Ostanite ćemo naći čvorove. Algoritam Euclida - pronalaženje najvećeg zajedničkog razdjelnika

Najveći zajednički djelitelj (Čvor) Dva broja nazvana je najveći broj na koji će oba broja biti podijeljena bez ostatka.

Oznaka: Čvor (a; c).

PRIMJER, Pronašli smo čvorove brojeva 4 i 6.

Broj 4 bez ostatka se podijeli s: 1, 2 i 4.
Broj 6 bez ostatka se podijeli u: 1, 2, 3 i 6.
Najveći zajednički razdjelnici brojeva 4 i 6 bit će broj 2.
Čvor (4; 6) \u003d 2

Ovo je jednostavan primjer. A što je s velikim brojem za koje je potrebno pronaći čvorove?

U takvim slučajevima, brojevi su odbijeni jednostavnim čimbenicima, nakon čega su zabilježeni isti multiplikatori u obje ekspanzije - proizvod označenih jednostavnih multiplikatora i bit će kimanje.

PRIMJER, Pronaći ćemo čvorove brojeva 81 i 45.

81 = 3 · 3 · 3 · 3 45 \u003d 3 · 3 · 5 čvor (81; 45) \u003d 3 · 3 = 9

U slučajevima kada dva broja nemaju identičnih jednostavnih multiplikatora, jedini prirodni broj koji će biti podijeljen na takve brojeve bit će 1. kimne od takvih brojeva \u003d 1. Na primjer: čvor (7; 15) \u003d 1.

Što je nok.

Broj A se zove više Broj u, ako je podijeljen u bez ostatka (usmjeren). Na primjer, 10 je podijeljeno s 5, dakle, 10 puta 5; 11 nije podijeljeno fokusom na 5, stoga, 11 nije višestruko 5.

Najmanja zajednička boja (NOC) dvaju prirodnih brojeva naziva se najmanji broj, višestrukih ova dva broja.

Oznaka: Nok (a; b).

NOK Pronalaženje pravilo:

razgraditi oba broja na jednostavnim čimbenicima, zabilježiti iste jednostavne multiplikate u oba razgradnji, ako postoji;
proizvod svih jednostavnih multiplikatora jednog od brojeva (zapravo, broj) i svih nedvojnih multiplikatora učinit će NOC.

PRIMJER, Nalazimo NOC brojeve 81 i 45.

81 = 3 · 3 · 3 · 3 45 \u003d 3 · 3 · 5 NOC (81; 45) \u003d 81 · 5 \u003d 405

405 je najmanji višestruki za brojeve 81 i 45: 405/81 \u003d 5; 405/45 \u003d 9.

Ako dva broja nemaju identične jednostavne multiplikate, tada će NOC za takve brojeve biti jednak proizvodu tih brojeva.

14 \u003d 2 · 7 15 \u003d 3 · 5 NOC (14; 15) \u003d 14 · 15 \u003d 210

Najveći zajednički divisor i najmanji generalni višestruki su ključni aritmetički koncepti koji omogućuju bez napora da rade s običnim frakcijama. NOC i najčešće se koristi za traženje zajedničkog nazivnika nekoliko frakcija.

Osnovni koncepti

Cijeli razdjelnik X je još jedan cijeli broj Y, koji je X podijeljen bez ostatka. Na primjer, razdjelnik 4 je 2, i 36-4, 6, 9. Višestruka od cijelog X je takav broj Y, koji je podijeljen u X bez ostatka. Na primjer, 3 puta 15 i 6 - 12.

Za bilo koji par brojeva, možemo pronaći njihove zajedničke razdjelnike i višestruke. Na primjer, za 6 i 9, ukupna višestruka je 18, a zajednički razdjelnik - 3. Očito je da se razdjelnici i višestruki parovi mogu donekle, stoga se tijekom izračuna koriste najveći razdjelnici čvorova i najmanji višestruki NOK ,

Najmanji razdjelnik nema smisla, jer za bilo koji broj je uvijek jedinica. Najveći višestruki je također besmislen, jer sekvenca višekratnika juri u beskonačnost.

Pronalaženje čvora

Da biste potražili najveći zajednički djelitelj, postoje mnoge metode, od kojih je najpoznatiji:

sekvencijalna poprsja razdjelnika, izbor zajedničkih u par i potragu za najvećim njima;
raspadanje brojeva za nedjeljive čimbenike;
algoritam euclida;
binarni algoritam.

Danas su u obrazovnim ustanovama najpopularnije metode razgradnje o jednostavnim multiplikatorima i euklidnim algoritmom. Potonji se zauzvrat koristi u rješavanju diofantinskih jednadžbi: pretraživanje čvora je potrebno za testiranje jednadžbe sposobnosti da se riješi u cijelim brojevima.

Nok.

Najmanji ukupni višestruki je također određen dosljednom užurbanom ili razgradnjom nedjeljivih multiplikatora. Osim toga, lako je pronaći NOC, ako je već definiran najveći razdjelnik. Za brojeve X i y, NOC i kim su povezani sljedećim omjerom:

Nok (X, y) \u003d x × y / čvor (X, y).

Na primjer, ako kimanje (15,18) \u003d 3, tada nok (15.18) \u003d 15 × 18/3 \u003d 90. najočitiji primjer upotrebe NOC-a je potraga za zajedničkim nazivom, koji je najmanji zajednički dane frakcije.

Međusobno jednostavni brojevi

Ako par brojeva nemaju zajedničke divisore, takav se takav par naziva međusobno jednostavnim. Čvor za takve parove je uvijek jednak jednom, a na temelju povezivanja razdjelnika i višestrukih, NOOS za međusobno jednostavan je jednak njihovom radu. Na primjer, brojevi 25 i 28 međusobno su jednostavni, jer nemaju zajedničke divisore, a NOK (25, 28) \u003d 700, što odgovara njihovom radu. Dvije nedjeljive brojeve uvijek će biti međusobno jednostavni.

Kalkulator općeg razdjelnika i višestruke

S našim kalkulatorom možete izračunati kimanje i nic za proizvoljan broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci za izračun zajedničkih divisora \u200b\u200bi višestruke se nalaze u aritmetici 5, razredu 6, ali kimanje i noc su ključni koncepti matematike i koriste se u teoriji brojeva, planiranje i komunikativne algebre.

Primjeri iz stvarnog života

Zajedničke denominatorske frakcije

Najmanji ukupni ukupni se koristi prilikom traženja zajedničkog nazivnika nekoliko frakcija. Pretpostavimo u aritmetičkom zadatku koji trebate sažeti 5 frakcija:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Da biste dodali frakcije, izraz mora biti doveden u zajednički nazivnik, koji se svodi na zadatak pronalaženja NOC-a. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti denominatora na odgovarajuće stanice. Program će izračunati NOC (8, 9, 12, 15, 18) \u003d 360. Sada je potrebno izračunati dodatne multiplikate za svaku frakciju, koja se definiraju kao omjer NOC na nazivnicu. Dakle, dodatni multiplikatori će izgledati:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Nakon toga pomnožimo sve frakcije na odgovarajući dodatni faktor i dobijete:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Lako možemo sažeti takve frakcije i dobiti rezultat u obliku 159/360. Smanjimo djelić 3 i vidimo konačni odgovor - 53/120.

Rješenje linearnih bizofantičnih jednadžbi

Jednadžbe linearne diofantne su izrazi oblika AX + BY \u003d D. Ako je omjer D / čvor (a, b) cijeli broj, jednadžba je rješiva \u200b\u200bu cijelim brojevima. Provjerimo par jednadžbi za cijeli broj. Prvo, provjerite jednadžbu 150x + 8Y \u003d 37. Uz pomoć kalkulatora nalazimo čvor (150,8) \u003d 2. Delim 37/2 \u003d 18.5. Broj nije cijeli broj, stoga jednadžba nema cijelih korijena.

Provjeravamo jednadžbu 1320x + 1760y \u003d 10120. Koristimo kalkulator za pronalaženje čvora (1320, 1760) \u003d 440. Mi dijelimo 10120/440 \u003d 23. Kao rezultat toga, dobivamo cijeli broj, dakle, jednadžba dijelofanty je rješiva u cijelim koeficijentima.

Zaključak

Čvorovi i Nocs igraju veliku ulogu u teoriji brojeva, a sami pojmovi se naširoko koriste u različitim područjima matematike. Koristite naš kalkulator za izračunavanje najvećih razdjelnika i najmanji više od bilo kojeg broja brojeva.

Najveća zajednička divisela

Definicija 2.

Ako je prirodan broj A podijeljen u prirodni broj $ B $, onda je $ B $ nazvan broju razdjelnik od $ $, a broj $ $ se zove više od $ B $.

Neka $ $ i $ B $ -Nitral brojeve. Broj $ C $ naziva se zajednički razdjelnik i za $ $ i za $ B $.

Mnogi zajednički razdjelnici $ $ i $ B $ su, naravno, budući da nitko od tih divisora \u200b\u200bne može biti više od $ $. To znači da postoje najveći među tim divisorsima, koji se naziva najveći zajednički razdjelnik od $ $ i $ B $ i pisanje zapisa za svoju oznaku:

$ Čvor (a; b) ili d (a; b) $

Da biste pronašli najveći zajednički razdjelnik od dva, brojevi trebaju:

Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1.

Pronađite čvorove $ 121 $ i 132. $

$ 242 \u003d 2 CDot 11 CDot 11 $

$ 132 \u003d 2 CDot 2 CDot 3 CDot 11 $

Odaberite brojeve koji su uključeni u razgradnju tih brojeva

$ 242 \u003d 2 CDot 11 CDot 11 $

$ 132 \u003d 2 CDot 2 CDot 3 CDot 11 $

Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Broj je primljen i bit će poznati najveći zajednički djelitelj.

$ Node \u003d 2 cDot 11 \u003d 22 $

Primjer 2.

Pronađite čvor homorasa $ 63 $ i $ 81 $.

Naći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:

Širi brojeve na jednostavnim multiplikatorima

$ 63 \u003d 3 CDot 3 CDot $ 7

$ 81 \u003d 3 CDot 3 CDot 3 \\ t

Odaberite brojeve koji su uključeni u razgradnju tih brojeva

$ 63 \u003d 3 CDot 3 CDot $ 7

$ 81 \u003d 3 CDot 3 CDot 3 \\ t

Naći ćemo proizvod od brojeva pronađenih u koraku 2. Primljeni broj i bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$ Node \u003d 3 cDot 3 \u003d 9 $

Moguće je pronaći čvor dva broja na drugačiji način, koristeći mnoge brojeve razdjelnika.

Primjer 3.

Pronađite broj čvorova $ 48 i 60 USD $.

Odluka:

Nalazimo mnoge divisore brojeva $ 48 $: $ lijevo ((rm 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48)

Sada pronalazimo mnoge divisore broja $ 60 $: $ preostaje ((rm 1,2,3,3,5,6,10,12,15,20,30,60) \\ t

Mi ćemo naći raskrižje ovih setova: $ lijevo ((rm 1,2,3,4,12) desno \\ _ $ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih divisora \u200b\u200bod 48 USD i $ 60 $. Najveći element u ovom skupu bit će broj od 12 $. Dakle, najveći zajednički razdjelnik od $ 48 $ i $ 60 $ će biti $ 12 $.

Nok.

Definicija 3.

Zajednički višestruki prirodni brojevi $ $ i $ B $ naziva se prirodni broj koji je više i $ $ i $ B $.

Zajednički višestruki brojevi nazivaju se brojevi koji su podijeljeni u izvor bez ostatka. Na primjer, formira $ 25 i $ 50 $ 50 zajedničkim više brojeva $ 50.100.150,200 $, itd

Najmanji od ukupne višestruke će se nazvati najmanji zajednički višestruko i označen je NOC $ (a; b) $ ili K $ (a; b). $

Da biste pronašli NOC od dva broja, trebate:

Brojevi otpreme za jednostavne čimbenike
Za zapisivanje višestrukih u prvom broju i dodajte multiplikate na njih, koji su dio druge i ne idite na prvi

Primjer 4.

Pronalaženje NOC brojeva $ 99 $ i 77 $ $.

Naći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo

Brojevi otpreme za jednostavne čimbenike

$ 99 \u003d 3 CDot 3 CDot $ 11

Zapisati množitelje u prvom

dodajte multiplikate na njih, koji su dio druge i ne idite na prvi

Pronađite proizvod navedenih u koraku 2. Broj je primljen i bit će željeni najmanji zajednički

$ Nok \u003d 3 cDot 3 cDot 11 cDot 7 \u003d $ 693

Izrada popisa razdjelnika brojeva često je vrlo naporno zanimanje. Postoji način da pronađete čvor nazvan algoritam euclidea.

Izjave na kojima se temelji Euklidni algoritam:

Ako $ $ i $ B $ - predstavlja, i $ a \\ tDots B $, zatim $ D (a; b) \u003d B $

Ako $ $ i $ B $ - predstavlja, tako da $ b

Korištenje $ D (a; b) \u003d d (A-B; b) $, može se dosljedno smanjiti brojeve koji se razmatra dok ne učinimo takav par brojeva da je jedan od njih podijeljen u drugi. Tada će manji od tih brojeva biti željeni najveći zajednički razdjelnici za brojeve $ i $ B $.

Nekretnine kimanje i nok

Bilo koji zajednički višestruki brojevi $ $ i $ B $ podijeljen je na K $ (a; b) $
Ako $ $ B $, onda na $ (a; b) \u003d $

Ako na $ (a; b) \u003d K $ i $ $ $ -naturan broj, zatim na $ (AM; BM) \u003d km $

Ako $ D $ - papir razdjelnik za $ $ i $ B $, zatim na ($ Frac (a) (d); frac (b) (d) $) \u003d $ frac (d) ) $

Ako $ $ vDots C $ i $ B vDots c $, zatim $ frac (ab) (c) $ - ukupno više brojeva $ $ i $ B $

Za bilo koje prirodne brojeve izvodi se $ i $ B $ jednakost

$ D (a; b) cDot na (a; b) \u003d ab $

Svaki zajednički razdjelnik brojeva $ $ i $ B $ je razdjelnik broja D (a; b) $

Najveća zajednička divisela

Definicija 2.

Ako je prirodan broj A podijeljen u prirodni broj $ B $, onda je $ B $ nazvan broju razdjelnik od $ $, a broj $ $ se zove više od $ B $.

Neka $ $ i $ B $ -Nitral brojeve. Broj $ C $ naziva se zajednički razdjelnik i za $ $ i za $ B $.

$ Čvor (a; b) ili d (a; b) $

Da biste pronašli najveći zajednički razdjelnik od dva, brojevi trebaju:

Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1.

Pronađite čvorove $ 121 $ i 132. $

$ 242 \u003d 2 CDot 11 CDot 11 $

$ 132 \u003d 2 CDot 2 CDot 3 CDot 11 $

Odaberite brojeve koji su uključeni u razgradnju tih brojeva

$ 242 \u003d 2 CDot 11 CDot 11 $

$ 132 \u003d 2 CDot 2 CDot 3 CDot 11 $

Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Broj je primljen i bit će poznati najveći zajednički djelitelj.

$ Node \u003d 2 cDot 11 \u003d 22 $

Primjer 2.

Pronađite čvor homorasa $ 63 $ i $ 81 $.

Naći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:

Širi brojeve na jednostavnim multiplikatorima

$ 63 \u003d 3 CDot 3 CDot $ 7

$ 81 \u003d 3 CDot 3 CDot 3 \\ t

Odaberite brojeve koji su uključeni u razgradnju tih brojeva

$ 63 \u003d 3 CDot 3 CDot $ 7

$ 81 \u003d 3 CDot 3 CDot 3 \\ t

Naći ćemo proizvod od brojeva pronađenih u koraku 2. Primljeni broj i bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$ Node \u003d 3 cDot 3 \u003d 9 $

Moguće je pronaći čvor dva broja na drugačiji način, koristeći mnoge brojeve razdjelnika.

Primjer 3.

Pronađite broj čvorova $ 48 i 60 USD $.

Odluka:

Nalazimo mnoge divisore brojeva $ 48 $: $ lijevo ((rm 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48)

Sada pronalazimo mnoge divisore broja $ 60 $: $ preostaje ((rm 1,2,3,3,5,6,10,12,15,20,30,60) \\ t

Nok.

Definicija 3.

Zajednički višestruki prirodni brojevi $ $ i $ B $ naziva se prirodni broj koji je više i $ $ i $ B $.

Zajednički višestruki brojevi nazivaju se brojevi koji su podijeljeni u izvor bez ostatka. Na primjer, formira $ 25 i $ 50 $ 50 zajedničkim više brojeva $ 50.100.150,200 $, itd

Najmanji od ukupne višestruke će se nazvati najmanji zajednički višestruko i označen je NOC $ (a; b) $ ili K $ (a; b). $

Da biste pronašli NOC od dva broja, trebate:

Brojevi otpreme za jednostavne čimbenike
Za zapisivanje višestrukih u prvom broju i dodajte multiplikate na njih, koji su dio druge i ne idite na prvi

Primjer 4.

Pronalaženje NOC brojeva $ 99 $ i 77 $ $.

Naći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo

Brojevi otpreme za jednostavne čimbenike

$ 99 \u003d 3 CDot 3 CDot $ 11

Zapisati množitelje u prvom

dodajte multiplikate na njih, koji su dio druge i ne idite na prvi

Pronađite proizvod navedenih u koraku 2. Broj je primljen i bit će željeni najmanji zajednički

$ Nok \u003d 3 cDot 3 cDot 11 cDot 7 \u003d $ 693

Izrada popisa razdjelnika brojeva često je vrlo naporno zanimanje. Postoji način da pronađete čvor nazvan algoritam euclidea.

Izjave na kojima se temelji Euklidni algoritam:

Ako $ $ i $ B $ - predstavlja, i $ a \\ tDots B $, zatim $ D (a; b) \u003d B $

Ako $ $ i $ B $ - predstavlja, tako da $ b

Nekretnine kimanje i nok

Bilo koji zajednički višestruki brojevi $ $ i $ B $ podijeljen je na K $ (a; b) $
Ako $ $ B $, onda na $ (a; b) \u003d $

Ako na $ (a; b) \u003d K $ i $ $ $ -naturan broj, zatim na $ (AM; BM) \u003d km $

Ako $ D $ - papir razdjelnik za $ $ i $ B $, zatim na ($ Frac (a) (d); frac (b) (d) $) \u003d $ frac (d) ) $

Ako $ $ vDots C $ i $ B vDots c $, zatim $ frac (ab) (c) $ - ukupno više brojeva $ $ i $ B $

Za bilo koje prirodne brojeve izvodi se $ i $ B $ jednakost

$ D (a; b) cDot na (a; b) \u003d ab $

Svaki zajednički razdjelnik brojeva $ $ i $ B $ je razdjelnik broja D (a; b) $

Pronaći najmanja uobičajena bol (NOC) i najveća zajednička divisela (Kimanje) Dva broja Koristite naš online kalkulator:

Unesite brojeve: i
Nok:
Čvor:

Odrediti

Samo unesite brojeve i dobiti rezultat.

Kako pronaći NOK dva broja

Najmanji ukupni višestruki (NOK) Dva ili više brojeva su najmanji broj koji se može podijeliti u svaki od tih brojeva bez ostatka.

Da biste pronašli najmanji ukupni višestruki (NOC) dva broja, možete koristiti sljedeći algoritam (stupanj 5):

Oba broja (najviši broj).
Usporedite više brojeva s manje multiplikatora. Mi naglašavaju sve multiplikate manjeg broja koji nisu više.
Dodajte namjenski množitelji manjeg broja s višestrukim grešaka.
Naći ću NOC, premjestiti niz množitelja primljenih u stavku 3. \\ t

Primjer

Na primjer, definiramo NOC brojeve 8 i 22 .

1) Otključaj na jednostavnim čimbenicima:

2) Dodijelite sve multiplikate od 8, koji nisu 22:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) Dodajte odabrane multiplikate od 8 na množitelje 22. \\ t:

Nok (8; 22) \u003d 2 · 11 · 2 · 2

4) Izračunajte NOC:

Nok (8; 22) \u003d 2 · 11 · 2 · 2 \u003d 88

Kako pronaći čvor dva broja

Najveći zajednički razdjelnik (čvor) Dva ili više brojeva je najveći prirodni cijeli broj na kojem se ti brojevi mogu podijeliti bez ostatka.

Da biste pronašli najveći zajednički razdjelnika (čvor) dvaju broja, najprije ih morate razgraditi na jednostavnim multiplikatorima. Tada morate dodijeliti opće čimbenike koji su također dostupni na prvom broju i drugi. Premještanje ih - to će biti čvor. Da biste bolje razumjeli algoritam, razmotrite primjer:

Primjer

Na primjer, definiramo čvorove 20 i 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

Čvor (20.30) = 2⋅5 = 10