Conversión de expresiones racionales. Transformación de expresiones racionales, tipos de transformaciones, ejemplos Cómo entender la transformación de expresiones racionales.

El artículo habla de la transformación de expresiones racionales. Consideremos los tipos de expresiones racionales, sus transformaciones, agrupaciones y poner entre paréntesis el factor común. Aprendamos a representar expresiones racionales fraccionarias en forma de fracciones racionales.

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Definición y ejemplos de expresiones racionales.

Definición 1

Se llaman expresiones que se componen de números, variables, paréntesis, potencias con las operaciones de suma, resta, multiplicación, división con presencia de una línea de fracción. expresiones racionales.

Por ejemplo, tenemos que 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b), (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

Es decir, se trata de expresiones que no se dividen en expresiones con variables. El estudio de las expresiones racionales comienza en el octavo grado, donde se denominan expresiones racionales fraccionarias. Se presta especial atención a las fracciones en el numerador, que se transforman mediante reglas de transformación.

Esto nos permite proceder a la transformación de fracciones racionales de forma arbitraria. Esta expresión puede considerarse como una expresión con presencia de fracciones racionales y expresiones enteras con signos de acción.

Principales tipos de transformaciones de expresiones racionales.

Las expresiones racionales se utilizan para realizar transformaciones idénticas, agrupaciones, traer similares y realizar otras operaciones con números. El propósito de tales expresiones es la simplificación.

Ejemplo 1

Convierte la expresión racional 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Solución

Se puede ver que dicha expresión racional es la diferencia entre 3 x x y - 1 y 2 x x y - 1. Notamos que su denominador es idéntico. Esto significa que la reducción de términos similares tomará la forma

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Respuesta: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

Ejemplo 2

Convertir 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x).

Solución

Inicialmente, realizamos las acciones entre paréntesis 3 · x − x = 2 · x. Esta expresión la representamos en la forma 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Llegamos a una expresión que contiene operaciones de un paso, es decir, tiene suma y resta.

Eliminamos los paréntesis usando la propiedad de división. Entonces obtenemos que 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.

Agrupamos factores numéricos con la variable x, tras lo cual podemos realizar operaciones con potencias. lo entendemos

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Respuesta: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

Ejemplo 3

Transformar una expresión de la forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Solución

Primero, transformamos el numerador y el denominador. Luego obtenemos una expresión de la forma (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2, y las acciones entre paréntesis se realizan primero. En el numerador se realizan operaciones y se agrupan factores. Luego obtenemos una expresión de la forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Transformamos la fórmula de diferencia de cuadrados en el numerador, luego obtenemos que

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Respuesta: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Representación de fracción racional

Las fracciones algebraicas suelen simplificarse cuando se resuelven. Cada racional llega a esto de diferentes maneras. Es necesario realizar todas las operaciones necesarias con polinomios para que la expresión racional pueda dar finalmente una fracción racional.

Ejemplo 4

Presentar como fracción racional a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

Solución

Esta expresión se puede representar como a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. La multiplicación se realiza principalmente según las reglas.

Deberíamos comenzar con la multiplicación, luego obtenemos eso.

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 (a + 3) a (a + 5) = un - 5 (un + 3) un

Presentamos el resultado obtenido con el original. lo entendemos

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Ahora hagamos la resta:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 un 2 - 9

Después de lo cual es obvio que la expresión original tomará la forma 16 a 2 - 9.

Respuesta: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

Ejemplo 5

Expresa x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x como una fracción racional.

Solución

La expresión dada se escribe como una fracción, cuyo numerador contiene x x + 1 + 1 y el denominador 2 x - 1 1 + x. Es necesario hacer transformaciones x x + 1 + 1 . Para hacer esto necesitas sumar una fracción y un número. Obtenemos que x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1x + 1 = 2x + 1x + 1

Se deduce que x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

La fracción resultante se puede escribir como 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.

Después de la división llegamos a una fracción racional de la forma

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Puedes resolver esto de otra manera.

En lugar de dividir por 2 x - 1 1 + x, multiplicamos por su inverso 1 + x 2 x - 1. Apliquemos la propiedad de distribución y encontremos que

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Respuesta: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

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Lección y presentación sobre el tema: "Transformación de expresiones racionales. Ejemplos de resolución de problemas"

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El concepto de expresión racional.

El concepto de "expresión racional" es similar al concepto de "fracción racional". La expresión también se representa como una fracción. Sólo que nuestros numeradores no son números, sino varios tipos de expresiones. La mayoría de las veces se trata de polinomios. Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria que consta de números y variables.

Al resolver muchos problemas en los grados de primaria, después de realizar operaciones aritméticas, recibimos valores numéricos específicos, la mayoría de las veces fracciones. Ahora luego de realizar las operaciones obtendremos fracciones algebraicas. Chicos, recuerden: para obtener la respuesta correcta, deben simplificar al máximo la expresión con la que están trabajando. Hay que obtener el menor grado posible; se deben reducir expresiones idénticas en numeradores y denominadores; con expresiones que se pueden contraer, debes hacerlo. Es decir, tras realizar una serie de acciones, deberíamos obtener la fracción algebraica más simple posible.

Procedimiento con expresiones racionales.

El procedimiento para realizar operaciones con expresiones racionales es el mismo que para las operaciones aritméticas. Primero se realizan las operaciones entre paréntesis, luego la multiplicación y división, la exponenciación y finalmente la suma y resta.

Probar una identidad significa demostrar que para todos los valores de las variables los lados derecho e izquierdo son iguales. Hay muchos ejemplos de demostración de identidades.

Las principales formas de resolver identidades incluyen.

Transforma el lado izquierdo para que sea igual al lado derecho.
Transforma el lado derecho para que sea igual al izquierdo.
Transforma los lados izquierdo y derecho por separado hasta obtener la misma expresión.
El lado derecho se resta del lado izquierdo y el resultado debe ser cero.

Conversión de expresiones racionales. Ejemplos de resolución de problemas

Ejemplo 1.
Demostrar la identidad:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Solución.
Obviamente, necesitamos transformar el lado izquierdo.
Primero, sigamos los pasos entre paréntesis:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

Debes intentar aplicar los factores comunes al máximo.
2) Transformar la expresión por la que dividimos:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) ps

.
3) Realizar la operación de división:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) ps

4) Realizar la operación de suma:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Las partes derecha e izquierda coincidieron. Esto significa que la identidad está probada.
Chicos, para resolver este ejemplo necesitábamos conocimientos de muchas fórmulas y operaciones. Vemos que después de la transformación, la expresión grande se ha convertido en una muy pequeña. Al resolver casi todos los problemas, las transformaciones suelen conducir a expresiones simples.

Ejemplo 2.
Simplifica la expresión:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Solución.
Empecemos por los primeros corchetes.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Transforma los segundos corchetes.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b) )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Hagamos la división.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

Respuesta: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Ejemplo 3.
Sigue estos pasos:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Solución.
Como siempre, debes comenzar con los corchetes.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Ahora hagamos la división.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Usemos la propiedad: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Realicemos la operación de resta.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Como dijimos antes, debes simplificar la fracción tanto como sea posible.
Respuesta: $\frac(k)(k-4)$.

Problemas para resolver de forma independiente.

1. Acreditar la identidad:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Simplifica la expresión:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Siga estos pasos:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Esta lección cubrirá información básica sobre expresiones racionales y sus transformaciones, así como ejemplos de transformaciones de expresiones racionales. Este tema resume los temas que hemos estudiado hasta ahora. Las transformaciones de expresiones racionales implican suma, resta, multiplicación, división, exponenciación de fracciones algebraicas, reducción, factorización, etc. Como parte de la lección, veremos qué es una expresión racional y también analizaremos ejemplos de su transformación.

Sujeto:Fracciones algebraicas. Operaciones aritméticas con fracciones algebraicas

Lección:Información básica sobre expresiones racionales y sus transformaciones.

Definición

Expresión racional es una expresión que consta de números, variables, operaciones aritméticas y la operación de exponenciación.

Veamos un ejemplo de expresión racional:

Casos especiales de expresiones racionales:

1er grado: ;

2. monomio:;

3. fracción: .

Convertir una expresión racional es una simplificación de una expresión racional. El orden de las acciones al transformar expresiones racionales: primero hay operaciones entre paréntesis, luego operaciones de multiplicación (división) y luego operaciones de suma (resta).

Veamos varios ejemplos de transformación de expresiones racionales.

Ejemplo 1

Solución:

Resolvamos este ejemplo paso a paso. La acción entre paréntesis se ejecuta primero.

Respuesta:

Ejemplo 2

Solución:

Respuesta:

Ejemplo 3

Solución:

Respuesta: .

Nota: Quizás, al ver este ejemplo, te surgió una idea: reducir la fracción antes de reducirla a un denominador común. De hecho, es absolutamente correcto: primero es aconsejable simplificar la expresión tanto como sea posible y luego transformarla. Intentemos resolver este mismo ejemplo de la segunda forma.

Como puede ver, la respuesta resultó ser absolutamente similar, pero la solución resultó algo más sencilla.

En esta lección vimos expresiones racionales y sus transformaciones, así como varios ejemplos específicos de estas transformaciones.

Bibliografía

1. Bashmakov M.I. Álgebra octavo grado. - M.: Educación, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. y otros Álgebra 8. - 5ª ed. - M.: Educación, 2010.

Este artículo está dedicado a transformación de expresiones racionales, en su mayoría fraccionariamente racional, es una de las cuestiones clave del curso de álgebra de octavo grado. Primero, recordemos qué tipo de expresiones se llaman racionales. A continuación nos centraremos en realizar transformaciones estándar con expresiones racionales, como agrupar términos, sacar de paréntesis factores comunes, traer términos similares, etc. Finalmente, aprenderemos a representar expresiones racionales fraccionarias como fracciones racionales.

Navegación de páginas.

Definición y ejemplos de expresiones racionales.

Las expresiones racionales son uno de los tipos de expresiones que se estudian en las lecciones de álgebra en la escuela. Demos una definición.

Definición.

Las expresiones compuestas de números, variables, paréntesis, potencias con exponentes enteros, conectados mediante signos aritméticos +, −, · y:, donde la división se puede indicar mediante una línea fraccionaria, se denominan expresiones racionales.

A continuación se muestran algunos ejemplos de expresiones racionales: .

Las expresiones racionales comienzan a estudiarse de manera decidida en el séptimo grado. Además, en el séptimo grado se aprenden los conceptos básicos del trabajo con los llamados expresiones racionales enteras, es decir, con expresiones racionales que no contienen división en expresiones con variables. Para ello se estudian secuencialmente monomios y polinomios, así como los principios para realizar acciones con ellos. Todo este conocimiento, en última instancia, le permite realizar transformaciones de expresiones completas.

En octavo grado, pasan a estudiar expresiones racionales que contienen división por una expresión con variables llamadas expresiones racionales fraccionarias. En este caso, se presta especial atención a los llamados fracciones racionales(también se les llama fracciones algebraicas), es decir, fracciones cuyo numerador y denominador contienen polinomios. En última instancia, esto hace posible convertir fracciones racionales.

Las habilidades adquiridas le permiten pasar a transformar expresiones racionales de cualquier forma. Esto se explica por el hecho de que cualquier expresión racional puede considerarse como una expresión compuesta de fracciones racionales y expresiones enteras conectadas por signos de operaciones aritméticas. Y ya sabemos trabajar con expresiones enteras y fracciones algebraicas.

Principales tipos de transformaciones de expresiones racionales.

Con expresiones racionales puedes realizar cualquiera de las transformaciones de identidad básicas, ya sea agrupar términos o factores, acercar términos similares, realizar operaciones con números, etc. Normalmente el propósito de realizar estas transformaciones es simplificación de la expresión racional.

Ejemplo.

Solución.

Está claro que esta expresión racional es la diferencia entre dos expresiones y , y estas expresiones son similares, ya que tienen la misma parte alfabética. Así, podemos realizar una reducción de términos similares:

Respuesta:

Está claro que al realizar transformaciones con expresiones racionales, así como con cualquier otra expresión, es necesario permanecer dentro del orden aceptado de realización de acciones.

Ejemplo.

Realizar una transformación de expresión racional.

Solución.

Sabemos que las acciones entre paréntesis se ejecutan primero. Por tanto, antes que nada, transformamos la expresión entre paréntesis: 3·x−x=2·x.

Ahora puedes sustituir el resultado obtenido en la expresión racional original: . Entonces llegamos a una expresión que contiene las acciones de una etapa: suma y multiplicación.

Eliminemos los paréntesis al final de la expresión aplicando la propiedad de división por un producto: .

Finalmente, podemos agrupar factores numéricos y factores con la variable x, luego realizar las operaciones apropiadas sobre los números y aplicar: .

Esto completa la transformación de la expresión racional y, como resultado, obtenemos un monomio.

Respuesta:

Ejemplo.

Convertir expresión racional .

Solución.

Primero transformamos el numerador y denominador. Este orden de transformación de fracciones se explica por el hecho de que la línea de una fracción es esencialmente otra designación de división, y la expresión racional original es esencialmente un cociente de la forma y las acciones entre paréntesis se realizan primero.

Entonces, en el numerador realizamos operaciones con polinomios, primero multiplicación, luego resta, y en el denominador agrupamos los factores numéricos y calculamos su producto: .

Imaginemos también el numerador y el denominador de la fracción resultante en forma de producto: de repente es posible reducir una fracción algebraica. Para hacer esto, usaremos en el numerador. fórmula de diferencia de cuadrados, y en el denominador quitamos los dos que están entre paréntesis, tenemos .

Respuesta:

Por tanto, el conocimiento inicial de la transformación de expresiones racionales puede considerarse completado. Pasemos, por así decirlo, a la parte más dulce.

Representación de fracción racional

Muy a menudo, el objetivo final de transformar expresiones es simplificar su apariencia. Desde este punto de vista, la forma más simple a la que se puede convertir una expresión racional fraccionaria es una fracción racional (algebraica) y, en el caso particular, un polinomio, monomio o número.

¿Es posible representar cualquier expresión racional como una fracción racional? La respuesta es sí. Expliquemos por qué esto es así.

Como ya hemos dicho, toda expresión racional puede considerarse como polinomios y fracciones racionales conectadas por los signos más, menos, multiplicar y dividir. Todas las operaciones correspondientes con polinomios producen un polinomio o fracción racional. A su vez, cualquier polinomio se puede convertir en una fracción algebraica escribiéndolo con el denominador 1. Y sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones racionales da como resultado una nueva fracción racional. Por tanto, después de realizar todas las operaciones con polinomios y fracciones racionales en una expresión racional, obtenemos una fracción racional.

Ejemplo.

Expresar como fracción racional la expresión .

Solución.

La expresión racional original es la diferencia entre una fracción y el producto de fracciones de la forma . Según el orden de las operaciones, primero debemos realizar la multiplicación y solo luego la suma.

Empezamos multiplicando fracciones algebraicas:

Sustituimos el resultado obtenido en la expresión racional original: .

Llegamos a la resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores:

Entonces, habiendo realizado operaciones con fracciones racionales que forman la expresión racional original, la presentamos en forma de fracción racional.

Respuesta:

Para consolidar el material, analizaremos la solución con otro ejemplo.

Ejemplo.

Expresar una expresión racional como una fracción racional.