Rehebnik Kuznetsov.
III grafikoni

Zadatak 7. Provedite cjelovito proučavanje funkcije i sastavite njezin graf.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp Prije nego što počnete preuzimati svoje opcije, pokušajte riješiti problem prema dolje navedenom primjeru za opciju 3. Neke su opcije arhivirane u .rar formatu

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Provesti cjelovito proučavanje funkcije i izgraditi njezin grafikon

Riješenje.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) Opseg: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ili & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, tj. & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
.
Tako: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) Nema presjeka s osi Ox. Doista, jednadžba & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp nema rješenja.
Nema presjeka s osi Oy budući da & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) Funkcija nije ni parna ni neparna. Nema simetrije oko ordinate. Nema ni simetrije oko podrijetla. Kao
.
Vidimo da & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp i & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) Funkcija je kontinuirana u domeni
.

; .

; .
Stoga je točka & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp točka prekida druge vrste (beskonačan prekid).

5) Okomite asimptote:& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Pronađite koso asimptotu & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Ovdje

;
.
Dakle, imamo vodoravnu asimptotu: y = 0... Ne postoje kose asimptote.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) Pronađite prvu izvedenicu. Prva izvedenica:
.
I zato
.
Nađi stacionarne točke gdje je derivacija nula, tj
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) Pronađi drugu izvedenicu. Druga izvedenica:
.
U to se lako uvjeriti, budući da

Kako ispitati funkciju i iscrtati je?

Čini se da počinjem shvaćati duševno, duševno lice vođe svjetskog proletarijata, autora sabranih djela u 55 svezaka .... Spori put započeo je elementarnim informacijama o funkcije i grafikoni, a sada rad na mukotrpnoj temi završava prirodnim rezultatom - članak o potpunom proučavanju funkcije... Dugo očekivani zadatak formuliran je na sljedeći način:

Istražite funkciju pomoću metoda diferencijalnog računa i na temelju rezultata istraživanja konstruirajte njezin graf

Ili, ukratko: ispitajte funkciju i iscrtajte grafikon.

Zašto istraživanje? U jednostavnim slučajevima neće nam biti teško baviti se elementarnim funkcijama, nacrtati graf dobiven pomoću elementarne geometrijske transformacije itd. Međutim, svojstva i grafike složenijih funkcija daleko su od očitih, zbog čega je potrebna čitava studija.

Glavni koraci rješenja sažeti su u referentnom materijalu Dijagram proučavanja funkcija, ovo je vaš vodič do odjeljka. Lutkama je potrebno korak po korak objašnjenje teme, neki čitatelji ne znaju odakle započeti i kako organizirati studij, a napredne studente može zanimati samo nekoliko točaka. No, tko god da ste, dragi posjetitelju, predloženi sinopsis s pokazivačima na razne lekcije u najkraćem mogućem roku će vas orijentirati i usmjeriti u smjeru interesa. Roboti liju suze =) Priručnik je izložen u obliku pdf datoteke i zauzeo je svoje zasluženo mjesto na stranici Matematičke formule i tablice.

Nekada sam proučavanje funkcije dijelio na 5-6 točaka:

6) Dodatne točke i grafikon na temelju rezultata istraživanja.

Na račun završne radnje, mislim da svi razumiju sve - bit će jako uvredljivo ako se u nekoliko sekundi precrta i zadatak vrati na reviziju. TOČAN I TOČAN CRTEŽ glavni je rezultat odluke! Najvjerojatnije će "prikriti" analitičke preglede, dok će netočan i / ili traljav raspored uzrokovati probleme čak i uz savršeno provedeno istraživanje.

Valja napomenuti da se u drugim izvorima broj istraživačkih točaka, redoslijed njihove provedbe i stil oblikovanja mogu značajno razlikovati od sheme koju sam predložio, ali u većini slučajeva to je sasvim dovoljno. Najjednostavnija verzija problema sastoji se od samo 2-3 faze i formulirana je otprilike ovako: "istražite funkciju pomoću izvedenice i izgradite graf" ili "istražite funkciju pomoću 1. i 2. izvedenice, izgradite graf".

Naravno, ako se neki drugi algoritam detaljno analizira u vašem priručniku za obuku ili vaš učitelj strogo zahtijeva da se pridržavate njegovih predavanja, tada ćete morati prilagoditi rješenje. Jednostavno kao i zamjena vilice žlicom motorne pile.

Provjerimo funkciju parnog / neparnog pariteta:

Nakon toga slijedi odjava pretplate:
, pa ova funkcija nije parna ili neparna.

Budući da je funkcija kontinuirano uključena, nema okomitih asimptota.

Nema ni kosih asimptota.

Bilješka : podsjetite da je viši redoslijed rasta nego je stoga konačna granica upravo " plus beskonačnost ".

Doznajmo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:

Drugim riječima, idemo li desno, tada grafikon ide beskonačno daleko gore, ako lijevo - beskrajno daleko dolje. Da, postoje i dva ograničenja u okviru jednog unosa. Ako imate poteškoća s dešifriranjem znakova, posjetite lekciju o beskonačno male funkcije.

Dakle funkcija neograničeno odozgo i neograničeno odozdo... S obzirom na to da nemamo prekidne točke, postaje jasno i raspon funkcija: - također bilo koji realan broj.

KORISNA TEHNIČKA POMOĆ

Svaka faza zadatka donosi nove informacije o grafikonu funkcije, stoga je prikladno koristiti neku vrstu LAYOUT -a u tijeku rješenja. Nacrtajmo na nacrtu kartezijanski koordinatni sustav. Što se već pouzdano zna? Prvo, grafikon nema asimptota, stoga nema potrebe za crtanjem ravnih linija. Drugo, znamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti. Prema analizi izvući ćemo prvu aproksimaciju:

Imajte na umu da je zbog kontinuitet funkcionira i činjenicu da graf mora prijeći os najmanje jednom. Ili možda postoji nekoliko točaka sjecišta?

3) Nule funkcije i intervali stalnosti.

Prvo, pronađimo točku presjeka grafa s osom ordinata. Jednostavno je. Vrijednost funkcije potrebno je izračunati kada:

Jedan i pol nadmorske visine.

Da biste pronašli sjecišta s osi (nule funkcije), morate riješiti jednadžbu, a ovdje nas čeka neugodno iznenađenje:

Na kraju vreba slobodni član, što značajno komplicira zadatak.

Takva jednadžba ima barem jedan pravi korijen, a najčešće je taj korijen iracionalan. U najgoroj bajci čekaju nas tri praščića. Jednadžba je rješiva ​​pomoću tzv Cardano formule ali rasipanje papira usporedivo je s gotovo cijelom studijom. S tim u vezi, mudrije je usmeno ili na propuhu pokušati pronaći barem jednog cijela korijen. Provjerimo jesu li brojevi:
- ne odgovara;
- tamo je!

Ovdje sreća. U slučaju neuspjeha, možete i testirati, a ako ti brojevi ne odgovaraju, onda su šanse za isplativo rješenje jednadžbe, bojim se, vrlo male. Tada je bolje potpuno preskočiti istraživačku točku - možda će nešto postati jasnije u posljednjem koraku, kada će se probiti dodatne točke. A ako je korijen (korijenje) očito "loš", onda je bolje šutjeti o intervalima stalnosti znakova i pažljivije napraviti crtež.

Međutim, imamo lijep korijen pa dijelimo polinom bez ostatka:

Algoritam za dijeljenje polinoma polinomom detaljno je opisan u prvom primjeru lekcije Izazovne granice.

Kao rezultat toga, lijeva strana izvorne jednadžbe razlaže u djelo:

A sada malo o zdravom načinu života. To svakako razumijem kvadratne jednadžbe treba rješavati svaki dan, ali danas ćemo napraviti iznimku: jednadžbu ima dva valjana korijena.

Pronađene vrijednosti ostavite po strani na numeričkoj liniji i intervalna metoda definirati znakove funkcije:


og Dakle, u intervalima grafikon se nalazi
ispod osi apscise, te u razmacima - iznad ove osi.

Nalazi nam omogućuju da detaljno opišemo svoj raspored, a druga aproksimacija grafikona izgleda ovako:

Imajte na umu da funkcija mora imati najmanje jedan maksimum na intervalu i najmanje jedan minimum na intervalu. No, koliko puta, gdje i kada će se raspored "uviti", još ne znamo. Usput, funkcija može imati beskonačno mnogo extrema.

4) Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije.

Pronađimo kritične točke:

Ova jednadžba ima dva stvarna korijena. Odlažemo ih na brojevnu crtu i određujemo znakove izvedenice:


Stoga se funkcija povećava za a smanjuje se za.
U jednom trenutku funkcija doseže svoj maksimum: .
U jednom trenutku funkcija doseže minimum: .

Utvrđene činjenice uvode naš predložak u prilično kruti okvir:

Ne treba ni govoriti da je diferencijalni račun moćna stvar. Konačno shvatimo oblik grafikona:

5) Konveksne, konkavne i prevojne točke.

Pronađimo kritične točke druge izvedenice:

Definirajmo znakove:


Graf funkcija je konveksan i konkavan. Izračunajmo ordinatu točke pregiba :.

Gotovo se sve raščistilo.

6) Ostaje pronaći dodatne točke koje će vam pomoći da točnije izgradite graf i izvršite samotestiranje. U ovom slučaju ima ih malo, ali nećemo zanemariti:

Izvršimo crtež:

Točka pregiba označena je zelenom bojom, dodatne točke označene su križićima. Graf kubične funkcije simetričan je u odnosu na točku pregiba, koja je uvijek točno u sredini između maksimuma i minimuma.

Tijekom zadatka dao sam tri hipotetička među crteža. U praksi je dovoljno nacrtati koordinatni sustav, označiti pronađene točke i nakon svake točke istraživanja mentalno shvatiti kako bi grafikon funkcija mogao izgledati. Učenicima s dobrom pripremljenošću neće biti teško provesti takvu analizu samo u svojoj glavi bez uključivanja nacrta.

Za neovisno rješenje:

Primjer 2

Istražite funkciju i iscrtajte grafikon.

Ovdje je sve brže i zabavnije, grub primjer završetka na kraju lekcije.

Proučavanjem razlomačko-racionalnih funkcija otkriva se mnogo tajni:

Primjer 3

Metodama diferencijalnog računa istražite funkciju i na temelju rezultata istraživanja konstruirajte njezin graf.

Riješenje: prvu fazu studije ne odlikuje ništa značajno, s izuzetkom rupe u domeni definicije:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijelom brojčanom retku osim u točki, domena: .

, pa ova funkcija nije parna ili neparna.

Očigledno je da je funkcija neperiodična.

Graf funkcije predstavlja dvije kontinuirane grane smještene u lijevoj i desnoj poluravnini - ovo je možda najvažniji zaključak prve točke.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

a) Koristeći jednostrana ograničenja, istražujemo ponašanje funkcije u blizini sumnjive točke, gdje okomita asimptota jasno treba biti:

Doista, funkcije traju beskrajna pauza na mjestu
a ravna crta (os) je vertikalna asimptota grafičke umjetnosti.

b) Provjerite postoje li koso asimptote:

Da, ravno je kosa asimptota grafike ako.

Nema smisla analizirati ograničenja, jer je već jasno da je funkcija u zagrljaju s kosom asimptotom neograničeno odozgo i neograničeno odozdo.

Druga točka istraživanja donijela je mnogo važnih informacija o funkciji. Napravimo grubu skicu:

Zaključak # 1 tiče se intervala stalnosti. Na "minus beskonačnosti" grafikon funkcije jedinstveno se nalazi ispod osi apscise, a na "plus beskonačnost" - iznad ove osi. Osim toga, jednostrana ograničenja govorila su nam da je funkcija lijevo i desno od točke također veća od nule. Imajte na umu da u lijevoj poluravnini grafikon mora barem jednom prijeći apscisu. U desnoj poluravnini možda nema nula funkcije.

Zaključak # 2 je da se funkcija povećava za i lijevo od točke (ide "odozdo prema gore"). Desno od ove točke funkcija se smanjuje (ide "odozgo prema dolje"). Desna grana grafikona mora imati najmanje jedan minimum. S lijeve strane ekstremi nisu zajamčeni.

Zaključak 3 daje pouzdane podatke o konkavnosti grafa u blizini točke. Ne možemo još ništa reći o konveksnosti / konkavnosti na beskonačnostima, budući da se linija može pritisnuti na svoju asimptotu i iznad i ispod. Općenito govoreći, trenutno postoji analitički način da se to shvati, ali oblik grafikona će "besplatno" postati jasniji u kasnijoj fazi.

Zašto toliko riječi? Za kontrolu naknadnih istraživačkih točaka i izbjegavanje pogrešaka! Daljnji izračuni ne bi trebali biti u suprotnosti s donešenim zaključcima.

3) Točke presjeka grafa s koordinatnim osima, intervali konstantnog znaka funkcije.

Graf funkcija ne prelazi os.

Metodom intervala definiramo znakove:

, ako;
, ako .

Rezultati stavka u potpunosti su u skladu sa Zaključkom br. Nakon svakog koraka, pogledajte nacrt, mentalno se obratite istraživanju i dovršite crtanje grafikona funkcija.

U primjeru koji se razmatra, brojnik se terminološki dijeli s nazivnikom, što je vrlo korisno za razlikovanje:

Zapravo, to je već učinjeno pri pronalaženju asimptota.

- kritična točka.

Definirajmo znakove:

povećava za a smanjuje se za

U jednom trenutku funkcija doseže minimum: .

Ni sa Zaključkom br. 2 nije bilo odstupanja, a najvjerojatnije smo na dobrom putu.

To znači da je graf funkcije konkavan po cijeloj domeni definicije.

Izvrsno - i ne morate ništa crtati.

Nema pregibnih točaka.

Udubljenost je u skladu sa Zaključkom br. 3, štoviše, ukazuje da se u beskonačnosti (i tamo i tamo) nalazi grafikon funkcije više njegova kosa asimptota.

6) Savjesno prikvačite zadatak s dodatnim bodovima. Ovdje morate naporno raditi jer znamo samo dvije točke iz studije.

I sliku koju su vjerojatno mnogi već odavno predstavili:

Tijekom zadatka morate pažljivo pratiti kako ne bi došlo do proturječja između faza studija, ali ponekad je situacija hitna ili čak očajnički slijepa. Ovdje se analitičar "ne uklapa" - i to je to. U ovom slučaju preporučujem hitnu metodu: pronalazimo što više točaka koje pripadaju grafikonu (koliko je strpljenja dovoljno) i označavamo ih na koordinatnoj ravnini. U većini slučajeva grafička analiza pronađenih vrijednosti će vam reći gdje je istina, a gdje laž. Osim toga, grafikon se može unaprijed sastaviti pomoću nekog programa, na primjer, u istom Excelu (naravno, za to su potrebne vještine).

Primjer 4

Koristeći metode diferencijalnog računa, istražite funkciju i izgradite njezin graf.

Ovo je primjer rješenja "uradi sam". U njoj je samokontrola pojačana paritetom funkcije - grafikon je simetričan oko osi, a ako u vašem istraživanju nešto proturječi ovoj činjenici, potražite pogrešku.

Parna ili neparna funkcija može se istraživati ​​samo pri, a zatim koristiti simetriju grafikona. Ovo rješenje je optimalno, ali izgleda, po mom mišljenju, vrlo neobično. Osobno razmatram cijelu os broja, ali još uvijek nalazim dodatne točke samo s desne strane:

Primjer 5

Provedite cjelovito proučavanje funkcije i sastavite njezin grafikon.

Riješenje: snažno pojurio:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijelom brojčanom pravcu :.

To znači da je ova funkcija neparna, njezin je grafikon simetričan u odnosu na ishodište.

Očigledno je da je funkcija neperiodična.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

Budući da je funkcija kontinuirano uključena, nema okomitih asimptota

Za funkciju koja sadrži eksponent, tipično odvojiti proučavanje "plusa" i "minus beskonačnosti", ali naš život olakšava simetrija grafikona - ili postoji asimptota s lijeve i s desne strane, ili je nema. Stoga se obje beskonačne granice mogu formalizirati pod jednim unosom. U tijeku rješenja koristimo se L'Hôpitalovo pravilo:

Ravna linija (os) je vodoravna asimptota grafa na.

Uočite kako sam pametno izbjegao potpuni algoritam za pronalaženje kose asimptote: granica je sasvim legalna i pojašnjava ponašanje funkcije u beskonačnosti, a vodoravna asimptota pronađena je "kao da je u isto vrijeme".

Iz kontinuiteta dalje i postojanja vodoravne asimptote proizlazi da je funkcija omeđen odozgo i omeđen odozdo.

3) Točke presjeka grafikona s koordinatnim osama, intervali stalnosti.

Ovdje također skraćujemo rješenje:
Grafikon prolazi kroz ishodište.

Nema drugih sjecišta s koordinatnim osama. Štoviše, intervali stalnosti znaka su očiti, a os se može izostaviti: što znači da znak funkcije ovisi samo o "x":
, ako;
, ako.

4) Povećanje, smanjenje, ekstremi funkcije.


- kritične točke.

Točke su simetrične oko nule, kako bi trebale biti.

Definirajmo znakove izvedenice:


Funkcija se povećava u intervalima i smanjuje u intervalima

U jednom trenutku funkcija doseže svoj maksimum: .

Na temelju imovine (neparna funkcija) minimum se može izostaviti:

Budući da se funkcija smanjuje u intervalu, tada se očito na "minus beskonačnosti" grafikon nalazi pod, ispod njegova asimptota. Na intervalu se funkcija također smanjuje, ali ovdje je suprotno - nakon prolaska kroz maksimalnu točku linija se približava osi već odozgo.

Iz navedenog također proizlazi da je graf funkcije konveksan u "minus beskonačnosti" i konkavan u "plus beskonačnosti".

Nakon ove točke istraživanja izvučen je i raspon vrijednosti funkcije:

Ako niste razumjeli bilo koju točku, još jednom vas pozivam da nacrtate koordinatne osi u bilježnicu i, s olovkom u ruci, ponovno analizirate svaki zaključak zadatka.

5) Konveksnost, konkavnost, krivulje grafa.

- kritične točke.

Simetrija točaka je sačuvana i najvjerojatnije ne griješimo.

Definirajmo znakove:


Graf funkcije je konveksan na i konkavno na .

Potpunost / udubljenje u ekstremnim intervalima je potvrđena.

Na svim kritičnim točkama u grafikonu postoje pregibi. Pronađite ordinate točaka pregiba, a opet smanjite broj izračuna pomoću neparnosti funkcije:

Ako je u zadatku potrebno provesti cjelovito proučavanje funkcije f (x) = x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijom njezina grafa, tada ćemo ovo načelo detaljno razmotriti.

Za rješavanje problema ove vrste potrebno je koristiti svojstva i grafikone osnovnih elementarnih funkcija. Algoritam istraživanja uključuje sljedeće korake:

Pronalaženje opsega

Budući da se istraživanje provodi na području definicije funkcije, potrebno je krenuti od ovog koraka.

Primjer 1

Navedeni primjer pretpostavlja pronalaženje nula nazivnika kako bi ih se isključilo iz ODZ -a.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞

Kao rezultat toga, možete dobiti korijene, logaritme itd. Tada se ODV može tražiti za korijen parnog stupnja tipa g (x) 4 po nejednakosti g (x) ≥ 0, za logaritam log a g (x) po nejednakosti g (x)> 0.

Istraživanje granica ODZ -a i pronalaženje okomitih asimptota

Na granicama funkcije postoje okomite asimptote kada su jednostrane granice u takvim točkama beskonačne.

Primjer 2

Na primjer, uzmite u obzir granične točke jednake x = ± 1 2.

Tada je potrebno provesti istraživanje funkcije kako bi se pronašla jednostrana granica. Tada dobivamo da je lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 ( - 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( - 2) ( + 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( - 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Iz ovoga se vidi da su jednostrane granice beskonačne, što znači da su ravne linije x = ± 1 2 okomite asimptote grafa.

Ispitivanje funkcije i za parni ili neparni paritet

Kad je uvjet y (- x) = y (x) zadovoljen, funkcija se smatra parom. To sugerira da se graf nalazi simetrično u odnosu na O y. Kad je uvjet y ( - x) = - y (x) zadovoljen, funkcija se smatra neparnom. To znači da je simetrija relativna u odnosu na ishodište. Ako barem jedna nejednakost nije zadovoljena, dobivamo opću funkciju.

Jednakost y (- x) = y (x) znači da je funkcija parna. Prilikom konstruiranja potrebno je uzeti u obzir da će postojati simetrija oko O y.

Za rješavanje nejednakosti koriste se intervali povećanja i smanjenja uz uvjete f "(x) ≥ 0 i f" (x) ≤ 0.

Definicija 1

Stacionarne točke- to su točke koje derivaciju pretvaraju u nulu.

Kritične točke su unutarnje točke iz domene gdje je derivacija funkcije nula ili ne postoji.

Prilikom odlučivanja potrebno je uzeti u obzir sljedeće napomene:

• s dostupnim intervalima povećanja i smanjenja nejednakosti oblika f "(x)> 0, kritične točke nisu uključene u rješenje;
• točke u kojima je funkcija definirana bez konačne izvedenice moraju biti uključene u intervale povećanja i smanjenja (na primjer, y = x 3, gdje točka x = 0 čini funkciju određenom, izvedenica ima vrijednost beskonačnosti pri ova točka, y "= 1 3 x 2 3, y" (0) = 1 0 = ∞, x = 0 je uključena u rastući interval);
• kako bi se izbjegle kontroverze, preporučuje se korištenje matematičke literature, koju preporučuje Ministarstvo obrazovanja.

Uključivanje kritičnih točaka u intervale povećanja i smanjenja u slučaju da zadovoljavaju područje funkcije.

Definicija 2

Za za određivanje intervala povećanja i smanjenja funkcije potrebno je pronaći:

• izvedenica;
• kritične točke;
• podijelite područje definicije pomoću kritičnih točaka u intervale;
• odrediti predznak izvedenice u svakom intervalu, gdje je + povećanje, a - smanjenje.

Primjer 3

Nađi izvedenicu na području f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 ...

Riješenje

Za rješavanje trebate:

• pronaći stacionarne točke, ovaj primjer ima x = 0;
• pronaći nule nazivnika, primjer uzima vrijednost nula pri x = ± 1 2.

Izlažemo točke na numeričkoj osi kako bismo odredili izvedenicu u svakom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koju točku iz intervala i izvršiti izračun. Ako je rezultat pozitivan, iscrtavamo + na grafikonu, što znači povećanje funkcije, i - znači njeno smanjenje.

Na primjer, f "( - 1) = - 2 · ( - 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9> 0, što znači da prvi interval s lijeve strane ima znak +. Razmotrite brojčanu crtu.

Odgovor:

• funkcija raste na intervalu - ∞; - 1 2 i (- 1 2; 0];
• dolazi do smanjenja intervala [0; 1 2) i 1 2; + ∞.

Na dijagramu, pomoću + i - prikazuje se pozitivnost i negativnost funkcije, a strelice - smanjuju i povećavaju.

Ekstremne točke funkcije su točke u kojima je funkcija definirana i kroz koje izvedenica mijenja znak.

Primjer 4

Ako uzmemo u obzir primjer gdje je x = 0, tada je vrijednost funkcije u njemu jednaka f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 = 0. Kad se znak izvedenice promijeni iz + u - i prođe kroz točku x = 0, tada se točka s koordinatama (0; 0) smatra maksimalnom točkom. Kad se znak promijeni iz - u +, dobivamo minimalni bod.

Konveksnost i konkavnost određuju se rješavanjem nejednakosti oblika f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0. Rjeđe, naziv se koristi konveksno prema dolje umjesto udubljenja, a konveksnost prema gore umjesto konveksnosti.

Definicija 3

Za određivanje intervala udubljenja i konveksnosti potrebno:

• pronaći drugu izvedenicu;
• pronaći nule druge izvedene funkcije;
• podijelite područje definicije s pojavljenim točkama u intervale;
• odrediti znak praznine.

Primjer 5

Pronađi drugu izvedenicu iz domene.

Riješenje

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "= = ( - 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nalazimo nule brojnika i nazivnika, gdje u našem primjeru imamo da su nule nazivnika x = ± 1 2

Sada morate iscrtati točke na numeričkoj osi i odrediti predznak druge izvedenice iz svakog intervala. Shvaćamo to

Odgovor:

• funkcija je konveksna iz intervala - 1 2; 12;
• funkcija je konkavna iz intervala - ∞; - 1 2 i 1 2; + ∞.

Definicija 4

Točka pregiba Je li točka oblika x 0; f (x 0). Kad ima tangentu na grafikonu funkcije, tada kad prolazi kroz x 0, funkcija mijenja svoj znak u suprotno.

Drugim riječima, ovo je točka kroz koju prolazi druga izvedenica i mijenja znak, a u samim točkama jednaka je nuli ili ne postoji. Sve točke smatraju se domenom funkcije.

U primjeru je vidljivo da nema točaka pregiba, budući da druga izvedenica mijenja znak tijekom prolaska kroz točke x = ± 1 2. Oni pak nisu obuhvaćeni opsegom definicije.

Pronalaženje vodoravnih i kosih asimptota

Prilikom definiranja funkcije u beskonačnosti morate tražiti vodoravne i kose asimptote.

Definicija 5

Kose asimptote prikazane su linijama definiranim jednadžbom y = k x + b, gdje je k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Za k = 0 i b koji nisu jednaki beskonačnosti, nalazimo da kosa asimptota postaje vodoravno.

Drugim riječima, asimptote su crte kojima se graf funkcije približava u beskonačnosti. To olakšava brzo iscrtavanje funkcije.

Ako nema asimptota, ali je funkcija definirana na obje beskonačnosti, potrebno je izračunati granicu funkcije na tim beskonačnostima kako bi se razumjelo kako će se grafikon funkcije ponašati.

Primjer 6

Na primjer, razmislite o tome

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je vodoravna asimptota. Nakon ispitivanja funkcije, možete je početi graditi.

Izračunavanje vrijednosti funkcije na međutočkama

Kako bi grafikon bio što točniji, preporučuje se pronaći nekoliko vrijednosti funkcije na međutočkama.

Primjer 7

Iz primjera koji smo razmotrili potrebno je pronaći vrijednosti funkcije u točkama x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Budući da je funkcija parna, dobivamo da se vrijednosti podudaraju s vrijednostima na tim točkama, odnosno dobivamo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Zapišimo i riješimo:

F ( - 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0,27 f ( - 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0,45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Za određivanje maksimuma i minimuma funkcije, točaka pregiba, međutočaka potrebno je konstruirati asimptote. Za prikladno označavanje, intervali povećanja, smanjenja, konveksnosti, udubljenja su fiksni. Razmotrite donju sliku.

Kroz označene točke potrebno je povući crte grafa, što će vam omogućiti da se približite asimptotama, slijedeći strelice.

Time je zaključeno potpuno istraživanje funkcije. Postoje slučajevi konstruiranja nekih elementarnih funkcija za koje se primjenjuju geometrijske transformacije.

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter