Los valores mayor y menor de una función en un segmento. Cómo encontrar el máximo o mínimo de una función cuadrática Encuentra los valores enteros más pequeños y más grandes de una función

Deja que la función y=F(X) continua en el intervalo [ un, b]. Como se sabe, dicha función alcanza sus valores máximo y mínimo en este segmento. La función puede tomar estos valores ya sea en un punto interior del segmento [ un, b], o en el límite del segmento.

Para encontrar los valores mayor y menor de una función en el intervalo [ un, b] necesario:

1) encontrar los puntos críticos de la función en el intervalo ( un, b);

2) calcular los valores de la función en los puntos críticos encontrados;

3) calcular los valores de la función en los extremos del segmento, es decir, para X=A y x = b;

4) de todos los valores calculados de la función, elija el más grande y el más pequeño.

Ejemplo. Encuentra los valores mayor y menor de una función

en el segmento.

Encontrar puntos críticos:

Estos puntos se encuentran dentro del segmento; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

en el punto X= 3 y en el punto X= 0.

Investigación de una función para la convexidad y un punto de inflexión.

Función y = F (X) llamado convexo entre (a, b) , si su gráfica se encuentra bajo una tangente trazada en cualquier punto de este intervalo, y se llama convexo hacia abajo (cóncavo) si su gráfica está por encima de la tangente.

El punto en la transición a través del cual la convexidad es reemplazada por concavidad o viceversa se llama punto de inflexión.

Algoritmo para estudiar la convexidad y el punto de inflexión:

1. Encuentre los puntos críticos de segundo tipo, es decir, los puntos en los que la segunda derivada es igual a cero o no existe.

2. Coloca puntos críticos en la recta numérica, dividiéndola en intervalos. Encuentre el signo de la segunda derivada en cada intervalo; si , entonces la función es convexa hacia arriba, si, entonces la función es convexa hacia abajo.

3. Si al pasar por un punto crítico de segunda especie cambia de signo y en ese punto la segunda derivada es igual a cero, entonces ese punto es la abscisa del punto de inflexión. Encuentra su ordenada.

Asíntotas de la gráfica de una función. Investigación de una función en asíntotas.

Definición. La asíntota de la gráfica de una función se llama derecho, que tiene la propiedad de que la distancia de cualquier punto de la gráfica a esta línea tiende a cero con una remoción ilimitada del punto de la gráfica del origen.

Hay tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales e inclinadas.

Definición. Llamada directa asíntota vertical gráfico de función y = f(x), si al menos uno de los límites unilaterales de la función en este punto es igual a infinito, es decir

donde es el punto de discontinuidad de la función, es decir, no pertenece al dominio de definición.

Ejemplo.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - punto de ruptura.

Definición. Derecho y=A llamado asíntota horizontal gráfico de función y = f(x) en , si

Ejemplo.

X
y

Definición. Derecho y=kx +b (k≠ 0) se llama asíntota oblicua gráfico de función y = f(x) en donde

Esquema general para el estudio de funciones y graficación.

Algoritmo de investigación de funcionesy = f(x) :

1. Encuentra el dominio de la función D (y).

2. Encuentra (si es posible) los puntos de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas (con X= 0 y en y = 0).

3. Investigue las funciones pares e impares ( y (‒ X) = y (X) ‒ paridad; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ extraño).

4. Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función.

5. Hallar intervalos de monotonicidad de la función.

6. Encuentra los extremos de la función.

7. Encuentra los intervalos de convexidad (concavidad) y los puntos de inflexión de la gráfica de la función.

8. Sobre la base de la investigación realizada, construya un gráfico de la función.

Ejemplo. Investiga la función y traza su gráfica.

1) D (y) =

X= 4 - punto de ruptura.

2) cuando X = 0,

(0; – 5) – punto de intersección con oye.

En y = 0,

3) y(‒ X)= función general (ni par ni impar).

4) Investigamos por asíntotas.

a) verticales

b) horizontales

c) encontrar asíntotas oblicuas donde

‒ecuación asíntota oblicua

5) En esta ecuación no se requiere encontrar intervalos de monotonicidad de la función.

6)

Estos puntos críticos dividen todo el dominio de la función en el intervalo (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) y (10; +∞). Es conveniente presentar los resultados obtenidos en forma de la siguiente tabla:

				sin extra

Se puede ver en la tabla que el punto X= ‒2‒punto máximo, en el punto X= 4‒ sin extremo, X= 10 – punto mínimo.

Sustituye el valor (‒ 3) en la ecuación:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

El máximo de esta función es

(– 2; – 4) – extremo máximo.

El mínimo de esta función es

(10; 20) es el mínimo extremo.

7) examinar la convexidad y el punto de inflexión de la gráfica de la función

Sea la función $z=f(x,y)$ definida y continua en algún dominio cerrado acotado $D$. Deje que la función dada tenga derivadas parciales finitas de primer orden en esta región (con la posible excepción de un número finito de puntos). Para encontrar los valores mayor y menor de una función de dos variables en una región cerrada dada, se requieren tres pasos de un algoritmo simple.

Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de la función $z=f(x,y)$ en el dominio cerrado $D$.

1. Encuentra los puntos críticos de la función $z=f(x,y)$ que pertenecen a la región $D$. Calcule los valores de la función en los puntos críticos.
2. Investiga el comportamiento de la función $z=f(x,y)$ en el límite de la región $D$ encontrando los puntos de valores máximos y mínimos posibles. Calcular los valores de la función en los puntos obtenidos.
3. De los valores de la función obtenidos en los dos párrafos anteriores, elige el mayor y el menor.

¿Qué son los puntos críticos? mostrar ocultar

Bajo puntos críticos implican puntos donde ambas derivadas parciales de primer orden son iguales a cero (es decir, $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ y $\frac(\partial z)(\partial y)=0$) o al menos una derivada parcial no existe.

A menudo, los puntos en los que las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero se denominan puntos estacionarios. Por lo tanto, los puntos estacionarios son un subconjunto de los puntos críticos.

Ejemplo 1

Encuentra los valores máximo y mínimo de la función $z=x^2+2xy-y^2-4x$ en la región cerrada delimitada por las rectas $x=3$, $y=0$ y $y=x+1$.

Seguiremos lo anterior, pero primero nos ocuparemos del dibujo de un área determinada, que denotaremos con la letra $D$. Nos dan las ecuaciones de tres rectas que limitan esta área. La recta $x=3$ pasa por el punto $(3;0)$ paralela al eje y (eje Oy). La recta $y=0$ es la ecuación del eje de abscisas (eje Ox). Bien, para construir una recta $y=x+1$ busquemos dos puntos por los que trazamos esta recta. Por supuesto, puede sustituir un par de valores arbitrarios en lugar de $x$. Por ejemplo, al sustituir $x=10$, obtenemos: $y=x+1=10+1=11$. Hemos encontrado el punto $(10;11)$ sobre la recta $y=x+1$. Sin embargo, es mejor encontrar aquellos puntos donde la línea $y=x+1$ se cruza con las líneas $x=3$ y $y=0$. ¿Por qué es mejor? Porque tiraremos un par de pájaros de un tiro: obtendremos dos puntos por construir la línea recta $y=x+1$ y al mismo tiempo averiguaremos en qué puntos esta línea recta se cruza con otras líneas que limitan el área dada. La línea $y=x+1$ se cruza con la línea $x=3$ en el punto $(3;4)$, y la línea $y=0$ - en el punto $(-1;0)$. Para no abarrotar el curso de la solución con explicaciones auxiliares, plantearé la cuestión de obtener estos dos puntos en una nota.

¿Cómo se obtuvieron los puntos $(3;4)$ y $(-1;0)$? mostrar ocultar

Comencemos desde el punto de intersección de las líneas $y=x+1$ y $x=3$. Las coordenadas del punto deseado pertenecen tanto a la primera como a la segunda línea, por lo que para encontrar coordenadas desconocidas, debe resolver el sistema de ecuaciones:

$$ \left \( \begin(alineado) & y=x+1;\\ & x=3. \end(alineado) \right. $$

La solución de tal sistema es trivial: sustituyendo $x=3$ en la primera ecuación tendremos: $y=3+1=4$. El punto $(3;4)$ es el punto de intersección deseado de las rectas $y=x+1$ y $x=3$.

Ahora busquemos el punto de intersección de las rectas $y=x+1$ y $y=0$. De nuevo, componemos y resolvemos el sistema de ecuaciones:

$$ \left \( \begin(alineado) & y=x+1;\\ & y=0. \end(alineado) \right. $$

Sustituyendo $y=0$ en la primera ecuación, obtenemos: $0=x+1$, $x=-1$. El punto $(-1;0)$ es el punto de intersección deseado de las rectas $y=x+1$ y $y=0$ (eje de abscisas).

Todo está listo para construir un dibujo que se verá así:

La cuestión de la nota parece obvia, porque todo se ve desde la figura. Sin embargo, vale la pena recordar que el dibujo no puede servir como prueba. La figura es solo una ilustración para mayor claridad.

Nuestra área se fijó usando las ecuaciones de las rectas que la limitan. Es obvio que estas líneas definen un triángulo, ¿no? ¿O no del todo obvio? O tal vez nos dan un área diferente, delimitada por las mismas líneas:

Por supuesto, la condición dice que el área está cerrada, por lo que la imagen que se muestra es incorrecta. Pero para evitar tales ambigüedades, es mejor definir regiones por desigualdades. ¿Estamos interesados ​​en la parte del plano ubicada debajo de la línea $y=x+1$? Vale, entonces $y ≤ x+1$. Nuestra área debe estar ubicada arriba de la línea $y=0$? Genial, entonces $y ≥ 0$. Por cierto, las dos últimas desigualdades se combinan fácilmente en una sola: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(alineado) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(alineado) \right. $$

Estas desigualdades definen el dominio $D$ y lo definen de manera única, sin ambigüedades. Pero, ¿cómo nos ayuda esto en la pregunta al principio de la nota al pie? También ayudará :) Necesitamos comprobar si el punto $M_1(1;1)$ pertenece a la región $D$. Sustituyamos $x=1$ y $y=1$ en el sistema de desigualdades que define esta región. Si se cumplen ambas desigualdades, entonces el punto se encuentra dentro de la región. Si al menos una de las desigualdades no se cumple, entonces el punto no pertenece a la región. Entonces:

$$ \left \( \begin(alineado) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(alineado) \right. \;\; \left \( \begin(alineado) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(alineado) \right. $$

Ambas desigualdades son verdaderas. El punto $M_1(1;1)$ pertenece a la región $D$.

Ahora es el turno de investigar el comportamiento de la función en la frontera del dominio, es decir ir a. Comencemos con la línea recta $y=0$.

La recta $y=0$ (eje de abscisas) limita la región $D$ bajo la condición $-1 ≤ x ≤ 3$. Sustituye $y=0$ en la función dada $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. La función de sustitución resultante de una variable $x$ se denotará como $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Ahora para la función $f_1(x)$ necesitamos encontrar los valores mayor y menor en el intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Encuentra la derivada de esta función e igualala a cero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

El valor $x=2$ pertenece al segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, por lo que también agregamos $M_2(2;0)$ a la lista de puntos. Además, calculamos los valores de la función $z$ en los extremos del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, es decir en los puntos $M_3(-1;0)$ y $M_4(3;0)$. Por cierto, si el punto $M_2$ no perteneciera al segmento en consideración, entonces, por supuesto, no habría necesidad de calcular el valor de la función $z$ en él.

Entonces, calculemos los valores de la función $z$ en los puntos $M_2$, $M_3$, $M_4$. Por supuesto, puede sustituir las coordenadas de estos puntos en la expresión original $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Por ejemplo, para el punto $M_2$ obtenemos:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Sin embargo, los cálculos se pueden simplificar un poco. Para ello conviene recordar que en el segmento $M_3M_4$ tenemos $z(x,y)=f_1(x)$. Lo explicaré en detalle:

\begin(alineado) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(-1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f _1(3)=3^2-4\cdot 3=-3. \end(alineado)

Por supuesto, generalmente no hay necesidad de entradas tan detalladas, y en el futuro comenzaremos a escribir todos los cálculos de forma más breve:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Ahora pasemos a la línea recta $x=3$. Esta línea limita $D$ bajo la condición $0 ≤ y ≤ 4$. Sustituye $x=3$ en la función dada $z$. Como resultado de tal sustitución, obtenemos la función $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Para la función $f_2(y)$, necesitas encontrar los valores mayor y menor en el intervalo $0 ≤ y ≤ 4$. Encuentra la derivada de esta función e igualala a cero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

El valor $y=3$ pertenece al segmento $0 ≤ y ≤ 4$, por lo que sumamos $M_5(3;3)$ a los puntos encontrados anteriormente. Además, es necesario calcular el valor de la función $z$ en los puntos de los extremos del segmento $0 ≤ y ≤ 4$, es decir en los puntos $M_4(3;0)$ y $M_6(3;4)$. En el punto $M_4(3;0)$ ya hemos calculado el valor de $z$. Calculemos el valor de la función $z$ en los puntos $M_5$ y $M_6$. Les recuerdo que en el segmento $M_4M_6$ tenemos $z(x,y)=f_2(y)$, por lo tanto:

\begin(alineado) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(alineado)

Y, finalmente, considere el último límite de $D$, es decir línea $y=x+1$. Esta línea delimita la región $D$ bajo la condición $-1 ≤ x ≤ 3$. Sustituyendo $y=x+1$ en la función $z$, tendremos:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Una vez más tenemos una función de una variable $x$. Y nuevamente, debe encontrar los valores mayor y menor de esta función en el segmento $-1 ≤ x ≤ 3$. Encuentra la derivada de la función $f_(3)(x)$ e igualala a cero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

El valor $x=1$ pertenece al intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Si $x=1$, entonces $y=x+1=2$. Agreguemos $M_7(1;2)$ a la lista de puntos y averigüemos cuál es el valor de la función $z$ en este punto. Los puntos en los extremos del segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, es decir Los puntos $M_3(-1;0)$ y $M_6(3;4)$ fueron considerados anteriormente, ya hemos encontrado el valor de la función en ellos.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

El segundo paso de la solución está completo. Tenemos siete valores:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Volvamos a. Escogiendo los valores mayor y menor de esos números que se obtuvieron en el tercer párrafo, tendremos:

$$z_(min)=-4; \; z_(máx)=6.$$

El problema está resuelto, solo queda escribir la respuesta.

Respuesta: $z_(min)=-4; \; z_(máximo)=6$.

Ejemplo #2

Encuentra los valores mayor y menor de la función $z=x^2+y^2-12x+16y$ en la región $x^2+y^2 ≤ 25$.

Construyamos primero un dibujo. La ecuación $x^2+y^2=25$ (esta es la línea límite del área dada) define un círculo con el centro en el origen (es decir, en el punto $(0;0)$) y radio 5. La desigualdad $x^2+y^2 ≤ 25$ se cumple con todos los puntos dentro y sobre el círculo mencionado.

vamos a actuar. Encontremos derivadas parciales y averigüemos los puntos críticos.

$$ \frac(\z parcial)(\x parcial)=2x-12; \frac(\z parcial)(\y parcial)=2y+16. $$

No hay puntos en los que no existan las derivadas parciales encontradas. Averigüemos en qué puntos ambas derivadas parciales son simultáneamente iguales a cero, es decir encontrar puntos estacionarios.

$$ \left \( \begin(alineado) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(alineado) \right. \;\; \left \( \begin(alineado) & x=6;\\ & y=-8. \end(alineado) \right. $$

Tenemos un punto estacionario $(6;-8)$. Sin embargo, el punto encontrado no pertenece a la región $D$. Esto es fácil de mostrar sin siquiera recurrir al dibujo. Comprobemos si se cumple la desigualdad $x^2+y^2 ≤ 25$, que define nuestro dominio $D$. Si $x=6$, $y=-8$, entonces $x^2+y^2=36+64=100$, es decir la desigualdad $x^2+y^2 ≤ 25$ no se cumple. Conclusión: el punto $(6;-8)$ no pertenece a la región $D$.

Por lo tanto, no hay puntos críticos dentro de $D$. Movámonos a. Necesitamos investigar el comportamiento de la función en el límite del área dada, es decir en el círculo $x^2+y^2=25$. Por supuesto, puede expresar $y$ en términos de $x$ y luego sustituir la expresión resultante en nuestra función $z$. De la ecuación circular obtenemos: $y=\sqrt(25-x^2)$ o $y=-\sqrt(25-x^2)$. Sustituyendo, por ejemplo, $y=\sqrt(25-x^2)$ en la función dada, tendremos:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

La solución adicional será completamente idéntica al estudio del comportamiento de la función en el límite de la región en el ejemplo anterior No. 1. Sin embargo, me parece más razonable en esta situación aplicar el método de Lagrange. Sólo nos interesa la primera parte de este método. Después de aplicar la primera parte del método de Lagrange, obtendremos puntos en los cuales y examinaremos la función $z$ para los valores mínimo y máximo.

Componemos la función de Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2-25). $$

Encontramos las derivadas parciales de la función de Lagrange y componemos el sistema de ecuaciones correspondiente:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin(alineado) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end(alineado ed ) \right.\;\;\left \( \begin(alineado) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(alineado) \right. $$

Para resolver este sistema, indiquemos inmediatamente que $\lambda\neq -1$. ¿Por qué $\lambda\neq -1$? Intentemos sustituir $\lambda=-1$ en la primera ecuación:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

La contradicción resultante $0=6$ dice que el valor $\lambda=-1$ no es válido. Salida: $\lambda\neq -1$. Expresemos $x$ y $y$ en términos de $\lambda$:

\begin(alineado) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(alineado)

Creo que se vuelve obvio aquí por qué estipulamos específicamente la condición $\lambda\neq -1$. Esto se hizo para ajustar la expresión $1+\lambda$ en los denominadores sin interferencias. Es decir, para estar seguro de que el denominador es $1+\lambda\neq 0$.

Sustituyamos las expresiones obtenidas por $x$ y $y$ en la tercera ecuación del sistema, es decir en $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac(36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)= 25; \; (1+\lambda)^2=4. $$

De la igualdad resultante se sigue que $1+\lambda=2$ o $1+\lambda=-2$. Por lo tanto, tenemos dos valores del parámetro $\lambda$, a saber: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. En consecuencia, obtenemos dos pares de valores $x$ y $y$:

\begin(alineado) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(alineado)

Entonces, tenemos dos puntos de un posible extremo condicional, es decir $M_1(3;-4)$ y $M_2(-3;4)$. Encuentra los valores de la función $z$ en los puntos $M_1$ y $M_2$:

\begin(alineado) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(alineado)

Debemos elegir los valores mayor y menor de los que obtuvimos en el primer y segundo paso. Pero en este caso, la elección es pequeña :) Tenemos:

$$z_(min)=-75; \; z_(máx)=125. $$

Respuesta: $z_(min)=-75; \; z_(máximo)=125$.

En la práctica, es bastante común usar la derivada para calcular el valor mayor y menor de una función. Realizamos esta acción cuando averiguamos cómo minimizar costos, aumentar ganancias, calcular la carga óptima en la producción, etc., es decir, en aquellos casos en que es necesario determinar el valor óptimo de un parámetro. Para resolver tales problemas correctamente, uno debe tener una buena comprensión de cuál es el valor más grande y más pequeño de una función.

Usualmente definimos estos valores dentro de algún intervalo x, que a su vez puede corresponder a todo el alcance de la función o parte de ella. Puede ser un segmento [ a ; b ] , e intervalo abierto (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , intervalo infinito (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) o intervalo infinito - ∞ ; un , (- ∞ ; un ] , [ un ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

En este artículo, explicaremos cómo calcular el valor más grande y más pequeño de una función dada explícitamente con una variable y=f(x) y = f (x) .

Definiciones basicas

Comenzamos, como siempre, con la formulación de las principales definiciones.

Definición 1

El mayor valor de la función y = f (x) en algún intervalo x es el valor m a x y = f (x 0) x ∈ X , que, para cualquier valor x x ∈ X , x ≠ x 0, hace que la desigualdad f (x) ≤ f (x 0) sea verdadera.

Definición 2

El valor más pequeño de la función y = f (x) en algún intervalo x es el valor m i n x ∈ X y = f (x 0) , que, para cualquier valor x ∈ X , x ≠ x 0, hace que la desigualdad f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Estas definiciones son bastante obvias. Puede ser aún más simple decir esto: el valor más grande de una función es su valor más grande en un intervalo conocido en la abscisa x 0, y el más pequeño es el valor más pequeño aceptado en el mismo intervalo en x 0.

Definición 3

Los puntos estacionarios son tales valores del argumento de la función en los que su derivada se convierte en 0.

¿Por qué necesitamos saber qué son los puntos estacionarios? Para responder a esta pregunta, debemos recordar el teorema de Fermat. De ello se deduce que un punto estacionario es un punto en el que se encuentra el extremo de una función diferenciable (es decir, su mínimo o máximo local). En consecuencia, la función tomará el valor más pequeño o más grande en un cierto intervalo exactamente en uno de los puntos estacionarios.

Otra función puede tomar el valor más grande o más pequeño en aquellos puntos en los que la función misma es definida y su primera derivada no existe.

La primera pregunta que surge al estudiar este tema es: en todos los casos, ¿podemos determinar el valor máximo o mínimo de una función en un intervalo dado? No, no podemos hacer esto cuando los límites del intervalo dado coincidirán con los límites del dominio de definición, o si estamos tratando con un intervalo infinito. También sucede que una función en un intervalo dado o en el infinito tomará valores infinitamente pequeños o infinitamente grandes. En estos casos, no es posible determinar el valor mayor y/o menor.

Estos momentos serán más comprensibles después de la imagen en los gráficos:

La primera figura nos muestra una función que toma los valores mayor y menor (m a x y y m i n y) en puntos estacionarios ubicados en el intervalo [ - 6 ; 6].

Examinemos en detalle el caso indicado en el segundo gráfico. Cambiemos el valor del segmento a [ 1 ; 6] y obtenemos que el valor más grande de la función se logrará en el punto con la abscisa en el límite derecho del intervalo, y el más pequeño, en el punto estacionario.

En la tercera figura, las abscisas de los puntos representan los puntos límite del segmento [ - 3 ; 2]. Corresponden al valor mayor y menor de la función dada.

Ahora veamos la cuarta imagen. En él, la función toma m a x y (el valor más grande) y m i n y (el valor más pequeño) en puntos estacionarios en el intervalo abierto (-6; 6).

Si tomamos el intervalo [ 1 ; 6), entonces podemos decir que el valor más pequeño de la función en él se alcanzará en un punto estacionario. No sabremos el valor máximo. La función podría tomar el mayor valor en x igual a 6 si x = 6 perteneciera al intervalo. Este es el caso que se muestra en la Figura 5.

En el gráfico 6, esta función adquiere el valor más pequeño en el borde derecho del intervalo (- 3 ; 2 ] , y no podemos sacar conclusiones definitivas sobre el valor más grande.

En la figura 7, vemos que la función tendrá m a x y en el punto estacionario, teniendo una abscisa igual a 1 . La función alcanza su valor mínimo en el límite del intervalo del lado derecho. En menos infinito, los valores de la función se aproximarán asintóticamente a y = 3.

Si tomamos un intervalo x ∈ 2 ; + ∞ , entonces veremos que la función dada no tomará ni el valor más pequeño ni el más grande. Si x tiende a 2, entonces los valores de la función tenderán a menos infinito, ya que la recta x = 2 es una asíntota vertical. Si la abscisa tiende a más infinito, entonces los valores de la función se aproximarán asintóticamente a y = 3. Este es el caso que se muestra en la Figura 8.

En este párrafo, daremos una secuencia de acciones que se deben realizar para encontrar el valor más grande o más pequeño de una función en un cierto intervalo.

1. Primero, encontremos el dominio de la función. Verifiquemos si el segmento especificado en la condición está incluido en ella.
2. Ahora calculemos los puntos contenidos en este segmento en los que no existe la primera derivada. La mayoría de las veces, se pueden encontrar en funciones cuyo argumento está escrito bajo el signo del módulo, o en funciones de potencia, cuyo exponente es un número racional fraccionario.
3. A continuación, averiguamos qué puntos estacionarios caen en un segmento dado. Para hacer esto, debe calcular la derivada de la función, luego igualarla a 0 y resolver la ecuación resultante, y luego elegir las raíces apropiadas. Si no obtenemos un solo punto estacionario o no caen en un segmento dado, continuamos con el siguiente paso.
4. Determinemos qué valores tomará la función en los puntos estacionarios dados (si los hay), o en aquellos puntos donde no existe la primera derivada (si los hay), o calculamos los valores para x = a y x = b .
5. 5. Tenemos una serie de valores de función, de los cuales ahora debemos elegir el mayor y el menor. Estos serán los valores mayor y menor de la función que necesitamos encontrar.

Veamos cómo aplicar correctamente este algoritmo al resolver problemas.

Ejemplo 1

Condición: se da la función y = x 3 + 4 x 2. Determine su valor mayor y menor en los segmentos [ 1 ; 4] y [-4; - 1 ] .

Solución:

Comencemos por encontrar el dominio de esta función. En este caso, será el conjunto de todos los números reales excepto el 0. En otras palabras, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞. Ambos segmentos especificados en la condición estarán dentro del área de definición.

Ahora calculamos la derivada de la función según la regla de derivación de una fracción:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Aprendimos que la derivada de la función existirá en todos los puntos de los segmentos [ 1 ; 4] y [-4; - 1 ] .

Ahora necesitamos determinar los puntos estacionarios de la función. Hagamos esto con la ecuación x 3 - 8 x 3 = 0. Sólo tiene una raíz real, que es 2. Será un punto estacionario de la función y caerá en el primer segmento [ 1 ; 4 ] .

Calculemos los valores de la función en los extremos del primer segmento y en el punto dado, es decir para x = 1, x = 2 y x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Hemos obtenido que el mayor valor de la función m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se logrará en x = 1 , y el menor m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – en x = 2 .

El segundo segmento no incluye ningún punto estacionario, por lo que debemos calcular los valores de la función solo en los extremos del segmento dado:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Por lo tanto, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , metro yo norte y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Respuesta: Para el segmento [ 1 ; 4 ] - metro un X y X ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , metro yo norte y X ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , para el segmento [ - 4 ; - 1 ] - metro un x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , metro yo norte y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Ver imagen:

Antes de aprender este método, te recomendamos que revises cómo calcular correctamente el límite lateral y el límite en el infinito, así como aprender los métodos básicos para encontrarlos. Para encontrar el valor mayor y/o menor de una función en un intervalo abierto o infinito, realizamos los siguientes pasos en secuencia.

1. Primero debe verificar si el intervalo dado será un subconjunto del dominio de la función dada.
2. Determinemos todos los puntos que están contenidos en el intervalo requerido y en los que no existe la primera derivada. Por lo general, ocurren en funciones donde el argumento está encerrado en el signo del módulo y en funciones de potencia con un exponente fraccionalmente racional. Si faltan estos puntos, puede continuar con el siguiente paso.
3. Ahora determinamos qué puntos estacionarios caen en un intervalo dado. Primero, igualamos la derivada a 0, resolvemos la ecuación y encontramos las raíces adecuadas. Si no tenemos un solo punto estacionario o no se encuentran dentro del intervalo especificado, inmediatamente procedemos a otras acciones. Están determinados por el tipo de intervalo.

• Si el intervalo se ve como [ a ; b), entonces necesitamos calcular el valor de la función en el punto x = a y el límite unilateral lím x → b - 0 f (x) .
• Si el intervalo tiene la forma (a ; b ] , entonces necesitamos calcular el valor de la función en el punto x = b y el límite lateral lím x → a + 0 f (x) .
• Si el intervalo tiene la forma (a ; b) , entonces necesitamos calcular los límites unilaterales lím x → b - 0 f (x) , lím x → a + 0 f (x) .
• Si el intervalo se ve como [ a ; + ∞), entonces es necesario calcular el valor en el punto x = a y el límite a más infinito lim x → + ∞ f (x) .
• Si el intervalo se parece a (- ∞ ; b ] , calculamos el valor en el punto x = b y el límite en menos infinito lim x → - ∞ f (x) .
• Si - ∞ ; b , entonces consideramos el límite unilateral lim x → b - 0 f (x) y el límite en menos infinito lim x → - ∞ f (x)
• Si - ∞ ; + ∞ , entonces consideramos los límites a menos y más infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Al final, debe sacar una conclusión basada en los valores obtenidos de la función y los límites. Hay muchas opciones aquí. Entonces, si el límite lateral es igual a menos infinito o más infinito, entonces queda claro de inmediato que no se puede decir nada sobre el valor más pequeño y más grande de la función. A continuación consideraremos un ejemplo típico. Las descripciones detalladas lo ayudarán a comprender qué es qué. Si es necesario, puede volver a las figuras 4 - 8 en la primera parte del material.

Ejemplo 2

Condición: dada una función y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcular su valor mayor y menor en los intervalos - ∞ ; -4, -∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Solución

En primer lugar, encontramos el dominio de la función. El denominador de la fracción es un trinomio cuadrado, que no debe ir a 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Hemos obtenido el alcance de la función, al que pertenecen todos los intervalos especificados en la condición.

Ahora diferenciamos la función y obtenemos:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 "= 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 " x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6 "(x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

En consecuencia, las derivadas de una función existen en todo el dominio de su definición.

Pasemos a encontrar puntos estacionarios. La derivada de la función se convierte en 0 en x = - 1 2 . Este es un punto estacionario que está en los intervalos (- 3 ; 1 ] y (- 3 ; 2) .

Calculemos el valor de la función en x = - 4 para el intervalo (- ∞ ; - 4 ] , así como el límite en menos infinito:

y (- 4) \u003d 3 mi 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 mi 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lím x → - ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Dado que 3 e 1 6 - 4 > - 1, entonces m a x y x ∈ (- ∞; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Esto no nos da la oportunidad de determinar de manera única el valor más pequeño de la función. Solo podemos concluir que hay un límite por debajo de - 1, ya que es a este valor que la función se aproxima asintóticamente en menos infinito.

Una característica del segundo intervalo es que no tiene un solo punto estacionario ni un solo límite estricto. Por lo tanto, no podemos calcular ni el valor más grande ni el más pequeño de la función. Al definir el límite en menos infinito y como el argumento tiende a - 3 en el lado izquierdo, obtenemos solo el rango de valores:

lím x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim X → - ∞ 3 mi 1 X 2 + X - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Esto quiere decir que los valores de la función estarán ubicados en el intervalo -1; +∞

Para encontrar el valor máximo de la función en el tercer intervalo, determinamos su valor en el punto estacionario x = - 1 2 si x = 1 . También necesitamos saber el límite unilateral para el caso en que el argumento tiende a - 3 en el lado derecho:

y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 mi 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lím x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Resultó que la función tomará el valor más grande en un punto estacionario m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. En cuanto al valor más pequeño, no podemos determinarlo. Todo lo que sabemos es la presencia de un límite desde abajo hasta - 4 .

Para el intervalo (- 3 ; 2), tomemos los resultados del cálculo anterior y una vez más calculemos a qué es igual el límite lateral cuando tiende a 2 desde el lado izquierdo:

y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lím x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lím x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Por lo tanto, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , y el valor más pequeño no se puede determinar, y los valores de la función están acotados desde abajo por el número - 4 .

Con base en lo que hicimos en los dos cálculos anteriores, podemos afirmar que en el intervalo [ 1 ; 2) la función tomará el valor más grande en x = 1, y es imposible encontrar el más pequeño.

En el intervalo (2 ; + ∞), la función no alcanzará ni el valor más grande ni el más pequeño, es decir tomará valores del intervalo -1; +∞.

lím x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lím x → + ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Habiendo calculado cuál será el valor de la función en x = 4 , encontramos que m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , y la función dada en más infinito se aproximará asintóticamente a la línea y = - 1 .

Comparemos lo que obtuvimos en cada cálculo con la gráfica de la función dada. En la figura, las asíntotas se muestran con líneas de puntos.

Eso es todo lo que queríamos hablar sobre encontrar el valor más grande y más pequeño de una función. Esas secuencias de acciones que te hemos dado te ayudarán a realizar los cálculos necesarios de la forma más rápida y sencilla posible. Pero recuerde que a menudo es útil averiguar primero en qué intervalos la función disminuirá y en cuáles aumentará, después de lo cual se pueden sacar más conclusiones. Para que pueda determinar con mayor precisión el valor mayor y menor de la función y justificar los resultados.

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Con este servicio, puede encontrar el valor mayor y menor de una función una variable f(x) con el diseño de la solución en Word. Si se da la función f(x,y), por lo tanto, es necesario encontrar el extremo de la función de dos variables. También puede encontrar los intervalos de aumento y disminución de la función.

Reglas de entrada de funciones:

Una condición necesaria para un extremo de una función de una variable

La ecuación f" 0 (x *) \u003d 0 es una condición necesaria para el extremo de una función de una variable, es decir, en el punto x * la primera derivada de la función debe desaparecer. Selecciona puntos estacionarios x c en los que la función no crece ni disminuye.

Una condición suficiente para un extremo de una función de una variable

Sea f 0 (x) dos veces diferenciable con respecto a x perteneciente al conjunto D . Si en el punto x* se cumple la condición:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*) > 0

Entonces el punto x * es el punto del mínimo local (global) de la función.

Si en el punto x* se cumple la condición:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x*)< 0

Ese punto x * es un máximo local (global).

Ejemplo 1. Encuentra los valores mayor y menor de la función: en el segmento.
Solución.

El punto crítico es uno x 1 = 2 (f'(x)=0). Este punto pertenece al segmento . (El punto x=0 no es crítico, ya que 0∉).
Calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto crítico.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Respuesta: f min = 5 / 2 para x=2; f máx = 9 en x = 1

Ejemplo #2. Usando derivadas de orden superior, encuentra el extremo de la función y=x-2sin(x) .
Solución.
Encuentra la derivada de la función: y’=1-2cos(x) . Encontremos los puntos críticos: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Hallamos y''=2sin(x), calculemos , entonces x= π / 3 +2πk, k∈Z son los puntos mínimos de la función; , entonces x=- π / 3 +2πk, k∈Z son los puntos máximos de la función.

Ejemplo #3. Investiga la función extrema en la vecindad del punto x=0.
Solución. Aquí es necesario encontrar los extremos de la función. Si el extremo x=0, averigüe su tipo (mínimo o máximo). Si entre los puntos encontrados no hay x = 0, entonces calcule el valor de la función f(x=0).
Cabe señalar que cuando la derivada a cada lado de un punto dado no cambia de signo, las situaciones posibles no se agotan ni siquiera para funciones derivables: puede ocurrir que para una vecindad arbitrariamente pequeña a un lado del punto x 0 o a ambos lados, la derivada cambie de signo. En estos puntos, uno tiene que aplicar otros métodos para estudiar funciones hasta el extremo.

Ejemplo #4. Divide el número 49 en dos términos, cuyo producto será el mayor.
Solución. Sea x el primer término. Entonces (49-x) es el segundo término.
El producto será máximo: x (49-x) → max

Opción 1. en

1. Gráfica de una función y=F(X) se muestra en la figura.

Especifique el valor más grande de esta función 1

en el segmento [ a; b]. A 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" ancho="242" altura="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Funciones y=F(X) establecido en el segmento [ a; b]. en

La figura muestra una gráfica de su derivada.

y=F ´(X). Explora los extremos 1 b

función y=F(X). Indique la cantidad en su respuesta. a 0 1x

puntos mínimos.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Encuentra el valor más grande de una función y \u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Encuentra el valor más pequeño de una función en el segmento .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Encuentra el valor más pequeño de una función y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" ancho="17" alto="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> tiene un mínimo en el punto xo=1.5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.en

9. Especifique el valor más grande de la función y=F(X) ,

1x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – X2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Encuentra el valor más pequeño de una función y=2pecado-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Prueba 14 El mayor (menor) valor de la función.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Gráfico de la función y=F(X) se muestra en la figura.

Especifique el valor más pequeño de esta función 1

en el segmento [ a; b]. A b

0 1 X

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. en La figura muestra una gráfica de la función y=F(X).

¿Cuántos puntos máximos tiene la función?

1

0 1x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. ¿En qué punto está la función y \u003d 2x2 + 24x -25 toma el menor valor?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> en el segmento [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> tiene un mínimo en el punto xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.en

9. Especifique el valor más pequeño de la función y=F(X) ,

cuya gráfica se muestra en la figura. 1x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Encuentra el valor más grande de una función y=registro11 (121 – X2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Encuentra el mayor valor de una función y=2porque+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

respuestas :