معادلات متعارف یک خط در فضا - تئوری، مثال ها، حل مسئله. معادلات یک خط در فضا معادلات دو صفحه متقاطع هستند 3 معادلات متعارف یک خط را بنویسید

معادلات متعارف یک خط در فضا، معادلاتی هستند که خطی را تعریف می کنند که از یک نقطه معین به صورت هم خط با بردار جهت می گذرد.

بگذارید یک نقطه و یک بردار جهت داده شود. یک نقطه دلخواه روی یک خط قرار دارد لفقط در صورتی که بردارها و هم خطی باشند، یعنی شرط برای آنها برآورده شود:

معادلات فوق معادلات متعارف خط مستقیم هستند.

شماره متر , nو پپیش بینی های بردار جهت بر روی محورهای مختصات هستند. از آنجایی که بردار غیر صفر است، پس همه اعداد متر , nو پنمی تواند به طور همزمان برابر با صفر باشد. اما ممکن است یکی دو تا از آنها صفر شود. به عنوان مثال، در هندسه تحلیلی، ورودی زیر مجاز است:

به این معنی که پیش بینی های بردار روی محور اوهو اوزبرابر با صفر هستند. بنابراین، هر دو بردار و خط مستقیم که توسط معادلات متعارف تعریف شده اند، بر محورها عمود هستند. اوهو اوز، یعنی هواپیماها yOz .

مثال 1.معادلات خطی را در فضای عمود بر صفحه بنویسید و عبور از نقطه تلاقی این صفحه با محور اوز .

راه حل. بیایید نقطه تلاقی این صفحه با محور را پیدا کنیم اوز. از آنجایی که هر نقطه روی محور قرار دارد اوز، دارای مختصات است، پس با فرض در معادله داده شده از هواپیما x = y = 0، 4 می گیریم z- 8 = 0 یا z= 2. بنابراین نقطه تلاقی این صفحه با محور اوزدارای مختصات (0; 0; 2) است. از آنجایی که خط مورد نظر بر صفحه عمود است، با بردار عادی خود موازی است. بنابراین، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار عادی باشد هواپیما داده شده

حال بیایید معادلات مورد نیاز یک خط مستقیم را که از یک نقطه عبور می کند، یادداشت کنیم آ= (0; 0; 2) در جهت بردار:

معادلات خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد

یک خط مستقیم را می توان با دو نقطه که روی آن قرار دارد تعریف کرد و در این حالت، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار باشد. سپس معادلات متعارف خط شکل می گیرند

معادلات فوق خطی را مشخص می کند که از دو نقطه داده شده عبور می کند.

مثال 2.معادله خطی در فضایی که از نقاط و .

راه حل. اجازه دهید معادلات مورد نیاز خط مستقیم را به شکل بالا در مرجع نظری بنویسیم:

از آنجا که، پس خط مستقیم مورد نظر عمود بر محور است اوه .

مستقیم به عنوان خط تقاطع هواپیماها

خط مستقیم در فضا را می توان به عنوان خط تقاطع دو صفحه غیر موازی و به عنوان مجموعه ای از نقاط که سیستمی از دو معادله خطی را برآورده می کند تعریف کرد.

معادلات سیستم را معادلات کلی یک خط مستقیم در فضا نیز می گویند.

مثال 3.معادلات متعارف یک خط در فضا را بنویسید که با معادلات کلی داده می شود

راه حل. برای نوشتن معادلات متعارف یک خط یا همان معادلات خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید مختصات هر دو نقطه روی خط را پیدا کنید. برای مثال، آنها می توانند نقاط تلاقی یک خط مستقیم با هر دو صفحه مختصات باشند yOzو xOz .

نقطه تقاطع یک خط و یک صفحه yOzآبسیسا دارد ایکس= 0. بنابراین با فرض در این سیستم معادلات ایکس= 0، سیستمی با دو متغیر دریافت می کنیم:

تصمیم او y = 2 , z= 6 همراه با ایکس= 0 یک نقطه را مشخص می کند آ(0؛ 2؛ 6) خط مورد نظر. سپس با فرض در سیستم معادلات داده شده y= 0، سیستم را دریافت می کنیم

تصمیم او ایکس = -2 , z= 0 همراه با y= 0 یک نقطه را مشخص می کند ب(-2؛ 0؛ 0) تقاطع یک خط با یک صفحه xOz .

حال بیایید معادلات خطی که از نقاط عبور می کند را یادداشت کنیم آ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

یا پس از تقسیم مخرج بر -2:

در یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه، یک خط مستقیم را می توان با معادله متعارف یک خط مستقیم به دست آورد. در این مقاله ابتدا معادلات متعارف خطوطی را که در صفحه موازی با محورهای مختصات هستند یا با آنها منطبق هستند استخراج کرده، یادداشت می کنیم و مثال هایی را نیز بیان می کنیم. در ادامه، ارتباط بین معادله متعارف یک خط در یک صفحه و انواع دیگر معادلات این خط را نشان خواهیم داد. در خاتمه، راه‌حل‌های نمونه‌های معمولی و مشکلات تشکیل معادله متعارف یک خط در یک صفحه را با جزئیات در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

معادله متعارف یک خط در یک صفحه - شرح و مثال.

بگذارید Oxy در هواپیما ثابت شود. بگذارید این وظیفه را برای خود تعیین کنیم: معادله یک خط a را به دست آوریم، اگر نقطه ای از خط a باشد و بردار جهت خط a باشد.

اجازه دهید یک نقطه شناور از خط a باشد. سپس بردار بردار جهت خط a است و مختصاتی دارد (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید). بدیهی است که مجموعه تمام نقاط روی صفحه خطی را تعریف می کند که از نقطه عبور می کند و بردار جهت دارد اگر و فقط اگر بردارها و هم خط باشند.

مثال.

معادله متعارف خطی را بنویسید که در سیستم مختصات مستطیلی Oxy روی صفحه از دو نقطه عبور می کند و .

راه حل.

با استفاده از مختصات شناخته شده نقطه شروع و پایان، می توانیم مختصات بردار را پیدا کنیم: . این بردار بردار جهت خطی است که به دنبال معادله آن هستیم. معادله متعارف خطی که از نقطه ای می گذرد و بردار جهت دارد.

راه حل.

بردار خط معمولی مختصاتی دارد و این بردار بردار جهت خط است که به دلیل عمود بودن خطوط به دنبال معادله آن هستیم. بنابراین، معادله متعارف مورد نظر یک خط در یک صفحه به صورت نوشته خواهد شد .

پاسخ:

کتابشناسی - فهرست کتب.

Bugrov Ya.S.، Nikolsky S.M. ریاضیات عالیه جلد اول: عناصر جبر خطی و هندسه تحلیلی.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. هندسه تحلیلی

اجازه دهید Oxyz در فضای سه بعدی ثابت شود. بیایید یک خط مستقیم در آن تعریف کنیم. اجازه دهید روش زیر را برای تعریف یک خط مستقیم در فضا انتخاب کنیم: نقطه ای را که خط مستقیم a از آن عبور می کند و بردار جهت مستقیم a را نشان می دهیم. فرض می کنیم که نقطه روی خط a و قرار دارد - بردار جهت دهنده خط مستقیم a.

بدیهی است که مجموعه ای از نقاط در فضای سه بعدی یک خط را تعریف می کند اگر و فقط اگر بردارها و هم خط باشند.

لطفا به حقایق مهم زیر توجه کنید:

اجازه دهید چند مثال از معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا ارائه دهیم:

ترسیم معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا.

بنابراین، معادلات متعارف یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی ثابت Oxyz در فضای سه بعدی به شکل مربوط به خط مستقیمی است که از نقطه عبور می کند و بردار جهت این خط مستقیم بردار است . بنابراین، اگر شکل معادلات متعارف یک خط را در فضا بدانیم، می‌توانیم بلافاصله مختصات بردار جهت این خط را بنویسیم و اگر مختصات بردار جهت خط و مختصات را بدانیم. در نقطه ای از این خط، می توانیم بلافاصله معادلات متعارف آن را بنویسیم.

ما راه حل هایی را برای چنین مشکلاتی نشان خواهیم داد.

مثال.

یک خط مستقیم در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضای سه بعدی توسط معادلات خط مستقیم متعارف شکل داده می شود. . مختصات تمام بردارهای جهت این خط را بنویسید.

راه حل.

اعداد موجود در مخرج معادلات متعارف یک خط مختصات متناظر بردار جهت این خط هستند، یعنی: - یکی از بردارهای جهت خط مستقیم اصلی. سپس مجموعه تمام بردارهای جهت خط مستقیم را می توان به صورت مشخص کرد ، جایی که پارامتری است که می تواند هر مقدار واقعی را به جز صفر بگیرد.

پاسخ:

مثال.

معادلات متعارف خطی را بنویسید که در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضا از نقطه عبور می کند. و بردار جهت خط مستقیم دارای مختصاتی است.

راه حل.

از شرایطی که داریم . یعنی ما تمام داده ها را برای نوشتن معادلات متعارف مورد نیاز یک خط در فضا داریم. در مورد ما

.

پاسخ:

ما ساده ترین مسئله را برای ترکیب معادلات متعارف یک خط در یک سیستم مختصات مستطیلی معین در فضای سه بعدی در نظر گرفتیم، زمانی که مختصات بردار هدایت کننده خط و مختصات نقطه ای از خط مشخص باشد. با این حال، اغلب مشکلاتی وجود دارد که در آن ابتدا باید مختصات بردار هدایت کننده یک خط را پیدا کنید و تنها پس از آن معادلات متعارف خط را بنویسید. به عنوان مثال می توان به مسئله یافتن معادلات خطی که از نقطه معینی در فضایی موازی با یک خط معین می گذرد و مسئله یافتن معادلات خطی که از نقطه معینی از فضا عمود بر صفحه معین می گذرد اشاره کرد. .

موارد خاص معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا.

قبلاً متذکر شدیم که یک یا دو عدد از اعداد موجود در معادلات متعارف یک خط در فضای شکل ممکن است برابر با صفر باشد. سپس بنویس صوری در نظر گرفته می شود (زیرا مخرج یک یا دو کسر دارای صفر خواهد بود) و باید به صورت ، جایی که .

بیایید نگاهی دقیق تر به همه این موارد خاص از معادلات متعارف یک خط در فضا بیندازیم.

اجازه دهید ، یا ، یا ، سپس معادلات متعارف خطوط دارای فرم هستند

یا

یا

در این موارد، در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضا، خطوط مستقیم در صفحات قرار دارند، یا به ترتیب موازی با صفحات مختصات Oyz، Oxz یا Oxy هستند (یا منطبق بر این صفحات مختصات در، یا ) . شکل نمونه هایی از این خطوط را نشان می دهد.

در ، یا ، یا معادلات متعارف خطوط به صورت نوشته خواهد شد

یا

یا

به ترتیب.

در این موارد، خطوط به ترتیب موازی با محورهای مختصات Oz، Oy یا Ox هستند (یا منطبق با این محورها در، یا). در واقع، بردارهای جهت خطوط مورد بررسی دارای مختصاتی هستند، یا، یا، بدیهی است که آنها هم خط با بردارها هستند، یا، یا، به ترتیب، بردارهای جهت خطوط مختصات کجا هستند. به تصاویر این موارد خاص از معادلات متعارف یک خط در فضا نگاه کنید.

برای ادغام مطالب در این پاراگراف، باقی مانده است که راه حل های مثال ها را در نظر بگیریم.

مثال.

معادلات متعارف خطوط مختصات Ox، Oy و Oz را بنویسید.

راه حل.

بردارهای جهت خطوط مختصات Ox، Oy و Oz بردار مختصات هستند و به همین ترتیب. علاوه بر این، خطوط مختصات از مبدا مختصات - از طریق نقطه عبور می کنند. اکنون می توانیم معادلات متعارف خطوط مختصات Ox، Oy و Oz را بنویسیم، آنها فرم دارند. و به همین ترتیب.

پاسخ:

معادلات متعارف خط مختصات Ox، - معادلات متعارف محور مختصات Oy، - معادلات متعارف محور کاربردی.

مثال.

معادلات متعارف خطی را بسازید که در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضا از نقطه عبور می کند. و موازی با محور دستوری Oy.

راه حل.

از آنجایی که خط مستقیم، معادلات متعارفی که باید آن را بسازیم، موازی با محور مختصات Oy است، پس بردار جهت آن بردار است. سپس معادلات متعارف این خط در فضا به شکل .

پاسخ:

معادلات متعارف خطی که از دو نقطه داده شده در فضا می گذرد.

بیایید یک وظیفه را برای خود تعیین کنیم: معادلات متعارف خطی را بنویسیم که در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضای سه بعدی از دو نقطه واگرا می گذرد و .

شما می توانید بردار را به عنوان بردار جهت یک خط مستقیم در نظر بگیرید (اگر بردار را بهتر دوست دارید، می توانید آن را بگیرید). با استفاده از مختصات شناخته شده نقاط M 1 و M 2 می توان مختصات بردار را محاسبه کرد: . اکنون می‌توانیم معادلات متعارف خط را بنویسیم، زیرا مختصات نقطه خط را می‌دانیم (در مورد ما حتی مختصات دو نقطه M 1 و M 2) و مختصات بردار جهت آن را می‌دانیم. . بنابراین، یک خط مستقیم داده شده در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضای سه بعدی توسط معادلات متعارف شکل تعیین می شود. یا . این چیزی است که ما به دنبال آن هستیم معادلات متعارف خطی که از دو نقطه داده شده در فضا می گذرد.

مثال.

معادلات متعارف خطی که از دو نقطه در فضای سه بعدی می گذرد را بنویسید و .

راه حل.

از شرایطی که داریم . ما این داده ها را به معادلات متعارف یک خط مستقیم که از دو نقطه می گذرد جایگزین می کنیم :

اگر از معادلات خط مستقیم متعارف فرم استفاده کنیم ، سپس دریافت می کنیم
.

پاسخ:

یا

انتقال از معادلات متعارف یک خط در فضا به انواع دیگر معادلات یک خط.

برای حل برخی از مسائل، معادلات متعارف یک خط در فضا ممکن است راحت تر از معادلات پارامتریک یک خط مستقیم در فضای فرم باشد . و گاهی اوقات ترجیح داده می شود یک خط مستقیم در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضا از طریق معادلات دو صفحه متقاطع تعریف شود. . بنابراین، وظیفه انتقال از معادلات متعارف یک خط در فضا به معادلات پارامتریک یک خط یا معادلات دو صفحه متقاطع مطرح می شود.

به راحتی می توان از معادلات یک خط به شکل متعارف به معادلات پارامتری این خط حرکت کرد. برای انجام این کار، لازم است هر یک از کسری در معادلات متعارف یک خط در فضایی برابر با یک پارامتر گرفته و معادلات حاصل را با توجه به متغیرهای x، y و z حل کنیم:

در این حالت، پارامتر می تواند هر مقدار واقعی را به خود بگیرد (زیرا متغیرهای x، y و z می توانند هر مقدار واقعی را بگیرند).

اکنون چگونگی را از معادلات متعارف خط مستقیم نشان خواهیم داد معادلات دو صفحه متقاطع را بدست آورید که یک خط را مشخص می کنند.

برابری مضاعف در اصل سیستمی از سه معادله شکل است (کسری از معادلات متعارف را به صورت جفت با یک خط مستقیم برابر کردیم). از آنجایی که نسبت را به عنوان می فهمیم، پس

پس گرفتیم
.

از آنجایی که اعداد a x، a y و a z به طور همزمان برابر با صفر نیستند، پس ماتریس اصلی سیستم حاصل برابر با دو است، زیرا

و حداقل یکی از تعیین کننده های مرتبه دوم

متفاوت از صفر

در نتیجه، می‌توان معادله‌ای را که در شکل‌گیری پایه مینور شرکت نمی‌کند، از سیستم حذف کرد. بنابراین معادلات متعارف یک خط در فضا معادل سیستم دو معادله خطی با سه مجهول خواهد بود که معادلات صفحات متقاطع هستند و خط تقاطع این صفحات یک خط مستقیم خواهد بود که توسط معادلات متعارف تعیین می شود. از خط فرم .

برای وضوح، ما یک راه حل دقیق برای مثال ارائه می دهیم؛ در عمل همه چیز ساده تر است.

مثال.

معادلات دو صفحه متقاطع را بنویسید که خطی را در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضا با معادلات متعارف خط تعریف می کنند. معادلات دو صفحه را که در این خط متقاطع می شوند بنویسید.

راه حل.

اجازه دهید کسری را که معادلات متعارف خط را تشکیل می دهند به صورت جفت برابر کنیم:

تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم معادلات خطی حاصل برابر با صفر است (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید) و مینور مرتبه دوم است. با صفر متفاوت است، آن را به عنوان مینور پایه در نظر می گیریم. بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سیستم معادلات برابر دو است و معادله سوم سیستم در تشکیل مینور اصلی شرکت نمی کند، یعنی می توان معادله سوم را از سیستم حذف کرد. از این رو، . بنابراین معادلات مورد نیاز دو صفحه متقاطع را به دست آوردیم که خط مستقیم اصلی را مشخص می کنند.

پاسخ:

کتابشناسی - فهرست کتب.

Bugrov Ya.S.، Nikolsky S.M. ریاضیات عالیه جلد اول: عناصر جبر خطی و هندسه تحلیلی.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. هندسه تحلیلی

چگونه معادلات یک خط مستقیم را در فضا بنویسیم؟

معادلات یک خط مستقیم در فضا

مشابه خط "مسطح"، راه های مختلفی وجود دارد که می توانیم یک خط را در فضا تعریف کنیم. بیایید با قوانین شروع کنیم - نقطه و بردار هدایت خط:

اگر نقطه مشخصی از فضای متعلق به یک خط و بردار جهت این خط مشخص باشد، معادلات متعارف این خط با فرمول های زیر بیان می شود:

نماد بالا فرض می کند که مختصات بردار جهت است برابر با صفر نیست. ما نگاه خواهیم کرد که اگر یک یا دو مختصات کمی بعد صفر شوند، چه کاری باید انجام دهیم.

همانطور که در مقاله است معادله صفحه، برای سادگی فرض می کنیم که در همه مسائل درس، اقدامات در یک فضای متعارف انجام می شود.

مثال 1

معادلات متعارف یک خط را با یک نقطه و یک بردار جهت بسازید

راه حل: معادلات متعارف خط را با استفاده از فرمول می سازیم:

پاسخ:

و این یک بی فکر است... اگرچه، نه، اصلاً بی فکر است.

در مورد این مثال بسیار ساده باید به چه نکاتی توجه کنید؟ اولاً، معادلات حاصل نیازی به کاهش یک عدد ندارند: . به عبارت دقیق تر، می توان آن را کوتاه کرد، اما به طور غیرعادی به چشم آسیب می رساند و هنگام حل مشکلات باعث ایجاد ناراحتی می شود.

و ثانیاً، در هندسه تحلیلی دو چیز اجتناب ناپذیر است - تأیید و آزمایش:

در هر صورت، ما به مخرج معادلات نگاه می کنیم و بررسی می کنیم - آیا این درست استمختصات بردار جهت در آنجا نوشته شده است. نه، به آن فکر نکن، ما در مهدکودک بریک درسی نداریم. این توصیه بسیار مهم است زیرا به شما اجازه می دهد تا اشتباهات سهوی را کاملاً از بین ببرید. هیچکس بیمه نیست اگه اشتباه کپی کرده باشه چی؟ جایزه داروین در هندسه به او تعلق می گیرد.

برابری های صحیح به دست می آیند، یعنی مختصات نقطه معادلات ما را برآورده می کند و خود نقطه واقعاً متعلق به این خط است.

آزمایش به صورت شفاهی بسیار آسان (و سریع!) انجام می شود.

در تعدادی از مسائل لازم است که نقطه دیگری متعلق به یک خط معین پیدا شود. چگونه انجامش بدهیم؟

معادلات حاصل را می گیریم و از نظر ذهنی "پنجره کردن"، برای مثال، قطعه سمت چپ: . حالا بیایید این قطعه را برابر کنیم به هر شماره(به یاد داشته باشید که قبلاً یک صفر وجود داشت)، به عنوان مثال، به یک: . از آنجا که، پس دو قطعه دیگر نیز باید برابر با یک باشند. در اصل، شما باید سیستم را حل کنید:

بیایید بررسی کنیم که آیا نقطه یافت شده معادلات را برآورده می کند یا خیر :

برابری های صحیح به دست می آیند، به این معنی که نقطه واقعاً روی خط داده شده قرار دارد.

بیایید نقاشی را در یک سیستم مختصات مستطیلی بسازیم. در همان زمان، بیایید به یاد بیاوریم که چگونه نقاط را به درستی در فضا ترسیم کنیم:

بیایید یک نقطه بسازیم:
- از مبدا مختصات در جهت منفی محور، قطعه ای از مختصات اول را رسم می کنیم (خط نقطه چین سبز).
- مختصات دوم صفر است، بنابراین ما از محور به سمت چپ یا راست "پرتاب نمی کنیم".
– مطابق با مختصات سوم، سه واحد را به سمت بالا اندازه بگیرید (خط نقطه چین بنفش).

یک نقطه بسازید: دو واحد "به سمت خود" (خط نقطه‌دار زرد)، یک واحد به سمت راست (خط نقطه‌دار آبی) و دو واحد پایین (خط نقطه‌دار قهوه‌ای) اندازه‌گیری کنید. خط نقطه قهوه ای و خود نقطه روی محور مختصات قرار گرفته اند، توجه داشته باشید که در نیم فاصله پایینی و در جلوی محور قرار دارند.

خود خط مستقیم از بالای محور می گذرد و اگر چشمم ناامید شود از بالای محور. شکست نمی خورد، من از نظر تحلیلی متقاعد شدم. اگر خط مستقیم از پشت محور عبور می کرد، باید یک تکه از خط بالا و پایین نقطه عبور را با یک پاک کن پاک کنید.

یک خط مستقیم تعداد بی نهایت بردار جهت دارد، به عنوان مثال:
(فلش قرمز)

نتیجه دقیقا همان بردار اصلی بود، اما این کاملاً تصادفی بود، به این ترتیب من نقطه را انتخاب کردم. تمام بردارهای جهت یک خط مستقیم خطی هستند و مختصات مربوط به آنها متناسب است (برای جزئیات بیشتر، رجوع کنید به وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها). بنابراین، بردارها همچنین بردارهای جهت این خط خواهند بود.

اطلاعات تکمیلی در مورد ایجاد نقشه های سه بعدی بر روی کاغذ شطرنجی را می توانید در ابتدای راهنما مشاهده کنید. نمودارها و خواص توابع. در یک دفترچه، مسیرهای نقطه‌دار چند رنگی به نقاط (به نقاشی مراجعه کنید) معمولاً با یک مداد ساده و با استفاده از همان خط نقطه‌دار ترسیم می‌شوند.

بیایید به موارد خاصی بپردازیم که یک یا دو مختصات بردار جهت صفر است. همزمان آموزش دید فضایی را که از ابتدای درس شروع شد ادامه می دهیم. معادله صفحه. و دوباره داستان پادشاه برهنه را به شما خواهم گفت - من یک سیستم مختصات خالی ترسیم می کنم و شما را متقاعد می کنم که در آنجا خطوط فضایی وجود دارد =)

فهرست کردن هر شش مورد ساده تر است:

1) برای یک نقطه و یک بردار جهت، معادلات متعارف خط به سه تقسیم می شود شخصیمعادلات: .

یا به طور خلاصه:

مثال 2: بیایید معادلات یک خط مستقیم را با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت ایجاد کنیم:

این چه نوع خطی است؟ بردار جهت خط مستقیم با بردار واحد هم خط است، به این معنی که این خط مستقیم موازی با محور خواهد بود. معادلات متعارف را باید به صورت زیر درک کرد:
الف) - "y" و "z" دائمی، برابر هستند اعداد خاص;
ب) متغیر "x" می تواند هر مقداری را بگیرد: (در عمل معمولاً این معادله یادداشت نمی شود).

به ویژه، معادلات خود محور را تعریف می کنند. در واقع، "x" هر مقداری را می گیرد و "y" و "z" همیشه برابر با صفر هستند.

معادلات مورد بررسی را می توان به روش دیگری نیز تفسیر کرد: به عنوان مثال، به نماد تحلیلی محور آبسیسا نگاه می کنیم: . بالاخره اینها معادلات دو صفحه هستند! معادله صفحه مختصات را مشخص می کند و معادله صفحه مختصات را مشخص می کند. شما درست فکر می کنید - این صفحات مختصات در امتداد محور قطع می شوند. هنگامی که یک خط مستقیم در فضا با تقاطع دو صفحه در انتهای درس تعریف می شود، روش را در نظر خواهیم گرفت.

دو مورد مشابه:

2) معادلات متعارف خطی که از نقطه ای موازی با بردار عبور می کند با فرمول ها بیان می شود.

چنین خطوط مستقیمی موازی با محور مختصات خواهند بود. به طور خاص، معادلات خود محور مختصات را مشخص می کنند.

3) معادلات متعارف خطی که از نقطه ای موازی با بردار عبور می کند با فرمول ها بیان می شود.

این خطوط مستقیم موازی با محور مختصات هستند و معادلات خود محور کاربردی را تعریف می کنند.

بیایید سه مورد دوم را در غرفه قرار دهیم:

4) برای یک نقطه و یک بردار جهت، معادلات متعارف خط به نسبت و معادله هواپیما .

مثال 3: بیایید معادلات یک خط مستقیم را با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت بسازیم.

یکی از انواع معادلات یک خط در فضا، معادله متعارف است. ما این مفهوم را با جزئیات در نظر خواهیم گرفت، زیرا دانستن آن برای حل بسیاری از مشکلات عملی ضروری است.

در پاراگراف اول، معادلات اصلی یک خط مستقیم واقع در فضای سه بعدی را فرموله می کنیم و چندین مثال می زنیم. در مرحله بعد، روش هایی را برای محاسبه مختصات بردار جهت برای معادلات متعارف داده شده و حل مسئله معکوس نشان خواهیم داد. در قسمت سوم به شما خواهیم گفت که چگونه برای خطی که از 2 نقطه داده شده در فضای سه بعدی می گذرد معادله بسازید و در پاراگراف آخر به ارتباط بین معادلات متعارف و سایر معادلات اشاره خواهیم کرد. همه استدلال ها با مثال هایی از حل مسئله نشان داده خواهند شد.

ما قبلاً در مقاله ای که به معادلات یک خط مستقیم در یک صفحه اختصاص داده شده است، در مورد معادلات متعارف یک خط مستقیم بحث کرده ایم. ما مورد را با فضای سه بعدی با قیاس تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

فرض کنید یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z داریم که در آن یک خط مستقیم داده شده است. همانطور که به یاد داریم، شما می توانید یک خط مستقیم را به روش های مختلف تعریف کنید. بیایید از ساده ترین آنها استفاده کنیم - نقطه ای را که خط از آن عبور می کند تعیین کنید و بردار جهت را نشان دهید. اگر یک خط را با حرف a و یک نقطه را با M نشان دهیم، می توانیم بنویسیم که M 1 (x 1, y 1, z 1) روی خط a قرار دارد و بردار جهت این خط a → = (a x) خواهد بود. , a y, a z). برای اینکه مجموعه نقاط M (x، y، z) یک خط مستقیم a را تعریف کند، بردارهای M 1 M → و a → باید خطی باشند.

اگر مختصات بردارهای M 1 M ← و a ← را بدانیم، می‌توانیم شرط لازم و کافی برای همخطی بودن آنها را به صورت مختصات بنویسیم. از شرایط اولیه ما از قبل مختصات a → را می دانیم. برای به دست آوردن مختصات M 1 M → باید تفاوت بین M (x, y, z) و M 1 (x 1, y 1, z 1) را محاسبه کنیم. بیایید بنویسیم:

M 1 M → = x - x 1، y - y 1، z - z 1

پس از این، می توانیم شرط مورد نیاز خود را به صورت زیر فرموله کنیم: M 1 M → = x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 و a → = (a x , a y , a z) : M 1 M → = λ · a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y z - z 1 = λ a z

در اینجا مقدار متغیر λ می تواند هر عدد واقعی یا صفر باشد. اگر λ = 0، آنگاه M (x، y، z) و M 1 (x 1، y 1، z 1) بر هم منطبق خواهند بود، که با استدلال ما منافاتی ندارد.

برای مقادیر a x ≠ 0، a y ≠ 0، a z ≠ 0، می توانیم تمام معادلات سیستم را با توجه به پارامتر λ x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ حل کنیم. · یک z

پس از این، می توان علامت مساوی را بین سمت راست قرار داد:

x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y z - z 1 = λ · a z ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

در نتیجه معادلات x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z را به دست آوردیم که به کمک آنها می توانیم خط مورد نظر را در فضای سه بعدی تعیین کنیم. اینها معادلات متعارفی هستند که ما به آن نیاز داریم.

این نماد حتی اگر یک یا دو پارامتر a x , a y , a z صفر باشند استفاده می شود زیرا در این موارد نیز صحیح خواهد بود. هر سه پارامتر نمی توانند برابر با 0 باشند، زیرا بردار جهت a → = (a x، a y، a z) هرگز صفر نیست.

اگر یک یا دو پارامتر a برابر با 0 باشد، معادله x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z شرطی است. باید برابر با ورودی زیر در نظر گرفته شود:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ، λ ∈ R.

موارد خاص معادلات متعارف را در بند سوم مقاله تحلیل خواهیم کرد.

از تعریف معادله متعارف یک خط در فضا، چند نتیجه مهم می توان گرفت. بیایید به آنها نگاه کنیم.

1) اگر خط اصلی از دو نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) عبور کند، معادلات متعارف به شکل زیر خواهد بود:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z یا x - x 2 a x = y - y 2 a y = z - z 2 a z .

2) از آنجایی که a → = (a x، a y، a z) بردار جهت خط اصلی است، پس همه بردارها μ · a → = μ · a x، μ · a y، μ · a z، μ ∈ R، μ ≠ 0 . سپس خط مستقیم را می توان با استفاده از معادله x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z یا x - x 1 μ · a x = y - y 1 μ · a y = z - z 1 μ · تعریف کرد. a z .

در اینجا چند نمونه از این معادلات با مقادیر داده شده آورده شده است:

مثال 1 مثال 2

نحوه ایجاد معادله متعارف یک خط در فضا

ما متوجه شدیم که معادلات متعارف به شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z با خط مستقیمی مطابقت دارد که از نقطه M 1 می گذرد (x 1 , y 1 , z 1 ) و بردار a → = (a x، a y، a z) راهنمای آن خواهد بود. به این معنی که اگر معادله یک خط را بدانیم، می توانیم مختصات بردار جهت آن را محاسبه کنیم و با توجه به مختصات داده شده بردار و نقطه ای که روی خط قرار دارد، می توانیم معادلات متعارف آن را یادداشت کنیم.

بیایید به چند مشکل خاص نگاه کنیم.

مثال 3

ما یک خط داریم که در فضای سه بعدی با استفاده از معادله x + 1 4 = y 2 = z - 3 - 5 تعریف شده است. مختصات تمام بردارهای جهت را برای آن بنویسید.

راه حل

برای بدست آوردن مختصات بردار جهت، فقط باید مقادیر مخرج را از معادله بگیریم. متوجه شدیم که یکی از بردارهای جهت → = (4، 2، - 5) خواهد بود، و مجموعه همه این بردارها را می توان به صورت μ · a → = 4 · μ، 2 · μ، - 5 · μ فرموله کرد. . در اینجا پارامتر μ هر عدد واقعی است (به جز صفر).

پاسخ: 4 μ، 2 μ، - 5 μ، μ ∈ R، μ ≠ 0

مثال 4

اگر خطی در فضا از M 1 (0، - 3، 2) عبور کند و دارای یک بردار جهت با مختصات - 1، 0، 5 باشد، معادلات متعارف را بنویسید.

راه حل

ما داده هایی داریم که x 1 = 0، y 1 = - 3، z 1 = 2، a x = - 1، a y = 0، a z = 5. این کاملاً کافی است تا بلافاصله به نوشتن معادلات متعارف بپردازیم.

بیایید آن را انجام دهیم:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 0 - 1 = y - (- 3) 0 = z - 2 5 ⇔ ⇔ x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

پاسخ: x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

این مسائل ساده ترین هستند زیرا همه یا تقریباً تمام داده های اولیه برای نوشتن معادله یا مختصات برداری را دارند. در عمل، اغلب می توانید مواردی را پیدا کنید که ابتدا باید مختصات مورد نیاز را پیدا کنید و سپس معادلات متعارف را یادداشت کنید. ما نمونه‌هایی از چنین مسائلی را در مقالاتی که به یافتن معادلات خطی که از نقطه‌ای در فضای موازی با یک نقطه داده شده می‌گذرد و همچنین خطی که از نقطه خاصی در فضا عمود بر صفحه می‌گذرد، تحلیل کردیم.

قبلاً گفتیم که یک یا دو مقدار از پارامترهای a x, a y, a z در معادلات ممکن است دارای مقادیر صفر باشند. در این مورد، نماد x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ رسمی می شود، زیرا یک یا دو کسری با مخرج صفر به دست می آوریم. می توان آن را به شکل زیر بازنویسی کرد (برای λ ∈ R):

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

بیایید این موارد را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم. فرض کنید a x = 0، a y ≠ 0، a z ≠ 0، a x ≠ 0، a y = 0، a z ≠ 0، یا x ≠ 0، a y ≠ 0، a z = 0. در این صورت می توانیم معادلات لازم را به صورت زیر بنویسیم:

در مورد اول:
x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ

در مورد دوم:
x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y - y 1 = 0 z = z 1 + a z · λ ⇔ y - y 1 = 0 x - x 1 a x = z - z 1 a z = λ

در مورد سوم:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z - z 1 = 0 ⇔ z - z 1 = 0 x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ

معلوم می شود که با این مقدار پارامترها، خطوط مستقیم مورد نیاز در صفحات x - x 1 = 0، y - y 1 = 0 یا z - z 1 = 0 قرار می گیرند که به موازات صفحات مختصات قرار دارند ( اگر x 1 = 0، y 1 = 0 یا z 1 = 0). نمونه هایی از چنین خطوطی در تصویر نشان داده شده است.

بنابراین، می توانیم معادلات متعارف را کمی متفاوت بنویسیم.

در حالت اول: x - x 1 0 = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 = 0 z = z 1 + a z λ , λ ∈ R
در دوم: x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y λ , λ ∈ R z - z 1 = 0
در سومی: x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ , λ ∈ R y = y 1 = 0 z - z 1 = 0

در هر سه حالت، خطوط مستقیم اصلی با محورهای مختصات منطبق یا موازی با آنها خواهند بود: x 1 = 0 y 1 = 0، x 1 = 0 z 1 = 0، y 1 = 0 z 1 = 0. بردارهای جهت آنها دارای مختصات 0، 0، a z، 0، a y، 0، a x، 0، 0 هستند. اگر بردارهای جهت خطوط مختصات را به صورت i → , j → , k → نشان دهیم، آنگاه بردارهای جهت خطوط داده شده نسبت به آنها هم خط خواهند بود. شکل این موارد را نشان می دهد:

اجازه دهید با مثال هایی نشان دهیم که چگونه این قوانین اعمال می شوند.

مثال 5

معادلات متعارفی را که می توان برای تعیین خطوط مختصات O z، O x، Oy در فضا به کار برد، بیابید.

راه حل

بردارهای مختصات i → = (1، 0، 0)، j → = 0، 1، 0، k → = (0، 0، 1) راهنمای خطوط مستقیم اصلی خواهند بود. همچنین می دانیم که خطوط ما قطعاً از نقطه O (0، 0، 0) عبور خواهند کرد، زیرا این نقطه مبدأ مختصات است. اکنون ما تمام داده ها را برای نوشتن معادلات متعارف لازم داریم.

برای خط مستقیم O x: x 1 = y 0 = z 0

برای خط مستقیم O y: x 0 = y 1 = z 0

برای خط مستقیم O z: x 0 = y 0 = z 1

پاسخ: x 1 = y 0 = z 0، x 0 = y 1 = z 0، x 0 = y 0 = z 1.

مثال 6

خطی در فضایی داده می شود که از نقطه M 1 می گذرد (3، - 1، 12). همچنین مشخص است که به موازات محور ارتین قرار دارد. معادلات متعارف این خط را بنویسید.

راه حل

با در نظر گرفتن شرط موازی، می توان گفت که بردار j → = 0، 1، 0 راهنمای خط مستقیم مورد نظر خواهد بود. بنابراین، معادلات مورد نیاز به صورت زیر خواهد بود:

x - 3 0 = y - (- 1) 1 = z - 12 0 ⇔ x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

پاسخ: x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

فرض کنید دو نقطه واگرا M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) داریم که یک خط مستقیم از آنها می گذرد. پس چگونه می توانیم یک معادله متعارف برای آن فرموله کنیم؟

برای شروع، بیایید بردار M 1 M 2 → (یا M 2 M 1 →) را به عنوان بردار جهت این خط در نظر بگیریم. از آنجایی که مختصات نقاط مورد نیاز را داریم، بلافاصله مختصات بردار را محاسبه می کنیم:

M 1 M 2 → = x 2 - x 1، y 2 - y 1، z 2 - z 1

x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1

برابری های حاصل معادلات متعارف خطی هستند که از دو نقطه داده شده می گذرد. به تصویر نگاه کنید:

بیایید یک مثال برای حل مشکل بیاوریم.

مثال 7

در فضا دو نقطه با مختصات M 1 (- 2، 4، 1) و M 2 (- 3، 2، - 5) وجود دارد که یک خط مستقیم از آنها می گذرد. معادلات متعارف آن را بنویسید.

راه حل

با توجه به شرایط، x 1 = - 2، y 1 = - 4، z 1 = 1، x 2 = - 3، y 2 = 2، z 2 = - 5. ما باید این مقادیر را در معادله متعارف جایگزین کنیم:

x - (- 2) - 3 - (- 2) = y - (- 4) 2 - (- 4) = z - 1 - 5 - 1 ⇔ x + 2 - 1 = y + 4 6 = z - 1 - 6

اگر معادلاتی به شکل x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 بگیریم، آنگاه به دست می‌آییم: x - (- 3) - 3 - ( - 2) = y - 2 2 - (- 4) = z - (- 5) - 5 - 1 ⇔ x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6

پاسخ: x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 یا x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6.

تبدیل معادلات متعارف یک خط در فضا به انواع دیگر معادلات

گاهی اوقات استفاده از معادلات متعارف به شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z خیلی راحت نیست. برای حل برخی مسائل بهتر است از علامت x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ استفاده کنید. در برخی موارد، تعیین خط مورد نظر با استفاده از معادلات دو صفحه متقاطع A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ترجیح داده می شود. = 0. بنابراین، در این پاراگراف ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که چگونه می‌توانیم از معادلات متعارف به انواع دیگر حرکت کنیم، در صورتی که شرایط مسئله به این امر نیاز دارد.

درک قوانین برای انتقال به معادلات پارامتری دشوار نیست. ابتدا هر قسمت از معادله را با پارامتر λ برابر می کنیم و این معادلات را با توجه به سایر متغیرها حل می کنیم. در نتیجه دریافت می کنیم:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ ⇔ x - x 1 a x = λ y - y 1 a y = λ z - z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

مقدار پارامتر λ می تواند هر عدد واقعی باشد، زیرا x، y، z می توانند هر مقدار واقعی را بگیرند.

مثال 8

در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی، یک خط مستقیم داده می شود که با معادله x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 تعریف می شود. معادله متعارف را به صورت پارامتریک بنویسید.

راه حل

ابتدا هر قسمت از کسر را با λ برابر می کنیم.

x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 ⇔ x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + 7 0 = λ

اکنون قسمت اول را با توجه به x، دوم - با توجه به y، سوم - با توجه به z حل می کنیم. دریافت خواهیم کرد:

x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + 7 0 = λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7 + 0 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

پاسخ: x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

گام بعدی ما تبدیل معادلات متعارف به معادله ای از دو صفحه متقاطع (برای یک خط) خواهد بود.

برابری x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ابتدا باید به عنوان یک سیستم معادلات نشان داده شود:

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a x y - y 1 a y = z - z 1 a z

از آنجایی که p q = r s را به صورت p · s = q · r درک می کنیم، می توانیم بنویسیم:

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a z y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) a z · ( x - x 1) = a x · (z - z 1) a z · (y - y 1) = a y · (z - z 1) ⇔ ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0 a z · x - a x · z + a x · z 1 - a z · x 1 = 0 a z · y - a y · z + a y · z 1 - a z · y 1 = 0

در نتیجه به این نتیجه رسیدیم:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0 a z x - a x z + a x z 1 - a z · x 1 = 0 a z · y - a y · z + a y · z 1 - a z · y 1 = 0

در بالا اشاره کردیم که هر سه پارامتر a نمی توانند همزمان صفر باشند. این بدان معنی است که رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر با 2 خواهد بود، زیرا a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y = 0 و یکی از تعیین کننده های مرتبه دوم برابر با 0 نیست:

a y - a x a z 0 = a x · a z، a y 0 a z - a x = a x · a y، - a x 0 0 - a x = a x 2 a y - a x 0 a z = a y · a z، a y 0 - a y = - a y 2، - a x 0 a z - a y = a x · a y a z 0 0 a z = a z 2, a z - a x 0 - a y = - a y · a z, 0 - a x a z - a y = a x · a z

این به ما این فرصت را می دهد که یک معادله را از محاسبات خود حذف کنیم. بنابراین، معادلات خط مستقیم متعارف را می توان به سیستمی از دو معادله خطی تبدیل کرد که شامل 3 مجهول است. آنها معادلات دو صفحه متقاطع مورد نیاز ما خواهند بود.

استدلال بسیار پیچیده به نظر می رسد، اما در عمل همه چیز به سرعت انجام می شود. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

مثال 9

خط مستقیم با معادله متعارف x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 به دست می آید. معادله ای از صفحات متقاطع برای آن بنویسید.

راه حل

بیایید با معادله جفتی کسرها شروع کنیم.

x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ x - 1 2 = y 0 x - 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 1) = 2 y 0 · (x - 1) = 2 · (z + 2) 0 · y = 0 · (z + 2) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0

اکنون معادله آخر را از محاسبات حذف می کنیم، زیرا برای هر x، y و z صادق خواهد بود. در این مورد، x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0.

اینها معادلات دو صفحه متقاطع هستند که هنگام تقاطع یک خط مستقیم را تشکیل می دهند که با معادله x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 تعریف شده است.

پاسخ: y = 0 z + 2 = 0

مثال 10

خط با معادلات x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 به دست می آید، معادله دو صفحه را که در امتداد این خط متقاطع می شوند، پیدا کنید.

راه حل

کسرها را به صورت جفت برابر کنید.

x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 2 1 x + 1 2 = z - 5 - 3 y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ ⇔ 1 · ( x + 1) = 2 (y - 2) - 3 (x + 1) = 2 (z - 5) - 3 (y - 2) = 1 (z - 5) ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + 7 - 11 = 0

متوجه می شویم که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم حاصل برابر با 0 خواهد بود:

1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 0 1 + (- 2) 2 0 + 0 3 3 - 0 0 0 - 1 2 3 - (- 2) 3 · 1 = 0

مینور مرتبه دوم صفر نخواهد بود: 1 - 2 3 0 = 1 · 0 - (- 2) · 3 = 6. سپس می توانیم آن را به عنوان جزئی پایه بپذیریم.

در نتیجه می توانیم رتبه ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0. این 2 خواهد بود. معادله سوم را از محاسبه حذف می کنیم و به دست می آوریم:

x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

پاسخ: x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید