چگونه یک دایره را در اطراف یک ذوزنقه متساوی الساقین توصیف کنیم؟ خواص ذوزنقه را به خاطر بسپارید و به کار ببرید

اگر دایره ای در ذوزنقه حک شده باشد، مسئله دارای چندین مسیر است که در طول آن می توان استدلال را انجام داد.

1. یک دایره را می توان در چهار ضلعی حک کرد اگر و فقط در صورتی که مجموع طول اضلاع مقابل آن برابر باشد. نتیجه می شود که اگر دایره ای در ذوزنقه حک شده باشد، مجموع پایه های آن برابر با مجموع اضلاع است.

AB+CD=AD+BC

2. پاره های مماس رسم شده از یک نقطه مساوی هستند. نتیجه می شود که

3. ارتفاع ذوزنقه برابر است با طول قطر دایره محاطی یا دو شعاع آن.

MK ارتفاع ذوزنقه است، MK=2r، که r شعاع دایره محاط شده در ذوزنقه است.

4. مرکز دایره، نقطه تلاقی نیمسازهای زوایای ذوزنقه است.

بیایید به یک مشکل اساسی نگاه کنیم.

اگر نقطه تماس ضلع را به قطعاتی به طول m و n تقسیم کند (CF=m، FD=n) شعاع دایره محاط شده در ذوزنقه را بیابید.

1) ∠ADC+∠BCD=180º (به عنوان مجموع زوایای یک طرفه داخلی برای خطوط موازی AD و BC و سکانس CD).

2) از آنجایی که نقطه O نقطه تقاطع نیمسازهای گوشه های ذوزنقه است، پس ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º.

3) از آنجایی که مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است، پس در مثلث COD ∠COD=90 درجه است.

4) بنابراین، مثلث COD قائم الزاویه است و OF ارتفاعی است که به سمت هیپوتنوز کشیده شده است، CF و FD برآمدگی پاهای OC و OD به هیپوتنوز هستند. از آنجایی که ارتفاع کشیده شده به سمت هیپوتنوز بین برجستگی پاها بر روی هیپوتنوز است،

از این رو، شعاع دایره ای که در یک ذوزنقه حک شده است بر حسب طول قطعات بیان می شود، زیرا ضلع جانبی بر نقطه تماس تقسیم می شود.

و از آنجایی که ارتفاع ذوزنقه برابر با قطر آن است، ارتفاع ذوزنقه را می توان بر حسب طول این قطعات بیان کرد.

ذوزنقه حالت خاصی از چهار ضلعی است که در آن یک جفت ضلع موازی است. اصطلاح "ذوزنقه" از کلمه یونانی τράπεζα به معنای "میز"، "میز" گرفته شده است. در این مقاله به بررسی انواع ذوزنقه و خواص آن می پردازیم. علاوه بر این، نحوه محاسبه عناصر تکی این را خواهیم فهمید به عنوان مثال، مورب ذوزنقه متساوی الساقین، خط مرکزی، مساحت و غیره. .

اطلاعات کلی

ابتدا بیایید بفهمیم که چهارضلعی چیست. این شکل یک حالت خاص از یک چند ضلعی است که شامل چهار ضلع و چهار راس است. دو رأس یک چهار ضلعی که مجاور هم نباشند مخالف نامیده می شوند. همین را می توان برای دو ضلع غیر مجاور نیز گفت. انواع اصلی چهارضلعی ها متوازی الاضلاع، مستطیل، لوزی، مربع، ذوزنقه و دلتوئید هستند.

پس بیایید به ذوزنقه ها برگردیم. همانطور که قبلاً گفتیم این رقم دارای دو ضلع موازی است. به آنها پایگاه می گویند. دو طرف دیگر (غیر موازی) اضلاع جانبی هستند. در مواد امتحانات و تست های مختلف اغلب می توانید مشکلات مربوط به ذوزنقه ها را بیابید که حل آنها اغلب مستلزم داشتن دانشی است که در برنامه پیش بینی نشده است. درس هندسه مدرسه دانش آموزان را با ویژگی های زاویه ها و مورب ها و همچنین خط وسط ذوزنقه متساوی الساقین آشنا می کند. اما علاوه بر این، شکل هندسی مذکور ویژگی های دیگری نیز دارد. اما در مورد آنها کمی بعد ...

انواع ذوزنقه

انواع مختلفی از این شکل وجود دارد. با این حال، اغلب مرسوم است که دو مورد از آنها را در نظر بگیریم - متساوی الساقین و مستطیل.

1. ذوزنقه مستطیلی شکلی است که یکی از اضلاع آن بر پایه ها عمود باشد. دو زاویه او همیشه برابر با نود درجه است.

2. ذوزنقه متساوی الساقین شکل هندسی است که اضلاع آن با یکدیگر برابر است. این بدان معنی است که زوایای پایه ها نیز به صورت جفت برابر هستند.

اصول اصلی روش شناسی برای مطالعه خواص ذوزنقه

اصل اصلی شامل استفاده از رویکرد به اصطلاح وظیفه است. در واقع نیازی به وارد کردن ویژگی های جدید این شکل در درس هندسه نظری نیست. آنها را می توان در فرآیند حل مسائل مختلف (ترجیحاً سیستمی) کشف و فرموله کرد. در عین حال، بسیار مهم است که معلم بداند چه وظایفی باید در یک دوره آموزشی به دانش آموزان محول شود. علاوه بر این، هر ویژگی ذوزنقه می تواند به عنوان یک وظیفه کلیدی در سیستم وظیفه نمایش داده شود.

اصل دوم، سازماندهی به اصطلاح مارپیچی برای مطالعه خواص "قابل توجه" ذوزنقه است. این به معنای بازگشت در فرآیند یادگیری به ویژگی های فردی یک شکل هندسی معین است. این باعث می شود دانش آموزان راحت تر آنها را به خاطر بسپارند. مثلاً خاصیت چهار نقطه. هم هنگام مطالعه شباهت و هم پس از آن با استفاده از بردارها می توان آن را ثابت کرد. و هم ارزی مثلث های مجاور اضلاع یک شکل را می توان نه تنها با اعمال خواص مثلث هایی با ارتفاع مساوی که به ضلع هایی که روی یک خط مستقیم قرار دارند، بلکه با استفاده از فرمول S = 1/2 نیز اثبات کرد. ab*sina). علاوه بر این، می توانید بر روی ذوزنقه حکاکی شده یا مثلث قائم الزاویه روی ذوزنقه حکاکی شده و غیره کار کنید.

استفاده از ویژگی های "خارج از برنامه" یک شکل هندسی در محتوای یک دوره مدرسه یک فناوری مبتنی بر وظیفه برای آموزش آنها است. رجوع مداوم به ویژگی های مورد مطالعه در حین مرور موضوعات دیگر به دانش آموزان اجازه می دهد تا دانش عمیق تری از ذوزنقه به دست آورند و موفقیت در حل مسائل تعیین شده را تضمین می کند. بنابراین، بیایید شروع به مطالعه این شکل شگفت انگیز کنیم.

عناصر و خواص ذوزنقه متساوی الساقین

همانطور که قبلاً اشاره کردیم، این شکل هندسی دارای اضلاع مساوی است. به ذوزنقه صحیح نیز معروف است. چرا اینقدر قابل توجه است و چرا چنین نامی به خود گرفته است؟ ویژگی این شکل این است که نه تنها اضلاع و زوایای پایه ها، بلکه مورب ها نیز برابر هستند. به علاوه مجموع زوایای ذوزنقه متساوی الساقین 360 درجه است. اما این همه ماجرا نیست! از میان همه ذوزنقه‌های شناخته شده، تنها یک متساوی الساقین را می‌توان به عنوان دایره توصیف کرد. این به این دلیل است که مجموع زوایای مقابل این شکل برابر با 180 درجه است و فقط در این شرایط می توان دایره ای را در اطراف یک چهار ضلعی توصیف کرد. خاصیت بعدی شکل هندسی مورد بررسی این است که فاصله راس قاعده تا برآمدگی راس مقابل بر روی خط مستقیمی که این قاعده را در خود دارد برابر با خط وسط خواهد بود.

حالا بیایید بفهمیم که چگونه زوایای یک ذوزنقه متساوی الساقین را پیدا کنیم. اجازه دهید راه حلی برای این مشکل در نظر بگیریم، مشروط بر اینکه ابعاد اضلاع شکل مشخص باشد.

راه حل

به طور معمول، چهار ضلعی معمولا با حروف A، B، C، D نشان داده می شود، که در آن BS و AD پایه هستند. در ذوزنقه متساوی الساقین، اضلاع با هم برابر هستند. اندازه آنها را برابر با X و اندازه پایه ها را برابر با Y و Z (به ترتیب کوچکتر و بزرگتر) فرض خواهیم کرد. برای انجام محاسبات، لازم است که ارتفاع H را از زاویه B رسم کنیم. نتیجه یک مثلث قائم الزاویه ABN است که AB هیپوتانوس و BN و AN پاها هستند. اندازه ساق AN را محاسبه می کنیم: پایه کوچکتر را از پایه بزرگتر کم می کنیم و حاصل را بر 2 تقسیم می کنیم. آن را به صورت فرمول می نویسیم: (Z-Y)/2 = F. حالا برای محاسبه حاد زاویه مثلث، از تابع cos استفاده می کنیم. ورودی زیر را دریافت می کنیم: cos(β) = X/F. حالا زاویه را محاسبه می کنیم: β=arcos (X/F). علاوه بر این، با دانستن یک زاویه، می توانیم دومی را تعیین کنیم، برای این کار یک عملیات حسابی ابتدایی را انجام می دهیم: 180 - β. همه زوایا تعریف شده است.

راه حل دومی برای این مشکل وجود دارد. ابتدا آن را از گوشه به ارتفاع H پایین می آوریم. مقدار پایه BN را محاسبه می کنیم. می دانیم که مجذور هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های پاها. دریافت می کنیم: BN = √(X2-F2). سپس از تابع مثلثاتی tg استفاده می کنیم. در نتیجه داریم: β = آرکتان (BN/F). یک زاویه حاد پیدا شده است. در مرحله بعد، آن را مشابه روش اول تعریف می کنیم.

ویژگی قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین

ابتدا اجازه دهید چهار قانون را بنویسیم. اگر قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین عمود بر هم باشند، آنگاه:

ارتفاع شکل برابر با مجموع پایه ها تقسیم بر دو خواهد بود.

ارتفاع و خط وسط آن برابر است.

مرکز دایره نقطه ای است که در آن ;

اگر ضلع جانبی با نقطه مماس به قطعات H و M تقسیم شود، آنگاه برابر است با جذر حاصلضرب این قطعات.

چهارضلعی که از نقاط مماس، راس ذوزنقه و مرکز دایره محاطی تشکیل می شود، مربعی است که ضلع آن برابر با شعاع است.

مساحت یک شکل برابر است با حاصل ضرب پایه ها و حاصل ضرب نصف مجموع پایه ها و ارتفاع آن.

ذوزنقه های مشابه

این مبحث برای مطالعه خواص این بسیار مناسب است، به عنوان مثال، مورب ها یک ذوزنقه را به چهار مثلث تقسیم می کنند و آنهایی که در مجاورت پایه ها قرار دارند مشابه هستند و آنهایی که مجاور اضلاع هستند از نظر اندازه برابر هستند. این عبارت را می توان ویژگی مثلث هایی نامید که ذوزنقه بر اساس قطرهایش به آنها تقسیم می شود. قسمت اول این گفته از طریق علامت تشابه در دو زاویه ثابت می شود. برای اثبات قسمت دوم بهتر است از روش زیر استفاده کنید.

اثبات قضیه

می پذیریم که شکل ABSD (AD و BS پایه های ذوزنقه هستند) به قطرهای VD و AC تقسیم شده است. نقطه تقاطع آنها O است. ما چهار مثلث داریم: AOS - در پایه پایین، BOS - در پایه بالا، ABO و SOD در اضلاع. مثلث های SOD و BOS دارای ارتفاع مشترک هستند اگر قطعات BO و OD پایه آنها باشند. ما متوجه شدیم که تفاوت بین مساحت آنها (P) برابر است با تفاوت بین این بخش ها: PBOS/PSOD = BO/OD = K. بنابراین، PSOD = PBOS/K. به طور مشابه، مثلث های BOS و AOB دارای ارتفاع مشترک هستند. ما بخش های CO و OA را به عنوان پایه آنها در نظر می گیریم. ما PBOS/PAOB = CO/OA = K و PAOB = PBOS/K را دریافت می کنیم. از این نتیجه می شود که PSOD = PAOB.

برای تجمیع مطالب، به دانش‌آموزان توصیه می‌شود تا با حل مسئله زیر، ارتباط بین مناطق مثلث‌های حاصل را که ذوزنقه بر اساس قطرهای آن تقسیم می‌شود، بیابند. مشخص است که مثلث های BOS و AOD دارای مساحت مساوی هستند؛ لازم است مساحت ذوزنقه را پیدا کنید. از آنجایی که PSOD = PAOB، به معنای PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD است. از شباهت مثلث های BOS و AOD نتیجه می شود که BO/OD = √(PBOS/PAOD). بنابراین PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). ما PSOD = √ (PBOS*PAOD) را دریافت می کنیم. سپس PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

خواص تشابه

با ادامه توسعه این موضوع، می‌توانیم ویژگی‌های جالب دیگر ذوزنقه‌ها را ثابت کنیم. بنابراین با استفاده از تشابه می توان خاصیت پاره ای را که از نقطه ای که از تقاطع مورب های این شکل هندسی به موازات قاعده ها تشکیل شده است را اثبات کرد. برای انجام این کار، اجازه دهید مشکل زیر را حل کنیم: باید طول قطعه RK را که از نقطه O عبور می کند، پیدا کنیم. از شباهت مثلث های AOD و BOS نتیجه می شود که AO/OS = AD/BS. از شباهت مثلث های AOP و ASB چنین بر می آید که AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). از اینجا دریافت می کنیم که RO=BS*BP/(BS+BP). به همین ترتیب، از تشابه مثلث های DOC و DBS، نتیجه می شود که OK = BS*AD/(BS+AD). از اینجا دریافت می کنیم که RO=OK و RK=2*BS*AD/(BS+AD). قطعه ای که از نقطه تقاطع مورب ها به موازات پایه ها می گذرد و دو ضلع جانبی را به هم وصل می کند، توسط نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شود. طول آن میانگین هارمونیک پایه های شکل است.

ویژگی زیر ذوزنقه را در نظر بگیرید که به آن خاصیت چهار نقطه می گویند. نقاط تقاطع مورب ها (O)، محل تلاقی ادامه اضلاع (E) و همچنین نقاط میانی پایه ها (T و F) همیشه روی یک خط قرار دارند. این را می توان به راحتی با روش تشابه اثبات کرد. مثلث های BES و AED به دست آمده مشابه هستند و در هر یک از آنها میانه های ET و EJ زاویه رأس E را به قسمت های مساوی تقسیم می کنند. بنابراین، نقاط E، T و F روی یک خط مستقیم قرار دارند. به همین ترتیب، نقاط T، O و Zh روی یک خط مستقیم قرار دارند، همه اینها از شباهت مثلث های BOS و AOD ناشی می شود. از اینجا نتیجه می گیریم که هر چهار نقطه - E، T، O و F - روی یک خط مستقیم قرار می گیرند.

با استفاده از ذوزنقه های مشابه، می توانید از دانش آموزان بخواهید طول قطعه (LS) را که شکل را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند، بیابند. این قطعه باید موازی با پایه ها باشد. از آنجایی که ذوزنقه های حاصل ALFD و LBSF مشابه هستند، پس BS/LF = LF/AD. نتیجه این است که LF=√(BS*AD). متوجه شدیم که قطعه ای که ذوزنقه را به دو قسمت مشابه تقسیم می کند، طولی برابر با میانگین هندسی طول پایه های شکل دارد.

ویژگی تشابه زیر را در نظر بگیرید. بر اساس قطعه ای است که ذوزنقه را به دو شکل مساوی تقسیم می کند. ما فرض می کنیم که ABSD ذوزنقه ای توسط قطعه EH به دو قطعه مشابه تقسیم می شود. از راس B یک ارتفاع حذف شده است که توسط بخش EN به دو قسمت - B1 و B2 تقسیم می شود. دریافت می کنیم: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 و PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. سپس، سیستمی را می سازیم که اولین معادله آن (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 و معادله دوم (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 باشد. نتیجه می شود که B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) و BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). متوجه می‌شویم که طول قطعه‌ای که ذوزنقه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند برابر است با ریشه میانگین مربع طول پایه‌ها: √((BS2+AD2)/2).

یافته های شباهت

بنابراین، ما ثابت کردیم که:

1. پاره ای که نقاط میانی اضلاع ذوزنقه را به هم وصل می کند، موازی با AD و BS است و برابر است با میانگین حسابی BS و AD (طول قاعده ذوزنقه).

2. خطی که از نقطه O تقاطع قطرهای موازی AD و BS می گذرد برابر با میانگین هارمونیک اعداد AD و BS (2*BS*AD/(BS+AD)) خواهد بود.

3. پاره ای که ذوزنقه را به قطعات مشابه تقسیم می کند، طول میانگین هندسی پایه های BS و AD را دارد.

4. عنصری که یک شکل را به دو عدد مساوی تقسیم می کند دارای طول ریشه مجذور میانگین اعداد AD و BS است.

برای ادغام مطالب و درک ارتباط بین بخش های در نظر گرفته شده، دانش آموز باید آنها را برای یک ذوزنقه خاص بسازد. او به راحتی می تواند خط وسط و قطعه ای را که از نقطه O - محل تقاطع مورب های شکل - موازی با پایه ها عبور می کند، نمایش دهد. اما سومین و چهارمین کجا قرار خواهند گرفت؟ این پاسخ دانش آموز را به کشف رابطه مطلوب بین مقادیر متوسط ​​می رساند.

پاره ای که نقاط میانی قطرهای ذوزنقه را به هم وصل می کند

ویژگی زیر را در این شکل در نظر بگیرید. فرض می کنیم که قطعه MH موازی با قاعده ها است و قطرها را نصف می کند. نقاط تقاطع را Ш و Ш بنامیم این پاره معادل نصف اختلاف پایه ها خواهد بود. بیایید به این موضوع با جزئیات بیشتری نگاه کنیم. MS خط وسط مثلث ABS است که برابر با BS/2 است. MSH خط وسط مثلث ABD است که برابر با AD/2 است. سپس دریافت می کنیم که ShShch = MSh-Msh، بنابراین، ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

مرکز گرانش

بیایید ببینیم که چگونه این عنصر برای یک شکل هندسی مشخص تعیین می شود. برای انجام این کار، لازم است که پایه ها را در جهت مخالف گسترش دهید. چه مفهومی داره؟ شما باید پایه پایین را به پایه بالایی اضافه کنید - در هر جهت، به عنوان مثال، به سمت راست. و قسمت پایینی را به طول قسمت بالایی به سمت چپ گسترش می دهیم. سپس آنها را به صورت مورب به هم وصل می کنیم. نقطه تلاقی این قطعه با خط وسط شکل مرکز ثقل ذوزنقه است.

ذوزنقه های کتیبه دار و محصور

بیایید ویژگی های چنین ارقامی را فهرست کنیم:

1. ذوزنقه را فقط در صورتی می توان به صورت دایره ای حک کرد که متساوی الساقین باشد.

2. ذوزنقه را می توان حول دایره توصیف کرد، مشروط بر اینکه مجموع طول پایه های آنها با مجموع طول اضلاع برابر باشد.

پیامدهای دایره:

1. ارتفاع ذوزنقه توصیف شده همیشه برابر با دو شعاع است.

2. ضلع ذوزنقه توصیف شده از مرکز دایره با زاویه قائمه مشاهده می شود.

نتیجه اول واضح است، اما برای اثبات دومی باید ثابت کرد که زاویه SOD درست است، که در واقع دشوار نیست. اما آگاهی از این ویژگی به شما این امکان را می دهد که در حل مسائل از مثلث قائم الزاویه استفاده کنید.

حال اجازه دهید این پیامدها را برای ذوزنقه متساوی الساقین که در یک دایره حک شده است مشخص کنیم. متوجه می شویم که ارتفاع، میانگین هندسی پایه های شکل است: H=2R=√(BS*AD). دانش آموز در حین تمرین تکنیک اساسی برای حل مسائل ذوزنقه ای (اصل ترسیم دو ارتفاع) باید تکلیف زیر را حل کند. فرض می کنیم که BT ارتفاع شکل متساوی الساقین ABSD است. یافتن بخش های AT و TD ضروری است. با استفاده از فرمول شرح داده شده در بالا، انجام این کار دشوار نخواهد بود.

حالا بیایید بفهمیم که چگونه شعاع دایره را با استفاده از مساحت ذوزنقه محدود شده تعیین کنیم. ارتفاع را از راس B به پایه AD کاهش می دهیم. از آنجایی که دایره در یک ذوزنقه حک شده است، پس BS+AD = 2AB یا AB = (BS+AD)/2. از مثلث ABN، sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD) را پیدا می کنیم. PABSD = (BS+BP)*BN/2، BN=2R. ما PABSD = (BS+BP)*R را دریافت می کنیم، نتیجه آن این است که R = PABSD/(BS+BP).

تمام فرمول های خط وسط ذوزنقه

حالا وقت آن است که به آخرین عنصر این شکل هندسی برویم. بیایید بفهمیم که خط وسط ذوزنقه (M) برابر است:

1. از طریق پایه ها: M = (A+B)/2.

2. از طریق ارتفاع، پایه و گوشه ها:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. از طریق ارتفاع، مورب و زاویه بین آنها. برای مثال، D1 و D2 قطرهای ذوزنقه هستند. α، β - زوایای بین آنها:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. از طریق مساحت و ارتفاع: M = P/N.

چگونه شعاع اطراف ذوزنقه را پیدا کنیم؟

بسته به شرایط می توان این کار را به روش های مختلفی انجام داد. هیچ فرمول آماده ای برای شعاع دایره ای که در اطراف یک ذوزنقه قرار دارد وجود ندارد.

I. شعاع دایره محصور به دور ذوزنقه به عنوان شعاع دایره محصور به دور مثلثی که رئوس آن رئوس ذوزنقه است.

دایره یک ذوزنقه از تمام رئوس آن می گذرد، بنابراین برای هر یک از مثلث هایی که رئوس آن رئوس ذوزنقه است، محصور می شود.

به طور کلی، می توان آن را با استفاده از یکی از فرمول ها پیدا کرد

در جایی که a ضلع مثلث است، α زاویه مقابل آن است.

یا با فرمول

جایی که a، b، c اضلاع هستند، S مساحت مثلث است.

برای یک ذوزنقه ABCD، شعاع را می توان یافت، برای مثال، به عنوان شعاع دایره ای که اطراف مثلث ABD قرار دارد:

جایی که سینوس زاویه A را می توان از مثلث قائم الزاویه ABF یافت:

III. شعاع دایره ای که در اطراف یک ذوزنقه به عنوان فاصله تا نقطه تقاطع عمودهای نیمساز احاطه شده است.

شعاع دایره، نقطه تقاطع نیمسازهای عمود بر اضلاع ذوزنقه است. (شما می توانید متفاوت استدلال کنید: در مثلث متساوی الساقین AOD (AO=OD=R)، ارتفاع ON نیز میانه است. برای مثلث BOC، همین امر صادق است.)

اگر ارتفاع ذوزنقه KN=h شناخته شود، پایه های AD=a، BC=b را می توان ON=x تعیین کرد.

اگر مرکز دایره در داخل ذوزنقه قرار داشته باشد، OK=h-x، از مثلث قائم الزاویه ANO و BKO می توانیم بیان کنیم.

و اضلاع سمت راست را برابر کنید

با حل این معادلات برای x می توانید R را پیدا کنید.

IV. اگر قطر ذوزنقه عمود بر ضلع باشد، مرکز دایره محصور شده در وسط قاعده بزرگتر قرار دارد و شعاع آن نصف قاعده بزرگتر است.

کار پروژه "خواص جالب ذوزنقه" تکمیل شده توسط: دانش آموزان کلاس دهم Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU دبیرستان s. N.Batako سرپرست: Gagieva A.O. 20 نوامبر 2015

هدف کار: برای در نظر گرفتن ویژگی های ذوزنقه که در درس هندسه مدرسه مورد مطالعه قرار نمی گیرد، اما هنگام حل مسائل هندسی آزمون دولتی واحد از قسمت توسعه یافته C 4، ممکن است لازم باشد که بدانیم و بتوانیم دقیقاً این ویژگی ها را اعمال کنید.

خصوصیات ذوزنقه : اگر ذوزنقه ای با خطی موازی قاعده های آن برابر با a و b تقسیم شود به دو ذوزنقه مساوی. سپس قطعه به این خط، محصور در بین اضلاع جانبی، برابر با B به است

ویژگی قطعه ای که از نقطه تلاقی قطرهای ذوزنقه عبور می کند. پاره موازی پایه هایی که از نقطه تلاقی قطرها می گذرد برابر است با: a در c.

خصوصیات ذوزنقه: یک پاره خط مستقیم به موازات پایه های ذوزنقه که در داخل ذوزنقه محصور شده است، توسط قطرهای آن به سه قسمت تقسیم می شود. سپس بخش های مجاور اضلاع با یکدیگر برابر می شوند. MP=OK R M O K

خواص یک ذوزنقه متساوی الساقین: اگر بتوان دایره ای را در ذوزنقه ای حک کرد، شعاع دایره، میانگین متناسب با قطعاتی است که نقطه مماس ضلع را به آنها تقسیم می کند. O S V A D. E O

خصوصیات ذوزنقه متساوی الساقین: اگر مرکز دایره محصور در قاعده ذوزنقه باشد، قطر آن بر ضلع O A B C D عمود است.

خصوصیات ذوزنقه متساوی الساقین: در صورتی می توان دایره ای را در ذوزنقه متساوی الساقین حک کرد که ضلع کناری با خط وسط آن برابر باشد. S V A D h

1) اگر در عبارت مسئله بگوییم که دایره ای در ذوزنقه مستطیل شکل حک شده است، می توانید از ویژگی های زیر استفاده کنید: 1. مجموع پایه های ذوزنقه برابر است با مجموع اضلاع. 2. فواصل راس ذوزنقه تا نقاط مماس دایره محاطی برابر است. 3. ارتفاع ذوزنقه مستطیلی برابر با ضلع کوچکتر آن و برابر با قطر دایره محاط است. 4. مرکز دایره محاطی نقطه تلاقی نیمسازهای زوایای ذوزنقه است. 5. اگر نقطه مماس ضلع را به قطعات m و n تقسیم کند، شعاع دایره محاطی برابر است با

خواص ذوزنقه مستطیلی که دایره ای در آن حک شده است: 1) چهارضلعی که از مرکز دایره محاطی، نقاط تماس و راس ذوزنقه تشکیل شده است - مربعی که ضلع آن برابر با شعاع است. (AMOE و BKOM مربع هایی با ضلع r هستند). 2) اگر دایره ای در ذوزنقه مستطیلی حک شده باشد، مساحت ذوزنقه برابر است با حاصل ضرب پایه های آن: S=AD*BC.

اثبات: مساحت ذوزنقه برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع آن: CF=m، FD=n را نشان می دهیم. از آنجایی که فاصله رئوس تا نقاط مماس برابر است، ارتفاع ذوزنقه برابر با دو شعاع دایره محاط است و

I. نیمسازهای زوایای ضلع جانبی ذوزنقه با زاویه 90 درجه قطع می شوند. 1) ∠ABC+∠BAD=180 درجه (به صورت یک طرفه داخلی با AD∥BC و مقطع AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (از آنجایی که نیمسازها زاویه ها را نصف می کنند). 3) از آنجایی که مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است، در مثلث ABK داریم: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º، بنابراین ∠AKB=180-90=90 درجه. نتیجه گیری: نیمسازهای زاویه در ضلع جانبی ذوزنقه در زاویه قائمه همدیگر را قطع می کنند. این عبارت هنگام حل مسائل روی ذوزنقه ای که دایره ای در آن حک شده است استفاده می شود.

I I. نقطه تقاطع نیمسازهای ذوزنقه مجاور ضلع جانبی روی خط وسط ذوزنقه قرار دارد. اجازه دهید نیمساز زاویه ABC ضلع AD را در نقطه S قطع کند. سپس مثلث ABS با قاعده BS متساوی الساقین است، به این معنی که نیمساز آن AK نیز یک وسط است، یعنی نقطه K نقطه وسط BS است. اگر M و N نقاط میانی اضلاع جانبی ذوزنقه باشند، MN خط وسط ذوزنقه و MN∥AD است. از آنجایی که M و K نقاط میانی AB و BS هستند، پس MK خط وسط مثلث ABS و MK∥AS است. از آنجایی که تنها یک خط موازی با این خط را می توان از طریق نقطه M رسم کرد، نقطه K در خط وسط ذوزنقه قرار دارد.

III. نقطه تقاطع نیمسازهای زوایای تند در قاعده ذوزنقه به قاعده دیگری تعلق دارد. در این حالت مثلث های ABK و DCK متساوی الساقین با پایه های AK و DK هستند. بنابراین، BC=BK+KC=AB+CD. نتیجه گیری: اگر نیمسازهای زوایای تند ذوزنقه در نقطه ای متعلق به قاعده کوچکتر همدیگر را قطع کنند، قاعده کوچکتر برابر با مجموع اضلاع جانبی ذوزنقه است. ذوزنقه متساوی الساقین در این مورد دارای قاعده کوچکتری دو برابر اندازه ضلع خود است.

I V. نقطه تقاطع نیمسازهای زوایای منفرد در قاعده ذوزنقه متعلق به قاعده دیگری است. در این حالت مثلث های ABF و DCF متساوی الساقین با پایه های BF و CF هستند. از این رو AD=AF+FD=AB+CD. نتیجه‌گیری: اگر نیم‌سازهای زوایای منفرد ذوزنقه در نقطه‌ای متعلق به قاعده بزرگ‌تر همدیگر را قطع کنند، قاعده بزرگ‌تر برابر است با مجموع اضلاع جانبی ذوزنقه. در این حالت، ذوزنقه متساوی الساقین دارای قاعده بزرگتری است که دو برابر ضلع آن است.

اگر بتوان یک ذوزنقه متساوی الساقین با اضلاع a، b، c، d را نوشت و دور آن دایره هایی رسم کرد، مساحت ذوزنقه برابر است با

ذوزنقه شکلی هندسی با چهار زاویه است. هنگام ساخت یک ذوزنقه، مهم است که در نظر بگیرید که دو ضلع مقابل موازی هستند و دو طرف دیگر، برعکس، نسبت به یکدیگر موازی نیستند. این کلمه از یونان باستان به دوران مدرن آمد و مانند "تراپدزیون" بود که به معنای "میز"، "میز ناهارخوری" بود.

این مقاله در مورد خواص ذوزنقه ای که دور یک دایره محصور شده است صحبت می کند. همچنین انواع و عناصر این شکل را بررسی خواهیم کرد.

عناصر، انواع و ویژگی های ذوزنقه شکل هندسی

اضلاع موازی در این شکل قاعده و آنهایی که موازی نیستند ضلع نامیده می شوند. به شرطی که طول اضلاع یکسان باشد، ذوزنقه متساوی الساقین در نظر گرفته می شود. ذوزنقه ای که اضلاع آن عمود بر قاعده و با زاویه 90 درجه باشد مستطیل نامیده می شود.

این شکل به ظاهر ساده دارای تعداد قابل توجهی از ویژگی های ذاتی است که بر ویژگی های آن تأکید می کند:

1. اگر یک خط وسط در کناره ها بکشید، موازی پایه ها خواهد بود. این قطعه برابر با 1/2 اختلاف پایه ها خواهد بود.
2. هنگام ساختن نیمساز از هر گوشه ذوزنقه، یک مثلث متساوی الاضلاع تشکیل می شود.
3. از خواص ذوزنقه ای که در اطراف یک دایره توضیح داده شده است، مشخص می شود که مجموع اضلاع موازی باید برابر با مجموع قاعده ها باشد.
4. هنگام ساخت قطعات مورب، که در آن یکی از اضلاع پایه ذوزنقه است، مثلث های حاصل شبیه به هم خواهند بود.
5. هنگام ساخت قطعات مورب، که در آن یکی از اضلاع جانبی است، مثلث های حاصل مساحت مساوی خواهند داشت.
6. اگر خطوط کناری را ادامه دهیم و از مرکز پایه یک قطعه بسازیم، زاویه تشکیل شده برابر با 90 درجه خواهد بود. قطعه اتصال پایه ها برابر با 1/2 اختلاف آنها خواهد بود.

خصوصیات ذوزنقه ای که دور یک دایره محصور شده است

محصور کردن دایره در ذوزنقه فقط در یک شرط امکان پذیر است. این شرط این است که مجموع اضلاع باید با مجموع پایه ها برابر باشد. به عنوان مثال، هنگام ساخت یک ذوزنقه AFDM، AF + DM = FD + AM قابل استفاده است. فقط در این مورد می توان یک دایره را در یک ذوزنقه محصور کرد.

بنابراین، بیشتر در مورد خواص یک ذوزنقه در اطراف یک دایره توضیح داده شده است:

1. اگر دایره ای در یک ذوزنقه محصور شده باشد، برای یافتن طول خط آن که شکل را به نصف قطع می کند، باید 1/2 از مجموع طول اضلاع را پیدا کرد.
2. هنگام ساختن یک ذوزنقه که اطراف یک دایره است، هیپوتنوز تشکیل شده با شعاع دایره یکسان است و ارتفاع ذوزنقه نیز قطر دایره است.
3. یکی دیگر از ویژگی های ذوزنقه متساوی الساقین که اطراف یک دایره است این است که ضلع آن بلافاصله از مرکز دایره با زاویه 90 درجه قابل مشاهده است.

کمی بیشتر در مورد خواص ذوزنقه محصور در یک دایره

فقط یک ذوزنقه متساوی الساقین را می توان در دایره حک کرد. این بدان معنی است که لازم است شرایطی وجود داشته باشد که تحت آن ذوزنقه AFDM ساخته شده شرایط زیر را برآورده کند: AF + DM = FD + MA.

قضیه بطلمیوس بیان می کند که در ذوزنقه ای محصور در دایره، حاصل ضرب قطرها یکسان و برابر است با حاصل ضرب اضلاع مقابل. این به این معنی است که هنگام ساخت یک دایره محدود شده در مورد ذوزنقه AFDM، موارد زیر اعمال می شود: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

اغلب در امتحانات مدرسه مشکلاتی وجود دارد که نیاز به حل مشکلات با ذوزنقه دارد. تعداد زیادی از قضایا باید حفظ شوند، اما اگر نتوانید فورا آنها را یاد بگیرید، مهم نیست. بهتر است به طور دوره ای به نکاتی در کتاب های درسی متوسل شوید تا این دانش به خودی خود و بدون مشکل زیاد در ذهن شما جا بیفتد.