دایره حکاکی شده. دایره ای که دور یک مثلث محاط شده است مثلثی که در دایره محاط شده است

قضیه دایره دایره ای در مورد چند ضلعی: می توان دایره ای را به دور هر چندضلعی منتظم و علاوه بر آن فقط یک ضلعی را محصور کرد. قضیه در مورد سلاح حک شده در یک چند ضلعی منتظم: هر چند ضلعی منتظم را می توان با یک دایره حک کرد و علاوه بر این، فقط یک دایره.

SPa4a4 rRN مساحت یک چند ضلعی منظم، ضلع و شعاع دایره محاطی و شعاع دایره محاطی را محاسبه کنید.

مربع چند ضلعی راست مربع چند ضلعی راست نامها و مربع چند ضلعی تعداد احزاب نام عنوان عنوان چند ضلعی کوچک 0.433A 2 4Chinth Cyagon1.000a 2 5598A 2 7 Cellifier 0.598A 2,628A 2,628 Cellifier مربع

0 زاویه محاطی. بقراط از خیوس اثبات ارائه شده در کتابهای درسی مدرن مبنی بر اینکه زاویه محاطی با نصف قوسی که روی آن قرار دارد اندازه گیری می شود در عناصر اقلیدس آمده است. با این حال، بقراط خیوسی (قرن پنجم قبل از میلاد) در کار خود در مورد "لونز" به این پیشنهاد اشاره می کند. آثار بقراط گواهی می دهد که در نیمه دوم قرن پنجم. قبل از میلاد مسیح ه. تعداد زیادی از قضایای مطرح شده در عناصر اقلیدس شناخته شده بود و هندسه به سطح بالایی از پیشرفت رسید. بابلی ها از 4000 سال پیش می دانستند که زاویه محتوی بر اساس قطر یک خط مستقیم است. اولین اثبات آن به پامفیلیا، نویسنده رومی از زمان نرون، به تالس میلتوس نسبت داده می شود.

0 چند ضلعی منظم چهار ضلعی، شش ضلعی و هشت ضلعی منتظم در آثار باستانی مصر و بابل به صورت تصاویر روی دیوارها و تزئینات حکاکی شده از سنگ یافت می شود. دانشمندان یونان باستان از زمان فیثاغورث علاقه زیادی به ارقام صحیح نشان دادند. تقسیم یک دایره به تعداد معینی از قطعات مساوی برای ساختن چند ضلعی های منظم برای فیثاغورثی ها مهم بود، زیرا ادعا می کردند که اعداد زیربنای همه پدیده های جهان هستند. آموزه چندضلعی های منظم که در مکتب فیثاغورث آغاز شد، در قرن هفتم ادامه یافت و توسعه یافت. قبل از میلاد مسیح e.، توسط اقلیدس سیستماتیک شد و در کتاب IV آغازها بیان شد. اقلیدس علاوه بر ساختن مثلث منتظم، چهار ضلعی، پنج ضلعی و شش ضلعی، مشکل ساختن پنج ضلعی منتظم را تنها با استفاده از قطب نما و خط مستقیم حل می کند. این شکل توجه قدیمی ها را به خود جلب کرد، زیرا اشاره شد که قوس زاویه میل دایره البروج به استوا نشان دهنده کل دایره است، یعنی توسط یک پنج ضلعی منظم منقبض شده است.

ABC O1 O2 O1 مرکز دایره محاط است، O2 مرکز دایره محاطی است ضرورت: کفایت: D AB + CD = BC + AD و بنابراین، AB = CD = BAD = ADC، اما BAD + ABC = 180 از این رو ADC + ABC = 180، و یک دایره را می توان در اطراف ذوزنقه ABCD حک کرد، علاوه بر این، AB + CD = BC + AD و بنابراین، یک دایره را می توان در ABCD حک کرد. لازم و کافی است که ذوزنقه متساوی الاضلاع و ضلع جانبی آن معادل نصف مجموع قاعده ها باشد.

تعریف 2

چند ضلعی که شرط تعریف 1 را برآورده می کند، گفته می شود که در اطراف یک دایره حک شده است.

شکل 1. دایره محاطی

قضیه 1 (روی دایره ای که در یک مثلث محاط شده است)

قضیه 1

در هر مثلثی، می توانید یک دایره، و علاوه بر این، فقط یک دایره را ثبت کنید.

اثبات

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. نیمسازهایی را در آن رسم کنید که در نقطه $O$ همدیگر را قطع کنند و از آن عمود بر اضلاع مثلث رسم کنید (شکل 2)

شکل 2. تصویر قضیه 1

وجود: دایره‌ای با مرکز $O$ و شعاع $OK رسم کنید.\ $از آنجایی که نقطه $O$ روی سه نیم‌ساز قرار دارد، از اضلاع مثلث $ABC$ به یک اندازه فاصله دارد. یعنی $OM=OK=OL$. در نتیجه دایره ساخته شده از نقاط $M\ و\ L$ نیز می گذرد. از آنجایی که $OM,OK\ و\ OL$ بر اضلاع مثلث عمود هستند، پس با قضیه مماس بر دایره، دایره ساخته شده هر سه ضلع مثلث را لمس می کند. بنابراین، به دلیل دلبخواهی یک مثلث، یک دایره را می توان در هر مثلثی حک کرد.

منحصربه‌فرد بودن: فرض کنید مثلث $ABC$ را می‌توان با دایره دیگری به مرکز نقطه $O"$ محاط کرد. مرکز آن از اضلاع مثلث مساوی فاصله دارد و بنابراین با نقطه $O$ منطبق است و شعاع آن برابر با طول است. $OK$ اما این دایره با دایره اول منطبق خواهد شد.

قضیه ثابت شده است.

نتیجه 1: مرکز دایره ای که در یک مثلث محاط شده است در نقطه تقاطع نیمسازهای آن قرار دارد.

در اینجا چند واقعیت دیگر در رابطه با مفهوم دایره محاطی وجود دارد:

هر چهار ضلعی را نمی توان در یک دایره حک کرد.

در هر چهارضلعی محصور، مجموع اضلاع مقابل برابر است.

اگر مجموع اضلاع مقابل یک چهارضلعی محدب برابر باشد، می توان دایره ای را در آن حک کرد.

تعریف 3

اگر همه رئوس چند ضلعی بر روی دایره قرار گیرند، دایره را در نزدیکی چند ضلعی می گویند (شکل 3).

تعریف 4

چند ضلعی که شرایط تعریف 2 را برآورده می کند، در یک دایره محاط می شود.

شکل 3. دایره محدود شده

قضیه 2 (روی دایره ای که اطراف یک مثلث است)

قضیه 2

در نزدیکی هر مثلثی می توان یک دایره و علاوه بر این فقط یک دایره را دور زد.

اثبات

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. بیایید عمودهای میانی را در آن رسم کنیم که در نقطه $O$ قطع می شوند و آن را به رئوس مثلث متصل می کنیم (شکل 4).

شکل 4. تصویر قضیه 2

وجود: بیایید دایره ای با مرکز $O$ و شعاع $OC$ بسازیم. نقطه $O$ از رئوس مثلث مساوی فاصله دارد، یعنی $OA=OB=OC$. بنابراین، دایره ساخته شده از تمام رئوس مثلث داده شده عبور می کند، به این معنی که در اطراف این مثلث توصیف شده است.

منحصر به فرد بودن: فرض کنید که دور مثلث $ABC$ یک دایره دیگر را می توان با مرکز در نقطه $O"$ محصور کرد. مرکز آن از رئوس مثلث مساوی فاصله دارد و بنابراین با نقطه $O$ منطبق است و دارای یک شعاع برابر با طول $OC. $ اما این دایره با دایره اول منطبق خواهد شد.

قضیه ثابت شده است.

نتیجه 1: مرکز دایره محصور شده در اطراف مثلث با نقطه تقاطع نیمسازهای عمود بر آن منطبق است.

در اینجا چند واقعیت دیگر در رابطه با مفهوم دایره محدود وجود دارد:

همیشه نمی توان یک دایره را در اطراف یک چهار ضلعی توصیف کرد.

در هر چهارضلعی محاطی، مجموع زوایای مقابل برابر با $(180)^0$ است.

اگر مجموع زوایای مقابل یک چهارضلعی $(180)^0$ باشد، می توان دایره ای را دور آن محصور کرد.

مثالی از یک مسئله در مفاهیم دایره محاطی و محصور

مثال 1

در مثلث متساوی الساقین قاعده 8 سانتی متر و ضلع آن 5 سانتی متر است شعاع دایره محاطی را بیابید.

راه حل.

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. با نتیجه 1، می دانیم که مرکز دایره محاط شده در تقاطع نیمسازها قرار دارد. اجازه دهید نیم‌سازهای $AK$ و $BM$ را ترسیم کنیم که در نقطه $O$ قطع می‌شوند. یک عمود $OH$ از نقطه $O$ به سمت $BC$ رسم کنید. بیایید یک تصویر بکشیم:

شکل 5

از آنجایی که مثلث متساوی الساقین است، $BM$ هم میانه و هم ارتفاع است. با قضیه فیثاغورث $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- شعاع دلخواه دایره محاط شده. از آنجایی که $MC$ و $CH$ بخش هایی از مماس های متقاطع هستند، با قضیه مماس متقاطع، $CH=MC=4\cm$ داریم. بنابراین، $BH=5-4=1\cm$. $BO=3-r$. از مثلث $OHB$، با قضیه فیثاغورث، به دست می آوریم:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \\

پاسخ:$\frac(4)(3)$.

در این درس، پایه هایی را که نظریه دایره های محاطی و محاطی بر آن ها استوار است، یادآوری می کنیم، نشانه های چهار گوش منقوش و محصور را یادآور می شویم. علاوه بر این، فرمول هایی برای یافتن شعاع دایره های محصور و محاطی در موارد مختلف استخراج می کنیم.

موضوع: دایره

درس: دایره های محاطی و محصور

اول از همه، ما در مورد دایره های محاط شده و محصور نسبت به یک مثلث صحبت می کنیم. ما برای این موضوع آماده شده ایم، زیرا ویژگی های نیمساز و عمود بر یک مثلث را مطالعه کرده ایم.

یک دایره را می توان در هر مثلثی حک کرد (شکل 1 را ببینید).

برنج. یکی

اثبات:

می دانیم که تمام نیمسازهای یک مثلث در یک نقطه قطع می شوند - فرض کنید در نقطه O. بیایید نیمسازهای AO، BO، CO را رسم کنیم. نقطه تقاطع آنها O از اضلاع مثلث مساوی فاصله دارد. از دو طرف زاویه - AC و AB فاصله دارد، زیرا به نیمساز این زاویه تعلق دارد. به همین ترتیب، از اضلاع گوشه ها و در نتیجه از سه ضلع مثلث فاصله دارد.

بیایید عمودها را از نقطه O به اضلاع مثلث رها کنیم - OM به سمت AC، OL - به BC، OK - به AB. این عمودها فواصل نقطه O تا اضلاع مثلث خواهند بود و برابرند:

.

بیایید فاصله نقطه O تا اضلاع مثلث را با r نشان دهیم و دایره ای با مرکز در نقطه O و شعاع r در نظر بگیریم.

دایره خط مستقیم AB را لمس می کند، زیرا یک نقطه مشترک K با آن دارد و شعاع OK کشیده شده به این نقطه عمود بر خط AB است. به طور مشابه، دایره خطوط AC و BC را لمس می کند. بنابراین، دایره تمام آن اضلاع مثلث را لمس می کند، به این معنی که در مثلث حک شده است.

بنابراین، سه نیمساز یک مثلث در نقطه ای که مرکز دایره محاطی است، قطع می شود.

قضیه دیگری را در نظر بگیرید، آن مربوط به نقطه تقاطع نیمسازهای عمود بر یک مثلث است. می دانیم که آنها در یک نقطه تلاقی می کنند و این نقطه با مرکز دایره ای که در اطراف مثلث محصور شده است منطبق است.

یک دایره را می توان در اطراف هر مثلثی محدود کرد.

بنابراین، یک مثلث داده شده است. بیایید وسط عمود p 1 را به ضلع مثلث BC، p 2 - به ضلع AB، p 3 - به سمت AC بکشیم (شکل 2 را ببینید).

با توجه به قضیه خصوصیات نیمسازهای عمود بر هم، نقطه ای که به نیمساز عمود بر یک پاره تعلق دارد، از انتهای قطعه فاصله دارد. از اینجا، زیرا نقطه Q متعلق به نیمساز عمود بر قطعه AC است. به همین ترتیب و . بنابراین، نقطه Q از رئوس مثلث مساوی فاصله دارد. از این رو QA، QB، QC - شعاع

برنج. 2

دایره ای که اطراف یک مثلث است. بیایید شعاع را با R نشان دهیم. نقطه O از تقاطع عمودهای میانی مرکز دایره محدود شده است.

دایره ای را در نظر بگیرید که در یک چهارضلعی خاص حک شده است و ویژگی های این چهارضلعی را در نظر بگیرید (شکل 3 را ببینید).

ویژگی های نقطه ای که روی نیمساز یک زاویه قرار دارد را به یاد بیاورید.

یک زاویه داده شده است، نیمساز آن AL است، نقطه M روی نیمساز قرار دارد.

اگر نقطه M روی نیمساز زاویه باشد، از اضلاع زاویه به یک اندازه فاصله دارد، یعنی فاصله نقطه M تا AC و تا BC اضلاع زاویه برابر است.

برنج. 3

فاصله یک نقطه تا یک خط طول عمود است. از نقطه M عمود بر MK به ضلع AB و MP به سمت AC رسم کنید.

مثلث و . اینها مثلثهای قائم الزاویه هستند و مساوی هستند، زیرا. یک فرض مشترک AM دارند و زوایا و مساوی هستند، زیرا AL نیمساز زاویه است. بنابراین، مثلث های قائم الزاویه در هیپوتنوز و زاویه تند برابر هستند، از این رو نتیجه می شود که باید ثابت شود. بنابراین، نقطه ای از نیمساز یک زاویه از اضلاع آن زاویه به یک اندازه فاصله دارد.

علاوه بر این، پاها. بنابراین، پاره های مماس هایی که از یک نقطه به دایره کشیده می شوند با هم برابر هستند.

بنابراین، به چهارضلعی برگردیم. اولین قدم ترسیم نیمساز در آن است.

تمام نیمسازهای یک چهار ضلعی در یک نقطه - نقطه O، مرکز دایره محاط شده - قطع می کنند.

از نقطه O، عمودهای اضلاع چهار گوش را به نقاط K، L، M، N پایین می آوریم و نقاط تماس را تعیین می کنیم (شکل 3 را ببینید).

مماس هایی که از یک نقطه روی دایره رسم می شوند با یکدیگر مساوی هستند، بنابراین از هر رأس یک جفت مماس مساوی خارج می شود: , , , .

برنج. 3

اگر بتوان دایره ای را در چهار ضلعی حک کرد، مجموع اضلاع مقابل آن برابر است. این به راحتی قابل اثبات است:

بیایید براکت ها را گسترش دهیم:

بنابراین، یک قضیه ساده اما مهم را ثابت کردیم.

اگر بتوان دایره ای را در چهار ضلعی حک کرد، مجموع اضلاع مقابل آن برابر است.

قضیه معکوس درست است.

اگر مجموع اضلاع مقابل در یک چهار ضلعی برابر باشد، می توان دایره ای را در آن حک کرد.

دایره ای را در نظر بگیرید که اطراف یک چهارضلعی است.

دایره ای با مرکز O و چهار ضلعی دلخواه ABCD داده می شود. ویژگی های این چهارضلعی را در نظر بگیرید. هر چهار نیمساز عمود بر یک چهارضلعی معین در یک نقطه قطع می شوند: این نقطه مرکز دایره محصور شده است.

اثبات اینکه هر چهار نیمساز عمود بر هم در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند خسته کننده خواهد بود. نشانه دیگری وجود دارد. زاویه ےA را در نظر بگیرید، این زاویه محاطی دایره است، روی قوس قرار دارد و با نصف درجه اندازه گیری این کمان اندازه گیری می شود (شکل 4 را ببینید). زاویه ےA را برای و سپس قوس را مشخص کنید. به همین ترتیب، زاویه مخالف ےС را برای نشان می دهیم، به صورت دایره ای محاط شده و روی یک کمان قرار دارد. از این رو قوس.

برنج. 4

کمان بکشید و یک دایره کامل تشکیل دهید. از اینجا:

,

عبارت به دست آمده را بر دو تقسیم می کنیم، می گیریم:

بنابراین، ما قضیه مستقیم را ثابت کردیم.

قضیه

اگر دایره ای دور یک چهار ضلعی محصور شود، مجموع زوایای مقابل آن برابر است.

این علامت لازم و کافی است، یعنی قضیه معکوس صادق است.

اگر مجموع زوایای مقابل یک چهار ضلعی برابر باشد، می توان دایره ای را دور این چهار ضلعی محصور کرد.

بر اساس این قضایا، توجه می کنیم که یک دایره را نمی توان در اطراف متوازی الاضلاع توصیف کرد، زیرا زوایای مقابل آن برابر است و مجموع آنها برابر نیست (شکل 5 را ببینید).

برنج. پنج

یک دایره را می توان نزدیک یک متوازی الاضلاع توصیف کرد اگر زوایای مقابل آن برابر 90 درجه باشد، یعنی اگر یک مستطیل باشد، بنابراین یک دایره را می توان نزدیک یک مستطیل توصیف کرد (شکل 6 را ببینید).

برنج. 6

همچنین محصور کردن یک دایره به دور لوزی غیرممکن است، اما می توان آن را حک کرد، زیرا تمام اضلاع لوزی برابر است و بنابراین، مجموع اضلاع مقابل لوزی برابر است.

علاوه بر این، در یک لوزی، هر مورب یک نیمساز است، نقطه تقاطع نیمسازها از همه طرف‌های لوزی به یک اندازه فاصله دارد (شکل 7 را ببینید).

برنج. 7

بنابراین، ما ثابت کردیم که یک دایره را می توان در هر مثلثی محاط کرد و مرکز این دایره با نقطه تقاطع نیمسازهای مثلث منطبق است. ما همچنین ثابت کردیم که یک دایره را می توان در اطراف هر مثلثی محصور کرد و مرکز آن با نقطه تقاطع نیمسازهای عمود بر هم منطبق خواهد بود. علاوه بر این، دیدیم که می توان دایره را در برخی از چهار ضلعی ها حک کرد و برای این کار لازم است که مجموع اضلاع مقابل چهارضلعی برابر باشد. همچنین نشان داده‌ایم که می‌توان یک دایره را به دور چند چهارضلعی محصور کرد و شرط لازم و کافی برای این امر تساوی مجموع زوایای مقابل است.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. الکساندروف A.D. و غیره هندسه پایه 8. - م.: آموزش و پرورش، 1385.
2. بوتوزوف V.F.، Kadomtsev S.B.، Prasolov V.V. هندسه پایه هشتم. - م.: آموزش و پرورش، 1390.
3. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir S.M. هندسه پایه هشتم. - M.: VENTANA-GRAF، 2009.

1. Uztest.ru ().
2. Mschool.kubsu.ru ().
3. Ege-study.ru ().

مشق شب

تعریف 2

چند ضلعی که شرط تعریف 1 را برآورده می کند، گفته می شود که در اطراف یک دایره حک شده است.

شکل 1. دایره محاطی

قضیه 1 (روی دایره ای که در یک مثلث محاط شده است)

قضیه 1

در هر مثلثی، می توانید یک دایره، و علاوه بر این، فقط یک دایره را ثبت کنید.

اثبات

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. نیمسازهایی را در آن رسم کنید که در نقطه $O$ همدیگر را قطع کنند و از آن عمود بر اضلاع مثلث رسم کنید (شکل 2)

شکل 2. تصویر قضیه 1

وجود: دایره‌ای با مرکز $O$ و شعاع $OK رسم کنید.\ $از آنجایی که نقطه $O$ روی سه نیم‌ساز قرار دارد، از اضلاع مثلث $ABC$ به یک اندازه فاصله دارد. یعنی $OM=OK=OL$. در نتیجه دایره ساخته شده از نقاط $M\ و\ L$ نیز می گذرد. از آنجایی که $OM,OK\ و\ OL$ بر اضلاع مثلث عمود هستند، پس با قضیه مماس بر دایره، دایره ساخته شده هر سه ضلع مثلث را لمس می کند. بنابراین، به دلیل دلبخواهی یک مثلث، یک دایره را می توان در هر مثلثی حک کرد.

منحصربه‌فرد بودن: فرض کنید مثلث $ABC$ را می‌توان با دایره دیگری به مرکز نقطه $O"$ محاط کرد. مرکز آن از اضلاع مثلث مساوی فاصله دارد و بنابراین با نقطه $O$ منطبق است و شعاع آن برابر با طول است. $OK$ اما این دایره با دایره اول منطبق خواهد شد.

قضیه ثابت شده است.

نتیجه 1: مرکز دایره ای که در یک مثلث محاط شده است در نقطه تقاطع نیمسازهای آن قرار دارد.

در اینجا چند واقعیت دیگر در رابطه با مفهوم دایره محاطی وجود دارد:

هر چهار ضلعی را نمی توان در یک دایره حک کرد.

در هر چهارضلعی محصور، مجموع اضلاع مقابل برابر است.

اگر مجموع اضلاع مقابل یک چهارضلعی محدب برابر باشد، می توان دایره ای را در آن حک کرد.

تعریف 3

اگر همه رئوس چند ضلعی بر روی دایره قرار گیرند، دایره را در نزدیکی چند ضلعی می گویند (شکل 3).

تعریف 4

چند ضلعی که شرایط تعریف 2 را برآورده می کند، در یک دایره محاط می شود.

شکل 3. دایره محدود شده

قضیه 2 (روی دایره ای که اطراف یک مثلث است)

قضیه 2

در نزدیکی هر مثلثی می توان یک دایره و علاوه بر این فقط یک دایره را دور زد.

اثبات

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. بیایید عمودهای میانی را در آن رسم کنیم که در نقطه $O$ قطع می شوند و آن را به رئوس مثلث متصل می کنیم (شکل 4).

شکل 4. تصویر قضیه 2

وجود: بیایید دایره ای با مرکز $O$ و شعاع $OC$ بسازیم. نقطه $O$ از رئوس مثلث مساوی فاصله دارد، یعنی $OA=OB=OC$. بنابراین، دایره ساخته شده از تمام رئوس مثلث داده شده عبور می کند، به این معنی که در اطراف این مثلث توصیف شده است.

منحصر به فرد بودن: فرض کنید که دور مثلث $ABC$ یک دایره دیگر را می توان با مرکز در نقطه $O"$ محصور کرد. مرکز آن از رئوس مثلث مساوی فاصله دارد و بنابراین با نقطه $O$ منطبق است و دارای یک شعاع برابر با طول $OC. $ اما این دایره با دایره اول منطبق خواهد شد.

قضیه ثابت شده است.

نتیجه 1: مرکز دایره محصور شده در اطراف مثلث با نقطه تقاطع نیمسازهای عمود بر آن منطبق است.

در اینجا چند واقعیت دیگر در رابطه با مفهوم دایره محدود وجود دارد:

همیشه نمی توان یک دایره را در اطراف یک چهار ضلعی توصیف کرد.

در هر چهارضلعی محاطی، مجموع زوایای مقابل برابر با $(180)^0$ است.

اگر مجموع زوایای مقابل یک چهارضلعی $(180)^0$ باشد، می توان دایره ای را دور آن محصور کرد.

مثالی از یک مسئله در مفاهیم دایره محاطی و محصور

مثال 1

در مثلث متساوی الساقین قاعده 8 سانتی متر و ضلع آن 5 سانتی متر است شعاع دایره محاطی را بیابید.

راه حل.

مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید. با نتیجه 1، می دانیم که مرکز دایره محاط شده در تقاطع نیمسازها قرار دارد. اجازه دهید نیم‌سازهای $AK$ و $BM$ را ترسیم کنیم که در نقطه $O$ قطع می‌شوند. یک عمود $OH$ از نقطه $O$ به سمت $BC$ رسم کنید. بیایید یک تصویر بکشیم:

شکل 5

از آنجایی که مثلث متساوی الساقین است، $BM$ هم میانه و هم ارتفاع است. با قضیه فیثاغورث $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- شعاع دلخواه دایره محاط شده. از آنجایی که $MC$ و $CH$ بخش هایی از مماس های متقاطع هستند، با قضیه مماس متقاطع، $CH=MC=4\cm$ داریم. بنابراین، $BH=5-4=1\cm$. $BO=3-r$. از مثلث $OHB$، با قضیه فیثاغورث، به دست می آوریم:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \\

پاسخ:$\frac(4)(3)$.

و در تمام جنبه های آن صدق می کند.

یوتیوب دایره المعارفی

• 1 / 5

  ویژگی‌های دایره حکاکی شده:

  r = (- a + b + c) (a - b + c) (a + b - c) 4 (a + b + c) ; (\displaystyle r=(\sqrt (\frac ((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))(4(a+b+c))))؛) 1 r = 1 ha + 1 hb + 1 hc (\displaystyle (\frac (1)(r))=(\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b) ))+(\frac (1)(h_(c))))

  جایی که a , b , c (\displaystyle a,b,c)- اضلاع یک مثلث h a، h b، h c (\displaystyle h_(a)،h_(b)،h_(c))- ارتفاعات کشیده شده به طرف های مربوطه؛

  r = S p = (p - a) (p - b) (p - c) p (\displaystyle r=(\frac (S)(p))=(\sqrt (\frac ((pa)(pb) (pc))(p))))

  جایی که S (\displaystyle S)مساحت مثلث است و p (\displaystyle p)نیم محیط آن است.

  • اگر A B (\displaystyle AB)- قاعده یک مثلث متساوی الساقین، سپس دایره مماس بر اضلاع زاویه ∠ A C B (\displaystyle \ زاویه ACB)در نقاط A (\displaystyle A)و B (\displaystyle B)، از مرکز دایره محاطی مثلث می گذرد △ A B C (\displaystyle \مثلث ABC).
  • قضیه اویلر: R 2 − 2 R r = | ای من | 2 (\displaystyle R^(2)-2Rr=|OI|^(2))، جایی که R (\displaystyle R)شعاع دایره محصور در اطراف مثلث است، r (\displaystyle r)شعاع دایره ای است که در آن محاط شده است، O (\displaystyle O)- مرکز دایره محدود شده، من (\displaystyle I)- مرکز دایره محاطی.
  • اگر خطی که از نقطه I به موازات ضلع AB می گذرد اضلاع BC و CA را در نقاط A 1 و B 1 قطع کند، آنگاه A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 (\displaystyle A_(1)B_(1)=A_(1)B+AB_(1)).
  • اگر نقاط مماس یک مثلث محاطی T (\displaystyle T)دایره ها را با بخش ها وصل کنید، سپس یک مثلث T 1 با ویژگی های زیر بدست می آورید:
    • نیمسازهای T وسط عمودهای T 1 هستند
    • فرض کنید T 2 یک مثلث T 1 باشد. سپس اضلاع آن با اضلاع مثلث اصلی T موازی می شود.
    • فرض کنید T 3 مثلث وسط T 1 باشد. سپس نیمسازهای T ارتفاع T 3 هستند.
    • فرض کنید T 4 یک مثلث T 3 باشد، سپس نیمسازهای T، نیمسازهای T 4 هستند.
  • شعاع دایره ای که در یک مثلث قائم الزاویه با پاهای a، b و هیپوتانوس c محاط شده است. a + b - c 2 (\displaystyle (\frac (a+b-c)(2))).
  • فاصله از راس C مثلث تا نقطه ای که دایره محاطی شده با ضلع تماس پیدا می کند d = a + b - c 2 = p - c (\displaystyle d=(\frac (a+b-c)(2))=p-c).
  • فاصله راس C تا مرکز دایره محاط شده است l c = r sin⁡ (γ 2) (\displaystyle l_(c)=(\frac (r)(\sin((\frac (\گاما)(2)))))که r شعاع دایره محاطی و γ زاویه راس C است.
  • فاصله راس C تا مرکز دایره محاطی را نیز می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد l c = (p − c) 2 + r 2 (\displaystyle l_(c)=(\sqrt ((p-c)^(2)+r^(2))))و l c = a b − 4 R r (\displaystyle l_(c)=(\sqrt (ab-4Rr)))
  • قضیه در مورد سه گانه یا قضیه شبدر: اگر دی- نقطه تقاطع نیمساز زاویه آبا دایره محدود یک مثلث ABC, منو جی- به ترتیب، مراکز محاطی و دایره مماس به ضلع قبل از میلاد مسیح، سپس | D I | = | D B | = | D C | = | دی جی | (\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|).
  • لم Verriere: اجازه دهید دایره V (\displaystyle V)مربوط به طرفین است A B (\displaystyle AB), A C (\displaystyle AC)و کمان ها B C (\displaystyle BC)دایره محصور مثلث سپس نقاط مماس دایره V (\displaystyle V)با اضلاع و مثلث دایره محاط شده در مرکز A B C (\displaystyle ABC)در همان خط دراز بکش
  • قضیه فویرباخ. دایره 9 نقطه هر سه را لمس می کند حلقه می زند، همچنین دایره حکاکی شده. نقطه تماس دایره - اویلرو دایره حکاکی شدهبه نقطه فویرباخ معروف است.

  رابطه دایره محاطی شده با دایره محصور

  R R = 4 S 2 p a b c = cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ - 1 ; (\displaystyle (\frac (r)(R))=(\frac (4S^(2))(pabc))=\cos \alpha +\cos \بتا +\cos \gamma -1;)