Colección de pruebas en geometría sobre el tema "Cuerpo de revolución" (Grado 11). Una colección de pruebas en geometría sobre el tema "Cuerpo de revolución" (Grado 11) Se dibujan dos secciones perpendiculares entre sí en una bola

3.1. El radio de la base del cono es R, la generatriz está inclinada con respecto al plano de la base en un ángulo  . En un cono a través de la parte superior en un ángulo  un plano se dibuja a su altura. Encuentra el área de la sección resultante.

3.2. Las áreas de las bases del cono truncado son 81  cm 2 y 225  cm 2, la generatriz se relaciona con la altura como 5: 4. Encuentra el área de la sección axial.

3.3. Las diagonales de la sección axial de un tronco de cono son perpendiculares entre sí. El área de la sección axial es de 324 cm 2 . Halla el área de las bases del cono, sabiendo que el radio de una base es 2 cm mayor que el de la otra.

3.4. dana trapezoide A B C D, en el cual ANUNCIO= 15 cm, antes de Cristo= 9 centímetros, AB = CD\u003d 5 cm El trapezoide gira alrededor de un eje que pasa por la parte superior. A y perpendiculares ANUNCIO. Encuentre el área superficial del cuerpo de revolución resultante.

3.5. Una línea recta corta de los lados de un triángulo rectángulo, cuyo ángulo es de 60°, segmentos cuya longitud es un cuarto de la longitud de la hipotenusa, contados desde el vértice de este ángulo. Encuentre la razón del área del triángulo al área de la superficie del cuerpo obtenida al rotar este triángulo alrededor de una línea recta.

3.6. El cono se encuentra en un plano y rueda a lo largo de él, girando alrededor de su vértice fijo. la altura del cono es h, formando - b. Encuentra el área de la superficie descrita por la altura del cono.

3.7. Dos conos tienen una base común. En la sección axial general, la generatriz de uno de los conos es perpendicular a la generatriz opuesta del otro. El volumen de uno de ellos es la mitad del volumen del otro. Encuentra el ángulo entre la generatriz del cono mayor y el plano de las bases de los conos.

3.8. Triángulo A B C, cuál AB= 13 cm, Sol= 20 centímetros, C.A.\u003d 21 cm, gira alrededor de un eje que pasa por la parte superior A perpendicular C.A.. Encuentre el volumen del cuerpo de revolución resultante.

3.9. El paralelogramo gira alrededor de un eje que pasa por el vértice de un ángulo agudo perpendicular a la diagonal mayor. Encuentre el volumen del cuerpo de revolución si los lados del paralelogramo y su diagonal mayor son 15 cm, 37 cm y 44 cm, respectivamente.

3.10. La generatriz de un cono truncado, igual a yo, está inclinado con respecto al plano de la base en un ángulo . La razón de las áreas de las bases del cono es 4. Encuentra el volumen del cono truncado.

12.6. Pelota

bola y esfera

esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto dado.

Este punto se llama centro esferas El segmento de recta que une el centro de una esfera con cualquier punto de ella se llama radio esferas cordoy Se llama segmento de recta que une dos puntos de una esfera. diámetro llamada cuerda que pasa por el centro de la esfera (figura 12.40).

pelota llamado cuerpo geométrico acotado por una esfera. El centro, el radio, la cuerda y el diámetro de una esfera se nombran respectivamente centro ,radio ,acorde Y diámetro bola (Fig. 12.40).

Una bola se puede considerar como un cuerpo obtenido al girar un semicírculo alrededor de un eje que contiene el diámetro del semicírculo.

Una esfera también se llama la superficie de una esfera.

Un plano que tiene un solo punto en común con una esfera se llama tangente. avión a la esfera (pelota). El punto común se llama punto de contacto esferas (bola) y planos.

Teorema . Para que un plano sea tangente a una esfera (bola), es necesario y suficiente que este plano sea perpendicular al radio de la esfera (bola) dibujada en el punto de contacto.

Las fórmulas correctas para una esfera son:

Dónde S es el área de superficie de la pelota (área de la esfera); R es el radio de la pelota; V es el volumen de la esfera.

Segmento de bola y segmento esférico

segmento de bola se llama la parte de la bola separada de ella por un plano. El círculo, que resultó en la sección, se llama base segmento. El segmento que conecta el centro de la base del segmento con un punto en la superficie de la pelota, perpendicular a la base, se llama altura segmento de bola (Fig. 12.41). La superficie de la parte esférica de un segmento esférico se llama segmento esférico .

Para un segmento esférico, las siguientes fórmulas son verdaderas:

Dónde S es el área de la parte esférica del segmento esférico (el área del segmento esférico); R es el radio de la pelota; h– altura del segmento; S lleno es el área superficial total del segmento esférico; r es el radio de la base del segmento esférico; V es el volumen del segmento esférico.

Capa esférica y cinturón esférico.

capa de pelota La parte de una esfera encerrada entre dos planos cortantes paralelos se llama. Los círculos obtenidos en la sección se llaman jardines capa. La distancia entre los planos de corte se llama altura capa (Fig. 12.42). La superficie de la parte esférica de la capa esférica se llama cinturón esférico .

Una bola, un segmento esférico y una capa esférica se pueden considerar como cuerpos geométricos de revolución. Al girar un semicírculo alrededor de un eje que contiene el diámetro de un semicírculo, se obtiene una bola, respectivamente, al girar partes de un círculo, se obtienen partes de una bola: un segmento esférico y una capa esférica.

Para una capa esférica, las siguientes fórmulas son verdaderas:

Dónde S 1 , S 2 - áreas de bases; R 1 , R 2 - radios de base; S es el área de la parte esférica de la capa esférica (el área del cinturón esférico); R es el radio de la pelota; h- altura; S lleno es la superficie total; V es el volumen de la capa esférica.

Sector de pelota

sector esferico llamado cuerpo geométrico obtenido al rotar un sector circular (con un ángulo menor a 90) alrededor de un eje que contiene uno de los radios laterales. La adición de tal cuerpo a una bola también se llama sector de la pelota . Así, un sector esférico consiste en un segmento esférico y un cono, o un segmento esférico sin cono (Fig. 12.43 a, b).

Para un sector esférico, las fórmulas son correctas:

Dónde S es el área superficial del sector esférico; R es el radio de la pelota; r es el radio base del segmento; h es la altura del segmento esférico; V es el volumen del sector esférico.

Ejemplo 1 El radio de la esfera se divide en tres partes iguales. Se dibujaron dos secciones a través de los puntos de división, perpendiculares al radio. Encuentra el área del cinturón esférico si el radio de la esfera es de 15 cm.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 12.44).

Para calcular el área de un cinturón esférico, necesitas saber el radio de la bola y la altura. Se conoce el radio de la pelota, y encontramos la altura, sabiendo que el radio se divide en tres partes iguales:

Entonces el área

Ejemplo 2 La pelota es atravesada por dos planos paralelos que pasan perpendiculares al diámetro y en lados opuestos del centro de la pelota. Las áreas de los segmentos esféricos son 42  cm 2 y 70  cm 2 Halla el radio de la esfera si la distancia entre los planos es de 6 cm.

Solución. Considere dos segmentos esféricos con áreas:

Dónde R- radio de bola (esfera), h, H – alturas de segmento. Obtenemos las ecuaciones:
Y
Tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas. Hagamos otra ecuación. El diámetro de la bola es
Resolvamos el sistema:

De las dos primeras ecuaciones del sistema expresamos:

Sustituimos en la tercera ecuación del sistema:
Resolvemos la ecuación resultante:
obtenemos

Según la condición del problema, el valor

Ejemplo 3 La sección de una esfera por un plano perpendicular a su diámetro divide el diámetro en una razón de 1:2. ¿Cuántas veces es menor el área de la sección transversal que el área de la superficie de la bola?

Solución . Hagamos un dibujo (Fig. 12.45).

Considere la sección diametral de la pelota: ANUNCIO– diámetro, O- centro, Equipo original= R es el radio de la bola, SER es el radio de la sección perpendicular al diámetro de la bola,

Expresar SER a través de R:

De  OBE expresar SER a través de R:

área de la sección transversal
superficie de la esfera
Obtenemos la proporción

Por eso, S 1 menos S 2 4,5 veces.

capa de pelota La parte de una esfera encerrada entre dos planos cortantes paralelos se llama. Los círculos obtenidos en la sección se llaman jardines capa. La distancia entre los planos de corte se llama altura capa (Fig. 42). La superficie de la parte esférica de la capa esférica se llama cinturón esférico .

Para una capa esférica, las siguientes fórmulas son verdaderas:

Dónde R es el radio de la pelota;

R1, R2 son los radios de las bases;

h- altura;

S1, S2- áreas de base;

S es el área de la parte esférica de la capa esférica (el área del cinturón esférico);

S lleno es la superficie total;

V es el volumen de la capa esférica.

Sector de pelota

sector esferico llamado cuerpo geométrico obtenido al rotar un sector circular (con un ángulo menor que ) alrededor de un eje que contiene uno de los radios laterales. La adición de tal cuerpo a una bola también se llama sector de la pelota . Así, un sector esférico consiste en un segmento esférico y un cono, o un segmento esférico sin cono (Fig. 43a, 43b).

Arroz. 43a. Arroz. 43b.

Para un sector esférico, las fórmulas son correctas:

Dónde R es el radio de la pelota;

r es el radio base del segmento;

h- altura del segmento esférico;

S es el área superficial del sector esférico;

V es el volumen del sector esférico.

Ejemplo 1 El radio de la esfera se divide en tres partes iguales. Se dibujaron dos secciones perpendiculares al radio a través de los puntos de división. Encuentra el área del cinturón esférico si el radio de la esfera es de 15 cm.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 44).

Entonces el área

Respuesta:

Ejemplo 2 La pelota es atravesada por dos planos paralelos que pasan perpendiculares al diámetro y en lados opuestos del centro de la pelota. Las áreas de los segmentos esféricos son 42p cm 2 y 70p cm 2 . Halla el radio de la esfera si la distancia entre los planos es de 6 cm.

Solución. Considere dos segmentos esféricos con áreas: donde R- radio de bola (esfera), S.S alturas de segmento. Obtenemos las ecuaciones: y Tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas. Hagamos otra ecuación. El diámetro de la pelota es Resolviendo el sistema, encontramos el radio de la pelota.

Û Þ Û

Según la condición del problema, el valor

Respuesta: 7cm

Ejemplo 3 La sección transversal de una esfera por un plano perpendicular a su diámetro divide el diámetro en una proporción de 1:2. ¿Cuántas veces el área de la sección transversal es menor que el área de la superficie de la esfera?

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 45).

Considere la sección diametral de la pelota: ANUNCIO– diámetro, O- centro, EO=R es el radio de la bola, SER es el radio de la sección perpendicular al diámetro de la bola,

Expresar SER a través de R:

De DOBE expresar SER a través de R:

área de la superficie del área seccional de la pelota Obtenemos la relación . Medio, S1 menos S2 4,5 veces.

Respuesta: 4,5 veces.

Ejemplo 4 En una esfera de 13 cm de radio se dibujan dos secciones perpendiculares entre sí a una distancia de 4 cm y 12 cm del centro. Encuentra la longitud de su cuerda común.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 46).

Las secciones son perpendiculares, porque OO 2- distancia y OO 1 - distancia. Así, y jefe- la diagonal del rectángulo OO 2 CO 1 e igual a

a) Se dibujan dos secciones paralelas de la pelota. Demostrar que el centro de la pelota se encuentra en la línea que pasa por los centros de estas secciones.
b) Se dibuja una sección de radio r en una bola de radio R. ¿Cuál es la distancia entre él y el gran círculo paralelo a él?
c) En una bola de radio 3 se dibujan dos secciones de radio 1 y 2 cuyos planos son paralelos. Calcular la distancia entre ellos,
d) Inventar problemas inversos a los problemas b) y c).

a) Dados dos círculos en una bola, los círculos de los cuales se encuentran en la esfera y tienen un solo punto común. Demuestre que la línea de intersección de los planos en los que se encuentran estos círculos tiene un solo punto común con la pelota,
b) Sobre la esfera se dibujan dos circunferencias que tienen un solo punto en común. Demostrar que el centro de la esfera, los centros de ambos círculos y su punto común están en el mismo plano,
c) Sobre una esfera de radio R se dibujan dos tramos de igual radio r que tienen un punto en común. Sus planos forman un ángulo cf. Establecer una relación entre R, r, φ.

tercero 3. En una bola de radio R, dos secciones de radio r se cortan en un ángulo φ. Su intersección es una cuerda de longitud d. Establecer una relación entre R, r, d, φ.

tercero 4. Esta área incluye:

a) un cilindro
b) un cono;
c) cono truncado.

Sus tamaños son conocidos. ¿Cómo encontrar las distancias desde el centro de la esfera a las bases y superficies laterales del cilindro, cono y cono truncado?

tercero 5. Se colocan cuatro bolas iguales de radio R de modo que cada una toque a las otras tres. Tres de estas bolas se encuentran en un plano horizontal y la cuarta bola se encuentra sobre ellas. ¿Cuál es la altura de este edificio? Cómo encontrar el radio de la esfera descrita cerca de esta estructura.

tercero 6. Tres cilindros están dispuestos de manera que cada dos tengan un solo punto común. Este punto común está dentro de la generatriz de cada uno de los cilindros. Los ejes de los cilindros son mutuamente perpendiculares y uno de ellos es vertical. El radio de cada cilindro es R. Halla el radio de la bola que, cayendo verticalmente, pasará por el hueco formado por los cilindros.

tercero 7. En una bola de radio R hay un cilindro con la mayor sección axial. ¿Cuáles son las dimensiones de este cilindro?

tercero 8. Considere todos los cilindros posibles con una diagonal de sección axial igual a d. Calcule el radio de la bola más grande contenida en dicho cilindro y el radio de la bola más pequeña que contiene dicho cilindro.

tercero 9. En un cilindro cuya altura sea igual al diámetro de la base e igual a d, se deben colocar dos bolas idénticas. ¿Cuál es su radio mayor?

tercero 10. Dos conos iguales tienen un vértice común. Sus superficies laterales se cruzan a lo largo de dos generadores. Demostrar que el plano que pasa por estos generadores es perpendicular al plano que contiene los ejes de los conos.

III.11. Dos conos iguales tienen ejes paralelos. ¿Tienen un plano de referencia común que pasa por las superficies que los forman?

III.12. Demostrar que el círculo es una línea de intersección (si existe):

a) las superficies laterales del cono y del cilindro, cuyos ejes se encuentran en la misma línea recta);
b) las superficies laterales de dos conos cuyos ejes se encuentran en la misma línea recta.

III.13. El centro de la esfera se encuentra en el vértice del cono. El radio de la esfera es menor que la generatriz de la superficie lateral del cono. Demostrar que la esfera corta la superficie lateral del cono en un círculo.

a) Se dibuja un círculo sobre una esfera real. ¿Cómo calcular su radio?
b) ¿Cómo calcular el radio de una esfera real (bola)?

usamos una computadora

III.15. Dada una recta p y un segmento AB en una recta paralela a p. Encuentre un punto X en la línea p tal que el ángulo AXB sea el mayor.

III.16. Entre todos los triángulos isósceles ABC circunscritos a una circunferencia dada tangente a la base de AC, encuentre el triángulo de menor área.

III.17. ¿Hay un punto en una línea dada desde el cual dos círculos iguales son visibles en ángulos iguales?

III.18. Inscribe un rectángulo de mayor área en el círculo dado.

III.19. Dada una circunferencia de centro O. En ella se dibuja una cuerda AB, distinta del diámetro, y un radio OS perpendicular a esta cuerda. Sea D el punto de intersección de este radio y esta cuerda. El punto X se mueve a lo largo del arco mayor del círculo. De él se extraen dos cuerdas: XK, que pasa por el punto D, y XC. Sea L el punto de intersección de las cuerdas XC y AB. ¿Cuál de los segmentos es más largo: KD o LC?

Resultados del Capítulo III

En § 16-19 solo se prueban tres teoremas:

teorema 17 sobre la intersección de una bola con un plano (sección 16.2),
Teorema 18 sobre la tangencia de una esfera y un plano (Sec. 16.3) y
Teorema 19 sobre la sección de un cono (Sec. 19.1).

En el capítulo III, comenzó una discusión sobre la importante cuestión de la simetría de las figuras espaciales.

En el § 20 se estudian cuestiones más complejas de la geometría de un círculo que en el curso de la escuela básica.

1. Las líneas a y b son paralelas y las líneas a y c se cortan. ¿Cuál es la posición relativa de b y c? (hecho)
2. Se dibuja un plano a través de tres puntos que se encuentran en tres aristas oblicuas de un cubo. Halla la suma de los ángulos interiores del polígono obtenido en la sección (hecho)
3. Todas las aristas laterales de la pirámide son iguales a 13. El radio del círculo inscrito en la base de la pirámide es 5, y el radio del círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide es 12. Encuentra la altura de la pirámide . instruido
4. Todos los ángulos diedros en los bordes de la base de una pirámide cuadrangular son 45. El radio del círculo inscrito en la base de la pirámide es 8, y el radio del círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide es 52. Halla la altura de la pirámide. (hecho)
5. Los planos de las tres caras laterales de la pirámide triangular forman con el plano de su base un ángulo de 60. El radio del círculo inscrito en la base de la pirámide es 8, y el radio del círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide es 52. Halla la altura de la pirámide (hecho)
6. La distancia entre los centros de dos esferas de radios 4 y 7 es igual a 2. Describe el conjunto de puntos comunes de estas esferas. (hecho)
7. Dos generadores del cono son mutuamente perpendiculares. ¿Puede el ángulo en el desarrollo del cono ser igual a 252? (hecho)
8. ABCD - sección axial del cilindro. B y C son los puntos de la base superior, y A y D son los puntos de la base inferior. El punto K divide el arco AD en relación con AK:KD=1:2. Encuentra el valor del ángulo AKC. (hecho)
9. La sección que pasa por la mitad del borde lateral de la pirámide y paralela a la base, divide la pirámide en dos cuerpos, el volumen de uno de los cuales es 6 m ^ 3 menos que el otro. Encuentra el volumen de la pirámide. (hecho)
10. MABC es un tetraedro. ¿Cuántos planos diferentes hay de los cuales todos los vértices de este tetraedro están a la misma distancia?
11. ¿A qué valor de x la longitud del vector con coordenadas (1-x; 4 + x; x) es la más pequeña? (hecho)
12. ¿Qué parte del volumen del paralelepípedo ABCDA1B1C1D1 está ocupada por el volumen del tetraedro A1C1BD? (hecho)
13. ¿Pueden dos planos de caras laterales no adyacentes de una pirámide cuadrangular ser perpendiculares al plano base?
14. La distancia desde los extremos del diámetro de la pelota hasta el plano que la toca es de 3 y 7 cm Halla el radio de la pelota. (hecho)

En el octavo, solo pude hacer un dibujo y recordar que el ángulo ACB es igual al ángulo BAC, como si estuviera en cruz. Entonces no sé qué hacer.

En 13 pueden por el teorema de las 3 perpendiculares. ¿Sí?

En el 10, quizás 4. Supongo que porque el tetraedro tiene 4 caras, pero no le veo la lógica.

En el 9 resultó 8.

k.black escribiste así:
Yo argumenté lo mismo.
El volumen de una de esas pirámides a cortar es igual a 1/6 del volumen del paralelepípedo (1/3 * la mitad de la base * la misma altura)
Entonces, el volumen de la parte cortada es 4/6 = 2/3
Entonces el volumen de la pirámide A1C1BD es 1/3 del volumen de par-sí

No puedo entender por qué primero tienes volúmenes como 1/6 y luego como 1/3

GBOU SPO Vie 13 lleva el nombre de P.A. Ovchinnikov

Pruebas sobre el tema "Cuerpo de revolución"

profesora de matemáticas Makeeva Elena Sergeevna

PRUEBA 1

Opción 1

A1 . El área de superficie lateral de un cilindro circular recto es 12π, y la altura del cilindro es 3. Encuentra el área de superficie total del cilindro.

¤ 1) 24π ¤ 2) 16π ¤ 3) 22π ¤ 4) 20π

A2 . El área de la sección axial del cilindro es de 10 cm. 2 , el área de la base es de 5 cm 2

1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
A3 . Se dibujan dos secciones a través de la generatriz del cilindro, de las cuales una es axial con un área igual aS. El ángulo entre los planos de las secciones es de 30 O

1) ¤ 2) S ¤ 3) ¤ 4)

B 1. Los extremos del segmento AB se encuentran sobre las circunferencias de las bases del cilindro. El radio de la base es de 10 cm, la distancia entre la línea recta AB y el eje del cilindro es de 8 cm, AB \u003d 13 cm Determine la altura del cilindro.

Respuesta:

A LAS 2 . La altura del cilindro esh, radio base -r. Un cuadrado está inscrito oblicuamente al eje en este cilindro de modo que todos sus vértices estén en los círculos de las bases. Encuentra el lado del cuadrado.

Respuesta :________________________________________________________________________

C1 . La diagonal del desarrollo de la superficie lateral del cilindro forma un ángulo β con el lado de la base del desarrollo. Calcular el ángulo entre la diagonal de la sección axial del cilindro y el plano base.

Respuesta:________________________________________________________________________

PRUEBA 1

Cilindro. El área de superficie de un cilindro.

opcion 2

A1. El área de la superficie lateral de un cilindro circular recto es 20π y la altura del cilindro es 5. Halla el área total de la superficie del cilindro.

¤ 1) 24π ¤ 2) 32π ¤ 3) 28π ¤ 4) 36π

A2 . El área de la sección axial del cilindro es de 16 cm. 2 , el área de la base es de 8 cm 2 . Calcular la altura y el área de la superficie lateral del cilindro.

1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) A3. Se dibujan dos secciones a través de la generatriz del cilindro, de las cuales una es axial con un área igual aS. El ángulo entre los planos de las secciones es de 45 O . Encuentra el área de la segunda sección.

1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) S

B 1. Los extremos del segmento AB se encuentran sobre las circunferencias de las bases del cilindro. El radio de la base es de 5 cm, la altura del cilindro es de 6 cm, AB = 10 cm Determinar la distancia entre la recta AB y el eje del cilindro.

Respuesta: ________________________________________________________________________

A LAS 2 . El radio de la base del cilindro esr. En este cilindro se inscribe oblicuamente un cuadrado de ladoade modo que todos sus vértices estén sobre las circunferencias de las bases. Encuentra la altura del cilindro.

Respuesta: ________________________________________________________________________

C1 . El ángulo entre la diagonal de la sección axial del cilindro y el plano de su base es igual a β. Calcular el ángulo entre la diagonal del desarrollo de su superficie lateral y el lado de la base del desarrollo.

Respuesta: ________________________________________________________________________

PRUEBA 2

Cono circular recto

Opción 1

A1 . Calcular la altura de un cono circular recto si su sección axial es de 6 cm 2 y el área de la base es de 8 cm 2 .

¤ 1) 3 2) 3 ¤ 3) 6 ¤ 4) 4

A2. Determine el ángulo en el vértice de la sección axial del cono si el desarrollo de su superficie lateral es un sector con un arco igual a 90 o

¤ 1) 60 o ¤ 2) 2 arcsen ¤ 3) 2 arcsen ¤ 4) 30 o

A3. La circunferencia de las bases del cono truncado es 4π y 10π. La altura del cono es 4. Encuentra el área de la superficie del cono truncado.

¤ 1) 64 π ¤ 2) 68 π ¤ 3) 52 π ¤ 1) 74 π

B 1. La altura del cono es igual al radio.Rsus cimientos. Se dibuja un plano a través de la parte superior del cono, cortando un arco de 60 o

Respuesta:

A LAS 2. La generatriz del cono es de 13 cm, la altura es de 12 cm, este cono es atravesado por una recta paralela a la base. Su distancia desde la base es de 6 cm, y desde la altura - 2 cm Encuentra la longitud del segmento de esta línea recta encerrada dentro del cono.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

C1 . La generatriz del cono truncado es igual aLy forma un ángulo α con el plano base. La diagonal de su sección axial es perpendicular a la generatriz. Encuentra el área de la superficie lateral del cono.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

PRUEBA 2

Cono circular recto

opcion 2

A1 . Calcular la altura de un cono circular recto si su sección axial es de 8 cm 2 , y el área de la base es de 12 cm 2 .

1) 4 ¤ 2) 4 ¤ 3) 6 ¤ 4) 6

A2 . Determine el ángulo en el vértice de la sección axial del cono si el desarrollo de su superficie lateral es un sector con un arco igual a 120 o

¤ 1) 90 o ¤ 2) 2 arcsen ¤ 3) 2 arcsen ¤ 4) 60 o

A3 . La circunferencia de las bases del cono truncado es 4π y 28π. La altura del cono es 5. Encuentra el área de la superficie del cono truncado.

¤ 1) 420 π ¤ 2) 412 π ¤ 3) 416 π ¤ 1) 408 π

B 1. La altura del cono es igual al radio.Rsus cimientos. Se dibuja un plano a través de la parte superior del cono, cortando un arco de 90 o . Determine el área de la sección.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

A LAS 2. La generatriz del cono es de 17 cm, la altura es de 8 cm, este cono es atravesado por una recta paralela a la base. Su distancia desde la base es de 4 cm, y desde la altura - 6 cm Encuentra la longitud del segmento de esta línea recta encerrada dentro del cono.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

C1 . La generatriz de un tronco de cono forma un ángulo α con el plano de la base inferior. La diagonal de su sección axial es perpendicular a la generatriz del cono. La suma de las circunferencias es 2 πm. Encuentra el área de la superficie lateral del cono.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

PRUEBA 3

Opción 1

A1 . Los puntos A y B se encuentran en una esfera de radioR. Encuentra la distancia desde el centro de la esfera a la línea AB si AB=m.

1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

A2. Encuentre las coordenadas del centro C y el radioResfera dada por la ecuación

¤ 1) C (-3; 2; 0), R= ¤ 2) C (3; -2;0), R=5 ¤ 3) C (-3; 2;0), R=5 ¤ 4) C (3; -2;0), R=

A3. Escribe la ecuación de una esfera con centro en el punto C (4; -1; 3) que pasa por el punto A (-2; 3; 1)

1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 . Vértices de un triángulo rectángulo de catetos 25 y 5tumbarse en la esfera. Encuentra el radio de la esfera si la distancia del centro al plano del triángulo es 8.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

B 2 ala ecuacion

define el alcance.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

C1. Dos secciones de la pelota mutuamente perpendiculares tienen una cuerda común de longitud 12. Se sabe que las áreas de estas secciones son 100π y 64π . Encuentra el radio de la pelota.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

PRUEBA 3

Esfera y bola. Ecuación de esfera.

opcion 2

A1. Los puntos A y B se encuentran en una esfera de radioR. La distancia del centro de la esfera a la recta AB esa. Encuentre la longitud del segmento AB.

1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

A2 . Encuentre las coordenadas del centro C y el radioResfera dada por la ecuación

¤ 1) C (-4; 0; 3), R= ¤ 2) C (4; 0;-3), R=7 ¤ 3) C (-4; 0;3), R=7 ¤ 4) C (4; 0;-3), R=

A3. Escribe la ecuación de una esfera con centro en el punto C (-3; 1; -2) que pasa por el punto A (3; 4; -1)

1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 . Los vértices de un triángulo rectángulo de catetos 15 y tumbarse en la esfera. Halla el radio de la esfera si la distancia del centro al plano del triángulo es 5.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

B 2 . Determinar a qué valores del parámetroala ecuacion

define el alcance.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

C1. Dos secciones de la pelota mutuamente perpendiculares tienen una cuerda común de longitud 12. Se sabe que las áreas de estas secciones son 256π y 100π . Encuentra el radio de la pelota.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

PRUEBA 4

Opción 1

A1. La línea de intersección de la esfera y el plano a 8 del centro tiene una longitud de 12 π. Encuentra el área de la superficie de la esfera.

¤ 1) 396 π ¤ 2) 400 π ¤ 3) 408 π ¤ 4) 362π

A2. Radio de la esferaRtoca las caras de un ángulo diedro, cuyo valor es igual aα . Determine la distancia desde el centro de la esfera hasta el borde del ángulo diedro.

1) ¤ 2) Derecho ¤ 3) ¤ 4) Rect.

A3. Encuentre la longitud de la cuerda de la esfera. , perteneciente al eje x.

¤ 1) 2 ¤ 2) 4 ¤ 3) 8 ¤ 4) 2

EN 1. La sección transversal de una pelota por dos planos paralelos, entre los cuales se encuentra el centro de la pelota, tienen áreas de 144π y 25π . Calcula el área superficial de una esfera si la distancia entre planos paralelos es 17.

A LAS 2.

Respuesta

C1.

Respuesta:________________________________________________________________________________

PRUEBA 4

La disposición mutua de una esfera y un plano, una esfera y una línea recta.

opcion 2

A1. Sección de bolasplano 15 alejado de su centro tiene un área de 64 π. Encuentra el área de la superficie de la esfera.

¤ 1) 1156 π ¤ 2) 1024 π ¤ 3) 1172 π ¤ 4) 1096π

A2. La esfera toca las caras de un ángulo diedro, cuyo valor es igual aα . La distancia del centro de la esfera al borde del ángulo diedro esyo. Determinar el radio de la esfera.

¤ 1) l tg ¤ 2) yo peco ¤ 3) l porque ¤ 4) ltg

A3. Encuentre la longitud de la cuerda de la esfera. , perteneciente al eje y..

¤ 1) 2 ¤ 2) 10 ¤ 3) 4 ¤ 4) 2

EN 1. La sección transversal de una pelota por dos planos paralelos que se encuentran en el mismo lado del centro de la pelota tienen áreas de 576π y 100π . Calcula el área superficial de una esfera si la distancia entre planos paralelos es 14.

Respuesta:________________________________________________________________________________

A LAS 2. Escribe la ecuación del plano que contiene los puntos comunes de las esferas dada por las ecuaciones

Respuesta:________________________________________________________________________________

C1. Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la recta dada por la ecuación y la esfera dada por la ecuación

Respuesta:________________________________________________________________________________

PRUEBA 5

Combinaciones de figuras de rotación.

Opción 1

A1. Un triángulo rectángulo con catetos de 5 cm y 12 cm gira alrededor de la hipotenusa. Calcule el área superficial del cuerpo de revolución resultante.

1) cm 2 ¤ 2) 82πcm 2 ¤ 3) cm 2 ¤ 4) 78πcm 2

A2. Una esfera está inscrita en un cilindro. Encuentre la relación entre el área de superficie total del cilindro y el área de superficie de la esfera.

¤ 1) 3:2 ¤ 2) 2:1 ¤ 3) 4:3 ¤ 4) 5:2

A3. r, altura -H

1) ¤ 2) ¤ 3) π( ¤ 4)

B 1 . Un cilindro está inscrito en un cono cuya altura es igual al radio de la base del cono. Encuentre el ángulo entre el eje del cono y su generatriz, si el área de la superficie total del cilindro está relacionada con el área de la base del cono como 3:2, y el eje del cilindro coincide con el eje del cono.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

C1 . Tres bolas idénticas de radio se encuentran en un planoRrelacionándose entre sí. Se coloca una cuarta bola del mismo radio encima del agujero formado por las bolas. Encuentra la distancia desde la parte superior de la cuarta bola hasta el plano.

Respuesta :________________________________________________________________________________

PRUEBA 5

Combinaciones de figuras de rotación.

opcion 2

A1. Un triángulo rectángulo con catetos de 8 cm y 15 cm gira alrededor de la hipotenusa. Calcule el área superficial del cuerpo de revolución resultante.

¤ 1) 162πcm 2 ¤ 2) cm 2 ¤ 3) 164πcm 2 ¤ 4) cm 2

A2. Una esfera está inscrita en un cilindro. Encuentre la relación entre el área de la superficie lateral del cilindro y el área de la superficie de la esfera.

¤ 1) 2:1 ¤ 2) 3:2 ¤ 3) 1:1 ¤ 4) 2:3

A3. Un cono está inscrito en una esfera cuyo radio de base esr, altura -L. Determinar el área superficial de la esfera.

1) π ( ¤ 2) ¤ 3) pr ¤ 4) πL

B 1 . Un cilindro está inscrito en un cono cuya altura es igual al radio de la base del cono. Encuentre el ángulo entre el eje del cono y su generatriz, si el área de la superficie total del cilindro está relacionada con el área de la base del cono como 8:9, y el eje del cilindro coincide con el eje del cono.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

C1 . Cuatro bolas idénticas de radio se encuentran en un planoRde modo que cada una de las bolas toque dos contiguas. Se coloca una quinta bola del mismo radio encima del agujero formado por las bolas. Encuentra la distancia desde la parte superior de la quinta bola hasta el plano.

Respuesta :________________________________________________________________________________

PRUEBA 6

Opción 1

A1. Un cilindro está inscrito en un prisma triangular regular. Encuentra su área de superficie si el lado de la base del prisma es 2, y la altura es 3.

¤ 1) 6π ¤ 2) 8π ¤ 3) 10π ¤ 4) 5π

A2. Un cono se describe alrededor de una pirámide triangular regular. Calcula el área de la superficie lateral del cono si el lado de la base de la pirámide esa, las nervaduras laterales están inclinadas a la base en un ángulo de 30 o .

1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

A3. Una esfera está inscrita en un prisma cuadrangular regular. Encuentra la relación entre el área de la superficie total del prisma y el área de la esfera.

1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

EN 1. aYb. Encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide.

Respuesta:________________________________________________________________________________

A LAS 2. en un cubo de arista igual aa, se inscribe una bola. Calcula el radio de una pelota que toca la pelota dada y tres caras de un cubo que comparten un vértice común.

Respuesta:________________________________________________________________________________

C1. La sección axial del cono es un triángulo equilátero. Una pirámide triangular regular está inscrita en este cono. Encuentra la razón de las áreas de las superficies laterales de la pirámide y el cono.

Respuesta:________________________________________________________________________________

PRUEBA 6

Combinaciones de poliedros y cuerpos de revolución.

opcion 2

A1. Un cilindro se describe alrededor de un prisma triangular regular. Encuentra su área de superficie si la altura del prisma es 4 y la altura de la base del prisma es 6.

¤ 1) 64π ¤ 2) 56π ¤ 3) 68π ¤ 4) 60π

A2. En una pirámide triangular regular, el lado de la base es igual aa, las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en un ángulo de 45 o . Calcular el área de la superficie lateral de un cono inscrito en la pirámide.

1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

A3. Una esfera se describe alrededor del cubo. Encuentra la razón del área de la esfera al área total de la superficie del cubo.

1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

EN 1. Una pirámide truncada triangular regular se describe cerca de la bola, los lados de las bases de los cuales son igualesaYb. Encuentra el área de la superficie de la esfera.

Respuesta:________________________________________________________________________________

A LAS 2. Una bola está inscrita en un cubo. El radio de una bola que toca la bola dada y las tres caras de un cubo que tienen un vértice común es igual aR. Calcula la longitud de la arista del cubo.

Respuesta:________________________________________________________________________________

C1. La sección axial del cono es un triángulo equilátero. Una pirámide cuadrangular regular está inscrita en este cono. Encuentra la razón de las áreas de las superficies laterales de la pirámide y el cono.

Respuesta:________________________________________________________________________________

PRUEBA 7

Opción 1

A1. Un rectángulo con lados iguales a 10 cm y 12 cm gira alrededor del lado mayor. Encuentre el área de superficie total del cuerpo de revolución resultante.

¤ 1) 460πcm 2 ¤ 2) 420πcm 2 ¤ 3) 440 πcm 2 ¤ 4) 400πcm 2

A2 a. Calcule el área de la sección que pasa por dos generadores del cono, cuyo ángulo es de 60 o .

1) A 2 ¤ 2) A 2 ¤ 3) A 2 ¤ 4) A 2

A3 . Determina el área total de la superficie de un cono truncado, si los radios de sus bases son 6 cm y 10 cm, la altura es 3 cm.

1)212πcm 2 ¤ 2)224πcm 2 ¤ 3)220πcm 2 ¤ 4)216πcm 2

A4. + + +6 X-8 y+2 z-7=0

¤ 1) 132 π ¤ 2) 136 π ¤ 3) 140 π ¤ 4) 128p

A5. Los lados del triángulo tocan una esfera de 5 cm de radio, determina la distancia del centro de la esfera al plano del triángulo si sus lados miden 15 cm, 15 cm y 24 cm.

A6. En un cono con un ángulo resfera inscrita de radioR. Encuentra el valorrsi se sabeRY .

¤ 1) Derecho( - ¤ 2) Rtg( + ¤ 3) Derecho ¤ 4) Rect.

EN 1 . Dos planos mutuamente perpendiculares se dibujan a través de la generatriz del cilindro. Las áreas de las secciones obtenidas son cm 2 Y

Respuesta: _______________________________________________________________________________

A LAS 2. Un triángulo isósceles gira alrededor de su eje de simetría. Halla los lados de este triangulo si su perimetro es de 30 cm y el area total del cuerpo de revolucion es de 60

Respuesta: ________________________________________________________________________________

A LAS 3 . Radio de la esferaRtoca todas las aristas de un prisma triangular regular. Encuentra la longitud del borde lateral del prisma y la distancia desde el centro de la esfera a los planos de las caras laterales.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

C1 DD: DB=1:2:3. Determinar la relación de los radios de las secciones (de menor a mayor), si la recta que contiene el diámetro dado forma un ángulo con los planos .

Respuesta: ________________________________________________________________________________

C2. La esfera toca todas las aristas de una pirámide cuadrangular regular. Encuentra el radio de tal esfera si todas las aristas de la pirámide miden 18 cm.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

PRUEBA 7

Generalización del tema "Cilindro, cono, bola".

opcion 2

A1. Un rectángulo con lados iguales a 8 cm y 10 cm gira alrededor del lado más pequeño. Encuentre el área de superficie total del cuerpo de revolución resultante.

¤ 1) 360πcm 2 ¤ 2) 354πcm 2 ¤ 3) 368 πcm 2 ¤ 4) 376πcm 2

A2 . La sección axial del cono es un triángulo rectángulo con hipotenusa igual aa. Calcule el área de la sección que pasa por dos generadores del cono, cuyo ángulo es de 45 o .

1) A 2 ¤ 2) A 2 ¤ 3) A 2 ¤ 4) A 2

A3 . Determina el área de la superficie total de un tronco de cono, si los radios de sus bases son 5 cm y 8 cm, la altura es 4 cm.

1)150πcm 2 ¤ 2)154πcm 2 ¤ 3)158πcm 2 ¤ 4)146πcm 2

A4. Encuentre el área de superficie de la esfera dada por la ecuación + + -4 X+2 y+6 z-4=0

1) 68 π ¤ 2) 80 π ¤ 3) 76 π ¤ 4) 72 π

A5. Los lados del triángulo tocan una esfera de 5 cm de radio, determina la distancia del centro de la esfera al plano del triángulo si sus lados miden 10 cm, 10 cm y 12 cm.

¤ 1) 1 cm ¤ 2) 2 cm ¤ 3) 3 cm ¤ 4) 4 cm

A6. En un cono con un ángulo en la parte superior de la sección axial y el radio de la baseresfera inscrita de radioR. Encuentra el valorRsi se sabe

Respuesta: ________________________________________________________________________________

A LAS 3 . Radio de la esferaRtoca todas las aristas de un prisma triangular regular. Halla la longitud de la arista de la base del prisma y la distancia del centro de la esfera a los planos de las bases del prisma.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

C1 . Dos planos paralelos cortan el diámetro de la esfera AB en los puntos C yDdividiéndolo con respecto a AC:CD: DB=1:3:4. Determinar la relación de los radios de las secciones (de menor a mayor), si la recta que contiene el diámetro dado forma un ángulo con los planos .

Respuesta: ________________________________________________________________________________

C2. La esfera toca todas las aristas de una pirámide cuadrangular regular. Encuentre el radio de tal esfera si todas las aristas de la pirámide miden 22 cm.

Respuesta: ________________________________________________________________________________

676π

4x-6y+2z+7=0

(-4 ;5;2), (; )

2704π

3x-4y+8z-12=0

(3;0;7), (1;2;3)

(2+ )R

2(2+ )R

12cm, 9cm, 9cm

11cm