معنای هندسی مفهوم مشتق. معنای هندسی مشتق

مشتق تابع f (x) در نقطه x0 حد (اگر وجود داشته باشد) نسبت افزایش تابع در نقطه x0 به افزایش آرگومان Δx است، اگر افزایش آرگومان تمایل به صفر است و با f '(x0) نشان داده می شود. عمل یافتن مشتق تابع را تمایز می گویند.
مشتق تابع دارد معنای فیزیکی: مشتق یک تابع در یک نقطه معین - نرخ تغییر تابع در یک نقطه معین.

معنای هندسی مشتق. مشتق در نقطه x0 برابر است با شیب مماس بر نمودار تابع y=f(x) در این نقطه.

معنای فیزیکی مشتق.اگر نقطه ای در امتداد محور x حرکت کند و مختصات آن طبق قانون x(t) تغییر کند، آنگاه سرعت لحظه ای نقطه:

مفهوم دیفرانسیل، خواص آن. قوانین تمایز مثال ها.

تعریف.دیفرانسیل یک تابع در نقطه ای x قسمت اصلی و خطی افزایش تابع است. دیفرانسیل تابع y = f(x) برابر است با حاصلضرب مشتق آن و افزایش متغیر مستقل x ( بحث و جدل).

اینگونه نوشته شده است:

یا

یا

خواص دیفرانسیل
دیفرانسیل دارای خواصی شبیه به مشتقات است:

به قوانین اساسی تمایزعبارتند از:
1) خارج کردن عامل ثابت از علامت مشتق
2) مشتق از مجموع، مشتق از تفاوت
3) مشتق حاصلضرب توابع
4) مشتق ضریب دو تابع (مشتق کسری)

مثال ها.
بیایید فرمول را ثابت کنیم: با تعریف مشتق، داریم:

یک عامل دلخواه را می توان از علامت عبور به حد خارج کرد (این از خواص حد معلوم است) بنابراین

برای مثال:مشتق تابع را بیابید
راه حل:از قاعده خارج کردن ضرب از علامت مشتق استفاده می کنیم :

اغلب اوقات لازم است ابتدا شکل یک تابع متمایز را ساده کنیم تا از جدول مشتقات و قوانین یافتن مشتقات استفاده کنیم. مثال های زیر به وضوح این موضوع را تایید می کنند.

فرمول های تمایز کاربرد دیفرانسیل در محاسبات تقریبی. مثال ها.

استفاده از دیفرانسیل در محاسبات تقریبی امکان استفاده از دیفرانسیل را برای محاسبات تقریبی مقادیر تابع می دهد.
مثال ها.
با استفاده از دیفرانسیل، تقریباً محاسبه کنید
برای محاسبه این مقدار، از فرمول تئوری استفاده می کنیم
اجازه دهید تابع a را معرفی کنیم مقدار را تنظیم کنیددر فرم نشان دهند
سپس محاسبه کنید

با جایگزینی همه چیز در فرمول، در نهایت به دست می آوریم
پاسخ:

16. قانون L'Hopital برای افشای عدم قطعیت ها به شکل 0/0 یا ∞/∞. مثال ها.
حد نسبت دو بی نهایت کوچک یا دو کمیت بی نهایت بزرگ برابر است با حد نسبت مشتقات آنها.

17. توابع افزایش و کاهش. حداکثر عملکرد الگوریتم مطالعه یک تابع برای یکنواختی و اکسترم. مثال ها.

عملکرد افزایشدر یک بازه اگر برای هر دو نقطه از این بازه که با رابطه مرتبط شوند، نابرابری درست است. یعنی مقدار بزرگتر آرگومان مربوط به مقدار بزرگتر تابع است و نمودار آن از پایین به بالا می رود. تابع نمایشی در طول بازه زمانی رشد می کند

به همین ترتیب، تابع در حال کاهشدر یک بازه اگر برای هر دو نقطه از بازه داده شده، به طوری که، نابرابری درست است. یعنی مقدار بزرگتر آرگومان مربوط به مقدار کوچکتر تابع است و نمودار آن از بالا به پایین می رود. مال ما در فواصل زمانی کاهش می یابد .

افراطنقطه حداکثر نقطه تابع y=f(x) نامیده می شود که نابرابری برای همه x از همسایگی آن صادق باشد. مقدار تابع در نقطه حداکثر نامیده می شود حداکثر عملکردو دال بر .
اگر نابرابری برای همه x از همسایگی آن صادق باشد، نقطه حداقل تابع y=f(x) نامیده می شود. مقدار تابع در نقطه حداقل نامیده می شود حداقل عملکردو دال بر .
همسایگی یک نقطه به عنوان فاصله درک می شود ، جایی که یک عدد مثبت به اندازه کافی کوچک است.
حداقل و حداکثر نقاط را نقاط اکسترموم و مقادیر تابع مربوط به نقاط منتهی به نام نامیده می شوند. عملکرد افراطی.

برای کشف یک تابع برای یکنواختیاز نمودار زیر استفاده کنید:
- محدوده تابع را پیدا کنید.
- مشتق تابع و دامنه مشتق را بیابید.
- صفرهای مشتق را بیابید، i.e. مقدار آرگومانی که در آن مشتق برابر با صفر است.
- روی خط اعداد علامت بزنید بخش کلیدامنه تابع و دامنه مشتق آن، و روی آن - صفرهای مشتق.
- علائم مشتق را در هر یک از فواصل به دست آمده مشخص کنید.
- با نشانه های مشتق، مشخص کنید که در چه بازه هایی تابع افزایش و در کدام فاصله کاهش می یابد.
- شکاف های مناسب را که با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند، ثبت کنید.

الگوریتم مطالعه تابع پیوسته y = f(x) برای یکنواختی و اکسترم:
1) مشتق f ′(x) را بیابید.
2) نقاط ثابت (f ′(x) = 0) و بحرانی (f ′(x) وجود ندارد) تابع y = f(x) را بیابید.
3) نقاط ثابت و بحرانی را روی خط واقعی علامت بزنید و علائم مشتق را در فواصل حاصل مشخص کنید.
4) در مورد یکنواختی تابع و نقاط انتهایی آن نتیجه گیری کنید.

18. تحدب یک تابع. نقاط عطف الگوریتم برای بررسی یک تابع برای تحدب (تعریف) مثال.

محدب به پاییندر بازه X، اگر نمودار آن در هر نقطه از بازه X کمتر از مماس بر آن نباشد.

تابع متمایز نامیده می شود محدبدر بازه X، اگر نمودار آن در هیچ نقطه ای از بازه X بالاتر از مماس بر آن نباشد.

فرمول نقطه نامیده می شود نقطه عطف نمودارتابع y \u003d f (x)، اگر در یک نقطه مماس بر نمودار تابع وجود داشته باشد (می تواند با محور Oy موازی باشد) و چنین همسایگی فرمول نقطه وجود داشته باشد که در آن نمودار از تابع جهات تحدب متفاوتی به سمت چپ و راست نقطه M دارد.

یافتن فواصل برای تحدب:

اگر تابع y=f(x) مشتق دوم محدودی روی بازه X داشته باشد و اگر نابرابری ()، سپس نمودار تابع دارای تحدب به سمت پایین (بالا) روی X است.
این قضیه به شما امکان می دهد فواصل تقعر و تحدب یک تابع را پیدا کنید، فقط باید نابرابری ها و به ترتیب در حوزه تعریف تابع اصلی را حل کنید.

مثال: فواصل نمودار تابع را بیابید فواصل نمودار تابع را پیدا کنید دارای یک تحدب به سمت بالا و یک تحدب به سمت پایین است. دارای یک تحدب به سمت بالا و یک تحدب به سمت پایین است.
راه حل:دامنه این تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است.
بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم.

دامنه تعریف مشتق دوم با دامنه تعریف تابع اصلی منطبق است، بنابراین برای پی بردن به فواصل تقعر و تحدب کافی است به ترتیب حل و فصل شود. بنابراین، تابع در فرمول بازه محدب رو به پایین و در فرمول بازه به سمت بالا محدب است.

19) مجانب یک تابع. مثال ها.

دایرکت تماس گرفت مجانب عمودینمودار تابع در صورتی که حداقل یکی از مقادیر حدی یا برابر با یا باشد.

اظهار نظر.خط نمی تواند مجانبی عمودی باشد اگر تابع در . بنابراین مجانب عمودی را باید در نقاط ناپیوستگی تابع جستجو کرد.

دایرکت تماس گرفت مجانب افقینمودار تابع اگر حداقل یکی از مقادیر حدی یا برابر باشد.

اظهار نظر.یک نمودار تابع فقط می تواند مجانبی افقی راست یا فقط چپ داشته باشد.

دایرکت تماس گرفت مجانب مایلنمودار تابع if

مثال:

ورزش.مجانبی از نمودار یک تابع را پیدا کنید

راه حل.محدوده عملکرد:

الف) مجانب عمودی: خط مستقیم مجانبی عمودی است، زیرا

ب) مجانب افقی: حد تابع را در بی نهایت پیدا می کنیم:

یعنی هیچ مجانبی افقی وجود ندارد.

ج) مجانب مایل:

بنابراین مجانب مایل عبارت است از: .

پاسخ.مجانب عمودی یک خط مستقیم است.

مجانب مایل یک خط مستقیم است.

20) طرح کلیمطالعات تابع و رسم مثال.

آ.
ODZ و نقاط شکست تابع را پیدا کنید.

ب نقاط تلاقی نمودار تابع با محورهای مختصات را پیدا کنید.

2. مطالعه تابع را با استفاده از مشتق اول انجام دهید، یعنی نقاط انتهایی تابع و فواصل افزایش و کاهش را بیابید.

3. تابع را با استفاده از مشتق مرتبه دوم بررسی کنید، یعنی نقاط عطف نمودار تابع و فواصل تحدب و تقعر آن را بیابید.

4. مجانب نمودار تابع را بیابید: الف) عمودی، ب) مایل.

5. بر اساس مطالعه، نموداری از تابع بسازید.

توجه داشته باشید که قبل از رسم نمودار، تعیین اینکه آیا عملکرد داده شدهزوج یا فرد.

به یاد داشته باشید که یک تابع فراخوانی می شود حتی اگر مقدار تابع با تغییر علامت آرگومان تغییر نکند: f(-x) = f(x)و یک تابع اگر فرد نامیده می شود f(-x) = -f(x).

در این مورد، مطالعه تابع و ساخت نمودار آن برای مقادیر مثبت آرگومان که متعلق به ODZ است، کافی است. با مقادیر منفی آرگومان، نمودار بر این اساس تکمیل می شود که برای یک تابع زوج متقارن با محور است. اوه، و برای فرد با توجه به مبدا.

مثال ها.توابع را کاوش کرده و نمودارهای آنها را بسازید.

محدوده عملکرد D(y)= (–∞؛ +∞).هیچ نقطه شکستی وجود ندارد.

تقاطع محور گاو نر: ایکس = 0,y= 0.

تابع فرد است، بنابراین، می توان آن را فقط در بازه مطالعه کرد و آرگومان آن بر حسب واحد [x] است، سپس مشتق (سرعت) در واحد اندازه گیری می شود.

وظیفه 6

ایکس(تی) = 6تی 2 − 48تی+ 17، کجا ایکس تی تی= 9 ثانیه

یافتن مشتق
ایکس"(تی) = (6تی 2 − 48تی + 17)" = 12تی − 48.
بنابراین، ما وابستگی سرعت به زمان را بدست آورده ایم. برای یافتن سرعت در یک نقطه زمانی معین، باید مقدار آن را در فرمول حاصل جایگزین کنید:
ایکس"(تی) = 12تی − 48.
ایکس"(9) = 12 9 − 48 = 60.

پاسخ: 60

اظهار نظر: دقت کنیم که در ابعاد کمیت ها اشتباه نکرده باشیم. در اینجا واحد فاصله (تابع) [x] = متر، واحد زمان (آدرس تابع) [t] = ثانیه، از این رو واحد مشتق = [m/s]، یعنی. مشتق سرعت را فقط در واحدهایی می دهد که در سوال مسئله ذکر شده است.

وظیفه 7

نقطه مادی طبق قانون در یک خط مستقیم حرکت می کند ایکس(تی) = −تی 4 + 6تی 3 + 5تی+ 23، کجا ایکس- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه، از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن را (بر حسب متر بر ثانیه) در آن زمان بیابید تی= 3 ثانیه

یافتن مشتق
ایکس"(تی) = (−تی 4 + 6تی 3 + 5تی + 23)" = −4تی 3 + 18تی 2 + 5.
لحظه زمان داده شده را در فرمول به دست آمده جایگزین می کنیم
ایکس"(3) = -4 3 3 + 18 3 2 + 5 = -108 + 162 + 5 = 59.

پاسخ: 59

وظیفه 8

نقطه مادی طبق قانون در یک خط مستقیم حرکت می کند ایکس(تی) = تی 2 − 13تی+ 23، کجا ایکس- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه، از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت او در چه مقطع زمانی (بر حسب ثانیه) برابر با 3 متر بر ثانیه بود؟

یافتن مشتق
ایکس"(تی) = (تی 2 − 13تی + 23)" = 2تی − 13.
سرعت داده شده با فرمول به دست آمده را با مقدار 3 m/s برابر می کنیم.
2تی − 13 = 3.
با حل این معادله، تعیین می کنیم که در چه زمانی برابری درست است.
2تی − 13 = 3.
2تی = 3 + 13.
تی = 16/2 = 8.

پاسخ: 8

وظیفه 9

نقطه مادی طبق قانون در یک خط مستقیم حرکت می کند ایکس(تی) = (1/3)تی 3 − 3تی 2 − 5تی+ 3، کجا ایکس- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه، از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت او در چه نقطه ای از زمان (بر حسب ثانیه) برابر با 2 متر بر ثانیه بود؟

یافتن مشتق
ایکس"(تی) = ((1/3)تی 3 − 3تی 2 − 5تی + 3)" = تی 2 − 6تی − 5.
ما همچنین یک معادله می سازیم:
تی 2 − 6تی − 5 = 2;
تی 2 − 6تی − 7 = 0.
این معادله درجه دومکه می توان آن را بر حسب ممیز یا قضیه ویتا حل کرد. در اینجا، به نظر من، راه دوم راحت تر است:
تی 1 + تی 2 = 6; تییک · تی 2 = −7.
حدس زدن آن آسان است تی 1 = −1; تی 2 = 7.
ما فقط ریشه مثبت را در پاسخ قرار می دهیم، زیرا زمان نمی تواند منفی باشد