حاصل ضرب یک بردار بر یک عدد. کدام بردار را حاصل جمع دو بردار می گویند

برای نمایش صحیح قوانین طبیعت در فیزیک، ابزار ریاضی مناسب مورد نیاز است.

در هندسه و فیزیک، کمیت هایی وجود دارند که هم با مقدار عددی و هم جهت مشخص می شوند.

توصیه می شود آنها را با بخش های هدایت شده یا بردارها.

در تماس با

چنین مقادیری یک شروع (که با یک نقطه نشان داده می شود) و یک پایان دارند که با یک فلش نشان داده می شود. طول قطعه (طول) نامیده می شود.

• سرعت؛
• شتاب؛
• نبض؛
• زور؛
• لحظه؛
• استحکام - قدرت؛
• در حال حرکت؛
• قدرت میدان و غیره

مختصات هواپیما

اجازه دهید یک قطعه در صفحه که از نقطه A (x1, y1) به نقطه B (x2, y2) هدایت شده است تعریف کنیم. مختصات آن a (a1, a2) اعداد a1 = x2-x1، a2 = y2-y1 هستند.

ماژول بر اساس قضیه فیثاغورث محاسبه می شود:

بردار صفر شروع و پایان دارد. مختصات و طول 0 است.

مجموع بردارها

وجود دارد چندین قانون برای محاسبه مقدار

• قانون مثلث؛
• قانون چند ضلعی؛
• قانون متوازی الاضلاع

قانون جمع بردار را می توان در مسائل دینامیک و مکانیک توضیح داد. با استفاده از مثال نیروهای وارد بر جسم نقطه ای و جابجایی های متوالی جسم در فضا، جمع بردارها را طبق قانون مثلث در نظر بگیرید.

فرض کنید جسم ابتدا از نقطه A به نقطه B و سپس از نقطه B به نقطه C حرکت کرده است. حرکت نهایی یک پاره خط از نقطه شروع A تا نقطه پایان C است.

حاصل دو حرکت یا مجموع آنها s = s1 + s2. این روش نامیده می شود قانون مثلث.

فلش ها یکی پس از دیگری ردیف می شوند و در صورت لزوم یک انتقال موازی انجام می دهند. قسمت جمع شده دنباله را کامل می کند. آغاز آن مصادف با آغاز اول است، پایان - با پایان آخرین. در کتاب های درسی خارجی به این روش گفته می شود "دم به سر".

مختصات حاصل c = a + b برابر است با مجموع مختصات مربوط به عبارت c (a1 + b1، a2 + b2).

مجموع بردارهای موازی (خطی) نیز با قانون مثلث تعیین می شود.

اگر دو پاره خط اصلی بر یکدیگر عمود باشند، نتیجه جمع آنها هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه ساخته شده بر روی آنها است. طول مجموع با قضیه فیثاغورث محاسبه می شود.

نمونه هایی از:

• سرعت پرتاب بدن به صورت افقی عمود برشتاب سقوط آزاد
• با حرکت چرخشی یکنواخت، سرعت خطی جسم عمود بر شتاب مرکز است.

افزودن سه یا چند بردارتولید شده توسط قانون چند ضلعی, "دم به سر"

فرض کنید که نیروهای F1 و F2 به جسم نقطه ای اعمال می شوند.

تجربه ثابت می کند که اثر ترکیبی این نیروها معادل عمل یک نیرویی است که در امتداد مورب متوازی الاضلاع ساخته شده روی آنها قرار دارد. این نیروی حاصل برابر است با مجموع آنها F = F1 + F 2. روش جمع آوری داده شده نامیده می شود قانون متوازی الاضلاع.

طول در این مورد با فرمول محاسبه می شود

جایی که θ زاویه بین اضلاع است.

قوانین مثلث و متوازی الاضلاع قابل تعویض هستند. در فیزیک، اغلب از قانون متوازی الاضلاع استفاده می شود، زیرا مقادیر هدایت شده نیروها، سرعت ها، شتاب ها معمولاً به یک جسم نقطه ای اعمال می شود. در یک سیستم مختصات سه بعدی، قانون جعبه اعمال می شود.

عناصر جبر

1. جمع یک عملیات باینری است: فقط یک جفت را می توان در یک زمان اضافه کرد.
2. جابجایی: مجموع جایگشت عبارت ها a + b = b + a تغییر نمی کند. این از قانون متوازی الاضلاع مشخص است: مورب همیشه یکسان است.
3. انجمنی: مجموع تعداد دلخواه بردارها به ترتیب جمع آنها بستگی ندارد (a + b) + c = a + (b + c).
4. جمع با بردار صفر هیچکدام از جهت یا طول را تغییر نمی دهد: a + 0 = a.
5. برای هر بردار وجود دارد مقابل... مجموع آنها برابر با صفر a + (- a) = 0 است و طول ها یکسان است.

ضرب اسکالر

حاصل ضرب در اسکالر یک بردار است.

مختصات حاصل از ضرب مختصات متناظر اصل در یک اسکالر به دست می آید.

اسکالر یک مقدار عددی با علامت مثبت یا منفی، بزرگتر یا کوچکتر از یک است.

نمونه هایی از اسکالرها در فیزیک:

• وزن؛
• زمان؛
• شارژ؛
• طول؛
• مربع؛
• جلد؛
• چگالی؛
• درجه حرارت؛
• انرژی.

مثال:

کار حاصل ضرب نقطه ای نیرو و جابجایی A = Fs است.

یک ماتریس m-by-n.

ماتریس به اندازه m در n مجموعه‌ای از mn اعداد واقعی یا عناصر یک ساختار دیگر (چند جمله‌ای، توابع و غیره) است که به شکل جدول مستطیلی نوشته شده است که از m ردیف و n ستون تشکیل شده و در پرانتز یا مستطیل یا مستطیل گرفته می‌شود. در براکت های مستقیم دوتایی در این حالت، خود اعداد را عناصر ماتریس می نامند و به هر عنصر دو عدد اختصاص داده می شود - شماره ردیف و شماره ستون. ماتریسی به اندازه n در n نامیده می شود. مربع ماتریس مرتبه n، یعنی. تعداد سطرها برابر با تعداد ستون هاست. مثلثی - یک ماتریس مربع که در آن همه عناصر زیر یا بالای قطر اصلی برابر با صفر هستند ماتریس مربع نامیده می شود. مورب اگر تمام عناصر خارج از مورب آن برابر با صفر باشند. اسکالر ماتریس - یک ماتریس مورب که عناصر مورب اصلی آن برابر است. یک مورد خاص از یک ماتریس اسکالر، ماتریس هویت است. موربماتریسی که در آن تمام عناصر مورب برابر با 1 هستند نامیده می شود تنهاماتریس و با نماد I یا E نشان داده می شود. ماتریسی که همه عناصر آن برابر با صفر هستند نامیده می شود. خالی ماتریس و با نماد O نشان داده می شود.

ضرب ماتریس A در یک عدد λ (نماد: λ آ) برای ساخت ماتریس است بکه عناصر آن از ضرب هر عنصر ماتریس به دست می آید آبا این عدد، یعنی هر عنصر ماتریس ببرابر است با

خواص ضرب ماتریس

1.1 * A = A; 2. (Λβ) A = Λ (βA) 3. (Λ + β) A = ΛA + βA

4. Λ (A + B) = ΛA + ΛB

اضافه کردن ماتریس آ + ب عملیات یافتن ماتریس است سی، که همه عناصر آن برابر است با مجموع زوجی همه عناصر متناظر ماتریس ها آو ب، یعنی هر عنصر ماتریس سیبرابر است با

خواص جمع ماتریس

5. جابجایی) a + b = b + a

6. انجمنی بودن

7. جمع با ماتریس صفر.

8. وجود ماتریس مخالف (یکسان اما همه جا منهای قبل از هر عدد)

ضرب ماتریس - عملیاتی برای محاسبه یک ماتریس وجود دارد سی، که عناصر آن برابر است با مجموع حاصل ضرب عناصر در ردیف مربوط به عامل اول و ستون دوم.

تعداد ستون ها در یک ماتریس آباید با تعداد ردیف های ماتریس مطابقت داشته باشد ب... اگر ماتریس آابعاد دارد، ب-، سپس ابعاد محصول آنها AB = سیوجود دارد .

خواص ضرب ماتریس

1. انجمنی بودن؛ (به بالا مراجعه کنید)

2. محصول جایگزین نیست.

3. حاصلضرب در صورت ضرب با ماتریس هویت جایگزین است.

4. عادلانه بودن قانون توزیع. A * (B + C) = A * B + A * C.

5. (ΛA) B = Λ (AB) = A (ΛB);

2. تعیین کننده یک ماتریس مربع از مرتبه اول و n

تعیین کننده یک ماتریس چند جمله ای در عناصر یک ماتریس مربع است (یعنی یکی با تعداد سطرها و ستون ها برابر با

تعیین با تجزیه در خط اول

برای یک ماتریس مرتبه اول تعیین کنندهخود تنها عنصر این ماتریس است:

برای یک ماتریس، تعیین کننده ها به صورت تعریف می شوند

برای یک ماتریس، دترمینان به صورت بازگشتی مشخص می شود:

، جایی که یک مینور اضافی به عنصر وجود دارد آ 1j... این فرمول نامیده می شود تجزیه رشته.

به طور خاص، فرمول محاسبه تعیین کننده یک ماتریس به شرح زیر است:

= آ 11 آ 22 آ 33 − آ 11 آ 23 آ 32 − آ 12 آ 21 آ 33 + آ 12 آ 23 آ 31 + آ 13 آ 21 آ 32 − آ 13 آ 22 آ 31

خواص تعیین کننده

هنگامی که ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) به هر ردیف (ستون) اضافه شود، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

§ اگر دو ردیف (ستون) از یک ماتریس منطبق باشند، آنگاه تعیین کننده آن صفر است.

§ اگر دو (یا چند) سطر (ستون) از یک ماتریس به صورت خطی وابسته باشند، دترمینان آن صفر است.

§ اگر دو ردیف (ستون) از یک ماتریس را مجدداً مرتب کنیم، تعیین کننده آن در (-1) ضرب می شود.

§ عامل مشترک عناصر هر ردیف از تعیین کننده را می توان فراتر از علامت تعیین کننده خارج کرد.

§ اگر حداقل یک ردیف (ستون) ماتریس صفر باشد، تعیین کننده صفر است.

§ مجموع حاصلضرب همه عناصر هر سطر با متمم های جبری آنها برابر با تعیین کننده است.

§ مجموع حاصلضرب تمام عناصر هر سری توسط متمم های جبری عناصر متناظر یک سری موازی برابر با صفر است.

§ تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس های مربعی هم مرتبه برابر است با حاصلضرب دترمینان آنها (همچنین به فرمول بینه کوشی مراجعه کنید).

§ با استفاده از نماد شاخص، تعیین کننده یک ماتریس 3 × 3 را می توان با استفاده از نماد Levi-Civita از رابطه تعیین کرد:

ماتریس معکوس

ماتریس معکوس - چنین ماتریسی A-1، زمانی که در آن ماتریس اصلی ضرب شود آمنجر به ماتریس هویت می شود E:

تبدیل وجود داشتن:

یک ماتریس مربع معکوس است اگر و فقط اگر غیر منحط باشد، یعنی تعیین کننده آن صفر نباشد. برای ماتریس های غیرمربع و ماتریس های منحط، ماتریس های معکوس وجود ندارند.

فرمول برای یافتن

اگر ماتریس معکوس باشد، می توانید از یکی از روش های زیر برای یافتن معکوس ماتریس استفاده کنید:

الف) استفاده از ماتریس متمم های جبری

سی تی- ماتریس جابجا شده از مکمل های جبری.

ماتریس حاصل آ−1 و معکوس خواهد بود. پیچیدگی الگوریتم به پیچیدگی الگوریتم برای محاسبه تعیین کننده O det بستگی دارد و برابر است با O (n²) · O det.

به عبارت دیگر، ماتریس معکوس برابر است با یک تقسیم بر تعیین کننده ماتریس اصلی و ضرب در ماتریس جابجایی متمم های جبری (مینور در توان مکانی که اشغال می کند در (-1) ضرب می شود) عناصر ماتریس اصلی

4. سیستم معادلات خطی راه حل سیستم سازگاری و ناسازگاری سیستم یک روش ماتریسی برای حل یک سیستم از n معادله خطی با n متغیر. قضیه کرامر.

سیستم مترمعادلات خطی با nناشناس(یا، سیستم خطی) در جبر خطی سیستمی از معادلات شکل است

(1)

اینجا ایکس 1 , ایکس 2 , …, x n- مجهولاتی که باید مشخص شوند. آ 11 , آ 12 , …, یک دقیقه- ضرایب سیستم - و ب 1 , ب 2 , … b m- اعضای رایگان - قرار است شناخته شوند. شاخص های شانس ( یک ij) سیستم نشان دهنده اعداد معادله ( من) و ناشناخته ( j) که این ضریب به ترتیب در آن قرار دارد.

سیستم (1) نامیده می شود همگناگر تمام عبارات آزاد آن برابر با صفر باشد ( ب 1 = ب 2 = … = b m= 0)، در غیر این صورت - ناهمگون.

سیستم (1) نامیده می شود مربعاگر شماره مترمعادلات برابر با عدد است nناشناخته ها.

راه حلسیستم (1) - یک مجموعه nشماره ج 1 , ج 2 , …, c nبه گونه ای که جایگزینی هر کدام ج منبجای x iبه سیستم (1) تمام معادلات خود را به هویت تبدیل می کند.

سیستم (1) نامیده می شود مفصلاگر حداقل یک راه حل داشته باشد، و ناسازگاراگر راه حلی نداشته باشد

یک سیستم مشترک به شکل (1) می تواند یک یا چند راه حل داشته باشد.

راه حل ها ج 1 (1) , ج 2 (1) , …, c n(1) و ج 1 (2) , ج 2 (2) , …, c n(2) یک سیستم سازگار به شکل (1) نامیده می شود مختلفاگر حداقل یکی از برابری ها نقض شود:

ج 1 (1) = ج 1 (2) , ج 2 (1) = ج 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

فرم ماتریسی

سیستم معادلات خطی را می توان به صورت ماتریسی به صورت زیر نشان داد:

آایکس = ب.

اگر ستونی از عبارت‌های آزاد به ماتریس A در سمت راست اختصاص داده شود، ماتریس حاصل توسعه یافته نامیده می‌شود.

روش های مستقیم

روش کرامر (قانون کرامر)- روشی برای حل سیستم های درجه دوم معادلات جبری خطی با تعیین کننده غیر صفر ماتریس اصلی (علاوه بر این، برای چنین معادلاتی، راه حل وجود دارد و منحصر به فرد است). به نام گابریل کرامر (1704-1752) که این روش را اختراع کرد.

شرح روش

برای سیستم nمعادلات خطی با nناشناخته (در یک زمینه دلخواه)

با تعیین کننده غیر صفر ماتریس سیستم Δ، راه حل به شکل نوشته می شود

(ستون i ام ماتریس سیستم با ستون اعضای آزاد جایگزین می شود).
در شکل دیگری، قانون کرامر به صورت زیر فرموله می شود: برای هر ضرایب c 1، c 2، ...، c n برابری زیر صادق است:

در این شکل، فرمول کرامر بدون این فرض که Δ با صفر متفاوت است معتبر است، حتی لازم نیست که ضرایب سیستم عناصر یک حلقه انتگرال باشد (تعیین کننده سیستم حتی می تواند مقسوم علیه صفر باشد. حلقه ضرایب). همچنین می توان فرض کرد که یا مجموعه ها ب 1 ,ب 2 ,...,b nو ایکس 1 ,ایکس 2 ,...,x n، یا مجموعه ج 1 ,ج 2 ,...,c nاز عناصر حلقه ضریب سیستم تشکیل نمی شود، بلکه از مقداری ماژول روی این حلقه تشکیل شده است.

5. مینور از مرتبه kth. رتبه ماتریس. تبدیلات ماتریس ابتدایی قضیه کرونکر-کاپلی در مورد شرایط سازگاری برای یک سیستم معادلات خطی. روش حذف متغیر (گاوس) برای سیستم معادلات خطی.

جزئی ماتریس ها آ- تعیین کننده یک ماتریس مربع ترتیب ک(که به آن ترتیب این مینور نیز گفته می شود) که عناصر آن در ماتریس قرار دارند آدر تقاطع ردیف های شماره گذاری شده و ستون های شماره گذاری شده.

بر اساس رتبه سیستم های ماتریسی ردیفی (ستونی). آبا مترخطوط و nستون ها حداکثر تعداد سطرهای غیر صفر (ستون) است.

چندین ردیف (ستون) به صورت خطی مستقل نامیده می شوند که هیچ یک از آنها را نتوان به صورت خطی بر حسب بقیه بیان کرد. رتبه سیستم ردیف همیشه با رتبه سیستم ستون برابر است و این عدد را رتبه ماتریس می گویند.

قضیه کرونکر - کاپلی (معیار سازگاری برای سیستم معادلات جبری خطی) -

یک سیستم معادلات جبری خطی اگر و فقط در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس اصلی آن با رتبه ماتریس توسعه یافته آن (با عبارت آزاد) برابر باشد، و اگر رتبه برابر با عدد باشد، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. مجهولات، و مجموعه نامتناهی از راه حل ها اگر رتبه از تعداد مجهولات کمتر باشد.

روش گاوس - روش کلاسیک برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی (SLAE). این یک روش حذف متوالی متغیرها است، زمانی که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادلات به یک سیستم معادل یک شکل گام به گام (یا مثلثی) کاهش می یابد، که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند، که از آخرین (توسط) شروع می شود. تعداد) متغیرها

6. خط جهت و بردار. مفاهیم اولیه جبر برداری. مجموع بردارها و حاصلضرب یک بردار بر یک عدد. شرط هماهنگی بردارها. ویژگی های عملیات خطی بردارها.

عملیات روی بردارها

اضافه

عملیات جمع بردارهای هندسی را می توان با توجه به موقعیت و نوع بردارهای مورد نظر به روش های مختلفی تعریف کرد:

دو بردار تو, vو بردار مجموع آنها

قانون مثلث... برای جمع دو بردار و طبق قانون مثلث، هر دوی این بردارها به موازات خودشان منتقل می شوند به طوری که ابتدای یکی از آنها با انتهای دیگری منطبق است. سپس بردار مجموع با ضلع سوم مثلث حاصل مشخص می شود و ابتدای آن با ابتدای بردار اول و پایان آن با پایان بردار دوم منطبق است.

قانون متوازی الاضلاع... برای جمع دو بردار و طبق قانون متوازی الاضلاع، هر دوی این بردارها به موازات خودشان منتقل می شوند تا مبدأ آنها بر هم منطبق باشد. سپس بردار مجموع با مورب متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی آنها داده می شود و از مبدا مشترک آنها شروع می شود.

و مدول (طول) بردار مجموع با قضیه کسینوس تعیین می شود که در آن زاویه بین بردارها زمانی که ابتدای یکی با انتهای دیگری منطبق است، تعیین می شود. اکنون از فرمول نیز استفاده می شود - زاویه بین بردارها که از یک نقطه منشا می گیرند.

محصول برداری

محصول برداریبردار به بردار، برداری است که شرایط زیر را برآورده می کند:

خواص بردار C

§ طول بردار برابر است با حاصل ضرب طول بردارها و سینوس زاویه φ بین آنها

§ بردار متعامد به هر یک از بردارها و

§ جهت بردار C توسط قانون Gouge تعیین می شود

ویژگی های محصول برداری:

1. هنگامی که عوامل بازآرایی می شوند، محصول برداری علامت را تغییر می دهد (ضد جابجایی)، یعنی.

2. حاصلضرب برداری دارای خاصیت ترکیبی نسبت به ضریب اسکالر است، یعنی

3. محصول برداری دارای خاصیت توزیع است:

اساس و سیستم مختصات در هواپیما و در فضا. تجزیه یک بردار بر اساس. اساس متعارف و سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در صفحه و فضا. مختصات یک بردار و یک نقطه در صفحه و در فضا. پیش بینی های برداری بر روی محور مختصات.

اساس (به یونانی قدیم βασις، پایه) مجموعه ای از بردارها در یک فضای برداری است به طوری که هر بردار این فضا را می توان به طور منحصر به فرد به عنوان یک ترکیب خطی از بردارها از این مجموعه نشان داد - بردارهای پایه.

انتخاب طول (هنجار) هر یک از بردارهای پایه واحد اغلب راحت است، چنین مبنایی نامیده می شود نرمال شده.

نمایش برخی از بردارهای خاص (هر) فضا در قالب یک ترکیب خطی از بردارهای پایه (مجموع بردارهای پایه با ضرایب عددی)، به عنوان مثال.

یا با استفاده از علامت جمع Σ:

تماس گرفت بسط این بردار در این مبنا.

مختصات یک بردار و یک نقطه در صفحه و در فضا.

مختصات نقطه A در امتداد محور x عددی است که از نظر مقدار مطلق برابر با طول قطعه OAx است: اگر نقطه A روی نیم محور x مثبت قرار داشته باشد و اگر روی نیم محور منفی قرار گیرد منفی است.

بردار واحد یا بردار واحد برداری است که طول آن برابر با یک است و در امتداد یک محور مختصات هدایت می شود.

سپس طرح برداری برداری AB در محور l تفاوت x1 - x2 بین مختصات برجستگی انتهای و ابتدای بردار در این محور است.

8.طول و جهت کسینوس های یک بردار، رابطه بین کسینوس های جهت. وکتور Ort. مختصات عبارتند از مجموع بردارها، حاصل ضرب یک بردار بر یک عدد.

طول بردار با فرمول تعیین می شود

جهت بردار توسط زوایای α، β، γ تشکیل شده توسط آن با محورهای مختصات Ox، Oy، Oz تعیین می شود. کسینوس این زوایا (به اصطلاح کسینوس های جهت یک بردار ) با فرمول های زیر محاسبه می شوند:

تک برداریا ort (بردار واحد فضای برداری هنجاری) برداری است که هنجار (طول) آن برابر با یک است.

یک بردار واحد هم خط با یک بردار داده شده (بردار نرمال شده) با فرمول تعیین می شود

این بردارهای واحد هستند که اغلب به عنوان بردارهای پایه انتخاب می شوند، زیرا این محاسبات را ساده می کند. چنین پایه هایی نامیده می شوند نرمال شده... در صورتی که این بردارها متعامد نیز باشند، به چنین مبنایی مبنای متعامد می گویند.

مختصات خطی

مختصات برابر

مختصات جمع برداریدو بردار روابط را ارضا می کنند:

مختصات خطیبردارها رابطه را برآورده می کنند:

مختصات برابربردارها روابط را ارضا می کنند:

بردار جمعدو بردار:

مجموع چند بردار:

حاصل ضرب یک بردار با عدد:

حاصلضرب برداری بردارها. کاربردهای هندسی یک محصول برداری شرط خطی برای بردارها. ویژگی های جبری یک محصول مخلوط بیان محصول متقاطع بر حسب مختصات عوامل.

حاصلضرب برداری بردارو بردار b را بردار c می نامند که:

1. عمود بر بردارهای a و b، یعنی c ^ a و c ^ b;

2. طولی دارد که از نظر عددی برابر با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای a و b مانند اضلاع است (شکل 17 را ببینید).

3. بردارهای a، b و c یک سه گانه راست تشکیل می دهند.

کاربردهای هندسی:

ایجاد بردارهای خطی

پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع و مثلث

با توجه به تعریف حاصلضرب برداری بردارها آو ب | یک xb | =| یک | * | b | بخوان، یعنی S جفت = | a x b |. و بنابراین، DS = 1/2 | a x b |.

تعیین لحظه نیروی نسبت به یک نقطه

از علم فیزیک معلوم است که لحظه نیروی Fنسبت به نقطه Oبردار نامیده می شود م،که از نقطه عبور می کند Oو:

1) عمود بر صفحه ای که از نقاط عبور می کند O, A, B;

2) عددی برابر حاصل ضرب نیرو در هر شانه است

3) یک سه گانه راست با بردارهای OA و A B تشکیل می دهد.

بنابراین، M = OA x F.

یافتن سرعت خطی چرخش

سرعت v نقطه M از یک جسم صلب که با سرعت زاویه‌ای w حول یک محور ثابت می‌چرخد با فرمول اویلر v = w хr تعیین می‌شود، جایی که r = ОМ، جایی که О نقطه ثابتی از محور است (شکل 21 را ببینید. ).

شرط خطی برای بردارها - شرط لازم و کافی برای همخطی بودن یک بردار غیرصفر و یک بردار وجود عددی است که برابری را برآورده کند.

ویژگی های جبری یک محصول مخلوط

حاصلضرب مخلوط بردارها با جایگشت دایره‌ای عوامل تغییر نمی‌کند و در صورت جابجایی دو عامل، علامت آن را به سمت مقابل تغییر می‌دهد، در حالی که مدول خود را حفظ می‌کند.

علامت "" ضرب برداری در یک محصول مخلوط را می توان بین هر یک از عوامل آن قرار داد.

یک محصول مخلوط با توجه به هر یک از عواملش توزیعی است: (به عنوان مثال) اگر، آنگاه

بیان محصول متقاطع بر حسب مختصات

سیستم مختصات درست

سیستم مختصات چپ

12.حاصلضرب مخلوط بردارها. معنای هندسی حاصلضرب مخلوط، شرط همسطح بودن بردارها. ویژگی های جبری یک محصول مخلوط بیان محصول مخلوط بر حسب مختصات عوامل.

مختلطحاصل ضرب سه مرتبه بردار (a, b, c) حاصل ضرب اسکالر بردار اول با ضرب ضربدر بردار دوم بر سوم است.

ویژگی های جبری یک محصول برداری

ضد جابجایی

ارتباط با توجه به ضرب در یک اسکالر

توزیع های اضافه

هویت ژاکوبی در R3 اجرا شده و در R7 شکسته شده است

محصولات برداری بردارهای پایه با تعریف یافت می شوند

خروجی

که در آن مختصات هر دو بردار جهت خط مستقیم و مختصات نقطه متعلق به خط مستقیم است.

بردار معمولی یک خط مستقیم در یک صفحه. معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد. معادله کلی خط مستقیم. معادلات یک خط مستقیم با شیب. موقعیت نسبی دو خط مستقیم در یک صفحه

طبیعیبردار خط هر بردار غیر صفر عمود بر این خط است.

- معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

تبر + وو + سی = 0- معادله کلی خط.

معادله یک خط مستقیم به شکل y = kx + b

تماس گرفت معادله یک خط مستقیم با شیب، و ضریب k را شیب این خط مستقیم می نامند.

قضیه... در معادله یک خط مستقیم با شیب y = kx + b

شیب k برابر است با مماس زاویه میل خط مستقیم به محور آبسیسا:

ترتیب متقابل:

- معادلات کلی دو خط مستقیم در صفحه مختصات Oxy. سپس

1) اگر، پس خطوط مستقیم و منطبق هستند.

2) اگر، سپس مستقیم و موازی;

3) if، پس خطوط قطع می شوند.

اثبات ... شرط معادل هم خطی بودن بردارهای عادی خطوط داده شده است:

بنابراین، اگر، پس خطوط مستقیم تقاطع.

اگر ، سپس، و معادله خط مستقیم به شکل زیر در می آید:

یا ، یعنی سر راست همخوانی داشتن... توجه داشته باشید که ضریب تناسب، در غیر این صورت تمام ضرایب معادله کلی برابر با صفر خواهد بود که غیر ممکن است.

اگر خطوط منطبق نباشند و قطع نشوند، مورد باقی می ماند، یعنی. سر راست موازی.

معادله یک خط مستقیم در پاره ها

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ax + Vu + C = 0 C ≠ 0، پس از تقسیم بر –C، به دست می‌آید: یا، جایی که

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Ox است و ب- مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.

معادله عادی یک خط مستقیم

اگر هر دو طرف معادله Ax + Vy + C = 0 به عددی تقسیم شوند که نامیده می شود عامل عادی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

معادله عادی یک خط مستقیم

علامت ± عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ? با< 0.

p طول عمود کاهش یافته از مبدا به خط مستقیم است و φ زاویه ای است که توسط این عمود با جهت مثبت محور Ox ایجاد می شود.

لازم به ذکر است که هر خط را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط موازی با محورها یا عبور از مبدا.

17. بیضی. معادله متعارف یک بیضی. خواص هندسی و ساخت بیضی. شرایط خاص

بیضی - مکان نقاط مصفحه اقلیدسی، که برای آن مجموع فواصل دو نقطه داده شده است اف 1 و اف 2 (که کانون نامیده می شود) ثابت و بزرگتر از فاصله بین کانون ها است، یعنی | اف 1 م | + | اف 2 م | = 2آ، و | اف 1 اف 2 | < 2آ.

معادله متعارف

برای هر بیضی، می توانید یک سیستم مختصات دکارتی پیدا کنید به طوری که بیضی با معادله (معادله متعارف بیضی) توصیف می شود:

این بیضی در مرکز مبدأ، که محورهای آن با محورهای مختصات منطبق است، توصیف می کند.

ساختمان: 1) استفاده از قطب نما

2) دو ترفند و یک نخ محکم

3) بیضی نگار (بیضی نگار از دو نوار لغزنده تشکیل شده است که می توانند در امتداد دو شیار یا راهنما عمود بر هم حرکت کنند. لغزنده ها به وسیله لولاها به میله متصل می شوند و در امتداد میله در فاصله ثابتی از یکدیگر قرار دارند. لغزنده ها به سمت جلو حرکت می کنند و به سمت عقب - هر کدام در امتداد شیار خود - و انتهای میله یک بیضی را در یک صفحه توصیف می کند. و b را می توان تغییر داد و بنابراین شکل و اندازه بیضی توصیف شده را تغییر داد)

خروج از مرکز مشخصه طویل شدن بیضی است. هر چه خروج از مرکز به صفر نزدیکتر باشد، بیضی بیشتر شبیه دایره است و بالعکس، هر چه خروج از مرکز به یک نزدیکتر باشد، کشیده تر است.

پارامتر کانونی

معادله متعارف

18.هذلولی. معادلات متعارف هذلولی ها. خواص هندسی و ساخت هذلولی. شرایط خاص

هذلولی(یونانی قدیم ὑπερβολή، از یونانی قدیم βαλειν - "پرتاب کردن"، ὑπερ - "بالا") - مکان هندسی نقاط مصفحه اقلیدسی، که برای آن قدر مطلق اختلاف فاصله از محداکثر دو نقطه انتخاب شده اف 1 و اف 2 (به نام فوکوس) به طور مداوم. دقیق تر،

علاوه بر این | اف 1 اف 2 | > 2آ > 0.

نسبت ها

برای ویژگی های هذلولی که در بالا تعریف شد، آنها از روابط زیر تبعیت می کنند

2. دستورات Hyperbola با خطوط دو ضخامت نشان داده شده و با نشان داده می شوند دی 1 و دی 2. عجیب و غریب ε برابر است با نسبت فواصل نقطه پروی هذلولی برای فوکوس و به جهت مربوطه (به رنگ سبز نشان داده شده است). رئوس هذلولی با ± نشان داده می شود آ... پارامترهای Hyperbola به معنای موارد زیر است:

آ- فاصله از مرکز سیبه هر یک از قله ها
ب- طول عمود بر هر یک از رئوس با مجانب کاهش یافته است
ج- فاصله از مرکز سیبه هر یک از ترفندها، اف 1 و اف 2 ,
θ زاویه ای است که توسط هر یک از مجانب و محور ترسیم شده بین رئوس ایجاد می شود.

خواص

§ برای هر نقطه ای که روی هذلولی قرار دارد، نسبت فواصل از این نقطه به کانون به فاصله از همان نقطه تا مستقیم یک مقدار ثابت است.

§ هذلولی دارای تقارن آینه ای در مورد محورهای واقعی و خیالی و همچنین تقارن چرخشی در هنگام چرخش 180 درجه در اطراف مرکز هذلولی است.

§ هر هذلولی دارد هذلولی مزدوج، که برای آن محورهای واقعی و خیالی معکوس می شوند، اما مجانب ثابت می مانند. این با جایگزین مطابقت دارد آو بروی هم در فرمول توصیف هذلولی. هذلولی مزدوج نتیجه چرخش 90 درجه هذلولی اولیه نیست. هر دو هذلولی در شکل متفاوت هستند.

19. سهمی. معادله متعارف سهمی. خواص هندسی و ساخت سهمی. شرایط خاص

سهمی - مکان نقاط با فاصله مساوی از یک خط مستقیم معین (به نام جهات سهمی) و یک نقطه معین (به نام کانون سهمی).

معادله متعارف سهمی در یک سیستم مختصات مستطیلی:

(یا اگر محورها را عوض کنید).

خواص

§ 1 سهمی منحنی درجه دوم است.

§ 2 دارای یک محور تقارن به نام محور سهمی... محور از کانون عبور می کند و عمود بر جهت است.

§ 3 خاصیت نوریپرتوی از پرتوهای موازی با محور سهمی، که در سهمی منعکس شده است، در کانون آن جمع شده است. برعکس، نور از یک منبع در کانون توسط یک سهمی به پرتوی از پرتوهای موازی با محور آن منعکس می شود.

§ 4 برای سهمی، تمرکز در نقطه (0.25؛ 0) است.

برای سهمی، تمرکز در نقطه (0; f) است.

§ 5 اگر کانون سهمی نسبت به مماس منعکس شود، آنگاه تصویر آن روی جهات مستقیم قرار می گیرد.

§ 6 سهمی پادپودرای خط مستقیم است.

§ همه سهمی ها شبیه هم هستند. فاصله بین فوکوس و مستقیم، مقیاس را تعیین می کند.

§ 7 هنگامی که سهمی حول محور تقارن می چرخد، یک سهمی بیضوی به دست می آید.

مدیر پارابولا

شعاع کانونی

20.بردار معمولی هواپیما. معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین عبور می کند. معادله عمومی هواپیما، یک مورد خاص از معادله عمومی هواپیما. معادله برداری هواپیما. موقعیت نسبی دو هواپیما.

سطح- یکی از مفاهیم اساسی هندسه. در ارائه سیستماتیک هندسه، مفهوم صفحه معمولاً به عنوان یکی از مفاهیم اصلی در نظر گرفته می شود که فقط به طور غیرمستقیم توسط بدیهیات هندسه تعیین می شود.

معادله صفحه به نقطه و بردار نرمال
به صورت برداری

در مختصات

زاویه بین هواپیماها

موارد خاص از معادله عمومی هواپیما.

هنگام مطالعه شاخه های مختلف فیزیک، مکانیک و علوم فنی، کمیت هایی وجود دارد که با مشخص کردن مقادیر عددی آنها کاملاً تعیین می شود. چنین مقادیری نامیده می شود اسکالریا به طور خلاصه اسکالرها.

کمیت های اسکالر عبارتند از طول، مساحت، حجم، جرم، دمای بدن و غیره که علاوه بر کمیت های اسکالر، در مسائل مختلف کمیت هایی وجود دارد که برای تعیین آن ها علاوه بر مقدار عددی، جهت آن ها نیز لازم است. . چنین مقادیری نامیده می شود بردار... مثال های فیزیکی کمیت های برداری عبارتند از جابجایی یک نقطه مادی در حال حرکت در فضا، سرعت و شتاب این نقطه و همچنین نیروی وارد بر آن.

کمیت های برداری با استفاده از بردارها نشان داده می شوند.

تعریف برداری... بردار قطعه جهت دار از یک خط مستقیم است که طول مشخصی دارد.

بردار با دو نقطه مشخص می شود. یک نقطه نقطه شروع بردار و نقطه دیگر نقطه پایان بردار است. اگر ابتدای بردار را با نقطه مشخص کنیم آ , و انتهای بردار به نقطه V ، سپس خود بردار مشخص می شود. یک بردار را می توان با یک حرف لاتین کوچک با یک خط بالای آن (مثلاً) نشان داد.

از نظر گرافیکی، یک بردار با یک پاره خط با یک فلش در انتهای آن نشان داده می شود.

ابتدای بردار نامیده می شود نقطه کاربرد آناگر نقطه آشروع بردار است , سپس خواهیم گفت که بردار در نقطه اعمال می شود آ.

یک بردار با دو بعد مشخص می شود: طول و جهت.

طول برداری – فاصله بین نقطه شروع A و نقطه پایان B. نام دیگر طول بردار مدول یک بردار است. و با علامت نشان داده می شود . مدول بردار مشخص می شود بردار , که طول آن 1 است بردار واحد نامیده می شود. یعنی شرط بردار واحد

بردار با طول صفر بردار صفر نامیده می شود. بدیهی است که بردار صفر نقطه شروع و پایان یکسانی دارد. بردار صفر جهت خاصی ندارد.

تعیین بردارهای خطی... بردارهایی که روی یک خط مستقیم یا روی خطوط مستقیم موازی قرار دارند، خطی نامیده می شوند .

توجه داشته باشید که بردارهای خطی می توانند طول و جهات متفاوتی داشته باشند.

تعیین بردارهای مساویدو بردار و اگر خطی باشند، طول و جهت یکسانی داشته باشند، برابر نامیده می شوند.

در این مورد می نویسند:

اظهار نظر... از تعریف برابری بردارها چنین استنباط می شود که یک بردار را می توان با قرار دادن مبدأ آن در هر نقطه ای از فضا (به ویژه یک صفحه) به صورت موازی منتقل کرد.

همه بردارهای صفر برابر در نظر گرفته می شوند.

تعیین بردارهای مخالف.دو بردار و اگر خطی باشند مخالف هم نامیده می شوند، طول یکسان اما جهت مخالف دارند.

در این مورد می نویسند:

به عبارت دیگر بردار مقابل بردار به صورت نشان داده می شود.