Una función exponencial de potencia es una función que tiene la forma de una función de potencia.
y = u v ,
en el que la base u y el exponente v son algunas funciones de la variable x:
tu = tu (X); v=v (X).
Esta función también se llama exponencial o .

Tenga en cuenta que la función exponencial de potencia se puede representar en forma exponencial:
.
Por eso también se llama función exponencial compleja.

Derivada de una función exponencial de potencia

Cálculo utilizando derivada logarítmica.

Encontremos la derivada de la función exponencial de potencia.
(2) ,
donde y son funciones de la variable.
Para ello, aplicamos la ecuación logarítmica (2), utilizando la propiedad del logaritmo:
.
Derivar con respecto a la variable x:
(3) .
Aplicamos reglas para diferenciar funciones complejas y funciona:
;
.

Sustituimos en (3):
.
De aquí
.

Entonces, encontramos la derivada de la función exponencial de potencia:
(1) .
Si el exponente es constante, entonces. Entonces la derivada es igual a la derivada de una función potencia compleja:
.
Si la base del grado es constante, entonces . Entonces la derivada es igual a la derivada de la función exponencial compleja:
.
Cuando y son funciones de x, entonces la derivada de la función exponencial de potencia es igual a la suma de las derivadas de las funciones exponencial y de potencia compleja.

Cálculo de la derivada por reducción a una función exponencial compleja

Ahora encontremos la derivada de la función exponencial de potencia.
(2) ,
presentándola como una función exponencial compleja:
(4) .

Diferenciamos el producto:
.
Aplicamos la regla para encontrar la derivada de una función compleja:

.
Y nuevamente obtuvimos la fórmula (1).

Ejemplo 1

Encuentre la derivada de la siguiente función:
.

Calculamos usando la derivada logarítmica. Logaritmemos la función original:
(A1.1) .

De la tabla de derivadas encontramos:
;
.
Usando la fórmula de la derivada del producto, tenemos:
.
Diferenciamos (A1.1):
.
Porque el
,
Eso
.

Muy fácil de recordar.

Bueno, no vayamos muy lejos, consideremos inmediatamente la función inversa. ¿Qué función es la inversa de la función exponencial? Logaritmo:

En nuestro caso, la base es el número:

Tal logaritmo (es decir, un logaritmo con base) se llama "natural" y usamos una notación especial para él: en su lugar, escribimos.

¿A qué es igual? Por supuesto, .

La derivada del logaritmo natural también es muy sencilla:

Ejemplos:

1. Encuentra la derivada de la función.
2. ¿Cuál es la derivada de la función?

Respuestas: Los logaritmos exponencial y natural son funciones singularmente simples desde una perspectiva derivativa. Las funciones exponenciales y logarítmicas con cualquier otra base tendrán una derivada diferente, que analizaremos más adelante, después de repasar las reglas de derivación.

Reglas de diferenciación

¿Reglas de qué? ¡¿Otra vez un nuevo término, otra vez?!...

Diferenciación es el proceso de encontrar la derivada.

Eso es todo. ¿Cómo más se puede llamar a este proceso en una palabra? No derivada... Los matemáticos llaman diferencial al mismo incremento de una función en. Este término proviene del latín diferencial - diferencia. Aquí.

Al derivar todas estas reglas, usaremos dos funciones, por ejemplo, y. También necesitaremos fórmulas para sus incrementos:

Hay 5 reglas en total.

La constante se quita del signo de la derivada.

Si - algún número constante (constante), entonces.

Obviamente, esta regla también sirve para la diferencia: .

Demostrémoslo. Déjalo así, o más sencillo.

Ejemplos.

Encuentra las derivadas de las funciones:

1. en un punto;
2. en un punto;
3. en un punto;
4. en el punto.

Soluciones:

1. (la derivada es la misma en todos los puntos, ya que es una función lineal, ¿recuerdas?);

Derivado del producto

Aquí todo es similar: introduzcamos una nueva función y encontremos su incremento:

Derivado:

Ejemplos:

1. Encuentra las derivadas de las funciones y;
2. Encuentra la derivada de la función en un punto.

Soluciones:

Derivada de una función exponencial

Ahora tus conocimientos son suficientes para aprender a encontrar la derivada de cualquier función exponencial, y no sólo de los exponentes (¿ya has olvidado qué es eso?).

Entonces, ¿dónde está algún número?

Ya conocemos la derivada de la función, así que intentemos reducir nuestra función a una nueva base:

Para hacer esto, usaremos una regla simple: . Entonces:

Bueno, funcionó. Ahora intenta encontrar la derivada y no olvides que esta función es compleja.

¿Sucedió?

Aquí, compruébalo tú mismo:

La fórmula resultó ser muy similar a la derivada de un exponente: tal como estaba, sigue igual, solo apareció un factor, que es solo un número, pero no una variable.

Ejemplos:
Encuentra las derivadas de las funciones:

Respuestas:

Este es solo un número que no se puede calcular sin una calculadora, es decir, no se puede escribir de una forma más simple. Por tanto, lo dejamos así en la respuesta.

Tenga en cuenta que aquí está el cociente de dos funciones, por lo que aplicamos la regla de diferenciación correspondiente:

En este ejemplo, el producto de dos funciones:

Derivada de una función logarítmica

Aquí es similar: ya conoces la derivada del logaritmo natural:

Por tanto, para encontrar un logaritmo arbitrario con diferente base, por ejemplo:

Necesitamos reducir este logaritmo a la base. ¿Cómo se cambia la base de un logaritmo? Espero que recuerdes esta fórmula:

Sólo que ahora escribiremos en su lugar:

El denominador es simplemente una constante (un número constante, sin variable). La derivada se obtiene de forma muy sencilla:

Las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas casi nunca se encuentran en el Examen Estatal Unificado, pero no será superfluo conocerlas.

Derivada de una función compleja.

¿Qué es una "función compleja"? No, esto no es un logaritmo ni un arcotangente. Estas funciones pueden ser difíciles de entender (aunque si te resulta difícil el logaritmo, lee el tema “Logaritmos” y estarás bien), pero desde un punto de vista matemático, la palabra “complejo” no significa “difícil”.

Imaginemos una pequeña cinta transportadora: dos personas están sentadas y realizan algunas acciones con algunos objetos. Por ejemplo, el primero envuelve una barra de chocolate en un envoltorio y el segundo la ata con una cinta. El resultado es un objeto compuesto: una barra de chocolate envuelta y atada con una cinta. Para comer una barra de chocolate, debes realizar los pasos inversos en orden inverso.

Creemos una tubería matemática similar: primero encontraremos el coseno de un número y luego elevaremos al cuadrado el número resultante. Entonces, nos dan un número (chocolate), encuentro su coseno (envoltorio) y luego elevas al cuadrado lo que obtuve (lo atas con una cinta). ¿Qué pasó? Función. Este es un ejemplo de función compleja: cuando, para encontrar su valor, realizamos la primera acción directamente con la variable, y luego una segunda acción con lo resultante de la primera.

En otras palabras, una función compleja es una función cuyo argumento es otra función: .

Para nuestro ejemplo, .

Podemos hacer fácilmente los mismos pasos en orden inverso: primero lo elevas al cuadrado y luego busco el coseno del número resultante: . Es fácil adivinar que el resultado casi siempre será diferente. Una característica importante de las funciones complejas: cuando cambia el orden de las acciones, la función cambia.

Segundo ejemplo: (lo mismo). .

La acción que hagamos en último lugar se llamará función "externa", y la acción realizada primero, en consecuencia función "interna"(Estos son nombres informales, los uso sólo para explicar el material en un lenguaje sencillo).

Intente determinar usted mismo qué función es externa y cuál interna:

Respuestas: Separar funciones internas y externas es muy similar a cambiar variables: por ejemplo, en una función

1. ¿Qué acción realizaremos primero? Primero, calculemos el seno y solo luego lo elevamos al cubo. Esto quiere decir que es una función interna, pero externa.
   Y la función original es su composición: .
2. Interno: ; externo: .
   Examen: .
3. Interno: ; externo: .
   Examen: .
4. Interno: ; externo: .
   Examen: .
5. Interno: ; externo: .
   Examen: .

Cambiamos variables y obtenemos una función.

Bueno, ahora extraeremos nuestra barra de chocolate y buscaremos el derivado. El procedimiento siempre es inverso: primero buscamos la derivada de la función exterior, luego multiplicamos el resultado por la derivada de la función interior. En relación con el ejemplo original, se ve así:

Otro ejemplo:

Entonces, finalmente formulemos la regla oficial:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

Parece sencillo, ¿verdad?

Comprobemos con ejemplos:

Soluciones:

1) Interno: ;

Externo: ;

2) Interno: ;

(¡Pero no intentes cortarlo ahora! No sale nada de debajo del coseno, ¿recuerdas?)

3) Interno: ;

Externo: ;

Inmediatamente queda claro que esta es una función compleja de tres niveles: después de todo, esto ya es una función compleja en sí misma, y ​​​​también le extraemos la raíz, es decir, realizamos la tercera acción (poner el chocolate en un envoltorio y con una cinta en el maletín). Pero no hay por qué tener miedo: todavía “desempaquetaremos” esta función en el mismo orden habitual: desde el final.

Es decir, primero derivamos la raíz, luego el coseno y solo luego la expresión entre paréntesis. Y luego lo multiplicamos todo.

En tales casos conviene numerar las acciones. Es decir, imaginemos lo que sabemos. ¿En qué orden realizaremos acciones para calcular el valor de esta expresión? Veamos un ejemplo:

Cuanto más tarde se realice la acción, más "externa" será la función correspondiente. La secuencia de acciones es la misma que antes:

Aquí el anidamiento suele ser de 4 niveles. Determinemos el curso de acción.

1. Expresión radical. .

2. Raíz. .

3. Seno. .

4. Cuadrado. .

5. Poniéndolo todo junto:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Derivada de una función- la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento para un incremento infinitesimal del argumento:

Derivados básicos:

Reglas de diferenciación:

La constante se saca del signo de la derivada:

Derivada de la suma:

Derivado del producto:

Derivada del cociente:

Derivada de una función compleja:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

1. Definimos la función "interna" y encontramos su derivada.
2. Definimos la función "externa" y encontramos su derivada.
3. Multiplicamos los resultados del primer y segundo punto.

Al diferenciar funciones de potencia exponenciales o expresiones fraccionarias engorrosas, es conveniente utilizar la derivada logarítmica. En este artículo veremos ejemplos de su aplicación con soluciones detalladas.

Una presentación adicional asume la capacidad de utilizar la tabla de derivadas, reglas de diferenciación y conocimiento de la fórmula para la derivada de una función compleja.

Derivación de la fórmula de la derivada logarítmica.

Primero, llevamos logaritmos a base e, simplificamos la forma de la función usando las propiedades del logaritmo y luego encontramos la derivada de la función especificada implícitamente:

Por ejemplo, encontremos la derivada de una función potencia exponencial x elevada a la potencia x.

Al tomar logaritmos se obtiene . Según las propiedades del logaritmo. Diferenciando ambos lados de la igualdad se obtiene el resultado:

Respuesta: .

El mismo ejemplo se puede resolver sin utilizar la derivada logarítmica. Puedes realizar algunas transformaciones y pasar de derivar una función potencia exponencial a encontrar la derivada de una función compleja:

Ejemplo.

Encuentra la derivada de una función. .

Solución.

En este ejemplo la función es una fracción y su derivada se puede encontrar usando las reglas de diferenciación. Pero debido a lo engorroso de la expresión, esto requerirá muchas transformaciones. En tales casos, es más razonable utilizar la fórmula de la derivada logarítmica . ¿Por qué? Lo entenderás ahora.

Encontrémoslo primero. En transformaciones usaremos las propiedades del logaritmo (el logaritmo de una fracción es igual a la diferencia de logaritmos, y el logaritmo de un producto es igual a la suma de logaritmos, y el grado de la expresión bajo el signo del logaritmo puede ser sacado como coeficiente delante del logaritmo):

Estas transformaciones nos llevaron a una expresión bastante simple, cuya derivada es fácil de encontrar:

Sustituimos el resultado obtenido en la fórmula por la derivada logarítmica y obtenemos la respuesta:

Para consolidar el material, daremos un par de ejemplos más sin explicaciones detalladas.

Ejemplo.

Encuentra la derivada de una función de potencia exponencial.

Derivación de la fórmula para la derivada de una función potencia (x elevado a a). Se consideran las derivadas de raíces de x. Fórmula para la derivada de una función potencia de orden superior. Ejemplos de cálculo de derivadas.

Contenido

Ver también: Función de potencia y raíces, fórmulas y gráfica.
Gráficos de funciones de potencia

Fórmulas básicas

La derivada de x elevado a a es igual a a multiplicado por x elevado a a menos uno:
(1) .

La derivada de la raíz enésima de x elevada a la mésima es:
(2) .

Derivación de la fórmula para la derivada de una función de potencia.

Caso x > 0

Considere una función potencia de la variable x con exponente a:
(3) .
Aquí a es un número real arbitrario. Consideremos primero el caso.

Para encontrar la derivada de la función (3), usamos las propiedades de una función potencia y la transformamos a la siguiente forma:
.

Ahora encontramos la derivada usando:
;
.
Aquí .

La fórmula (1) ha sido probada.

Derivación de la fórmula para la derivada de una raíz de grado n de x al grado de m

Ahora considere una función que es la raíz de la siguiente forma:
(4) .

Para encontrar la derivada, transformamos la raíz a una función potencia:
.
Comparando con la fórmula (3) vemos que
.
Entonces
.

Usando la fórmula (1) encontramos la derivada:
(1) ;
;
(2) .

En la práctica, no es necesario memorizar la fórmula (2). Es mucho más conveniente transformar primero las raíces en funciones potencias y luego encontrar sus derivadas usando la fórmula (1) (ver ejemplos al final de la página).

Caso x = 0

Si , entonces la función potencia está definida para el valor de la variable x = 0 . Encontremos la derivada de la función (3) en x = 0 . Para hacer esto, usamos la definición de derivada:
.

Sustituyamos x = 0 :
.
En este caso, por derivada nos referimos al límite derecho para el cual .

Entonces encontramos:
.
De esto queda claro que para , .
En , .
En , .
Este resultado también se obtiene de la fórmula (1):
(1) .
Por lo tanto, la fórmula (1) también es válida para x = 0 .

Caso x< 0

Considere la función (3) nuevamente:
(3) .
Para determinados valores de la constante a, también se define para valores negativos de la variable x. Es decir, sea a un número racional. Entonces se puede representar como una fracción irreducible:
,
donde m y n son números enteros que no tienen un divisor común.

Si n es impar, entonces la función de potencia también se define para valores negativos de la variable x. Por ejemplo, cuando n = 3 y metro = 1 tenemos la raíz cúbica de x:
.
También se define para valores negativos de la variable x.

Encontremos la derivada de la función potencia (3) para y para valores racionales de la constante a para la que está definida. Para hacer esto, representemos x de la siguiente forma:
.
Entonces ,
.
Encontramos la derivada colocando la constante fuera del signo de la derivada y aplicando la regla para derivar una función compleja:

.
Aquí . Pero
.
Desde entonces
.
Entonces
.
Es decir, la fórmula (1) también es válida para:
(1) .

Derivados de orden superior

Ahora encontremos derivadas de orden superior de la función de potencia.
(3) .
Ya hemos encontrado la derivada de primer orden:
.

Tomando la constante a fuera del signo de la derivada, encontramos la derivada de segundo orden:
.
De manera similar, encontramos derivadas de tercer y cuarto orden:
;

.

De esto queda claro que derivada de enésimo orden arbitrario tiene la siguiente forma:
.

Darse cuenta de si a es un número natural, entonces la enésima derivada es constante:
.
Entonces todas las derivadas posteriores son iguales a cero:
,
en .

Ejemplos de cálculo de derivados.

Ejemplo

Encuentra la derivada de la función:
.

Convirtamos raíces en potencias:
;
.
Entonces la función original toma la forma:
.

Encontrar derivadas de potencias:
;
.
La derivada de la constante es cero:
.

Derivados complejos. Derivada logarítmica.
Derivada de una función exponencial de potencia

Seguimos mejorando nuestra técnica de diferenciación. En esta lección, consolidaremos el material que hemos cubierto, veremos derivadas más complejas y también nos familiarizaremos con nuevas técnicas y trucos para encontrar una derivada, en particular, con la derivada logarítmica.

Aquellos lectores que tengan un nivel bajo de preparación deben consultar el artículo. ¿Cómo encontrar la derivada? Ejemplos de soluciones, que te permitirá mejorar tus habilidades casi desde cero. A continuación, debes estudiar detenidamente la página. Derivada de una función compleja, comprender y resolver Todo los ejemplos que di. Esta lección es lógicamente la tercera consecutiva y, una vez dominada, podrás diferenciar con seguridad funciones bastante complejas. No es deseable adoptar la posición de “¿Dónde más? ¡Ya es suficiente!”, ya que todos los ejemplos y soluciones provienen de pruebas reales y se encuentran a menudo en la práctica.

Empecemos por la repetición. En la lección Derivada de una función compleja Analizamos una serie de ejemplos con comentarios detallados. En el curso del estudio del cálculo diferencial y otras ramas del análisis matemático, tendrá que diferenciar muy a menudo, y no siempre es conveniente (ni siempre necesario) describir ejemplos con gran detalle. Por lo tanto, practicaremos cómo encontrar derivadas de forma oral. Los "candidatos" más adecuados para esto son los derivados de las funciones complejas más simples, por ejemplo:

Según la regla de diferenciación de funciones complejas. :

Al estudiar otros temas de matan en el futuro, la mayoría de las veces no se requiere una grabación tan detallada; se supone que el estudiante sabe cómo encontrar tales derivados en piloto automático. Imaginemos que a las 3 de la mañana suena el teléfono y una voz agradable pregunta: “¿Cuál es la derivada de la tangente de dos X?” A esto debería seguirle una respuesta casi instantánea y educada: .

El primer ejemplo estará destinado inmediatamente a una solución independiente.

Ejemplo 1

Encuentra las siguientes derivadas de forma oral, en una acción, por ejemplo: . Para completar la tarea solo necesitas usar tabla de derivadas de funciones elementales(si aún no lo has recordado). Si tiene alguna dificultad, le recomiendo releer la lección. Derivada de una función compleja.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Respuestas al final de la lección.

Derivados complejos

Después de la preparación preliminar de la artillería, los ejemplos con 3-4-5 funciones anidadas darán menos miedo. Los siguientes dos ejemplos pueden parecer complicados para algunos, pero si los comprende (alguien sufrirá), casi todo lo demás en cálculo diferencial le parecerá una broma de niños.

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función.

Como ya se señaló, al encontrar la derivada de una función compleja, en primer lugar es necesario Bien ENTIENDA sus inversiones. En caso de dudas, os recuerdo una técnica útil: tomamos el valor experimental de “x”, por ejemplo, e intentamos (mentalmente o en un borrador) sustituir este valor en la “expresión terrible”.

1) Primero necesitamos calcular la expresión, lo que significa que la suma es la incrustación más profunda.

2) Entonces necesitas calcular el logaritmo:

4) Luego eleva al cubo el coseno:

5) En el quinto paso la diferencia:

6) Y finalmente, la función más externa es la raíz cuadrada:

Fórmula para diferenciar una función compleja. se aplican en orden inverso, desde la función más externa a la más interna. Nosotros decidimos:

Parece que no hay errores...

(1) Calcula la derivada de la raíz cuadrada.

(2) Tomamos la derivada de la diferencia usando la regla

(3) La derivada de un triple es cero. En el segundo término tomamos la derivada del grado (cubo).

(4) Calcula la derivada del coseno.

(5) Tome la derivada del logaritmo.

(6) Y finalmente, tomamos la derivada de la incrustación más profunda.

Puede parecer demasiado difícil, pero éste no es el ejemplo más brutal. Tomemos, por ejemplo, la colección de Kuznetsov y apreciaremos toda la belleza y sencillez del derivado analizado. Me di cuenta de que les gusta dar algo similar en un examen para comprobar si un estudiante entiende cómo encontrar la derivada de una función compleja o no.

El siguiente ejemplo es para que lo resuelvas por tu cuenta.

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de una función.

Sugerencia: Primero aplicamos las reglas de linealidad y la regla de diferenciación de productos.

Solución completa y respuesta al final de la lección.

Es hora de pasar a algo más pequeño y mejor.
No es raro que un ejemplo muestre el producto no de dos, sino de tres funciones. ¿Cómo encontrar la derivada del producto de tres factores?

Ejemplo 4

Encuentra la derivada de una función.

Primero miramos, ¿es posible convertir el producto de tres funciones en el producto de dos funciones? Por ejemplo, si tuviéramos dos polinomios en el producto, entonces podríamos abrir los paréntesis. Pero en el ejemplo que estamos considerando, todas las funciones son diferentes: grado, exponente y logaritmo.

En tales casos es necesario secuencialmente aplicar la regla de diferenciación de productos dos veces

El truco es que por "y" denotamos el producto de dos funciones: y por "ve" denotamos el logaritmo: . ¿Por qué se puede hacer esto? Es realmente – ¡¿Esto no es producto de dos factores y la regla no funciona?! No hay nada complicado:

Ahora queda aplicar la regla por segunda vez. al paréntesis:

También puede torcerse y poner algo entre paréntesis, pero en este caso es mejor dejar la respuesta exactamente en esta forma; así será más fácil de verificar.

El ejemplo considerado se puede resolver de la segunda forma:

Ambas soluciones son absolutamente equivalentes.

Ejemplo 5

Encuentra la derivada de una función.

Este es un ejemplo de solución independiente; en el ejemplo se resuelve utilizando el primer método.

Veamos ejemplos similares con fracciones.

Ejemplo 6

Encuentra la derivada de una función.

Hay varias formas de hacerlo aquí:

O así:

Pero la solución se escribirá de forma más compacta si usamos primero la regla de derivación del cociente. , tomando para el numerador completo:

En principio el ejemplo está solucionado, y si se deja como está no será error. Pero si se tiene tiempo, siempre es recomendable consultar un borrador para ver si la respuesta se puede simplificar. Reduzcamos la expresión del numerador a un denominador común y deshagámonos de la fracción de tres pisos:

La desventaja de simplificaciones adicionales es que existe el riesgo de cometer un error no al encontrar la derivada, sino durante las transformaciones escolares banales. Por otro lado, los profesores suelen rechazar la tarea y piden “recordar” la derivada.

Un ejemplo más sencillo para resolver por tu cuenta:

Ejemplo 7

Encuentra la derivada de una función.

Seguimos dominando los métodos para encontrar la derivada y ahora consideraremos un caso típico en el que se propone el logaritmo "terrible" para la diferenciación.

Ejemplo 8

Encuentra la derivada de una función.

Aquí puedes recorrer el camino más largo, utilizando la regla para derivar una función compleja:

Pero el primer paso te sumerge inmediatamente en el desaliento: hay que sacar la desagradable derivada de una potencia fraccionaria y luego también de una fracción.

Es por eso antes Cómo tomar la derivada de un logaritmo "sofisticado", primero se simplifica utilizando propiedades escolares bien conocidas:

! Si tienes un cuaderno de práctica a mano, copia estas fórmulas directamente allí. Si no tienes un cuaderno, cópialos en una hoja de papel, ya que el resto de ejemplos de la lección girarán en torno a estas fórmulas.

La solución en sí se puede escribir así:

Transformemos la función:

Encontrar la derivada:

La conversión previa de la función en sí simplificó enormemente la solución. Así, cuando se propone un logaritmo similar para la derivación, siempre es aconsejable “descomponerlo”.

Y ahora un par de ejemplos sencillos para que los resuelvas por tu cuenta:

Ejemplo 9

Encuentra la derivada de una función.

Ejemplo 10

Encuentra la derivada de una función.

Todas las transformaciones y respuestas se encuentran al final de la lección.

Derivada logarítmica

Si la derivada de los logaritmos es una música tan dulce, entonces surge la pregunta: ¿es posible en algunos casos organizar el logaritmo artificialmente? ¡Poder! E incluso necesario.

Ejemplo 11

Encuentra la derivada de una función.

Recientemente analizamos ejemplos similares. ¿Qué hacer? Puedes aplicar secuencialmente la regla de derivación del cociente y luego la regla de derivación del producto. La desventaja de este método es que terminas con una enorme fracción de tres pisos, con la que no quieres lidiar en absoluto.

Pero en teoría y en la práctica existe algo tan maravilloso como la derivada logarítmica. Los logaritmos se pueden organizar artificialmente “colgándolos” por ambos lados:

Nota : porque una función puede tomar valores negativos, entonces, en términos generales, es necesario utilizar módulos: , que desaparecerá como resultado de la diferenciación. Sin embargo, también es aceptable el diseño actual, donde por defecto se tiene en cuenta complejo significados. Pero con todo rigor, en ambos casos debería hacerse la reserva de que.

Ahora necesitas "desintegrar" el logaritmo del lado derecho tanto como sea posible (¿fórmulas ante tus ojos?). Describiré este proceso con gran detalle:

Empecemos por la diferenciación.
Concluimos ambas partes bajo la prima:

La derivada del lado derecho es bastante simple; no la comentaré porque si estás leyendo este texto, deberías poder manejarlo con confianza.

¿Qué pasa con el lado izquierdo?

En el lado izquierdo tenemos función compleja. Preveo la pregunta: "¿Por qué hay una letra "Y" debajo del logaritmo?"

El hecho es que este "juego de una letra" - ES EN MISMA UNA FUNCIÓN(si no queda muy claro, consulte el artículo Derivada de una función especificada implícitamente). Por tanto, el logaritmo es una función externa y la “y” es una función interna. Y usamos la regla para derivar una función compleja. :

En el lado izquierdo, como por arte de magia, tenemos una derivada. A continuación, según la regla de proporción, transferimos la “y” del denominador del lado izquierdo a la parte superior del lado derecho:

¿Y ahora recordemos de qué tipo de función de “jugador” hablamos durante la diferenciación? Veamos la condición:

Respuesta final:

Ejemplo 12

Encuentra la derivada de una función.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Al final de la lección se encuentra un diseño de muestra de un ejemplo de este tipo.

Usando la derivada logarítmica se pudo resolver cualquiera de los ejemplos No. 4-7, otra cosa es que las funciones allí son más simples y, quizás, el uso de la derivada logarítmica no esté muy justificado.

Derivada de una función exponencial de potencia

Aún no hemos considerado esta función. Una función exponencial de potencia es una función para la cual tanto el grado como la base dependen de la “x”. Un ejemplo clásico que se le dará en cualquier libro de texto o conferencia:

¿Cómo encontrar la derivada de una función exponencial de potencia?

Es necesario utilizar la técnica que acabamos de comentar: la derivada logarítmica. Colgamos logaritmos en ambos lados:

Como regla general, en el lado derecho se resta el grado de debajo del logaritmo:

Como resultado, en el lado derecho tenemos el producto de dos funciones, las cuales serán diferenciadas según la fórmula estándar .

Hallamos la derivada, para ello encerramos ambas partes bajo trazos:

Otras acciones son simples:

Finalmente:

Si alguna conversión no queda del todo clara, vuelva a leer atentamente las explicaciones del Ejemplo No. 11.

En las tareas prácticas, la función exponencial de potencia siempre será más complicada que el ejemplo presentado en la conferencia.

Ejemplo 13

Encuentra la derivada de una función.

Usamos la derivada logarítmica.

En el lado derecho tenemos una constante y el producto de dos factores: "x" y "logaritmo del logaritmo x" (otro logaritmo está anidado debajo del logaritmo). Al derivar, como recordamos, es mejor sacar inmediatamente la constante del signo de la derivada para que no estorbe; y, por supuesto, aplicamos la conocida regla :