (x 1) + METRO (x 2) + ... + METRO (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. Para variables aleatorias independientes x 1 , x 2 , … x n la expectativa matemática del producto es igual al producto de sus expectativas matemáticas
METRO (x 1, x 2, ... x n) \u003d METRO (x 1) METRO (x 2) ... METRO (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0
Calculemos la expectativa matemática para la variable aleatoria del ejemplo 11.
M(x) == 
.
Ejemplo 12. Sean las variables aleatorias x 1 , x 2 dadas por las leyes de distribución, respectivamente:
x 1 Mesa 2
x2 Tabla 3
Calcular M (x 1) y M (x 2)
M (x 1) \u003d (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 \u003d 0
Las expectativas matemáticas de ambas variables aleatorias son las mismas: son iguales a cero. Sin embargo, su distribución es diferente. Si los valores de x 1 difieren poco de su expectativa matemática, entonces los valores de x 2 difieren en gran medida de su expectativa matemática, y las probabilidades de tales desviaciones no son pequeñas. Estos ejemplos muestran que es imposible determinar a partir del valor medio qué desviaciones del mismo se producen tanto hacia arriba como hacia abajo. Así, con la misma precipitación media anual en dos localidades, no se puede decir que estas localidades sean igualmente favorables para el trabajo agrícola. De manera similar, por el indicador de salarios promedio, no es posible juzgar la proporción de trabajadores con salarios altos y bajos. Por lo tanto, se introduce una característica numérica: dispersión D(x) , que caracteriza el grado de desviación de una variable aleatoria de su valor medio:
re (x) = METRO (x - METRO (x)) 2 . (2)
La dispersión es la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de una variable aleatoria de la expectativa matemática. Para una variable aleatoria discreta, la varianza se calcula mediante la fórmula:
D(x)= 
= 
(3)
De la definición de varianza se sigue que D (x) 0.
Propiedades de dispersión:
1. La dispersión de la constante es cero
2. Si una variable aleatoria se multiplica por algún número k, entonces la varianza se multiplica por el cuadrado de este número
re (kx) = k 2 re (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. Para variables aleatorias independientes por pares x 1 , x 2 , … x n la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas.
re (x 1 + x 2 + ... + x norte) = re (x 1) + re (x 2) + ... + re (x norte)
Calculemos la varianza de la variable aleatoria del ejemplo 11.
Expectativa matemática M (x) = 1. Por tanto, según la fórmula (3) tenemos:
D (x) \u003d (0 - 1) 2 1/4 + (1 - 1) 2 1/2 + (2 - 1) 2 1/4 \u003d 1 1/4 + 1 1/4 \u003d 1/2
Tenga en cuenta que es más fácil calcular la varianza si usamos la propiedad 3:
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Calculemos las varianzas de las variables aleatorias x 1 , x 2 del Ejemplo 12 usando esta fórmula. Las expectativas matemáticas de ambas variables aleatorias son iguales a cero.
D (x 1) \u003d 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 \u003d 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 \u003d 0.00204
D (x 2) \u003d (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 \u003d 240 +20 \u003d 260
Cuanto más cerca esté el valor de dispersión de cero, menor será la dispersión de la variable aleatoria en relación con el valor medio.
El valor se llama Desviación Estándar. Moda al azar X tipo discreto Md es el valor de la variable aleatoria, que corresponde a la mayor probabilidad.
Moda al azar X tipo continuo Md, es un número real definido como el punto máximo de la densidad de distribución de probabilidad f(x).
Mediana de una variable aleatoria X tipo continuo Mn es un número real que satisface la ecuación
En la teoría de la probabilidad y en muchas de sus aplicaciones, varias características numéricas de las variables aleatorias son de gran importancia. Los principales son la esperanza matemática y la varianza.
1. Esperanza matemática de una variable aleatoria y sus propiedades.
Considere primero el siguiente ejemplo. Que la fábrica reciba un lote compuesto por norte aspectos. Donde:
metro 1 x1,
m2- número de rodamientos con diámetro exterior x2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m norte- número de rodamientos con diámetro exterior x norte,
Aquí m 1 +m 2 +...+m n =N. Encuentra la media aritmética x cf diámetro exterior del rodamiento. Obviamente,
El diámetro exterior de un rodamiento extraído al azar se puede considerar como una variable aleatoria tomando los valores x1, x2, ..., x norte, con las probabilidades correspondientes p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., pag norte = metro norte / norte, porque la probabilidad Pi la apariencia de un rodamiento con un diámetro exterior x yo es igual a m yo / N. Así, la media aritmética x cf el diámetro exterior de un rodamiento se puede determinar utilizando la relación 
Sea una variable aleatoria discreta con una ley de distribución de probabilidad dada
Valores
x1
x2
. . .
x norte
probabilidades
p1
p2
. . .
pag norte
expectativa matemática variable aleatoria discreta la suma de los productos por pares de todos los valores posibles de una variable aleatoria y sus correspondientes probabilidades se denomina, es decir, *
Se supone que existe la integral impropia del lado derecho de la igualdad (40).
Considere las propiedades de la expectativa matemática. Al hacerlo, nos limitaremos a probar solo las dos primeras propiedades, que realizaremos para variables aleatorias discretas.
1°. La expectativa matemática de la constante C es igual a esta constante.
Prueba. Permanente C se puede considerar como una variable aleatoria que solo puede tomar un valor C con probabilidad igual a uno. Es por eso 
2°. El factor constante se puede sacar del signo de expectativa, es decir. 
Prueba. Usando la relación (39), tenemos 
3°. La expectativa matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de estas variables:
También habrá tareas para una solución independiente, cuyas respuestas podrá ver.
La expectativa matemática y la varianza son las características numéricas más utilizadas de una variable aleatoria. Caracterizan los rasgos más importantes de la distribución: su posición y grado de dispersión. La expectativa matemática a menudo se conoce simplemente como la media. variable aleatoria. Dispersión de una variable aleatoria - una característica de dispersión, dispersión de una variable aleatoria en torno a su expectativa matemática.
En muchos problemas de la práctica, no se puede obtener una descripción completa y exhaustiva de una variable aleatoria, la ley de distribución, o no se necesita en absoluto. En estos casos, se limitan a una descripción aproximada de una variable aleatoria utilizando características numéricas.
Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta
Vayamos al concepto de expectativa matemática. Deje que la masa de alguna sustancia se distribuya entre los puntos del eje x X1 , X 2 , ..., X norte. Además, cada punto material tiene una masa que le corresponde con una probabilidad de pag1 , pag 2 , ..., pag norte. Se requiere elegir un punto en el eje x, que caracteriza la posición de todo el sistema de puntos materiales, teniendo en cuenta sus masas. Es natural tomar el centro de masa del sistema de puntos materiales como tal punto. Este es el promedio ponderado de la variable aleatoria X, en el que la abscisa de cada punto Xi entra con un "peso" igual a la probabilidad correspondiente. El valor medio de la variable aleatoria así obtenido X se llama su expectativa matemática.
La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y las probabilidades de estos valores:
Ejemplo 1 Organizó una lotería de ganar-ganar. Hay 1000 ganancias, 400 de las cuales son de 10 rublos cada una. 300 - 20 rublos cada uno 200 - 100 rublos cada uno. y 100 - 200 rublos cada uno. ¿Cuál es la ganancia promedio para una persona que compra un boleto?
Solución. Encontraremos la ganancia promedio si la cantidad total de ganancias, que es igual a 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublos, se divide por 1000 (la cantidad total de ganancias). Luego obtenemos 50000/1000 = 50 rublos. Pero la expresión para calcular la ganancia promedio también se puede representar de la siguiente forma:
Por otro lado, bajo estas condiciones, la cantidad de ganancias es una variable aleatoria que puede tomar los valores de 10, 20, 100 y 200 rublos. con probabilidades iguales a 0.4, respectivamente; 0,3; 0,2; 0.1. Por lo tanto, el pago promedio esperado es igual a la suma de los productos del tamaño de los pagos y la probabilidad de recibirlos.
Ejemplo 2 El editor decidió publicar un nuevo libro. Va a vender el libro por 280 rublos, de los cuales se le darán 200, 50 a la librería y 30 al autor. La tabla brinda información sobre el costo de publicar un libro y la probabilidad de vender una cierta cantidad de copias del libro.
Encuentre la ganancia esperada del editor.
Solución. La variable aleatoria "beneficio" es igual a la diferencia entre el ingreso por la venta y el costo de los costos. Por ejemplo, si se venden 500 copias de un libro, los ingresos de la venta son 200 * 500 = 100 000 y el costo de publicación es de 225 000 rublos. Por lo tanto, el editor se enfrenta a una pérdida de 125.000 rublos. La siguiente tabla resume los valores esperados de la variable aleatoria - beneficio:
| Número | Ganancia Xi | Probabilidad pagi | Xi pag i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Así, obtenemos la expectativa matemática de la ganancia del editor:
.
Ejemplo 3 Oportunidad de acertar con un solo tiro pag= 0,2. Determine el consumo de proyectiles que proporcionan la expectativa matemática del número de aciertos igual a 5.
Solución. De la misma fórmula de expectativa que hemos usado hasta ahora, expresamos X- consumo de conchas:
.
Ejemplo 4 Determinar la expectativa matemática de una variable aleatoria X número de aciertos con tres tiros, si la probabilidad de acertar con cada tiro pag = 0,4 .
Pista: encuentra la probabilidad de los valores de una variable aleatoria por Fórmula de Bernoulli .
Propiedades de expectativa
Considere las propiedades de la expectativa matemática.
Propiedad 1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a esta constante:
Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo de expectativa:
Propiedad 3. La expectativa matemática de la suma (diferencia) de variables aleatorias es igual a la suma (diferencia) de sus expectativas matemáticas:
Propiedad 4. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
Propiedad 5. Si todos los valores de la variable aleatoria X disminuir (aumentar) en el mismo número CON, entonces su expectativa matemática disminuirá (aumentará) en el mismo número:
Cuando no se puede limitar sólo a la expectativa matemática
En la mayoría de los casos, solo la expectativa matemática no puede caracterizar adecuadamente una variable aleatoria.
Dejar variables aleatorias X Y Y están dadas por las siguientes leyes de distribución:
| Significado X | Probabilidad |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Significado Y | Probabilidad |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Las expectativas matemáticas de estas cantidades son las mismas, iguales a cero:
Sin embargo, su distribución es diferente. Valor aleatorio X solo puede tomar valores que son un poco diferentes de la expectativa matemática, y la variable aleatoria Y puede tomar valores que se desvían significativamente de la expectativa matemática. Un ejemplo similar: el salario medio no permite juzgar la proporción de trabajadores con salarios altos y bajos. En otras palabras, por expectativa matemática uno no puede juzgar qué desviaciones de ella, al menos en promedio, son posibles. Para hacer esto, necesitas encontrar la varianza de una variable aleatoria.
Dispersión de una variable aleatoria discreta
dispersión variable aleatoria discreta X se llama la expectativa matemática del cuadrado de su desviación de la expectativa matemática:
La desviación estándar de una variable aleatoria X es el valor aritmético de la raíz cuadrada de su varianza:
.
Ejemplo 5 Calcular varianzas y desviaciones estándar de variables aleatorias X Y Y, cuyas leyes de distribución se dan en las tablas anteriores.
Solución. Expectativas matemáticas de variables aleatorias X Y Y, como se encontró arriba, son iguales a cero. De acuerdo con la fórmula de dispersión de mi(X)=mi(y)=0 obtenemos:
Entonces las desviaciones estándar de las variables aleatorias X Y Y constituir
.
Así, con las mismas expectativas matemáticas, la varianza de la variable aleatoria X muy pequeño y aleatorio Y- significativo. Esto es consecuencia de la diferencia en su distribución.
Ejemplo 6 El inversionista tiene 4 proyectos alternativos de inversión. La tabla resume los datos sobre el beneficio esperado en estos proyectos con la probabilidad correspondiente.
| Proyecto 1 | Proyecto 2 | Proyecto 3 | Proyecto 4 |
| 500, PAG=1 | 1000, PAG=0,5 | 500, PAG=0,5 | 500, PAG=0,5 |
| 0, PAG=0,5 | 1000, PAG=0,25 | 10500, PAG=0,25 | |
| 0, PAG=0,25 | 9500, PAG=0,25 |
Encuentre para cada alternativa la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar.
Solución. Veamos cómo se calculan estas cantidades para la tercera alternativa:
La tabla resume los valores encontrados para todas las alternativas.
Todas las alternativas tienen la misma expectativa matemática. Esto significa que a la larga todos tienen los mismos ingresos. La desviación estándar se puede interpretar como una medida de riesgo: cuanto mayor es, mayor es el riesgo de la inversión. Un inversionista que no quiere mucho riesgo elegirá el proyecto 1 porque tiene la desviación estándar más pequeña (0). Si el inversor prefiere el riesgo y los altos rendimientos en un período corto, elegirá el proyecto con la desviación estándar más grande: el proyecto 4.
Propiedades de dispersión
Presentemos las propiedades de la dispersión.
Propiedad 1. La dispersión de un valor constante es cero:
Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado:
.
Propiedad 3. La varianza de una variable aleatoria es igual a la expectativa matemática del cuadrado de este valor, de la cual se resta el cuadrado de la expectativa matemática del propio valor:
,
Dónde 
.
Propiedad 4. La varianza de la suma (diferencia) de variables aleatorias es igual a la suma (diferencia) de sus varianzas:
Ejemplo 7 Se sabe que una variable aleatoria discreta X toma solo dos valores: −3 y 7. Además, se conoce la esperanza matemática: mi(X) = 4 . Encuentra la varianza de una variable aleatoria discreta.
Solución. Denotamos por pag la probabilidad con la que una variable aleatoria toma un valor X1 = −3 . Entonces la probabilidad del valor X2 = 7 será 1 − pag. Derivamos la ecuación para la esperanza matemática:
mi(X) = X 1 pag + X 2 (1 − pag) = −3pag + 7(1 − pag) = 4 ,
donde obtenemos las probabilidades: pag= 0.3 y 1 − pag = 0,7 .
La ley de distribución de una variable aleatoria:
| X | −3 | 7 |
| pag | 0,3 | 0,7 |
Calculamos la varianza de esta variable aleatoria usando la fórmula de la propiedad 3 de la varianza:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria usted mismo y luego vea la solución
Ejemplo 8 Variable aleatoria discreta X toma sólo dos valores. Toma el valor mayor de 3 con una probabilidad de 0.4. Además, se conoce la varianza de la variable aleatoria D(X) = 6 . Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria.
Ejemplo 9 Una urna contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Se sacan 3 bolas de la urna. El número de bolas blancas entre las bolas extraídas es una variable aleatoria discreta X. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de esta variable aleatoria.
Solución. Valor aleatorio X puede tomar los valores 0, 1, 2, 3. Las probabilidades correspondientes se pueden calcular a partir de regla de la multiplicacion de probabilidades. La ley de distribución de una variable aleatoria:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pag | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
De ahí la expectativa matemática de esta variable aleatoria:
METRO(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
La varianza de una variable aleatoria dada es:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Expectativa matemática y dispersión de una variable aleatoria continua
Para una variable aleatoria continua, la interpretación mecánica de la expectativa matemática conservará el mismo significado: el centro de masa para una unidad de masa distribuida continuamente en el eje x con densidad F(X). A diferencia de una variable aleatoria discreta, para la cual el argumento de la función Xi cambia abruptamente, para una variable aleatoria continua, el argumento cambia continuamente. Pero la esperanza matemática de una variable aleatoria continua también está relacionada con su valor medio.
Para encontrar la expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria continua, necesita encontrar integrales definidas . Si se da una función de densidad de una variable aleatoria continua, entonces entra directamente en el integrando. Si se da una función de distribución de probabilidad, al diferenciarla, debe encontrar la función de densidad.
El promedio aritmético de todos los valores posibles de una variable aleatoria continua se llama su expectativa matemática, denotado por o .
Características de los DSW y sus propiedades. Expectativa matemática, varianza, desviación estándar
La ley de distribución caracteriza completamente la variable aleatoria. Sin embargo, cuando es imposible encontrar la ley de distribución, o no se requiere esta, uno puede limitarse a encontrar valores, llamados características numéricas de una variable aleatoria. Estas cantidades determinan algún valor medio en torno al cual se agrupan los valores de una variable aleatoria, y el grado de su dispersión en torno a este valor medio.
expectativa matemática Una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria y sus probabilidades.
La esperanza matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.
Desde el punto de vista de la probabilidad, podemos decir que la expectativa matemática es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria.
Ejemplo. Se conoce la ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Encuentra la expectativa matemática.
| X | ||||
| pag | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Solución:
9.2 Propiedades de expectativa
1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma.
2. Se puede sacar un factor constante del signo de expectativa. 
3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Esta propiedad es válida para un número arbitrario de variables aleatorias.
4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.
Esta propiedad también es cierta para un número arbitrario de variables aleatorias.
Sean realizadas n pruebas independientes, cuya probabilidad de ocurrencia del evento A en el cual es igual a p.
Teorema. La expectativa matemática M(X) del número de ocurrencias del evento A en n intentos independientes es igual al producto del número de intentos y la probabilidad de ocurrencia del evento en cada intento.
Ejemplo. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria Z si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Solución:
9.3 Dispersión de una variable aleatoria discreta
Sin embargo, la expectativa matemática no puede caracterizar completamente un proceso aleatorio. Además de la expectativa matemática, es necesario introducir un valor que caracterice la desviación de los valores de la variable aleatoria de la expectativa matemática.
Esta desviación es igual a la diferencia entre la variable aleatoria y su expectativa matemática. En este caso, la expectativa matemática de la desviación es cero. Esto se explica por el hecho de que algunas posibles desviaciones son positivas, otras son negativas y, como resultado de su cancelación mutua, se obtiene cero.
Dispersión (dispersión) La variable aleatoria discreta se llama la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática.
En la práctica, este método de cálculo de la varianza es inconveniente, porque conduce a cálculos engorrosos para una gran cantidad de valores de una variable aleatoria.
Por lo tanto, se utiliza otro método.
Teorema. La varianza es igual a la diferencia entre la esperanza matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su esperanza matemática.
Prueba. Teniendo en cuenta que la esperanza matemática M (X) y el cuadrado de la esperanza matemática M 2 (X) son valores constantes, podemos escribir:
Ejemplo. Encuentra la varianza de una variable aleatoria discreta dada por la ley de distribución.
| X | ||||
| 2x2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Solución: .
9.4 Propiedades de dispersión
1. La dispersión de un valor constante es cero. .
2. Se puede sacar un factor constante del signo de dispersión elevándolo al cuadrado. 
.
3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .
4. La varianza de la diferencia de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .
Teorema. La varianza del número de ocurrencias del evento A en n ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad p de ocurrencia del evento es constante, es igual al producto del número de ensayos y la probabilidad de ocurrencia y no ocurrencia del evento en cada ensayo.
9.5 Desviación estándar de una variable aleatoria discreta
Desviación Estándar variable aleatoria X se llama la raíz cuadrada de la varianza.
Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias mutuamente independientes es igual a la raíz cuadrada de la suma de las desviaciones estándar al cuadrado de estas variables.
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