اگر حد به عدد متمایل شود. محدودیت ها

بیایید به چند مثال گویا نگاه کنیم.

اجازه دهید x یک متغیر عددی، X مساحت تغییر آن باشد. اگر هر عدد x متعلق به X با یک عدد خاص y مرتبط باشد، می گویند که یک تابع روی مجموعه X تعریف شده است و y = f(x) را می نویسند.
مجموعه X در این مورد یک صفحه متشکل از دو محور مختصات - 0X و 0Y است. به عنوان مثال، بیایید تابع y = x 2 را به تصویر بکشیم. محورهای 0X و 0Y X - ناحیه تغییر آن را تشکیل می دهند. شکل به وضوح نحوه عملکرد تابع را نشان می دهد. در این حالت می گویند که تابع y = x 2 روی مجموعه X تعریف شده است.

مجموعه Y تمام مقادیر جزئی یک تابع مجموعه مقادیر f(x) نامیده می شود. به عبارت دیگر، مجموعه مقادیر فاصله زمانی در امتداد محور 0Y است که در آن تابع تعریف می شود. سهمی نشان داده شده به وضوح نشان می دهد که f(x) > 0، زیرا x2 > 0. بنابراین، محدوده مقادیر خواهد بود. ما به مقادیر زیادی با 0Y نگاه می کنیم.

مجموعه تمام x ها دامنه f(x) نامیده می شود. ما به تعاریف زیادی با 0X نگاه می کنیم و در مورد ما محدوده مقادیر قابل قبول [-; +].

نقطه a (a متعلق به یا X است) نقطه حدی از مجموعه X می گویند اگر در هر همسایگی نقطه a نقاطی از مجموعه X متفاوت از a وجود داشته باشد.

زمان آن رسیده است که بفهمیم محدودیت یک تابع چیست؟

b خالصی که تابع به آن سمت میل می کند که x به عدد a میل می کند محدودیت عملکرد. این به صورت زیر نوشته شده است:

به عنوان مثال، f(x) = x 2. ما باید بفهمیم که تابع در x 2 به چه چیزی تمایل دارد (برابر نیست). ابتدا حد را یادداشت می کنیم:

بیایید به نمودار نگاه کنیم.

بیایید یک خط موازی با محور 0Y از طریق نقطه 2 در محور 0X رسم کنیم. نمودار ما را در نقطه (2;4) قطع خواهد کرد. اجازه دهید یک عمود از این نقطه به محور 0Y رها کنیم و به نقطه 4 برسیم. این همان چیزی است که تابع ما در x 2 برای آن تلاش می کند. اگر اکنون مقدار 2 را با تابع f(x) جایگزین کنیم، پاسخ یکسان خواهد بود. .

حالا قبل از اینکه به سراغ آن برویم محاسبه حدود، اجازه دهید تعاریف اولیه را معرفی کنیم.

توسط ریاضیدان فرانسوی آگوستین لوئی کوشی در قرن نوزدهم معرفی شد.

فرض کنید تابع f(x) در یک بازه مشخص که حاوی نقطه x = A است تعریف شده است، اما اصلاً لازم نیست که مقدار f(A) تعریف شود.

سپس، طبق تعریف کوشی، محدودیت عملکرد f(x) یک عدد مشخص B خواهد بود که x تمایل به A دارد اگر برای هر C > 0 یک عدد D > 0 وجود داشته باشد که برای آن

آن ها اگر تابع f(x) در x A با حد B محدود شود، این به شکل نوشته می شود

محدودیت توالیاگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک B> 0 عددی N وجود داشته باشد که تمام مقادیر در حالت n>N نابرابری را برآورده کنند، یک عدد A فراخوانی می شود.

این حد به نظر می رسد.

دنباله ای که حدی داشته باشد همگرا نامیده می شود و در غیر این صورت آن را واگرا می نامیم.

همانطور که قبلاً متوجه شده اید، محدودیت ها با نماد lim نشان داده می شوند که تحت آن شرایطی برای متغیر نوشته می شود و سپس خود تابع نوشته می شود. چنین مجموعه ای به عنوان "محدودیت یک تابع موضوع ..." خوانده می شود. مثلا:

- حد تابع با تمایل x به 1.

عبارت "نزدیک شدن به 1" به این معنی است که x به طور متوالی مقادیری را می گیرد که به 1 بی نهایت نزدیک می شوند.

اکنون مشخص می شود که برای محاسبه این حد کافی است مقدار 1 را جایگزین x کنید:

علاوه بر یک مقدار عددی خاص، x می تواند به بی نهایت نیز تمایل داشته باشد. مثلا:

عبارت x به این معنی است که x پیوسته در حال افزایش است و بدون محدودیت به بی نهایت نزدیک می شود. بنابراین، با جایگزینی بی‌نهایت به جای x، مشخص می‌شود که تابع 1-x به اما با علامت مخالف تمایل دارد:

بدین ترتیب، محاسبه حدودبه یافتن مقدار خاص آن یا ناحیه خاصی که تابع محدود شده توسط حد در آن سقوط می کند، ختم می شود.

با توجه به موارد فوق، نتیجه این است که هنگام محاسبه محدودیت ها استفاده از چندین قانون مهم است:

درك كردن جوهر حدو قوانین اساسی محاسبات محدود، بینش کلیدی در مورد نحوه حل آنها به دست خواهید آورد. اگر محدودیتی برای شما مشکل ایجاد می کند، در نظرات بنویسید و ما قطعا به شما کمک خواهیم کرد.

نکته: فقه علم احکام است که در تعارضات و سایر مشکلات زندگی کمک می کند.

هنگام حل مشکلات یافتن حدود، باید برخی از محدودیت ها را به خاطر بسپارید تا هر بار دوباره آنها را محاسبه نکنید. با ترکیب این محدودیت های شناخته شده، محدودیت های جدیدی را با استفاده از ویژگی های ذکر شده در § 4 پیدا خواهیم کرد. برای راحتی بیشتر، محدودیت‌هایی که اغلب با آن مواجه می‌شوند را ارائه می‌کنیم: محدودیت‌ها 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L، = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a)، اگر f (x) پیوسته است x a اگر معلوم شود تابع پیوسته است، به جای یافتن حد، مقدار تابع را محاسبه می کنیم. مثال 1. lim (x*-6l:+ 8) را پیدا کنید. از آنجایی که تعداد زیادی وجود دارد - X-> 2

تابع عضو پیوسته است، سپس lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 مثال 2. lim -r را پیدا کنید. . ابتدا حد مخرج را پیدا می کنیم: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; برابر X-Y1 صفر نیست، به این معنی که می توانیم ویژگی 4 § 4 را اعمال کنیم، سپس x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. حد از مخرج X X برابر با صفر است، بنابراین، خاصیت 4 از § 4 را نمی توان اعمال کرد. از آنجایی که صورت یک عدد ثابت است و مخرج [x2x) -> -0 برای x - - 1، پس کل کسر به طور نامحدود افزایش می یابد. مقدار مطلق، یعنی lim " 1 X - * - - 1 x* + x مثال 4. lim\-ll*" را پیدا کنید!"" "حد مخرج صفر است: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0، بنابراین ویژگی X 4 § 4 قابل اجرا نیست. اما حد شمارنده نیز برابر با صفر است: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. بنابراین، حدود صورت و مخرج به طور همزمان برابر با صفر است. با این حال، عدد 2 ریشه هر دو صورت و مخرج است، بنابراین کسر را می توان با اختلاف x-2 کاهش داد (طبق قضیه بزوت). در واقع، x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" بنابراین، xr- - f- 6 g x-3 -1 1 مثال 5. lim xn (n عدد صحیح، مثبت) را بیابید. X با ما xn = X* X داریم. . X، n برابر از آنجایی که هر عامل بدون محدودیت رشد می کند، محصول نیز بدون محدودیت رشد می کند، یعنی lim xn = oo. x oo مثال 6. lim xn(n عدد صحیح، مثبت) را پیدا کنید. X -> - CO ما xn = x x... x داریم. از آنجایی که هر عامل در قدر مطلق رشد می کند در حالی که منفی باقی می ماند، پس در مورد یک درجه زوج، محصول به طور نامحدود رشد می کند در حالی که مثبت باقی می ماند، یعنی lim *n = + oo (برای زوج n). *-* -о در مورد یک درجه فرد، قدر مطلق حاصل افزایش می یابد، اما منفی می ماند، یعنی lim xn = - oo (برای n فرد). p -- 00 مثال 7. lim را پیدا کنید. x x-*- co * اگر m>pu پس می توانیم بنویسیم: m = n + kt که در آن k>0. بنابراین xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu به مثال 6 رسیدیم. اگر ti uTL xm I lim lim t. X - O x-* yu L X ->co در اینجا صورتگر ثابت می ماند و مخرج در مقدار مطلق افزایش می یابد. بنابراین lim -ь = 0. Х-*оо X* توصیه می شود نتیجه این مثال را به شکل زیر به خاطر بسپارید: تابع توان سریعتر رشد می کند، هر چه توان بزرگتر باشد. $хв_Зхг + 7

مثال ها

مثال 8. lim g L -g-= را پیدا کنید. در این مثال x-*® "J* "G bX -ox-o و صورت و مخرج بدون محدودیت افزایش می‌یابد. اجازه دهید هم صورت و هم مخرج را بر بالاترین توان تقسیم کنیم. از x، یعنی روی xb، سپس 3 7_ مثال 9. لیر را پیدا کنید... با انجام تبدیل، لیر را به دست می آوریم... ^ = lim X CO + 3 7 3 از آنجایی که lim -5 = 0، lim -، = 0، سپس حد مخرج rad-*® X X-+-CD X صفر است، در حالی که حد ممیز 1 است. در نتیجه، کل کسر بدون حد افزایش می یابد، یعنی t 7x hm X-+ yu مثال 10. lim را بیابید مخرج حد S را محاسبه کنید، به یاد داشته باشید که تابع cos*- پیوسته است: لیره (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. سپس x->- S lim (l-fsin*) مثال 15. lim * را پیدا کنید<*-e>2 و lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO پرس (l: - a)2 = z; از آنجایی که (Λ;-a)2 همیشه به صورت غیر منفی و بدون محدودیت با x رشد می کند، سپس برای x - ±oo متغیر جدید z-*oc. بنابراین qt £ را بدست می آوریم<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (به یادداشت §5 مراجعه کنید). g -*■ co به طور مشابه lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q، زیرا x ± oo g m - (x-a)z بدون محدودیت به صورت x ->±oo کاهش می یابد (به یادداشت § مراجعه کنید

معمولاً دومین حد قابل توجه به این شکل نوشته می شود:

\begin(معادله) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(معادله)

عدد $e$ نشان داده شده در سمت راست برابری (1) غیر منطقی است. مقدار تقریبی این عدد: $e\approx(2(,)718281828459045)$ است. اگر $t=\frac(1)(x)$ را جایگزین کنیم، فرمول (1) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\begin(معادله) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(معادله)

در مورد اولین حد قابل توجه، مهم نیست که کدام عبارت به جای متغیر $x$ در فرمول (1) یا به جای متغیر $t$ در فرمول (2) قرار می گیرد. نکته اصلی رعایت دو شرط است:

پایه درجه (یعنی عبارت در پرانتز فرمول های (1) و (2)) باید به وحدت گرایش داشته باشد.
توان (یعنی $x$ در فرمول (1) یا $\frac(1)(t)$ در فرمول (2)) باید به بی نهایت تمایل داشته باشد.

گفته می شود که دومین محدودیت قابل توجه عدم قطعیت $1^\infty$ را نشان می دهد. لطفاً توجه داشته باشید که در فرمول (1) ما مشخص نمی کنیم که در مورد کدام بی نهایت ($+\infty$ یا $-\infty$) صحبت می کنیم. در هر یک از این موارد، فرمول (1) صحیح است. در فرمول (2)، متغیر $t$ می تواند هم در سمت چپ و هم در سمت راست به صفر تمایل داشته باشد.

متذکر می شوم که از محدودیت قابل توجه دوم نیز چندین پیامد مفید وجود دارد. نمونه هایی از استفاده از محدودیت قابل توجه دوم و همچنین پیامدهای آن در بین کامپایلرهای محاسبات و آزمایش های استاندارد استاندارد بسیار محبوب است.

مثال شماره 1

حد $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ را محاسبه کنید.

بیایید بلافاصله توجه کنیم که پایه درجه (یعنی $\frac(3x+1)(3x-5)$) به وحدت تمایل دارد:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\راست| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

در این حالت، توان (عبارت $4x+7$) به سمت بی نهایت میل می کند، یعنی. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

پایه درجه به وحدت میل می کند، توان به بی نهایت میل می کند، یعنی. ما با عدم قطعیت $1^\infty$ روبرو هستیم. بیایید یک فرمول برای آشکار کردن این عدم قطعیت اعمال کنیم. در پایه توان فرمول عبارت $1+\frac(1)(x)$ قرار دارد و در مثالی که در نظر می گیریم، پایه توان عبارت است از: $\frac(3x+1)(3x- 5) دلار. بنابراین، اولین اقدام، تعدیل رسمی عبارت $\frac(3x+1)(3x-5)$ به شکل $1+\frac(1)(x)$ خواهد بود. ابتدا یکی را جمع و کم کنید:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

لطفاً توجه داشته باشید که نمی توانید به سادگی یک واحد اضافه کنید. اگر مجبور شدیم یکی را اضافه کنیم، باید آن را نیز کم کنیم تا ارزش کل عبارت را تغییر ندهیم. برای ادامه راه حل، آن را در نظر می گیریم

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

از آنجایی که $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$، پس:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ چپ(1+\frac(6)(3x-5)\راست)^(4x+7) $$

بیایید تنظیم را ادامه دهیم. در عبارت $1+\frac(1)(x)$ از فرمول، صورت‌گر کسر 1 است و در عبارت ما $1+\frac(6)(3x-5)$، صورت‌گر 6$ است. برای بدست آوردن $1$ در صورت حساب، $6$ را در مخرج با استفاده از تبدیل زیر بریزید:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

بدین ترتیب،

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\راست)^(4x+7) $$

بنابراین، اساس مدرک، یعنی. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$، به شکل $1+\frac(1)(x)$ مورد نیاز در فرمول تنظیم شده است. حالا بیایید کار با توان را شروع کنیم. توجه داشته باشید که در فرمول، عبارات در مخرج و در مخرج یکسان هستند:

این بدان معناست که در مثال ما، مصدر و مخرج باید به یک شکل آورده شوند. برای بدست آوردن عبارت $\frac(3x-5)(6)$ در توان، به سادگی توان را در این کسری ضرب می کنیم. به طور طبیعی، برای جبران چنین ضربی، باید بلافاصله در کسر متقابل ضرب کنید، یعنی. توسط $\frac(6)(3x-5)$. بنابراین ما داریم:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\راست)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

اجازه دهید به طور جداگانه حد کسری $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ واقع در توان را در نظر بگیریم:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\راست| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x))=e^(-\frac(2) (9)) دلار.

مثال شماره 4

حد $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که برای $x>0$، $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$ داریم، پس:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ چپ (\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

با بسط کسری $\frac(x+1)(x)$ به مجموع کسرهای $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\چپ (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

پاسخ: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

مثال شماره 5

حد $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ و $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$، پس با عدم قطعیت شکل $1^\infty$ روبرو هستیم. توضیحات مفصل در مثال شماره 2 آورده شده است، اما در اینجا به یک راه حل مختصر اکتفا می کنیم. با ساخت جایگزین $t=x-2$، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\سمت چپ|\شروع(تراز شده)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end (تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\راست)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

می توانید این مثال را به روش دیگری با استفاده از جایگزینی حل کنید: $t=\frac(1)(x-2)$. البته پاسخ یکسان خواهد بود:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\سمت چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

پاسخ: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

مثال شماره 6

حد $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ را پیدا کنید.

بیایید دریابیم که عبارت $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ تحت شرایط $x\to\infty$ به چه چیزی تمایل دارد:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

بنابراین، در یک حد معین، با عدم قطعیتی از شکل $1^\infty$ روبرو هستیم که با استفاده از محدودیت قابل توجه دوم آن را آشکار خواهیم کرد:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\راست)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4 )(7))\راست)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\راست)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

پاسخ: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

نظریه حدود یکی از شاخه های تحلیل ریاضی است. مسئله حل حدود بسیار گسترده است، زیرا ده ها روش برای حل حدود از انواع مختلف وجود دارد. ده ها تفاوت ظریف و ترفند وجود دارد که به شما امکان می دهد این یا آن محدودیت را حل کنید. با این وجود، ما همچنان سعی خواهیم کرد انواع اصلی محدودیت هایی را که اغلب در عمل با آن مواجه می شوند، درک کنیم.

بیایید با مفهوم حد شروع کنیم. اما ابتدا یک پیشینه تاریخی مختصر. در قرن نوزدهم مردی فرانسوی به نام آگوستین لوئی کوشی زندگی می‌کرد که پایه‌های آنالیز ریاضی را پایه‌ریزی کرد و تعاریف دقیق، به ویژه تعریف حد را ارائه کرد. باید گفت که همین کوشی در کابوس همه دانشجویان گروه های فیزیک و ریاضی بوده، هست و خواهد بود، زیرا او تعداد زیادی از قضایای آنالیز ریاضی را به اثبات رسانده است و هر قضیه ای نفرت انگیزتر از قضیه دیگر است. در این راستا، تعریف دقیقی از حد در نظر نخواهیم گرفت، بلکه سعی خواهیم کرد دو کار انجام دهیم:

1. درک کنید که محدودیت چیست.
2. حل انواع اصلی محدودیت ها را بیاموزید.

بابت برخی توضیحات غیر علمی پوزش می طلبم، مهم این است که مطالب حتی برای یک قوری قابل درک باشد که در واقع وظیفه پروژه است.

پس حد آن چیست؟

و فقط یک مثال از چرایی مادربزرگ پشمالو ....

هر محدودیتی از سه قسمت تشکیل شده است:

1) نماد محدود شناخته شده.
2) ورودی های زیر نماد محدودیت، در این مورد. ورودی به عنوان "X تمایل به یک دارد." اغلب - دقیقاً، اگرچه به جای "X" در عمل متغیرهای دیگری وجود دارد. در کارهای عملی، مکان یک می تواند مطلقاً هر عدد و همچنین بی نهایت باشد ().
3) در این مورد زیر علامت حد عمل می کند.

خود ضبط به این صورت می‌خواند: «حد تابعی که x تمایل به وحدت دارد».

بیایید به سوال مهم بعدی نگاه کنیم - عبارت "x" به چه معناست؟ تلاش می کندبه یک"؟ و اصلاً «تلاش» به چه معناست؟
مفهوم حد یک مفهوم است، به اصطلاح، پویا. بیایید یک دنباله بسازیم: ابتدا، سپس،، ...، , ….
یعنی عبارت «x تلاش می کندبه یک" باید به صورت زیر درک شود: "x" به طور مداوم مقادیر را می گیرد که به وحدت بی نهایت نزدیک و عملاً منطبق بر آن هستند.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ با توجه به موارد فوق، فقط باید یکی را در تابع زیر علامت حد جایگزین کنید:

بنابراین، قانون اول: وقتی محدودیتی در نظر گرفته می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را به تابع متصل کنیم.

ما ساده ترین حد را در نظر گرفتیم، اما اینها در عمل هم اتفاق می افتد و نه به ندرت!

مثال با بی نهایت:

بیایید بفهمیم که چیست؟ این در صورتی است که بدون محدودیت افزایش یابد، یعنی: اول، بعد، بعد، سپس و غیره تا بی نهایت.

در این زمان چه اتفاقی برای عملکرد می افتد؟
, , , …

بنابراین: اگر، آنگاه تابع به منهای بی نهایت میل می کند:

به طور کلی، طبق قانون اول ما، به جای "X"، بی نهایت را جایگزین تابع می کنیم و پاسخ را می گیریم.

مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع به افزایش تا بی نهایت می کنیم و به رفتار تابع نگاه می کنیم:

نتیجه گیری: وقتی تابع بدون محدودیت افزایش می یابد:

و یک سری مثال دیگر:

لطفاً سعی کنید موارد زیر را برای خودتان تحلیل ذهنی کنید و ساده ترین نوع محدودیت ها را به خاطر بسپارید:

, , , , , , , , ,
اگر در جایی شک دارید، می توانید یک ماشین حساب بردارید و کمی تمرین کنید.
در صورتی که سعی کنید دنباله , , را بسازید . اگر پس از آن ، ، .

توجه: به بیان دقیق، این رویکرد برای ساخت دنباله های چند اعداد نادرست است، اما برای درک ساده ترین مثال ها کاملاً مناسب است.

به نکته زیر نیز توجه کنید. حتی اگر محدودیتی با یک عدد بزرگ در بالا داده شود، یا حتی با یک میلیون: ، پس همه چیز یکسان است ، زیرا دیر یا زود "X" چنان ارزش های غول پیکری به خود می گیرد که یک میلیون در مقایسه با آنها یک میکروب واقعی خواهد بود.

چه چیزی را باید از موارد بالا به خاطر بسپارید و بفهمید؟

1) وقتی هر محدودیتی داده می شود، ابتدا سعی می کنیم عدد را در تابع جایگزین کنیم.

2) شما باید ساده ترین محدودیت ها را بفهمید و فوراً حل کنید، مانند ، ، و غیره.

حال گروهی از حدود را در نظر می گیریم زمانی که، و تابع کسری است که صورت و مخرج آن دارای چند جمله ای هستند.

مثال:

محاسبه حد

طبق قاعده ما، سعی می کنیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین، ما چیزی داریم که عدم قطعیت گونه نامیده می شود. ممکن است کسی فکر کند که پاسخ آماده است، اما در حالت کلی اصلاً اینطور نیست و لازم است برخی از تکنیک های راه حل را اعمال کنیم که اکنون آنها را بررسی می کنیم.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم:

توان پیشرو در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و همچنین آن را به بالاترین توان می یابیم:

بالاترین درجه مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به شرح زیر است: برای آشکار شدن عدم قطعیت، باید صورت و مخرج را بر بالاترین توان تقسیم کرد.

اینجا پاسخ است و اصلاً بی نهایت نیست.

چه چیزی اساساً در طراحی یک تصمیم مهم است؟

ابتدا، در صورت وجود عدم قطعیت را نشان می دهیم.

ثانیاً، توصیه می شود که راه حل را برای توضیحات میانی قطع کنید. من معمولا از علامت استفاده می کنم، هیچ معنای ریاضی ندارد، اما به این معنی است که راه حل برای یک توضیح میانی قطع می شود.

ثالثاً ، در حد توصیه می شود علامت گذاری کنید که کجا می رود. هنگامی که کار با دست طراحی می شود، انجام آن به این صورت راحت تر است:

بهتر است از یک مداد ساده برای یادداشت استفاده کنید.

البته لازم نیست هیچ یک از این کارها را انجام دهید، اما ممکن است معلم به کاستی های راه حل اشاره کند یا شروع به پرسیدن سؤالات اضافی در مورد تکلیف کند. آیا به آن نیاز دارید؟

مثال 2

حد را پیدا کنید
باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم:

حداكثر مدرك در صورت‌حساب: 3
حداکثر مدرک تحصیلی در مخرج: 4
انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار.
طبق الگوریتم ما، برای نشان دادن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم.
تکلیف کامل ممکن است به شکل زیر باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

مثال 3

حد را پیدا کنید
حداکثر درجه "X" در صورتگر: 2
حداکثر درجه "X" در مخرج: 1 (می توان به صورت نوشتاری)
برای آشکار شدن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر . راه حل نهایی ممکن است به این صورت باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

علامت گذاری به معنای تقسیم بر صفر نیست (شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید)، بلکه تقسیم بر یک عدد بینهایت کوچک است.

بنابراین، با کشف عدم قطعیت گونه‌ها، ممکن است بتوانیم شماره نهایی، صفر یا بی نهایت.

محدودیت هایی با عدم قطعیت نوع و روش برای حل آنها

گروه بعدی حدود تا حدودی شبیه به حدودی است که به تازگی در نظر گرفته شده است: صورت و مخرج شامل چند جمله ای هستند، اما "x" دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه به سمت بی نهایت می رود. عدد محدود.

مثال 4

حل محدودیت
ابتدا بیایید سعی کنیم -1 را به کسر جایگزین کنیم:

در این صورت به اصطلاح عدم قطعیت به دست می آید.

قانون کلی: اگر صورت و مخرج دارای چند جمله ای باشند و شکل آن نامشخص باشد، آن را فاش کنید. شما باید صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای انجام این کار، اغلب باید یک معادله درجه دوم را حل کنید و/یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید. اگر این موارد فراموش شده اند، به صفحه مراجعه کنید فرمول ها و جداول ریاضیو مطالب آموزشی را بخوانید فرمول های داغ برای درس ریاضی مدرسه. به هر حال، بهتر است آن را چاپ کنید؛ اغلب به آن نیاز است و اطلاعات بهتر از کاغذ جذب می شود.

پس بیایید حد خود را حل کنیم

صورت و مخرج را فاکتور بگیرید

برای فاکتور گرفتن عدد، باید معادله درجه دوم را حل کنید:

ابتدا وجه تمایز را پیدا می کنیم:

و جذر آن: .

اگر تفکیک بزرگ باشد، مثلاً 361، از یک ماشین حساب استفاده می کنیم؛ تابع استخراج جذر روی ساده ترین ماشین حساب است.

! اگر ریشه به طور کامل استخراج نشود (عدد کسری با کاما به دست می آید) به احتمال بسیار زیاد ممیز اشتباه محاسبه شده است یا اشتباه تایپی در کار وجود داشته است.

بعد ریشه ها را پیدا می کنیم:

بدین ترتیب:

همه. شمارنده فاکتوریزه شده است.

مخرج. مخرج در حال حاضر ساده ترین عامل است و راهی برای ساده سازی آن وجود ندارد.

بدیهی است که می توان آن را به صورت زیر خلاصه کرد:

حالا 1- را به عبارتی که زیر علامت حد باقی می ماند جایگزین می کنیم:

طبیعتاً در یک آزمون، آزمون یا امتحان، راه حل هرگز با این جزئیات توضیح داده نمی شود. در نسخه نهایی، طراحی باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم.

مثال 5

محاسبه حد

اول، نسخه "پایان" راه حل

بیایید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم.

صورت کسر:
مخرج:

,

چه چیزی در این مثال مهم است؟
اولاً شما باید درک خوبی از نحوه آشکار شدن شمارنده داشته باشید، ابتدا 2 را از پرانتز خارج کردیم و سپس از فرمول تفاوت مربع ها استفاده کردیم. این فرمولی است که باید بدانید و ببینید.

از مقاله بالا می توانید دریابید که محدودیت چیست و با چه چیزی خورده می شود - این بسیار مهم است. چرا؟ ممکن است متوجه نشوید که تعیین کننده ها چیست و آنها را با موفقیت حل کنید؛ ممکن است اصلاً درک نکنید که مشتق چیست و آنها را با "A" بیابید. اما اگر نمی دانید محدودیت چیست، حل وظایف عملی دشوار خواهد بود. همچنین ایده خوبی خواهد بود که با نمونه راه حل ها و توصیه های طراحی من آشنا شوید. تمام اطلاعات به صورت ساده و در دسترس ارائه شده است.

و برای اهداف این درس به مواد آموزشی زیر نیاز داریم: محدودیت های شگفت انگیزو فرمول های مثلثاتی. آنها را می توان در صفحه پیدا کرد. بهتر است کتابچه ها را چاپ کنید - بسیار راحت تر است، و علاوه بر این، اغلب مجبور خواهید بود به آنها به صورت آفلاین مراجعه کنید.

چه چیزی در مورد محدودیت های قابل توجه خاص است؟ نکته قابل توجه در مورد این محدودیت ها این است که آنها توسط بزرگترین ذهن های ریاضیدانان مشهور ثابت شده اند و فرزندان سپاسگزار مجبور نیستند از محدودیت های وحشتناکی با انبوهی از توابع مثلثاتی، لگاریتم ها و قدرت ها رنج ببرند. یعنی در زمان یافتن حدود از نتایج آماده ای که به صورت تئوری ثابت شده است استفاده می کنیم.

چندین محدودیت فوق العاده وجود دارد، اما در عمل، در 95٪ موارد، دانش آموزان پاره وقت دو محدودیت فوق العاده دارند: اولین حد فوق العاده, دومین محدودیت فوق العاده. لازم به ذکر است که اینها اسامی تثبیت شده تاریخی هستند و وقتی مثلاً از "نخستین حد قابل توجه" صحبت می کنند ، منظور آنها یک چیز کاملاً خاص است و نه محدودیت تصادفی از سقف.

اولین حد فوق العاده

محدودیت زیر را در نظر بگیرید: (به جای حرف بومی "او" از حرف یونانی "آلفا" استفاده می کنم، این از نظر ارائه مطالب راحت تر است).

طبق قانون ما برای یافتن محدودیت ها (به مقاله مراجعه کنید محدودیت ها. نمونه هایی از راه حل ها) سعی می کنیم صفر را جایگزین تابع کنیم: در صورت حساب صفر می شود (سینوس صفر صفر است) و در مخرج بدیهی است که صفر نیز وجود دارد. بنابراین با عدم قطعیت شکل مواجه هستیم که خوشبختانه نیازی به افشای آن نیست. در جریان تحلیل ریاضی ثابت می شود که:

این واقعیت ریاضی نامیده می شود اولین حد فوق العاده. من یک دلیل تحلیلی برای حد ارائه نمی کنم، اما در درس مربوط به معنای هندسی آن را بررسی خواهیم کرد. توابع بی نهایت کوچک.

اغلب در وظایف عملی، توابع را می توان به طور متفاوتی مرتب کرد، این چیزی را تغییر نمی دهد:

- همان حد فوق العاده اول.

اما شما نمی توانید صورت و مخرج را دوباره مرتب کنید! اگر محدودیتی در فرم داده شده باشد، باید به همان شکل حل شود، بدون اینکه چیزی دوباره تنظیم شود.

در عمل، نه تنها یک متغیر، بلکه یک تابع ابتدایی یا یک تابع پیچیده نیز می تواند به عنوان یک پارامتر عمل کند. تنها نکته مهم این است که به سمت صفر میل می کند.

مثال ها:
, , ,

اینجا ، ، ، ، و همه چیز خوب است - اولین محدودیت فوق العاده قابل اجرا است.

اما مدخل زیر بدعت است:

چرا؟ چون چندجمله ای به صفر تمایل ندارد، به پنج گرایش دارد.

به هر حال، یک سوال سریع: محدودیت چیست؟ ? پاسخ را می توان در انتهای درس یافت.

در عمل، همه چیز چندان هموار نیست؛ تقریباً هرگز به دانش آموز پیشنهاد نمی شود که یک محدودیت رایگان را حل کند و یک پاس آسان دریافت کند. هوم... من دارم این سطرها را می نویسم و یک فکر بسیار مهم به ذهنم خطور کرد - بالاخره بهتر است تعاریف و فرمول های ریاضی «رایگان» را به خاطر بسپارید، این می تواند کمک ارزشمندی در آزمون ارائه کند، زمانی که این سؤال انجام شود. بین "دو" و "سه" تصمیم گیری شود، و معلم تصمیم می گیرد از دانش آموز چند سوال ساده بپرسد یا برای حل یک مثال ساده پیشنهاد کند ("شاید او (ها) هنوز بداند چیست؟").

بیایید به بررسی مثال های عملی بپردازیم:

مثال 1

حد را پیدا کنید

اگر متوجه یک سینوس در حد شدیم، باید بلافاصله ما را به فکر کردن در مورد امکان اعمال اولین حد قابل توجه بیندیشیم.

ابتدا سعی می کنیم 0 را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنیم (این کار را به صورت ذهنی یا به صورت پیش نویس انجام می دهیم):

بنابراین ما یک عدم قطعیت در فرم داریم حتما نشان دهیددر تصمیم گیری عبارت زیر علامت حد شبیه به اولین حد فوق العاده است، اما این دقیقاً آن نیست، زیر سینوس است، اما در مخرج است.

در چنین مواردی، ما باید اولین محدودیت قابل توجه را خودمان با استفاده از یک تکنیک مصنوعی سازماندهی کنیم. خط استدلال می تواند به شرح زیر باشد: "تحت سینوس ما داریم ، به این معنی که ما نیز باید مخرج را وارد کنیم."
و این کار بسیار ساده انجام می شود:

یعنی مخرج به طور مصنوعی در این مورد در 7 ضرب و بر همان هفت تقسیم می شود. حالا ضبط ما شکلی آشنا به خود گرفته است.
هنگامی که کار با دست ترسیم می شود، توصیه می شود اولین حد قابل توجه را با یک مداد ساده مشخص کنید:

چی شد؟ در واقع، بیان دایره ای ما به یک واحد تبدیل شد و در کار ناپدید شد:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند خلاص شدن از شر کسری سه طبقه است:

چه کسی ساده سازی کسرهای چند سطحی را فراموش کرده است، لطفاً مطالب را در کتاب مرجع تجدید کنید. فرمول های داغ برای درس ریاضی مدرسه .

آماده. جواب نهایی:

اگر نمی خواهید از علامت مداد استفاده کنید، راه حل را می توان به این صورت نوشت:

“

بیایید از اولین محدودیت فوق العاده استفاده کنیم

“

مثال 2

حد را پیدا کنید

باز هم کسری و سینوس را در حد می بینیم. بیایید سعی کنیم صفر را با صورت و مخرج جایگزین کنیم:

در واقع، ما عدم اطمینان داریم و بنابراین، باید سعی کنیم اولین حد شگفت انگیز را سازماندهی کنیم. در درس محدودیت ها. نمونه هایی از راه حل هاما این قاعده را در نظر گرفتیم که وقتی عدم قطعیت داریم، باید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم. در اینجا هم همین است، ما درجات را به عنوان یک محصول (ضریب) نشان خواهیم داد:

مشابه مثال قبلی، ما یک مداد در اطراف حدود قابل توجه می کشیم (در اینجا دو مورد از آنها وجود دارد)، و نشان می دهیم که آنها تمایل به وحدت دارند:

در واقع، پاسخ آماده است:

در مثال‌های زیر، من در Paint هنر انجام نمی‌دهم، فکر می‌کنم چگونه یک راه‌حل را به درستی در یک نوت بوک ترسیم کنم - قبلاً متوجه شده‌اید.

مثال 3

حد را پیدا کنید

صفر را به عبارت زیر علامت حد جایگزین می کنیم:

یک عدم قطعیت به دست آمده است که باید افشا شود. اگر یک مماس در حد وجود داشته باشد، تقریبا همیشه با استفاده از فرمول مثلثاتی شناخته شده به سینوس و کسینوس تبدیل می شود (به هر حال، آنها تقریباً همان کار را با کوتانژانت انجام می دهند، به مواد روش شناختی مراجعه کنید. فرمول های مثلثاتی داغدر صفحه فرمول های ریاضی، جداول و مواد مرجع).

در این مورد:

کسینوس صفر برابر است با یک، و خلاص شدن از شر آن آسان است (فراموش نکنید که علامت بزنید که به یک میل دارد):

بنابراین، اگر کسینوس در حد یک MULTIPLIER باشد، به طور تقریبی، باید به یک واحد تبدیل شود که در محصول ناپدید می شود.

در اینجا همه چیز ساده تر شد، بدون هیچ ضرب و تقسیم. اولین محدودیت قابل توجه نیز به یک تبدیل می شود و در محصول ناپدید می شود:

در نتیجه بی نهایت به دست می آید و این اتفاق می افتد.

مثال 4

حد را پیدا کنید

بیایید سعی کنیم صفر را با صورت و مخرج جایگزین کنیم:

عدم قطعیت به دست می آید (کسینوس صفر همانطور که به یاد داریم برابر با یک است)

از فرمول مثلثاتی استفاده می کنیم. یادداشت بردار! به دلایلی، محدودیت های استفاده از این فرمول بسیار رایج است.

اجازه دهید عوامل ثابت را فراتر از نماد حد انتقال دهیم:

بیایید اولین محدودیت فوق العاده را سازماندهی کنیم:

در اینجا ما فقط یک محدودیت قابل توجه داریم که به یکی تبدیل می شود و در محصول ناپدید می شود:

بیایید از ساختار سه طبقه خلاص شویم:

حد در واقع حل شده است، ما نشان می دهیم که سینوس باقی مانده به صفر میل دارد:

مثال 5

حد را پیدا کنید

این مثال پیچیده تر است، سعی کنید خودتان آن را بفهمید:

برخی از محدودیت ها را می توان با تغییر یک متغیر به اولین حد قابل توجه کاهش داد، می توانید در این مورد کمی بعد در مقاله بخوانید. روش های حل حدود.

دومین محدودیت فوق العاده

در تئوری تحلیل ریاضی ثابت شده است که:

این واقعیت نامیده می شود دومین محدودیت فوق العاده.

ارجاع: یک عدد غیر منطقی است

پارامتر می تواند نه تنها یک متغیر، بلکه یک تابع پیچیده باشد. تنها نکته مهم این است که برای بی نهایت تلاش می کند.

مثال 6

حد را پیدا کنید

وقتی عبارت زیر علامت حد در یک درجه باشد، این اولین علامتی است که باید سعی کنید دومین حد فوق العاده را اعمال کنید.

اما ابتدا، مثل همیشه، سعی می کنیم یک عدد بی نهایت بزرگ را در عبارت جایگزین کنیم، اصلی که توسط آن انجام می شود در درس مورد بحث قرار می گیرد. محدودیت ها. نمونه هایی از راه حل ها.

به راحتی می توان متوجه شد که وقتی پایه درجه است و توان آن است ، یعنی عدم قطعیت شکل وجود دارد:

این عدم قطعیت دقیقاً با کمک دومین حد قابل توجه آشکار می شود. اما، همانطور که اغلب اتفاق می افتد، دومین حد شگفت انگیز روی یک بشقاب نقره ای قرار نمی گیرد و باید به طور مصنوعی سازماندهی شود. شما می توانید به صورت زیر دلیل کنید: در این مثال پارامتر . برای این کار، پایه را به پاور می بریم و برای اینکه عبارت تغییر نکند، آن را به پاور می بریم:

وقتی کار با دست کامل شد، با مداد علامت می زنیم:

تقریباً همه چیز آماده است، درجه وحشتناک به یک نامه زیبا تبدیل شده است:

در این حالت خود آیکون حد را به نشانگر منتقل می کنیم:

مثال 7

حد را پیدا کنید

توجه! این نوع محدودیت اغلب اتفاق می افتد، لطفا این مثال را با دقت مطالعه کنید.

بیایید سعی کنیم یک عدد بی نهایت بزرگ را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنیم:

نتیجه عدم قطعیت است. اما محدودیت قابل توجه دوم در مورد عدم قطعیت فرم اعمال می شود. چه باید کرد؟ باید پایه مدرک را تبدیل کنیم. ما اینگونه استدلال می کنیم: در مخرج که داریم، به این معنی که در صورت نیز باید سازماندهی کنیم.