میانه یک مثلث قضایای مربوط به وسط مثلث

برای یافتن میانه با استفاده از اضلاع یک مثلث، نیازی به یادآوری فرمول اضافی ندارید. کافی است الگوریتم حل را بدانید.

ابتدا بیایید به صورت کلی به مشکل نگاه کنیم.

مثلثی با اضلاع a,b,c داده می شود. طول میانه رسم شده به سمت b را پیدا کنید.

AB=a، AC=b، BC=c.

در پرتو BF قطعه FD، FD=BF را رسم می کنیم.

بیایید نقطه D را به نقاط A و C وصل کنیم.

ABCD چهار ضلعی متوازی الاضلاع است (با ویژگی)، زیرا مورب های آن در نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

خاصیت قطرهای متوازی الاضلاع: مجموع مربعات مورب متوازی الاضلاع برابر با مجموع مربعات اضلاع آن است.

از این رو: AC²+BD²=2(AB²+BC²)، که به معنای b²+BD²=2(a²+c²)،

BD²=2(a²+c²) -b². از نظر ساخت، BF نیمی از BD است، بنابراین

این فرمول برای یافتن میانه یک مثلث بر اساس اضلاع آن است. معمولاً اینگونه نوشته می شود:

بیایید به بررسی یک کار خاص بپردازیم.

اضلاع مثلث 13 سانتی متر، 14 سانتی متر و 15 سانتی متر است. میانه مثلث رسم شده به ضلع متوسط ​​آن را پیدا کنید.

با اعمال استدلال مشابه، دریافت می کنیم:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

میانه قطعه ای است که از راس مثلث به وسط ضلع مقابل کشیده می شود، یعنی در نقطه تلاقی آن را به دو نیم تقسیم می کند. به نقطه ای که میانه ضلع مقابل رأسی را که از آن خارج می شود قطع می کند، قاعده نامیده می شود. هر وسط مثلث از یک نقطه عبور می کند که به آن نقطه تقاطع می گویند. فرمول طول آن را می توان به روش های مختلفی بیان کرد.

فرمول های بیان طول میانه

• اغلب در مسائل هندسه، دانش‌آموزان باید با قسمتی مانند میانه یک مثلث سر و کار داشته باشند. فرمول طول آن بر حسب اضلاع بیان می شود:

که در آن a، b و c اضلاع هستند. علاوه بر این، c سمتی است که میانه روی آن می افتد. ساده ترین فرمول اینگونه به نظر می رسد. میانه های یک مثلث گاهی اوقات برای محاسبات کمکی مورد نیاز است. فرمول های دیگری نیز وجود دارد.

• اگر در حین محاسبه دو ضلع یک مثلث و یک زاویه مشخص α واقع بین آنها مشخص باشد، طول وسط مثلث که به ضلع سوم کاهش یافته است، به صورت زیر بیان می شود.

خواص اساسی

• همه میانه ها یک نقطه مشترک O دارند و اگر از راس حساب شوند به نسبت دو به یک تقسیم می شوند. این نقطه را مرکز ثقل مثلث می نامند.
• میانه مثلث را به دو مثلث دیگر که مساحت آنها مساوی است تقسیم می کند. به چنین مثلث هایی مساحت مساحت می گویند.
• اگر تمام میانه ها را رسم کنید، مثلث به 6 شکل مساوی تقسیم می شود که آنها نیز مثلث خواهند بود.
• اگر هر سه ضلع مثلث مساوی باشند، هر یک از وسط ها نیز یک ارتفاع و نیمساز خواهد بود، یعنی عمود بر ضلعی که به آن کشیده شده است، و زاویه ای را که از آن بیرون آمده را نصف می کند.
• در یک مثلث متساوی الساقین، میانه رسم شده از راس که در مقابل ضلعی که با هیچ ضلعی برابری نمی کند نیز ارتفاع و نیمساز خواهد بود. میانه های کاهش یافته از رئوس دیگر برابر هستند. این نیز شرط لازم و کافی برای متساوی الساقین است.
• اگر یک مثلث قاعده یک هرم منتظم باشد، آنگاه ارتفاع کاهش یافته به این قاعده تا نقطه تلاقی همه میانه ها پیش بینی می شود.

• در مثلث قائم الزاویه، وسط کشیده شده به بلندترین ضلع برابر با نصف طول آن است.
• O نقطه تقاطع وسط مثلث باشد. فرمول زیر برای هر نقطه M صادق خواهد بود.

• وسط مثلث خاصیت دیگری دارد. فرمول مربع طول آن از طریق مربع اضلاع در زیر ارائه شده است.

خواص اضلاع که میانه به آنها کشیده شده است

• اگر هر دو نقطه تقاطع وسط ها را با اضلاعی که روی آنها افتاده است وصل کنید، قطعه حاصل خط وسط مثلث و نصف ضلع مثلثی خواهد بود که با آن نقاط مشترکی ندارد.
• قاعده ارتفاعات و میانه های یک مثلث و همچنین نقاط وسط قطعاتی که رئوس مثلث را به نقطه تلاقی ارتفاعات متصل می کنند، روی یک دایره قرار دارند.

در خاتمه، منطقی است که بگوییم یکی از مهم ترین بخش ها، میانه مثلث است. از فرمول آن می توان برای یافتن طول اضلاع دیگر آن استفاده کرد.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

این صفحه به یک منبع اطلاعاتی نسبتاً رایج اختصاص داده شده است - شرح و محاسبه مساحت یک مثلث دلخواه. تفاوت با سایر منابع، محاسبه مساحت آنلاین است، به طور مستقیم در روند خواندن مقاله

مساحت از طریق ارتفاع و پایه

این ساده ترین فرمول برای به خاطر سپردن است. در کلمات، این فرمول به نظر می رسد: مساحت مثلث برابر با نصف حاصلضرب قاعده مثلث و ارتفاع آن است.

در مورد مثلث قائم الزاویه، این عبارت معنای ساده تری به خود می گیرد: مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با نصف حاصلضرب دو ضلع است

مساحت اضلاع مثلث

مساحت یک مثلث که از طریق اضلاع آن بیان شده است برای مدت بسیار طولانی شناخته شده است - در کتاب هایی که به قرن 1 قبل از میلاد باز می گردد ظاهر می شود.

این فرمول را می توان به روش های مختلفی بیان کرد؛ خوشبختانه فرمول های محاسبه پارامترهای یک مثلث کافی است.

اما اگر سعی کنید بر اساس زمان‌های قبل از عصر ما فکر کنید، زمانی که هیچ فرمولی در بازنمایی مدرن وجود نداشت، هیچ متغیر و نشانه ریشه‌ای وجود نداشت، پس تنها بدیهی که هرون بر اساس آن فرمول خود را ایجاد کرد، قضیه فیثاغورث بود. . و از آنجایی که در آن روزها، اعداد غیرمنطقی هنوز شناخته نشده بودند، و دانشمندان دیدگاه نسبتاً بدبینانه ای نسبت به اعداد منفی داشتند، پس از اعداد کامل برای تفکر استفاده می شد.

خود اثبات اینجا نخواهد بود؛ هرون فقط فرض کرد که یک مثلث فیثاغورثی دلخواه را به یک مستطیل تکمیل کرده، مساحت آن را محاسبه کرده و آن را بر دو تقسیم کرده است.

منطقه از طریق مختصات راس

وقتی مختصات رئوس مثلث مشخص باشد، فرمول مساحت را می توان به صورت زیر بیان کرد:

تعیین کننده مرتبه سوم به راحتی گسترش می یابد و بنابراین محاسبه مساحت حتی در حالت دستی هیچ مشکلی ایجاد نمی کند.

مساحت دو طرف و زاویه بین آنها

مساحت از طریق یک ضلع و دو زاویه

این یک کار نادر است، اما ما همچنین فرمولی را برای چنین داده های اولیه محاسبه کردیم. یک خواننده با دقت بلافاصله "خطا" را می بیند. عنوان می گوید که مساحت از طریق یک ضلع و دو زاویه، یعنی از طریق سه متغیر تعیین می شود و هر چهار در فرمول وجود دارند. چطور؟

در واقع با دانستن یکی از بدیهیات اصلی مثلث که می گوید که مجموع زوایای داخلی یک مثلث همیشه (!!) برابر با 180 درجه است

بنابراین، دانستن دو زاویه یک مثلث، برای پیدا کردن سومی هیچ چیز دشواری نیست.

مساحت از وسط یک مثلث

فرمول زیبایی است، اینطور نیست؟

شامل این بخش است. نقطه تلاقی میانه با ضلع مثلث نامیده می شود پایه میانه.

• شما همچنین می توانید مفهوم را معرفی کنید میانه بیرونیمثلث.

یوتیوب دایره المعارفی

1 / 3

✪ میانه نیمسازها و ارتفاعات یک مثلث - درجه 7

✪ میانه یک مثلث. ساخت و ساز. خواص.

✪ نیمساز، میانه، ارتفاع مثلث. هندسه پایه هفتم

زیرنویس

خواص

دارایی اصلی

هر سه وسط یک مثلث در یک نقطه که مرکز یا مرکز ثقل مثلث نامیده می شود قطع می شوند و با این نقطه به دو قسمت به نسبت 2:1 با شمارش از راس تقسیم می شوند.

ویژگی های میانه های یک مثلث متساوی الساقین

• در مثلث متساوی الساقین دو وسط کشیده شده به اضلاع مساوی مثلث با هم برابرند و وسط سوم هم نیمساز و هم ارتفاع است.
• عکس آن نیز صادق است: اگر دو وسط در یک مثلث با هم برابر باشند، آن مثلث متساوی الساقین است و وسط سوم هم نیمساز و هم ارتفاع زاویه در رأس آن است.
• در مثلث متساوی الاضلاع هر سه وسط با هم برابرند.

ویژگی های پایه های میانه

• قضیه اویلر برای دایره 9 نقطه ای: پایه های سه ارتفاع یک مثلث دلخواه، وسط سه ضلع آن ( پایه میانه های آنو وسط سه بخش که رئوس آن را به مرکز قائم متصل می کند، همه روی یک دایره قرار دارند (به اصطلاح دایره نه نقطه ای).
• یک بخش کشیده شده از طریق زمینههر دو وسط یک مثلث آن است خط وسط. خط وسط مثلث همیشه موازی با ضلع مثلثی است که نقطه مشترکی با آن ندارد.
  • نتیجه (قضیه تالس در مورد موازیبخش ها). خط وسط یک مثلث برابر است با نصف طول ضلع مثلثی که با آن موازی است.

سایر خواص

• اگر مثلث همه کاره (scalene) سپس نیمساز آن که از هر رأسی گرفته شده است بین میانه و ارتفاع ترسیم شده از همان راس قرار می گیرد.
• میانه مثلث را به دو مثلث مساوی (از نظر مساحت) تقسیم می کند.
• یک مثلث با سه وسط به شش مثلث مساوی تقسیم می شود.
• از قسمت های تشکیل دهنده وسط می توانید مثلثی بسازید که مساحت آن برابر با 3/4 کل مثلث خواهد بود. طول های میانه نابرابری مثلث را برآورده می کند.
• در مثلث قائم الزاویه، میانه رسم شده از راس با زاویه قائم برابر با نصف هیپوتنوس است.
• ضلع بزرگتر مثلث با میانه کوچکتر مطابقت دارد.
• قطعه مستقیم، متقارن یا مزدوج همسانمیانه داخلی نسبت به نیمساز داخلی را قرینه مثلث می گویند. سه سیمدیانعبور از یک نقطه - نکته لموئین.
• میانه یک زاویه مثلث ایزوتومی کونژوگهبه خودم.

روابط اساسی

به طور خاص، مجموع مربعات وسط یک مثلث دلخواه 3/4 مجموع مربعات اضلاع آن است: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

• برعکس، شما می توانید طول ضلع دلخواه یک مثلث را بر حسب میانه بیان کنید: