معرفی

منحنی های مرتبه دوم ابتدا توسط یکی از شاگردان افلاطون مورد مطالعه قرار گرفت. کار او به این صورت بود: اگر دو خط مستقیم متقاطع را بگیرید و آنها را به دور نیمساز زاویه تشکیل شده توسط آنها بچرخانید، یک سطح مخروطی به دست خواهید آورد. اگر این سطح را با یک صفحه قطع کنیم، آن بخش اشکال هندسی مختلفی ایجاد می کند، یعنی یک بیضی، یک دایره، یک سهمی، یک هذلولی و چندین شکل منحط.

با این حال، این دانش علمی تنها در قرن هفدهم کاربرد پیدا کرد، زمانی که مشخص شد سیارات در امتداد مسیرهای بیضوی حرکت می کنند و یک پوسته توپ در امتداد یک سهموی پرواز می کند. حتی بعداً مشخص شد که اگر به جسمی اولین سرعت کیهانی داده شود، به صورت دایره ای به دور زمین حرکت می کند، اگر این سرعت افزایش یابد، به صورت بیضی حرکت می کند و با رسیدن به سرعت کیهانی دوم، جسم حرکت می کند. میدان گرانشی زمین را در یک سهمی رها کنید.

بیضی و معادله آن

تعریف 1. بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده که کانون نامیده می شوند، مقدار ثابتی است.

کانون های بیضی با حروف نشان داده می شوند و فاصله بین کانون ها از طریق است و مجموع فواصل هر نقطه از بیضی تا کانون ها از طریق است. علاوه بر این، 2a > 2c.

معادله متعارف بیضی به شکل زیر است:

جایی که آنها با تساوی a 2 + b 2 = c 2 (یا b 2 - a 2 = c 2) مرتبط می شوند.

کمیت را محور اصلی و محور فرعی بیضی می نامند.

تعریف 2. خروج از مرکزبیضی نسبت فاصله بین کانون ها به طول محور اصلی است.

با یک حرف نشان داده شده است.

از آنجایی که طبق تعریف 2a>2c، خروج از مرکز همیشه به عنوان یک کسر مناسب بیان می شود، یعنی. .

می توان نشان داد (ما نمی کنیم) که معادله (2) معادل معادله (1) است، اگرچه از (1) به دست آمده است. غیر معادلتحولات یعنی معادله (2) معادله این بیضی است. نامیده می شود ابتدایی(یعنی ساده ترین).

می توان دید که معادله بیضی یک معادله مرتبه دوم است، یعنی. خط بیضی درجه 2.

برای بیضی مفهوم را معرفی می کنیم عجیب و غریباین مقدار است. برای بیضی، خروج از مرکز است. زیرا باو آشناخته شده، سپس نیز شناخته شده است. بیان شعاع کانونی نقطه M(x,y) بیضی به راحتی از آرگومان های قبلی بدست می آید: . r 2 از برابری پیدا می شود (3)

اظهار نظراگر دو میخ (F1 و F2) را به میز می‌کوبید، از دو سر آن یک نخ ببندید که طول آن بیشتر از فاصله بین میخ‌ها باشد. 2a) طناب را بکشید و یک تکه گچ در امتداد میز بکشید، سپس یک منحنی بیضی بسته که هم در مورد محورها و هم مبدا متقارن است رسم می کند.

4. بررسی شکل یک بیضی با استفاده از معادله متعارف آن.

در تذکر، برای شفافیت، در مورد شکل بیضی نتیجه گرفتیم. حال اجازه دهید شکل بیضی را با تجزیه و تحلیل معادله متعارف آن مطالعه کنیم:

بیایید نقاط تقاطع با محورهای مختصات را پیدا کنیم. اگر ,y=0، آنگاه، , i.e. ما دو نقطه A1(-a,0) و A2(a,0) داریم. اگر x=0، پس، . آن ها ما دو نقطه B1(0,-b) و B2(0,b) داریم (از , سپس ). نقاط A1، A2، B1، B2 نامیده می شوند رئوس بیضی

2) منطقه محل بیضی را می توان از ملاحظات زیر تعیین کرد:

الف) از معادله بیضی نتیجه می شود که، i.e. ، یعنی یا .

ب) به طور مشابه، یعنی. یا . این نشان می دهد که کل بیضی در مستطیلی قرار دارد که توسط خطوط و .

3) بعلاوه، متغیرهای x و y فقط در توان زوج وارد معادله بیضی می شوند، به این معنی که منحنی نسبت به هر یک از محورها و نسبت به مبدا متقارن است. D-اما اگر یک نقطه (x، y) به شعاع تعلق داشته باشد، نقاط (x، -y)، (-x، y) و (-x، -y) نیز به آن تعلق دارند. بنابراین، کافی است فقط آن قسمت از بیضی را در نظر بگیریم که در ربع اول قرار دارد، کجا و .

4) از معادله بیضی داریم و در ربع اول . اگر x=0، آنگاه y=b. این نقطه B2(0,b) است. اجازه دهید x از 0 به a افزایش یابد، سپس y از b به 0 کاهش یابد. بنابراین، نقطه M(x, y)، با شروع از نقطه B2(0، b) که یک کمان را توصیف می کند، به نقطه A(a,0) می رسد. می توان به شدت ثابت کرد که قوس به صورت محدب به سمت بالا هدایت می شود. با انعکاس این کمان در محورهای مختصات و مبدا، کل بیضی را بدست می آوریم. محورهای تقارن بیضی را محورهای آن می نامند و نقطه O تقاطع آنها مرکز بیضی است. طول قطعات OA1=OA2=a را محور نیمه اصلی بیضی می نامند، قطعات OB1، OB2=b محور نیمه کوچک بیضی هستند، (a>b)، c نیمه کانونی است. فاصله قدر را به راحتی می توان از نظر هندسی توضیح داد.

وقتی a=b از معادله متعارف بیضی معادله یک دایره را بدست می آوریم. برای یک دایره، یعنی F1=F2=0. .

بنابراین، یک دایره یک مورد خاص از بیضی است، زمانی که کانون های آن با مرکز و خروج از مرکز منطبق باشد = 0. هر چه خروج از مرکز بیشتر باشد، بیضی کشیده تر می شود.

اظهار نظر.از معادله متعارف بیضی به راحتی می توان نتیجه گرفت که بیضی را می توان به صورت پارامتریک مشخص کرد. x=a هزینه t

y=b sin t،که در آن a، b نیم محورهای اصلی و فرعی، زاویه t هستند.

5. تعریف و استخراج معادله هذلولی متعارف.

هایپربولیصفحات HMT نامیده می شوند که برای آنها تفاوت فاصله از دو نقطه ثابت F1F2 صفحه که کانون نامیده می شود، یک مقدار ثابت است (نه برابر 0 و کمتر از فاصله کانونی F1F2).

مانند قبل F1F2 = 2c را نشان خواهیم داد و تفاوت فاصله ها 2a است (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

فرض کنید M (x,y) نقطه فعلی هذلولی باشد. طبق تعریف MF1-MF2= یا r 1 -r 2 = = یا --(1). - این معادله هذلولی است.

از نامعقول بودن در (1) خلاص می شویم: یک ریشه را جدا می کنیم، هر دو قسمت را مربع می کنیم، می گیریم: یا دوباره مربع آن:

جایی که .

تقسیم بر . اجازه دهید نام را معرفی کنیم. سپس --(2). معادله (2)، همانطور که نشان داده می شود، معادل معادله (1) است و بنابراین معادله یک هذلولی است. او نامیده می شود معادله متعارف هذلولیمی بینیم که معادله هذلولی نیز درجه دوم است، یعنی خط هذلولی مرتبه دوم.

خروج از مرکز هذلولی. عبارت شعاع کانونی از طریق عبارت قبلی به راحتی بدست می آید، سپس آن را از .

6. بررسی شکل هذلولی با استفاده از معادله متعارف آن.

ما به همان روشی که هنگام مطالعه بیضی استدلال می کنیم.

1. نقاط تقاطع را با محورهای هذلولی بیابید. اگر x=0، پس . هیچ نقطه تقاطعی با محور op-amp وجود ندارد. اگر y=0، آنگاه . نقاط تقاطع , . آنها نامیده می شوند رئوس هذلولی

2. ناحیه مکان هذلولی: , i.e. یا . این بدان معنی است که هذلولی در خارج از نواری قرار دارد که توسط خطوط مستقیم محدود شده است x=-aو x=a.

3. هذلولی همه نوع تقارن دارد، زیرا x و y در توان های زوج رخ می دهند. بنابراین کافی است آن قسمت از هذلولی را که در ربع اول قرار دارد در نظر بگیریم.

4. از معادله هذلولی (2) در ربع اول داریم . برای x=a، y=0 نقطه داریم. در، یعنی منحنی به سمت راست بالا می رود. برای اینکه حرکت را واضح‌تر تصور کنید، دو خط کمکی را در نظر بگیرید که از مبدأ مختصات می‌گذرند و قطرهای یک مستطیل با اضلاع 2a و 2b هستند: BCB’C. آنها معادلات و . اجازه دهید ثابت کنیم که نقطه فعلی هذلولی M(x,y) به بی نهایت می رود و بدون محدودیت به خط مستقیم نزدیک می شود. بیایید یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم ایکسو مختصات مربوط به نقطه هذلولی و خط را با هم مقایسه کنید. بدیهی است که Y>Y. MN=Y-y=.

ما می بینیم که وقتی، یعنی. منحنی با دور شدن از مبدا به طور نامحدود به خط مستقیم نزدیک می شود. این ثابت می کند که خط مجانبی از هذلولی است. علاوه بر این، هذلولی مجانبی را قطع نمی کند. این برای ساختن بخشی از هذلولی کافی است. به صورت محدب رو به بالا است. قسمت های باقی مانده به صورت تقارن کامل می شوند. توجه داشته باشید که محورهای تقارن هذلولی (محورهای مختصات) آن نامیده می شود تبرهانقطه تقاطع محورها- مرکزهایپربولی یک محور هذلولی (محور واقعی) را قطع می کند، دیگری نه (خیالی). بخش خط آنیمه محور واقعی، قطعه نامیده می شود ب- نیمه محور خیالی. مستطیل BCB'C را مستطیل اصلی هذلولی می نامند.

اگر a=b، سپس مجانب با محورهای مختصات در امتداد زاویه تشکیل می دهند. سپس هذلولی نامیده می شود متساوی الاضلاع یا متساوی الاضلاعمستطیل اصلی به مربع تبدیل می شود. مجانب آن بر هم عمود هستند.

اظهار نظر.

گاهی اوقات هذلولی را در نظر می گیریم که معادله متعارف آن (3) است. به او زنگ می زنند مزدوجدر رابطه با هذلولی (2). هایپربولا (3) دارای یک محور واقعی که عمودی و یک محور خیالی افقی است. در صورت تنظیم مجدد، ظاهر آن بلافاصله مشخص می شود ایکسو در, آو ب(او به خود قبلی خود برمی گردد). اما هذلولی (3) شکل زیر را دارد:

این صحبت میکنه.

5. همانطور که قبلاً اشاره شد، معادله هذلولی متساوی الاضلاع ( الف=ب)، هنگامی که محورهای مختصات با محورهای هذلولی منطبق می شوند، به شکل . (4)

زیرا مجانب هذلولی متساوی الاضلاع عمود هستند، سپس می توان آنها را به عنوان محورهای مختصات OX 1 و OU 1 نیز در نظر گرفت. این معادل چرخاندن سیستم قبلی OXY توسط یک زاویه است. فرمول چرخش زاویه به شرح زیر است:

سپس در سیستم مختصات جدید OX 1 Y 1 معادله (4) بازنویسی می شود:

یا یا . با نشان دادن، یا (5) را می گیریم - این معادله است هذلولی متساوی الاضلاع، به عنوان مجانبی طبقه بندی می شوند (این نوع هذلولی بود که در مدرسه مورد توجه قرار گرفت).

اظهار نظر: از معادله به دست می آید که مساحت هر مستطیل ساخته شده بر روی مختصات هر نقطه از هذلولی M(x,y) یکسان است: S= ک 2 .

7. تعریف و استخراج معادله متعارف سهمی.

سهمی GMT هواپیما نامیده می شود که برای هر یک از آنها فاصله از یک نقطه ثابت F هواپیما، به نام تمرکز، برابر است با فاصله از یک خط مستقیم ثابت به نام مدیر مدرسه(تمرکز خارج از مدیر مدرسه).

فاصله F تا جهت را با p نشان می دهیم و آن را پارامتر سهمی می نامیم. اجازه دهید سیستم مختصات را به صورت زیر انتخاب کنیم: محور OX را از نقطه F عمود بر مستقیم NP بکشید. اجازه دهید مبدا مختصات را در وسط بخش FP انتخاب کنیم.

در این سیستم: .

بیایید یک نقطه دلخواه M(x,y) با مختصات فعلی (x,y) بگیریم. از همین رو

بنابراین (1) معادله سهمی است. بیایید ساده کنیم:

یا (2) - همین است معادله متعارف سهمیمی توان نشان داد که (1) و (2) معادل هستند.

معادله (2) یک معادله مرتبه دوم است، یعنی. سهمی خطی از درجه 2 است.

8. بررسی شکل سهمی با استفاده از معادله متعارف آن.

(p>0).

1) x=0، y=0 سهمی از مبدا مختصات نقطه O می گذرد. ​​به آن راس سهمی می گویند.

2) یعنی سهمی در سمت راست محور op-amp، در نیم صفحه سمت راست قرار دارد.

3) دردر یک درجه زوج قرار می گیرد، بنابراین سهمی متقارن در مورد محور OX است، بنابراین، کافی است آن را در ربع اول بسازیم.

4) در سه ماهه اول در , i.e. سهمی به سمت راست بالا می رود. می توان نشان داد که تحدب به سمت بالا است. ما در پایین با توجه به تقارن می سازیم. محور OU مماس بر سهمی است.

بدیهی است که شعاع کانونی است. رابطه نامیده می شود عجیب و غریب: . محور تقارن سهمی (در مورد ما OX) محور سهمی نامیده می شود.

توجه داشته باشید که معادله نیز سهمی است، اما در جهت مخالف است. معادلات سهمی هایی را نیز تعریف می کنند که محور آنها محور op-amp است.

یا به شکلی آشناتر، که در آن .

معادله یک سهمی معمولی با راس جابجا شده را تعریف می کند.

یادداشت. 1) بین هر چهار خط مرتبه دوم رابطه نزدیکی وجود دارد - همه آنها هستند مقاطع مخروطی. اگر یک مخروط از دو حفره برداریم، وقتی آن را با صفحه ای عمود بر محور مخروط برش می دهیم، یک دایره می گیریم؛ اگر سطح مقطع را کمی کج کنیم، یک بیضی به دست می آید. اگر صفحه موازی با ژنراتیکس باشد، آن مقطع یک سهمی است، اگر صفحه هر دو را قطع کند

حفره ها-هذلولی.

2) می توان ثابت کرد که اگر یک پرتو نور که از کانون یک سهمی می آید از آن منعکس شود، آنگاه پرتو منعکس شده به موازات محور سهمی می رود - این در عمل نورافکن ها استفاده می شود - یک بازتابنده سهمی، و در کانون - یک منبع نور. این منجر به یک جریان هدایت شده از نور می شود.

3) اگر پرتاب یک ماهواره زمین را از نقطه T در خارج از جو در جهت افقی تصور کنیم، اگر سرعت اولیه v 0 کافی نیست، پس ماهواره به دور زمین نمی چرخد. پس از رسیدن به اولین سرعت فرار، ماهواره در مداری دایره ای به دور زمین می چرخد ​​که مرکز آن در مرکز زمین است. اگر سرعت اولیه افزایش یابد، چرخش در امتداد یک بیضی رخ می دهد، مرکز زمین در یکی از کانون ها خواهد بود. با رسیدن به سرعت فرار دوم، مسیر به صورت سهمی در می آید و ماهواره به نقطه T برنمی گردد، بلکه در منظومه شمسی خواهد بود. آن ها سهمی یک بیضی با یک کانون در بی نهایت است. با افزایش بیشتر در سرعت اولیه، مسیر هذلولی می شود و تمرکز دوم در سمت دیگر ظاهر می شود. مرکز زمین همیشه در کانون مدار خواهد بود. ماهواره منظومه شمسی را ترک خواهد کرد.

سخنرانی در مورد جبر و هندسه. ترم 1.

سخنرانی 15. بیضی.

فصل 15. بیضی.

بند 1. تعاریف اساسی

تعریف. بیضی GMT ​​یک صفحه است، مجموع فواصل تا دو نقطه ثابت صفحه که کانون نامیده می شوند، یک مقدار ثابت است.

تعریف. فاصله یک نقطه دلخواه M صفحه تا کانون بیضی را شعاع کانونی نقطه M می نامند.

نامگذاری ها:
- کانون های بیضی،
- شعاع کانونی نقطه M.

با تعریف بیضی، نقطه M نقطه بیضی است اگر و فقط اگر
- مقدار ثابت. این ثابت معمولاً به صورت 2a نشان داده می شود:

. (1)

توجه کنید که
.

طبق تعریف بیضی، کانون های آن نقاط ثابتی هستند، بنابراین فاصله بین آنها نیز یک مقدار ثابت برای یک بیضی مشخص است.

تعریف. فاصله کانونی های بیضی را فاصله کانونی می گویند.

تعیین:
.

از یک مثلث
به دنبال آن است
، یعنی

.

اجازه دهید عددی را با b نشان دهیم
، یعنی

. (2)

تعریف. نگرش

(3)

خروج از مرکز بیضی نامیده می شود.

اجازه دهید یک سیستم مختصات را در این صفحه معرفی کنیم که آن را برای بیضی متعارف می نامیم.

تعریف. محوری که کانون های بیضی روی آن قرار دارند، محور کانونی نامیده می شود.

بیایید یک PDSC متعارف برای بیضی بسازیم، شکل 2 را ببینید.

محور کانونی را به عنوان محور آبسیسا انتخاب می کنیم و محور ارتین را از وسط قطعه ترسیم می کنیم.
عمود بر محور کانونی

سپس کانون ها مختصاتی دارند
,
.

بند 2. معادله متعارف یک بیضی.

قضیه. در سیستم مختصات متعارف برای یک بیضی، معادله بیضی به شکل زیر است:

. (4)

اثبات ما اثبات را در دو مرحله انجام می دهیم. در مرحله اول، ثابت خواهیم کرد که مختصات هر نقطه ای که روی بیضی قرار دارد، معادله (4) را برآورده می کند. در مرحله دوم ثابت خواهیم کرد که هر جوابی برای معادله (4) مختصات نقطه ای را می دهد که روی بیضی قرار دارد. از اینجا نتیجه خواهد شد که معادله (4) توسط آن نقاط و تنها نقاطی از صفحه مختصات که روی بیضی قرار دارند ارضا می شود. از این و از تعریف معادله منحنی نتیجه می شود که معادله (4) معادله بیضی است.

1) نقطه M(x,y) نقطه ای از بیضی باشد، یعنی. مجموع شعاع کانونی آن 2a است:

.

بیایید از فرمول فاصله بین دو نقطه در صفحه مختصات استفاده کنیم و از این فرمول برای یافتن شعاع کانونی یک نقطه M استفاده کنیم:

,
، از جایی که می گیریم:

بیایید یک ریشه را به سمت راست تساوی ببریم و آن را مربع کنیم:

با کاهش، دریافت می کنیم:

ما موارد مشابه را ارائه می دهیم، 4 کاهش می دهیم و رادیکال را حذف می کنیم:

.

مربع کردن

براکت ها را باز کرده و کوتاه کنید
:

از کجا می گیریم:

با استفاده از برابری (2) به دست می آوریم:

.

تقسیم آخرین برابری بر
، برابری (4) و غیره را بدست می آوریم.

2) فرض کنید یک جفت اعداد (x,y) معادله (4) را برآورده کند و فرض کنید M(x,y) نقطه متناظر در صفحه مختصات Oxy باشد.

سپس از (4) چنین می شود:

.

ما این برابری را با عبارت برای شعاع کانونی نقطه M جایگزین می کنیم:

.

در اینجا از برابری (2) و (3) استفاده کردیم.

بدین ترتیب،
. به همین ترتیب،
.

حال توجه داشته باشید که از برابری (4) نتیجه می شود که

یا
و غیره.
، سپس نابرابری به صورت زیر است:

.

از اینجا به نوبه خود نتیجه می شود که

یا
و

,
. (5)

از مساوات (5) نتیجه می شود که
، یعنی نقطه M(x,y) نقطه ای از بیضی است و غیره.

قضیه ثابت شده است.

تعریف. معادله (4) معادله متعارف بیضی نامیده می شود.

تعریف. محورهای مختصات متعارف یک بیضی را محورهای اصلی بیضی می نامند.

تعریف. مبدأ سیستم مختصات متعارف بیضی را مرکز بیضی می گویند.

بند 3. خواص بیضی.

قضیه. (خواص بیضی.)

1. در سیستم مختصات متعارف برای یک بیضی، همه چیز

نقاط بیضی در مستطیل قرار دارند

,
.

2. نقاط روی آن قرار دارند

3. بیضی منحنی است که نسبت به آن متقارن است

محورهای اصلی آنها

4. مرکز بیضی مرکز تقارن آن است.

اثبات 1، 2) بلافاصله از معادله متعارف بیضی به دست می آید.

3، 4) فرض کنید M(x، y) یک نقطه دلخواه از بیضی باشد. سپس مختصات آن معادله (4) را برآورده می کند. اما سپس مختصات نقاط نیز معادله (4) را برآورده می کند، و بنابراین، نقاط بیضی هستند که گزاره های قضیه از آنها پیروی می کنند.

قضیه ثابت شده است.

تعریف. کمیت 2a را محور اصلی بیضی، کمیت a را محور نیمه اصلی بیضی می نامند.

تعریف. کمیت 2b را محور فرعی بیضی، کمیت b را محور نیمه‌مینور بیضی می‌نامند.

تعریف. نقاط تلاقی یک بیضی با محورهای اصلی آن را رئوس بیضی می گویند.

اظهار نظر. بیضی را می توان به صورت زیر ساخت. در هواپیما، ما "میخی را به نقاط کانونی میکوبیم" و طول نخ را به آنها می بندیم.
. سپس یک مداد برداشته و با آن نخ را محکم می کنیم. سپس سرب مداد را در امتداد صفحه حرکت می دهیم و از محکم بودن نخ مطمئن می شویم.

از تعریف خروج از مرکز چنین بر می آید که

اجازه دهید عدد a را ثابت کرده و عدد c را روی صفر هدایت کنیم. سپس در
,
و
. در حدی که به دست می آوریم

یا
- معادله دایره

اجازه دهید ما اکنون کارگردانی کنیم
. سپس
,
و می بینیم که در حد، بیضی به یک پاره خط مستقیم تبدیل می شود
در نماد شکل 3.

بند 4. معادلات پارامتری بیضی.

قضیه. اجازه دهید
- اعداد واقعی دلخواه سپس سیستم معادلات

,
(6)

معادلات پارامتریک یک بیضی در سیستم مختصات متعارف برای بیضی هستند.

اثبات کافی است ثابت کنیم که سیستم معادلات (6) معادل معادله (4) است، یعنی. آنها مجموعه ای از راه حل های مشابه دارند.

1) فرض کنید (x,y) یک راه حل دلخواه برای سیستم (6) باشد. معادله اول را بر a، دومی را بر b تقسیم کنید، هر دو معادله را مربع کنید و اضافه کنید:

.

آن ها هر جواب (x,y) سیستم (6) معادله (4) را برآورده می کند.

2) برعکس، اجازه دهید جفت (x، y) یک راه حل برای معادله (4)، یعنی.

.

از این تساوی نتیجه می شود که نقطه با مختصات
روی دایره ای با شعاع واحد با مرکز در مبدا قرار دارد، یعنی. نقطه ای از یک دایره مثلثاتی است که زاویه مشخصی با آن مطابقت دارد
:

از تعریف سینوس و کسینوس بلافاصله نتیجه می شود که

,
، جایی که
، که از آن نتیجه می شود که جفت (x, y) راه حلی برای سیستم (6) و غیره است.

قضیه ثابت شده است.

اظهار نظر. یک بیضی را می توان در نتیجه "فشردگی" یکنواخت دایره ای به شعاع a به سمت محور آبسیسا به دست آورد.

اجازه دهید
- معادله دایره با مرکز در مبدا. "فشردگی" یک دایره به محور آبسیسا چیزی نیست جز تبدیل صفحه مختصات که طبق قانون زیر انجام می شود. برای هر نقطه M(x,y) یک نقطه را در همان صفحه مرتبط می کنیم
، جایی که
,
- نسبت تراکم.

با این تبدیل، هر نقطه روی دایره به نقطه دیگری در صفحه "انتقال" می‌یابد که دارای همان آبسیسا، اما مختصات کوچک‌تر است. بیایید ترتیب قدیمی یک نقطه را از طریق جدید بیان کنیم:

و دایره ها را در معادله جایگزین کنید:

.

از اینجا دریافت می کنیم:

. (7)

از این نتیجه می شود که اگر قبل از تبدیل "فشرده سازی" نقطه M(x, y) روی دایره قرار داشته باشد، یعنی. مختصات آن معادله دایره را برآورده کرد، سپس پس از تبدیل "فشردگی" این نقطه به نقطه "تبدیل" شد.
، که مختصات آن معادله بیضی (7) را برآورده می کند. اگر بخواهیم معادله یک بیضی را با محور نیمه b به دست آوریم، باید ضریب تراکم را بگیریم.

.

بند 5. مماس بر بیضی.

قضیه. اجازه دهید
- نقطه دلخواه بیضی

.

سپس معادله مماس بر این بیضی در نقطه
دارای فرم:

. (8)

اثبات کافی است موردی را در نظر بگیریم که نقطه مماس در ربع اول یا دوم صفحه مختصات باشد:
. معادله بیضی در نیم صفحه بالایی به شکل زیر است:

. (9)

بیایید از معادله مماس برای نمودار تابع استفاده کنیم
در نقطه
:

جایی که
- مقدار مشتق یک تابع معین در یک نقطه
. بیضی در ربع اول را می توان نمودار تابع (8) در نظر گرفت. بیایید مشتق و مقدار آن را در نقطه مماس پیدا کنیم:

,

. در اینجا ما از این واقعیت استفاده کردیم که نقطه مماس
نقطه ای از بیضی است و بنابراین مختصات آن معادله بیضی (9) را برآورده می کند.

.

مقدار یافت شده مشتق را با معادله مماس (10) جایگزین می کنیم:

,

از کجا می گیریم:

این دلالت می کنه که:

بیایید این برابری را بر تقسیم کنیم
:

.

ذکر این نکته باقی مانده است
، زیرا نقطه
متعلق به بیضی است و مختصات آن معادله آن را برآورده می کند.

معادله مماس (8) به روشی مشابه در نقطه مماس واقع در ربع سوم یا چهارم صفحه مختصات ثابت می شود.

و در نهایت، به راحتی می توانیم تأیید کنیم که معادله (8) معادله مماس را در نقاط نشان می دهد
,
:

یا
، و
یا
.

قضیه ثابت شده است.

بند 6. خاصیت آینه ای بیضی

قضیه. مماس بر بیضی دارای زوایای مساوی با شعاع کانونی نقطه مماس است.

اجازه دهید
- نقطه تماس،
,
شعاع های کانونی نقطه مماس هستند، P و Q برآمدگی کانون ها روی مماس کشیده شده به بیضی در نقطه هستند.
.

قضیه بیان می کند که

. (11)

این برابری را می توان به برابری زوایای تابش و انعکاس یک پرتو نور از یک بیضی آزاد شده از کانون آن تعبیر کرد. این خاصیت را خاصیت آینه ای بیضی می نامند:

پرتویی از نور منتشر شده از کانون بیضی، پس از انعکاس از آینه بیضی، از کانون دیگری از بیضی عبور می کند.

اثبات قضیه. برای اثبات تساوی زاویه ها (11) شباهت مثلث ها را ثابت می کنیم
و
، که در آن طرفین
و
مشابه خواهد بود. از آنجایی که مثلث ها قائم الزاویه هستند، برای اثبات برابری کافی است

. (12)

از آنجایی که توسط ساخت و ساز
- فاصله از فوکوس به مماس L (نگاه کنید به شکل 7)،
. بیایید از فرمول فاصله از یک نقطه تا یک خط در یک صفحه استفاده کنیم:

از آنجایی که معادله مماس بر بیضی در نقطه است
به نظر می رسد

,

,

.

در اینجا از فرمول (5) برای شعاع کانونی نقطه بیضی استفاده کردیم.

قضیه ثابت شده است.

اثبات دوم قضیه:

,
,
بردار نرمال مماس L است.

. از اینجا،
.

به همین ترتیب می یابیم،
و
، و غیره.

بند 7. جهت یک بیضی

تعریف. جهات یک بیضی دو خط مستقیم هستند که در سیستم مختصات متعارف بیضی دارای معادلات هستند.

یا
. (13)

قضیه. بگذارید M یک نقطه دلخواه بیضی باشد، , - شعاع کانونی آن، - فاصله از نقطه M تا جهت چپ، - به سمت راست. سپس

, (14)

جایی که – خروج از مرکز بیضی.

اثبات

فرض کنید M(x,y) مختصات یک نقطه دلخواه از بیضی باشد. سپس

,
,

از آنجا تساوی (14) به دنبال دارد.

قضیه ثابت شده است.

بند 8. پارامتر کانونی بیضی.

تعریف. پارامتر کانونی یک بیضی طول عمودی است که قبل از تقاطع با بیضی در کانون آن بازیابی شده است.

پارامتر کانونی معمولاً با حرف p نشان داده می شود.

از تعریف به دست می آید که پارامتر کانونی

.

قضیه. پارامتر کانونی بیضی برابر است با

. (15)

اثبات از آنجایی که نقطه N(–с; р) نقطه ای از بیضی است
، سپس مختصات آن معادله او را برآورده می کند:

.

از اینجا پیدا می کنیم

,

از آنجا آمده است (15).

قضیه ثابت شده است.

بند 9. تعریف دوم بیضی

قضیه از بند 7. می تواند به عنوان تعریفی از بیضی عمل کند.

تعریف. بیضی یک GMT است که نسبت فاصله به یک نقطه ثابت صفحه به نام کانون به فاصله به یک خط مستقیم ثابت که مستقیما نامیده می شود مقدار ثابتی کمتر از واحد است و به آن گریز از مرکز می گویند:

.

البته در این مورد اولین تعریف از eoips یک قضیه است که نیاز به اثبات دارد.

تعریف 7.1.مجموعه تمام نقاط صفحه ای که مجموع فاصله دو نقطه ثابت F 1 و F 2 برای آنها مقدار ثابت معینی است نامیده می شود. بیضی

تعریف بیضی روش زیر را برای ساخت هندسی آن ارائه می دهد. دو نقطه F 1 و F 2 را روی صفحه ثابت می کنیم و یک مقدار ثابت غیر منفی را با 2a نشان می دهیم. بگذارید فاصله بین نقاط F 1 و F 2 2c باشد. بیایید تصور کنیم که یک نخ کشش ناپذیر به طول 2a در نقاط F 1 و F 2 به عنوان مثال با استفاده از دو سوزن ثابت شود. واضح است که این فقط برای ≥ c امکان پذیر است. پس از کشیدن نخ با مداد، یک خط بکشید که بیضی خواهد بود (شکل 7.1).

بنابراین، مجموعه توصیف شده خالی نیست اگر a ≥ c. وقتی a = c، بیضی قطعه ای است با انتهای F 1 و F 2، و وقتی c = 0 باشد، یعنی. اگر نقاط ثابت مشخص شده در تعریف بیضی بر هم منطبق باشند، دایره ای به شعاع a است. با کنار گذاشتن این موارد منحط، به عنوان یک قاعده، بیشتر فرض می کنیم که a > c > 0.

نقاط ثابت F 1 و F 2 در تعریف 7.1 بیضی (نگاه کنید به شکل 7.1) نامیده می شوند. کانون های بیضی، فاصله بین آنها، نشان داده شده با 2c، - فاصله کانونیو بخش های F 1 M و F 2 M که نقطه دلخواه M روی بیضی را با کانون های آن متصل می کنند شعاع کانونی.

شکل بیضی کاملاً با فاصله کانونی |F 1 F 2 | تعیین می شود = 2c و پارامتر a و موقعیت آن در صفحه - یک جفت نقطه F 1 و F 2.

از تعریف بیضی به دست می آید که با توجه به خطی که از کانون های F 1 و F 2 عبور می کند و همچنین با توجه به خطی که قطعه F 1 F 2 را به نصف تقسیم می کند و عمود بر آن است متقارن است. (شکل 7.2، الف). این خطوط نامیده می شوند محورهای بیضی. نقطه O تقاطع آنها مرکز تقارن بیضی است و به آن می گویند مرکز بیضیو نقاط تقاطع بیضی با محورهای تقارن (نقاط A، B، C و D در شکل 7.2، a) - رئوس بیضی.

عدد a نامیده می شود نیم محور اصلی بیضی، و b = √(a 2 - c 2) - آن است محور فرعی. به راحتی می توان فهمید که برای c > 0، محور نیمه اصلی a برابر است با فاصله مرکز بیضی تا رئوس آن که با کانون های بیضی در یک محور قرار دارند (راس های A و B). در شکل 7.2، a)، و محور نیمه فرعی b برابر است با فاصله بیضی مرکزی تا دو راس دیگر آن (راس C و D در شکل 7.2، a).

معادله بیضیاجازه دهید مقداری بیضی روی صفحه با تمرکز در نقاط F 1 و F 2، محور اصلی 2a در نظر بگیریم. فرض کنید 2c فاصله کانونی باشد، 2c = |F 1 F 2 |

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy را در صفحه انتخاب کنیم تا مبدأ آن با مرکز بیضی منطبق باشد و کانون های آن بر روی صفحه باشد. محور x(شکل 7.2، ب). چنین سیستم مختصاتی نامیده می شود ابتداییبرای بیضی مورد نظر، و متغیرهای مربوطه هستند ابتدایی.

در سیستم مختصات انتخاب شده، کانون ها دارای مختصات F 1 (c; 0)، F 2 (-c; 0) هستند. با استفاده از فرمول فاصله بین نقاط، شرط |F 1 M| را می نویسیم + |F 2 M| = 2a در مختصات:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

این معادله ناخوشایند است زیرا حاوی دو رادیکال مربع است. پس بیایید آن را متحول کنیم. اجازه دهید رادیکال دوم در رابطه (7.2) را به سمت راست منتقل کرده و مربع آن را انجام دهیم:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

پس از باز کردن پرانتز و آوردن عبارت های مشابه، به دست می آوریم

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

جایی که ε = c/a. عملیات مربع سازی را برای حذف رادیکال دوم تکرار می کنیم: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2، یا با در نظر گرفتن مقدار پارامتر وارد شده ε، (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . از آنجایی که a 2 - c 2 = b 2 > 0، پس

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1، a > b > 0. (7.4)

معادله (7.4) با مختصات تمام نقاطی که روی بیضی قرار دارند برآورده می شود. اما هنگام استخراج این معادله، از تبدیل های غیر معادل معادله اصلی (7.2) استفاده شد - دو مربع که رادیکال های مربع را حذف می کنند. اگر هر دو طرف مقادیری با علامت یکسان داشته باشند، مربع کردن یک معادله تبدیل معادل است، اما ما این را در تبدیل‌های خود بررسی نکردیم.

اگر موارد زیر را در نظر بگیریم، می توانیم از بررسی هم ارزی تبدیل ها اجتناب کنیم. یک جفت نقطه F 1 و F 2، |F 1 F 2 | = 2c، در صفحه یک خانواده از بیضی ها با کانون ها در این نقاط را تعریف می کند. هر نقطه از صفحه، به جز نقاط قطعه F 1 F 2، متعلق به برخی از بیضی های خانواده نشان داده شده است. در این مورد، هیچ دو بیضی قطع نمی‌شوند، زیرا مجموع شعاع‌های کانونی به‌طور منحصربه‌فرد یک بیضی خاص را تعیین می‌کند. بنابراین، خانواده بیضی های توصیف شده بدون تقاطع، کل صفحه را پوشش می دهد، به جز نقاط بخش F 1 F 2. اجازه دهید مجموعه ای از نقاط را در نظر بگیریم که مختصات آنها معادله (7.4) را با مقدار معینی از پارامتر a برآورده می کند. آیا این مجموعه را می توان بین چندین بیضی توزیع کرد؟ برخی از نقاط مجموعه به یک بیضی با محور نیمه اصلی a تعلق دارند. بگذارید نقطه ای در این مجموعه وجود داشته باشد که روی یک بیضی با محور نیمه اصلی a قرار دارد. سپس مختصات این نقطه از معادله تبعیت می کنند

آن ها معادلات (7.4) و (7.5) راه حل های مشترک دارند. با این حال، به راحتی می توان تأیید کرد که سیستم

برای ã ≠ a هیچ راه حلی ندارد. برای این کار کافی است که مثلاً x را از معادله اول حذف کنیم:

که پس از تبدیل ها منجر به معادله می شود

که هیچ راه حلی برای ã ≠ a ندارد، زیرا . بنابراین، (7.4) معادله یک بیضی با محور نیمه اصلی a > 0 و محور نیمه فرعی b =√(a 2 - c 2) > 0 است. معادله بیضی متعارف.

نمای بیضی.روش هندسی ساخت بیضی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، ایده کافی از ظاهر بیضی به دست می دهد. اما شکل بیضی را می توان با استفاده از معادله متعارف آن (7.4) نیز بررسی کرد. به عنوان مثال، می توانید با فرض y ≥ 0، y را از طریق x بیان کنید: y = b√(1 - x 2 /a 2)، و با مطالعه این تابع، نمودار آن را بسازید. راه دیگری برای ساختن بیضی وجود دارد. دایره ای به شعاع a با مرکز در مبدأ سیستم مختصات متعارف بیضی (7.4) با معادله x 2 + y 2 = a 2 توصیف می شود. اگر با ضریب a/b > 1 در امتداد فشرده شود محور y، سپس منحنی دریافت می کنید که با معادله x 2 + (ya/b) 2 = a 2، یعنی یک بیضی توصیف می شود.

نکته 7.1.اگر همان دایره با ضریب a/b فشرده شود

خارج از مرکز بیضی. نسبت فاصله کانونی یک بیضی به محور اصلی آن نامیده می شود خروج از مرکز بیضیو با ε نشان داده می شود. برای یک بیضی داده شده است

معادله متعارف (7.4)، ε = 2c/2a = c/a. اگر در (7.4) پارامترهای a و b با نابرابری a مرتبط باشند

هنگامی که c = 0، زمانی که بیضی به یک دایره تبدیل می شود، و ε = 0. در موارد دیگر، 0

معادله (7.3) معادل معادله (7.4) است، زیرا معادلات (7.4) و (7.2) معادل هستند. بنابراین معادله بیضی نیز (7.3) است. علاوه بر این، رابطه (7.3) جالب است زیرا یک فرمول ساده و بدون رادیکال برای طول |F 2 M| یکی از شعاع های کانونی نقطه M(x; y) بیضی: |F 2 M| = a + εx.

فرمول مشابهی برای شعاع کانونی دوم را می توان از ملاحظات تقارن یا با تکرار محاسبات به دست آورد که در آن، قبل از مربع کردن معادله (7.2)، رادیکال اول به سمت راست منتقل می شود، نه دومی. بنابراین، برای هر نقطه M(x; y) روی بیضی (شکل 7.2 را ببینید)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx، (7.6)

و هر یک از این معادلات معادله ای از یک بیضی است.

مثال 7.1.بیایید معادله متعارف یک بیضی با محور نیمه اصلی 5 و گریز از مرکز 0.8 را پیدا کرده و آن را بسازیم.

با دانستن محور نیمه اصلی بیضی a = 5 و خروج از مرکز ε = 0.8، محور نیمه فرعی b آن را خواهیم یافت. از آنجایی که b = √(a 2 - c 2)، و c = εa = 4، پس b = √(5 2 - 4 2) = 3. بنابراین معادله متعارف به شکل x 2 /5 2 + y 2 /3 است. 2 = 1. برای ساخت یک بیضی، راحت است که یک مستطیل با مرکز در مبدا سیستم مختصات متعارف رسم کنید، که اضلاع آن موازی با محورهای تقارن بیضی و برابر با محورهای مربوطه آن است (شکل 1). 7.4). این مستطیل با

محورهای بیضی در رئوس آن A(-5; 0)، B(5; 0)، C(0; -3)، D(0; 3)، و خود بیضی در آن حک شده است. در شکل 7.4 همچنین کانون F 1.2 (±4؛ 0) بیضی را نشان می دهد.

ویژگی های هندسی بیضیاجازه دهید اولین معادله در (7.6) را به صورت |F 1 M| بازنویسی کنیم = (a/ε - x)ε. توجه داشته باشید که مقدار a/ε - x برای a > c مثبت است، زیرا کانون F 1 به بیضی تعلق ندارد. این مقدار نشان دهنده فاصله تا خط عمودی d است: x = a/ε از نقطه M(x; y) که در سمت چپ این خط قرار دارد. معادله بیضی را می توان به صورت زیر نوشت

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

به این معنی که این بیضی از آن نقاط M(x; y) صفحه تشکیل شده است که نسبت طول شعاع کانونی F 1 M به فاصله از خط مستقیم d مقدار ثابتی برابر با ε است (شکل 1). 7.5).

خط مستقیم d دارای یک "دو" است - خط مستقیم عمودی d، متقارن با d نسبت به مرکز بیضی، که با معادله x = -a/ε داده می شود. با توجه به d، بیضی در شرح داده شده است. به همان روشی که با توجه به د. هر دو خط d و d نامیده می شوند جهت های بیضی. جهات بیضی بر محور تقارن بیضی که کانون های آن قرار دارد عمود هستند و از مرکز بیضی در فاصله a/ε = a 2 /c فاصله دارند (شکل 7.5 را ببینید).

فاصله p از جهات تا نزدیکترین کانون به آن نامیده می شود پارامتر کانونی بیضی. این پارامتر برابر است با

p = a/ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c

بیضی خاصیت هندسی مهم دیگری دارد: شعاع کانونی F 1 M و F 2 M با مماس بر بیضی در نقطه M زوایای مساوی ایجاد می کنند (شکل 7.6).

این خاصیت معنای فیزیکی واضحی دارد. اگر منبع نوری در فوکوس F 1 قرار گیرد، پرتوی که از این کانون بیرون می‌آید، پس از انعکاس از بیضی، در امتداد شعاع کانونی دوم می‌رود، زیرا پس از انعکاس در همان زاویه منحنی قبل از انعکاس خواهد بود. بنابراین، تمام پرتوهای خارج شده از کانون F 1 در کانون دوم F 2 متمرکز می شوند و بالعکس. بر اساس این تعبیر به این خاصیت می گویند ویژگی نوری بیضی.

خطوط مرتبه دوم.
بیضی و معادله متعارف آن. دایره

پس از مطالعه کامل خطوط مستقیم در هواپیماما به بررسی هندسه دنیای دو بعدی ادامه می دهیم. مخاطرات دو برابر شده است و من از شما دعوت می کنم از یک گالری زیبا از بیضی ها، هذلولی ها، سهمی ها بازدید کنید که نمایندگان معمولی هستند. خطوط مرتبه دوم. گشت و گذار در حال حاضر آغاز شده است و ابتدا اطلاعات مختصری از کل نمایشگاه در طبقات مختلف موزه:

مفهوم خط جبری و ترتیب آن

خط در هواپیما نامیده می شود جبری، اگر در سیستم مختصات افینمعادله آن شکل دارد، که در آن یک چند جمله ای متشکل از عبارات شکل (- عدد واقعی، - اعداد صحیح غیر منفی) است.

همانطور که می بینید، معادله یک خط جبری شامل سینوس ها، کسینوس ها، لگاریتم ها و دیگر بوموندهای کاربردی نیست. فقط X و Y وارد می شوند اعداد صحیح غیر منفیدرجه.

سفارش خطیبرابر با حداکثر مقدار اصطلاحات موجود در آن است.

با توجه به قضیه مربوطه، مفهوم خط جبری و همچنین ترتیب آن به انتخاب بستگی ندارد. سیستم مختصات افینبنابراین، برای سهولت وجود، فرض می‌کنیم که تمام محاسبات بعدی در آن صورت می‌گیرد مختصات کارتزین.

معادله کلیخط مرتبه دوم دارای فرم، جایی است که - اعداد واقعی دلخواه (مرسوم است که آن را با ضریب دو بنویسند)، و ضرایب در همان زمان برابر با صفر نیستند.

اگر، پس معادله ساده می شود ، و اگر همزمان ضرایب برابر با صفر نباشند، دقیقاً همین است معادله کلی یک خط "مسطح".، که نشان می دهد خط سفارش اول.

بسیاری معنای اصطلاحات جدید را درک کرده اند، اما، با این وجود، برای تسلط 100٪ بر مواد، انگشتان خود را به سوکت می چسبانیم. برای تعیین ترتیب خط، باید تکرار کنید همه شرایطمعادلات آن و پیدا کردن برای هر یک از آنها مجموع درجاتمتغیرهای ورودی

مثلا:

عبارت حاوی "x" تا توان 1 است.
این عبارت حاوی "Y" تا توان 1 است.
هیچ متغیری در عبارت وجود ندارد، بنابراین مجموع توان آنها صفر است.

حالا بیایید بفهمیم که چرا معادله خط را تعریف می کند دومینسفارش:

این عبارت حاوی "x" تا توان 2 است.
جمع دارای مجموع توانهای متغیرها است: 1 + 1 = 2;
این عبارت حاوی "Y" تا توان 2 است.
همه اصطلاحات دیگر - کمتردرجه.

حداکثر مقدار: 2

اگر مثلاً به معادله خود اضافه کنیم، آنگاه مشخص خواهد شد خط مرتبه سوم. بدیهی است که شکل کلی معادله خط مرتبه 3 شامل یک "مجموعه کامل" از اصطلاحات است که مجموع توانهای متغیرهای آن برابر با سه است:
، که در آن ضرایب به طور همزمان برابر با صفر نیستند.

در صورتی که یک یا چند عبارت مناسب را اضافه کنید که حاوی ، سپس ما قبلاً در مورد آن صحبت خواهیم کرد خطوط سفارش 4، و غیره.

به ویژه هنگام آشنایی با خطوط جبری مرتبه های 3، 4 و بالاتر بیش از یک بار مواجه خواهیم شد. سیستم مختصات قطبی.

با این حال، اجازه دهید به معادله کلی بازگردیم و ساده ترین تغییرات مدرسه را به خاطر بسپاریم. به عنوان مثال، یک سهمی به وجود می آید که معادله آن را می توان به راحتی به یک شکل کلی تقلیل داد، و یک هذلولی با یک معادله معادل. با این حال، همه چیز به این راحتی نیست ...

یک اشکال قابل توجه معادله عمومی این است که تقریباً همیشه مشخص نیست که کدام خط را تعریف می کند. حتی در ساده ترین حالت، بلافاصله متوجه نمی شوید که این یک هذل گویی است. چنین طرح‌بندی‌هایی فقط در بالماسکه خوب هستند، بنابراین یک مشکل معمولی در دوره هندسه تحلیلی در نظر گرفته می‌شود. معادله خط مرتبه 2 را به شکل متعارف می آورد.

شکل متعارف یک معادله چیست؟

این شکل استاندارد عمومی پذیرفته شده یک معادله است، زمانی که در عرض چند ثانیه مشخص می شود که چه جسم هندسی را تعریف می کند. علاوه بر این، فرم متعارف برای حل بسیاری از مشکلات عملی بسیار راحت است. بنابراین، برای مثال، با توجه به معادله متعارف "مسطح" مستقیماولاً بلافاصله مشخص می شود که این یک خط مستقیم است و ثانیاً نقطه متعلق به آن و بردار جهت به راحتی قابل مشاهده است.

بدیهی است که هر خط سفارش 1یک خط مستقیم است در طبقه دوم، دیگر این نگهبان نیست که منتظر ما است، بلکه یک گروه بسیار متنوع تر از 9 مجسمه است:

طبقه بندی خطوط مرتبه دوم

با استفاده از مجموعه خاصی از اقدامات، هر معادله یک خط مرتبه دوم به یکی از اشکال زیر کاهش می یابد:

(و اعداد حقیقی مثبت هستند)

1) - معادله متعارف بیضی؛

2) - معادله متعارف هذلولی.

3) - معادله متعارف سهمی؛

4) – خیالیبیضی

5) - یک جفت خط متقاطع؛

6) - جفت خیالیخطوط متقاطع (با یک نقطه تقاطع معتبر در مبدا)؛

7) - یک جفت خط موازی؛

8) - جفت خیالیخطوط موازی؛

9) - یک جفت خط منطبق.

برخی از خوانندگان ممکن است این تصور را داشته باشند که فهرست ناقص است. به عنوان مثال در نقطه شماره 7 معادله زوج را مشخص می کند مستقیم، موازی با محور، و این سوال پیش می آید: معادله ای که خطوط موازی با محور ارتجاعی را تعیین می کند کجاست؟ پاسخ دهید متعارف در نظر گرفته نمی شود. خطوط مستقیم نشان دهنده همان حالت استاندارد است که 90 درجه چرخیده است و ورودی اضافی در طبقه بندی اضافی است، زیرا اساساً چیز جدیدی را به ارمغان نمی آورد.

بنابراین، نه و تنها نه نوع مختلف از خطوط مرتبه دوم وجود دارد، اما در عمل رایج ترین آنها هستند بیضی، هذلولی و سهمی.

ابتدا بیضی را بررسی می کنیم. طبق معمول، من روی نکاتی تمرکز می کنم که برای حل مسائل اهمیت زیادی دارند و اگر به استنتاج دقیق فرمول ها، اثبات قضایا نیاز دارید، لطفاً به عنوان مثال به کتاب درسی بازیلف / آتاناسیان یا الکساندروف مراجعه کنید.

بیضی و معادله متعارف آن

املا... لطفا اشتباهات برخی از کاربران Yandex که علاقه مند به "نحوه ساختن بیضی"، "تفاوت بین بیضی و بیضی" و "غیر مرکزیت یک بیضی" هستند را تکرار نکنید.

معادله متعارف بیضی دارای شکل است که در آن اعداد حقیقی مثبت هستند و . من بعداً تعریف بیضی را بیان خواهم کرد، اما در حال حاضر وقت آن است که از فروشگاه صحبت کردن فاصله بگیریم و یک مشکل رایج را حل کنیم:

چگونه یک بیضی بسازیم؟

بله، فقط آن را بگیرید و فقط آن را بکشید. این کار اغلب اتفاق می افتد و بخش قابل توجهی از دانش آموزان به درستی با نقاشی کنار نمی آیند:

مثال 1

بیضی داده شده توسط معادله را بسازید

راه حل: ابتدا اجازه دهید معادله را به شکل متعارف برسانیم:

چرا آوردن؟ یکی از مزایای معادله متعارف این است که به شما امکان می دهد فوراً تعیین کنید رئوس بیضی، که در نقاطی قرار دارند. به راحتی می توان فهمید که مختصات هر یک از این نقاط معادله را برآورده می کند.

در این مورد :


بخش خطتماس گرفت محور اصلیبیضی
بخش خط – محور فرعی;
عدد تماس گرفت شفت نیمه اصلیبیضی
عدد – محور فرعی.
در مثال ما: .

برای اینکه سریع تصور کنید یک بیضی خاص چگونه به نظر می رسد، کافی است به مقادیر "a" و "be" معادله متعارف آن نگاه کنید.

همه چیز خوب، صاف و زیبا است، اما یک نکته وجود دارد: من نقاشی را با استفاده از برنامه انجام دادم. و شما می توانید نقاشی را با استفاده از هر برنامه ای انجام دهید. با این حال، در واقعیت خشن، یک تکه کاغذ شطرنجی روی میز وجود دارد و موش ها به صورت دایره ای روی دستان ما می رقصند. افراد با استعداد هنری، البته، می توانند بحث کنند، اما شما موش هایی نیز دارید (هر چند کوچکتر). بیهوده نیست که بشریت خط کش، قطب نما، نقاله و سایر وسایل ساده را برای طراحی اختراع کرد.

به همین دلیل، بعید است بتوانیم با دانستن رئوس به دقت بیضی بکشیم. اگر بیضی کوچک باشد، مثلاً با نیم محور، مشکلی ندارد. متناوبا، می توانید مقیاس و بر این اساس، ابعاد نقاشی را کاهش دهید. اما به طور کلی یافتن نکات اضافی بسیار مطلوب است.

دو روش برای ساخت بیضی وجود دارد - هندسی و جبری. من ساخت و ساز با استفاده از قطب نما و خط کش را دوست ندارم زیرا الگوریتم کوتاه ترین نیست و ترسیم به طور قابل توجهی به هم ریخته است. در مواقع اضطراری لطفا به کتاب درسی مراجعه کنید، اما در واقع استفاده از ابزار جبر بسیار منطقی تر است. از معادله بیضی در پیش نویس به سرعت بیان می کنیم:

سپس معادله به دو تابع تقسیم می شود:
- قوس بالای بیضی را مشخص می کند.
- قوس پایین بیضی را مشخص می کند.

بیضی تعریف شده توسط معادله متعارف با توجه به محورهای مختصات و همچنین نسبت به مبدا متقارن است. و این عالی است - تقارن تقریباً همیشه منادی رایگان است. بدیهی است که کافی است با یک چهارم مختصات سروکار داشته باشیم، بنابراین به تابع نیاز داریم . برای یافتن نقاط اضافی با ابسیسا التماس می شود . بیایید روی سه پیامک روی ماشین حساب ضربه بزنید:

البته، همچنین خوب است که اگر اشتباه جدی در محاسبات انجام شود، بلافاصله در طول ساخت و ساز مشخص می شود.

بیایید نقاط روی نقاشی (قرمز)، نقاط متقارن روی قوس های باقی مانده (آبی) را علامت گذاری کنیم و کل شرکت را با یک خط به دقت وصل کنیم:


بهتر است طرح اولیه را خیلی نازک بکشید و تنها پس از آن با مداد فشار وارد کنید. نتیجه باید یک بیضی کاملا مناسب باشد. به هر حال، دوست دارید بدانید این منحنی چیست؟

تعریف بیضی کانون های بیضی و خروج از مرکز بیضی

بیضی یک مورد خاص از بیضی است. کلمه "بیضی" را نباید به معنای فلسطینی فهمید ("کودک بیضی کشید" و غیره). این یک اصطلاح ریاضی است که فرمول بندی دقیقی دارد. هدف این درس در نظر گرفتن تئوری بیضی ها و انواع آنها نیست که در درس استاندارد هندسه تحلیلی عملاً به آنها توجه نمی شود. و مطابق با نیازهای فعلی بیشتر، بلافاصله به تعریف دقیق بیضی می رویم:

بیضیمجموعه تمام نقاط صفحه است که مجموع فواصل هر یک از دو نقطه داده شده به نام ترفندهابیضی، کمیت ثابتی است که از نظر عددی برابر با طول محور اصلی این بیضی است: .
در این حالت فواصل بین فوکوس ها کمتر از این مقدار است: .

حالا همه چیز واضح تر می شود:

تصور کنید که نقطه آبی در امتداد یک بیضی حرکت می کند. بنابراین، مهم نیست که چه نقطه ای از بیضی را می گیریم، مجموع طول قطعات همیشه یکسان خواهد بود:

بیایید مطمئن شویم که در مثال ما مقدار مجموع واقعاً برابر با هشت است. به طور ذهنی نقطه "um" را در راس سمت راست بیضی قرار دهید، سپس: ، که چیزی است که باید بررسی شود.

روش دیگر ترسیم آن بر اساس تعریف بیضی است. ریاضیات بالاتر گاهی اوقات عامل تنش و استرس است، بنابراین وقت آن است که یک جلسه تخلیه مجدد داشته باشید. لطفاً کاغذ واتمن یا یک ورق مقوای بزرگ بردارید و با دو میخ به میز سنجاق کنید. اینها ترفندهایی خواهند بود. یک نخ سبز به سرهای ناخن بیرون زده ببندید و با مداد آن را تا انتها بکشید. سرب مدادی به نقطه خاصی که متعلق به بیضی است ختم می شود. حالا شروع به حرکت مداد در امتداد ورق کاغذ کنید و نخ سبز را محکم نگه دارید. روند را ادامه دهید تا به نقطه شروع برگردید ... عالی ... نقاشی توسط دکتر و معلم قابل بررسی است =)

چگونه کانون بیضی را پیدا کنیم؟

در مثال بالا، من نقاط کانونی "آماده" را به تصویر کشیدم و اکنون یاد خواهیم گرفت که چگونه آنها را از اعماق هندسه استخراج کنیم.

اگر یک بیضی با یک معادله متعارف به دست آید، کانون های آن دارای مختصاتی هستند ، کجاست فاصله از هر کانون تا مرکز تقارن بیضی.

محاسبات ساده تر از ساده هستند:

! مختصات خاص کانون ها را نمی توان با معنی «تسه» شناسایی کرد!تکرار می کنم که این است DISTANCE از هر کانون تا مرکز(که در حالت کلی لازم نیست دقیقاً در مبدا قرار گیرد).
و بنابراین، فاصله بین کانون ها نیز نمی تواند به موقعیت متعارف بیضی گره بخورد. به عبارت دیگر، بیضی را می توان به مکان دیگری منتقل کرد و مقدار آن بدون تغییر باقی می ماند، در حالی که کانون ها به طور طبیعی مختصات خود را تغییر می دهند. لطفاً هنگام بررسی بیشتر موضوع، این را در نظر بگیرید.

خروج از مرکز بیضی و معنای هندسی آن

خروج از مرکز یک بیضی نسبتی است که می تواند مقادیری در محدوده داشته باشد.

در مورد ما:

بیایید دریابیم که چگونه شکل یک بیضی به خارج از مرکز آن بستگی دارد. برای این راس چپ و راست را اصلاح کنیداز بیضی مورد نظر، یعنی مقدار محور نیمه اصلی ثابت می ماند. سپس فرمول خروج از مرکز به شکل زیر در می آید:

بیایید شروع کنیم به نزدیک کردن مقدار خروج از مرکز به وحدت. این تنها در صورتی امکان پذیر است که . چه مفهومی داره؟ ... ترفندها را به خاطر بسپار . این بدان معنی است که کانون های بیضی در امتداد محور آبسیسا به سمت رئوس کناری "از هم دور می شوند". و از آنجایی که "قطعات سبز لاستیکی نیستند"، بیضی به ناچار شروع به صاف شدن می کند و به سوسیس نازک تر و نازک تری تبدیل می شود که روی یک محور قرار گرفته است.

بدین ترتیب، هر چه مقدار خروج از مرکز بیضی به وحدت نزدیکتر باشد، بیضی کشیده تر می شود.

حالا بیایید روند مخالف را مدل کنیم: کانون های بیضی به سمت یکدیگر رفتند و به مرکز نزدیک شدند. این بدان معنی است که مقدار ce کمتر و کمتر می شود و بر این اساس، خروج از مرکز به صفر میل می کند: .
در این حالت، برعکس، "قطعات سبز" " شلوغ می شوند" و شروع به "فشار دادن" خط بیضی به بالا و پایین می کنند.

بدین ترتیب، هر چه مقدار خروج از مرکز به صفر نزدیکتر باشد، بیضی بیشتر به آن شباهت دارد... به مورد محدود کننده زمانی که کانون ها با موفقیت دوباره در مبدا متحد می شوند نگاه کنید:

دایره یک حالت خاص از بیضی است

در واقع، در مورد تساوی نیم محورها، معادله متعارف بیضی شکل می گیرد، که به طور انعکاسی به معادله دایره ای با مرکز در مبدا شعاع "a" تبدیل می شود، که از مدرسه به خوبی شناخته شده است.

در عمل، علامت گذاری با حرف «ر» بیشتر استفاده می شود: . شعاع طول یک قطعه است که هر نقطه از دایره با فاصله شعاع از مرکز جدا می شود.

توجه داشته باشید که تعریف بیضی کاملاً صحیح است: کانون ها بر هم منطبق هستند و مجموع طول بخش های منطبق برای هر نقطه روی دایره ثابت است. از آنجایی که فاصله بین کانون ها است، پس خروج از مرکز هر دایره صفر است.

ساخت یک دایره آسان و سریع است، فقط از یک قطب نما استفاده کنید. با این حال، گاهی اوقات لازم است مختصات برخی از نقاط آن را دریابیم، در این مورد ما به روش آشنا می رویم - معادله را به شکل شاد ماتانوف می آوریم:

- عملکرد نیم دایره بالایی؛
- عملکرد نیم دایره پایین.

سپس مقادیر مورد نیاز را پیدا می کنیم، متمایز کردن, ادغام کردنو کارهای خوب دیگر انجام دهید

البته مقاله فقط برای مرجع است، اما چگونه می توان بدون عشق در جهان زندگی کرد؟ کار خلاقانه برای راه حل مستقل

مثال 2

معادله متعارف یک بیضی را در صورتی بسازید که یکی از کانون ها و محورهای نیمه فرعی آن شناخته شده باشد (مرکز در مبدا باشد). رئوس، نقاط اضافی را پیدا کنید و یک خط در نقاشی بکشید. خروج از مرکز را محاسبه کنید.

حل و نقاشی در پایان درس

بیایید یک عمل اضافه کنیم:

بیضی را بچرخانید و موازی کنید

اجازه دهید به معادله متعارف بیضی بازگردیم، یعنی به شرایطی که راز آن از اولین ذکر این منحنی ذهن های کنجکاو را عذاب داده است. بنابراین ما به بیضی نگاه کردیم ، اما آیا در عمل امکان برآوردن معادله وجود ندارد ? بالاخره اینجا اما به نظر بیضی هم هست!

این نوع معادله نادر است، اما وجود دارد. و در واقع یک بیضی را تعریف می کند. بیایید راز زدایی کنیم:

در نتیجه ساخت و ساز، بیضی بومی ما به دست آمد که 90 درجه چرخیده است. به این معنا که، - این ورودی غیر متعارفبیضی . رکورد!- معادله هیچ بیضی دیگری را تعریف نمی کند، زیرا هیچ نقطه (کانونی) روی محور وجود ندارد که تعریف بیضی را برآورده کند.