Plano de coordenadas con coordenadas. Planos de coordenadas y gráficos.

Las matemáticas son una ciencia bastante compleja. Al estudiarlo, uno no solo tiene que resolver ejemplos y problemas, sino también trabajar con varias figuras e incluso planos. Uno de los más utilizados en matemáticas es el sistema de coordenadas en el plano. A los niños se les ha enseñado cómo trabajar con él correctamente durante más de un año. Por eso, es importante saber qué es y cómo trabajar con él correctamente.

Averigüemos qué es este sistema, qué acciones puede realizar con él y también descubramos sus principales características y características.

Definición del concepto

Un plano de coordenadas es un plano en el que se define un sistema de coordenadas determinado. Tal plano está definido por dos líneas rectas que se cortan en ángulo recto. El punto de intersección de estas líneas es el origen de coordenadas. Cada punto en el plano de coordenadas está dado por un par de números, que se llaman coordenadas.

En un curso de matemáticas de la escuela, los estudiantes tienen que trabajar muy de cerca con un sistema de coordenadas: construir figuras y puntos en él, determinar a qué plano pertenece una coordenada particular y también determinar las coordenadas de un punto y escribirlas o nombrarlas. Por lo tanto, hablemos con más detalle sobre todas las características de las coordenadas. Pero primero, toquemos la historia de la creación y luego hablaremos sobre cómo trabajar en el plano de coordenadas.

referencia histórica

Las ideas sobre la creación de un sistema de coordenadas datan de los días de Ptolomeo. Incluso entonces, los astrónomos y los matemáticos estaban pensando en cómo aprender a establecer la posición de un punto en un plano. Desafortunadamente, en ese momento no conocíamos ningún sistema de coordenadas y los científicos tuvieron que usar otros sistemas.

Inicialmente, establecen puntos especificando la latitud y la longitud. Durante mucho tiempo fue una de las formas más utilizadas de mapear tal o cual información. Pero en 1637, René Descartes creó su propio sistema de coordenadas, más tarde llamado "cartesiano".

Ya a finales del siglo XVII. el concepto de "plano de coordenadas" se ha vuelto muy utilizado en el mundo de las matemáticas. A pesar de que han pasado varios siglos desde la creación de este sistema, todavía se usa mucho en las matemáticas e incluso en la vida.

Ejemplos de plano de coordenadas

Antes de hablar de la teoría, daremos algunos ejemplos ilustrativos del plano de coordenadas para que puedas imaginarlo. El sistema de coordenadas se utiliza principalmente en el ajedrez. En el tablero, cada cuadrado tiene sus propias coordenadas: una coordenada de letras, la segunda, digital. Con su ayuda, puedes determinar la posición de una pieza en particular en el tablero.

El segundo ejemplo más llamativo es el amado juego "Battleship". Recuerda cómo, al jugar, nombras una coordenada, por ejemplo, B3, indicando así exactamente hacia dónde apuntas. Al mismo tiempo, al colocar los barcos, establece puntos en el plano de coordenadas.

Este sistema de coordenadas se usa ampliamente no solo en matemáticas, juegos lógicos, sino también en asuntos militares, astronomía, física y muchas otras ciencias.

Ejes de coordenadas

Como ya se mencionó, se distinguen dos ejes en el sistema de coordenadas. Hablemos un poco de ellos, ya que son de considerable importancia.

El primer eje, la abscisa, es horizontal. Se denota como ( Buey). El segundo eje es la ordenada, que pasa verticalmente por el punto de referencia y se denota como ( Oye). Son estos dos ejes los que forman el sistema de coordenadas, dividiendo el plano en cuatro cuartos. El origen se encuentra en el punto de intersección de estos dos ejes y toma el valor 0 . Sólo si el plano está formado por dos ejes que se cortan perpendicularmente y tienen un punto de referencia, es un plano de coordenadas.

También tenga en cuenta que cada uno de los ejes tiene su propia dirección. Por lo general, cuando se construye un sistema de coordenadas, se acostumbra indicar la dirección del eje en forma de flecha. Además, al construir el plano de coordenadas, se firma cada uno de los ejes.

cuarteles

Ahora digamos algunas palabras sobre un concepto como cuartos del plano de coordenadas. El plano está dividido por dos ejes en cuatro cuartos. Cada uno de ellos tiene su propio número, mientras que la numeración de los planos es en sentido contrario a las agujas del reloj.

Cada uno de los barrios tiene sus propias características. Entonces, en el primer cuarto, la abscisa y la ordenada son positivas, en el segundo cuarto, la abscisa es negativa, la ordenada es positiva, en el tercero, tanto la abscisa como la ordenada son negativas, en el cuarto, la abscisa es positivo y la ordenada es negativa.

Al recordar estas características, puede determinar fácilmente a qué trimestre pertenece un punto en particular. Además, esta información te puede ser útil si tienes que hacer cálculos usando el sistema cartesiano.

Trabajando con el plano de coordenadas

Cuando hayamos tratado el concepto de un plano y hayamos hablado sobre sus cuartos, podemos pasar a un problema como trabajar con este sistema, y ​​también hablar sobre cómo poner puntos, coordenadas de figuras en él. En el plano de coordenadas, esto no es tan difícil como podría parecer a primera vista.

En primer lugar, se construye el sistema en sí, se le aplican todas las designaciones importantes. Luego está el trabajo directo con puntos o figuras. En este caso, incluso al construir figuras, primero se aplican puntos al plano y luego las figuras ya están dibujadas.

Reglas para construir un avión.

Si decide comenzar a marcar formas y puntos en papel, necesitará un plano de coordenadas. En él se trazan las coordenadas de los puntos. Para construir un plano de coordenadas, solo necesitas una regla y un bolígrafo o lápiz. Primero, se dibuja la abscisa horizontal, luego la ordenada vertical. Es importante recordar que los ejes se cortan en ángulo recto.

El siguiente elemento obligatorio es el marcado. Unidades-segmentos están marcados y firmados en cada uno de los ejes en ambas direcciones. Esto se hace para que luego pueda trabajar con el avión con la máxima comodidad.

Marcando un punto

Ahora hablemos de cómo trazar las coordenadas de los puntos en el plano de coordenadas. Estos son los conceptos básicos que necesita saber para colocar con éxito una variedad de formas en el plano e incluso marcar ecuaciones.

Al construir puntos, uno debe recordar cómo se registran correctamente sus coordenadas. Entonces, generalmente estableciendo un punto, se escriben dos números entre paréntesis. El primer dígito indica la coordenada del punto a lo largo del eje de abscisas, el segundo, a lo largo del eje de ordenadas.

El punto debe construirse de esta manera. Marcar en el eje primero Buey punto dado, luego marque un punto en el eje Oye. Luego, dibuje líneas imaginarias a partir de estas designaciones y encuentre el lugar de su intersección; este será el punto dado.

Todo lo que tienes que hacer es marcarlo y firmarlo. Como puede ver, todo es bastante simple y no requiere habilidades especiales.

Colocar una forma

Ahora pasemos a una pregunta como la construcción de figuras en el plano de coordenadas. Para construir cualquier figura en el plano de coordenadas, debes saber cómo colocar puntos en él. Si sabe cómo hacer esto, entonces colocar una figura en un plano no es tan difícil.

En primer lugar, necesitarás las coordenadas de los puntos de la figura. Es sobre ellos que aplicaremos los que ha elegido a nuestro sistema de coordenadas Consideremos dibujar un rectángulo, un triángulo y un círculo.

Comencemos con un rectángulo. Aplicarlo es bastante fácil. Primero, se aplican cuatro puntos al plano, indicando las esquinas del rectángulo. Entonces todos los puntos se conectan secuencialmente entre sí.

Dibujar un triángulo no es diferente. Lo único es que tiene tres esquinas, lo que significa que se aplican tres puntos al plano, que denotan sus vértices.

Respecto al círculo, aquí debes saber las coordenadas de dos puntos. El primer punto es el centro del círculo, el segundo es el punto que indica su radio. Estos dos puntos están trazados en un plano. Luego se toma una brújula, se mide la distancia entre dos puntos. La punta de la brújula se coloca en un punto que indica el centro y se describe un círculo.

Como puede ver, aquí tampoco hay nada complicado, lo principal es que siempre hay una regla y un compás a mano.

Ahora ya sabe cómo trazar coordenadas de formas. En el plano de coordenadas, esto no es tan difícil de hacer, como podría parecer a primera vista.

conclusiones

Entonces, hemos considerado con ustedes uno de los conceptos más interesantes y básicos de las matemáticas con los que todo estudiante tiene que lidiar.

Hemos descubierto que el plano de coordenadas es el plano formado por la intersección de dos ejes. Con su ayuda, puede establecer las coordenadas de los puntos, ponerles formas. El avión está dividido en cuartos, cada uno de los cuales tiene sus propias características.

La habilidad principal que debe desarrollarse cuando se trabaja con el plano de coordenadas es la capacidad de trazar correctamente puntos dados en él. Para hacer esto, debe conocer la ubicación correcta de los ejes, las características de los cuartos, así como las reglas por las cuales se establecen las coordenadas de los puntos.

Esperamos que la información proporcionada por nosotros haya sido accesible y comprensible, y también haya sido útil para usted y haya ayudado a comprender mejor este tema.

El tema de esta lección en video: Plano coordinado.

Metas y objetivos de la lección:

familiarizado con sistema de coordenadas rectangulares en el plano
- aprender a navegar libremente en el plano de coordenadas
- construir puntos de acuerdo con sus coordenadas dadas
- determinar las coordenadas de un punto marcado en el plano de coordenadas
- percibir bien las coordenadas de oído
- realizar con precisión y precisión construcciones geométricas
- desarrollo de habilidades creativas
- aumentar el interés por el tema

El término " coordenadas"Derivado de la palabra latina -" ordenado "

Para indicar la posición de un punto en un plano, se toman dos rectas perpendiculares X e Y.

eje x - abscisa
eje Y eje y
Punto O - origen

El plano en el que se da el sistema de coordenadas se llama Plano coordinado.

Cada punto M en el plano de coordenadas corresponde a un par de números: su abscisa y su ordenada. Por el contrario, cada par de números corresponde a un punto del plano para el cual estos números son coordenadas.

Ejemplos considerados:

• construyendo un punto por sus coordenadas
• encontrar las coordenadas de un punto ubicado en el plano de coordenadas

Alguna información adicional:

La idea de establecer la posición de un punto en un plano se originó en la antigüedad, principalmente entre los astrónomos. En el siglo II. El antiguo astrónomo griego Claudio Ptolomeo utilizó la latitud y la longitud como coordenadas. Se dio una descripción del uso de coordenadas en el libro "Geometría" en 1637.

La descripción del uso de las coordenadas se dio en el libro "Geometría" en 1637 por el matemático francés René Descartes, por lo que el sistema de coordenadas rectangulares a menudo se denomina cartesiano.

Las palabras " abscisa», « ordenada», « coordenadas» primero comenzó a utilizar a finales del XVII.

Para una mejor comprensión del plano de coordenadas, imaginemos que nos dan: un globo geográfico, un tablero de ajedrez, una entrada de teatro.

Para determinar la posición de un punto en la superficie terrestre, necesitas saber la longitud y la latitud.
Para determinar la posición de una pieza en un tablero de ajedrez, necesita conocer dos coordenadas, por ejemplo: e3.
Los asientos en el auditorio están determinados por dos coordenadas: fila y asiento.

Tarea adicional.

Después de estudiar la lección en video, para consolidar el material, le sugiero que tome un bolígrafo y una hoja de papel en una caja, dibuje un plano de coordenadas y construya formas de acuerdo con las coordenadas dadas:

Hongo
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
pequeño ratón 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Cola: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Ojo: (- 1; 5).
Cisne
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Pico: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Ala: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Ojo: (0; 7).
Camello
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Ojo: (- 6; 7).
Elefante
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Ojos: (2; 4), (6; 4).
Caballo
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Ojo: (- 2; 7).

Un sistema de coordenadas rectangulares en un plano está formado por dos ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares X'X e Y'Y. Los ejes de coordenadas se cortan en el punto O, que se denomina origen de coordenadas, se elige una dirección positiva en cada eje. La dirección positiva de los ejes (en el sistema de coordenadas de la mano derecha) se elige de modo que cuando el eje X'X se gira en sentido contrario a las agujas del reloj 90 °, su dirección positiva coincide con la dirección positiva del eje Y'Y. Los cuatro ángulos (I, II, III, IV) formados por los ejes de coordenadas X'X e Y'Y se denominan ángulos de coordenadas (ver Fig. 1).

La posición del punto A en el plano está determinada por dos coordenadas x e y. La coordenada x es igual a la longitud del segmento OB, la coordenada y es la longitud del segmento OC en las unidades seleccionadas. Los segmentos OB y ​​OC están definidos por líneas trazadas desde el punto A paralelas a los ejes Y'Y y X'X, respectivamente. La coordenada x se llama abscisa del punto A, la coordenada y se llama ordenada del punto A. Lo escriben así: A (x, y).

Si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado I, entonces el punto A tiene abscisas y ordenadas positivas. Si el punto A se encuentra en el ángulo de coordenadas II, entonces el punto A tiene una abscisa negativa y una ordenada positiva. Si el punto A se encuentra en el ángulo de coordenadas III, entonces el punto A tiene abscisas y ordenadas negativas. Si el punto A se encuentra en el ángulo de coordenadas IV, entonces el punto A tiene una abscisa positiva y una ordenada negativa.

Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio está formado por tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí OX, OY y OZ. Los ejes de coordenadas se cortan en el punto O, que se llama origen, en cada eje se elige el sentido positivo que indican las flechas, y la unidad de medida de los segmentos en los ejes. Las unidades de medida son las mismas para todos los ejes. OX - eje de abscisas, OY - eje de ordenadas, OZ - eje aplicado. La dirección positiva de los ejes se elige de manera que cuando el eje OX se gira 90° en sentido antihorario, su dirección positiva coincide con la dirección positiva del eje OY, si esta rotación se observa desde el lado de la dirección positiva del eje OZ. . Tal sistema de coordenadas se llama recto. Si el pulgar de la mano derecha se toma como la dirección X, el dedo índice como la dirección Y y el dedo medio como la dirección Z, entonces se forma un sistema de coordenadas correcto. Dedos similares de la mano izquierda forman el sistema de coordenadas izquierdo. Los sistemas de coordenadas derecho e izquierdo no se pueden combinar para que los ejes correspondientes coincidan (ver Fig. 2).

La posición del punto A en el espacio está determinada por tres coordenadas x, y y z. La coordenada x es igual a la longitud del segmento OB, la coordenada y es igual a la longitud del segmento OC, la coordenada z es la longitud del segmento OD en las unidades seleccionadas. Los segmentos OB, OC y OD están definidos por planos trazados desde el punto A paralelos a los planos YOZ, XOZ y XOY, respectivamente. La coordenada x se llama abscisa del punto A, la coordenada y se llama ordenada del punto A, la coordenada z se llama aplicada del punto A. Lo escriben así: A (a, b, c).

horticultura

Un sistema de coordenadas rectangulares (de cualquier dimensión) también se describe mediante un conjunto de orts , codirigidos con los ejes de coordenadas. El número de orts es igual a la dimensión del sistema de coordenadas y todos son perpendiculares entre sí.

En el caso tridimensional, dichos vectores generalmente se denotan i j k o mi X mi y mi z En este caso, en el caso del sistema de coordenadas correcto, son válidas las siguientes fórmulas con el producto vectorial de vectores:

• [i j]=k ;
• [j k]=i ;
• [k i]=j .

Historia

René Descartes fue el primero en introducir un sistema de coordenadas rectangulares en su Discurso del método en 1637. Por lo tanto, el sistema de coordenadas rectangulares también se llama - sistema de coordenadas Cartesianas. El método de coordenadas para describir objetos geométricos sentó las bases para la geometría analítica. Pierre Fermat también contribuyó al desarrollo del método de coordenadas, pero su trabajo se publicó por primera vez después de su muerte. Descartes y Fermat usaron el método de coordenadas solo en el plano.

El método de coordenadas para el espacio tridimensional fue aplicado por primera vez por Leonhard Euler ya en el siglo XVIII.

ver también

Enlaces

Fundación Wikimedia. 2010 .

Vea qué es el "plano de coordenadas" en otros diccionarios:

plano de corte- (Pn) Plano coordenado tangente al filo de corte en el punto considerado y perpendicular al plano base. […

En topografía, red de líneas imaginarias que rodean el globo terráqueo en las direcciones latitudinal y meridional, con las que se puede determinar con precisión la posición de cualquier punto de la superficie terrestre. Las latitudes se miden desde el ecuador: un gran círculo, ... ... Enciclopedia Geográfica

En topografía, red de líneas imaginarias que rodean el globo terráqueo en las direcciones latitudinal y meridional, con las que se puede determinar con precisión la posición de cualquier punto de la superficie terrestre. Las latitudes se miden desde el ecuador del gran círculo, ... ... Enciclopedia Collier

Este término tiene otros significados, ver Diagrama de fase. El plano de fase es un plano de coordenadas en el que se trazan dos variables cualesquiera (coordenadas de fase) a lo largo de los ejes de coordenadas, que determinan de forma única el estado del sistema ... ... Wikipedia

plano de corte principal- (Pτ) Plano de coordenadas perpendicular a la línea de intersección del plano principal y el plano de corte. [GOST 25762 83] Temas de corte Generalización de términos sistemas de planos de coordenadas y planos de coordenadas ... Manual del traductor técnico

plano de corte principal instrumental- (Pτi) Plano de coordenadas perpendicular a la línea de intersección del plano principal instrumental y el plano de corte. [GOST 25762 83] Temas de corte Generalización de términos sistemas de planos de coordenadas y planos de coordenadas ... Manual del traductor técnico

plano de corte de herramientas- (Pni) Plano de coordenadas tangente al filo de corte en el punto en cuestión y perpendicular al plano base del instrumento. [GOST 25762 83] Temas para cortar Términos generales para sistemas de planos de coordenadas y ... ... Manual del traductor técnico

plano de corte principal cinemático- (Pτк) Plano de coordenadas perpendicular a la línea de intersección del plano principal cinemático y el plano de corte... Manual del traductor técnico

plano cinemático de corte- (Rosa) Plano coordenado tangente al filo de corte en el punto considerado y perpendicular al plano base cinemático... Manual del traductor técnico

plano principal- (Pv) Un plano de coordenadas trazado a través del punto considerado del filo de corte perpendicular a la dirección de la velocidad del movimiento de corte principal o neto en ese punto. Nota En el sistema de coordenadas instrumental, la dirección... ... Manual del traductor técnico

Los puntos están "registrados" - "residentes", cada punto tiene su propio "número de casa" - su coordenada. Si el punto se toma en un avión, entonces para su "registro" es necesario indicar no solo el "número de casa", sino también el "número de apartamento". Recuerda cómo se hace esto.

Dibujemos dos líneas de coordenadas perpendiculares entre sí y consideremos que el punto de su intersección, el punto O, es el punto de partida de ambas líneas, por lo tanto, se establece un sistema de coordenadas rectangulares en el plano (Fig. 20), que transforma el habitual plano coordinar. El punto O se denomina origen de coordenadas, las líneas de coordenadas (eje x y eje y) se denominan ejes de coordenadas, y los ángulos rectos formados por los ejes de coordenadas se denominan ángulos de coordenadas. Las esquinas rectangulares coordinadas están numeradas como se muestra en la Figura 20.

Y ahora pasemos a la Figura 21, que muestra un sistema de coordenadas rectangulares y marcó el punto M. Dibujemos una línea recta a través de él, paralela al eje y. La línea se cruza con el eje x en algún punto, este punto tiene una coordenada - en el eje x. Para el punto que se muestra en la Figura 21, esta coordenada es -1.5, se llama la abscisa del punto M. A continuación, dibujamos una línea recta a través del punto M paralela al eje x. La línea se cruza con el eje y en algún punto, este punto tiene una coordenada - en el eje y.

Para el punto M, que se muestra en la Figura 21, esta coordenada es 2, se llama la ordenada del punto M. Brevemente escrito así: M (-1.5; 2). La abscisa se escribe en primer lugar, la ordenada, en el segundo. Usan, si es necesario, otra forma de notación: x = -1.5; y = 2.

Observación 1 . En la práctica, para encontrar las coordenadas del punto M, generalmente en lugar de líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas y que pasan por el punto M, se construyen segmentos de estas líneas desde el punto M hasta los ejes de coordenadas (Fig. 22).

Observación 2. En la sección anterior, presentamos diferentes notaciones para intervalos numéricos. En particular, como acordamos, la notación (3, 5) significa que en la línea de coordenadas se considera un intervalo que termina en los puntos 3 y 5. En esta sección, consideramos un par de números como coordenadas de un punto; por ejemplo, (3; 5) es un punto en Plano coordinado con la abscisa 3 y la ordenada 5. ¿Cómo es correcto determinar a partir de la notación simbólica lo que está en juego: sobre el intervalo o sobre las coordenadas del punto? La mayoría de las veces esto está claro en el texto. ¿Qué pasa si no está claro? Preste atención a un detalle: usamos una coma en la designación de intervalo y un punto y coma en la designación de coordenadas. Esto, por supuesto, no es muy significativo, pero sigue siendo la diferencia; lo aplicaremos.

Dados los términos y la notación presentados, la línea de coordenadas horizontal se llama abscisa o eje x, y la línea de coordenadas vertical se llama eje y o eje y. Las designaciones x, y generalmente se usan cuando se especifica un sistema de coordenadas rectangulares en el plano (ver Fig. 20) y a menudo dicen esto: se da el sistema de coordenadas xOy. Sin embargo, hay otras designaciones: por ejemplo, en la Figura 23, se da el sistema de coordenadas tOs.
Algoritmo para encontrar las coordenadas del punto M, dado en el sistema de coordenadas rectangulares хОу

Así es exactamente como actuamos, encontrando las coordenadas del punto M en la Figura 21. Si el punto M 1 (x; y) pertenece al primer ángulo coordenado, entonces x\u003e 0, y\u003e 0; si el punto M 2 (x; y) pertenece al segundo ángulo coordenado, entonces x< 0, у >0; si el punto M 3 (x; y) pertenece al tercer ángulo coordenado, entonces x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >UNED< 0 (рис. 24).

Pero, ¿qué sucede si el punto cuyas coordenadas se deben encontrar se encuentra en uno de los ejes de coordenadas? Deje que el punto A se encuentre en el eje x y el punto B en el eje y (Fig. 25). No tiene sentido dibujar una línea recta paralela al eje y a través del punto A y encontrar el punto de intersección de esta línea con el eje x, ya que ese punto de intersección ya existe: este es el punto A, su coordenada ( abscissa) es 3. De la misma manera, no necesita dibujar a través del punto Y la línea paralela al eje x: esta línea es el eje x mismo, que interseca el eje y en el punto O con coordenadas ( ordenada) 0. Como resultado, para el punto A obtenemos A (3; 0). De manera similar, para el punto B obtenemos B(0; - 1.5). Y para el punto O tenemos O(0; 0).

En general, cualquier punto en el eje x tiene coordenadas (x; 0), y cualquier punto en el eje y tiene coordenadas (0; y)

Entonces, discutimos cómo encontrar las coordenadas de un punto en el plano de coordenadas. Pero, ¿cómo resolver el problema inverso, es decir, cómo, dadas las coordenadas, construir el punto correspondiente? Para desarrollar un algoritmo, llevaremos a cabo dos argumentos auxiliares, pero al mismo tiempo importantes.

Primera discusión. Sea I dibujada en el sistema de coordenadas xOy, paralela al eje y e intersectando el eje x en un punto de coordenada (abscisa) 4

(Figura 26). Cualquier punto que se encuentre en esta línea tiene una abscisa 4. Entonces, para los puntos M 1, M 2, M 3 tenemos M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). En otras palabras, la abscisa de cualquier punto M de la línea recta satisface la condición x \u003d 4. Dicen que x \u003d 4 - la ecuacion línea l o esa línea I satisface la ecuación x = 4.

La Figura 27 muestra rectas que satisfacen las ecuaciones x = - 4 (recta I 1), x = - 1
(recta I 2) x = 3,5 (recta I 3). ¿Y qué línea satisface la ecuación x = 0? ¿Adivinado? eje y

Segunda discusión. Dibuje una línea recta I en el sistema de coordenadas xOy, paralela al eje x e intersectando el eje y en un punto con coordenada (ordenada) 3 (Fig. 28). Cualquier punto que se encuentre en esta línea tiene una ordenada de 3. Entonces, para los puntos M 1, M 2, M 3 tenemos: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3 ) . En otras palabras, la ordenada de cualquier punto M de la línea I satisface la condición y \u003d 3. Dicen que y \u003d 3 es la ecuación de la línea I o que la línea I satisface la ecuación y \u003d 3.

La Figura 29 muestra líneas que satisfacen las ecuaciones y \u003d - 4 (línea l 1), y \u003d - 1 (línea I 2), y \u003d 3.5 (línea I 3) - A cuya línea satisface la ecuación y \u003d 01 ¿Adivinar? eje x.

Tenga en cuenta que los matemáticos, que buscan la brevedad del discurso, dicen "una línea recta x = 4", y no "una línea recta que satisface la ecuación x = 4". Asimismo, dicen "línea y = 3", no "línea que satisface y = 3". Haremos exactamente lo mismo. Volvamos ahora a la Figura 21. Tenga en cuenta que el punto M (- 1.5; 2), que se muestra allí, es el punto de intersección de la línea x \u003d -1.5 y la línea y \u003d 2. Ahora, aparentemente , el algoritmo para construir el punto será claro de acuerdo con sus coordenadas dadas.

Algoritmo para construir un punto M (a; b) en un sistema de coordenadas rectangulares хОу

EJEMPLO En el sistema de coordenadas xOy, construya puntos: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Solución. El punto A es el punto de intersección de las líneas x = 1 e y = 3 (ver Fig. 30).

El punto B es el punto de intersección de las líneas x = - 2 e y = 1 (Fig. 30). El punto C pertenece al eje x, y el punto D pertenece al eje y (ver Fig. 30).

En la conclusión de la sección, notamos que por primera vez un sistema de coordenadas rectangulares en el plano comenzó a usarse activamente para reemplazar algebraico modelos Filósofo geométrico francés René Descartes (1596-1650). Por eso, a veces dicen "sistema de coordenadas cartesianas", "coordenadas cartesianas".

Una lista completa de temas por clase, un plan de calendario según el currículo escolar en matemáticas en línea, imágenes en matematicas para descargar grado 7

A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas.

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¿Qué es un plano de coordenadas?

El término "coordenadas" en la traducción del latín significa la palabra "ordenado".

Supongamos que necesitamos designar la posición de un punto en un plano. Para ello, tomamos 2 rectas perpendiculares, que se denominan ejes coordenados, donde X será el eje de abscisas, Y el eje de ordenadas, y el origen será el punto O. Los ángulos rectos formados a partir de los ejes coordenados se denominarán coordenadas anglos.

Entonces llegamos a la definición y ahora sabemos que el plano de coordenadas es un plano con un sistema de coordenadas dado.

Y ahora veamos la numeración de los ángulos coordenados:

Ahora mostremos un sistema de coordenadas rectangulares y marquemos el punto M en él.

A continuación, debemos dibujar una línea recta a través del punto M, que será paralela al eje Y. Ahora, veamos lo que obtuvimos. Como puede ver, la línea recta se cruza con el eje X en el punto donde la coordenada será igual a −2. Esta coordenada es la abscisa del punto M.

Ahora necesitamos dibujar una línea recta a través del punto M, que será paralela al eje X.

Podemos ver que esta línea corta el eje X en el punto cuya coordenada es tres. Esta coordenada será la ordenada del punto M.

Grabar las coordenadas de la M actual se verá así:

En tal registro, la abscisa siempre se coloca en primer lugar y la ordenada en segundo lugar. Si consideramos el ejemplo de las coordenadas del punto M (-2; 3), entonces -2 actúa como la abscisa del punto M, y la ordenada de este punto será el número 3.

De esto se sigue que en el plano de coordenadas, cada punto M corresponde a un par de números como su abscisa y ordenada. La afirmación opuesta también será cierta, es decir, cada par de números corresponde a un punto del plano para el cual estos números son coordenadas.

Ejercicio:

Plano de coordenadas en la vida.

En tu opinión, ¿puede ser útil el conocimiento del plano de coordenadas en la vida cotidiana? ¿Y alguna vez has escuchado una frase como "deja tus coordenadas" o "qué coordenadas puedes encontrar"? ¿Y has pensado en lo que pueden significar estas expresiones?

Resulta que todo es muy simple y banal, y esto significa la ubicación de este o aquel objeto, por el cual es fácil encontrar a una persona o un lugar determinado. Se puede afirmar con confianza que los sistemas de coordenadas son necesarios en la vida práctica de una persona en todas partes.

Tal sistema de coordenadas puede ser una dirección de casa o un número de teléfono, lugar de trabajo, etc.

Después de todo, incluso al comprar boletos de tren, no solo sabe su número y destino, sino que también debe indicar el número del automóvil y el asiento.

Para visitar a un compañero de clase, no es suficiente saber solo la casa en la que vive, sino que también necesita saber el número de apartamento.

Ejercicio

1. ¿Qué información necesitas tener para tomar un lugar en el teatro?
2. ¿Qué datos necesitas tener para determinar puntos en la superficie terrestre?
3. ¿Por qué coordenadas puedes determinar el lugar en el cine?
4. ¿Qué necesitas saber para determinar la posición de una pieza en un tablero de ajedrez?
5. ¿Qué coordenadas usas cuando juegas batalla naval?

referencia histórica

La idea de usar coordenadas apareció en la antigüedad. Inicialmente, los astrónomos comenzaron a usarlos para determinar los cuerpos celestes y los geógrafos, para determinar la ubicación y los objetos en la superficie de la Tierra.

Gracias a los trabajos del antiguo astrónomo griego Claudius Plotomeus, ya en el siglo II, los científicos aprendieron a determinar la longitud y la latitud.

¿Sabes por qué en matemáticas existe el "sistema de coordenadas cartesianas"? Resulta que el método de coordenadas, que tiene un significado matemático general, fue descubierto por los matemáticos franceses Pierre Fermat y René Descartes en el siglo XVII, y en 1637 René Descartes lo describió por primera vez en un libro de geometría.

Pero los términos "abscisa", "ordenada" y "coordenadas" fueron introducidos por primera vez por Wilhelm Leibniz en el siglo XVII.

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