Pronađite duljinu vektora poznate koordinate bodova. Pronalaženje duljine koordinata vektora

Pronađite duljinu vektora prema svojim koordinatama (u pravokutnom koordinatnom sustavu), u skladu s koordinatama početka i kraja vektora i kosinus teorema (2 vektor i kut između njih).

Vektor - Ovo je usmjerena linija.Duljina ovog segmenta određuje brojčanu vrijednost vektora i zove seduljina vektora ili vektorskog modula.

1. Izračun duljine vektora svojim koordinatama

Ako se koordinate vektora daju u ravnom (dvodimenzionalnom) pravokutnom koordinatnom sustavu, tj. Poznati X i A, tada se duljina vektora može naći u formuli

U slučaju vektora u prostoru, dodaje se treća koordinata

U izrazu MS Excel \u003d Korijen (PRIMKV (B8: B9)) Omogućuje izračunavanje vektorskog modula (pretpostavlja se da su koordinatori vektora uvedeni u stanice. B8: B9., Vidi primjer datoteku).

Funkcija Premkv () vraća zbroj kvadrata argumenata, tj. U tom slučaju formula je ekvivalent \u003d B8 * B8 + B9 * B9.

Uzorak je također izračunala duljinu vektora u prostoru.

Alternativna formula je izraz \u003d Root (B8: B9; B8: B9)).

2. Pronalaženje duljine vektora putem koordinata točaka

Ako vektor postavite kroz koordinate točaka svog početka i kraja, a zatim formula će biti druga \u003d Korijen (Premkvson (C28: C29; B28: B29))

Formula pretpostavlja da se koordinate o točkama načela i na kraju uvode u raspone C28: C29. i B28: B29. odnosno.

Funkcija Summvson () uobećava zbroj kvadrata razlika u odgovarajućim vrijednostima u dva polja.

U stvari, u formuli se izračunavaju koordinate vektora (razlike u odgovarajućim točkama točaka), tada se izračunava zbroj njihovih kvadrata.

3. Pronalaženje duljine vektora na teoremu kosine

Ako želite pronaći duljinu vektora na teoremu kosine, obično se daju 2 verzije (njihovi moduli i kut između njih).

Pronađite duljinu vektora pomoću formule \u003d Korijen (PRIMKV (B43: C43) -2 * B43 * C43 * COS (B45))

U stanicama B43: B43. sadrži duljine vektora a i b i u ćeliji B45. - kut između njih u radijanima (u frakcijama broja PI ()).

Ako je kut dao u stupnjevima, tada će formula biti malo drugačija \u003d Korijen (B43 * B43 + C43 * C43-2 * B43 * C43 * COS (B46 * PI () / 180))

Bilješka: Jer jasnoća u ćeliji s vrijednosti kuta u stupnjevima, možete se prijaviti, vidjeti na primjer, članak

Prije svega, potrebno je rastaviti sami koncept vektora. Kako bi se prikazala definicija geometrijskog vektorskog podsjetnika koji je segment. Predstavljamo sljedeću definiciju.

Definicija 1.

Nazovimo dio ravne linije, koji ima dvije granice u obliku bodova.

Cut može imati 2 smjera. Da bismo odredili smjer, nazvat ćemo jednu od granica njenog segmenta, a druga granica je njegov kraj. Smjer je označen od početka do kraja segmenta.

Definicija 2.

Vektor ili usmjereni segment naziva se takav segment za koji je poznat koji se od granica segmenata smatra početkom, a koji završavaju.

Oznaka: Dva slova: $ preplaviti (ab) $ - (gdje je $ $ je njegov početak, a $ B $ je njegov kraj).

Jedno malo slovo: $ prekoline (a) $ (sl. 1).

Sada ćemo sada predstaviti koncept duljine duljine.

Definicija 3.

Vektor vektora $ preplavi (a) $ će se nazvati duljinom segmenta $ $.

Oznaka: $ | Reply (a) | $

Koncept duljine vektora je povezan, na primjer, s takvim konceptom kao jednakost dva vektora.

Definicija 4.

Dva vektora bit će nazvana jednaka, ako zadovoljavaju dva uvjeta: 1. Oni su obloženi; 1. Njihove su duljine jednake (sl. 2).

Kako bi se definirali vektori uvesti koordinatni sustav i odrediti koordinate za vektor u unesenom sustavu. Kao što znamo, bilo koji vektor može se razgraditi u obliku $ conline (c) \u003d m prekoline (i) + n granica (J) $, gdje $ M $ i $ N $ je valjani brojevi i $ (I) $ i $ preplaviti (J) $ - pojedinačni vektori na osi od $ Ox $ i $ OY $, respektivno.

Definicija 5.

Koeficijenti raspadanja od $ preplanu (c) \u003d m granica (i) + n granica (J) $ će nazvati koordinate ovog vektora u unesenom koordinatnom sustavu. Matematički:

$ Preplaviti (c) \u003d (m, n) $

Kako pronaći duljinu vektora?

Kako bi se napravila formula za izračunavanje duljine proizvoljnog vektora prema svojim koordinatama, razmotrite sljedeći zadatak:

Primjer 1.

Dano je: vektor $ preplaviti (α) $, koji koordinira $ (x, y) $. Pronađite: duljinu ovog vektora.

Predstavljamo sustav koordinatnog sustava $. Od početka uvedenog koordinatnog sustava, odgodit ću $ preplaviti (OA) \u003d preplaviti (a) $. Konstruiramo projekciju $ OA_1 $ i $ OA_2 izgrađen vektor na osi od $ Ox $ i $ OY $, odnosno (sl. 3).

Vektor od $ Regline (OA) $ će biti radijus vektor za točku $ $, stoga će koordinirati $ (x, y) $, to znači

$ \u003d x $, $ [oa_2] \u003d y $

Sada možemo lako pronaći željenu duljinu pomoću Pythagora teorema, dobivamo

$ | Repline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | Preplaviti (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | Repline (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Odgovor: $ SQRT (x ^ 2 + Y ^ 2) $.

Izlaz:Da biste pronašli duljinu vektora koja ima svoje koordinate, potrebno je pronaći korijen kvadrata zbroja tih koordinata.

Primjer zadatka

Primjer 2.

Pronađite udaljenost između bodova $ x $ i $ y $, koji imaju sljedeće koordinate: $ (- 1,5) $ i $ (7.3) $, odnosno.

Svaka dva boda može se lako povezati s konceptom vektora. Razmotrite, na primjer, Vector $ preplavi (XY) $. Kao što već znamo, koordinate ovog vektora mogu se naći, odbijati koordinate krajnje točke ($ y $) odgovarajuće koordinate početne točke ($ x $). Dobivamo to

Prije svega, potrebno je rastaviti sami koncept vektora. Kako bi se prikazala definicija geometrijskog vektorskog podsjetnika koji je segment. Predstavljamo sljedeću definiciju.

Definicija 1.

Nazovimo dio ravne linije, koji ima dvije granice u obliku bodova.

Cut može imati 2 smjera. Da bismo odredili smjer, nazvat ćemo jednu od granica njenog segmenta, a druga granica je njegov kraj. Smjer je označen od početka do kraja segmenta.

Definicija 2.

Vektor ili usmjereni segment naziva se takav segment za koji je poznat koji se od granica segmenata smatra početkom, a koji završavaju.

Oznaka: Dva slova: $ preplaviti (ab) $ - (gdje je $ $ je njegov početak, a $ B $ je njegov kraj).

Jedno malo slovo: $ prekoline (a) $ (sl. 1).

Sada ćemo sada predstaviti koncept duljine duljine.

Definicija 3.

Vektor vektora $ preplavi (a) $ će se nazvati duljinom segmenta $ $.

Oznaka: $ | Reply (a) | $

Koncept duljine vektora je povezan, na primjer, s takvim konceptom kao jednakost dva vektora.

Definicija 4.

Dva vektora bit će nazvana jednaka, ako zadovoljavaju dva uvjeta: 1. Oni su obloženi; 1. Njihove su duljine jednake (sl. 2).

Definicija 5.

Koeficijenti raspadanja od $ preplanu (c) \u003d m granica (i) + n granica (J) $ će nazvati koordinate ovog vektora u unesenom koordinatnom sustavu. Matematički:

$ Preplaviti (c) \u003d (m, n) $

Kako pronaći duljinu vektora?

Kako bi se napravila formula za izračunavanje duljine proizvoljnog vektora prema svojim koordinatama, razmotrite sljedeći zadatak:

Primjer 1.

Dano je: vektor $ preplaviti (α) $, koji koordinira $ (x, y) $. Pronađite: duljinu ovog vektora.

Vektor od $ Regline (OA) $ će biti radijus vektor za točku $ $, stoga će koordinirati $ (x, y) $, to znači

$ \u003d x $, $ [oa_2] \u003d y $

Sada možemo lako pronaći željenu duljinu pomoću Pythagora teorema, dobivamo

$ | Repline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $

$ | Preplaviti (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | Repline (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Odgovor: $ SQRT (x ^ 2 + Y ^ 2) $.

Izlaz:Da biste pronašli duljinu vektora koja ima svoje koordinate, potrebno je pronaći korijen kvadrata zbroja tih koordinata.

Primjer zadatka

Primjer 2.

Pronađite udaljenost između bodova $ x $ i $ y $, koji imaju sljedeće koordinate: $ (- 1,5) $ i $ (7.3) $, odnosno.

Standardna definicija: "Vector je usmjereni segment." Obično je to ograničeno na znanje diplomiranja o vektorima. Tko treba neke "usmjerene segmente"?

I zapravo, koji su vektori i zašto oni?
Vremenska prognoza. "Vjetar je sjeverozapadni, brzina od 18 metara u sekundi." Slažem se, smjer vjetra (odakle puše), a modul (to jest, apsolutna vrijednost) njegove brzine.

Vrijednosti koje nemaju upute nazivaju se skalarnim. Misa, rad, električni naboj nije usmjeren nigdje. Oni su karakterizirani samo numeričko značenje - "Koliko kilograma" ili "koliko joule".

Fizičke količine koje nemaju samo apsolutnu vrijednost, već i smjer se naziva vektor.

Brzina, snaga, ubrzanje - vektori. Za njih je važno "koliko" i važnije "gdje". Na primjer, ubrzanje slobodnog pada usmjeren je prema površini Zemlje, a njegova vrijednost je 9,8 m / s 2. Pulse, energetski polje, indukcija magnetsko polje - Također vrijednosti vektora.

Sjećaš se toga fizičke količine Označite slova, latinski ili grčki. Arrogo iznad slova pokazuje da je vrijednost vektor:

Evo još jedan primjer.
Automobil se pomiče iz b. Krajnji rezultat je njegov pokret od točke A do točke B, koji se, kreće na vektor .

Sada je jasno zašto je vektor usmjeren segment. Napomena, kraj vektora je mjesto gdje je strelica. Duljini vektor Zove se duljina ovog segmenta. Označava: ili

Do sada smo radili s skalarskim vrijednostima, prema pravilima aritmetičke i elementarne algebre. Vektori - novi koncept. Ovo je još jedna klasa matematičkih objekata. Za njih, vlastita pravila.

Jednom kad nismo znali za brojeve. Upoznavanje s njima započeo je u mlađičkim razredima. Pokazalo se da se brojevi mogu usporediti jedni s drugima, preklopiti, odbiti, umnožiti i podijeliti. Naučili smo da postoji broj jedan i broj nula.
Sada se upoznajemo s vektorima.

Koncepti "više" i "manje" za vektore ne postoje - mogu biti različiti smjerovi. Možete usporediti samo duljine vektora.

Ali koncept jednakosti za vektore je.
Jednak Vektori koji imaju iste duljine i isti smjer nazivaju se. To znači da se vektor može prenijeti paralelno s vama bilo gdje u ravnini.
Singl Nazvan vektor, čija je duljina jednaka 1. Zero - vektor, čija je duljina nula, to jest, njegov se početak podudara s krajem.

To je najpogodnije raditi s vektorima u pravokutnom koordinatnom sustavu - upravo u kojem crtaju grafikone funkcija. Svaka točka u koordinatnom sustavu odgovara dva broja - njegove koordinate X i Y, Abscisa i ordinata.
Vektor također postavlja dvije koordinate:

Ovdje u zagradama zabilježile su koordinate vektora - x i na y.
Oni su jednostavno: koordinatni kraj vektora minus koordinate svog početka.

Ako su koordinate vektora navedene, njegova duljina se nalazi po formuli

Dodavanje vektora

Za dodavanje vektora postoje dva načina.

jedan . Pravilo paralelogram. Da biste preklopili vektore i stavili smo početak oba u jednom trenutku. Bit ćete dovršiti na paralelogram i iz iste točke provodimo dijagonalu paralelograma. To će biti zbroj vektora i.

Zapamtite pričvršćivač o labudovima, raku i štuke? Pokušali su jako, ali nikada nisu pomaknuli tko s scene. Uostalom, vektorski zbroj sila vezanih za automobil bio je nula.

2. Drugi način dodavanja vektora je pravilo trokuta. Uzmite iste vektore i. Do kraja prvog vektora pridajem početak drugog. Sada spojite početak prvog i kraja drugog. Ovo je zbroj vektora i.

Na isti način, nekoliko vektora može se presaviti. Dodamo ih jedan po jedan, a zatim kombinirati početak prvog s kraja potonjeg.

Zamislite da idete od točke A u stavku B, od B C, od C u d, zatim u E i u f. Konačni rezultat ovih akcija se kreće iz f.

Prilikom dodavanja vektora i dobiti:

Subtraktivni vektori

Vektor se šalje suprotnom vektoru. Duljine vektora su jednake.

Sada je jasno što oduzimanje vektora. Razlika vektora je zbroj vektora i vektora.

Množenje vektora po broju

Kada vektor umnožava broj K, vektor se dobiva, čija se dužina razlikuje od duljine. Ona je obložena vektorom ako je K veći, i usmjeren je nasuprot ako je K manji od nule.

Skalarski proizvodi vektori

Vektori se mogu pomnožiti ne samo u brojevima, već i jedni na druge.

Skalarni proizvod vektora je proizvod duljine vektora na kosinu kutu između njih.

Napomena - premjestila se dva vektora, a skalarna se ispostavila, to jest broj. Na primjer, u fizici, mehanički rad je jednak skalarnom proizvodu dvaju vektora - sila i pokreta:

Ako su vektori okomici, njihov skalarni proizvod je nula.
I ovdje je skalarni proizvod izražen kroz koordinate vektora i:

Iz formule za skalarni proizvod možete pronaći kut između vektora:

Ova formula je posebno prikladna u stereometriji. Na primjer, u zadatku 14 Profil eme U matematici, morate pronaći kut između križanja ili između ravnog i ravnina. Često se zadatak 14 rješava nekoliko puta brže od klasičnog.

U Školski program U matematici, postoji samo skalarni proizvod vektora.
Ispada da osim skalarnog, postoji i vektorski proizvod kada je vektor kao rezultat vektora za umnožavanje. Tko daje ispit u fizici, zna kakva sila Lorentza i moć ampera. Formula za pronalaženje te sile uključuje vektorsku umjetnost.

Vektori - koristan matematički instrument. U tome ćete vidjeti prvu godinu.