پیدا کردن طول وکتور مختصات معروف از نقاط. پیدا کردن طول مختصات بردار

با توجه به مختصات آغاز و انتهای بردار و قضیه Cosine (2 بردار و زاویه بین آنها، طول بردار را با توجه به مختصات آن (در سیستم مختصات مستطیلی) پیدا کنید.

بردار - این خط برش هدایت شده است.طول این بخش مقدار عددی بردار را تعیین می کند و نامیده می شودطول بردار یا ماژول بردار.

1. محاسبه طول بردار توسط مختصات آن

اگر مختصات بردار در یک سیستم مختصات مستطیلی صاف (دو بعدی)، I.E. X و A شناخته شده، سپس طول بردار می تواند توسط فرمول یافت شود

در مورد یک بردار در فضا، یک مختصات سوم اضافه شده است

در بیان MS اکسل \u003d ریشه (Summkv (B8: B9)) به شما اجازه می دهد تا ماژول بردار را محاسبه کنید (فرض می شود که هماهنگ کننده بردار به سلول ها معرفی می شود. B8: B9.، به عنوان مثال فایل را ببینید)

تابع summkv () مجموع مربعات استدلال را به دست می آورد، I.E. در این مورد، فرمول معادل \u003d B8 * B8 + B9 * B9 است.

فایل نمونه نیز طول بردار را در فضا محاسبه کرد.

فرمول جایگزین عبارت است \u003d ریشه (سر و صدا (B8: B9؛ B8: B9)).

2. پیدا کردن طول بردار از طریق مختصات نقاط

اگر بردار باشد از طریق مختصات نقاط شروع و پایان آن، سپس فرمول دیگری خواهد بود \u003d ریشه (Summkvson (C28: C29؛ B28: B29))

فرمول فرض می کند که مختصات نقاط اصول و پایان به محدوده ها معرفی می شود C28: C29. و B28: B29. به ترتیب.

تابع summkvson () درمجموع مربعات تفاوت مقادیر مربوطه را در دو آرایه وعده می دهد.

در حقیقت، در فرمول، مختصات بردار (تفاوت نقاط مربوطه) محاسبه می شود، سپس مجموع مربعات آنها محاسبه می شود.

3. پیدا کردن طول بردار در قضیه Cosine

اگر می خواهید طول بردار را در قضیه کوزین پیدا کنید، 2 نسخه معمولا (ماژول ها و زاویه های آنها بین آنها) داده می شود.

طول بردار را با استفاده از فرمول پیدا کنید \u003d ریشه (Summkv (B43: C43) -2 * B43 * C43 * COS (B45))

در سلول ها B43: B43. حاوی طول بردارها A و B و در سلول است b45 - زاویه بین آنها در رادیان (در بخش های شماره PI ()).

اگر زاویه در درجه داده شود، فرمول کمی متفاوت خواهد بود \u003d ریشه (B43 * B43 + C43 * C43-2 * B43 * C43 * COS (B46 * PI () / 180))

توجه داشته باشید: برای وضوح در سلول با مقدار زاویه در درجه، شما می توانید درخواست، به عنوان مثال، یک مقاله را ببینید

اول از همه، لازم است که مفهوم بردار را از بین ببریم. به منظور معرفی تعریف بردار هندسی به یاد می آورد که بخش چیست. ما تعریف زیر را معرفی می کنیم.

تعریف 1

بیایید بخشی از خط مستقیم، که دارای دو مرز در قالب نقاط است.

برش می تواند 2 جهت داشته باشد. برای تعیین جهت، ما یکی از مرزهای بخش آن را خواهیم خواند، و مرز دیگر پایان آن است. جهت از ابتدا تا انتهای بخش نشان داده شده است.

تعریف 2

یک بخش بردار یا هدایت به نام یک بخش نامیده می شود که شناخته شده است که کدام یک از مرزهای بخش ابتدایی است و آن را پایان می دهد.

تعیین: دو حرف: $ \\ Overline (AB) $ - (جایی که $ A $ آغاز آن است، و $ B $ پایان آن است).

یک نامه کوچک: $ \\ overline (a) $ (شکل 1).

ما اکنون به طور مستقیم، مفهوم طول طول را معرفی می کنیم.

تعریف 3

بردار بردار $ \\ Overline (a) $، طول بخش $ A $ نامیده می شود.

تعیین: $ | \\ overline (a) | $

مفهوم طول بردار، به عنوان مثال، با چنین مفهومی به عنوان برابری دو بردار مرتبط است.

تعریف 4

دو بردار برابر خواهد شد، اگر آنها دو شرایط را برآورده می کنند: 1. آنها پوشش داده می شوند؛ 1. طول آنها برابر است (شکل 2).

به منظور تعریف بردارها سیستم مختصات را معرفی می کنند و مختصات را برای بردار در سیستم وارد شده تعیین می کنند. همانطور که می دانیم، هر بردار را می توان در فرم $ \\ Overline (C) \u003d M \\ Overline (i) + n \\ Overline (J) $ تجزیه کرد، جایی که $ M $ و $ n $ شماره های معتبر است و $ \\ Overline (i) $ و $ \\ overline (j) $ - بردارهای تک در محور $ OX $ و $ OY $ $.

تعریف 5

ضرایب تجزیه $ \\ overline (c) \u003d m \\ overline (i) + n \\ overline (j) $، مختصات این بردار را در سیستم مختصات وارد شده تماس می گیرد. از نظر ریاضی:

$ \\ overline (c) \u003d (m، n) $

چگونه می توان طول بردار را پیدا کرد؟

به منظور خروجی فرمول برای محاسبه طول یک بردار دلخواه با توجه به مختصات آن، وظیفه زیر را در نظر بگیرید:

مثال 1

داده شده است: بردار $ \\ overline (α) $، داشتن مختصات $ (x، y) $. پیدا کنید: طول این بردار.

ما سیستم هماهنگی $ XOY $ را در هواپیما معرفی می کنیم. از ابتدای سیستم مختصات معرفی شده، من $ \\ overline (OA) \u003d \\ overline (a) $ را به تعویق می اندازم. ما طرح Projection $ OA_1 $ و $ OA_2 را در محور $ OX $ و $ OY $ ساختیم (شکل 3) ساختیم.

بردار $ \\ Overline (OA) $ یک بردار شعاع برای یک دلار $ A $ خواهد بود، بنابراین، آن را مختصات $ (x، y) $، به این معنی است

$ \u003d x $، $ [oa_2] \u003d y $

در حال حاضر ما به راحتی می توانیم طول دلخواه را با استفاده از قضیه Pythagora پیدا کنیم، ما دریافت می کنیم

$ | \\ overline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | \\ overline (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | \\ overline (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

پاسخ: $ \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.

خروجی:برای پیدا کردن طول بردار که مختصات آن را پیدا کرده است، لازم است که ریشه مربع مجموع این مختصات را پیدا کنید.

مثال مثال

مثال 2

فاصله بین امتیاز $ x $ و $ y $ را پیدا کنید که مختصات زیر را دارد: $ (- 1.5) $ و $ (7.3) $.

هر دو نقطه می تواند به راحتی با مفهوم یک بردار همراه باشد. به عنوان مثال، بردار $ \\ overline (xy) $ را در نظر بگیرید. همانطور که قبلا می دانیم، مختصات این بردار را می توان یافت، کسر مختصات نقطه پایان ($ y $) مختصات مربوطه نقطه شروع ($ x $). ما این را دریافت می کنیم

تعریف 1

بیایید بخشی از خط مستقیم، که دارای دو مرز در قالب نقاط است.

تعریف 2

تعیین: دو حرف: $ \\ Overline (AB) $ - (جایی که $ A $ آغاز آن است، و $ B $ پایان آن است).

یک نامه کوچک: $ \\ overline (a) $ (شکل 1).

ما اکنون به طور مستقیم، مفهوم طول طول را معرفی می کنیم.

تعریف 3

بردار بردار $ \\ Overline (a) $، طول بخش $ A $ نامیده می شود.

تعیین: $ | \\ overline (a) | $

مفهوم طول بردار، به عنوان مثال، با چنین مفهومی به عنوان برابری دو بردار مرتبط است.

تعریف 4

تعریف 5

$ \\ overline (c) \u003d (m، n) $

چگونه می توان طول بردار را پیدا کرد؟

به منظور خروجی فرمول برای محاسبه طول یک بردار دلخواه با توجه به مختصات آن، وظیفه زیر را در نظر بگیرید:

مثال 1

داده شده است: بردار $ \\ overline (α) $، داشتن مختصات $ (x، y) $. پیدا کنید: طول این بردار.

بردار $ \\ Overline (OA) $ یک بردار شعاع برای یک دلار $ A $ خواهد بود، بنابراین، آن را مختصات $ (x، y) $، به این معنی است

$ \u003d x $، $ [oa_2] \u003d y $

در حال حاضر ما به راحتی می توانیم طول دلخواه را با استفاده از قضیه Pythagora پیدا کنیم، ما دریافت می کنیم

$ | \\ overline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | \\ overline (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | \\ overline (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

پاسخ: $ \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.

مثال مثال

مثال 2

فاصله بین امتیاز $ x $ و $ y $ را پیدا کنید که مختصات زیر را دارد: $ (- 1.5) $ و $ (7.3) $.

تعریف استاندارد: "بردار یک بخش هدایت شده است." معمولا این امر به دانش فارغ التحصیل در مورد بردارها محدود می شود. چه کسی نیاز به برخی از "بخش های هدایت شده" دارد؟

و در واقع، بردارها و چرا آنها؟
پیش بینی آب و هوا. "باد شمال غربی، سرعت 18 متر در ثانیه است." موافق، جهت باد مهم است (جایی که از آن ضربه می زند) و ماژول (یعنی ارزش مطلق) سرعت آن.

مقادیری که جهت ندارند اسکالر نامیده می شوند. جرم، کار، شارژ الکتریکی در هر نقطه هدایت نمی شود. آنها تنها مشخص می شوند معنی عددی - "چند کیلوگرم" یا "چقدر جول".

مقادیر فیزیکی که نه تنها ارزش مطلق دارند، بلکه جهت به نام بردار نامیده می شود.

سرعت، قدرت، شتاب - بردارها. برای آنها مهم است "چقدر" و مهمتر از همه "کجا". به عنوان مثال، شتاب سقوط آزاد به سمت سطح زمین هدایت می شود و ارزش آن 9.8 m / s 2 است. پالس، قدرت میدان الکتریکی، القاء میدان مغناطیسی - همچنین ارزش بردار.

شما به یاد داشته باشید که مقادیر فیزیکی حروف الفبا، لاتین یا یونانی را نشان می دهد. Arrogo بالا از نامه نشان می دهد که مقدار بردار است:

مثال دیگری وجود دارد.
ماشین از یک در b حرکت می کند. نتیجه نهایی حرکت آن از نقطه به نقطه B، یعنی حرکت بر روی بردار است .

در حال حاضر روشن است که چرا بردار بخش هدایت شده است. توجه داشته باشید، پایان بردار جایی است که فلش است. بردار طول طول این بخش را نام برد. نشان می دهد: یا

تا کنون، با توجه به قوانین جبر ریاضی و ابتدایی، ما با مقادیر اسکالر کار کرده ایم. بردارها - یک مفهوم جدید. این کلاس دیگری از اشیاء ریاضی است. برای آنها، قوانین خودشان.

هنگامی که ما در مورد اعداد نمی دانستیم. آشنایی با آنها در کلاس های جوان شروع شد. معلوم شد که اعداد را می توان با یکدیگر مقایسه کرد، برابر، کسر، ضرب و تقسیم مقایسه کرد. ما متوجه شدیم که شماره یک و شماره صفر وجود دارد.
حالا ما با بردارها آشنا هستیم.

مفاهیم "بیشتر" و "کمتر" برای بردارها وجود ندارد - آنها می توانند جهت های مختلف باشند. شما فقط می توانید طول بردارها را مقایسه کنید.

اما مفهوم برابری براي بردارها است.
برابر بردارها دارای طول های مشابه و همان مسیر نامیده می شوند. این به این معنی است که بردار را می توان به موازات خود در هر نقطه از هواپیما منتقل کرد.
تنها بردار نامیده می شود، طول آن برابر با 1 است. صفر - بردار، طول آن صفر است، یعنی شروع آن با پایان هماهنگ است.

این راحت ترین کار با بردارها در یک سیستم مختصات مستطیلی است - بسیار در آن نمودار گراف های توابع. هر نقطه در سیستم مختصات مربوط به دو عدد است - مختصات آن X و Y، Abscissa و Ordinate.
بردار همچنین دو مختصات را تنظیم می کند:

در اینجا در براکت ها مختصات بردار را ضبط کرد - توسط X و در Y.
آنها به سادگی هستند: پایان مختصات مختصات منهای منهای شروع آن.

اگر مختصات بردار مشخص شود، طول آن توسط فرمول قرار دارد

اضافه کردن بردارها

برای اضافه کردن بردارها دو راه وجود دارد.

یکی Parallelogram قانون برای برداشتن بردارها و ما شروع هر دو را در یک نقطه قرار داده ایم. شما به palaryogram و از همان نقطه ای که مورب Parallelogram را انجام می دهید، تکمیل می شود. این مجموع بردارها خواهد بود.

به یاد ماندنی در مورد سوان، سرطان و پیک؟ آنها خیلی سعی کردند، اما هرگز از صحنه خارج نشدند. پس از همه، مجموع بردار نیروهای متصل به ماشین صفر بود.

2 راه دوم اضافه کردن بردارها یک قانون مثلث است. همان بردارها را بگیرید و. در پایان اولین بردار، من شروع دوم را پیوستم. در حال حاضر شروع اول و پایان دوم را وصل کنید. این مجموع بردارها است.

به همان شیوه، چندین بردار را می توان بسته بندی کرد. ما آنها را یک به یک اضافه می کنیم و سپس شروع اولین را با پایان دوم ترکیب می کنیم.

تصور کنید که از نقطه A به پاراگراف B، از B C، از C در D، سپس در E و در F بروید. نتیجه نهایی این اقدامات از یک در F حرکت می کند.

هنگام اضافه کردن بردارها و دریافت:

ابزارها را کم کنید

بردار به بردار مخالف ارسال می شود. طول بردارها برابر است.

در حال حاضر روشن است که تفریق بردارها. تفاوت بردارها مجموع بردار و بردار است.

ضرب بردار توسط تعداد

هنگامی که بردار ضرب تعداد K، بردار به دست می آید، طول آن متفاوت از طول است. اگر K بزرگتر باشد، با یک بردار پوشش داده شده است و اگر K کمتر از صفر باشد، مخالف است.

بردارهای محصول Scalar

بردارها را می توان نه تنها در اعداد، بلکه بر روی یکدیگر افزایش داد.

محصول اسکالر بردارها محصول طول بردارها بر روی کوزین گوشه بین آنها است.

نکته - دو بردار را منتقل کرد و اسکالر معلوم شد، یعنی تعداد. به عنوان مثال، در فیزیک، کار مکانیکی برابر با محصول اسکالر دو بردار - نیروها و جنبش ها است:

اگر بردارها عمود بر آن باشند، محصول اسکالر آنها صفر است.
و در اینجا محصول اسکالر از طریق مختصات بردارها بیان می شود و:

از فرمول برای یک محصول اسکالر، می توانید زاویه بین بردارها را پیدا کنید:

این فرمول به ویژه در استریمتری مناسب است. به عنوان مثال، در وظیفه 14 مشخصات EME در ریاضیات، شما باید زاویه بین صلیب مستقیم یا بین راست و هواپیما را پیدا کنید. اغلب، وظیفه 14 چندین بار سریعتر از کلاسیک حل شده است.

که در برنامه مدرسه در ریاضیات، تنها یک محصول اسکالر از بردارها وجود دارد.
به نظر می رسد که به جز اسکالر، یک محصول بردار نیز وجود دارد، زمانی که بردار به عنوان یک نتیجه از ضربان ضرب آن است. چه کسی امتحان را در فیزیک می دهد، می داند که قدرت Lorentz و قدرت Amper چیست. فرمول برای پیدا کردن این نیروها شامل هنر بردار است.

بردارها - ابزار ریاضی مفید. در این شما برای سال اول خواهید دید.