ارقام 4 x بعدی مکعب چهار بعدی

باکالار ماریا

روش های معرفی مفهوم مکعب چهاربعدی (تسراکت)، ساختار و برخی خواص آن بررسی می شود.این سوال که وقتی یک مکعب چهاربعدی توسط ابرصفحه هایی موازی با وجوه سه بعدی آن قطع می شود، کدام اجسام سه بعدی به دست می آیند؟ و همچنین ابرصفحه های عمود بر قطر اصلی آن مورد مطالعه قرار گرفته است. دستگاه هندسه تحلیلی چند بعدی مورد استفاده برای تحقیق در نظر گرفته شده است.

دانلود:

پیش نمایش:

مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

بخش اصلی……………………………………………………………………………………………………………………………………………

نتیجه گیری…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

مراجع………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

معرفی

فضای چهار بعدی مدت‌هاست که توجه ریاضیدانان حرفه‌ای و افرادی را به خود جلب کرده است که از این علم دور هستند. علاقه به بعد چهارم ممکن است ناشی از این فرض باشد که دنیای سه بعدی ما در فضای چهار بعدی "غوطه ور" است، همانطور که یک صفحه در فضای سه بعدی "غوطه ور" است، یک خط مستقیم نیز در فضایی "غوطه ور" است. صفحه، و یک نقطه در یک خط مستقیم است. علاوه بر این، فضای چهار بعدی نقش مهمی در نظریه نسبیت مدرن (به اصطلاح فضا-زمان یا فضای مینکوفسکی) ایفا می کند و می تواند به عنوان یک مورد خاص نیز در نظر گرفته شود.فضای اقلیدسی بعدی (برای).

مکعب چهاربعدی (تسراکت) جسمی از فضای چهاربعدی است که حداکثر بعد ممکن را دارد (درست مانند مکعب معمولی، جسمی از فضای سه بعدی). توجه داشته باشید که فوراً نیز مورد توجه است، یعنی می تواند در مسائل بهینه سازی برنامه ریزی خطی ظاهر شود (به عنوان منطقه ای که در آن حداقل یا حداکثر یک تابع خطی از چهار متغیر جستجو می شود) و همچنین در میکروالکترونیک دیجیتال (زمانی که برنامه ریزی عملکرد نمایشگر ساعت الکترونیکی). علاوه بر این، خود فرآیند مطالعه یک مکعب چهار بعدی به توسعه تفکر فضایی و تخیل کمک می کند.

بنابراین، مطالعه ساختار و خواص ویژه یک مکعب چهار بعدی کاملاً مرتبط است. لازم به ذکر است که از نظر ساختار، مکعب چهاربعدی به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته است. ویژگی بخش های آن توسط ابرپلن های مختلف بسیار جالب تر است. بنابراین، هدف اصلی این کار بررسی ساختار تسراکت و همچنین روشن کردن این سوال است که اگر یک مکعب چهار بعدی توسط ابرصفحه‌های موازی با یکی از سه‌بعدی آن تشریح شود، چه اجسامی سه‌بعدی به دست می‌آیند. وجوه بعدی، یا توسط ابرصفحه های عمود بر مورب اصلی آن. ابر صفحه در یک فضای چهار بعدی یک زیرفضای سه بعدی است. می توان گفت که یک خط مستقیم در یک هواپیما یک ابر صفحه یک بعدی است، یک صفحه در فضای سه بعدی یک ابر صفحه دو بعدی است.

هدف تعیین شده اهداف مطالعه را تعیین کرد:

1) حقایق اساسی هندسه تحلیلی چند بعدی را مطالعه کنید.

2) ویژگی های مکعب های ساختمانی با ابعاد 0 تا 3 را مطالعه کنید.

3) ساختار یک مکعب چهار بعدی را مطالعه کنید.

4) به صورت تحلیلی و هندسی یک مکعب چهار بعدی را توصیف کنید.

5) مدل هایی از جاروها و برجستگی های مرکزی مکعب های سه بعدی و چهار بعدی بسازید.

6) با استفاده از دستگاه هندسه تحلیلی چندبعدی، اجسام سه بعدی حاصل از تقاطع یک مکعب چهار بعدی را با ابرصفحه های موازی با یکی از وجوه سه بعدی آن یا با ابرصفحه های عمود بر قطر اصلی آن توصیف کنید.

اطلاعات به‌دست‌آمده از این طریق، درک بهتر ساختار تسراکت و همچنین آشکارسازی قیاس عمیق در ساختار و ویژگی‌های مکعب‌ها با ابعاد مختلف را ممکن می‌سازد.

بخش اصلی

ابتدا دستگاه ریاضی را که در این مطالعه استفاده خواهیم کرد، توضیح می دهیم.

1) مختصات برداری: اگر، سپس

2) معادله ابر صفحه با بردار نرمالفرم اینجا را دارد

3) هواپیما و اگر و فقط اگر موازی هستند

4) فاصله بین دو نقطه به صورت زیر تعیین می شود: اگر، سپس

5) شرط متعامد بودن بردارها:

اول از همه، بیایید دریابیم که چگونه می توانید یک مکعب چهار بعدی را توصیف کنید. این را می توان به دو روش انجام داد - هندسی و تحلیلی.

اگر در مورد روش هندسی تخصیص صحبت می کنیم، در اینجا توصیه می شود که روند ساخت مکعب ها را از بعد صفر شروع کنیم. مکعب صفر بعدی یک نقطه است (به هر حال توجه داشته باشید که یک نقطه می تواند نقش یک توپ صفر بعدی را نیز بازی کند). در ادامه بعد اول (محور آبسیسا) را معرفی می کنیم و دو نقطه (دو مکعب صفر بعدی) را روی محور مربوطه که در فاصله 1 از یکدیگر قرار دارند علامت گذاری می کنیم. قطعه به دست آمده یک مکعب یک بعدی است. اجازه دهید فوراً یک ویژگی مشخصه را یادداشت کنیم: مرز (انتهای) یک مکعب یک بعدی (بخش) دو مکعب صفر بعدی (دو نقطه) است. بعد، بعد دوم (محور ارتین) و در صفحه را معرفی می کنیمما دو مکعب یک بعدی (دو قطعه) می سازیم که انتهای آنها در فاصله 1 از یکدیگر قرار دارند (در واقع یکی از بخش ها برآمدگی متعامد دیگری است). با اتصال انتهای مربوط به بخش ها، یک مربع - یک مکعب دو بعدی به دست می آوریم. باز هم توجه داشته باشید که مرز یک مکعب دو بعدی (مربع) چهار مکعب یک بعدی (چهار پاره خط) است. در نهایت بعد سوم (محور کاربردی) را معرفی کرده و در فضا رسم می کنیمدو مربع به گونه ای که یکی از آنها برآمدگی متعامد دیگری باشد (در حالی که رئوس مربع ها در فاصله 1 از یکدیگر قرار دارند). رئوس مربوطه را با بخش ها وصل می کنیم - یک مکعب سه بعدی می گیریم. می بینیم که مرز یک مکعب سه بعدی شش مکعب دو بعدی (شش مربع) است. ساختارهای توصیف شده این امکان را فراهم می کند که الگوی زیر آشکار شود: در هر مرحلهمکعب بعدی "حرکت می کند و ردی از خود به جای می گذارد".اندازه گیری e در فاصله 1، در حالی که جهت حرکت عمود بر مکعب است. ادامه رسمی این روند است که به ما امکان می دهد به مفهوم یک مکعب چهار بعدی برسیم. یعنی بیایید مکعب سه بعدی را در جهت بعد چهارم (عمود بر مکعب) با فاصله 1 حرکت دهیم. با عمل مشابه قبلی، یعنی اتصال رئوس مربوط به مکعب ها، به دست خواهیم آورد. یک مکعب چهار بعدی لازم به ذکر است که از نظر هندسی چنین ساخت و سازی در فضای ما غیرممکن است (به دلیل سه بعدی بودن)، اما در اینجا از نظر منطقی با هیچ تناقضی مواجه نمی شویم. حالا بیایید به توضیح تحلیلی مکعب چهار بعدی بپردازیم. به طور رسمی نیز به قیاس به دست می آید. بنابراین، مشخصات تحلیلی یک مکعب واحد صفر بعدی به شرح زیر است:

مشخصات تحلیلی یک مکعب واحد تک بعدی به شرح زیر است:

مشخصات تحلیلی یک مکعب واحد دو بعدی به شرح زیر است:

وظیفه تحلیلی یک مکعب واحد سه بعدی به شرح زیر است:

اکنون ارائه یک نمایش تحلیلی از یک مکعب چهار بعدی بسیار آسان است، یعنی:

همانطور که مشاهده می کنید در هر دو روش هندسی و تحلیلی تعریف مکعب چهار بعدی از روش قیاس استفاده شده است.

حال با استفاده از دستگاه هندسه تحلیلی متوجه خواهیم شد که ساختار یک مکعب چهار بعدی چیست. ابتدا بیایید دریابیم که چه عناصری در آن گنجانده شده است. در اینجا دوباره می توانید از یک قیاس (برای ارائه یک فرضیه) استفاده کنید. مرزهای یک مکعب یک بعدی نقاط (مکعب های صفر بعدی)، یک مکعب دو بعدی - قطعات (مکعب های یک بعدی)، یک مکعب سه بعدی - مربع (چهره های دو بعدی) است. می توان فرض کرد که مرز تسراکت مکعب های سه بعدی است. برای اثبات این موضوع، اجازه دهید منظور از رئوس، لبه ها و وجه ها را روشن کنیم. بیایید نقاط گوشه آن را رئوس مکعب بنامیم. یعنی مختصات رئوس می تواند صفر یا یک باشد. بنابراین، رابطه ای بین بعد مکعب و تعداد رئوس آن پیدا می شود. ما قانون محصول ترکیبی را اعمال می کنیم - از راسمکعب بعدی دقیقا داردمختصاتی که هر کدام برابر با صفر یا یک است (بدون توجه به بقیه)، سپس در مجموع وجود داردقله ها بنابراین، در هر راس، همه مختصات ثابت هستند و می توانند برابر باشندیا ... اگر همه مختصات را ثابت کنیم (هر کدام را مساوی کنیمیا ، بدون توجه به بقیه)، به جز یکی، سپس خطوط مستقیم حاوی لبه های مکعب را دریافت می کنیم. مشابه قبلی، می توانید حساب کنید که دقیقاً وجود داردچیزها و اگر اکنون همه مختصات را ثابت کنیم (هر کدام از آنها را مساوی قرار دهیمیا بدون توجه به بقیه)، به جز دو مورد، صفحاتی حاوی وجوه مکعبی دوبعدی بدست می آوریم. با استفاده از قانون ترکیبی، متوجه می شویم که دقیقاً وجود داردچیزها علاوه بر این، به طور مشابه - ثابت کردن همه مختصات (قرار دادن هر یک از آنها برابریا ، بدون توجه به بقیه)، به جز سه مورد، ابرصفحه هایی حاوی وجه های مکعبی سه بعدی به دست می آوریم. با استفاده از همان قانون، تعداد آنها را محاسبه می کنیم - دقیقاو غیره. این برای مطالعه ما کافی خواهد بود. اجازه دهید نتایج به دست آمده را در ساختار یک مکعب چهار بعدی، یعنی در تمام فرمول های مشتق شده که قرار داده ایم، اعمال کنیم.... بنابراین یک مکعب چهار بعدی دارای 16 رأس، 32 یال، 24 وجه دو بعدی و 8 وجه سه بعدی است. برای وضوح، اجازه دهید همه عناصر آن را به صورت تحلیلی تعریف کنیم.

رئوس مکعب چهار بعدی:

لبه های مکعب چهار بعدی ():

چهره های دو بعدی یک مکعب چهار بعدی (محدودیت های مشابه):

وجوه سه بعدی یک مکعب چهار بعدی (محدودیت های مشابه):

اکنون که ساختار مکعب چهاربعدی و روش‌های انتساب آن با کامل بودن توضیح داده شده است، به اجرای هدف اصلی - روشن شدن ماهیت بخش‌های مختلف مکعب - می‌پردازیم. بیایید با حالت ابتدایی شروع کنیم که بخش های یک مکعب با یکی از وجوه سه بعدی آن موازی هستند. به عنوان مثال، بخش های آن را با ابرصفحه های موازی با صورت در نظر بگیریداز هندسه تحلیلی مشخص است که هر بخش از این معادله داده می شودبیایید بخش های مربوطه را به صورت تحلیلی تنظیم کنیم:

همانطور که می بینید، وظیفه تحلیلی یک مکعب واحد سه بعدی که در یک ابر صفحه قرار دارد به دست آمده است.

برای ایجاد قیاس، برش یک مکعب سه بعدی را در کنار صفحه می نویسیمما گرفتیم:

این یک مربع است که در یک هواپیما قرار دارد... تشبیه آشکار است.

برش های یک مکعب چهار بعدی توسط ابرصفحه هانتایج کاملا مشابهی را ارائه دهد. اینها همچنین مکعب های سه بعدی واحدی خواهند بود که در ابرصفحه ها قرار دارندبه ترتیب.

اکنون بخش هایی از یک مکعب چهار بعدی را با ابرصفحه های عمود بر قطر اصلی آن در نظر خواهیم گرفت. بیایید ابتدا این مشکل را برای یک مکعب سه بعدی حل کنیم. با استفاده از روشی که در بالا برای تعیین یک مکعب سه بعدی توضیح داده شد، او نتیجه می‌گیرد که به عنوان قطر اصلی، می‌توان به عنوان مثال، یک قطعه با انتهای آن را در نظر گرفت.و ... از این رو، بردار مورب اصلی مختصاتی خواهد داشت... بنابراین، معادله هر صفحه عمود بر قطر اصلی به شکل زیر خواهد بود:

مرزهای تغییر پارامتر را تعیین کنید... زیرا ، سپس با اضافه کردن این نابرابری ها به صورت ترم، به دست می آوریم:

یا .

اگر پس از آن (به دلیل محدودیت ها). به طور مشابه، اگر، سپس . از این رو، برای و برای صفحه برش و مکعب دقیقاً یک نقطه مشترک دارند (و به ترتیب). حال به موارد زیر توجه می کنیم. اگر(باز هم به دلیل محدودیت های متغیر). صفحات متناظر سه وجه را به طور همزمان قطع می کنند، زیرا در غیر این صورت، صفحه برش موازی یکی از آنها خواهد بود، که در شرایط چنین نیست. اگر، سپس صفحه تمام وجوه مکعب را قطع می کند. اگر، سپس هواپیما چهره ها را قطع می کند... اجازه دهید محاسبات مربوطه را ارائه دهیم.

اجازه دهید سپس هواپیمااز خط عبور می کندعلاوه بر این، در یک خط مستقیم. لبه، علاوه بر این. حاشیه، غیرمتمرکز صفحه در یک خط مستقیم قطع می شود، و

اجازه دهید سپس هواپیمااز خط عبور می کند:

لبه مستقیم، علاوه بر این.

لبه مستقیم، علاوه بر این.

لبه مستقیم، علاوه بر این.

لبه مستقیم، علاوه بر این.

لبه مستقیم، علاوه بر این.

لبه مستقیم، علاوه بر این.

این بار، شش بخش به دست می آید که دارای انتهای مشترک متوالی هستند:

اجازه دهید سپس هواپیمااز خط عبور می کندعلاوه بر این، در یک خط مستقیم. حاشیه، غیرمتمرکز صفحه در یک خط مستقیم قطع می شود، علاوه بر این. حاشیه، غیرمتمرکز صفحه در یک خط مستقیم قطع می شود، و ... یعنی سه بخش به دست می آید که دو انتهای مشترک دارند:بنابراین، برای مقادیر مشخص شده پارامترصفحه مکعب را در یک مثلث منظم با رئوس قطع می کند

بنابراین، در اینجا شرح کاملی از شکل‌های صفحه‌ای است که وقتی یک مکعب با صفحه‌ای عمود بر مورب اصلی آن قطع می‌شود، به دست می‌آید. ایده اصلی به شرح زیر بود. باید درک کرد که صفحه کدام وجه را قطع می کند، در امتداد چه مجموعه هایی آنها را قطع می کند، چگونه این مجموعه ها به هم متصل می شوند. به عنوان مثال، اگر معلوم شد که صفحه دقیقاً سه وجه را در امتداد قطعاتی که دارای دو انتهای مشترک هستند قطع می کند، آن مقطع یک مثلث متساوی الاضلاع بود (که با محاسبه مستقیم طول قطعات ثابت می شود) که رئوس آن عبارتند از: انتهای بخش ها

با استفاده از همین دستگاه و همان ایده بررسی مقاطع، می توان حقایق زیر را به روشی کاملاً مشابه به دست آورد:

1) بردار یکی از قطرهای اصلی مکعب واحد چهار بعدی دارای مختصاتی است.

2) هر ابر صفحه عمود بر قطر اصلی یک مکعب چهار بعدی را می توان به صورت زیر نوشت:.

3) در معادله هایپرصفحه سکانت، پارامترمی تواند از 0 تا 4 متغیر باشد.

4) برای و ابر صفحه متقاطع و مکعب چهار بعدی یک نقطه مشترک دارند (و به ترتیب)؛

5) چه زمانی یک چهار وجهی منظم در بخش به دست می آید.

6) چه زمانی یک هشت وجهی در بخش به دست می آید.

7) چه زمانی در بخش، یک چهار وجهی منظم به دست می آید.

بر این اساس، در اینجا ابرصفحه تسراکت را در امتداد صفحه قطع می کند، که در آن، به دلیل محدودیت های متغیرها، یک ناحیه مثلثی متمایز می شود (قیاس، صفحه مکعب را در یک خط مستقیم قطع کرد، که در آن، به دلیل محدودیت های متغیرها، یک بخش متمایز شد). در حالت 5، ابرصفحه دقیقاً چهار وجه سه بعدی تسراکت را قطع می کند، یعنی چهار مثلث به دست می آید که دو ضلع مشترک دارند، به عبارت دیگر یک چهار ضلعی تشکیل می دهند (همانطور که می توان محاسبه کرد صحیح است). در حالت 6، ابرصفحه دقیقاً هشت وجه سه بعدی تسراکت را قطع می کند، یعنی هشت مثلث به دست می آید که دارای اضلاع متوالی مشترک هستند، به عبارت دیگر یک هشت ضلعی را تشکیل می دهند. مورد 7) کاملاً مشابه مورد 5 است).

اجازه دهید آنچه را که گفته شد با یک مثال مشخص توضیح دهیم. یعنی برش مکعب چهار بعدی را توسط ابر صفحه بررسی می کنیمبا توجه به محدودیت های متغیرها، این ابرصفحه وجه های سه بعدی زیر را قطع می کند:حاشیه، غیرمتمرکز در یک هواپیما تلاقی می کندبا توجه به محدودیت های متغیرها، داریم:یک ناحیه مثلثی با رئوس بدست می آوریمبه علاوه،یک مثلث می گیریمهنگامی که یک ابر صفحه یک چهره را قطع می کندیک مثلث می گیریمهنگامی که یک ابر صفحه یک چهره را قطع می کندیک مثلث می گیریمبنابراین، رئوس چهار وجهی دارای مختصات زیر است... به راحتی می توان محاسبه کرد که این چهار وجهی واقعاً درست است.

نتیجه گیری

بنابراین، در فرآیند این تحقیق، حقایق اساسی هندسه تحلیلی چند بعدی، ویژگی‌های ساخت مکعب‌هایی با ابعاد 0 تا 3، ساختار یک مکعب چهار بعدی، یک مکعب چهار بعدی بررسی شد. به طور تحلیلی و هندسی توصیف شده است، مدل‌هایی از جاروها و برآمدگی‌های مرکزی مکعب‌های سه‌بعدی و چهار بعدی ساخته شده‌اند، اجسام سه‌بعدی حاصل از تقاطع یک مکعب چهار بعدی توسط ابرصفحه‌های موازی با یکی از وجوه سه‌بعدی آن، یا توسط ابرصفحه های عمود بر مورب اصلی آن.

این مطالعه امکان آشکارسازی یک قیاس عمیق در ساختار و ویژگی‌های مکعب‌ها با ابعاد مختلف را فراهم کرد. تکنیک قیاس مورد استفاده را می توان در تحقیقات به کار برد، به عنوان مثال،کره بعدی یاسیمپلکس بعدی برای مثال،یک کره بعدی را می توان به عنوان مجموعه ای از نقاط تعریف کردفضای ابعادی با فاصله مساوی از یک نقطه مشخص که مرکز کره نامیده می شود. به علاوه،سیمپلکس بعدی را می توان به عنوان بخشی تعریف کردفضای ابعادی، محدود به حداقل تعدادهایپرصفحه های بعدی به عنوان مثال، یک سیمپلکس یک بعدی یک قطعه است (بخشی از فضای یک بعدی محدود به دو نقطه)، یک سیمپلکس دو بعدی یک مثلث است (بخشی از فضای دو بعدی که توسط سه خط مستقیم محدود شده است). یک سیمپلکس سه بعدی یک چهار وجهی است (بخشی از یک فضای سه بعدی که توسط چهار صفحه محدود شده است). سرانجام،سیمپلکس بعدی به عنوان یک قسمت تعریف می شودفضای ابعادی، محدودابر صفحه بعد.

توجه داشته باشید که علیرغم کاربردهای متعدد تسراکت در برخی از حوزه‌های علم، این مطالعه هنوز تا حد زیادی یک مطالعه ریاضی است.

کتابشناسی - فهرست کتب

1) Bugrov Y.S.، Nikolsky S.M.ریاضیات عالی، v.1 –M .: Bustard, 2005 - 284 p.

2) کوانتومی مکعب چهار بعدی / Duzhin S., Rubtsov V., No. 6, 1986.

3) کمیت چطوری طراحی کنیم مکعب اندازه گیری شده / دمیدویچ N.B.، شماره 8، 1974.

در هندسه هایپر مکعب- آی تی n-قیاس بعدی مربع ( n= 2) و مکعب ( n= 3). این یک شکل محدب بسته و متشکل از گروه هایی از خطوط موازی است که در لبه های مخالف شکل قرار گرفته اند و در زوایای قائم به یکدیگر متصل می شوند.

این رقم نیز به نام تسراکت(تسراکت). Tesseract به مکعب اشاره می کند همانطور که مکعب به مربع اشاره می کند. به طور رسمی تر، یک تسراکت را می توان به عنوان یک پلی توپ (پلی توپ) چهار بعدی محدب منظم توصیف کرد که مرز آن از هشت سلول مکعبی تشکیل شده است.

بر اساس فرهنگ لغت انگلیسی آکسفورد، تسراکت در سال 1888 توسط چارلز هوارد هینتون ابداع شد و در کتاب خود به نام «عصر جدید اندیشه» استفاده شد. این کلمه از یونانی "τεσσερες ακτινες" ("چهار پرتو") تشکیل شده است، چهار محور مختصات وجود دارد. به علاوه در برخی منابع نیز همین رقم نامیده شده است چهار مکعب(تترا مکعب).

nهایپرمکعب بعدی نیز نامیده می شود مکعب n.

یک نقطه یک ابرمکعب به ابعاد 0 است. اگر یک نقطه را با یک واحد طول حرکت دهید، یک پاره واحد طول به دست می‌آورید - یک ابرمکعب با بعد 1. به علاوه، اگر یک قطعه را به واحد طول در جهت عمود بر هم حرکت دهید. در جهت قطعه، یک مکعب دریافت می کنید - یک ابرمکعب به ابعاد 2. با جابجایی یک مربع بر حسب واحد طول در جهت عمود بر صفحه مربع، یک مکعب به دست می آید - یک ابرمکعب به ابعاد 3. این فرآیند را می توان به هر تعداد ابعاد تعمیم داد. به عنوان مثال، اگر یک مکعب را به طول یک واحد در بعد چهارم حرکت دهید، یک تسراکت دریافت می کنید.

خانواده هایپرمکعب یکی از معدود چندوجهی های منظمی است که در هر بعد قابل نمایش است.

عناصر Hypercube

هایپرمکعب ابعاد n 2 دارد n"اضلاع" (خط یک بعدی دارای 2 نقطه است؛ مربع دو بعدی - 4 طرف؛ مکعب سه بعدی - 6 وجه؛ تسراکت چهار بعدی - 8 سلول). تعداد رئوس (نقاط) هایپرمکعب 2 است n(به عنوان مثال، برای یک مکعب - 2 3 رأس).

تعداد مترهایپر مکعب های بعدی در حاشیه n-مکعب برابر است

به عنوان مثال، مرز یک هایپرمکعب شامل 8 مکعب، 24 مربع، 32 لبه و 16 راس است.

طرح ریزی صفحه

شکل گیری یک ابر مکعب را می توان به شکل زیر نشان داد:

• دو نقطه A و B را می توان به هم متصل کرد تا یک پاره خط AB را تشکیل دهد.
• دو پاره خط موازی AB و CD را می توان به هم متصل کرد تا یک ABCD مربع تشکیل دهد.
• دو مربع موازی ABCD و EFGH را می توان به هم متصل کرد تا یک مکعب ABCDEFGH را تشکیل دهد.
• دو مکعب موازی ABCDEFGH و IJKLMNOP را می توان به هم متصل کرد تا ابر مکعب ABCDEFGHIJKLMNOP را تشکیل دهد.

تصور ساختار دوم آسان نیست، اما می توان طرح ریزی آن را بر روی یک فضای دو بعدی یا سه بعدی به تصویر کشید. علاوه بر این، پیش‌بینی‌ها بر روی یک صفحه دوبعدی می‌توانند با قابلیت تنظیم مجدد موقعیت‌های رئوس پیش‌بینی‌شده مفیدتر باشند. در این مورد، می‌توانید تصاویری دریافت کنید که دیگر روابط فضایی عناصر درون تسراکت را منعکس نمی‌کنند، اما ساختار اتصالات رأس را مانند مثال‌های زیر نشان می‌دهند.

تصویر اول نشان می دهد که چگونه، در اصل، یک تسراکت از به هم پیوستن دو مکعب تشکیل می شود. این نمودار شبیه به نمودار ایجاد یک مکعب دو مربع است. نمودار دوم نشان می دهد که تمام لبه های تسراکت دارای طول یکسانی هستند. این طرح همچنین شما را مجبور به جستجوی مکعب های متصل به یکدیگر می کند. در نمودار سوم، رئوس تسراکت مطابق با فواصل در امتداد لبه ها نسبت به نقطه پایین قرار دارند. این طرح از این جهت جالب است که از آن به عنوان یک طرح اساسی برای توپولوژی شبکه اتصال پردازنده ها هنگام سازماندهی محاسبات موازی استفاده می شود: فاصله بین هر دو گره از 4 طول لبه تجاوز نمی کند و راه های مختلفی برای متعادل کردن بار وجود دارد.

هایپر مکعب در هنر

ابر مکعب از سال 1940 در ادبیات علمی تخیلی ظاهر شد، زمانی که رابرت هاینلین در داستان "و او خانه ای کج ساخت"، خانه ای را که به شکل یک جاروب ساخته شده بود توصیف کرد. در داستان، این بیشتر، این خانه فرو می ریزد و به یک تسراکت چهار بعدی تبدیل می شود. پس از آن، هایپر مکعب در بسیاری از کتاب ها و رمان ها ظاهر می شود.

فیلم «مکعب ۲: هایپر مکعب» داستان هشت نفر را روایت می کند که در شبکه ای از هایپرمکعب به دام افتاده اند.

نقاشی سالوادور دالی "صلیبیون" ("صلیب (Corpus Hypercubus)"، 1954) عیسی را به تصویر می کشد که بر روی یک اسکن تسراکت به صلیب کشیده شده است. این نقاشی در موزه متروپولیتن نیویورک قابل مشاهده است.

نتیجه

هایپرمکعب یکی از ساده ترین اجسام چهار بعدی است که با مثال آن می توانید تمام پیچیدگی و غیرعادی بودن بعد چهارم را ببینید. و آنچه در سه بعد غیرممکن به نظر می رسد، احتمالاً در چهار، به عنوان مثال، شکل های غیر ممکن. بنابراین، به عنوان مثال، میله های یک مثلث غیر ممکن در چهار بعد در زوایای قائم به هم متصل می شوند. و این شکل از همه نظر به این شکل خواهد بود و برخلاف تحقق مثلث غیرممکن در فضای سه بعدی تحریف نمی شود (نگاه کنید به.

تکامل مغز انسان در فضای سه بعدی اتفاق افتاد. بنابراین تصور فضاهایی با ابعاد بزرگتر از سه برای ما دشوار است. در واقع مغز انسان نمی تواند اجسام هندسی را با ابعاد بیش از سه تصور کند. و در عین حال به راحتی می توانیم اجسام هندسی را با ابعاد نه تنها سه، بلکه با ابعاد دو و یک نیز تصور کنیم.

تفاوت و قیاس بین فضاهای یک بعدی و دو بعدی و همچنین تفاوت و قیاس بین فضاهای دو بعدی و سه بعدی به ما این امکان را می دهد که کمی صفحه رمز و راز را که ما را از فضاهای با ابعاد بزرگتر جدا می کند باز کنیم. برای درک چگونگی استفاده از این قیاس، یک شی چهار بعدی بسیار ساده را در نظر بگیرید - یک ابر مکعب، یعنی یک مکعب چهار بعدی. برای قطعیت، فرض کنید، می خواهیم یک مسئله خاص را حل کنیم، یعنی تعداد وجه های مربع یک مکعب چهار بعدی را بشماریم. کل ملاحظات زیر بسیار سست خواهد بود، بدون هیچ مدرکی، صرفاً بر اساس قیاس.

برای درک اینکه چگونه یک هایپرمکعب از یک مکعب معمولی ساخته می شود، ابتدا باید ببینید که چگونه یک مکعب معمولی از یک مربع معمولی ساخته می شود. برای اصالت ارائه این مطالب، در اینجا یک مربع معمولی را SubCube می نامیم (و آن را با succubus اشتباه نمی گیریم).

برای ساختن یک مکعب از یک زیر مکعب، باید زیر مکعب را در جهت عمود بر صفحه زیر مکعب در جهت بعد سوم بکشید. در این حالت، یک زیر مکعب از هر طرف زیر مکعب اصلی رشد خواهد کرد که یک وجه دو بعدی جانبی مکعب است که حجم سه بعدی مکعب را از چهار طرف، دو تا عمود بر هر جهت، محدود می کند. صفحه زیر مکعب و در امتداد محور سوم جدید، دو زیر مکعب نیز وجود دارد که حجم سه بعدی مکعب را محدود می کند. این وجه دو بعدی است که در ابتدا زیر مکعب ما در آن قرار داشت و آن وجه دو بعدی مکعب است که در پایان ساخت مکعب زیر مکعب ظاهر شد.

آنچه را که خواندید با جزئیات بیش از حد و با توضیحات فراوان بیان شده است. و نه اتفاقی. حالا این ترفند را انجام می دهیم، چند کلمه در متن قبلی را به صورت رسمی به این صورت جایگزین می کنیم:
مکعب -> هایپرمکعب
زیر مکعب -> مکعب
هواپیما -> حجم
سوم -> چهارم
دو بعدی -> سه بعدی
چهار -> شش
سه بعدی -> چهار بعدی
دو -> سه
هواپیما -> فضا

در نتیجه، متن معنی‌داری زیر را دریافت می‌کنیم که دیگر زیاد جزئی به نظر نمی‌رسد.

برای ساختن هایپرمکعب از یک مکعب، باید مکعب را در جهت عمود بر حجم مکعب در جهت بعد چهارم بکشید. در این حالت، یک مکعب از هر طرف مکعب اصلی رشد خواهد کرد که یک وجه سه بعدی جانبی ابرمکعب است، که حجم چهار بعدی ابرمکعب را از شش ضلع، سه عمود بر هر جهت در فضای مکعب و در امتداد محور چهارم جدید، دو مکعب نیز وجود دارد که حجم چهار بعدی ابرمکعب را محدود می کند. این وجه سه بعدی است که در ابتدا مکعب ما در آن قرار داشت و آن وجه سه بعدی ابرمکعب است که مکعب در پایان ساخت ابرمکعب ظاهر شد.

چرا ما اینقدر مطمئن هستیم که توصیف درستی از ساخت یک ابر مکعب دریافت کرده ایم؟ زیرا دقیقاً همان جانشینی صوری کلمات، شرح ساخت مکعب را از شرح ساخت مربع به دست می آوریم. (خودتان آن را بررسی کنید.)

اکنون مشخص است که اگر باید یک مکعب سه بعدی دیگر از هر طرف مکعب رشد کند، از هر لبه مکعب اولیه یک صورت باید رشد کند. در مجموع، یک مکعب دارای 12 لبه است، به این معنی که در آن 6 مکعب که حجم چهار بعدی را در امتداد سه محور فضای سه بعدی محدود می کند، 12 وجه جدید (زیر مکعب) ظاهر می شود. و هنوز دو مکعب وجود دارد که این حجم چهار بعدی را از پایین و از بالا در امتداد محور چهارم محدود می کند. هر کدام از این مکعب ها 6 وجه دارند.

در مجموع، دریافتیم که هایپرمکعب دارای 12 + 6 + 6 = 24 وجه مربع است.

تصویر بعدی ساختار منطقی یک ابر مکعب را نشان می دهد. این مانند یک ابرمکعب بر روی یک فضای سه بعدی است. این منجر به یک قاب سه بعدی ساخته شده از دنده می شود. در شکل البته می توانید برآمدگی این قاب را بر روی هواپیما نیز مشاهده کنید.

روی این قاب، مکعب داخلی، همان طور که گفته شد، همان مکعب اولیه است که ساخت و ساز از آن آغاز شد و حجم چهار بعدی ابر مکعب را در امتداد محور چهارم از پایین محدود می‌کند. این مکعب اولیه را در امتداد محور چهارم اندازه گیری به سمت بالا کشیده و وارد مکعب بیرونی می شود. بنابراین مکعب های بیرونی و داخلی از این شکل، هایپرمکعب را در امتداد محور بعد چهارم محدود می کنند.

و بین این دو مکعب 6 مکعب جدید دیگر نمایان است که با دو مکعب اول وجه مشترک دارند. این شش مکعب ابر مکعب ما را در امتداد سه محور فضای سه بعدی محدود می کنند. همانطور که می بینید آنها نه تنها با دو مکعب اول که درونی و بیرونی روی این قاب سه بعدی هستند در تماس هستند، بلکه همچنان با یکدیگر در تماس هستند.

می توانید درست در شکل محاسبه کنید و مطمئن شوید که هایپرمکعب واقعا 24 وجه دارد. اما این سوال پیش می آید. این اسکلت ابر مکعبی در فضای سه بعدی با هشت مکعب سه بعدی بدون هیچ شکافی پر شده است. برای ایجاد یک هایپرمکعب واقعی از این طرح سه بعدی یک هایپرمکعب، لازم است این قاب را به سمت بیرون برگردانید تا هر 8 مکعب حجم 4 بعدی را محدود کند.

اینگونه انجام می شود، اینجوری درست میشه. از یکی از ساکنان فضای چهاربعدی دعوت می کنیم که به ما سر بزند و از او کمک بخواهیم. او مکعب درونی این اسکلت را گرفته و آن را در جهت بعد چهارم که عمود بر فضای سه بعدی ماست تغییر می دهد. در فضای سه بعدی ما، آن را به گونه ای درک می کنیم که گویی کل قاب داخلی ناپدید شده است و فقط قاب مکعب بیرونی باقی مانده است.

علاوه بر این، دستیار چهار بعدی ما در زایشگاه ها برای زایمان بدون درد کمک خود را ارائه می دهد، اما زنان باردار ما از این احتمال می ترسند که کودک به سادگی از شکم ناپدید شود و در یک فضای سه بعدی موازی قرار گیرد. بنابراین، چهار نفر مودبانه خودداری می شود.

و ما با این سوال که آیا برخی از مکعب های ما با چرخاندن قاب هایپرمکعب از داخل به بیرون گیر کرده اند، متحیر شده ایم. از این گذشته، اگر چند مکعب سه بعدی اطراف هایپرمکعب، همسایگان خود را روی قاب با صورت خود لمس کنند، آیا اگر مکعب چهار بعدی، قاب را از داخل به بیرون بچرخاند، آنها نیز همین چهره ها را لمس خواهند کرد؟

اجازه دهید دوباره به قیاس با فضاهای با ابعاد پایین تر بپردازیم. تصویر قاب سیمی هایپرمکعب را با طرح ریزی مکعب سه بعدی بر روی صفحه نشان داده شده در تصویر زیر مقایسه کنید.

ساکنان فضای دوبعدی بر روی یک هواپیما قابی از برآمدگی یک مکعب بر روی یک هواپیما ساختند و از ما ساکنان سه بعدی دعوت کردند تا این قاب را به داخل برگردانیم. چهار رأس مربع داخلی را می گیریم و آنها را عمود بر صفحه حرکت می دهیم. در همان زمان، ساکنان دو بعدی ناپدید شدن کامل کل قاب داخلی را می بینند و آنها فقط قاب مربع بیرونی را دارند. با چنین عملیاتی، تمام مربع هایی که با لبه های خود در تماس بودند، همچنان لبه های قبلی را لمس می کنند.

بنابراین امیدواریم که طرح منطقی هایپرمکعب نیز با چرخاندن قاب هایپرمکعب به بیرون نقض نشود و تعداد وجه های مربعی هایپرمکعب افزایش نیافته و برابر با 24 باقی بماند. ، یک دلیل نیست، بلکه صرفاً یک حدس بر اساس قیاس است ...

پس از خواندن همه چیز در اینجا، به راحتی می توانید قاب های منطقی یک مکعب پنج بعدی را ترسیم کنید و محاسبه کنید که چند رئوس، لبه، وجه، مکعب و هایپرمکعب دارد. اصلا سخت نیست.

اگر از طرفداران فیلم های انتقام جویان هستید، اولین چیزی که با شنیدن کلمه Tesseract به ذهن شما خطور می کند ظرف مکعبی شکل شفاف سنگ بی نهایت حاوی قدرت بی حد و حصر است.

برای طرفداران دنیای مارول، Tesseract یک مکعب آبی درخشان است که نه تنها از زمین، بلکه سایر سیارات را نیز دیوانه می کند. به همین دلیل است که تمام انتقام جویان با هم متحد شده اند تا از زمینیان در برابر نیروهای بسیار مخرب Tesseract محافظت کنند.

با این حال، باید گفت: Tesseract یک مفهوم هندسی واقعی است، یا بهتر است بگوییم، فرمی است که در 4 بعدی وجود دارد. این فقط یک مکعب آبی از Avengers نیست ... یک مفهوم واقعی است.

Tesseract یک شی در 4 بعد است. اما قبل از توضیح مفصل، اجازه دهید از ابتدا شروع کنیم.

بعد چیست؟

همه اصطلاحات 2D و 3D را شنیده اند که به ترتیب نشان دهنده اجسام دو بعدی یا سه بعدی در فضا هستند. اما این ابعاد چیست؟

اندازه گیری به سادگی جهتی است که می توانید بروید. به عنوان مثال، اگر روی یک تکه کاغذ خطی می کشید، می توانید به چپ / راست (محور x) یا بالا / پایین (محور y) بروید. بنابراین، ما می گوییم که کاغذ دو بعدی است، زیرا شما فقط می توانید در دو جهت راه بروید.

حس عمق در سه بعدی وجود دارد.

حال در دنیای واقعی علاوه بر دو جهت ذکر شده در بالا (چپ / راست و بالا / پایین) می توانید به / از نیز بروید. از این رو، حس عمق در فضای سه بعدی اضافه می شود. بنابراین می گوییم زندگی واقعی سه بعدی است.

یک نقطه می تواند 0 بعد را نشان دهد (زیرا در هیچ جهتی حرکت نمی کند)، یک خط نشان دهنده 1 بعد (طول)، یک مربع نشان دهنده 2 بعد (طول و عرض) و یک مکعب نشان دهنده 3 بعد (طول، عرض و ارتفاع) است. ).

یک مکعب سه بعدی بردارید و هر صورت (که در حال حاضر مربع است) را با یک مکعب جایگزین کنید. و همینطور! شکلی که به دست می آورید تسراکت است.

تسراکت چیست؟

به زبان ساده، تسراکت یک مکعب در فضای 4 بعدی است. همچنین می توان گفت که آنالوگ 4 بعدی یک مکعب است. این یک شکل 4 بعدی است که در آن هر صورت یک مکعب است.

در اینجا یک راه ساده برای مفهوم سازی ابعاد وجود دارد: یک مربع دو بعدی است. بنابراین، هر گوشه آن دارای 2 خط است که با زاویه 90 درجه نسبت به یکدیگر امتداد دارند. مکعب سه بعدی است، بنابراین هر گوشه آن دارای 3 خط است که از آن پایین می آید. به همین ترتیب، تسراکت یک شکل 4 بعدی است، بنابراین هر گوشه دارای 4 خط است که از آن امتداد دارند.

چرا تصور یک تسراکت دشوار است؟

از آنجایی که ما به عنوان انسان تکامل یافته ایم تا اشیا را در سه بعدی تجسم کنیم، هر چیزی که به ابعاد اضافی مانند 4 بعدی، 5 بعدی، 6 بعدی و غیره تبدیل شود، برای ما چندان منطقی نیست، زیرا اصلا نمی توانیم آنها را داشته باشیم. مغز ما نمی تواند بعد 4 را در فضا درک کند. ما فقط نمی توانیم در مورد آن فکر کنیم.

با این حال، فقط به این دلیل که نمی‌توانیم مفهوم فضاهای چند بعدی را تجسم کنیم، به این معنا نیست که وجود ندارد.

از نظر ریاضی، تسراکت یک فرم کاملا دقیق است. به همین ترتیب، همه اشکال در ابعاد بالاتر، یعنی 5 بعدی و 6 بعدی، از نظر ریاضی نیز قابل قبول هستند.

همانطور که یک مکعب را می توان به 6 مربع در فضای دو بعدی منبسط کرد، یک تسراکت را می توان به 8 مکعب در فضای سه بعدی گسترش داد.

تعجب آور و غیر قابل درک است، اینطور نیست؟

بنابراین تسراکت یک «مفهوم واقعی» است که از نظر ریاضی کاملاً قابل قبول است، نه فقط مکعب آبی درخشانی که در فیلم‌های انتقام‌جویان با آن مبارزه می‌شود.

به محض اینکه توانستم بعد از عمل سخنرانی کنم، اولین سوال از دانش آموزان پرسیده شد:

کی برای ما مکعب 4 بعدی می کشی؟ ایلیا عبدالخائویچ به ما قول داد!

به یاد دارم که دوستان عزیزم گاهی اوقات یک لحظه برنامه آموزشی ریاضی را دوست دارند. بنابراین، من بخشی از سخنرانی خود را برای ریاضیدانان در اینجا نیز خواهم نوشت. و بدون خستگی تلاش خواهم کرد. البته در برخی موارد سخنرانی را با دقت بیشتری خواندم.

بیایید اول توافق کنیم. فضای 4 بعدی و حتی بیشتر از آن 5-6-7- و به طور کلی فضای k-بعدی در حواس حسی به ما داده نمی شود.
معلم مدرسه یکشنبه من، که اولین کسی بود که به من گفت مکعب 4 بعدی چیست، گفت: "ما بدبخت هستیم زیرا فقط سه بعدی هستیم." مدرسه یکشنبه، البته، بسیار مذهبی بود - ریاضی. این بار ما هایپر مکعب ها را مطالعه کردیم. یک هفته قبل از آن، استقراء ریاضی، یک هفته پس از آن، چرخه هامیلتونی در نمودارها - به ترتیب، این کلاس هفتم است.

ما نمی توانیم یک مکعب 4 بعدی را لمس کنیم، بو کنیم، بشنویم یا ببینیم. با آن چه کنیم؟ ما می توانیم آن را تصور کنیم! زیرا مغز ما بسیار پیچیده تر از چشم و دست ماست.

بنابراین، برای اینکه بفهمیم یک مکعب 4 بعدی چیست، بیایید ابتدا بفهمیم که چه چیزی در دسترس ماست. مکعب سه بعدی چیست؟

باشه باشه! من از شما یک تعریف ریاضی واضح نمی خواهم. فقط ساده ترین و رایج ترین مکعب سه بعدی را تصور کنید. ارائه کرده اید؟

باشه.
برای اینکه بفهمیم چگونه یک مکعب 3 بعدی را به یک فضای 4 بعدی تعمیم دهیم، بیایید بفهمیم که یک مکعب 2 بعدی چیست. خیلی ساده است - یک مربع است!

مربع 2 مختصات دارد. مکعب سه دارد. نقاط مربع نقاطی با دو مختصات هستند. اولی از 0 تا 1 است. و دومی از 0 تا 1. نقاط مکعب سه مختصات دارند. و هر کدام هر عددی از 0 تا 1 است.

منطقی است که تصور کنیم یک مکعب 4 بعدی چنین چیزی است با 4 مختصات و همه چیز از 0 تا 1.

/ * همچنین منطقی است که یک مکعب 1 بعدی را تصور کنیم که چیزی بیش از یک قطعه ساده از 0 تا 1 نیست. * /

بنابراین، بس کنید، چگونه یک مکعب 4 بعدی رسم می کنید؟ از این گذشته، ما نمی توانیم فضای 4 بعدی را در یک هواپیما ترسیم کنیم!
اما فضای 3 بعدی را هم روی هواپیما نمی کشیم، آن را ترسیم می کنیم طرح ریزیروی صفحه 2 بعدی نقاشی. مختصات سوم (z) را در یک زاویه قرار می دهیم و تصور می کنیم که محور از صفحه نقاشی "به سمت ما" می رود.

اکنون کاملاً مشخص است که چگونه یک مکعب 4 بعدی رسم کنیم. همانطور که محور سوم را در یک زاویه مشخص قرار دادیم، محور چهارم را بگیرید و همچنین آن را در یک زاویه مشخص قرار دهید.
و وایلا! - طرح ریزی یک مکعب 4 بعدی بر روی یک هواپیما.

چی؟ اصلا این چیه؟ من همیشه از پشت میزها زمزمه می شنوم. بگذارید با جزئیات بیشتر توضیح دهم که این آشفتگی خطوط چیست.
ابتدا به مکعب سه بعدی نگاه کنید. ما چه کرده ایم؟ یک مربع گرفتیم و در امتداد محور سوم (z) کشیدیم. مانند بسیاری از مربع های کاغذی است که در یک توده به هم چسبیده اند.
در مورد یک مکعب 4 بعدی هم همینطور است. برای راحتی و برای اهداف علمی تخیلی، محور چهارم را «محور زمان» بنامیم. ما باید یک مکعب سه بعدی معمولی برداریم و آن را از زمان "اکنون" به زمان "در یک ساعت" بکشیم.

ما یک مکعب اکنون داریم. در تصویر صورتی است.

و اکنون آن را در امتداد محور چهارم - در امتداد محور زمان (من آن را به رنگ سبز نشان دادم) می کشیم. و ما مکعب آینده را دریافت می کنیم - آبی.

هر رأس "مکعب اکنون" در زمان اثری از خود بر جای می گذارد - یک بخش. ارتباط حال او با آینده اش.

به طور خلاصه، بدون متن: ما دو مکعب سه بعدی یکسان کشیدیم و رئوس مربوطه را به هم وصل کردیم.
به همان روشی که با مکعب 3 بعدی انجام دادیم (2 مکعب دو بعدی یکسان بکشید و رئوس را به هم وصل کنید).

برای رسم یک مکعب 5 بعدی باید دو کپی از مکعب 4 بعدی (یک مکعب 4 بعدی با مختصات پنجم 0 و یک مکعب 4 بعدی با مختصات پنجم 1) بکشید و رئوس مربوطه را با لبه ها. درست است، چنین درهم آمیزی از لبه ها در هواپیما بیرون می آید که درک چیزی تقریبا غیرممکن خواهد بود.

وقتی یک مکعب 4 بعدی را تصور کردیم و حتی توانستیم آن را ترسیم کنیم، می توانیم به هر شکلی آن را کشف کنیم. فراموش نکنید که آن را هم در ذهن و هم در تصویر بررسی کنید.
مثلا. یک مکعب 2 بعدی از 4 طرف توسط مکعب های 1 بعدی محدود شده است. این منطقی است: برای هر یک از 2 مختصات، هم شروع و هم یک پایان دارد.
یک مکعب 3 بعدی از 6 طرف توسط مکعب های 2 بعدی محدود شده است. برای هر یک از سه مختصات، یک شروع و یک پایان دارد.
این بدان معناست که یک مکعب 4 بعدی باید به هشت مکعب 3 بعدی محدود شود. در هر یک از 4 مختصات - در هر دو طرف. در تصویر بالا به وضوح 2 وجه را می بینیم که آن را در امتداد مختصات "زمان" محدود کرده اند.

در اینجا دو مکعب وجود دارد (آنها کمی مایل هستند زیرا دارای 2 بعد هستند که روی یک صفحه در یک زاویه قرار گرفته اند) که ابرمکعب ما را به چپ و راست محدود می کند.

همچنین به راحتی می توان به "بالا" و "پایین" توجه کرد.

دشوارترین چیز این است که بصری درک کنید که "جلو" و "پشت" کجا هستند. قسمت جلویی از جلوی "مکعب اکنون" شروع می شود و تا جلوی "مکعب آینده" - قرمز است. عقب، به ترتیب، بنفش.

تشخیص آنها سخت‌ترین است زیرا مکعب‌های دیگر زیر پای شما در هم می‌پیچند، که ابرمکعب را در مختصات پیش‌بینی‌شده متفاوتی محدود می‌کند. اما توجه داشته باشید که مکعب ها هنوز متفاوت هستند! در اینجا تصویر دیگری است که در آن "مکعب اکنون" و "مکعب آینده" برجسته شده است.

البته این امکان وجود دارد که یک مکعب 4 بعدی را در فضای 3 بعدی قرار دهید.
اولین مدل فضایی ممکن واضح است که به نظر می رسد: شما باید 2 اسکلت مکعبی بردارید و رئوس مربوطه آنها را با یک لبه جدید به هم وصل کنید.
الان همچین مدلی ندارم در سخنرانی، من یک مدل 3 بعدی کمی متفاوت از یک مکعب 4 بعدی را به دانش آموزان نشان می دهم.

می دانید که چگونه یک مکعب بر روی صفحه ای مانند این پرتاب می شود.
انگار از بالا به یک مکعب نگاه می کنیم.

نزدیکترین خط البته بزرگ است. و لبه دور کوچکتر به نظر می رسد، ما آن را از طریق لبه نزدیک می بینیم.

به این ترتیب می توانید یک مکعب 4 بعدی را پخش کنید. مکعب اکنون بزرگتر است، ما مکعب آینده را در دوردست می بینیم، بنابراین کوچکتر به نظر می رسد.

از طرف دیگر. از سمت بالا.

مستقیماً از کنار صورت:

از کنار دنده:

و آخرین زاویه، نامتقارن. از قسمت "شما هم بگید بین دنده هاش نگاه کردم."

خوب، پس شما می توانید به هر چیزی برسید. به عنوان مثال، همانطور که یک مکعب 3 بعدی روی یک هواپیما جارو می شود (به این ترتیب باید یک ورق کاغذ را برش دهید تا در هنگام تا کردن یک مکعب به دست آورید)، یک مکعب 4 بعدی نیز وجود دارد. به فضا مثل بریدن یک تکه چوب به طوری که با تا کردن آن در فضای 4 بعدی، یک تسراکت به دست می‌آید.

شما می توانید نه فقط یک مکعب 4 بعدی، بلکه به طور کلی مکعب های n بعدی را مطالعه کنید. به عنوان مثال، آیا این درست است که شعاع کره ای که به دور یک مکعب n بعدی احاطه شده است کمتر از طول لبه این مکعب است؟ یا، در اینجا یک سوال ساده تر وجود دارد: یک مکعب n بعدی چند رأس دارد؟ چند لبه (وجه 1 بعدی)؟