انتظارات ریاضی متغیر تصادفی داده شده را پیدا کنید. فرمول انتظارات ریاضی

ویژگی های DSV و خواص آنها. انتظارات ریاضی، پراکندگی، سرعت

قانون توزیع به طور کامل یک مقدار تصادفی را مشخص می کند. با این حال، ممکن است قانون توزیع را پیدا کنید، یا لازم نیست، ممکن است محدودیت های پیدا کردن مقادیر، به نام ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی را محدود کنید. این مقادیر برخی از مقادیر متوسط \u200b\u200bرا تعیین می کنند که مقادیر واریانس تصادفی گروه بندی می شوند و درجه پراکندگی آنها در اطراف این میانگین است.

انتظارات ریاضی متغیر تصادفی گسسته مقدار آثار تمام مقادیر احتمالی واریانس تصادفی بر احتمال احتمال آن نامیده می شود.

انتظارات ریاضی وجود دارد اگر یک ردیف ایستاده در قسمت راست برابری به طور کامل همگرا باشد.

از نقطه نظر احتمالی می توان گفت که انتظار می رود تقریبا برابر با میانگین محاسبات مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی باشد.

مثال. قانون توزیع متغیر تصادفی گسسته شناخته شده است. انتظارات ریاضی را پیدا کنید.

تصمیم گیری:

9.2 خواص انتظارات ریاضی

1. انتظارات ریاضی ارزش دائمی برابر با ثابت ترین است.

2. یک ضریب دائمی می تواند برای نشانه ای از انتظارات ریاضی ساخته شود.

3. انتظارات ریاضی کار دو متغیر تصادفی مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی آنها است.

این ویژگی برای تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی معتبر است.

4. انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی اجزاء است.

این ویژگی نیز برای تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی معتبر است.

اجازه دهید N از آزمون های مستقل، احتمال ظهور یک رویداد و در آن r.

قضیه انتظار ریاضی M (x) تعداد رویدادها و در آزمون های مستقل N برابر با محصول تعداد تست ها در احتمال رویداد در هر آزمون است.

مثال. انتظار می رود انتظار یک متغیر تصادفی Z، اگر انتظارات شناخته شده X و Y: M (x) \u003d 3، m (y) \u003d 2، z \u003d 2x + 3Y.

تصمیم گیری:

9.3 پراکندگی متغیر تصادفی گسسته

با این حال، انتظارات ریاضی نمی تواند به طور کامل فرایند تصادفی را مشخص کند. علاوه بر انتظارات ریاضی، لازم است یک مقدار را مشخص کنیم که انحراف واریانس تصادفی از انتظارات ریاضی را مشخص می کند.

این انحراف برابر با تفاوت بین متغیر تصادفی و انتظارات ریاضی آن است. در این مورد، انتظار ریاضی از انحراف صفر است. این به این واقعیت توضیح داده شده است که برخی از انحرافات احتمالی مثبت هستند، دیگران منفی هستند، و در نتیجه بازپرداخت متقابل آنها صفر می شود.

پراکندگی (پراکندگی) یک متغیر تصادفی گسسته، انتظار ریاضی برای مربع انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن است.

در عمل، این روش محاسبه پراکندگی ناخوشایند است، زیرا علل زیادی از مقادیر تصادفی به محاسبات بزرگ است.

بنابراین، روش دیگری اعمال می شود.

قضیه پراکندگی برابر با تفاوت بین انتظارات ریاضی مربع متغیر تصادفی X و مربع انتظارات ریاضی آن است.

شواهد و مدارک. با این واقعیت که انتظارات ریاضی M (X) و مربع انتظارات ریاضی M 2 (X) - مقادیر دائمی می تواند نوشته شود:

مثال. پراکندگی متغیر تصادفی گسسته را با توجه به قانون توزیع پیدا کنید.

تصمیم گیری :.

9.4 خواص پراکندگی

1. پراکندگی یک مقدار ثابت صفر است. .

2. چند ضلعی ثابت را می توان برای علامت پراکندگی ساخته شده، خوردن آن به یک مربع. .

3. پراکندگی مجموع دو متغیر تصادفی مستقل برابر با میزان پراکندگی این مقادیر است. .

4. پراکندگی تفاوت دو متغیر تصادفی مستقل برابر با مقدار پراکندگی این مقادیر است. .

قضیه پراکندگی تعداد رویدادهای A در آزمایش های مستقل، در هر کدام احتمال ظهور یک رویداد ثابت است، برابر با محصول تعداد آزمایشات در احتمال ظهور و گسل رویداد در هر یکسان است تست.

9.5 میانگین انحراف درجه دوم یک متغیر تصادفی گسسته

انحراف متوسط \u200b\u200bدرجه دوم واریانس تصادفی یک ریشه مربع از پراکندگی نامیده می شود.

قضیه میانگین انحراف درجه دوم مقدار تعداد نهایی متغیرهای تصادفی مستقل مستقل برابر با ریشه مربع از مجموع مربعات میانگین انحرافات درجه دوم این مقادیر است.

قانون توزیع به طور کامل یک مقدار تصادفی را مشخص می کند. با این حال، قانون توزیع ناشناخته است و باید به اطلاعات کمتری محدود شود. گاهی اوقات آن را حتی سودمندتر از اعداد است که مجموع مقدار تصادفی را توصیف می کنند، چنین تعداد نامیده می شود ویژگی های عددی متغیر تصادفی یکی از ویژگی های عددی مهم شامل انتظارات ریاضی است.

انتظارات ریاضی، همانطور که بیشتر نشان داده می شود، تقریبا برابر با مقدار متوسط \u200b\u200bمتغیر تصادفی است. برای حل بسیاری از وظایف، کافی است که انتظارات ریاضی را بدانیم. به عنوان مثال، اگر شناخته شده باشد، انتظار می رود که انتظارات ریاضی از تعداد نقاط شکسته در فلش اول بیشتر از دوم باشد، اولین فلش به طور متوسط \u200b\u200bامتیاز بیشتری نسبت به دوم دارد و بنابراین بهتر است آن را بهتر بچرخاند.

تعریف 4.1: انتظارات ریاضی واریانس تصادفی گسسته، مقدار محصولات تمامی مقادیر ممکن را برای احتمالات آنها فراخوانی می کند.

مقدار تصادفی را بگذارید ایکس. می تواند تنها ارزش ها را بگیرد x 1، x 2، ... x nاحتمال احتمالی آن برابر است p 1، P 2، ... p n.سپس انتظارات ریاضی متر (X.) متغیر تصادفی ایکس. تعیین شده توسط برابری

m (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n.

Esley مقدار تصادفی گسسته ایکس. یک مجموعه قابل شمارش از مقادیر احتمالی را می گیرد، سپس

,

علاوه بر این، انتظارات ریاضی وجود دارد اگر ردیف در سمت راست برابری به طور کامل همگرا باشد.

مثال.یک انتظار ریاضی از تعداد رویدادها را پیدا کنید آ.در یک آزمون، اگر احتمال یک رویداد باشد آ. برابر پ..

تصمیم گیری: مقدار تصادفی ایکس. - تعداد رویدادها آ. توزیع Bernoulli را دارد

به این ترتیب، انتظارات ریاضی تعداد رویدادها در یک آزمون برابر با احتمال این رویداد است..

معنای احتمالی انتظارات ریاضی

اجازه دهید تولید شود n. تست هایی که در آن یک مقدار تصادفی ایکس. پذیرفته شده متر 1 یک بار ارزش x 1, متر 2 یک بار ارزش x 2 ,…, m k. یک بار ارزش x k.و m 1 + m 2 + ... + m k \u003d n. سپس مجموع تمام ارزش ها را تصویب کرد ایکس.، برابر x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k .

میانگین محاسباتی تمام مقادیر تصویب شده توسط یک متغیر تصادفی خواهد بود

نگرش m i / n- فراوانی نسبی W I. ارزش های x I.تقریبا برابر با احتمال وقوع حوادث p I.جایی که ، بنابراین

معنای احتمالی نتیجه حاصل شده است: انتظارات ریاضی تقریبا برابر است (دقیق تر، تعداد بیشتر آزمون ها) محاسبات متوسط \u200b\u200bمقادیر تصادفی را مشاهده کرد.

خواص انتظارات ریاضی

املاک 1:انتظارات ریاضی ارزش دائمی برابر با ثابت ترین است

املاک 2:ضریب دائمی می تواند برای نشانه ای از انتظارات ریاضی ساخته شود.

تعریف 4.2: دو متغیر تصادفی به نام مستقلاگر قانون توزیع یکی از آنها به مقادیر احتمالی ارزش دیگر دریافت نمی شود. در غیر این صورت متغیرهای تصادفی وابسته هستند.

تعریف 4.3: چندین متغیر تصادفی زنگ زدن متقابلا مستقلاگر قوانین توزیع هر تعداد از آنها بستگی ندارد که مقادیر احتمالی ارزش های باقی مانده باشد.

املاک 3:انتظارات ریاضی از کار دو متغیر تصادفی مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی آنها است.

نتیجه: انتظار ریاضی از کار چندین متغیرهای تصادفی مستقل مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی آنها است.

املاک 4:انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی آنها است.

نتیجه: انتظار ریاضی از مجموع چندین متغیر تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی آنها است.

مثال.محاسبه انتظارات ریاضی متغیر تصادفی دوتایی ایکس -تعداد این رویداد آ. که در n. آزمایش.

تصمیم گیری: تعداد کل ایکس. ظاهر رویداد آ. در این آزمایش ها، از تعداد رویدادهای آزمایش های فردی تشکیل شده است. ما متغیرهای تصادفی را معرفی می کنیم x I. - تعداد رویدادها در من.تست های WED که مقادیر تصادفی Bernoullievish با انتظارات ریاضی است که در آن . توسط اموال انتظارات ریاضی ما داریم

به این ترتیب، انتظار ریاضی توزیع دوتایی با پارامترهای N و P برابر با محصول NP است.

مثال.احتمال ضربه زدن به هدف هنگام عکسبرداری از تفنگ p \u003d 0.6اگر 10 عکس تولید شود، انتظارات ریاضی از تعداد کل بازدید ها را پیدا کنید.

تصمیم گیری: تماس با هر شات مستقل از دیگر عکس های نتیجه است، بنابراین حوادث مستقل هستند و از این رو، انتظار مطلوب است

انتظارات ریاضی تعریف است

صبر کن یکی از مهمترین مفاهیم در آمار ریاضی و نظریه احتمالات، که توزیع ارزش ها را مشخص می کند ذاتا متغیر تصادفی معمولا به عنوان مقدار میانگین وزنی از تمام پارامترهای واریانس تصادفی ممکن است بیان شده است. این به طور گسترده ای در انجام تجزیه و تحلیل فنی، مطالعه ردیف های عددی، مطالعه فرآیندهای مداوم و بلند مدت استفاده می شود. مهم است که ارزیابی خطرات، پیش بینی شاخص های قیمت در تجارت در بازارهای مالی، در توسعه استراتژی ها و روش های تاکتیک های بازی استفاده می شود نظریه قمار.

انتظار مات - این هستمقدار متوسط \u200b\u200bمتغیر تصادفی، توزیع ذاتا واریانس تصادفی در نظریه احتمال در نظر گرفته شده است.

صبر کناندازه گیری مقدار متوسط \u200b\u200bمتغیر تصادفی در نظریه احتمال. مات منتظر یک متغیر تصادفی است ایکس. نشان دادن متر (x).

انتظارات ریاضی (میانگین جمعیت) است

صبر کن

صبر کن در تئوری احتمال، مقدار متوسط \u200b\u200bوزن تمام مقادیر احتمالی این مقدار تصادفی می تواند باشد.

صبر کنمقدار آثار تمام مقادیر احتمالی واریانس تصادفی در احتمال این ارزش ها.

انتظارات ریاضی (میانگین جمعیت) است

صبر کن به طور متوسط \u200b\u200bسود از یک یا چند راه حل، ارائه شده است که چنین راه حل را می توان در چارچوب نظریه اعداد بزرگ و یک فاصله طولانی در نظر گرفته شده است.

صبر کندر تئوری قمار، مقدار برندهای که می تواند به طور متوسط، به طور متوسط، به طور متوسط \u200b\u200bکسب و یا از دست بدهد. در زبان قمار محققی گاهی اوقات "مزیت" نامیده می شود محققی"(اگر برای دلالان مثبت باشد) یا" مزیت کازینو "(اگر آن را منفی منفی باشد).

انتظارات ریاضی (میانگین جمعیت) است

هر یک از ارزش های جداگانه به طور جداگانه به طور کامل توسط تابع توزیع آن تعیین می شود. همچنین، برای حل وظایف عملی، به اندازه کافی برای شناخت چندین ویژگی عددی وجود دارد، به طوری که فرصتی برای ارائه ویژگی های اصلی یک متغیر تصادفی به صورت مختصر وجود دارد.

این مقادیر به طور عمده ذکر شده است. ارزش مورد انتظار و پراکندگی .

ارزش مورد انتظار - میانگین میانگین واریانس تصادفی در تئوری احتمال. نشان می دهد که چگونه.

ساده ترین راه به انتظارات ریاضی متغیر تصادفی x (w)، پیدا کردن به عنوان انتگرالlebesgue در رابطه با احتمال r منبع فضای احتمالی

هنوز انتظار ریاضی از مقدار را پیدا کنید انتگرال Lebesgue از جانب h. توسط توزیع احتمالات R H. ارزش های ایکس.:

کجا - مجموعه ای از تمام مقادیر ممکن است ایکس..

انتظارات ریاضی توابع از متغیر تصادفی ایکس. قفل شده از طریق توزیع R H.. مثلا، اگر یک ایکس. - مقدار تصادفی با مقادیر در و f (x) - یکپارچه borelevskayaتابع H. ، سپس:

اگر یک f (x) - تابع توزیع ایکس.سپس انتظارات ریاضی تصور می شود انتگرالLebesga - Stilletes (یا Riemann - Stilly):

در این مورد، یکپارچگی ایکس. به لحاظ ( * ) مربوط به انتگرال اندام است

در موارد خاص، اگر ایکس. توزیع گسسته با مقادیر احتمالی دارد x k., k \u003d 1، 2. ، و احتمالات، پس از آن

اگر یک ایکس. این توزیع کاملا مداوم با تراکم احتمالی دارد p (x)T.

در عین حال، وجود انتظارات ریاضی معادل همگرایی مطلق سری یا انتگرال است.

خواص انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی.

• انتظارات ریاضی ارزش دائمی برابر با این مقدار است:

C.- مقدار ثابت؛

• m \u003d c.m [x]

• انتظار ریاضی از مقدار مقادیر به طور تصادفی گرفته شده برابر با مجموع انتظارات ریاضی آنها است:

• انتظار ریاضی از کار مستقل به صورت تصادفی به طور تصادفی گرفته شده \u003d محصول انتظارات ریاضی آنها:

m \u003d m [x] + m [y]

اگر یک ایکس. و Y. مستقل.

اگر یک عدد همگرا باشد:

الگوریتم برای محاسبه انتظارات ریاضی.

خواص متغیرهای تصادفی گسسته: تمام مقادیر آنها را می توان با اعداد طبیعی اجاره کرد. هر مقدار برای معادله احتمال به غیر از صفر.

1. به نوبه خود، جفت را روشن کنید: x I. در p I..

2. ما محصول هر جفت را بارگذاری می کنیم x من.

سابقبرای n. = 4 :

تابع توزیع تصادفی گسسته گام، آن را با پرش در آن نقاط افزایش می دهد که احتمالات آن علامت مثبت است.

مثال:یک انتظار ریاضی را با فرمول پیدا کنید.

متغیر تصادفی آنها مقدار متغیر را فرا می گیرند، که به عنوان یک نتیجه از هر آزمون، یک مقدار پیش از ناشناخته را به دست می آورد، بسته به علل تصادفی. متغیرهای تصادفی با حروف لاتین سرمایه نشان داده شده است: $ X، \\ Y، \\ z، \\ dots $ در متغیرهای تصادفی آن می تواند باشد گسسته و مداوم.

تنوع تصادفی گسسته - این یک مقدار تصادفی است، مقادیر که می تواند بیش از قابل شمارش باشد، یعنی پایان یا قابل شمارش. شمارش پذیری به این معنی است که مقادیر متغیر تصادفی می تواند افزایش یابد.

مثال 1 . ما نمونه هایی از متغیرهای تصادفی گسسته را ارائه می دهیم:

الف) تعداد بازدید ها در هدف با $ n $ عکس، در اینجا مقادیر احتمالی 0، \\ 1، \\ \\ dots، \\ n $ است.

ب) تعداد سکه های خالی سکه ها، در اینجا مقادیر احتمالی 0، \\ 1، \\ \\ dots، \\ n $ وجود دارد.

ج) تعداد کشتی های ورود در هیئت مدیره (شمارش بسیاری از ارزش ها).

د) تعداد تماس های ورود به PBX (مقادیر زیادی از مقادیر).

1. قانون توزیع واریانس تصادفی گسسته احتمالی.

مقدار تصادفی گسسته $ x $ ممکن است ارزش $ x_1، \\ dots، \\ x_n $ با احتمالات $ p \\ left (x_1 \\ right)، \\ \\ dots، \\ p \\ left (x_n \\ right) $. انطباق بین این مقادیر و احتمالات آنها نامیده می شود متغیر تصادفی گسسته. به عنوان یک قانون، این مکاتبات با استفاده از جدول تنظیم شده است، در ردیف اول که مقادیر $ x_1، \\ dots، \\ x_n $ مشخص شده است، و در خط دوم مربوط به این مقادیر احتمال احتمال $ p_1، \\ dots، \\ p_n $.

$ \\ شروع (آرایه) (| C | C |)
\\ hly
x_i & x_1 و x_2 \\\\ dots & x_n \\\\
\\ hly
p_i & p_1 & p_2 & \\ dots & p_n \\\\
\\ hly
\\ end (آرایه) $

مثال 2 . مقدار تصادفی $ x $ را بگذارید - تعداد عینک ها هنگام گرفتن یک مکعب بازی کاهش یافته است. چنین مقدار تصادفی از $ x $ می تواند مقادیر زیر را از $ 1، \\ 2، \\ 3، \\ 4، \\ 5، \\ 6 $ مصرف کند. احتمالات تمام این مقادیر برابر با $ 1/6 $ است. سپس قانون توزیع واریانس تصادفی $ x $

$ \\ شروع (آرایه) (| C | C |)
\\ hly
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\\ hly

\\ hly
\\ end (آرایه) $

اظهار نظر. از آنجا که قانون توزیع متغیر تصادفی گسسته $ x $ $ 1 \\ 2، \\ dots، \\ $ 6 یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهد، مجموع احتمالات باید برابر با Unity، یعنی $ \\ sum (P_i ) \u003d 1 دلار

2. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته.

انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی ارزش "مرکزی" آن را مشخص می کند. برای یک متغیر تصادفی گسسته، صبر ریاضی به عنوان مقدار محصولات ارزش $ x_1، \\ dots، \\ x_n $ به این مقادیر احتمال $ p_1، \\ dots، \\ p_n $ محاسبه می شود ، این است: $ m \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) $. در ادبیات زبان انگلیسی، از یک نام دیگر استفاده کنید $ e \\ left (x \\ right) $.

خواص انتظارات ریاضی $ m \\ سمت چپ (x \\ right) $:

1. $ m \\ left (x \\ right) $ بین کوچکترین و بزرگترین مقادیر یک مقدار تصادفی از $ x $ به پایان می رسد.
2. انتظارات ریاضی از ثابت برابر با خود ثابت است، I.E. $ m \\ سمت چپ (c \\ right) \u003d c $.
3. یک ضریب دائمی می تواند برای نشانه ای از انتظارات ریاضی ساخته شود: $ m \\ left (CX \\ Right) \u003d cm \\ left (x \\ right) $.
4. انتظار ریاضی از مقدار متغیرهای تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی خود است: $ m \\ سمت چپ (x + y \\ \\ right) \u003d m \\ left (x \\ right) + m \\ left (y \\ right) $.
5. انتظار ریاضی از محصول متغیرهای تصادفی مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی خود است: $ m \\ سمت چپ (xy \\ right) \u003d m \\ left (x \\ right) m \\ left (y \\ right) $.

مثال 3 . ما انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی از $ x $ را از نمونه ای از $ 2 $ پیدا می کنیم.

$$ m \\ left (x \\ right) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) \u003d 1 \\ cdot ((1) \\ over (6)) + 2 \\ cdot ((1) \\ بیش از (6) ) +3 \\ CDOT ((1) \\ بیش از (6)) + 4 \\ CDOT ((1) \\ بیش از (6)) + 5 \\ CDOT ((1) \\ بیش از (6)) + 6 \\ cdot ((1 ) \\ بیش از (6)) \u003d 3.5 $$

ما می توانیم متوجه شویم که $ m \\ left (x \\ right) $ بین کوچکترین ($ 1 $) و بزرگترین ($ 6 $) توسط مقادیر یک مقدار تصادفی $ x $ به پایان می رسد.

مثال 4 . شناخته شده است که انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی از $ x $ $ m \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d $ 2 است. یک انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی از $ 3X + $ 5 را پیدا کنید.

با استفاده از خواص فوق، ما $ m \\ left (3x + 5 \\ right) \u003d m \\ left (3x \\ right) + m \\ left (5 \\ right) \u003d 3m \\ left (x \\ right) + 5 \u003d 3 \\ CDOT 2 + 5 \u003d 11 $.

مثال 5 . شناخته شده است که انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی از $ x $ $ m \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d 4 دلار است. یک انتظار ریاضی از یک نوع تصادفی از $ 2x-9 $ را پیدا کنید.

با استفاده از خواص فوق، ما $ m \\ left (2x-9 \\ right) \u003d m \\ left (2x \\ right) -m \\ left (9 \\ right) \u003d 2m \\ left (x \\ right) -9 \u003d 2 \\ CDOT 4 -9 \u003d -1 $.

3. پراکندگی متغیر تصادفی گسسته.

مقادیر احتمالی متغیرهای تصادفی با انتظارات ریاضی برابر می تواند متفاوت از مقادیر متوسط \u200b\u200bآنها باشد. به عنوان مثال، در دو گروه دانشجویی، نمره متوسط \u200b\u200bامتحان در مورد تئوری احتمالی برابر با 4 بود، اما در همان گروه، همه چیز خوب بود، و در گروه دیگری - تنها سه ترینس و دانش آموزان عالی بود. بنابراین، نیاز به چنین مشخصه عددی یک متغیر تصادفی وجود دارد که پراکندگی مقادیر تصادفی را در اطراف انتظارات ریاضی خود نشان می دهد. این ویژگی پراکندگی است.

متغیر تصادفی گسسته پراکندگی $ x $ برابر است:

$ $ d \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (\\ left (x_i-m \\ left (x \\ right) \\ right)) ^ 2). \\ $$

در ادبیات انگلیسی، تعیین $ v \\ سمت چپ (x \\ right)، \\ var \\ left (x \\ right) $ استفاده می شود. اغلب پراکندگی $ d \\ left (x \\ right) $ توسط فرمول $ d \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d \\ sum ^ n_ محاسبه می شود (i \u003d 1) (p_ix ^ 2_i) - (\\ left (m \\ چپ (x \\ right) \\ right)) ^ $ 2.

خواص پراکندگی $ d \\ سمت چپ (x \\ right) $:

1. پراکندگی همیشه بزرگتر یا برابر صفر است، I.E. $ d \\ سمت چپ (x \\ right) \\ ge 0 $.
2. پراکندگی از ثابت صفر است، I.E. $ d \\ سمت چپ (c \\ right) \u003d 0 $.
3. ضریب دائمی را می توان برای نشانه پراکندگی ساخته شده، با توجه به ساخت آن در میدان، I.E. $ D \\ LEFT (CX \\ RIGHT) \u003d C ^ 2D \\ left (x \\ right) $.
4. پراکندگی مقدار متغیرهای تصادفی مستقل برابر با مجموع پراکندگی آنها است، I.E. $ d \\ سمت چپ (x + y \\ \\ right) \u003d d \\ left (x \\ right) + d \\ left (y \\ right) $.
5. پراکندگی تفاوت متغیرهای تصادفی مستقل برابر با مجموع پراکندگی آنها است، I.E. $ d \\ سمت چپ (x-y \\ right) \u003d d \\ سمت چپ (x \\ right) + d \\ left (y \\ right) $.

مثال 6 . ما پراکندگی مقدار تصادفی $ x $ را از نمونه ای از $ 2 $ محاسبه می کنیم.

$$ d \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d \\ sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (\\ left (x_i-m \\ left (x \\ right) \\ right)) ^ 2) \u003d ((1) \\ (6)) \\ cdot (\\ left (1-3.5 \\ right)) ^ 2 + ((1) \\ over (6)) \\ cdot (\\ left (2-3.5 \\ right)) ^ 2+ \\ dots + ( (1) \\ بیش از (6)) \\ cdot (\\ left (6-3.5 \\ right)) ^ 2 \u003d (((35) \\ بیش از (12)) \\ حدود 2.92. $$

مثال 7 . شناخته شده است که پراکندگی یک متغیر تصادفی از $ x $ $ d \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d $ 2 است. پراکندگی یک متغیر تصادفی از $ 4X + $ 1 را پیدا کنید.

با استفاده از خواص فوق، ما $ d \\ left (4x + 1 \\ right) \u003d d \\ left (4x \\ right) + d \\ left (1 \\ right) \u003d 4 ^ 2d \\ left (x \\ right) + 0 \u003d 16d \\ left (x \\ right) \u003d 16 \\ cdot 2 \u003d 32 $.

مثال 8 . شناخته شده است که پراکندگی یک متغیر تصادفی از $ x $ $ d \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d 3 دلار است. پراکندگی یک متغیر تصادفی از $ 3-2x $ را پیدا کنید.

با استفاده از خواص فوق، ما $ d \\ left (3-2x \\ right) \u003d d \\ left (3 \\ right) + d \\ left (2x \\ right) \u003d 0 + 2 ^ 2d \\ left (x \\ right) \u003d 4D \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d 4 \\ cdot 3 \u003d 12 $.

4. عملکرد توزیع متغیر تصادفی گسسته.

روش ارائه یک متغیر تصادفی گسسته به شکل تعدادی توزیع تنها نیست، و اصلی ترین چیز جهانی نیست، زیرا مقدار تصادفی مداوم را نمی توان با استفاده از تعدادی توزیع مشخص کرد. راه دیگری برای نشان دادن یک متغیر تصادفی وجود دارد - عملکرد توزیع.

تابع توزیع مقدار تصادفی $ x $ تابع $ f \\ left (x \\ right) نامیده می شود، که احتمال آن را تعیین می کند که مقدار تصادفی $ x $ ارزش کمتر از مقدار ثابت $ x $ را دریافت می کند ، $ f \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d p \\ left (x< x\right)$

خواص تابع توزیع:

1. $ 0 \\ le f \\ left (x \\ right) \\ le $ 1.
2. احتمال این که مقدار تصادفی از $ x $ ارزش را از فاصله $ \\ left (\\ alpha؛ \\ \\ beta \\ right) $، برابر با تفاوت مقادیر تابع توزیع در انتهای این فاصله: $ p \\ سمت چپ (\\ alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ f \\ سمت چپ (x \\ right) $ غیر قابل مشاهده است.
4. $ (\\ mathop (lim) _ (x \\ to - \\ infty) f \\ left (x \\ right) \u003d 0 \\)، \\ (\\ (\\ mathop (lim) _ (x \\ \\ \\ \\ infty) f \\ left (x \\ right) \u003d 1 \\) $.

مثال 9 . تابع توزیع $ f \\ left (x \\ right) $ را برای قانون توزیع متغیر تصادفی گسسته از $ x $ از یک نمونه از $ 2 $ پیدا کنید.

$ \\ شروع (آرایه) (| C | C |)
\\ hly
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\\ hly
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\\ hly
\\ end (آرایه) $

اگر $ x \\ le $ 1 $، پس، بدیهی است، $ f \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d 0 $ (از جمله $ x \u003d 1 $ f \\ سمت چپ (1 \\ right) \u003d p \\ left (x< 1\right)=0$).

اگر $ 1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

اگر 2 دلار باشد< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

اگر 3 دلار باشد< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

اگر 4 دلار باشد< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

اگر 5 دلار باشد< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

اگر $ x\u003e $ 6، سپس $ f \\ سمت چپ (x \\ right) \u003d p \\ left (x \u003d 1 \\ right) + p \\ left (x \u003d 2 \\ right) + p \\ left (x \u003d 3 \\ right) + p \\ left (x \u003d 4 \\ right) + p \\ left (x \u003d 5 \\ right) + p \\ left (x \u003d 6 \\ right) \u003d 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 \u003d 1 $.

بنابراین، $ f (x) \u003d \\ left \\ (\\ شروع (ماتریس)
0، \\ با \\ x \\ le 1، \\\\
1/6، در \\ 1< x\le 2,\\
1/3، \\ با \\ 2< x\le 3,\\
1/2، در \\ 3< x\le 4,\\
2/3، \\ با 4< x\le 5,\\
5/6، \\ با 4< x\le 5,\\
1، \\ با \\ x\u003e 6.
\\ end (ماتریس) \\ right. $