Distribucija Bayes. Formula pune vjerojatnosti, Bayes formule

Kratka teorija

Ako se događaj nastaje samo pod uvjetom da se jedan od događaja formiranja potpune skupine nepotpunih događaja pojavljuje, jednako je količini vjerojatnosti svakog od događaja na odgovarajuću uvjetnu vjerojatnost novčanika.

U isto vrijeme, događaji se nazivaju hipoteza i vjerojatnosti - a priori. Ova formula se naziva potpuna formula vjerojatnosti.

Bayes formula koristi se u rješavanju praktičnih zadataka kada se pojavio događaj koji se pojavljuje u kombinaciji s bilo kojim od događaja koji generira punu grupu događaja i potrebna je kvantitativna revalorizacija vjerojatnosti hipoteza. Poznato je da je priori (prije iskustva) poznat. Potrebno je izračunati posteriori (nakon iskustva) vjerojatnosti, tj. U suštini morate pronaći uvjetne vjerojatnosti. Bayes formula izgleda ovako:

Sljedeća stranica se obraća zadatku.

Primjer rješavanja problema

Stanje zadatka 1.

U tvornici, strojevi 1,2 i 3 proizvode 20%, 35% i 45% svih dijelova. U svojim proizvodima, brak je 6%, 4%, 2%. Koja je vjerojatnost da je nasumično odabrani proizvod pokazao neispravan? Što je vjerojatnost da je proizvedena: a) stroj 1; b) stroj 2; c) stroj 3?

Rješenje problema 1.

Označite događaj, koji je da se standardni proizvod ispostavilo neispravan.

Događaj se može pojaviti samo ako se dogodi jedan od tri događaja:

Proizvod se vrši na stroju 1;

Proizvod se vrši na stroju 2;

Proizvod se vrši na stroju 3;

Pišemo uvjetne vjerojatnosti:

Formula puna vjerojatnost

Ako se događaj može pojaviti samo prilikom obavljanja jednog od događaja koji čine proviziju nerazumljivih događaja, vjerojatnost događaja izračunava se formulom

Prema potpunoj formuli vjerojatnosti, nalazimo vjerojatnost događaja:

Lagane formule.

Bayes Formula omogućuje vam da "prerasporedi uzrok i posljedicu": Prema poznatoj činjenici, događaj izračunava vjerojatnost da je uzrokovana tom razlogom.

Vjerojatnost da se neispravan proizvod napravi na stroju 1:

Vjerojatnost da se neispravan proizvod napravi na stroju 2:

Vjerojatnost da je neispravan proizvod na stroju 3:

Stanje zadatka 2.

Grupa se sastoji od 1 izvrstan student, 5 studenata i 14 učenika koji imaju vremena imati vremena. Izvrsni student odgovara na 5 i 4 s jednakom vjerojatnošću, dobro reagira na 5, 4 i 3 s jednakom vjerojatnošću, a osrednji uzastopni student odgovara na 4,3 i 2 s jednakom vjerojatnošću. Nasumično izabrani student odgovorio 4. Koja je vjerojatnost da je nazvan osrednji student?

Rješenje zadatka 2.

Hipotezu i uvjetne vjerojatnosti

Moguće su sljedeće hipoteze:

Odgovorio je izvrstan student;

Odgovorio je dobar;

- napravio osrednji student;

Neka događaj dobije 4.

Odgovor:

Cijena snažno utječe na hitnost otopine (od dana do nekoliko sati). Online pomoć na ispitu / poretku provodi se po dogovoru.

Aplikacija se može prepustiti izravno u chatu, nakon što je prethodno bacanje stanja zadataka i informiranje koje trebate. Vrijeme odgovora - nekoliko minuta.

Neka su vjerojatno poznati i odgovarajuće uvjetne vjerojatnosti. Tada je vjerojatnost događaja jednaka:

Ova formula je nazvana formule punu vjerojatnost, U udžbenicima je formuliran teoremom, čiji je dokaz elementarne: prema algebra događanja, (događaj se dogodio i ili Događaj se dogodio i Nakon što je ikada ilidogađaj se dogodio i Nakon što je ikada ili …. ili Događaj se dogodio i Nakon što je došao događaj), Od hipoteze nekonzistentno i događaj - ovisno o tome teorem dodavanja vjerojatnosti nepotpunih događaja (Prvi korak) i namjera teorema vjerojatnosti ovisnih događaja (drugi korak):

Vjerojatno mnogi predviđaju sadržaj prvog primjera \u003d)

Gdje god pljujem - svugdje urn:

Zadatak 1.

Postoje tri identične urne. U prvom urnu nalaze se 4 bijelaca i 7 crnih kuglica, u drugom - samo bijelu i u trećem - samo crni kugli. Maudoku je izabran jedan urn i lopta je izvađena iz nje nasumce. Koja je vjerojatnost da je ova lopta crna?

Odluka: Razmislite o događaju - crna lopta bit će izvađena iz atmosfere odabranog urna. Ovaj događaj se može dogoditi ili ne događa se kao rezultat provedbe jedne od sljedećih hipoteza:
- 1. URN će biti izabran;
- bit će izabran 2. URN;
- 3. URN će biti izabran.

Budući da je URN odabran nasumce, izbor bilo kojeg od tri urne jednak, stoga:

Imajte na umu da navedene hipoteze formiraju puna skupina događaja, To je, po uvjetima, crna kugla može se pojaviti samo iz tih urba, i na primjer, ne letite od tablice biljar. Nacrtat ćemo jednostavan međuproizvod:
, U redu, idi dalje:

U prvom urn 4 bijela + 7 crno \u003d 11 lopti, klasična definicija:
- Vjerojatnost ekstrakcije crne lopte s obzirom na toda će biti izabran 1. URN.

U drugom urnu, samo bijele kugle, tako u slučaju njezina izbora Pojava crne lopte nemoguće: .

I konačno, u trećem urn jednom crnim kuglicama i stoga odgovara uvjetna vjerojatnost Black Ball Extract će biti (Događaj je pouzdano).

- Vjerojatnost da će se crna kugla izvaditi iz nasumice odabranog urna.

Odgovor:

Ponovno rastavljeni primjer predlaže koliko je važno da se spusti u stanje. Uzmite iste zadatke s urns i kuglicama - kada su vanjske sličnosti, rješenja mogu biti potpuno drugačija: negdje se morate primijeniti samo definicija klasične vjerojatnosti, negdje događaji neovisannegdje ovisan, a negdje govorimo o hipotezama. U isto vrijeme, ne postoji jasan formalni kriterij za odabir rješenja rješenja - gotovo uvijek mora razmišljati o tome. Kako poboljšati svoje kvalifikacije? Mi odlučujemo, odlučujemo i ponovno riješimo!

Zadatak 2.

U crticu ima 5 različitih točnost bitke puške. Vjerojatnosti unosa cilja za ovu strelicu su 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 i 0,4. Kolika je vjerojatnost udarca cilja, ako strijelac napravi jedan snimak slučajno odabrane puške?

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U većini tematskih zadataka, hipoteza, naravno, nisu ravnomjerno jednake:

Zadatak 3.

U piramidu 5 pušaka, tri od kojih su tri opremljene optičkim pogledom. Vjerojatnost da će strijelac pogoditi meta prilikom pucanja puške s optičkim očima, jednak 0,95; Za pušku bez optičkog prizora, ta je vjerojatnost 0,7. Pronađite mogućnost da će meta biti zaprepaštena ako strijelac proizvodi jedan snimak niza uzeti pušku.

Odluka: U ovom zadatku, broj pušaka je potpuno isti kao u prethodnom, ali postoje samo dvije hipoteze:
- strijelac će odabrati pušku s optičkim pogledom;
- Strijelac će odabrati pušku bez optičkog prizora.
Po klasična definicija vjerojatnosti: .
Kontrolirati:

Razmotrite događaj: - strijelac će pogoditi metu od slučajnih pušaka.
Po uvjetima :.

Prema formuli punoj vjerojatnosti:

Odgovor: 0,85

U praksi, prilično skraćeni način registracije zadatka koji također znate:

Odluka: Klasičnoj definiciji: - vjerojatnosti odabira puške s optičkim i bez optičkog prizora.

Po uvjetima, - vjerojatnosti ulaska u cilj iz odgovarajućih vrsta pušaka.

Prema formuli punoj vjerojatnosti:
- Vjerojatnost da će strijelac pogoditi metu od rampe odabrane puške.

Odgovor: 0,85

Sljedeći zadatak za samo rješenja:

Zadatak 4.

Motor radi u tri načina: normalan, prisiljen i prazan hod. U načinu rada u praznom hodu, vjerojatnost njegovog neuspjeha je 0,05, u normalnom načinu rada - 0.1, te s prisilnim - 0,7. 70% vremena motor radi u normalnom načinu rada i 20% u prisilnom. Koja je vjerojatnost neuspjeha motora tijekom rada?

Samo u slučaju da vas podsjetim - da biste dobili postotak vjerojatnosti potrebno je podijeliti u 100. Budite vrlo oprezni! Prema mojim zapažanjima, uvjeti za zadatke na punoj vjerojatnosti formule često pokušavaju zauzeti; I posebno sam pokupio takav primjer. Reći ću vam tajnu - nisam se zbunio gotovo \u003d)

Rješenje na kraju lekcije (ukrašen kratko strane)

Zadaci za Bayes Formule

Materijal je usko povezan s sadržajem prethodnog stavka. Neka se događaj dogodio kao rezultat provedbe jedne od hipoteza , Kako odrediti vjerojatnost da je postojalo mjesto takve hipoteze?

S obzirom na totaj događaj već se dogodilovjerojatnost hipoteza precijenjen Prema formulama koji su dobili ime engleskog svećenika Thomasa Bayes:

- Vjerojatnost da je postojala hipoteza;
- Vjerojatnost da je postojala hipoteza;
…
- Vjerojatnost da je postojala hipoteza.

Na prvi pogled, čini se da je potpuna glupost - zašto ponovno izračunati vjerojatnost hipoteza, ako su tako poznati? Ali u stvari, postoji razlika:

- ovo je apriorno (Ocijenjen prije Vjerojatnost) vjerojatnost.

- ovo je apaperija (Ocijenjen nakon Testovi) vjerojatnost istih hipoteza, ponovno izračunati zbog "s novootkrivenim okolnostima" - uzimajući u obzir činjenicu da je događaj pouzdan se dogodio.

Razmotrite ovu razliku na određeni primjer:

Zadatak 5.

Skladište je primilo 2 batch proizvoda: prvih - 4000 komada, drugi - 6000 komada. Prosječni postotak nestandardnih proizvoda u prvoj seriji je 20%, au drugom - 10%. Raduchi uzeta iz skladišta Proizvod se pokazao standardnim. Pronađite vjerojatnost da: a) iz prve serije, b) iz druge serije.

Prvi dio rješenja Sastoji se u korištenju pune vjerojatnosti formule. Drugim riječima, izračuni se drže pod pretpostavkom da test još nije proizveden Događaj "Proizvod se pokazao standardnim" dok ne dođe.

Razmotrite dvije hipoteze:
- Desni proizvod će biti iz prve stranke;
- Preuzeta granica proizvoda bit će iz 2. zabave.

Ukupno: 4000 + 6000 \u003d 10.000 proizvoda na zalihi. Prema klasičnoj definiciji:
.

Kontrolirati:

Razmotrite ovisni događaj: - povećanje proizvoda iz skladišta bit će Standard.

U prvoj seriji 100% - 20% \u003d 80% standardnih proizvoda, tako: s obzirom na toda pripada prvoj stranci.

Slično tome, u drugoj seriji 100% - 10% \u003d 90% standardnih proizvoda i - vjerojatnost da će proizvod uzet u skladištu biti standardan s obzirom na toda pripada drugoj zabavi.

Prema formuli punoj vjerojatnosti:
- Vjerojatnost da će proizvod uzet u skladištu biti standardan.

Drugi dio. Neka blatnjava uzeta iz skladišta nastao je da je proizvod standardan. Ova fraza je izravno napisana u stanju i navodi se na činjenicu da je događaj došlo.

Prema Bayes formulama:

a) - vjerojatnost da izabrani standardni proizvod pripada 1. seriji;

b) - vjerojatnost da izabrani standardni proizvod pripada 2. seriji.

Nakon revalorizacija hipoteze, naravno, i dalje se formiraju puna grupa:
(Ček ;-))

Odgovor:

Ivan Vasilyevich će nam pomoći da razumijemo značenje revalorizacije hipoteza, koji su ponovno promijenili svoju profesiju i postali ravnatelj biljke. On zna da je danas 1. radionica isporučila 4000 do skladišta, a 2. trgovina je 6000 proizvoda, a dolazi kako bi bili sigurni da. Pretpostavimo da su svi proizvodi iste vrste u jednom spremniku. Naravno, Ivan Vasilyevich preliminarno je izračunao da proizvod koji se sada uklanja za provjeru vjerojatno objavljuje prve radionice i s vjerojatnošću - drugi. Ali nakon što se odabrani proizvod ispada da je standard, uzvikuje: "Kakav cool vijak! - Najvjerojatnije je objavio drugu trgovinu. " Dakle, vjerojatnost druge hipoteze je revalorizirana na bolje, a vjerojatnost prve hipoteze je podcijenjena :. A ova revalorizacija nije raseljena - jer je 2. dućan proizveden ne samo više proizvoda, već i radi 2 puta bolje!

Kažete li čisti subjektivizam? Djelomično da, štoviše, Seales sam interpretirao apaperija vjerojatnost kao razina povjerenja, Međutim, nije sve tako jednostavno - postoji objektivno zrno u Bayesovom pristupu. Uostalom, vjerojatnost da će proizvod biti standardan (0,8 i 0,9 za 1. i 2. radionice, odnosno) ovo je preliminaran (a priori) i sredinaprocjene. Ali, izražavajući filozofski - sve teče, sve se mijenja i vjerojatno uključujući. To je moguće u vrijeme istraživanja Uspješnija druga radionica podigla je postotak standardnih proizvoda (i / ili 1. radionica smanjena)A ako provjerite više ili svih 10 tisuća proizvoda na skladištu, onda revalorizirane vrijednosti će biti mnogo bliže istini.

Usput, ako Ivan Vasilyevich uklanja nestandardne detalje, onda je naprotiv - bit će više "sumnjiv" 1. radionica i manje - drugi. Predlažem da se uvjerim da:

Zadatak 6.

Skladište je primilo 2 batch proizvoda: prvih - 4000 komada, drugi - 6000 komada. Prosječni postotak nestandardnih proizvoda u prvoj seriji je 20%, u drugom - 10%. Raduch snimljen iz skladišta ispao je nestandard. Pronađite vjerojatnost da: a) iz prve serije, b) iz druge serije.

Stanje se odlikuje po dva slova o kojoj sam istaknuo hrabar font. Zadatak se može riješiti s "čistim listom" ili iskoristiti rezultate prethodnih izračuna. U uzorku, imao sam cjelovito rješenje, ali da ne bih imao formalni sloj s zadatkom broja 5, događaj "Proizvod uzet iz skladišta bit će nestandardan" označen.

Bayesian chart transakcije vjerojatnosti javlja se svugdje, a aktivno ga iskorištavaju razne vrste prevaranta. Razmotrimo negativan JSC u tri slova koja privlači depozite stanovništva, navodno ulagati negdje, to je ispravno plaćeno dividenda, itd. Što se događa? Potrebno je dan za dan, mjesec nakon mjeseca i sve više novih činjenica, izvijestio je oglašavanje i "Sorolhed Radio", samo povećati razinu povjerenja u financijsku piramidu (Revalorizacija posteri Bayesov u vezi s događajima koji su se dogodili!), To jest, u očima štediša postoji stalno povećanje vjerojatnosti "Ovo je ozbiljan ured"; U ovom slučaju, vjerojatnost suprotne hipoteze ("Ovo su sljedeći dlijeti"), naravno, smanjuje i smanjuje. Nadalje, mislim, razumljivo. Važno je napomenuti da je zarađeni ugled daje organizatorima vrijeme da se uspješno sakriju od Ivana Vasilyevicha, koji je ostao ne samo bez bolt party, nego i bez hlača.

Ne manje zanimljivih primjera, mi ćemo se vratiti nešto kasnije, kao i red, možda najčešći slučaj s tri hipoteze:

Zadatak 7.

Elektrolacija se izrađuju na tri tvornice. 1. biljka proizvodi 30% od ukupnog broja svjetiljki, 2. - 55%, a treći je ostatak. Proizvodi 1. biljke sadrže 1% neispravne svjetiljke, 2. - 1,5%, 3Rd - 2%. Store dolazi proizvode svih triju biljaka. Kupljena svjetiljka bila je brak. Koja je vjerojatnost da ga proizvodi 2. biljka?

Imajte na umu da u zadacima za Bayes Formule u stanju prije Neki se pojavljuju Što se dogodilodogađaj u ovom slučaju - kupnja svjetiljke.

Događaji su dodani i odluka To je prikladnije organizirati u "brzom" stilu.

Algoritam je potpuno isti: U prvom koraku nalazimo vjerojatnost da je kupljena svjetiljka uopće Će se ispasti neispravan.

Koristeći izvorne podatke, prevodimo interes za vjerojatnost:
- Vjerojatnost da se svjetiljka proizvodi prve, 2. i 3. biljke, respektivno.
Kontrolirati:

Slično tome: - vjerojatnosti proizvodnje neispravne svjetiljke za relevantne tvornice.

Prema formuli punoj vjerojatnosti:

- Vjerojatnost da će kupljena svjetiljka biti s brakom.

Drugi korak. Neka kupljena lampa bude neispravna (događaj se dogodio)

By Bayes formula:
- Vjerojatnost da je kupljena neispravna svjetiljka napravljena od strane druge biljke

Odgovor:

Zašto je početna vjerojatnost 2. hipoteze nakon povećanja revalorizacije? Uostalom, druga biljka proizvodi medij u kvaliteti svjetiljke (prvo - bolje, treći je lošiji). Pa zašto se povećao apotrijat Vjerojatnost da je neispravna svjetiljka iz 2. biljke? To se ne objašnjava "ugled", već veličini. Budući da je biljka br. 2 objavila najveću količinu svjetiljki, onda na njemu (barem subjektivno) i pjena: "Najvjerojatnije, ova neispravna svjetiljka je odatle".

Zanimljivo je primijetiti da su vjerojatnosti 1. i 3. hipoteze revalorirane u očekivanim smjerovima i jednake:

Kontrolirati: Ono što je potrebno za provjeru.

Usput, o podcijenjenim i precijenjenim procjenama:

Zadatak 8.

U studentskoj skupini, 3 osobe imaju visoku razinu pripreme, 19 osoba - srednji i 3 - niska. Vjerojatnosti uspješnog položenog ispita za podatke studenata odnosno su jednake: 0,95; 0,7 i 0,4. Poznato je da je neki student položio ispit. Koja je vjerojatnost da:

a) pripremljen je vrlo dobro;
b) prosjek je pripremljen;
B) bio je dobro pripremljen.

Obavljati izračune i analizirati rezultate revalorizacije hipoteza.

Zadatak je blizu stvarnosti i posebno je uvjerljiv za skupinu studenata arhitekta, gdje učitelj praktički ne poznaje sposobnosti učenika. U tom slučaju, rezultat može uzrokovati prilično neočekivane posljedice. (posebno za ispite u 1. semestru), Ako je slabo pripremljen učenik sretan na kartu, učitelj će to vjerojatno smatrati dobrom ili čak snažnim studentom koji će u budućnosti donijeti dobre dividende (Naravno, morate "podići bar" i održavati svoju sliku), Ako je učenik od 7 dana i 7 noći učio, zatvorio, ponavljao, ali on je jednostavno nije bio sretan, onda se daljnji događaji mogu razviti u vrlo lošem furniru - s brojnim obnovom i balansiranjem na rubu polaska.

Što reći, ugled je najvažniji kapital, to nije slučajno da mnoge korporacije nose imena-imena svojih osnivača, koji je vodio posao prije 100-200 godina i postao poznat po besprijekornom ugledu.

Da, Bayesov pristup u određenoj mjeri je subjektivan, ali ... Život je tako dogovoren!

Ispunite materijal konačnim industrijskim primjerom u kojem ću vam reći o još uvijek nije ispunjeno tehničko razumijevanje odluke:

Zadatak 9.

Tri tvorničke radionice proizvode slične predmete koji ulaze u sklop u zajednički spremnik. Poznato je da prva radionica proizvodi 2 puta više detalja od druge radionice, a 4 puta više od treće radionice. U prvoj radionici, brak je 12%, u drugom - 8%, u trećem - 4%. Za kontrolu spremnika se uzima jedan detalj. Koja je vjerojatnost da će biti neispravna? Koja je vjerojatnost da izvađena neispravna stavka objavila je 3. trgovinu?

Taki Ivan Vasilyevich opet na konjima \u003d) Mora postojati sretan završetak iz filma)

Odluka: Za razliku od zadataka br. 5-8, izričito se daje pitanje koje je dopušteno korištenjem pune formule vjerojatnosti. No, s druge strane, stanje je malo "šifrirano", a za rješavanje ovog Rebusa pomoći će nam pomoći školskoj vještini da formira najjednostavnije jednadžbe. Za "x" prikladno prihvatiti najmanji značenje:

Pustite - udio detalja koje proizvodi treća radionica.

Pod uvjetom, prva trgovina proizvodi 4 puta treće radionice, stoga je udio 1. radionice.

Osim toga, prva radionica proizvodi proizvode 2 puta više od druge radionice, što znači da potonji udio :.

Dopustite nam i riješimo jednadžbu:

Dakle, - vjerojatnost da se dio ekstrahira iz spremnika oslobađa 1., 2. i 3. trgovina, respektivno.

Kontrolirati: . Osim toga, neće biti suvišno gledati na frazu "Poznato je da prva trgovina proizvodi proizvode 2 puta više od druge radionice i 4 puta više od treće radionice" I pobrinite se da dobivene vrijednosti vjerojatnosti odgovaraju ovom stanju.

Za "X" u početku je bilo moguće uzeti udio 1. ili udio druge radionice - vjerojatnosti će izaći isto. No, na ovaj ili onaj način, najteža zaplet je prošlo, a odluka je uključena u valjanu kolor:

Iz stanja pronalazimo:
- vjerojatnosti proizvodnje neispravnog dijela za odgovarajuće radionice.

Prema formuli punoj vjerojatnosti:
- Vjerojatnost da će cjeloviti detalj ekstrahirani iz spremnika biti nestandardan.

Pitanje je drugo: Koja je vjerojatnost da je ekstrahirani neispravan dio objavio 3. trgovinu? Ovo pitanje sugerira da je predmet već izvađen i ispostavilo se da je neispravan. Precjenjivanje hipoteze od strane Bayes formule:
- Željena vjerojatnost. Apsolutno se očekivalo - jer treća radionica ne proizvodi ne samo najmanji udio detalja, već i vodi u kvaliteti!

U ovom slučaju morao sam pojednostavite četverokatni udaracda u zadacima u Bayes Formule moraju učiniti vrlo često. Ali za ovu lekciju, nekako sam tako slučajno pokupio primjere u kojima se mnogi izračuni mogu provesti bez običnih frakcija.

Od uskoro, nema bodova "a" i "biti", odgovor je bolji za pružanje tekstualnih komentara:

Odgovor: - vjerojatnost da će se dio izvaditi iz spremnika biti neispravan; - Vjerojatnost da je dohvaćena neispravna stavka objavila 3. trgovinu.

Kao što možete vidjeti, zadaci na formuli za punu vjerojatnost i Bayes formulu su vrlo jednostavna, a vjerojatno, zbog toga su tako često pokušavaju otežati teško razmišljati o onome što sam spomenuo početak članka.

Dodatni primjeri su u datoteci s gotova rješenja na f.p.v. i Bayes FormulaOsim toga, vjerojatno ćete imati želje da se više duboko upoznajte s ovom temom u drugim izvorima. A tema je stvarno vrlo zanimljiva - što je samo jedan paradox Bayes.Što opravdava da svakodnevno vijeće da ako se osoba dijagnosticira rijetka bolest, ima smisla ponoviti, pa čak i dvije ponovljene neovisne ankete. Čini se da čini isključivo od očaja ... - ali ne! Ali nećemo biti tužno.

- Vjerojatnost da će proizvoljni izabrani student položiti ispit.
Neka student položi ispit. Prema Bayes formulama:
ali) - Vjerojatnost da je student koji je položio ispit pripremljen vrlo dobro. Objektivna početna vjerojatnost je precijenjena, jer gotovo uvijek neki "srednji" je sretan s pitanjima i vrlo snažno reagiraju, što uzrokuje pogrešan dojam o besprijekornom obuku.
b - Vjerojatnost da je student koji je položio ispit pripremljen u prosjeku. Početna vjerojatnost je neznatno precijenjena, jer Učenici s prosječnom razinom pripreme su obično najviše, osim toga, učitelj će preuzeti neuspješne "odlične učenike", a povremeno i slabo troše studenta koji je vrlo sretan s kartom.
u) - Vjerojatnost da je student koji je položio ispit bio dobro pripremljen. Početna vjerojatnost je revalorizirana na gore. Ne iznenađuje.
Ček:
Odgovor :

Počinje razumijevanje (proučavanje) vjerojatnosti gdje se završava klasični tijek teorije vjerojatnosti. Iz nekog razloga škola i sveučilište podučavaju frekvenciju (kombinatornu) vjerojatnost ili vjerojatnost onoga što se određuje. Ljudski mozak radi drugačije. Imamo teorije (mišljenja) o svemu na svijetu. Subjektivno procjenjujemo vjerojatnost određenih događaja. Također možemo promijeniti vaše mišljenje ako se dogodilo nešto neočekivano. To je ono što radimo svaki dan. Na primjer, ako se sretnete s djevojkom na spomenik Pušanju, razumijete hoće li biti na vrijeme, kasno za 15 minuta ili pola sata. Ali odlazak na područje podzemne željeznice, i vidjeti 20 cm svježeg snijega, ažurirate svoje vjerojatnosti da uzimaju u obzir nove podatke.

Takav je pristup prvi put opisan Bayes i Laplace. Iako Laplace, mislim da nije bio upoznat s radom Bayesa. Prema nerazumljivom razumu, Bayesian je pristup prilično slabo zastupljen u književnosti u ruskom govornom području. Za usporedbu, primijetit ću da na zahtjev Bayes Ozon daje 4 reference, a Amazon je oko 1000.

Sadašnja bilješka je prijevod male engleske knjige i dat će vam intuitivno razumijevanje kako koristiti teoremu Bayes. Počinje definicijom, a zatim koristi primjere u Excelu, koji će omogućiti praćenje cjelokupnog tijeka razmišljanja.

Scott Hartshorn. Bayes 'teorem primjeri: vizualni vodič za početnike. - 2016, 82 str.

Preuzmite bilješku u formatu ili, primjeri u formatu

Definicija teorema Bayes i intuitivno objašnjenje

Teorem Bayes.

gdje je A i B događaji, P (a) i p (b) - vjerojatnosti A i B Isključujući jedni druge, P (a | b) je uvjetovana vjerojatnost događaja A, pod uvjetom da je B istina, str (b | a - Uvjetna vjerojatnost B, ako i uistinu.

Zapravo, jednadžba je nešto složenija, ali za većinu aplikacija je dovoljno. Rezultat izračuna je jednostavno normalizirana ponderirana vrijednost na temelju početne pretpostavke. Dakle, uzmite početnu pretpostavku, vagati u odnosu na druge početne mogućnosti, normalizirati na temelju promatranja:

Tijekom rješavanja problema izvršit ćemo sljedeće korake (u daljnjem tekstu da će postati jasniji):

1. Odredite kakve vjerojatnosti želimo izračunati i ono što promatramo.
2. Procijenite početne vjerojatnosti za sve moguće opcije.
3. Pretpostavljajući istinu određene početne opcije, izračunajte vjerojatnost našeg promatranja; I tako za sve početne opcije.
4. Pronađite suspendiranu vrijednost kao rad početne vjerojatnosti (korak 2) i uvjetnu vjerojatnost (korak 3), kao i za svaku od početnih opcija.
5. Normalizirati rezultate: podijeliti svaku ponderiranu vjerojatnost (korak 4) za zbroj svih uvjerljivih vjerojatnosti; Zbroj normaliziranih vjerojatnosti \u003d 1.
6. Ponovite korake 2-5 za svako novo promatranje.

Primjer 1. Jednostavan primjer s kostima

Pretpostavimo da vaš prijatelj ima 3 kosti: od 4, 6 i 8 lica. On nasumično odabire jedan od njih, ne pokazuje vas, baca i izvješćuje o rezultatu - 2. Izračunajte vjerojatnost da je odabrana 4-godišnjakinja, 6-godišnjak, 8-godišnjak.

Korak 1. Želimo izračunati vjerojatnost 4-ocijenjenog izbora, 6-godišnjeg ili 8-godišnjaka. Promatramo pad / 2.

Korak 2. Budući da su kosti bile 3, početna vjerojatnost odabira svakog od njih je 1/3.

Korak 3. Promatranje - kost je pala kao lice 2. Ako je uzeta 4-godišnjaka, šanse za to su jednake 1/4. Za 6-ocjenu šanse za 2-Ki ispuštanja šanse - 1/6. Za 8 ocjenjivanja - 1/8.

Korak 4. Gubitak 2-Ki za 4-godišnje \u003d 1/3 * 1/4 \u003d 1/12, za 6-stupanj \u003d 1/3 * 1/6 \u003d 1/18, tijekom 8-godišnje \u003d 1 / 3 * 1/8 \u003d 1/24.

Korak 5. Opća vjerojatnost gubitka 2-Ki \u003d 1/12 + 1/18 + 1/24 \u003d 13/72. To je manje od 1, jer su šanse za bacanje 2-ku manje od 1. ali znamo da ste već bacili 2-ku. Dakle, moramo podijeliti šanse svake verzije od koraka od 4 do 13/72, tako da zbroj svih šansi za sve kosti leći 2. 1. Ovaj se proces naziva normalizacijom.

Normaliziranje svake ponderirane vjerojatnosti, nalazimo vjerojatnost da je ova kost odabrana:

• 4-godišnja \u003d (1/12) / (13/72) \u003d 6/13
• 6-godišnja \u003d (1/18) / (13/72) \u003d 4/13
• 8-godišnja \u003d (1/24) / (13/72) \u003d 3/13

A to je odgovor.

Kada smo počeli rješavati zadatak, predložili smo da je vjerojatnost odabira određene kosti 33,3%. Nakon što smo ispali 2-ki, izračunali smo šanse da je 4-stupanj 4-ocjene priliku izabrana na 46,1%, šanse za odabir 6-godišnjeg smanjenja na 30,8%, a šanse da je 8-godišnji Stara je izabrana i pala na sve do 23,1%.

Ako napravite drugo bacanje, mogli bismo koristiti novo izračunato zanimanje kao naše početne pretpostavke i razjasniti vjerojatnosti na temelju drugog promatranja.

Ako imate jedino promatranje, svi koraci su prikladni za predstaviti u obliku tablice:

Stol. 1. Korak-po-korak rješenje u obliku tablice (obrasce, vidi Excel datoteku na listu Primjer 1.)

Bilješka:

• Ako umjesto 2-Ki ispasti, na primjer, 7-kA, onda bi šanse u koraku 3 bila nula, a nakon normalizacije, šanse 8-godišnjaka bi bila 100%.
• Kao primjer uključuje samo tri kosti i jedno bacanje, koristili smo jednostavne frakcije. Za većinu problema s velikim brojem opcija i događaja, lakše je raditi s decimalnim frakcijama.

Primjer 2. Više kostiju. Više bacanja

Ovaj put imamo 6 kostiju s 4, 6, 8, 10, 12 i 20 lica. Odabiremo jedan od njih nasumično i bacimo 15 puta. Koja je vjerojatnost da je izabrana određena kost?

Koristim model u Excelu (sl. 1; vidi list Primjer 2.). Slučajni brojevi se generiraju u stupcu B koristeći funkciju \u003d racionaliranje (1; $ B $ 9). U tom slučaju, 8-godišnju ćeliju se bira u B9 ćeliji, tako da slučajni brojevi mogu primati vrijednosti od 1 do 8. Budući da Excel ažurira slučajne brojeve nakon svake promjene na listu, kopirao sam stupac na pufer i umetnuti samo vrijednosti u C stupcu. Sada se vrijednosti ne mijenjaju i koristit će se za naknadne crteže. (Dodao sam te priliku da se "igra" s izborom broja lica i slučajnih bacanja na listu Primjer 2 igre, Dobiveni su osobito zanimljivi rezultati, ako je u stanici B9 postavljen broj 13 🙂 - Cca. Baguzin.)

Sl. 1. Generator slučajnih brojeva

Korak 2. Od samo šest kocki, vjerojatnost odabira jednog slučajnog je 1/6 ili 0,167.

Koraci 3 i 4. Pišemo jednadžbu za vjerojatnost početnog izbora određene kosti nakon odgovarajućeg bacanja. Kao što smo vidjeli na kraju primjera 1, neke bacanja ne mogu odgovarati jednoj ili drugoj kosti. Na primjer, gubitak od 9 KI čini vjerojatnost 4-, 6- i 8-flu kosti jednake nuli. Ako je "legitiman" broj pao, tada je njegova vjerojatnost za ovu kost jednak jedinici podijeljenoj s brojem lica. Za praktičnost, kombinirali smo korake 3 i 4, tako da odmah povratimo formulu za vjerojatnost bacanja pomnoženog s normalnom vjerojatnošću nakon prethodnog bacanja (slika 2):

Ako (bacanje\u003e brojeve lica; 0; 1 / broj lica * prethodna normalizirana vjerojatnost)

Ako pažljivo koristite, možete povući ovu formulu u sve linije.

Sl. 2. jednadžba vjerojatnosti; Za povećanje slike kliknite na njega desnom tipkom miša kliknite i odaberite Otvorite sliku na novoj kartici

Korak 5. Posljednji korak je normalizacija rezultata nakon svakog bacanja (regija L11: R28 na slici 3).

Sl. 3. Normalizacija rezultata

Dakle, nakon 15 snimaka s vjerojatnošću od 96,4%, možemo pretpostaviti da je izvorno izabrana 8 ° C kost. Iako postoje šanse da je kost izabrana s b oko po broju lica: 3,4% za 10-završenu kost, 0,2% - za 12-produženo, 0.0001% - za 20-produženo. No, vjerojatnost da je 4- i 6-ocjenjivane kosti je nula, jer je među ispuštenim brojevima 7 i 8. to, naravno, odgovara činjenici da smo unijeli broj 8 u ćeliju B9, ograničavajući vrijednosti za generator slučajnih brojeva.

Ako konstruiramo grafikon vjerojatnosti svake mogućnosti početnog izbora kostiju, bacanje bacanja, vidjet ćemo (sl. 4):

• Nakon prvog bacanja, vjerojatnost odabira kocke s 4 lica na nulu, jer je 6-KA odmah pao. Stoga je vodstvo zauzela verziju kosti 6-lica.
• Za nekoliko prvih snimaka, kost od 6 lica ima najveću vjerojatnost, jer sadrži najmanje lica među kostima koje mogu odgovoriti na pale vrijednosti.
• Na petom bacanju pao je 8-KA, vjerojatnost 6-godišnjih kapi na nulu, a 8-godišnjakinja postaje vođa.
• Vjerojatnosti 10-, 12- i 20-ocijenjenih kostiju na prvom bacanja glatko se smanjila, a zatim je doživjela prskanje kada je 6-lica kosti pala iz utrke. To je zbog činjenice da su rezultati normalizirani u mnogo manjem uzorku.

Sl. 4. Promjena vjerojatnosti bacanjem bacanjem

Bilješka:

• Teorem Bayes za više događaja jednostavno se ponavlja množenjem na sekvencijalno ažuriranim podacima. Konačni odgovor ne ovisi o tome kako su se događaji dogodili.
• Nije potrebno normalizirati vjerojatnosti nakon svakog događaja. Možete to učiniti jednom na samom kraju. Problem je u tome što se ako ne i ne normalizirati, vjerojatnosti postaju tako male koje Excel može nepravilno raditi zbog pogrešaka zaokruživanja. Dakle, praktičnije je normalizirati na svakom koraku nego provjeriti ako niste došli na granicu točnosti Excel.

Bayes Teorem. Terminologija

• Početna vjerojatnost je vjerojatnost svake mogućnosti prije nego što se dogodilo promatranje zove se apriorno.
• Normalizirani odgovor nakon izračunavanja vjerojatnosti za svaku točku podataka (za svako promatranje) se zove posterui.
• Ukupna vjerojatnost korištena za normalizaciju odgovora je stalna normalizacija.
• Uvjetna vjerojatnost, tj. Poziva se vjerojatnost svakog događaja igranje.

Evo kako ti uvjeti traže prvi primjer (uspoređujući sl. 1).

Sl. 5. Uvjeti teorema Bayes

Sam Bayes Teorem u novim definicijama izgleda ova (usporedba s formulom 2):

Primjer 3. Nepošteni novčić

Imate kovanica koji, kao što sumnjate, nije iskren. Bacite ga 100 puta. Izračunajte vjerojatnost da će nepošteni novčić pasti s orao s vjerojatnošću od 0%, 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 100%, 100%, 100%, 100%, 100%, 100%, 100% ,

Pogledajte Excelovu datoteku, list Primjer 3., U stanicama B13: B112, generirala sam slučajni broj od 0 do 1, a uz pomoć posebnog umetanja, premjestio sam vrijednost na C stupac u staničnoj B8, naznačio sam da očekuje postotak orao koji pada za ovaj nepošteni novčić , U stupcu d pomoću funkcije ako sam okrenuo vjerojatnost u jedinicama (orlovi, za vjerojatnost r od 0,35 do 1) ili u nulama (pire za r od 0 do 0,35).

Sl. 6. Početni podaci za nepoštene kovanice

Imam 63 orlova i 37 izrade, što dobro odgovara generatoru slučajnih brojeva, ako smo instalirali vjerojatnost Eaglesa 65%.

Korak 1. Želimo izračunati vjerojatnost da se orlovi odnose na košare od 0%, 10%, ... 100%, gledajući 63 orlova i 37 rijeka sa 100 snimaka.

Korak 2. Postoji 11 početnih mogućnosti: vjerojatnosti 0%, 10%, ... 100%. Naivit ćemo da sve početne sposobnosti imaju jednaku vjerojatnost, to jest, 1 šanse za 11 (sl. 7). (Mogli bismo realnije dati početne vjerojatnosti smještene u području od 50% velikih težina od vjerojatnosti na rubovima - 0% i 100%. Ali najznačajniji je da, budući da imamo cijeli 100 bacanja, početne vjerojatnosti nisu toliko važni!)

Korak 3 i 4. Izračun istine. Da biste izračunali vjerojatnost nakon svakog bacanja u Excelu, funkcija se koristi ako. U slučaju da je orao pao, uvjerljivost je jednaka radu mogućnosti prethodne normalizirane vjerojatnosti. Ako je rijeka ispala, uvjerljivost je jednaka (1 minus sposobnost) * prethodna normalizirana vjerojatnost (slika 8).

Sl. 8. Relapyditet

Korak 5. Normalizacija se izvodi kao u prethodnom primjeru.

Rezultati su najzanimljiviji u obliku niza histograma. Početni raspored je vjerojatnost priori. Tada je svaki novi raspored situacija nakon sljedećih 25 snimaka (sl. 9). Budući da smo postavili vjerojatnost Eagle 65% na ulazu, prikazani grafikoni ne uzrokuju iznenađenje.

Sl. 9. Vjerojatnost opcija nakon niza bacanja

Što zapravo znači 70% šanse za mogućnost 0,6? Ovo nije 70% šanse da novčić točno padne za 60%. Budući da smo imali teren od 10% između opcija, procjenjujemo da postoji 70% šanse da će ovaj novčić pasti u raspon između 55 i 65%. Rješenje za korištenje 11 početnih opcija, s povećanjem od 10% bio je potpuno proizvoljan. Mogli bismo koristiti 101 početnu mogućnost s koracima od 1%. U tom slučaju, dobili bismo rezultat s maksimumom od 63% (budući da smo imali 63 orao) i glatkije pad u grafikonu.

Imajte na umu da u ovom primjeru primijetili smo sporiju konvergenciju u usporedbi s primjerom 2. To je zbog činjenice da je razlika između novčića, okrećući 60% na 70%, manje od kockica s 8 i 10 lica.

Primjer 4. Više kostiju. Ali s pogreškama u toku podataka

Vratimo se na primjer 2. Prijatelj u kosti vrećicu od 4, 6, 8, 10, 12, 20 unuka. On izvodi jednu kost nasumce i baca ga 80 puta. On bilježi pao brojeve, ali u 5% slučajeva je pogrešan. U tom slučaju slučajni broj se pojavljuje od 1 i 20 umjesto stvarnog rezultata bacanja. Nakon 80 bacanja, što mislite, kakva je odabrana vrsta kosti?

Kao ulaz u Excel (list Primjer 4.) Ušao sam u broj stranaka (8), kao i vjerojatnost da podaci sadrže pogrešku (0,05). Formula za bacanje (slika 10):

Ako (adhesis ()\u003e vjerojatnosti pogreške; trajno (1; broj lica); racija (1; 20))

Ako je slučajni broj veći od vjerojatnosti pogreške (0,05), onda nije bilo bacanja pogrešaka, tako da generator slučajnih brojeva odabire vrijednost između 1 i "montirane" strane kocke, inače biste trebali generirati slučajni cijeli broj između 1 i 20.

Sl. 10. Izračun vrijednosti bacanja

Na prvi pogled, mogli bismo riješiti ovaj problem na isti način kao u primjeru 2. Ali, ako ne smatrate vjerojatnost pogrešaka, dobit ćemo raspored vjerojatnosti kao na slici. 11. (Najlakši način da ga dobijete u Excelu je prvo generirati bacanja u stupcu u vrijednosti pogreške 0,05; zatim prenesite vrijednosti bacanja u stupac C i konačno promijenite vrijednost u ćeliji B11 na 0; budući da je formula za izračunavanje atribucije u rasponu D14: J94 odnosi se na B11 ćeliju, učinak ne računovodstvenih pogrešaka će se postići.)

Sl. 11. Obrada vrijednosti bacanja bez uzimanja u obzir vjerojatnost prisutnosti pogrešaka

Budući da je vjerojatnost pogreške mala, a generator slučajnog broja konfiguriran je za 8-godišnjak, vjerojatnost potonjeg s svakog bacanja postaje dominantna. Štoviše, budući da pogreška može s vjerojatnošću od 40% (osam od dvadeset) dati vrijednost unutar 8, onda vrijednost pogreške koja utječe na rezultat, pojavio se samo na 63. bacanju. Međutim, ako se ne uzimaju u obzir pogreške, vjerojatnost 8-godišnjeg će se okrenuti na nulu, a 100% će dobiti 20-godišnjak. Imajte na umu da je do 63. bacanja vjerojatnost 20 razreda bila samo 2 * 10 -25.

Šanse za dobivanje pogreške - 5%, a vjerojatnost da će pogreška dati vrijednost veću od 8, je 60%. Oni., 3% bacanja će dati pogrešku s vrijednošću od više od 8, što se dogodilo na bacij 63, kada je snimanje je napravljeno 17. Ako se vjerojatnost formule ne uzima u obzir moguće pogreške, dobivamo polijetanje vjerojatnosti 20-godišnjeg razreda od 2 x 10 -25 do 1, kao na slici. jedanaest.

Ako osoba skrupulozno nadzire podatke, može otkriti ovu pogrešku i ne uzeti pogrešne vrijednosti. Za automatiziranje procesa dodajte jednadžbu istine pomoću provjere pogrešaka. Nikada nemojte instalirati nule vjerojatnosti pogrešaka, ako priznate da se ne mogu potpuno isključiti. Ako uzimate u obzir vjerojatnosti pogrešaka, onda stotine "ispravnih" podataka neće dopustiti odvojene pogrešne vrijednosti da pokvare sliku.

Dopunjujemo jednadžbu vjerodostojnost provjere pogrešaka (sl. 12):

Ako ($ C15\u003e f $ 13; $ B $ 11 * 1/20 * N14; ($ 11 * 1/20 + (1 - $ B $ 11) / f $ 13) * N14) *

Sl. 12. Funkcija glasnoće s pogreškama

Ako je zabilježena vrijednost bacanja veća od broja lica ($ C15\u003e f $ 13), uvjetovana vjerojatnost se ne resetira, ali smanjuje, uzimajući u obzir vjerojatnost pogreške ($ $ 11 * 1/20 * N14). Ako je snimljeni broj manji od broja lica, uvjetna vjerojatnost nije u cijelosti, kao i uzimajući u obzir moguću pogrešku ($ 11 * 1/20 + (1 - $ B $ 11) / f $ 13) * n14). U potonjem slučaju, vjerujemo da bi snimljeni broj mogao biti kao posljedica pogreške ($ 11 * 1/20) i rezultat ispravnog unosa (1- $ B $ 11) / f $ 13).

Promjena normalne vjerojatnosti postaje otpornije na moguće pogreške (sl. 13).

Sl. 13. Promjena normalne vjerojatnosti od bacanja na bacanje

U ovom primjeru, 6-završena kost je u početku omiljena, jer prva 3 bacanja - 5, 6, 1. tada 7-KA i vjerojatnost 8-godišnjeg ide prema gore. Međutim, izgled 7-ki ne vraća vjerojatnost 6-godišnjaka, jer 7-K može biti pogreška. Čini se da sljedećih devet snimaka potvrđuju to kada vrijednosti nisu više od 6: Vjerojatnost 6-godišnjaka ponovno počinje rasti. Ipak, na 14. i 15. bacanja, 7-ki ponovno ispadne, a vjerojatnost da se kost od 6-lica približava nuli. Kasnije se pojavljuju vrijednosti od 17 i 19, koje "sustav" definira koliko je jasno pogrešno.

Primjer 4a. Što ako doista imate visoku frekvenciju pogrešaka?

Ovaj primjer je sličan prethodnom, ali se učestalost pogrešaka povećava s 5% na 75%. Budući da su podaci postali manje relevantni, povećali smo broj snimaka do 250. primjenom istih jednadžbi kao u Primjeru 4, dobivamo sljedeći grafikon:

Sl. 14. normalizirana vjerojatnost na 75% pogrešnih unosa

Uz tako visoku učestalost pogrešaka, uzelo je mnogo više bacanja. Osim toga, rezultat je manje definiran, a 6-godišnjakinja periodično postaje veća vjerojatnost. Ako imate još veću stopu pogreške, na primjer, 99%, još uvijek možete dobiti točan odgovor. Očito, što je veća učestalost pogrešaka, potrebno je učiniti više bacanja. Za 75% pogrešaka dobivamo jednu ispravnu vrijednost od četiri. Ako je vjerojatnost pogreške 99%, dobili bismo samo jednu ispravnu vrijednost od sto. Vjerojatno nam je potrebno 25 puta više podataka za identifikaciju dominantne opcije.

A što ako ne znate vjerojatnost pogreške? Preporučujem "Play" s primjerima 4 i 4A, postavljanje različitih vrijednosti iz vrlo male u ćeliju B11 (na primjer, 2 x 10 -25 na primjer 4) do vrlo velike (na primjer, 90%, na primjer 4a). Ovdje su glavni zaključci:

• Ako je procjena frekvencije pogrešaka veća od stvarne frekvencije pogrešaka, rezultati će se konvergirati polako, ali se i dalje približavaju točan odgovor.
• Ako ste preniska ocjena pogreške, postoji rizik da rezultati neće biti točni.
• Što je manje frekvencija pogrešaka, to je veće mjesto za manevar koji imate u nagađanju učestalosti pogrešaka.
• Što je viša stvarna učestalost pogrešaka, više podataka trebate.

Primjer 5. Problem njemačkog spremnika

U ovom zadatku pokušavate procijeniti koliko je spremnika proizvedeno, na temelju serijskih brojeva zarobljenih spremnika. Bayes Teorem je koristio saveznici tijekom Drugog svjetskog rata, a na kraju je dao rezultate niže od onih prijavljenih inteligencije. Nakon rata, zapis je pokazao da su statističke procjene korištenjem teorema Bayes bili točniji. (Znatiželjno je da sam napisao bilješku o ovoj temi, još ne znajući što je vjerojatnost za Bayesu; vidjeti. - Cca. Baguzin.)

Dakle, analizirate serijske brojeve uklonjene iz slomljenih ili zarobljenih spremnika. Cilj je procijeniti koliko je spremnika proizvedeno. To je ono što znate o serijskim brojevima spremnika:

• Počinju s 1.
• To su cijeli brojevi bez preskakanja.
• Pronašli ste sljedeće serijske brojeve: 30, 70, 140, 125.

Zainteresirani smo za odgovor na pitanje: Koji je maksimalni broj spremnika? Počet ću s 1000 spremnika. Ali netko drugi može početi s 500 spremnika ili 2000 tenkova, a možemo dobiti različite rezultate. Analizirat ću svakih 20 tenkova, što znači da imam 50 početnih mogućnosti za broj spremnika. Možete komplicirati model i analizirati za svakog pojedinca u Excelu, ali odgovor se neće mnogo mijenjati, a analiza će se značajno komplicirati.

Pretpostavljam da je sva mogućnost broja spremnika jednaka (tj. Vjerojatnost 50 spremnika je ista kao i 500). Imajte na umu da Excelova datoteka ima više stupaca nego što je prikazano na slici. Konvencionalna vjerojatnost vjerojatnosti funkcije je vrlo slična uvjetnoj vjerojatnosti primjera 2:

• Ako je promatrani serijski broj veći od maksimalnog serijskog broja za ovu skupinu, vjerojatnost prisutnosti takvog broja spremnika je 0.
• Ako je promatrani serijski broj manji od maksimalnog serijskog broja za ovu skupinu, vjerojatnost je jedinica podijeljena s brojem spremnika pomnoženih s normalnom vjerojatnošću u prethodnom koraku (Sl. 15).

Sl. 15. Uvjetne vjerojatnosti distribucije spremnika po skupinama

Normalizirane vjerojatnosti izgledaju kako slijedi (sl. 16).

Sl. 16. Normalizirana vjerojatnost spremnika

Postoji veliki prskanje vjerojatnosti za maksimalni promatrani serijski broj. Nakon toga dolazi do asimptotičkog smanjenja na nulu. Za 4 otkrivene serijske brojeve, maksimalno odgovara na 140 spremnika. No, unatoč činjenici da je taj broj najvjerojatniji odgovor, to nije najbolja procjena, jer gotovo svakako podcjenjuje broj spremnika.

Ako uzmete ponderirani prosječni broj spremnika, tj. Za sumiranje umnoženih skupina i njihove vjerojatnosti za četiri spremnika, primjenjujući formulu:

Zaobljeni (BD9: DA9; BD14: DA14); 0)

dobivamo najbolju procjenu 193.

Ako smo izvorno nastavili iz 2000 tenkova, bilo bi ponderirani prosjek od 195 tenkova, što bitno ne mijenja ništa.

Primjer 6. Testiranje droga

Znate da je 0,5% populacije koristi lijekove. Imate test koji daje 99% istinskih pozitivnih rezultata za lijek i 98% istinskih negativnih rezultata za ne-konzumiranje. Slučajno odabirete osobu, provedite test i dobijete pozitivan rezultat. Koja je vjerojatnost da osoba zapravo koristi droge?

Za naš slučajni pojedinac početna vjerojatnost Činjenica da je to potrošač droga je 0,5%, a vjerojatnost da nije potrošač droga 99,5%.

Sljedeći korak je izračun uvjetne vjerojatnosti:

• Ako predmet troši lijekove, test će biti pozitivan u 99% slučajeva i negativan u 1% slučajeva.
• Ako predmet ne koristi lijekove, test će biti pozitivan u 2% slučajeva i negativno u 98% slučajeva.

Funkcije vjerovanja za konzumirane i ne-droge prikazane su na Sl. 17.

Sl. 17. Funkcije vjerovanja: (a) za uporabu droga; (b) za ne-droge

Nakon normalizacije, vidimo da, unatoč pozitivnim povratnim informacijama, vjerojatnost da ova slučajna osoba koristi lijekove je samo 0,1992 ili 19,9%. Ovaj rezultat iznenađuje mnoge ljude, jer je na kraju točnost testa prilično visoka - čak 99%. Budući da je početna vjerojatnost bila samo 0,5%, čak i veliki porast ove vjerojatnosti nije bilo dovoljno da odgovor doista veliki.

Intuicija većine ljudi ne uzima u obzir početnu vjerojatnost. Čak i ako je uvjetna vjerojatnost stvarno visoka, vrlo niska početna vjerojatnost može dovesti do niske konačne vjerojatnosti. Intuicija većine ljudi konfigurira se oko početne vjerojatnosti 50/50. Ako je to slučaj, rezultat testa je pozitivan, onda će normalizirana vjerojatnost biti očekivana 98%, što potvrđuje da osoba koristi lijekove (sl. 18).

Sl. 18. Test rezultat s početnom vjerojatnošću 50/50

Alternativni pristup objašnjenju takvih situacija, vidi.

Pogledajte bibliografiju na teoremu Bayes na kraju bilješki.

Ako je događaj ALI može se pojaviti samo prilikom obavljanja jednog od događaja koji se formiraju kompletna skupina nepotpunih događaja zatim vjerojatnost događaja ALI Izračunate formulom

Ova formula se zove formula puna vjerojatnost .

Ponovno razmotrimo potpunu skupinu nepotpunih događaja, čiji je vjerojatnost pojavljivanja , Događaj ALI može se dogoditi samo s bilo kojim od događaja koji će se zvati hipoteza , Zatim u skladu s formulom pune vjerojatnosti

Ako je događaj ALI To se dogodilo, može promijeniti vjerojatnosti hipoteza .

Po vjerojatnosti množenja teorema

.

Slično tome, za preostale hipoteze

Nazivna formula se zove bayes formula (bayes formula ). Zove se vjerojatnost hipoteza vjerojatnosti posteriorti , dok - a priori vjerojatnosti .

Primjer. Store je dobila nove proizvode od tri poduzeća. Postotak ovog proizvoda je sljedeći: 20% - Proizvodi prvog poduzeća, 30% - Proizvodi drugog poduzeća, 50% su proizvodi trećeg poduzeća; Nadalje, 10% proizvoda prvog poduzeća najvišeg razreda, u drugom poduzeću - 5% i na trećem - 20% najviših proizvoda. Pronađite vjerojatnost da će slučajno kupiti nove proizvode biti najviši stupanj.

Odluka. Označiti U Događaj koji se sastoji u činjenici da će se proizvodi najviše ocjene kupiti, kroz događaje za kupnju proizvoda koji pripadaju prvom, drugom i trećem poduzećima prema prvom, drugom i trećem poduzećima.

Možete primijeniti punu formulu vjerojatnosti i u našoj bilješci:

Zamjena tih vrijednosti u formuli pune vjerojatnosti dobivamo željenu vjerojatnost:

Primjer. Jedan od tri strijelca pozvana je na vatru i proizvodi dvije snimke. Vjerojatnost udarca meta s jednim pucanjem za prvu strelicu je 0,3, za drugo - 0,5; Za treći - 0,8. Cilj nije zaprepašten. Pronađite mogućnost da se snimci naprave prvi strijelac.

Odluka. Moguće su tri hipoteze:

Prvi strijelac se zove na liniji vatre,

Drugi strijelac se zove na liniji vatre,

Treći strijelac je uzrokovan vatrom.

Budući da je izazov na liniji požara bilo koje strelice je ravnoteža, onda

Kao rezultat iskustva, primijećen je događaj u - nakon strijelaca, cilj nije bio zaprepašten. Uvjetne vjerojatnosti ovog događaja s hipotezama su jednake:

prema Formuli Bayes nalazimo vjerojatnost hipoteze nakon iskustva:

Primjer. Na tri strola strojevi obrađuju istim vrstom dijela koji dolaze nakon obrade na zajedničkom transporteru. Prvi stroj daje 2% braka, drugi - 7%, treći - 10%. Izvedba prvog stroja je 3 puta više performansi drugog, a treći je 2 puta manje od drugog.

a) Koji je postotak braka na transporteru?

b) Koji su udio pojedinosti svakog stroja među neispravnim dijelovima na transporteru?

Odluka. Uzmite s transportera da biste donijeli jedan detalj i razmotrili događaj A - detalj je neispravan. Ona je povezana s hipotezama o tome gdje je ovaj detalj obrađen: - Detaljni detalj stroja je obrađen pomoću stroja.

Uvjetne vjerojatnosti (u stanju problema koje su dane u obliku kamata):

Odnos proizvođača stroja znači sljedeće:

A budući da hipoteza formiraju potpunu skupinu, tada.

Odlučivanje rezultirajućeg sustava jednadžbi, nalazimo :.

a) puna vjerojatnost da je detalj preuzet s transportera neispravan:

Drugim riječima, u masi dijelova koji se približava transporter, brak je 4%.

b) neka znaju da je snimljen detalj neispravan. Pomoću formule Bayes naći ćemo uvjetnu vjerojatnost hipoteza:

Dakle, u ukupnoj masi neispravnih dijelova na transportu, udio prvog stroja je 33%, drugi je 39%, treći je 28%.

Praktični zadaci

Vježba 1

Rješavanje zadataka za glavne dijelove teorije vjerojatnosti

Cilj je dobiti praktične vještine u rješavanju problema

odjeljci teorije vjerojatnosti

Priprema za provedbu praktičnog zadatka

Pročitajte teoretski materijal na ovu temu, kako biste istražili sadržaj teorijskih, kao i relevantne dijelove u književnim izvorima

Postupak za obavljanje zadatka

Riješite 5 zadataka prema broju verzije zadataka navedenom u tablici 1.

Opcije za izvorne podatke

stol 1

	broj zadatka

Sastav izvješća o zadatku 1

5 riješenih zadataka prema broju opcije.

Zadaci za samo rješenja

1 .. su sljedeća grupa događanja: a) iskustvo - bacanje kovanica; Događaji: A1.- izgled grba; A2.- izgled figura; b) iskustvo - bacanje dva kovanica; Događaji: U 1- izgled dvaju grbova; Na 2 -izgled dvije znamenke; U 3- izgled jednog grba i jedne znamenke; c) iskustvo - bacanje igraće kosti; Događaji: C1 -izgled ne više od dvije točke; C2 -izgled tri ili četiri točke; C3 -izgled najmanje pet bodova; d) iskustvo - ciljna snimka; Događaji: D1.- pogoditi; D2 -skliznuti; e) iskustvo - dva ciljana snimka; Događaji: E0- nije jedan hit; E1- jedan udarac; E2.- dva hit; e) iskustvo - uklonite dvije karte s palube; Događaji: F1 -pojavu dvije crvene karte; F2.- izgled dvije crne karte?

2. U crnoj i B urnu crne kuglice. Jedna lopta je uklonjena iz urna. Pronađite mogućnost da je ova lopta bijela.

3. U URN A white I. B. crne kuglice. Od urn uzimaju jednu loptu i stavite na stranu. Ova lopta je bila bijela. Nakon toga, još jedna lopta uzima od URN-a. Pronađite mogućnost da će ova lopta biti bijela.

4. U URN A bijela i B. crne kuglice. Jedna lopta je izvađena iz urna i, bez gledanja, stavi u stranu. Nakon toga, još jedna lopta uzela iz URN-a. Bio je bijeli. Pronađite mogućnost da je prva lopta skrenuta na stranu je također bijela.

5. Iz URN-a koji sadrži a bijela i B. black Balls, izvadite jednu za drugom sve kugle osim jednog. Pronađite vjerojatnost da će posljednja preostala lopta u loptu biti bijela.

6. Iz URN-a u kojem bijele kugle i B crne, uklonite sve kuglice u njemu. Pronađite mogućnost da će drugi balon biti izvađen u redu.

7. U urn bijela i b crni kugli (A. > 2). Dvije kuglice se uklanjaju iz urna. Pronađite vjerojatnost da će obje kugle biti bijele.

8. U crnoj i B urnu crne kuglice (a\u003e 2, b\u003e 3). Pet loptica se uklanjaju iz urna. Pronađite vjerojatnost rta dva od njih bit će bijela i tri crna.

9. U stranci koja se sastoji od X proizvodi, dostupni I.neispravan. Od stranke je odabran za kontrolu i proizvodi. Pronađite vjerojatnost ronaj od njih točno j proizvodi će biti neispravni.

10. Igranje kosti juri jednom. Pronađite vjerojatnost sljedećih događaja: Ali -pojavu parnog broja točaka; U- izgled najmanje 5 bodova; IZ-izgled ne više od 5 bodova.

11. Igranje kosti juri dvaput. Pronađite vjerojatnost rČinjenicu da će se pojaviti i isti broj bodova.

12. Dvije igranje kostiju se bacaju u isto vrijeme. Pronađite vjerojatnosti sljedećih događaja: ALI- zbroj ispuštenih točaka je 8; U- proizvod ispuštenih točaka je 8; IZ-količina bodova pao je više od njihovog rada.

13. Dva kovanica žure. Koji je od događaja vjerojatniji: Ali -kovanice će ležati s istim strankama; U -kovanice će ležati na različitim stranama?

14. U URN A bijela i B. crne kugle (A. > 2; B. > 2). Iz urna u isto vrijeme dvije kugle. Koji je događaj vjerojatniji: ALI- kuglice iste boje; U -kuglice različitih boja?

15. Tri igrača igraju karte. Svaki od njih predao je 10 karata, a dvije kartice ostaju u bonu. Jedan od igrača vidi da ima 6 karata Bubanskog odijela i 4 - ne Bubansko. On resete dvije karte od ovih četiri i uzima se bonu. Pronađite vjerojatnost da će kupiti dvije tampourne kartice.

16. iz URN-a psvrha loptice, nasumce izvodi jedan za drugim loptima u njemu. Pronađite vjerojatnost da će brojevi rezanih kuglica ići u red: 1, 2, ..., p.

17. Isti URN kao u prethodnom zadatku, ali svaka lopta nakon uklanjanja ugrađena je natrag i pomiješana s drugima, a njegov broj je zabilježen. Pronađite mogućnost da će se zabilježiti prirodni slijed brojeva: 1, 2, ..., str.

18. Cijela paluba kartica (52 listova) podijeljena je u dva jednaka paketa od 26 listova. Pronađite vjerojatnosti sljedećih događaja: Ali -u svakom od pakiranja bit će dvije asove; U- U jednom od pakiranja neće biti niti jedan as, a u drugoj - sve četiri; C-b.jedna kopča će biti jedan as, au drugoj - tri.

19. U crtežu košarkaškog prvenstva uključeno je 18 timova, od kojih su dvije skupine od 9 timova nasumce formirane u svakoj. Među sudionicima natjecanja nalazi se 5 timova

dodatna klasa. Pronađite vjerojatnosti sljedećih događaja: Ali -sve dodatne naredbe će pasti u istu skupinu; U- Dva hitna ekipa će pasti u jednu od skupina, a tri na drugu.

20. Devet karata su pisani brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. dva od njih se uklanjaju nasumce i složeni na stolu po redu, zatim se dobiveni broj očitava, na primjer 07 (sedam), 14 (četrnaest), itd. Pronađite vjerojatnost da je broj čak i.

21. Na pet karata, brojevi su napisan: 1, 2, 3, 4, 5. Dva od njih, jedan za drugom, uklonjen. Pronađite vjerojatnost da će broj na drugoj kartici biti veći nego na prvom.

22. Isto pitanje je da je u zadatku 21, ali prva kartica nakon uklanjanja postavljena je i pomiješana s ostatkom, a broj koji stoji na njemu je napisano.

23. U URN A white, B. crna i crvena kuglica. Od urn izvadite jedan za drugim loptima u njemu i napiše svoje boje. Pronalaženje prilike da se na ovom popisu pojavljuje bijela boja prije crne.

24. Postoje dva urna: u prvom a bijela i B. crne kuglice; U drugom C. bijela i D. crno. Iz svakog URN uklonjen preko lopte. Pronađite vjerojatnost da će obje kugle biti bijele.

25. Pod uvjetima zadataka 24, pronađite vjerojatnost da će loptice biti različite boje.

26. U bubnju revolvera, sedam gnijezda, od kojih je pet položeno, a dva su ostala prazna. Bubanj se pokreće rotacijom, kao rezultat kojih se jedan od gnijezda ispada na deblo. Nakon toga se pritisne okidač; Ako je stanica bila prazna, snimka se ne događa. Pronađite vjerojatnost rČinjenica da, ponavljanje takvog iskustva dva puta u nizu, oboje se ne mijenjamo.

27. U istim uvjetima (vidi Zadatak 26) Pronađite vjerojatnost da će se pojaviti i put.

28. U URN postoji; loptice označene brojevima 1, 2, ..., doOd urna I.jednom je uklonio jednu loptu (I.<к), ball broj je napisan i lopta se vraća u URN. Pronađite vjerojatnost rda će svi zabilježeni brojevi biti različiti.

29. Od pet slova splitske abecede, izražena je riječ "knjiga". Dijete koje ne zna čitati, razbacana ta slova, a zatim prikupljaju slučajnim redoslijedom. Pronađite vjerojatnost rČinjenica da je opet pokazao riječ "knjiga".

30. Riječ "ananas" je sastavljen od slova splitske abecede. Dijete koje ne zna čitati, razbacana ta slova, a zatim prikupljaju slučajnim redoslijedom. Pronađite vjerojatnost rda opet ima riječ "ananas

31. Višestruke karte se uklanjaju s pune palube kartica (52 listova, 4 apartmana). Koliko će kartica treba biti uklonjena kako bi se vjerojatnije od 0,50, da bi tvrdila da će biti iste kartice među njima?

32. N.Čovjek nasumično nestaje preko okruglog stola (N\u003e2). Pronađite vjerojatnost rta dva fiksna lica ALIi UĆe biti blizu.

33. isti zadatak (cm 32), ali tablica je pravokutna, a n osoba je brzo slučajno duž jedne strane.

34. Loto barele su pisane brojeve od 1 do N.Ovih N.bačve su slučajno odabrane dva. Pronađite vjerojatnost da su brojevi manji od K napisan na oba vrpca (2

35. Na bačvama loto pisane brojeve od 1 do N.Ovih N.bačve su slučajno odabrane dva. Pronaći priliku da je jedan od kegs napisao broj veći od k , i s druge - manje od k . (2

36. Baterija M.pištolji vode vatru na skupinu koja se sastoji od N.ciljevi (M.< N). Pištolji izaberu svoje ciljeve dosljedno, nasumično, pod uvjetom da ne mogu pucati dva pištolja. Pronađite vjerojatnost rŠto će biti ispaljeno od strane ciljeva s brojevima 1, 2, ..., M.

37. Baterija, koja se sastoji od dopištolji, vode vatru na skupinu koja se sastoji od I.zrakoplov (do< 2). Svaki instrument slučajno bira cilj i bez obzira na druge. Pronaći vjerojatnost da sve dopištolji će pucati u istoj svrsi.

38. U uvjetima prethodnog zadatka pronađite vjerojatnost da će svi puške pucati različite svrhe.

39. Četiri kugle nasumce raspršena na četiri rupe; Svaka lopta ulazi u to ili drugu dobro s istom vjerojatnošću i bez obzira na druge (prepreke za ulazak u istu i isto dobro od nekoliko lopti). Pronađite mogućnost da će tri lopti biti u jednom od bunara, na drugu, i neće biti kuglice u drugim lijevim rupama.

40. Masha se posvađala s Petrom i ne želi ići s njim u jednom autobusu. 5 Autobusi ostavljaju od hostela do Instituta od 7 do 8. Tko nije imao vremena za te autobuse kasni na predavanje. Koliko načina Masha i Petra može doći do Instituta za različite autobuse, a ne zakasniti na predavanje?

41. Postoje 3 analitika, 10 programera i 20 inženjera u upravljanju informacijama Banke. Za prekovremeni rad na odmoru, šef Odjela trebao bi dodijeliti jedan zaposlenik. Koliko načina može biti učinjeno?

42. Voditelj sigurnosne službe Banke treba odvojiti 10 stražara za 10 postova. Koliko načina može biti učinjeno?

43. Novi predsjednik Banke mora imenovati 2 nove potpredsjednike između 10 direktora. Koliko načina može biti učinjeno?

44. Jedna od zaraćenih stranaka zarobila je 12, a ostalo - 15 zarobljenika. Koliko načina mogu razmijeniti 7 ratnih zarobljenika?

45. Petya i Masha prikupljaju video videozapis. Petit ima 30 komedija, 80 militanata i 7 melodija, Masha - 20 komedija, 5 militanata i 90 melodija. Koliko načina Petra i Masha može razmjenjivati \u200b\u200b3 komedije, 2 militante i 1 melodrama?

46. \u200b\u200bU smislu problema s 45, na neki način, Petar i Masha mogu razmjenjivati \u200b\u200b3 melodrame i 5 komedija?

47. Pod uvjetima zadataka 45, na neki način, Petar i Masha mogu razmjenjivati \u200b\u200b2 militanata i 7 komedija.

48. Jedna od zaraćenih stranaka zarobila je 15, a ostalo - 16 zatvorenika. Koliko načina mogu razmijeniti 5 ratnih zarobljenika?

49. Koliko automobila može biti registrirano u 1 grad ako broj ima 3 znamenke i 3 slova (samo oni čije pisanje podudara s latino - A, B, E, K, M, N, O, P, C, Y , X)?

50. Jedna od zaraćenih stranaka zarobljenih 14, a ostalo - 17 zarobljenika. Koliko načina mogu razmijeniti 6 ratnih zarobljenika?

51. Koliko različitih riječi može biti napravljeno po stranicama slova u riječi "majka"?

52. U košarici od 3 crvene i 7 zelenih jabuka. Potrebno je jednu jabuku iz njega. Pronađite vjerojatnost da će biti crvena.

53. U košarici od 3 crvene i 7 zelenih jabuka. Izvučeno je iz njega i odgodio jednu zelenu jabuku. Nakon toga, 1 jabuka je izvađena iz košare. Koja je vjerojatnost da će ova jabuka biti zelena?

54. U šarmi koja se sastoji od 1000 proizvoda, 4 imaju nedostatke. Za kontrolu odaberite seriju od 100 proizvoda. Koja je vjerojatnost da će u kontrolnom popisu biti neispravan?

56. U 80-ima, sportoto 5 od 36 utakmice bio je popularan u SSSR-u. Igrač je na kartici 5 broj od 1 do 36 primijetio i primio nagrade različitih prednosti ako pogodi drugačiji broj brojeva najavljenih od strane provizije za cirkulaciju. Pronađite mogućnost da igrač nije pogodio jedan broj.

57. U 80-ima u SSSR-u, igra "Sportlot 5 od 36" bio je popularan. Igrač je na kartici 5 broj od 1 do 36 primijetio i primio nagrade različitih prednosti ako pogodi drugačiji broj brojeva najavljenih od strane provizije za cirkulaciju. Pronađite mogućnost da igrač pogodi jedan broj.

58. U 80-ima u SSSR-u, igra "sportoto 5 od 36" bio je popularan. Igrač je na kartici 5 broj od 1 do 36 primijetio i primio nagrade različitih prednosti ako pogodi drugačiji broj brojeva najavljenih od strane provizije za cirkulaciju. Pronađite mogućnost da igrač pogodi 3 brojeva.

59. U 80-ima u SSSR-u, igra "sportoto 5 od 36" bila je popularna. Igrač je na kartici 5 broj od 1 do 36 primijetio i primio nagrade različitih prednosti ako pogodi drugačiji broj brojeva najavljenih od strane provizije za cirkulaciju. Pronađite mogućnost da igrač nije pogodio sve 5 brojeva.

60. U 1980-ima, Gameloto 6 od 49 bio je popularan u SSSR-u. Igrač je zabilježen na kartici 6 brojeva od 1 do 49 i primio nagrade različitih prednosti ako pogodi drugačiji broj brojeva proglašenih od strane provizije za cirkulaciju. Pronađite mogućnost da igrač pogodi 2 brojeva.

61. U 1980-ima, Greyloto 6 od 49 bio je popularan u SSSR-u. Igrač je zabilježen na kartici 6 brojeva od 1 do 49 i primio nagrade različitih prednosti ako pogodi drugačiji broj brojeva proglašenih od strane provizije za cirkulaciju. Pronađite mogućnost da igrač nije pogodio jedan broj.

62. U 80-ima, Greyloto 6 od 49 bio je popularan u SSSR-u. Igrač je zabilježen na kartici 6 brojeva od 1 do 49 i primio nagrade različitih prednosti ako pogodi drugačiji broj brojeva proglašenih od strane provizije za cirkulaciju. Pronađite vjerojatnost da je igrač dao sve 6 brojeva.

63. U šarmi koja se sastoji od 1000 proizvoda, 4 imaju nedostatke. Za kontrolu odaberite seriju od 100 proizvoda. Kakva je vjerojatnost da će biti samo 1 neispravnost biti u kontrolnom popisu?

64. Koliko različitih riječi može biti izrađeno po stranicama slova u riječi "knjiga"?

65. Koliko različitih riječi može biti izrađeno po returričnim slovima u riječi "ananas"?

66. 6 ljudi je ušlo u dizalo, a hostel ima 7 katova. Koja je vjerojatnost da će svih 6 ljudi izaći na istom katu?

67. 6 ljudi je ušlo u dizalo, zgrada ima 7 etaža. Koja je vjerojatnost da će svih 6 ljudi izaći na različite etaže?

68. Tijekom oluje na parceli između 40 i 79 km dogodilo se električne linije. S obzirom na to da je prekid jednako moguće, pronađite vjerojatnost da se slomljena dogodila između 40. i 45. kilometra.

69. Na dijelu od 200 kilometara plinovoda se javlja propuštanje plina između kompresorskih stanica A i B, što je jednako moguće u bilo kojem trenutku cjevovoda. Koja je vjerojatnost da se propuštanje odvija daljnjih od 20 km od

70. Na dijelu od 200 kilometara plinovodnog plinovoda pojavljuje se propuštanje plina između kompresorskih stanica A i B, što je jednako moguće bilo gdje u cjevovodu. Koja je vjerojatnost da se curenje događa bliže i od k u

71. Inspektor radara DPS-a ima točnost od 10 km / sat i rundi u sljedećem smjeru. Što se češće događa u korist vozača ili inspektora?

72. Masha provodi na putu do Instituta od 40 do 50 minuta, a svaki put u ovom razmaku je ekvivalentno. Kakva je vjerojatnost da će potrošiti na cesti od 45 do 50 minuta.

73. Petya i Masha složili su se da se sastaju na spomenik puški od 12 do 13 sati, ali nitko nije mogao odrediti vrijeme dolaska. Pristali su čekati 15 minuta. Koja je vjerojatnost njihovog sastanka?

74. Ribari su uhvatili 120 riba u ribnjaku, od kojih je 10 zagrijano. Koja je vjerojatnost hvatanja ocelirane ribe?

75. Iz košarice koja sadrži 3 crvene i 7 zelenih jabuka, uklonite sve jabuke. Koja je vjerojatnost da će 2. jabuka biti crvena?

76. Iz košarice koja sadrži 3 crvene i 7 zelenih jabuka, uklonite sve jabuke. Koja je vjerojatnost da će posljednja jabuka biti zelena?

77. Studenti smatraju da su od 50 ulaznica 10 "dobri". Petya i Masha se okreću povlačenjem jedne karte. Koja je vjerojatnost da je Masha dobio "dobru" ulaznicu?

78. Studenti smatraju da su od 50 ulaznica 10 "dobri". Petya i Masha se okreću povlačenjem jedne karte. Koja je vjerojatnost da o oba od njih dobila je "dobru" ulaznicu?

79. Masha je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja programa od 25. Profesor određuje 3 pitanja. Koja je vjerojatnost da će Masha odgovoriti na 3 pitanja?

80. Masha je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja programa od 25. Profesor određuje 3 pitanja. Koja je vjerojatnost da Masha neće odgovoriti na bilo koje pitanje?

81. Masha je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja programa od 25. Profesor određuje 3 pitanja. Koja je vjerojatnost da će Masha odgovoriti na 1 pitanje?

82. Statistika kreditnih zahtjeva u Banci je sljedeća: 10% - država. Vlasti, 20% - Ostale banke, ostali su pojedinci. Vjerojatnost bez povrata kredita, odnosno, 0,01, 0,05 i 0,2. Koji se udio kredita ne vraća?

83. Vjerojatnost da će tjedni promet trgovaca sladoleda premašiti 2000 rubalja. To je 80% s jasnim vremenom, 50% s promjenjivom oblakom i 10% s kišnim vremenskim uvjetima. Koja je vjerojatnost da promet prelazi 2000 rubalja. Ako je vjerojatnost jadnog vremena 20%, a promjenjiva oblačnost i kiša je 40%.

84. U URN-u i bijeloj (b) iu crne (h) kuglice. Iz urn se izvade (u isto vrijeme ili uzastopno) dvije kuglice. Pronađite vjerojatnost da će obje kugle biti bijele.

85. U URN A bijela i B.

86. U URN A. bijela i B.

87. U URN A. bijela i B. crne kuglice. Jedna lopta je uklonjena s URN-a, njegove boje i lopta se vraća u URN. Nakon toga, još jedna lopta uzima iz URN-a. Pronađite vjerojatnost da će te loptice biti različite boje.

88. Tu je kutija s devet novih teniskih kuglica. Za igru \u200b\u200buzima tri gola; Nakon igre vraćaju se. Prilikom odabira kuglica, igrači se ne razlikuju od ne-stolica. Koja je vjerojatnost da nakon tri igre u kutiji neće biti ostavljena za loptice?

89. Napuštanje stana, N. svaki gost će staviti na Njegov helos;

90. Ostavite stan, N.gosti koji imaju iste veličine cipela stavljaju se na podrug u mraku. Svaki od njih može razlikovati desni kalico s lijeve strane, ali ne može razlikovati svoje strance. Pronaći vjerojatnost da svaki gost stavlja Kalosh, koji pripada jedan par (možda i njihova).

91. U uvjetima zadatka iz 90 noći, vjerojatnost o tome što će svi otići u kalorije ako gosti ne mogu razlikovati desnu kalošu s lijeve i samo uzeti prva dva kalica.

92. Streličarstvo provodi zrakoplov čiji su ranjivi dijelovi dva motora i pilot kabina. Kako bi pogodio (izlaz) zrakoplov, dovoljno je pogoditi i motore zajedno ili pilot kabinu. Pod tim uvjetima snimanja, vjerojatnost oštećenja prvog motora je jednaka p1drugi motor p2,pilot kabine p3.Dijelovi zrakoplova su pogođeni međusobno. Pronađite mogućnost da će avion biti zaprepašten.

93. Dvije strelice, bez obzira na drugu, čine dva snimka (svaki od njihovog cilja). Vjerojatnost udarca cilja s jednim pucanjem za prvu strijelu p1za drugi p2.Pobjedničko natjecanje smatra se strijelcem, u cilju će biti tiskani. Pronađite vjerojatnost RahŠto će osvojiti prve strelice.

94. Iza prostora, objekt se otkriva s vjerojatnošću r.Otkrivanje objekta u svakom ciklusu događa se neovisno o drugima. Pronaći vjerojatnost da kada potkrit će se cilj ciklusa.

95. 32 Pisma ruske abecede napisana su na krugu splitske abecede. Pet karata se uklanjaju nasumce jedan za drugim i slaganjem na stolu redoslijedom izgleda. Pronađite mogućnost da riječ "kraj" će biti.

96. Dvije kuglice su raspršene slučajnim i neovisno jedni od drugih u četiri stanice koje se nalaze jedna od druge u ravnoj liniji. Svaka lopta s istom vjerojatnošću 1/4 ulazi u svaku stanicu. Pronađite mogućnost da će loptice pasti u susjedne stanice.

97. Streličarstvo se vrši zrakoplovi zapaljivih školjki. Gorivo na ravnini koncentrira se u četiri spremnika smještena u trupu jedan po jedan. Plaza spremnici su isti. Kako bi zapalili avion, dovoljno je dobiti dvije školjke u istom spremniku ili u susjednim spremnicima. Poznato je da su dva projektila pala u područje spremnika. Pronađite priliku da će avion osvijetliti.

98. Četiri karte se uklanjaju s pune palube karata (52 listova). Pronađite vjerojatnost da će sve te četiri kartice biti različite teksture.

99. Četiri karte se uklanjaju s pune palube kartica (52 listova), ali svaka kartica nakon uklanjanja vraća na palubu. Pronađite vjerojatnost da će sve te četiri kartice biti različite teksture ..

100. Kada je kontakt uključen, motor počinje raditi s vjerojatnošću r.

101. Uređaj može raditi u dva načina: 1) normalna i 2) abnormalna. Normalni način se uočava u 80% svih slučajeva uređaja; Abnormalno - 20%. Vjerojatnost neuspjeha uređaja u redu t.u normalnom načinu 0,1; U abnormalnom - 0,7. Puna vjerojatnost rneuspjeh uređaja je isključen.

102. Store dobiva robu od 3 dobavljača: 55% od 1., 20. 2. i 25% od 3. i 25%. Udio braka je 5, 6 i 8 posto. Koja je vjerojatnost da je kupljena neispravna roba došla od drugog dobavljača.

103. Vozila benzinskim postajama sastoji se od 60% tereta i 40% osobnih automobila. Koja je vjerojatnost pronalaženja benzinske postaje kamiona, ako je vjerojatnost njegovog goriva 0,1 i putnika - 0,3

104. Protok automobila po benzinskoj postaji sastoji se od 60% tereta i 40% osobnih automobila. Koja je vjerojatnost pronalaženja benzinske postaje kamiona, ako je vjerojatnost njegovog goriva 0,1 i putnika - 0,3

105. Store dobiva robu od 3 dobavljača: 55% od 1., 20 od 2. i 25% 3., Udio braka je 5, 6 i 8 posto. Koja je vjerojatnost da je kupljena neispravna roba došla od prvog dobavljača.

106. 32 Pisma ruske abecede napisana su na krugu splitske abecede. Pet karata se uklanjaju nasumce jedan za drugim i slaganjem na stolu redoslijedom izgleda. Pronađite vjerojatnost da će riječ "knjiga" biti.

107. Store dobiva robu od 3 dobavljača: 55% od 1., 20. 2. i 25% 3. i 25%. Udio braka je 5, 6 i 8 posto. Koja je vjerojatnost da je kupljena neispravna roba došla od prvog dobavljača.

108. Dvije kuglice su raspršene slučajnim i neovisno jedni od drugih u četiri stanice koje se nalaze jedna za drugom u ravnoj liniji. Svaka lopta s istom vjerojatnošću 1/4 ulazi u svaku stanicu. Pronađite vjerojatnost da će 2 kugle pasti u jednu ćeliju

109. Kada uključite paljenje, motor počinje raditi s vjerojatnošću r. Pronađite vjerojatnost da će motor početi raditi s drugim prekidačem paljenja;

110. Snimanje zrakoplova je izrađeno od strane zapaljenih školjki. Gorivo na ravnini koncentrira se u četiri spremnika smještena u trupu jedan po jedan. Plaza spremnici su isti. Da biste upali avion, dovoljno je dobiti dva projektila u istom spremniku. Poznato je da su dva projektila pala u područje spremnika. Pronađite vjerojatnost da će avion osvijetliti

111. Snimanje zrakoplova je izrađeno od strane zapaljenih školjki. Gorivo na ravnini koncentrira se u četiri spremnika smještena u trupu jedan po jedan. Plaza spremnici su isti. Da bi zapalili zrakoplov, dovoljno je dobiti dva projektila u susjednim spremnicima. Poznato je da su dva projektila pala u područje spremnika. Pronađite vjerojatnost da će avion osvijetliti

112. U URN A. bijela i B. crne kuglice. Jedna lopta je uklonjena s URN-a, njegove boje i lopta se vraća u URN. Nakon toga, još jedna lopta uzima iz URN-a. Pronađite vjerojatnost da će oba cut loptice biti bijele.

113. U URN A. bijela i B. crne kuglice. Dvije kuglice se uklanjaju iz URN-a. Pronađite vjerojatnost da će te loptice biti različite boje.

114. Dvije kuglice su raspršene slučajnim i neovisno jedna od druge u četiri stanice koje se nalaze jedna od druge u ravnoj liniji. Svaka lopta s istom vjerojatnošću 1/4 ulazi u svaku stanicu. Pronađite mogućnost da će loptice pasti u susjedne stanice.

115. Masha je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja programa od 25. Profesor određuje 3 pitanja. Koja je vjerojatnost da će Masha odgovoriti na 2 pitanja?

116. Učenici smatraju da su od 50 ulaznica 10 "dobri". Petya i Masha se okreću povlačenjem jedne karte. Koja je vjerojatnost da o oba od njih dobila je "dobru" ulaznicu?

117. Statistika kreditnih zahtjeva u Banci je sljedeća: 10% - država. Vlasti, 20% - Ostale banke, ostali su pojedinci. Vjerojatnost bez povrata kredita, odnosno, 0,01, 0,05 i 0,2. Koji se udio kredita ne vraća?

118. 32 Pisma ruske abecede napisana su na krugu splitske abecede. Pet karata se uklanjaju nasumce jedan za drugim i slaganjem na stolu redoslijedom izgleda. Pronađite mogućnost da riječ "kraj" će biti.

119 Statistika zahtjeva za kreditima u Banci je sljedeće: 10% - država. Vlasti, 20% - Ostale banke, ostali su pojedinci. Vjerojatnost bez povrata kredita, odnosno, 0,01, 0,05 i 0,2. Koji se udio kredita ne vraća?

120. Vjerojatnost da će tjedni promet sladoleda premašiti 2000 rubalja. To je 80% s jasnim vremenom, 50% s promjenjivom oblakom i 10% s kišnim vremenskim uvjetima. Koja je vjerojatnost da promet prelazi 2000 rubalja. Ako je vjerojatnost jadnog vremena 20%, a promjenjiva oblačnost i kiša je 40%.