همگرایی و واگرایی انتگرال های داخلی. انتگرال های نامعتبر

نمونه هایی از مطالعه انتگرال های نامناسب برای همگرایی

مثال 1
.

بنابراین، این انتگرال همگام در A\u003e 1 و در 1 پوند است.

مثال 2 کاوش همگرایی محاسبه یکپارچه با تعریف:
.

بنابراین، این انتگرال همگام زمانی که یک<1 и расходится при a³1.

مثال 3 کاوش همگرایی .

<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два

.

همگرایی اولین انتگرال I1 در حال بررسی استفاده از یک تابع معادل است: (t. n\u003e 0)، و همگام سازی انتگرال در m\u003e -1 (مثال 2). به طور مشابه، برای انتگرال I2:

و انتگرال همگام در M + N<-1 (пример2). Следовательно, исходный интеграл сходится при выполнении одновременно двух условий m>-1 و m + n<-1, и будет расходится при нарушении хотя бы одного из них.

مثال 4 کاوش همگرایی

تابع یکپارچه می تواند بی نهایت بزرگ باشد (اگر m<0) при x стремящемся к 0, поэтому разобьем исходный интеграл на два:

از آنجا که ArcTGX »X در X®0، سپس I1 انتگرال معادل یکپارچگی است که در M + 1\u003e -1 I.E. در M\u003e -2 (مثال 1) همگرا می شود.

برای عملکرد یکپارچه در انتگرال ناسازگار از نوع اول I2، ما معادل آن را انتخاب خواهیم کرد:

T. K. ArctGX »P / 2 با X® ¥. در نتیجه، با توجه به علامت دوم مقایسه، I2 یکپارچه در M + N همگام خواهد شد<-1, и расходится в противном случае.

ترکیب شرایط برای همگرایی انتگرال های I1 و I2 ما شرایط را برای همگرایی انتگرال اصلی به دست می آوریم: M\u003e -2 و M + N<-1 одновременно.

اظهار نظر. در مثال های 2-4، 2 نشانه مقایسه مورد استفاده قرار گرفت، که شرایط لازم و کافی برای همگرایی را فراهم می کند، که اجازه می دهد، تنظیم همگرایی در یک وضعیت خاص به مقادیر پارامتر، نه اثبات واگرایی انتگرال در نقض شرایط همگرایی.

مثال 5 کاوش همگرایی

این انتگرال حاوی یک نقطه خاص 0 است، که در آن تابع انتگرال می تواند به infinity در p تبدیل شود<0, поэтому снова разобьем исходный интеграл на два:

.

انتگرال I1 یک انتگرال ناسازگار از جنس دوم است، و تابع انتگرال معادل X® XP (E-X®1 در X®0) است، I.E. I1 همگرا در P\u003e -1 (مثال 1).

انتگرال I2 یک انتگرال ناسازگار از نوع اول است. یک تابع را انتخاب کنید که معادل تابع انتگرال است، به طوری که آن را شامل یک تابع نشانگر، آن را شکست نیست. بنابراین، برای استفاده از نشانه ای از مقایسه 2، همانطور که در نمونه های قبلی، غیر ممکن است. اولین علامت مقایسه را اعمال کنید، زیرا ما از واقعیت شناخته شده زیر استفاده می کنیم:

با 0 و 0 و هر p. از این، و این واقعیت که عملکرد XPE-AX مداوم است، به این معنی است که این تابع محدود است، یعنی چنین ثابت M\u003e 0 که XPE AX وجود دارد< M. Возьмем, например, a=1/2, и оценим интеграл I2 сверху:

به عبارت دیگر، انتگرال I2 همگرا در هر p.

بنابراین، انتگرال اصلی در P\u003e -1 همگام است.

مثال 6 کاوش همگرایی

ما متغیر را جایگزین خواهیم کرد: t \u003d lnx، و دریافت کنید

تقسیم انتگرال از دو به طور مشابه به طور مشابه به عنوان مثال تولید شد. I1 یکپارچه I1 به طور کامل معادل I1 انتگرال از مثال 5 است و بنابراین، زمانی که Q را همگام می کند<1.

I2 یکپارچه را در نظر بگیرید. 1-P ارائه داد<0 этот интеграл полностью эквивалентен интегралу I2 в примере 5 (доказательство сходимости аналогично, а условие 1-p<0 нужно для выполнения و a \u003d (1-P) / 2.).

بنابراین، I2 در P\u003e 1 همگرا می شود. با این حال، در این مطالعه همگرایی این انتگرال تکمیل نشده است، زیرا علامت استفاده شده از همگرایی تنها شرایط کافی برای همگرایی را فراهم می کند. بنابراین، بررسی همگرایی در 1-P £ 0 ضروری است.

مورد P \u003d 1 را در نظر بگیرید. سپس یکپارچه I2 معادل است، که در Q\u003e 1 همگرا می شود (ما توجه داریم که در این مورد، I1 یکپارچه انحراف دارد) و در غیر این صورت پراکنده شده است.

در P.<1 оценим интеграл I2 и покажем его расходимость. Для этого вспомним, что در 1-p\u003e 0، و بنابراین، از برخی از A\u003e 1 شروع می شود. T.- Q.E.(1- پ.) T. ³ m \u003d const\u003e 0. سپس برای انتگرال I2 معتبر است

,

جایی که انتگرال در بخش سمت راست از بین می رود، که ثابت می کند واگرایی I2 انتگرال است.

خلاصه نتایج به دست آمده، ما به دست می آوریم که انتگرال منبع پس از Q همگرا می شود<1 и p>1، در غیر این صورت انتگرال جدا شده است.

مثال 6 همگرایی مطلق و شرطی را بررسی کنید.

شدید انتگرال اصلی از دو:

.

همگرایی یکپارچه I1 معادل ، I.E. همگرا در P<2 (пример 1) , причем абсолютно, так как подынтегральная функция положительна на отрезке интегрирования.

I2 یکپارچه در نشانه Dirichlet-Abel در P\u003e 0 T همگرایی می کند. اولین گناه (x) محدود است، و عملکرد 1 / XP یکنواخت به صفر با X-X تمایل به بی نهایت دارد.

ما نشان می دهیم که در £ 0 یکپارچه سازی یکپارچه است. ما از معیار کوشی برای این یا به جای انکار استفاده می کنیم

.

مقادیر زیر را به عنوان R1i R2: R1 \u003d 2PK و R2 \u003d 2PK + P / 2، سپس

، با p\u003e 0.

بنابراین، انتگرال همگرا در 0

همگرایی مطلق همگرایی مطلق انتگرال I1 در حال حاضر تاسیس شده است، همگرایی مطلق I2 را در نظر بگیرید. ما انتگرال از بالا را برآورد می کنیم:

، I.E. همگام سازی یکپارچه در P\u003e 1.

برای اثبات واگرایی در P £ 1، ما انتگرال را از پایین تخمین می زنیم

.

ما آخرین انتگرال را از تفاوت توابع در تفاوت در انتگرال ها شکست می دهیم

.

اگر هر دو انتگرال همگرا باشند، انتگرال از تفاوت همگرا، اگر یکی از انتگرال ها از بین برود، و دیگر همگرا - سپس انتگرال از تفاوت جدا شده است. در مورد واگرایی هر دو انتگرال، همگرایی انتگرال انتگرال، موضوع مطالعه بیشتر است. ما در مورد دوم موارد مورد علاقه ما علاقه مند هستیم.

واگرا (مثال 1) در p<1. сходится по признаку Дирихле-Абеля при 1>p\u003e 0 (نگاه کنید به همگرایی)، بنابراین انتگرال در پایین با یک انتگرال واگرا تخمین زده می شود، به عنوان مثال پراکنده شده است.

مورد P³1 به ما علاقه ندارد، زیرا این مقادیر یکپارچه سازی پارامتر متفاوت است.

بنابراین، انتگرال اصلی به طور کامل در 0 قرار دارد

قضیه 12.11 (نشانه مقایسه انتگرال های داخلی). اجازه دهید توابع f (x) و g (x) به طور مداوم در فاصله [a، "\u003e) و شرایط 0 اصلاح را برآورده می کنند)؟ (x). سپس از همگرایی انتگرال

این همگرایی انتگرال را دنبال می کند

برعکس، واگرایی انتگرال (12.64) باید شامل واگرایی انتگرال (12.63) باشد.

شواهد و مدارک. ما نشانه ای را معرفی می کنیم:

تابع p (k) متناقض است در واقع، اگر و من 2، سپس

ج ثابت) DX\u003e 0، و سپس

دنباله ای از مقادیر (/ /؟ ") -\u003e"\u003e؛ سپس توالی مربوط به مقادیر تابع (f (r n)) یکنواخت و غیر قابل علاج است. اجازه دهید انتگرال (12.63) همگرا شوند، سپس دنباله (67 (67) R. آن)) محدود؛ اما پس از آن محدود و سازگاری (F. (/ /؟ ")، بنابراین، به موجب قضیه 7.13، آن را همگرا می کند. در نتیجه، محدودیتی وجود دارد f (r) برای R. - + "\u003e، I.E. انتگرال (12.64) همگرا می شود.

حالا بخش دوم قضیه را ثابت خواهیم کرد؛ اجازه دهید انتگرال (12.64) از بین برود. اگر فرض کنید که انتگرال (12.63) همگام می شود، پس از آن در بالا یکپارچه ثابت (12.64) نیز باید همگرا باشد، که با این شرایط مخالف است. قضیه ثابت شده است. ؟

اظهار نظر. نشانه مشابهی از مقایسه نیز برای انتگرال های نامناسب از نوع دوم منصفانه است. اگر توابع / (x) و g. (ایکس) مداوم در نیمه فاصله [a\u003e b) و برای همه نقاط در برخی از محله های یک نقطه خاص ب تکمیل شده

شرایط 0 (x)، سپس از همگرایی JG یکپارچه (X) DX به شرح زیر است

پل یکپارچه J / (X) DX، و از واگرایی انتگرال J / (X) DX -

پل JG (X) DX انتگرال.

مثالها را در مورد مطالعه همگرایی انتگرال های داخلی در نظر بگیرید.

مثال 27. T. ^ -.

x 3 (1 + e l)

تصمیم گیری عملکرد یکپارچه را در این انتگرال با عملکرد مقایسه کنید

DG بدیهی است، در مورد - - - -

h. g * (1 + 0 x j

county J-JDX Converges؛ بنابراین، به دلیل نشانه ای از همگام سازی مقایسه ها و Dan- 1 H.

انتگرال نیویورک

مثال 28. من-.

تصمیم گیری مقایسه تابع انتگرال این انتگرال با یک تابع از 1 / x،

ما می بینیم که (1 + در x) / x\u003e 1 / x در فاصله 1

بنابراین، این انتگرال نیز بر اساس نشانه ای از مقایسه است.

در نتیجه، ما بدون اثبات معیار همگرایی کوشی از انتگرال غیر قابل درک از نوع اول است.

12.10.4 همگرایی مطلق و مشروط انتگرال های داخلی

تعریف 5. Incompeated Enthegl J / (X) DX نامیده می شود کاملا

همگرااگر انتگرال J | / (x) همگام شده است DX.

تعریف 6. انتگرال نامرئی J / (X) DX نامیده می شود مشروط نشسته

پوشیدناگر آن را همگرا، و انتگرال j | / (x) | DX واگرا می شود.

توجه داشته باشید که از همگرایی مطلق انتگرال و همگرایی آن به دلیل برآورد 3 انتگرال اختصاصی و معیار کوشی.

تئوری 12.13 (نشانه ای از Dirichlet - Abel *). اجازه دهید تابع / (x) پیوسته باشد و دارای ابتدایی محدود است F. (x) در فاصله [a، "\u003e)، و تابع g (x) یک مشتق مداوم در این شکاف، افزایش نمی یابد و تلاش برای صفر در x -\u003e © در مورد. سپس انتگرال خیالی

همگرا

شواهد و مدارک. ادغام را در بخش هایی به یکپارچه J / (X) G (X) DX اعمال کنید

بر روی یک برش دلخواه r r " از جانب [ ولی، °°) ما داریم:

قضیه 12.12. برای همگرایی انتگرال ایمنی (12.64)، لازم است و به اندازه کافی برای پیدا کردن چنین تعداد برای هر E\u003e 0 ولی \u003e 0، چه چیزی برای هر R " و /؟ "بزرگ از ولی، نابرابری انجام می شود:

توسط قضیه شرط f (x) محدود، I.E. | f (x) | K. تابع g (x) افزایش نمی یابد و تمایل به صفر در x - ""\u003e، به این معنی است. g (x) \u003e 0، a g "(x)

Abel Niels Henrik (1802-1829) - ریاضیدان نروژی.

از آنجا که تحت شرایط قضیه g (x) - "0 در x -\u003e © °، برای شماره دلخواه E\u003e 0 می توان یافت a\u003e. به طوری که r "l نابرابری انجام خواهد شد g (r ") جایگزینی این در ارزیابی (12.68)، ما دریافت می کنیم:

چه چیزی مربوط به معیار کنجکاو همگرایی انتگرال (12.66) است. قضیه ثابت شده است. ؟

نمونه هایی از استفاده از ویژگی Convergence Dirichle - Abel از انتگرال های داخلی را در نظر بگیرید.

مثال 29. F ^^ DX، A\u003e 0.

تصمیم گیری قرار دادن / (x) \u003d sin x g (x) \u003d L / X "؛ آسان است مطمئن شوید که تمام شرایط قضیه ساخته شده است، به عنوان مثال این انتگرال همگام است. هنگامی که A\u003e 1 این انتگرال

رال کاملا همگام سازی می شود واقعا، | گناه x / XP 1 / D L، انتگرال J (L / X E) DX

همگام سازی، I.E. بر اساس مقایسه (قضیه 12.11)، این انتگرال همگام شده است.

مثال 30. JSIN X 2 DX - Fresnel Integral،

تصمیم گیری تصور کنید این انتگرال در قالب مقدار:

از آنجا که SIN X 2 یک تابع پیوسته در بخش (0، 1J، اولین انتگرال در (12.69) وجود دارد. برای تعیین همگرایی انتگرال ناسازگار در سمت راست (12.69)، ما قرار داده شده / (x) \u003d X SIN 2، g. (x) \u003d 1 / x. سپس برای عملکرد / (x) ابتدایی f (x) = -COSX 2 /! این به فاصله زمانی محدود است این بدان معنی است که بر اساس Dirichlet - Abel، انتگرال دوم در (12.69) همگرا، I.E. انتگرال Fresnel هم همگرا می شود.

همانطور که می دانید، پیدا کردن یکپارچگی ممکن است یک کار پیچیده تر باشد. این یک ناامیدی بزرگ خواهد بود که محاسبه یک انتگرال ناسازگار و تشخیص در انتهای راه که آن را از بین می برد. بنابراین، روش ها اجازه می دهد بدون محاسبات جدی، در یک نوع توابع، نتیجه گیری در مورد همگرایی یا واگرایی یکپارچگی ناقص را ایجاد کنند. قضیه های مقایسه اول و دوم که در زیر مورد بحث قرار می گیرند، عمدتا به کشف انتگرال های ناقص برای همگرایی کمک می کنند.

اجازه دهید f (x) 0. سپس توابع

به طور یکنواخت از متغیرهای T یا-D افزایش می یابد (همانطور که ما D\u003e 0 را می گیریم، به دنبال صفر در سمت چپ است). اگر، با افزایش استدلال تابع F 1 (T) و F 2 (-D) از بالا باقی بماند، این بدان معنی است که انتگرال های غیر قابل درک متناظر همگرا هستند. این بر اساس اولین قضیه مقایسه برای انتگرال از توابع غیر منفی است.

فرض کنید برای تابع f (x) و g (x) با x؟ شرایط:

• 1) 0؟ f (x)؟ g (x)؛
• 2) توابع f (x) و g (x) پیوسته هستند.

سپس از همگرایی انتگرال، همگرایی انتگرال را دنبال می کند و واگرایی انتگرال باید باشد

از آنجا که 0؟ f (x)؟ g (x) و توابع پیوسته هستند، سپس

با شرایط، همگام سازی انتگرال، I.E. این مقدار نهایی دارد. در نتیجه، انتگرال همگام سازی نیز هست.

اجازه دهید انتگرال در حال حاضر متفاوت است. فرض کنید که انتگرال همگام است، اما پس از آن یک انتگرال باید همگرا شود، که با این شرایط مخالف است. فرض ما نادرست است، انحرافات انتگرال.

قضیه مقایسه انتگرال های نامناسب از نوع دوم.

فرض کنید برای توابع f (x) و g (x) بر روی شکاف، به طور فزاینده ای با x\u003e +0 افزایش می یابد. برای او در X\u003e +0 نابرابری<. Несобственный интеграл есть эталонный интеграл 2-го рода, который при p=<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов 2-го рода интеграл сходится также.

قضیه مقایسه برای انتگرال های نامناسب از جنس اول.

فرض کنید برای تابع f (x) و g (x) در فاصله زمانی، و بخش اینترکام نهایی است، یعنی اعداد محدود هستند، و نه بی نهایت. برخی از وظایف منجر به نیاز به رها کردن این محدودیت ها می شود. بنابراین انتگرال های ضروری ظاهر می شوند.

معنای هندسی یک انتگرال ناسازگار این کاملا ساده است. در مورد زمانی که برنامه برنامه ریزی شده است y = f.(ایکس.) در بالای محور قرار دارد گاو انتگرال تعریف شده، منطقه ای از تراپی منحنی، منحنی محدود را بیان می کند y = f.(ایکس.) ، محور Abscissa و سفارشات ایکس. = آ. , ایکس. = ب . به نوبه خود، انتگرال نامناسب بیان منطقه ای از trapezium انحنای نامحدود (بی نهایت) را بیان می کند، بین خطوط به پایان رسید y = f.(ایکس.) (در شکل زیر - قرمز)، ایکس. = آ. و محور Abscissa.

به همین ترتیب، انتگرال های ناسازگار تعیین می شود و برای دیگر فواصل بی نهایت:

منطقه یک تراکم بی نهایت انحصاری می تواند یک عدد محدود باشد و در این مورد یکپارچگی غیر قابل تغییر نامیده می شود. این منطقه ممکن است بی نهایت باشد و در این مورد، انتگرال غیر قابل تغییر، واگرایی نامیده می شود.

از محدودیت انتگرال به جای انتگرال ناسازگار استفاده کنید. به منظور محاسبه انتگرال ناسازگار، شما باید از حد یک انتگرال خاص استفاده کنید. اگر این حد وجود دارد و محدود است (برابر با بی نهایت نیست)، پس یک انتگرال غیر قابل جدا شدن، همگام نامیده می شود، و در غیر این صورت - واگرا. چه متغیر برای نشانه ای از یک محدودیت تلاش می کند، بستگی دارد که آیا ما این پرونده را با یک انتگرال ناسازگار از نوع اول یا دوم نوع دوم داریم. ما اکنون در مورد آن پیدا خواهیم کرد.

انتگرال های incombaty از نوع اول - با محدودیت های بی نهایت و همگرایی آنها

انتگرال های غیرقانونی با حد بالایی بی پایان

بنابراین، رکورد یکپارچگی ایمنی، از یکپارچگی صحیح معمول در این واقعیت متفاوت است که محدودیت ادغام فوقانی بی نهایت است.

تعریف. انتگرال نامعتبر با یک حد بالای بی پایان از ادغام از عملکرد مداوم f.(ایکس.) در فاصله OT آ. قبل از ∞ محدودیت انتگرال این تابع را با محدودیت ادغام بالا نامید ب و محدودیت ادغام پایین آ. با توجه به اینکه حد بالایی از ادغام به طور نامحدود در حال رشد است.

.

اگر این حد وجود دارد و برابر با برخی از تعداد، نه بی نهایت، پس از آن انتگرال ورودی همگرا نامیده می شود، و تعداد که محدودیت برابر با ارزش آن است. در غیر این صورت یکپارچگی شامل واگرایی نامیده می شود و او معنی ندارد.

مثال 1. محاسبه انتگرال ناسازگار (اگر آن را همگرا).

تصمیم گیری بر اساس تعریف یک انتگرال ناسازگار، ما پیدا می کنیم

از آنجا که محدودیت وجود دارد و برابر با 1 است، سپس همگرایی یکپارچه را شامل می شود و برابر 1.

در مثال زیر، عملکرد انتگرال تقریبا به عنوان مثال 1 است، تنها درجه ICA دو بار نیست، اما نامه آلفا، اما وظیفه این است که یک انتگرال ناقص برای همگرایی را مطالعه کنید. به این ترتیب، برای پاسخ به این سوال: تحت چه مقادیر آلفا، این انتگرال های ورودی همگام می شوند، و چه چیزی متفاوت است؟

مثال 2. برای کشف همگرایی انتگرال بی حرکتی (محدودیت ادغام پایین تر از صفر است).

تصمیم گیری فرض کنید ابتدا، سپس

در بیان نتیجه، زمانی که:

آسان است ببینید که محدودیت در قسمت راست وجود دارد و صفر است، زمانی که، به این معنی نیست، زمانی که، این است.

در اولین مورد، یعنی زمانی که یک مکان وجود دارد. اگر پس از آن و هیچ وجود ندارد

خروج مطالعه ما به شرح زیر است: این همگرایی یکپارچه را شامل می شود در I. واگرایی کردن در

درخواست به نوع ارسال شده از فرمول انتگرال داخلی نیوتن-لایبنیا ، شما می توانید فرمول زیر را بسیار شبیه به آن بردارید:

.

این فرمول تعمیم یافته نیوتن لابیتسا است.

مثال 3. محاسبه انتگرال ناسازگار (اگر آن را همگرا).

محدودیت این انتگرال وجود دارد:

دومین انتگرال تشکیل دهنده مقدار بیان انتگرال اصلی:

محدودیت این انتگرال نیز وجود دارد:

.

ما مجموع دو انتگرال را پیدا می کنیم، که و ارزش انتگرال اولیه ناسازگار با دو محدودیت نامحدود است:

انتگرال های Unobual از نوع دوم - از توابع نامحدود و همگرایی آنها

اجازه دهید تابع f.(ایکس.) تنظیم بر روی بخش از آ. قبل از ب و نامحدود بر روی آن. فرض کنید این تابع در این نقطه به Infinity اشاره می کند ب ، در حالی که در تمام نقاط دیگر بخش، پیوسته است.

تعریف. تابع انتگرال ناسازگار f.(ایکس.) بر روی برش از آ. قبل از ب محدودیت انتگرال این تابع را با محدودیت ادغام بالا نامید c. اگر با پیگیری c. به ب تابع به طور نامحدود افزایش می یابد و در نقطه ایکس. = ب تابع تعریف نشده است.

.

اگر این حد وجود داشته باشد، انتگرال ورودی از نوع دوم، همگرا نامیده می شود، در غیر این صورت متفاوت است.

با استفاده از فرمول نیوتن-لابندر، ما دریافت می کنیم.