Teorema de Gauss para la inducción eléctrica. teorema de gauss

Cuando hay muchos cargos, surgen algunas dificultades a la hora de calcular los campos.

El teorema de Gauss ayuda a superarlos. La esencia teorema de gauss se reduce a lo siguiente: si un número arbitrario de cargas están mentalmente rodeadas por una superficie cerrada S, entonces el flujo de intensidad de campo eléctrico a través de un área elemental dS se puede escribir como dФ = Есоsα۰dS donde α es el ángulo entre la normal a la plano y el vector de fuerza . (Figura 12.7)

El flujo total a través de toda la superficie será igual a la suma de los flujos de todas las cargas distribuidas aleatoriamente en su interior y proporcional a la magnitud de esta carga.

(12.9)

Determinemos el flujo del vector de intensidad a través de una superficie esférica de radio r, en cuyo centro se ubica una carga puntual +q (figura 12.8). Las líneas de tensión son perpendiculares a la superficie de la esfera, α = 0, por lo tanto cosα = 1. Entonces

Si el campo está formado por un sistema de cargas, entonces

Teorema de Gauss: el flujo del vector de intensidad del campo electrostático en el vacío a través de cualquier superficie cerrada es igual a la suma algebraica de las cargas contenidas dentro de esta superficie, dividida por la constante eléctrica.

(12.10)

Si no hay cargas dentro de la esfera, entonces Ф = 0.

El teorema de Gauss hace que sea relativamente sencillo calcular campos eléctricos para cargas distribuidas simétricamente.

Introduzcamos el concepto de densidad de cargas distribuidas.

La densidad lineal se denota por τ y caracteriza la carga q por unidad de longitud ℓ. En general, se puede calcular mediante la fórmula

(12.11)

Con una distribución uniforme de cargas, la densidad lineal es igual a

La densidad superficial se denota por σ y caracteriza la carga q por unidad de área S. En general, está determinada por la fórmula

(12.12)

Con una distribución uniforme de cargas sobre la superficie, la densidad superficial es igual a

La densidad de volumen se denota por ρ y caracteriza la carga q por unidad de volumen V. En general, está determinada por la fórmula

(12.13)

Con una distribución uniforme de cargas, es igual a
.

Dado que la carga q está distribuida uniformemente en la esfera, entonces

σ = constante. Apliquemos el teorema de Gauss. Dibujemos una esfera de radio que pasa por el punto A. El flujo del vector tensión de la figura 12.9 a través de una superficie esférica de radio es igual a cosα = 1, ya que α = 0. Según el teorema de Gauss,
.

o

(12.14)

De la expresión (12.14) se deduce que la intensidad del campo fuera de la esfera cargada es la misma que la intensidad del campo de una carga puntual colocada en el centro de la esfera. En la superficie de la esfera, es decir. r 1 = r 0, tensión
.

Dentro de la esfera r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Un cilindro de radio r 0 está cargado uniformemente con una densidad superficial σ (figura 12.10). Determinemos la intensidad del campo en un punto A elegido arbitrariamente. Dibujemos una superficie cilíndrica imaginaria de radio R y longitud ℓ que pasa por el punto A. Debido a la simetría, el flujo saldrá solo a través de las superficies laterales del cilindro, ya que las cargas en el cilindro de radio r 0 se distribuyen uniformemente sobre su superficie, es decir, las líneas de tensión serán rectas radiales, perpendiculares a las superficies laterales de ambos cilindros. Dado que el flujo a través de la base de los cilindros es cero (cos α = 0) y la superficie lateral del cilindro es perpendicular a las líneas de fuerza (cos α = 1), entonces

o

(12.15)

Expresemos el valor de E mediante σ - densidad superficial. Priorato,

por eso,

Sustituyamos el valor de q en la fórmula (12.15)

(12.16)

Por definición de densidad lineal,
, dónde
; sustituimos esta expresión en la fórmula (12.16):

(12.17)

aquellos. La intensidad del campo creado por un cilindro cargado infinitamente largo es proporcional a la densidad de carga lineal e inversamente proporcional a la distancia.

Intensidad de campo creada por un plano infinito cargado uniformemente

Determinemos la intensidad del campo creado por un plano infinito cargado uniformemente en el punto A. Sea la densidad de carga superficial del plano igual a σ. Como superficie cerrada conviene elegir un cilindro cuyo eje sea perpendicular al plano, y cuya base derecha contenga el punto A. El plano divide el cilindro por la mitad. Obviamente, las líneas de fuerza son perpendiculares al plano y paralelas a la superficie lateral del cilindro, por lo que todo el flujo pasa sólo a través de la base del cilindro. En ambas bases la intensidad del campo es la misma, porque Los puntos A y B son simétricos con respecto al plano. Entonces el flujo a través de la base del cilindro es igual a

Según el teorema de Gauss,

Porque
, Eso
, dónde

(12.18)

Por tanto, la intensidad del campo de un plano cargado infinitamente es proporcional a la densidad de carga superficial y no depende de la distancia al plano. Por tanto, el campo del avión es uniforme.

Intensidad de campo creada por dos planos paralelos con carga uniforme opuesta

El campo resultante creado por dos planos está determinado por el principio de superposición de campos:
(Figura 12.12). El campo creado por cada plano es uniforme, las intensidades de estos campos son iguales en magnitud, pero opuestas en dirección:
. Según el principio de superposición, la intensidad de campo total fuera del plano es cero:

Entre los planos, las intensidades de campo tienen las mismas direcciones, por lo que la intensidad resultante es igual a

Por tanto, el campo entre dos planos con cargas diferentes es uniforme y su intensidad es dos veces mayor que la intensidad del campo creado por un plano. No hay ningún campo a la izquierda y a la derecha de los aviones. El campo de los planos finitos tiene la misma forma; la distorsión aparece sólo cerca de sus límites. Usando la fórmula resultante, puedes calcular el campo entre las placas de un capacitor plano.

Teorema de Gauss para la inducción eléctrica (desplazamiento eléctrico)[

Para un campo en un medio dieléctrico, el teorema electrostático de Gauss se puede escribir de otra manera (de manera alternativa): a través del flujo del vector de desplazamiento eléctrico (inducción eléctrica). En este caso, la formulación del teorema es la siguiente: el flujo del vector de desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica libre contenida dentro de esta superficie:

En forma diferencial:

Teorema de Gauss para la inducción magnética

El flujo del vector de inducción magnética a través de cualquier superficie cerrada es cero:

o en forma diferencial

Esto equivale al hecho de que en la naturaleza no existen “cargas magnéticas” (monopolos) que crearían un campo magnético, de la misma manera que las cargas eléctricas crean un campo eléctrico. En otras palabras, el teorema de Gauss para la inducción magnética muestra que el campo magnético es (completamente) vórtice.

Teorema de Gauss para la gravedad newtoniana

Para la intensidad del campo de la gravedad newtoniana (aceleración gravitacional), el teorema de Gauss prácticamente coincide con el de la electrostática, con la única excepción de las constantes (aunque todavía dependientes de la elección arbitraria del sistema de unidades) y, lo más importante, el signo:

Dónde gramo- intensidad del campo gravitacional, METRO- carga gravitacional (es decir, masa) dentro de la superficie S, ρ - densidad de masa, GRAMO- Constante newtoniana.

Conductores en un campo eléctrico. Campo dentro de un conductor y en su superficie.

Los conductores son cuerpos a través de los cuales pueden pasar cargas eléctricas de un cuerpo cargado a uno descargado. La capacidad de los conductores para pasar cargas eléctricas a través de sí mismos se explica por la presencia en ellos de portadores de carga libres. Conductores: cuerpos metálicos en estado sólido y líquido, soluciones líquidas de electrolitos. Las cargas libres de un conductor introducidas en un campo eléctrico comienzan a moverse bajo su influencia. La redistribución de cargas provoca un cambio en el campo eléctrico. Cuando la intensidad del campo eléctrico en un conductor se vuelve cero, los electrones dejan de moverse. El fenómeno de separación de cargas diferentes en un conductor colocado en un campo eléctrico se llama inducción electrostática. No hay campo eléctrico dentro del conductor. Se utiliza para protección electrostática: protección mediante conductores metálicos contra un campo eléctrico. La superficie de un cuerpo conductor de cualquier forma en un campo eléctrico es una superficie equipotencial.

Condensadores

Para obtener dispositivos que, con un potencial bajo en relación con el medio, acumularían (condensarían) cargas notables sobre sí mismos, utilizan el hecho de que la capacidad eléctrica de un conductor aumenta a medida que otros cuerpos se acercan a él. De hecho, bajo la influencia del campo creado por conductores cargados, aparecen cargas inducidas (en el conductor) o asociadas (en el dieléctrico) en un cuerpo que se le acerca (figura 15.5). Las cargas de signo opuesto a la carga del conductor q se ubican más cerca del conductor que las del mismo nombre con q y, por tanto, tienen una gran influencia sobre su potencial.

Por tanto, cuando se acerca cualquier cuerpo a un conductor cargado, la intensidad del campo disminuye y, en consecuencia, el potencial del conductor disminuye. Según la ecuación, esto significa un aumento de la capacitancia del conductor.

El condensador consta de dos conductores (placas) (figura 15.6), separados por una capa dieléctrica. Cuando se aplica una determinada diferencia de potencial a un conductor, sus placas se cargan con cargas iguales de signo opuesto. La capacidad eléctrica de un condensador se entiende como una cantidad física proporcional a la carga q e inversamente proporcional a la diferencia de potencial entre las placas.

Determinemos la capacitancia de un condensador plano.

Si el área de la placa es S y la carga es q, entonces la intensidad del campo entre las placas

Por otro lado, la diferencia de potencial entre las placas proviene de

Energía de un sistema de cargas puntuales, un conductor cargado y un condensador.

Cualquier sistema de cargas tiene cierta energía potencial de interacción, que es igual al trabajo invertido en la creación de este sistema. Energía de un sistema de cargas puntuales. q 1 , q 2 , q 3 ,… q norte se define de la siguiente manera:

Dónde φ 1 – potencial del campo eléctrico creado por todas las cargas excepto q 1 en el punto donde se encuentra la carga q 1, etc Si la configuración del sistema de cargas cambia, entonces la energía del sistema también cambia. Para cambiar la configuración del sistema, se debe trabajar.

La energía potencial de un sistema de cargas puntuales se puede calcular de otra forma. Energía potencial de dos cargas puntuales. q 1 , q 2 a una distancia entre sí son iguales. Si hay varias cargas, entonces la energía potencial de este sistema de cargas se puede definir como la suma de las energías potenciales de todos los pares de cargas que pueden componerse para este sistema. Entonces, para un sistema de tres cargas positivas, la energía del sistema es igual a

Energía de un conductor solitario cargado y un condensador.

Si un conductor aislado tiene una carga q, entonces hay un campo eléctrico a su alrededor, cuyo potencial en la superficie del conductor es igual a , y la capacitancia es C. Aumentemos la carga en la cantidad dq. Al transferir carga dq desde el infinito, se debe realizar un trabajo igual a . Pero el potencial del campo electrostático de un conductor dado en el infinito es cero. Entonces

Al transferir carga dq de un conductor hasta el infinito, las fuerzas del campo electrostático realizan el mismo trabajo. En consecuencia, cuando la carga del conductor aumenta en una cantidad dq, la energía potencial del campo aumenta, es decir

Integrando esta expresión, encontramos la energía potencial del campo electrostático de un conductor cargado a medida que su carga aumenta de cero a q:

Aplicando la relación, podemos obtener las siguientes expresiones para la energía potencial W:

Por lo tanto, para un condensador cargado, la diferencia de potencial (voltaje) es igual a la relación de la energía total de su campo electrostático:

Lo más difícil es estudiar los fenómenos eléctricos en un entorno eléctrico no uniforme. En tal medio, ε tiene valores diferentes, cambiando abruptamente en el límite dieléctrico. Supongamos que determinamos la intensidad del campo en la interfaz entre dos medios: ε 1 =1 (vacío o aire) y ε 2 =3 (líquido - aceite). En la interfaz, durante la transición del vacío al dieléctrico, la intensidad del campo disminuye tres veces y el flujo del vector de fuerza disminuye en la misma cantidad (figura 12.25, a). Un cambio abrupto en el vector de intensidad del campo electrostático en la interfaz entre dos medios crea ciertas dificultades al calcular los campos. En cuanto al teorema de Gauss, en estas condiciones generalmente pierde su significado.

Dado que la polarizabilidad y el voltaje de dieléctricos diferentes son diferentes, el número de líneas de campo en cada dieléctrico también será diferente. Esta dificultad puede eliminarse introduciendo una nueva característica física del campo, la inducción eléctrica D (o vector desplazamiento eléctrico ).

Según la fórmula

ε 1 mi 1 = ε 2 mi 2 = mi 0 = constante

Multiplicando todas las partes de estas igualdades por la constante eléctrica ε 0 obtenemos

ε 0 ε 1 mi 1 = ε 0 ε 2 mi 2 =ε 0 mi 0 =const

Introduzcamos la notación ε 0 εE=D entonces la penúltima relación tomará la forma

D 1 = D 2 = D 0 = constante

El vector D, igual al producto de la intensidad del campo eléctrico en el dieléctrico y su constante dieléctrica absoluta, se llamavector de desplazamiento eléctrico

(12.45)

Unidad de desplazamiento eléctrico – colgante por metro cuadrado(C/m2).

El desplazamiento eléctrico es una cantidad vectorial y también se puede expresar como

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

A diferencia del voltaje E, el desplazamiento eléctrico D es constante en todos los dieléctricos (figura 12.25, b). Por tanto, es conveniente caracterizar el campo eléctrico en un medio dieléctrico no homogéneo no por la intensidad E, sino por el vector de desplazamiento D. El vector D describe el campo electrostático creado por cargas libres (es decir, en el vacío), pero con su distribución en el espacio como en presencia de un dieléctrico, ya que las cargas ligadas que surgen en los dieléctricos pueden provocar una redistribución de cargas libres que crean el campo.

Campo vectorial se representa gráficamente mediante líneas de desplazamiento eléctrico de la misma manera que el campo representado por líneas de fuerza.

Línea de desplazamiento eléctrico - Son rectas cuyas tangentes en cada punto coinciden en dirección con el vector de desplazamiento eléctrico.

Las líneas del vector E pueden comenzar y terminar con cualquier carga, libres y ligadas, mientras que las líneas del vector ED- sólo con cargos gratuitos. Líneas vectorialesDA diferencia de las líneas de tensión, son continuas.

Dado que el vector de desplazamiento eléctrico no experimenta una discontinuidad en la interfaz entre dos medios, todas las líneas de inducción que emanan de cargas rodeadas por alguna superficie cerrada lo atravesarán. Por lo tanto, para el vector de desplazamiento eléctrico, el teorema de Gauss conserva completamente su significado para un medio dieléctrico no homogéneo.

Teorema de Gauss para el campo electrostático en un dieléctrico : el flujo del vector de desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada arbitraria es igual a la suma algebraica de las cargas contenidas dentro de esta superficie.

(12.47)

Objetivo de la lección: El teorema de Ostrogradsky-Gauss fue establecido por el matemático y mecánico ruso Mikhail Vasilyevich Ostrogradsky en forma de teorema matemático general y por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Este teorema se puede utilizar al estudiar física a nivel especializado, ya que permite cálculos más racionales de los campos eléctricos.

Para derivar el teorema de Ostrogradsky-Gauss, es necesario introducir conceptos auxiliares tan importantes como el vector de inducción eléctrica y el flujo de este vector F.

Se sabe que el campo electrostático a menudo se representa mediante líneas de fuerza. Supongamos que determinamos la tensión en un punto que se encuentra en la interfaz entre dos medios: aire (=1) y agua (=81). En este punto, al pasar del aire al agua, la intensidad del campo eléctrico según la fórmula disminuirá 81 veces. Si despreciamos la conductividad del agua, entonces el número de líneas de fuerza disminuirá en el mismo factor. Al resolver diversos problemas de cálculo de campos, debido a la discontinuidad del vector de voltaje en la interfaz entre los medios y los dieléctricos, se crean ciertos inconvenientes. Para evitarlos se introduce un nuevo vector, que se denomina vector de inducción eléctrica:

El vector de inducción eléctrica es igual al producto del vector por la constante eléctrica y la constante dieléctrica del medio en un punto dado.

Es obvio que al pasar por la frontera de dos dieléctricos, el número de líneas de inducción eléctrica no cambia para el campo de una carga puntual (1).

En el sistema SI, el vector de inducción eléctrica se mide en culombios por metro cuadrado (C/m2). La expresión (1) muestra que el valor numérico del vector no depende de las propiedades del medio. El campo vectorial se representa gráficamente de manera similar al campo de intensidad (por ejemplo, para una carga puntual, consulte la Fig. 1). Para un campo vectorial, se aplica el principio de superposición:

Flujo de inducción eléctrica

El vector de inducción eléctrica caracteriza el campo eléctrico en cada punto del espacio. Puede introducir otra cantidad que dependa de los valores del vector no en un punto, sino en todos los puntos de la superficie delimitada por un contorno plano cerrado.

Para hacer esto, considere un conductor (circuito) plano cerrado con área de superficie S, colocado en un campo eléctrico uniforme. La normal al plano del conductor forma un ángulo con la dirección del vector de inducción eléctrica (Fig. 2).

El flujo de inducción eléctrica a través de la superficie S es una cantidad igual al producto del módulo del vector de inducción por el área S y el coseno del ángulo entre el vector y la normal:

Este teorema nos permite encontrar el flujo del vector de inducción eléctrica a través de una superficie cerrada, dentro de la cual se encuentran cargas eléctricas.

Coloque primero una carga puntual q en el centro de una esfera de radio arbitrario r 1 (Fig. 3). Entonces ; . Calculemos el flujo total de inducción que pasa por toda la superficie de esta esfera: ; (). Si tomamos una esfera de radio, entonces también Ф = q. Si dibujamos una esfera que no cubre la carga q, entonces el flujo total Ф = 0 (ya que cada línea entrará a la superficie y saldrá de ella en otra ocasión).

Así, Ф = q si la carga está ubicada dentro de la superficie cerrada y Ф = 0 si la carga está ubicada fuera de la superficie cerrada. El flujo Ф no depende de la forma de la superficie. También es independiente de la disposición de las cargas dentro de la superficie. Esto significa que el resultado obtenido es válido no solo para una carga, sino también para cualquier número de cargas ubicadas arbitrariamente, si solo entendemos por q la suma algebraica de todas las cargas ubicadas dentro de la superficie.

Teorema de Gauss: el flujo de inducción eléctrica a través de cualquier superficie cerrada es igual a la suma algebraica de todas las cargas ubicadas dentro de la superficie: .

De la fórmula se desprende claramente que la dimensión del flujo eléctrico es la misma que la de la carga eléctrica. Por tanto, la unidad de flujo de inducción eléctrica es el culombio (C).

Nota: si el campo no es uniforme y la superficie a través de la cual se determina el flujo no es plana, entonces esta superficie se puede dividir en elementos infinitesimales ds y cada elemento se puede considerar plano, y el campo cercano a él es uniforme. Por tanto, para cualquier campo eléctrico, el flujo del vector de inducción eléctrica a través del elemento de superficie es: dФ=. Como resultado de la integración, el flujo total a través de una superficie cerrada S en cualquier campo eléctrico no homogéneo es igual a: , donde q es la suma algebraica de todas las cargas rodeadas por una superficie cerrada S. Expresemos la última ecuación en términos de la intensidad del campo eléctrico (para el vacío): .

Ésta es una de las ecuaciones fundamentales de Maxwell para el campo electromagnético, escrita en forma integral. Muestra que la fuente de un campo eléctrico constante en el tiempo son cargas eléctricas estacionarias.

Determinemos ahora la intensidad del campo para varios casos utilizando el teorema de Ostrogradsky-Gauss.

1. Campo eléctrico de una superficie esférica cargada uniformemente.

Esfera de radio R. Sea la carga +q distribuida uniformemente sobre una superficie esférica de radio R. La distribución de carga sobre la superficie se caracteriza por la densidad de carga superficial (Fig. 4). La densidad de carga superficial es la relación entre la carga y el área de superficie sobre la que se distribuye. . En SI.

Determinemos la intensidad del campo:

a) fuera de la superficie esférica,
b) dentro de una superficie esférica.

a) Tome el punto A, ubicado a una distancia r>R del centro de la superficie esférica cargada. Dibujemos mentalmente a través de ella una superficie esférica S de radio r, que tiene un centro común con la superficie esférica cargada. Por consideraciones de simetría, es obvio que las líneas de fuerza son líneas radiales perpendiculares a la superficie S y penetran uniformemente esta superficie, es decir la tensión en todos los puntos de esta superficie es de magnitud constante. Apliquemos el teorema de Ostrogradsky-Gauss a esta superficie esférica S de radio r. Por lo tanto, ¿el flujo total a través de la esfera es N = E? S; norte=este. Por otro lado . Igualamos: . Por tanto: para r>R.

Así: la tensión creada por una superficie esférica cargada uniformemente en el exterior es la misma que si toda la carga estuviera en su centro (Fig. 5).

b) Encontremos la intensidad del campo en los puntos que se encuentran dentro de la superficie esférica cargada. Tomemos el punto B a una distancia del centro de la esfera. . Entonces, E = 0 en r

2. Intensidad de campo de un plano infinito cargado uniformemente

Consideremos el campo eléctrico creado por un plano infinito, cargado con una densidad constante en todos los puntos del plano. Por razones de simetría, podemos suponer que las líneas de tensión son perpendiculares al plano y están dirigidas desde él en ambas direcciones (Fig. 6).

Elijamos el punto A que se encuentra a la derecha del plano y calculemos en este punto usando el teorema de Ostrogradsky-Gauss. Como superficie cerrada, elegimos una superficie cilíndrica de modo que la superficie lateral del cilindro sea paralela a las líneas de fuerza, y su base sea paralela al plano y la base pase por el punto A (Fig. 7). Calculemos el flujo de tensión a través de la superficie cilíndrica considerada. El flujo a través de la superficie lateral es 0, porque Las líneas de tensión son paralelas a la superficie lateral. Entonces el flujo total consta de los flujos que pasan por las bases del cilindro y . Ambos flujos son positivos =+; =; =; ==; norte=2.

– una sección del plano que se encuentra dentro de la superficie cilíndrica seleccionada. La carga dentro de esta superficie es q.

Entonces ; – puede tomarse como una carga puntual) con el punto A. Para encontrar el campo total, es necesario sumar geométricamente todos los campos creados por cada elemento: ; .

Formulación general: El flujo del vector de intensidad del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada elegida arbitrariamente es proporcional a la carga eléctrica contenida dentro de esta superficie.

En el sistema SGSE:

En el sistema SI:

es el flujo del vector de intensidad del campo eléctrico a través de una superficie cerrada.

- la carga total contenida en el volumen que limita la superficie.

- constante eléctrica.

Esta expresión representa el teorema de Gauss en forma integral.

En forma diferencial, el teorema de Gauss corresponde a una de las ecuaciones de Maxwell y se expresa de la siguiente manera

en el sistema SI:

,

en el sistema SGSE:

Aquí está la densidad de carga volumétrica (en el caso de la presencia de un medio, la densidad total de cargas libres y unidas), y es el operador nabla.

Para el teorema de Gauss es válido el principio de superposición, es decir, el flujo del vector de intensidad a través de la superficie no depende de la distribución de carga dentro de la superficie.

La base física del teorema de Gauss es la ley de Coulomb o, en otras palabras, el teorema de Gauss es una formulación integral de la ley de Coulomb.

Teorema de Gauss para la inducción eléctrica (desplazamiento eléctrico).

Para un campo de materia, el teorema electrostático de Gauss se puede escribir de otra manera: a través del flujo del vector de desplazamiento eléctrico (inducción eléctrica). En este caso, la formulación del teorema es la siguiente: el flujo del vector de desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica libre contenida dentro de esta superficie:

Si consideramos el teorema de la intensidad de campo en una sustancia, entonces como carga Q es necesario tomar la suma de la carga libre ubicada dentro de la superficie y la carga de polarización (inducida, ligada) del dieléctrico:

,

Dónde ,
es el vector de polarización del dieléctrico.

Teorema de Gauss para la inducción magnética

El flujo del vector de inducción magnética a través de cualquier superficie cerrada es cero:

.

Esto equivale al hecho de que en la naturaleza no existen “cargas magnéticas” (monopolos) que crearían un campo magnético, del mismo modo que las cargas eléctricas crean un campo eléctrico. En otras palabras, el teorema de Gauss para la inducción magnética muestra que el campo magnético es un vórtice.

Aplicación del teorema de Gauss

Para calcular los campos electromagnéticos se utilizan las siguientes cantidades:

Densidad de carga volumétrica (ver arriba).

Densidad de carga superficial

donde dS es una superficie infinitesimal.

Densidad de carga lineal

donde dl es la longitud de un segmento infinitesimal.

Consideremos el campo creado por un plano infinito cargado uniformemente. Sea la densidad de carga superficial del avión igual e igual a σ. Imaginemos un cilindro con generatrices perpendiculares al plano y una base ΔS ubicada simétricamente con respecto al plano. Debido a la simetría. El flujo del vector de tensión es igual a . Aplicando el teorema de Gauss obtenemos:

,

a partir del cual

en el sistema SSSE

Es importante señalar que a pesar de su universalidad y generalidad, el teorema de Gauss en forma integral tiene una aplicación relativamente limitada debido al inconveniente de calcular la integral. Sin embargo, en el caso de un problema simétrico, su solución resulta mucho más sencilla que utilizar el principio de superposición.