Teorija vjerojatnosti slučajnih događanja Primjeri. Vjerojatnost događaja

1.1. Neke informacije iz kombinatorike

1.1.1. Smještaj

Razmotrite najjednostavnije koncepte povezane s izborom i mjestom određenog skupa objekata.
Brojanje broja metoda koje se ta djela mogu izvršiti često se proizvode pri rješavanju probabilističkih zadataka.
Definicija, Smještaj n. Elementi u k. (k. ≤ N.) nazvana svaka naručena podskup od k.elemente seta koji se sastoje od n. razni elementi.
Primjer.Sljedeće sekvence brojeva postavljene su 2 elemente od 3 kompleta seta (1; 2; 3): 12, 13, 23, 21, 32, 32.
Imajte na umu da je smještaj karakteriziran postupkom za elemente uključene u njih i njihov sastav. Stavljanje 12 i 21 sadrži iste brojeve, ali redoslijed njihovog položaja je drugačiji. Stoga se ti smještaj smatraju različitima.
Broj različitih smještaja iz n. Elementi u k. Navedena je i izračunata formulom:
,
Gdje n.! = 1∙2∙...∙(n. - 1)∙ N. (čitati " n. - faktorijalo ").
Broj dvoznamenkastih brojeva koji se mogu izraditi od brojeva 1, 2, 3, pod uvjetom da se ne ponavlja znamenka jednaka :.

1.1.2. Preuređen

Definicija, Permutacije od n. Elementi se nazivaju takvim smještajem iz n. Elementi koji se razlikuju samo na mjestu elemenata.
Broj permutacija je n. Elementi P n. Izračunate formulom: P n.=n.!
Primjer.Koliko načina može doći do 5 osoba? Broj načina je jednak broju permutacija 5 elemenata, tj.
P. 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definicija, Ako među n. Elementi k. isto, onda permutacija ovih n.elementi se nazivaju preraspodjelom s ponavljanjem.
Primjer.Neka među 6 knjiga 2 su iste. Bilo koja lokacija svih knjiga na polici - preraspodjele s ponavljanjem.
Broj različitih preraspodjela s ponavljanjem (od n. među kojima k.isto se izračunava formulom :.
U našem primjeru, broj načina koji se mogu postaviti na policu, kao i :.

1.1.3. Kombinacija

Definicija , Kombinacije od n. Elementi u k. nazivaju se takvim smještajem iz n. Elementi u k.koji se od drugih razlikuje barem jedan element.
Broj različitih kombinacija od n. Elementi u k. To je označeno i izračunato formulom :.
Po definiciji 0! \u003d 1.
Za kombinacije su sljedeća svojstva važeća:
1.
2.
3.
4.
Primjer. Postoji 5 cvjetova različitih boja. Za buket od 3 cvijeta odabran. Broj različitih buketa od 3 cvijet od 5 je :.

1.2. Slučajni događaji

1.2.1. Događaji

Poznavanje stvarnosti u prirodnim znanostima nastaje kao rezultat testova (eksperimenta, opažanja, iskustva).
Test Ili se iskustvo naziva provedba određenog skupa uvjeta koji se mogu samovoljno reproducirati veliki broj puta.
Slučajan Zove se događaj koji se može dogoditi ili ne dogoditi kao rezultat određenog testa (iskustvo).
Dakle, događaj se smatra rezultatom testa.
Primjer. Bacanje kovanica je test. Izgled orla prilikom bacanja - događaj.
Događaji koje nas smatraju razlikuju se u stupnju mogućnosti njihovog izgleda i prirode njihovog odnosa.
Događaj se zove pouzdan Ako se nužno javlja kao rezultat ovog testa.
Primjer. Dobivanje pozitivnog ili negativnog studenta ocjenjivanja na ispitu je pouzdan događaj ako se ispit nastavlja prema uobičajenim pravilima.
Događaj se zove nemoguće Ako se ne može dogoditi kao rezultat ovog testa.
Primjer. Uklanjanje bijele kuglice, u kojoj postoje samo obojene loptice (ne-sira), postoji nemoguć događaj. Imajte na umu da u drugim uvjetima, iskustvo izglede bijele kugle nije isključeno; Dakle, ovaj događaj je nemoguć samo u uvjetima našeg iskustva.
Nadalje, slučajni događaji bit će označeni velikim latinskim slovima A, B, c ... Pouzdan događaj će biti označen slovom ω, nemoguć - Ø.
Zove se dva ili više događaja jednak U ovom testu, ako postoji razlog da vjerujemo da nijedan od tih događaja nije moguće ili manje moguće od drugih.
Primjer.S jednim bacanjem sviranja kostiju, izgled 1, 2, 3, 4, 5 i 6 bodova - svi ti događaji su ravnoteže. Naravno, igrajući kost je izrađena od homogenog materijala i ima ispravan oblik.
Dva događanja nazivaju se ne-kreveta U ovom testu, ako jedan od njih eliminira izgled drugog, i zglob inače.
Primjer. U okviru postoje standardni i nestandardni detalji. Uzimamo jedan detalj za sreću. Izgled standardnog dijela eliminira izgled nestandardnog dijela. Ovi događaji su nepotpuni.
Nekoliko događaja puna skupina događaja U ovom testu, ako, kao rezultat ovog testa, barem jedan od njih će doći.
Primjer.Događaji iz primjera čine cjelovitu skupinu jednakih i nepotpunih događaja.
Nazvani su dva nepotpuna događaja koja tvore potpunu skupinu događaja u ovom testu suprotne događaje.
Ako je jedan od njih naznačen A., onda je drugi uobičajeno odrediti (čitati "ne A.»).
Primjer. Inteligencija i propuste u jednom trenutku - događaji su nasuprot.

1.2.2. Definicija klasične vjerojatnosti

Vjerojatnost događaja - numerička mjera mogućnosti njegove ofenzive.
Događaj ALI nazvan povoljan Događaj UAko se događa događaj ALIpojavljuje se događaj U.
Događaji ALI 1 , ALI 2 , ..., ALI N. Oblik shema slučajeva , ako oni:
1) ravnoteža;
2) u parovima su nekonzistentni;
3) formirajte potpunu skupinu.
U shemi slučajeva (i samo u ovoj shemi) postoji klasična definicija vjerojatnosti P.(A.) događaji ALI, Ovdje se slučaj naziva svaki od događaja koji pripadaju dodijeljenoj kompletnoj skupini ekvivalentnih i razumnih nepotpunih događaja.
Ako a n. - broj svih slučajeva u shemi i m. - broj slučajeva pridonosi događajima ALIT. vjerojatnost događaja ALI Određeno jednakošću:

Od definicije vjerojatnosti, slijedeća svojstva teče:
1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jednom.
Doista, ako je događaj pouzdano, svaki slučaj u slučaju sheme favorizira događaj. U ovom slučaju m. = n. I stoga,

2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
Doista, ako je događaj nemoguć, niti jedan slučaj od sheme slučaja ne favorizira događaj. stoga m.\u003d 0 i stoga

Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj zaključen između nule i jedinice.
Doista, samo dio ukupne učestalosti u shemi slučajeva pridonosi slučajnim događajem. Stoga 0.<m.<n., tako, onda 0<m./n.<1 и, следовательно, 0 < P (a) < 1.
Dakle, vjerojatnost bilo kojeg događaja zadovoljava nejednakosti
0 ≤ P (A ≤ 1.
Trenutno se svojstva vjerojatnosti određuju u obliku aksioma formulirane s A.N. Kolmogorov
Jedna od glavnih prednosti određivanja klasične vjerojatnosti je sposobnost izračuna vjerojatnosti događaja izravno, tj. Bez pribjegavanja eksperimentima koji zamjenjuju logičko razmišljanje.

Zadaci izravnog izračuna vjerojatnosti

Zadatak 1.1., Koja je vjerojatnost pojave paran broj bodova (događaj a) s jednim bacanjem igraće kocke?
Odluka, Razmotrite događaje ALI I. - pala i. naočale i.\u003d 1, 2, ..., 6. Očito, ovi događaji čine shemu slučajeva. Zatim broj svih slučajeva n. \u003d 6. Eksperiment parnog broja bodova je omiljen slučajevima ALI 2 , ALI 4 , ALI 6, tj. m.\u003d 3. Zatim .
Zadatak 1.2., U URN od 5 bijelih i 10 crnih kuglica. Kuglice se temeljito miješaju, a zatim kiša 1 lopta. Koja je vjerojatnost da će otkrivena lopta biti bijela?
Odluka, Ukupno ima 15 slučajeva koji čine shemu slučajeva. I očekivani događaj ALI - izgled bijele zdjele, 5 od njih favorizira, tako da .
Zadatak 1.3., Dijete se igra sa šest slova abecede: a, a, e, K, R, T. Pronađite vjerojatnost da će moći preklopiti izazov kočije (događaj a).
Odluka, Odluka je komplicirana činjenicom da među slovima postoje ista - dva slova "a". Stoga je broj svih mogućih slučajeva u ovom testu jednak broju permutacija s ponavljanjem od 6 slova:
.
Ovi slučajevi su jednaki, u parovima su nedosljedni i formiraju potpunu skupinu događaja, tj. Oblikuju shemu slučajeva. Samo jedan slučaj pogoduje događaj ALI, stoga
.
Zadatak 1.4., Tanya i Vanya pristale su proslaviti novu godinu u društvu od 10 ljudi. Oboje su stvarno htjeli sjediti u blizini. Koja je vjerojatnost njihove želje, ako postoji mjesto među prijateljima da distribuiraju od strane puno?
Odluka, Označiti ALI Događaj "izvršenje želje od Tanya i Vanya". 10 osoba može pritisnuti za tablicu 10! različiti putevi. Koliko od njih n. \u003d 10! jednake načine su povoljni za Tanyu i Vanya? Tanya i Vanya sjede u blizini, mogu uzeti 20 različitih pozicija. U isto vrijeme, osam svojih prijatelja može sjediti za stolom 8! na različite načine, tako m. \u003d 20 ∙ 8!. Stoga,
.
Zadatak 1.5., Skupina od 5 žena i 20 muškaraca bira tri delegata. S obzirom na to da se svaki od onih prisutnih s istom vjerojatnošću može odabrati, pronađite vjerojatnost da će izabrati dvije žene i jednog čovjeka.
Odluka, Ukupan broj ishoda ravnoteže je jednak broju načina na koje možete odabrati tri delegata od 25 ljudi, tj. , Sada izračunavamo broj omiljenih slučajeva, tj. Broj slučajeva u kojima je događaj koji nas zanima. Delegat se može izabrati dvadeset načina. U isto vrijeme, preostalih dva delegata trebaju biti žene, a možete odabrati dvije žene od pet godina. Stoga, . stoga
.
Zadatak 1.6. Četiri loptice nasumce raspršena na četiri rupe, svaka lopta ulazi u to ili drugu dobro s istom vjerojatnošću i bez obzira na druge (prepreke za ulazak u istu i isto dobro od nekoliko lopti). Pronađite mogućnost da će tri lopti biti u jednom od bunara, na drugu, i neće biti kuglice u drugim lijevim rupama.
Odluka. Ukupan broj slučajeva n.\u003d 4 4. Broj načina odabira jedne rupe u kojoj postoje tri kugle. Broj načina odabira dobro gdje će biti jedna lopta. Broj načina odabira od četiri kugle tri da ih stavi u prvu rupu. Ukupan broj povoljnih slučajeva. Vjerojatnost događaja:
Zadatak 1.7.U ladici 10 iste kugli označene brojevima 1, 2, ..., 10. Šest loptica se ekstrahiralo za sreću. Pronađite vjerojatnost da će među izvađenim kuglicama biti: a) Ball Broj 1; b) kuglice №1 i №2.
Odluka, a) ukupan broj mogućih elementarnih ishoda ishoda jednak je broju metoda koje se mogu ukloniti šest loptica od deset, tj.
Smatrat ćemo da je broj ishoda pogodno za događaj koji ste zainteresirani za: Među odabranim šest kuglica nalaze se loptica broj 1 i stoga ostale pet lopti imaju druge sobe. Broj takvih ishoda očito je jednak broj načina za odabir pet lopti iz preostalih devet, tj.
Željena vjerojatnost jednaka je omjeru broja ishoda, pogodnim za događaj koji se razmatra, na ukupan broj mogućih elementarnih ishoda:
b) Broj ishoda koji su pogodni za događaj koji ste zainteresirani (među odabranim loptima Postoje kugle br. 1 i br preostalih osam, tj Govoreći vjerojatnost

1.2.3. Statistička vjerojatnost

Statistička definicija vjerojatnosti koristi se u slučaju kada ishodi iskustva nisu jednaki.
Relativna učestalost događaja ALI Određeno jednakošću:
,
Gdje m. - broj testova u kojem događaj ALI došlo n. - ukupan broj testova.
Ya. Bernoulli je dokazao da će s neograničenim povećanjem broja eksperimenata, relativna učestalost događaja gotovo biti različita od određenog stalnog broja. Pokazalo se da je ovaj konstantan broj vjerojatnost događaja. Stoga se prirodno, relativna učestalost događaja na dovoljno velikom broju testova naziva statistička vjerojatnost za razliku od prethodno uvedene vjerojatnosti.
Primjer 1.8., Kako približno postaviti broj ribe u jezeru?
Pustiti u jezero h. Riba. Bacite mrežu i dopustite da u njemu pronađete n. Riba. Svaki od njih je metim i oslobađanje. Nekoliko dana kasnije u istom vremenu i na istom mjestu bacimo istu mrežu. Pretpostavimo da u njoj nalazimo ribe k. označen. Neka događaj ALI - "Uhvatio je riblju damu." Zatim odrediti relativnu frekvenciju.
Ali ako je u jezeru h. ribe i mi smo ga izdali n. Označena, zatim.
Kao R * (ALI) » R(ALI), Onda.

1.2.4. Operacije na događajima. Teorem o dodavanju vjerojatnosti

Iznosili udruga, nekoliko događaja naziva se događaj koji se sastoji od nastanka najmanje jednog od tih događaja (u istom testu).
Iznos ALI 1 + ALI 2 + … + ALI N. označen ovako:
ili .
Primjer, Dva igranja kostiju žure. Neka događaj ALI Sastoji se u smanjenju 4 boda na 1 kost i događaj U - U padaju 5 bodova na drugoj kosti. Događaji ALI i U zajednički. Stoga događaj ALI +U Sastoji se u smanjenju 4 boda na prvoj kosti, ili 5 bodova na drugoj kosti ili 4 boda na prvoj kosti i 5 bodova na drugoj istovremeno.
Primjer. Događaj ALI - Win 1 zajam, događaj U - Pobjednički 2 krediti. Tada događaj A + B. - Pobjednik barem jedan zajam (možda na dva).
Raditi Ili raskrižje nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničkog izgleda svih tih događaja (u istom testu).
Sastav U događaji ALI 1 , ALI 2 , …, ALI N. označen ovako:
.
Primjer. Događaji ALI i U Sastoje se u uspješnom prolasku I i II tura, odnosno, pri ulasku u Institut. Tada događaj ALI× B. Sastoji se u uspješnom prolasku obiju tura.
Koncepti iznosa i rada događaja imaju vizualnu geometrijsku interpretaciju. Neka događaj ALI Postoji točka na tom području ALIi događaj U - Dobivanje bodova na to područje U, Tada događaj A + B. Postoji točka unosa u kombinaciji tih područja (sl. 2.1) i događaj ALIU Postoji točka u sjecištu tih područja (sl. 2.2).

Sl. 2.1 Sl. 2.2.
Teorema, Ako je događaji I.(i. = 1, 2, …, n.) U parovima su nekonzistentni, vjerojatnost količine događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja:
.
Neka biti ALI i Ā - suprotne događaje, tj. A +. \u003d Ω, gdje je Ω pouzdan događaj. Iz teorema dodavanja slijedi to
P (ω) \u003d R(ALI) + R(Ā ) \u003d 1, tako
R(Ā ) = 1 – R(ALI).
Ako je događaji ALI 1 I. ALI 2 su zajedno, vjerojatnost suma dva zajednička događanja je:
R(ALI 1 + ALI 2) = R(ALI 1) + R(ALI 2) - p ( ALI 1 × ALI 2).
Teoremi vjerojatnosti omogućuju vam da se preselite iz izravno izračunavanje vjerojatnosti da odredite vjerojatnost pojave složenih događaja.
Zadatak 1.8., Strijelac proizvodi jedan ciljni udarac. Vjerojatnost izbacite 10 bodova (događaj ALI), 9 bodova (događaj U) i 8 bodova (događaj IZ) su jednaki, odnosno, 0,11; 0,23; 0,17. Pronađite vjerojatnost da će s jednim strijelcem odabrati manje od 8 bodova (događaj D.).
Odluka, Okrenimo se suprotnom događaju - s jednim pucačem, potrebno je najmanje 8 bodova. Događaj dolazi ako se dogodi ALI ili U, ili IZ, , Od događanja A, B., IZ u parovima su nekonzistentni, zatim, uz dodatak teoremu,
Odakle.
Zadatak 1.9., Iz tima brigade, koja se sastoji od 6 muškaraca i 4 žene, dvoje ljudi izabrana za konferenciju sindikata. Koja je vjerojatnost da među odabranom najmanje jednom ženom (događaj ALI).
Odluka, Ako se dogodi događaj ALITo će se svakako dogoditi jedan od sljedećih nepotpunih događanja: U - "izabrani muškarac i žena"; IZ - "Dvije žene izabrane." Stoga možete pisati: A \u003d b + c, Pronaći vjerojatnost događaja U i IZ, Dvije osobe od 10 mogu se birati na način. Dvije žene iz 4 mogu se birati na način. Čovjek i žena mogu izabrati 6 × 4 načina. Zatim. Od događanja U i IZ nedosljedan, a zatim, uz dodatak teoremu,
P (a) \u003d p (b + c) \u003d p (b) + p (s) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Zadatak 1.10. Na stalku u knjižnici u slučajnom redoslijedu postavljene su 15 udžbenika, a pet ih je u veznu. Knjižničar uzima prvi udžbenik. Pronaći vjerojatnost da će barem jedan od isprekidanih udžbenika biti u obvezujućem (događaju ALI).
Odluka, Prvi način. Zahtjev je najmanje jedan od tri obvezujuća udžbenika - provodit će se ako se dogodi bilo koji od sljedećih triju nekonzistentnih događaja: U - jedan obvezujući tutorial IZ - dva obvezujuća udžbenika, D. - tri obvezujuća udžbenika.
Događaj koji vas zanima ALI Možete zamisliti u obliku iznosa događaja: A \u003d b + c + d, Teoremom
P (a) \u003d p (b) + p (c) + p (d). (2.1)
Pronaći vjerojatnost događaja B, C. i D. (Vidi kombinatorijske sheme):

Predstavljajući te vjerojatnosti u jednakost (2.1), konačno dobiti
P (a)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Drugi način. Događaj ALI (najmanje jedan od tri udžbenika je obvezujuća) i Ā (Nijedan od zapletenih udžbenika nema obvezujući) - nasuprot, dakle P (a) + p (ā) \u003d 1 (zbroj vjerojatnosti dva suprotna događanja je 1). Odavde P (A.) = 1 – P (m). Vjerojatnost izgleda događaja Ā (Nijedan od isprekidanih udžbenika nema obvezujući)
Govoreći vjerojatnost
P (A.) = 1 - p (ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Uvjetna vjerojatnost. Vjerojatnost množenja teorem

Uvjetna vjerojatnost P (B./ALI) Zove se vjerojatnost događaja u izračunavanju u pretpostavci da je događaj već stigao.
Teorema, Vjerojatnost zajedničkog izgleda dva događaja jednaka je proizvodu vjerojatnosti jednog od njih na uvjetnoj vjerojatnosti drugog, izračunata u pretpostavci da je prvi događaj već stigao:
P (A.∙C) \u003d p (a) ∙ P ( U/ALI). (2.2)
Dva događanja nazivaju se neovisna ako izgled bilo kojeg od njih ne mijenja vjerojatnost drugog, tj.
P (a) \u003d p (a / in) ili P (B.) = P (B./ALI). (2.3)
Ako je događaji ALI i U Neovisni, zatim iz formula (2.2) i (2.3) slijedi
P (A.∙C) \u003d p (a)∙P (B.). (2.4)
Poštena i obrnuta izjava, tj. Ako se jednakost (2.4) izvodi za dva događaja, ovi događaji su neovisni. U stvari, iz formula (2.4) i (2.2) teče
P (A.∙C) \u003d p (a)∙P (B.) = P (A.) × P (B./ALI), Iz P (A.) = P (B./ALI).
Formula (2.2) priznaje generalizaciju u slučaju konačnog broja događaja ALI 1 , ALI 2 ,…,A N.:
P (A. 1 ∙ALI 2 ∙…∙A N.)=P (A. 1)∙P (A. 2 /ALI 1)∙P (A. 3 /ALI 1 ALI 2)∙…∙P (i n/ALI 1 ALI 2 …A N. -1).
Zadatak 1.11, S URN-a, u kojem je 5 bijela i 10 crnih kuglica, izvadite dvije kugle u nizu. Pronađite priliku da obje bijele kugle (događaj ALI).
Odluka , Razmotrite događaje: U - Prva otkrivena lopta bijela; IZ - Druga je otkrila loptu bijela. Zatim A \u003d Sunce..
Iskustvo se može održati na dva načina:
1) Uz povratak: Otkrivena kugla nakon popravljanja boje se vraća u URN. U ovom slučaju, događaji U i IZneovisno:
P (a) \u003d p (u)∙P (S.) \u003d 5/15 × 5/15 \u003d 1/9;
2) Bez povratka: zdjela je pohranjena na stranu. U ovom slučaju, događaji U i IZ ovisno:
P (a) \u003d p (u)∙P (S./U).
Za događaj U uvjeti bivši i za IZ situacija se promijenila. Došlo UStoga je u URN-u ostalo 14 lopti, među kojima su 4 bijelaca.
Dakle,.
Zadatak 1.12., Među 50 žarulja 3 ne-standard. Pronađite vjerojatnost da dvije nestandardne žarulje uzimaju u isto vrijeme.
Odluka , Razmotrite događaje: ALI - Prva svjetiljka je nestandardna, U - Druga svjetiljka je nestandardna, IZ - obje žarulje. To je jasno C \u003d A.∙U, Događaj ALI 3 slučaja su povoljni od 50 mogućih, tj. P (A.) \u003d 3/50. Ako je događaj ALI već je došao, onda događaj U Dva slučaja povoljna od 49 mogućih, tj. P (B./ALI) \u003d 2/49. Stoga,
.
Zadatak 1.13. , Dva sportaša samostalno pucaju jedan cilj. Vjerojatnost udarca cilja prvog sportaša je 0,7, a drugi je 0,8. Koja je vjerojatnost da će meta biti zaprepaštena?
Odluka , Cilj će biti zaprepašten ako će ili prve strelice pasti u nju, ili drugi, ili oboje zajedno, tj. Događaj će se dogoditi A + B.Gdje događaj ALI leži u prvom sportašu u meti i događaj U - Drugo. Zatim
P (A.+U)=P (A.)+P (B.)–P (A.∙U)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Zadatak 1.14.U čitaonici postoji šest udžbenika o teoriji vjerojatnosti, od kojih su tri u vezanju. Knjižničar blata je imao dva udžbenika. Pronađite vjerojatnost da će dva udžbenika biti u obvezujućem.
Odluka, Uvodimo oznake događaja : A. - prvi tutorial ima obvezujući, U - drugi udžbenik ima obvezujući. Vjerojatnost da prvi udžbenik ima obvezujući,
P (A.) = 3/6 = 1/2.
Vjerojatnost da drugi udžbenik ima obvezujući, pod uvjetom da je prvi tutorial bio u vezivanju, tj. Uvjetna vjerojatnost događaja UTakva je: P (B./ALI) = 2/5.
Željena vjerojatnost da i udžbenici imaju obvezujući, na množenju teorema događaja događaja jednaka je
P (ab.) = P (A.) ∙ P (B./ALI) \u003d 1/2 · ∙ 2/5 \u003d 0.2.
Zadatak 1.15. U radionici se nalazi 7 muškaraca i 3 žene. Na brojevima tableta odabrano je tri osobe. Pronađite vjerojatnost da će svi odabrani pojedinci biti muškarci.
Odluka, Uvodimo notaciju događaja: A. - Prvi je čovjek, U - drugi je odabran čovjek, Od - Treći odabrani čovjek. Vjerojatnost da će čovjek biti prvi koji će biti odabran, P (A.) = 7/10.
Vjerojatnost da je drugi odabran od strane čovjeka, pod uvjetom da je čovjek već prvi bio već izabran, tj. Uvjetna vjerojatnost događaja U Sljedeći : P (b / a) = 6/9 = 2/3.
Vjerojatnost da će treći birati čovjek, pod uvjetom da su dva muškarca već odabrana, tj. Uvjetna vjerojatnost događaja IZ Takva je: P (C./Au) = 5/8.
Željenu vjerojatnost da će sva tri odabrana osoba biti muškarci, P (abc) \u003d p (a) P (B./ALI) P (C./Au) \u003d 7/10 · 2/3 · 5/8 \u003d 7/24.

1.2.6. Formula pune vjerojatnosti i Bayes formule

Neka biti B. 1 , B. 2 ,…, B N. - parovi nepotpunih događaja (hipoteze) i ALI - događaj koji se može dogoditi samo zajedno s jednim od njih.
Neka, osim toga, znamo P (b i) I. P (A./B I.) (i. = 1, 2, …, n.).
Pod tim uvjetima, formule su važeće:
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) se zove formula puna vjerojatnost , Izračunava vjerojatnost događaja. ALI (puna vjerojatnost).
Formula (2.6) se zove bayes formula , To vam omogućuje da obnovite vjerojatnosti hipoteza ako je događaj ALI dogodilo.
U pripremi primjera, prikladno je pretpostaviti da je hipoteza tvore potpunu skupinu.
Zadatak 1.16., U košarskim jabukama s četiri stabla jedne sorte. Od prvih - 15% svih jabuka, od drugog - 35%, od trećeg - 20%, od četvrtog do 30%. Zrele jabuke su 99%, 97%, 98%, respektivno 95%.
a) Koja je vjerojatnost da će nasumce jabuka biti zrela (događaj ALI).
b) pod uvjetom da je nasumce, jabuka bila zrela, izračunajte vjerojatnost da je iz prvog stabla.
Odluka, a) imamo 4 hipoteze:
B 1 - na poderanom jabuku snimljenim iz 1. stabla;
B 2 - na poderanoj jabuci s 2. stabla;
B 3 - na poderanoj jabuci snimljenim iz 3. stabla;
B 4 - na poderanom jabuku snimljenim s 4. stabla.
Njihove vjerojatnosti pod uvjetom: P (B. 1) = 0,15; P (B. 2) = 0,35; P (B. 3) = 0,2; P (B. 4) = 0,3.
Uvjetne vjerojatnosti ALI:
P (A./B. 1) = 0,99; P (A./B. 2) = 0,97; P (A./B. 3) = 0,98; P (A./B. 4) = 0,95.
Vjerojatnost da će granica uzeti Apple će biti zrela, je u punoj vjerojatnosti formule:
P (A.)=P (B. 1)∙P (A./B. 1)+P (B. 2)∙P (A./B. 2)+P (B. 3)∙P (A./B. 3)+P (B. 4)∙P (A./B. 4)=0,969.
b) Bayes formula za naš slučaj ima oblik:
.
Zadatak 1.17. U URN-u koji sadrži dvije kuglice, spustila je bijelu kuglu, nakon čega je uklonjena od nje. Pronalaženje vjerojatnosti da će uklonjena lopta biti bijela ako su sve moguće pretpostavke o izvornom sastavu lopti (u boji) jednake.
Odluka, Označiti ALI Događaj - bijela lopta ekstrahirana. Moguće su sljedeće pretpostavke (hipoteze) na početnom sastavu kuglice: B 1. - nema bijelih kuglica, Na 2 - Jedna bijela lopta U 3 - dvije bijele kuglice.
Budući da su sve postoje tri hipoteze, a vjerojatnost hipoteza je 1 (kao što tvore potpunu skupinu događaja), tada je vjerojatnost svake od hipoteza 1/3, odnosno.
P (B. 1) = P (B. 2) \u003d P (b 3) = 1/3.
Uvjetna vjerojatnost da će se bijela lopta izvaditi, pod uvjetom da su izvorno bijele kuglice u URN-u, P (A./B. 1) \u003d 1/3. Uvjetovanu vjerojatnost da će se bijela kugla izvaditi, pod uvjetom da je u početku u URN-u bila jedna bijela kugla, P (A./B. 2) \u003d 2/3. Uvjetna vjerojatnost da će se bijela kugla izvaditi, pod uvjetom da su izvorne kugle u početku u URN-u P (A./B. 3)=3/ 3=1.
Željena vjerojatnost da će biti bijela kugla ukloniti, nalazimo formulu za potpunu vjerojatnost:
R(ALI)=P (B. 1)∙P (A./B. 1)+P (B. 2)∙P (A./B. 2)+P (B. 3)∙P (A./B. 3) \u003d 1/3 · 1/3 + 1/3 · 2/3 + 1/3 · 1 \u003d 2/3 .
Zadatak 1.18., Dva automata proizvode iste detalje koji dolaze na opći transporter. Izvedbu prvog stroja dva puta izvedbe drugog. Prvi automatski stroj proizvodi prosječno 60% detalja izvrsne kvalitete, a drugi je 84%. Povećavajući od transportera, detalj se pokazalo da je izvrsna kvaliteta. Pronađite mogućnost da je ova stavka napravio prvi stroj.
Odluka, Označiti ALI Događaj - detalj izvrsne kvalitete. Možete napraviti dvije pretpostavke: B 1. - Dio je izrađen od strane prvog automata, a budući da prvi stroj proizvodi dvostruko više pojedinosti od drugog) P (A./B. 1) = 2/3; B. 2 - dio je napravljen drugim automatima i P (B. 2) = 1/3.
Uvjetna vjerojatnost da će stavka biti izvrsna kvaliteta ako je napravio prvi stroj, P (A./B. 1)=0,6.
Uvjetovanu vjerojatnost da će predmet biti izvrsna kvaliteta ako je napravljena od strane drugog automatike, P (A./B. 1)=0,84.
Vjerojatnost da će granica preuzeta detalj biti izvrsna kvaliteta, u skladu s formulom potpune vjerojatnosti jednaka je
P (A.)=P (B. 1) ∙P (A./B. 1)+P (B. 2) ∙P (A./B. 2) \u003d 2/3 · 0,6 + 1/3 · 0,84 \u003d 0,68.
Željena vjerojatnost da je izvrsna stavka napravljena od strane prvog automat, Bayes formula je jednaka

Zadatak 1.19., Postoje tri dijela za 20 dijelova. Broj standardnih dijelova u prvoj, drugoj i trećoj strani je jednak 20, 15, 10. Iz odabrane serije, detalj koji se pokazalo da je standard je uklonjen. Pojedinosti se vraćaju na zabavu, a drugi put iz iste serije, detalj se dohvaća, koji se također ispada da je standard. Pronađite vjerojatnost da su pojedinosti izdvojili iz treće strane.
Odluka, Označiti ALI Događaj - u svakom od dva testa (s povratom), dohvaćen je standardni dio. Možete napraviti tri pretpostavke (hipoteze): B. 1 - pojedinosti se ekstrahiraju iz prve serije, U 2 - Detalji se izdvajaju iz druge igre, U 3 - Detalji se izdvajaju iz treće strane.
Detalji su uklonjeni granicom iz serije, stoga su vjerojatnosti hipoteze iste: P (B. 1) = P (B. 2) = P (B. 3) = 1/3.
Pronađite uvjetnu vjerojatnost P (A./B. 1), tj. Vjerojatnost da će se dva standardna dijela dosljedno preuzeti iz prve serije. Ovaj događaj je pouzdano, jer U prvoj seriji svi detalji su standardni, tako da P (A./B. 1) = 1.
Pronađite uvjetnu vjerojatnost P (A./B. 2), tj. Vjerojatnost da će se iz druge serije dosljedno ekstrahirati (s povratom) dva standardna detalja: P (A./B. 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Pronađite uvjetnu vjerojatnost P (A./B. 3), tj. Vjerojatnost da će se od treće strane dosljedno ekstrahirati (s povratom) dva standardna detalja: P (A./B. 3) \u003d 10/20 · 10/20 \u003d 1/4.
Željena vjerojatnost da su i ekstrahirani standardni detalji uzimaju se iz treće strane, u Bayes formulu je jednaka

1.2.7. Ponovljeni testovi

Ako postoji nekoliko testova, vjerojatnost događaja ALIu svakom testu ne ovisi o ishodima drugih testova, tada se takve testove nazivaju neovisno o događaju A. U različitim neovisnim testovima ALImože imati ili različite vjerojatnosti ili istu vjerojatnost. Dodatno će razmotriti samo takve neovisne testove u kojima je događaj ALIima jednu istoj vjerojatnost.
Neka bude proizvedena pnezavisni testovi u svakom od kojih je događaj ALImože se pojaviti ili ne pojavljuju. Pristaju vjerovati da je vjerojatnost događaja ALIu svakom testu, isto, naime, jednak je r.Slijedom toga, vjerojatnost da ne smiješ imati događaj ALIu svakom testu također je konstantna i jednaka 1- r. Takva probabilistička shema se zove bernoulli shema, Postavili smo zadatak da izračunamo vjerojatnost ptestovi na događaju Bernoulli sheme ALI Točan rivna k. Jednom ( k. - broj uspjeha) i stoga neće p- vrijeme. Važno je naglasiti da to nije potrebno ALIponovio točno k. Jednom u određenom redoslijedu. Željena vjerojatnost je označena P p (k). Na primjer, simbol R 5 (3) znači vjerojatnost da će se u pet testova događaj pojaviti točno 3 puta i stoga se neće dogoditi 2 puta.
Zadatak se može riješiti pomoću tzv bernoulli formule koji ima oblik:
.
Zadatak 1.20.Vjerojatnost da potrošnja električne energije u nastavku jednog dana neće premašiti uspostavljenu normu, jednaka je r\u003d 0,75. Pronađite mogućnost da u sljedećih 6 dana potrošnja električne energije za 4 dana neće prelaziti normu.
Odluka. Vjerojatnost normalne potrošnje električne energije u nastavku svakog od 6 dana je konstantna i jednaka r\u003d 0,75. Prema tome, vjerojatnost ponovnog izračuna električne energije svaki dan je također konstantna i jednaka q \u003d.1–r=1–0,75=0,25.
Željena vjerojatnost Bernoulli formule jednaka je
.
Zadatak 1.21, Dva ekvivalentna šahista igraju šah. Što je vjerojatnije: osvojiti dvije serije četiri ili tri stranke od šest (ne uzeti u obzir)?
Odluka, Igrajte ekvivalentne šahovce, tako vjerojatnost pobjede r \u003d 1/2, dakle, vjerojatnost gubitka p: Također jednaka 1/2. Jer U svim stranama, vjerojatnost pobjede je konstantna i ravnodušna, u kojoj slijed stranka će biti osvojena, primjenjivat će se formula Bernoullija.
Nalazimo vjerojatnost da će se osvojiti dvije stranke iz četiri:

Nalazimo vjerojatnost da će se osvojiti tri stranke od šest:

Jer P. 4 (2) > P. 6 (3), vjerojatno će osvojiti dvije strane od četiri od tri od šest godina.
Jedno kao da vidim da koristiti bernoulli formulu za velike vrijednosti n. Vrlo je teško, budući da formula zahtijeva postupke na ogromnim brojevima i stoga u procesu izračuna akumuliraju pogreške; Kao rezultat toga, konačni rezultat može se značajno razlikovati od prave.
Da bi se riješio ovaj problem, postoji nekoliko graničnih teorema koje se koriste za slučaj velikog broja testova.
1. Poisson Teorem
Prilikom izvođenja velikog broja testova prema Bernoulli shemu (kada n. \u003d\u003e ∞) i s malim brojem povoljnih ishoda k. (Pretpostavlja se da je vjerojatnost uspjeha p. Mala), Bernoulli formula se približava formuli Poissona
.
Primjer 1.22. Vjerojatnost braka pri izradi poduzeća proizvoda proizvoda je jednaka p.\u003d 0.001. Što je vjerojatnost da će proizvodnja od 5.000 jedinica proizvoda biti manja od 4 neispravna (događaj ALI Odluka, Jer n. Sjajno, koristimo lokalnu laplace teorem:

Izračunati x.:
Funkcija - Čak i φ (-1.67) \u003d φ (1.67).
Prema tablici Dodatka, stavak 1, nalazimo φ (1.67) \u003d 0.0989.
Govoreći vjerojatnost P. 2400 (1400) = 0,0989.
3. Integral Laplace Teorem
Ako je vjerojatnost r Izgled događaja A. U svakom testu prema bernoulli shemu konstantnom i različitom od nula i jedinica, onda s velikim brojem testova n. vjerojatnost P p (k 1 K. 2) Događaji A. U ovim testovima k. 1 biti k. 2 puta približno jednaka
P P.(k. 1 K. 2) \u003d φ ( x "") – Φ ( x "), gdje
- Funkcija Laplace,

Specifični integralni u Funkciji Laplace ne izračunava se na klasi analitičkih funkcija, pa se koristi za izračunavanje. Str.2, prikazano u aplikaciji.
Primjer 1.24.Vjerojatnost događaja u svakom od stotinu neovisnih testova je konstantna i jednaka p. \u003d 0,8. Pronađite vjerojatnost da će se događaj pojaviti: a) najmanje 75 puta i ne više od 90 puta; b) najmanje 75 puta; c) ne više od 74 puta.
Odluka, Koristimo Laplace integralni teorem:
P P.(k. 1 K. 2) \u003d φ ( x "") – Φ( x "), gdje f ( x.) - Funkcija Laplace,

a) pod uvjetom n. = 100, p. = 0,8, p: = 0,2, k. 1 = 75, k. 2 \u003d 90. Izračunajte x "" i x " :


S obzirom da je laplace funkcija neparna, tj. F (- x.) \u003d - F ( X.), dobivamo
P. 100 (75; 90) \u003d f (2.5) - F (-1.25) \u003d φ (2.5) + F (1.25).
Stol. P. Prijave će pronaći:
F (2.5) \u003d 0.4938; F (1.25) \u003d 0.3944.
Govoreći vjerojatnost
P. 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) zahtjev da se događaj pojavljuje najmanje 75 puta, ukazuje na to da broj događaja može biti 75 ili 76, ... ili 100. Dakle, u slučaju razmatranja treba uzeti k. 1 = 75K. 2 \u003d 100. Zatim

.
Stol. P. Prijave će pronaći F (1.25) \u003d 0.3944; F (5) \u003d 0.5.
Govoreći vjerojatnost
P. 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) događaj - " ALI pojavio se najmanje 75 puta "i" ALI ne više od 74 puta pojavilo se "suprotno, stoga je zbroj vjerojatnosti ovih događaja 1. posljedično, željenu vjerojatnost
P. 100 (0;74) = 1 – P. 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Teorija vjerojatnosti je prilično opsežan neovisni dio matematike. U školskoj godini, teorija vjerojatnosti se smatra vrlo površno, međutim, postoje zadaci za ovu temu. Međutim, to nije tako teško riješiti zadatke školskog tečaja (barem ono što se tiče aritmetičkih operacija) - ovdje ne trebate razmotriti derivate, uzimajte integrale i rješavaju složene trigonometrijske transformacije - glavna stvar je da se mogu nositi jednostavni brojevi i frakcije.

Teorija vjerojatnosti - Osnovni pojmovi

Glavni uvjeti teorije vjerojatnosti su testiranje, ishod i slučajni događaj. Test u teoriji vjerojatnosti naziva se eksperiment - baciti novčić, povući karticu, izvući izvlačenje - sve te testove. Rezultat testa, kao što ste već pogodili, naziva se ishod.

Koji je slučajni događaj? U teoriji vjerojatnosti pretpostavlja se da se test provodi mnogo puta mnogo ishoda. Slučajni događaj naziva se mnogo ishoda ishoda. Na primjer, ako bacite novčić, mogu se pojaviti dva slučajna događaja - orao ili žuriti pada.

Nemojte brkati ishod i slučajni događaj. Ishod je jedan rezultat jednog testa. Slučajni događaj je razne moguće ishode. Usput, i takav izraz kao nemogući događaj. Na primjer, događaj "pao broj 8" na standardnu \u200b\u200bigru \u200b\u200bje nemoguće.

Kako pronaći vjerojatnost?

Svi razumijemo što je vjerojatnost i često koristi ovu riječ u vašem rječniku. Osim toga, možemo čak napraviti neke zaključke o vjerojatnosti određenog događaja, na primjer, ako iza snijega, možemo biti vjerojatno da ćemo reći da sada nije ljeto. Međutim, kako brojčano izraziti ovu pretpostavku?

Kako bismo uveli formulu za pronalaženje vjerojatnosti, uvodemo drugi koncept - povoljan ishod, tj. Ishod koji je povoljan za određeni događaj. Definicija je prilično dvosmislena, naravno, prema stanju problema, uvijek je jasno koji je od ishoda povoljan.

Na primjer: u razredu 25 ljudi, troje kati. Učitelj imenuje Olya dužnost, a ona treba partnera. Koja je vjerojatnost da će partner katya postati?

U ovom primjeru, povoljan ishod - Katya partner. Malo kasnije riješit ćemo ovaj zadatak. Ali prvo se uvodimo uz pomoć dodatne formule definicije za pronalaženje vjerojatnosti.

• P \u003d A / N, gdje je P vjerojatnost, A je broj povoljnih ishoda, n je ukupan broj ishoda.

Svi školski izazovi se vrte oko jedne od ove formule, a glavna se poteškoća obično sastoji u pronalaženju ishoda. Ponekad su jednostavni za pronalaženje, ponekad - ne baš.

Kako riješiti zadatke za vjerojatnost?

Zadatak 1.

Dakle, sada odlučujemo o gore navedenom zadatku.

Broj povoljnih ishoda (učitelj odabire Katyu) jednak je tri, jer je mačka u tri razreda i ukupnim ishodima - 24 (25-1, jer je već izabrana Olya). Tada je vjerojatnost jednaka: p \u003d 3/2 \u003d 1/8 \u003d 0,125. Dakle, vjerojatnost da će Katya ispasti biti 12,5%. Je li lako? Pitamo se nešto sveobuhvatno.

Zadatak 2.

Kovanica je dvaput bačena, koja je vjerojatnost kombinacije: jedan orao i jedan žurba?

Dakle, smatramo potpuno ishodima. Kako kovanice mogu ispadati - orao / orao, Rushka / Rushka, Eagle / Rush, Rushka / Eagle? Dakle, ukupan broj ishoda - 4. Koliko povoljnih ishoda? Dva - orao / žurba i žurba / orao. Tako je vjerojatnost kombinacije orla / žurbe jednaka:

• P \u003d 2/4 \u003d 0,5 ili 50 posto.

I sada razmislite o takvom zadatku. Masha u džepu 6 kovanica: dva - denominacija 5 rubalja i četiri - denominacija od 10 rubalja. Masha je pomaknula 3 novčića u drugi džep. Koja je vjerojatnost da će 5-rublje kovanica biti u različitim džepovima?

Za jednostavnost, označavamo kovanice s brojevima - 1,2 - pet članova kovanica, 3,4,5,6 - deset metara kovanica. Pa kako mogu li kovanice u vašem džepu? Ukupno ima 20 kombinacija:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na prvi pogled može se činiti da su neke kombinacije nestale, na primjer, 231, međutim, u našem slučaju, kombinacije 123, 231 i 321 su ekvivalentne.

Sada smatramo koliko povoljnih ishoda imamo. Za njih uzimamo one kombinacije u kojima postoji ili broj 1, ili broj 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Oni su 12. Tako, Vjerojatnost je jednaka:

• P \u003d 12/20 \u003d 0,6 ili 60%.

Zadaci o teoriji vjerojatnosti prikazani su vrlo jednostavni, ali ne mislim da je teorija vjerojatnosti jednostavan dio matematike. Ako se odlučite nastaviti s obrazovanjem na sveučilištu (osim humanitarnih specijalnosti), svakako ćete imati nekoliko više matematike na kojima ćete biti upoznati s složenijim uvjetima ove teorije, a zadaci će biti mnogo teže ,

Kratka teorija

Za kvantitativnu usporedbu događaja u stupnju mogućnosti njihovog izgleda, uvedena je numerička mjera, koja se naziva vjerojatnost događaja. Vjerojatnost slučajnog događaja Broj koji je izraz mjere objektivne mogućnosti izgleda događaja.

Vrijednosti koje određuju koliko su značajni objektivni razlozi računati na događaje karakteriziraju vjerojatnost događaja. Potrebno je naglasiti da je vjerojatnost objektivna vrijednost koja postoji neovisno o učenju i zbog cijelog skupa uvjeta koji doprinose pojavu događaja.

Objašnjenja koje smo dali koncept vjerojatnosti nisu matematička definicija, jer oni ne određuju taj koncept kvantitativno. Postoji nekoliko definicija vjerojatnosti slučajnog događaja koji se naširoko koriste u rješavanju specifičnih zadataka (klasična, geometrijska definicija vjerojatnosti, statističke itd.).

Klasična definicija vjerojatnosti događaja Podržava ovaj koncept elementarnijem konceptu ravnotežnih događaja, koji se više ne definira i pretpostavlja se da je intuitivan. Na primjer, ako je igranje kosti homogena kocka, onda je posljedica bilo kojeg rubova ove kocke biti jednak događajima.

Neka se pouzdan događaj raspao na ravnotežnim slučajevima, čiji iznos daje događaj. To jest, slučajevi koji se raspadaju nazivaju se povoljnim za događaj, budući da izgled jednog od njih pruža ofenzivu.

Vjerojatnost događaja bit će označena simbolom.

Vjerojatnost događaja jednaka je omjeru broja slučajeva pogodnim za njega, od ukupnog broja jedinih mogućih, jednakih i nedosljednosti na broj, tj.

Ovo je definicija klasične vjerojatnosti. Dakle, da bi pronašli vjerojatnost događaja, potrebno je, uzimajući u obzir različite ishode testa, kako bi pronašli skup jedinih mogućih, jednakih i nedosljednih slučajeva, izračunati njihov ukupan broj n, broj M slova pridonose Ovaj događaj, a zatim izračunajte izračun prema gornjoj formuli.

Vjerojatnost događaja jednak omjeru broja povoljnih događaja iskustva iskustva s ukupnim brojem ishoda iskustva klasična vjerojatnost Slučajni događaj.

Određivanje teče sljedeća svojstva vjerojatnosti:

Imovina 1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jednom.

Imovina 2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.

Nekretnina 3. Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj zaključen između nule i jedinice.

Imovina 4. Vjerojatnost pojave događaja koji formiraju potpunu skupinu jednaka je jednom.

Nekretnina 5 Vjerojatnost suprotnog događaja definira se na isti način kao i vjerojatnost pojave događaja A.

Broj slučajeva pogoduje pojavu suprotnog događaja. Odavde je vjerojatnost suprotnog natjecanja jednaka razlici između jedinice i vjerojatnosti događaja a:

Važna prednost klasične definicije vjerojatnosti događaja je da uz njegovu pomoć, vjerojatnost događaja može se odrediti bez pribjegavanja eksperimentu, te na temelju logičkog razmišljanja.

Prilikom izvođenja kompleksa uvjeta, pouzdan će se događaj svakako dogoditi, a nemoguće se ne može nužno dogoditi. Među događajima koji se, pri stvaranju kompleksa uvjeta mogu pojaviti i ne mogu se dogoditi, na izgledu neki mogu računati na veliku bazu, na izgled drugih s manjom bazom. Ako, na primjer, u Urn bijelih lopti više od crne, onda se nada za pojavu bijele posude pri uklanjanju iz URN-a mnogo više razloga nego na izgled crne zdjele.

Na sljedećoj stranici se razmatra.

Primjer rješavanja problema

Primjer 1.

U kutiji ima 8 bijelih, 4 crne i 7 crvenih kuglica. Ruta preuzeta 3 loptice. Pronađite vjerojatnosti sljedećih događaja: - Barem 1 crvena kugla se ekstrahira - ima najmanje 2 kuglice jedne boje, - postoji najmanje 1 crvena i 1 bijela kugla.

Rješenje problema

Ukupan broj ishoda ispitivanja naći će se kao broj kombinacija od 19 (8 + 4 + 7) elemenata 3:

Pronađite vjerojatnost događaja - ekstrahira najmanje 1 crvenu kuglu (1,2 ili 3 crvene kuglice)

Željenu vjerojatnost:

Neka događaj - Postoji najmanje 2 zdjele jedne boje (2 ili 3 bijele kuglice, 2 ili 3 crne kuglice i 2 ili 3 crvene kuglice)

Broj ishoda pridonosi događajima:

Željenu vjerojatnost:

Neka događaj - Postoji barem jedna crvena i 1 bijela lopta

(1 crveno, 1 bijela, 1 crna ili 1 crvena, 2 bijela ili 2 crvena, 1 bijela)

Broj ishoda pridonosi događajima:

Željenu vjerojatnost:

Odgovor:P (a) \u003d 0.773; p (c) \u003d 0.7688; P (d) \u003d 0,6068

Primjer 2.

Bačena su dvije kosti za igru. Pronađite vjerojatnost da količina točaka nije manja od 5.

Odluka

Neka događaj - iznos bodova najmanje 5

Koristimo definiciju klasične vjerojatnosti:

Ukupan broj mogućih ishoda ispitivanja

Broj testova pogoduje događaju koji vas zanima

Na palom licu prve igranje kocke, može se pojaviti jedna točka, dvije točke ..., šest bodova. Slično tome, šest ishoda je moguće prilikom bacanja druge kocke. Svaki od ishoda bacanja prve kocke može se kombinirati sa svakim ishoda druge. Tako je ukupan broj mogućih ishoda elementarnih ishoda jednak broj plasmana s ponavljanjem (odabir s postavljanjem 2 elementa iz skupa volumena 6):

Pronađite vjerojatnost suprotnog događaja - količina bodova je manji od 5

Omiljeni događaj će biti sljedeće kombinacije sjajnih točaka:

Cijena snažno utječe na hitnost otopine (od dana do nekoliko sati). Online pomoć na ispitu / poretku provodi se po dogovoru.

Aplikacija se može prepustiti izravno u chatu, nakon što je prethodno bacanje stanja zadataka i informiranje koje trebate. Vrijeme odgovora - nekoliko minuta.

U početku, biti samo sastanak informacija i empirijskih zapažanja u igri u kosti, teorija vjerojatnosti postala je čvrsta znanost. Prvi koji je dao svoj matematički okvir bio je farma i pascal.

Od razmišljanja o vječnoj do teorije vjerojatnosti

Dvije osobe koje su dužne od strane mnogih temeljnih formula, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznate su kao duboko vjernici, a potonji je bio prezbiterijanski svećenik. Očigledno, želja ovih dva znanstvenika da dokažu zabludu pogleda na neku vrstu bogatstva, dajući sreću svojim kućnim ljubimcima, dao je poticaj za istraživanje u ovom području. Uostalom, zapravo, bilo kockanje s dobicima i gubicima samo je simfonija matematičkih načela.

Zahvaljujući Azartu Cavaller, koji je bio jednako igrač i osoba koja nije ravnodušna prema znanosti, Pascal je bio prisiljen pronaći način da izračuna vjerojatnost. Odlična odlična je zainteresirana za takvo pitanje: "Koliko puta trebate baciti dvije kosti u parovima, tako da je vjerojatnost dobivanja 12 bodova premašila 50%?". Drugo pitanje je izuzetno zainteresirano za Cavallar: "Kako podijeliti okladu između sudionika nedovršene igre?" Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja koja su postala nevoljni poticaj za razvoj teorije vjerojatnosti. Zanimljivo je da je osoba u struci ostala poznata, a ne u literaturi.

Prije toga, nijedan matematičar još nije pokušao izračunati vjerojatnosti događaja, jer se smatralo da je to samo gladna odluka. Blaise Pascal je dala prvu definiciju vjerojatnosti događaja i pokazala da je to određena figura koja se može opravdati matematičkim sredstvima. Teorija vjerojatnosti postala je osnova za statistiku i široko se koristi u modernoj znanosti.

Što je nesreće

Ako razmotrimo test da možete ponoviti beskonačan broj puta, onda možete definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od važnih ishoda iskustva.

Iskustvo je provedba konkretnih aktivnosti u stalnim uvjetima.

Raditi s rezultatima iskustva, događaji se obično označavaju slova A, B, C, D, e ...

Vjerojatnost slučajnog događaja

Da biste mogli početi matematički dio vjerojatnosti, morate definirati sve svoje komponente.

Vjerojatnost događaja izgovara se u numeričkom obliku mjere pojave određenog događaja (a ili b) kao rezultat iskustva. Označena je vjerojatnost kao p (a) ili p (b).

U teoriji vjerojatnosti razlikuju:

• pouzdan Događaj je zajamčen kao rezultat eksperimenta p (Ω) \u003d 1;
• nemoguće Događaj se nikada ne može pojaviti str (Ø) \u003d 0;
• slučajan Događaj leži između pouzdanog i nemoguće, to jest, moguća je vjerojatnost njegovog izgleda, ali ne i zajamčena (vjerojatnost da je slučajni događaj uvijek unutar 0 ≤P (a) ≤ 1).

Odnosi između događaja

Razmotrite i isti i zbroj događaja A + B, kada se događaj računa u provedbi najmanje jedne od komponenti, A ili B ili oboje - A i V.

U odnosu na drugu, događaji mogu biti:

• Ravnoteža.
• Kompatibilan.
• Nespojivo.
• Suprotno (međusobno isključivo).
• Ovisno.

Ako se mogu pojaviti dva događaja s jednakom vjerojatnošću, onda oni ravnoteža.

Ako izgled događaja i ne smanjuje vjerojatnost izgleda događaja B, onda oni kompatibilan.

Ako se događaji A i B nikada ne događaju istovremeno u istom iskustvu, oni se nazivaju nespojiv, Bacanje kovanica je dobar primjer: izgled žurbe automatski je kriv od orla.

Vjerojatnost za količinu takvih nekompatibilnih događaja sastoji se od vjerojatnosti svakog događaja:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Ako je početak jednog događaja nemoguće dogoditi drugi, oni se nazivaju suprotno. Tada je jedan od njih označen kao a, a drugi - Ā (čitati kao "ne"). Izgled događaja A znači da se ne dogodi. Ova dva događaja čine cjelovitu skupinu s zbrojem vjerojatnosti jednake 1.

Zavisni događaji imaju zajednički utjecaj, smanjenje ili povećanje vjerojatnosti jedni druge.

Odnosi između događaja. Primjeri

Primjeri su mnogo lakši za razumijevanje načela teorije vjerojatnosti i kombinacija događanja.

Iskustvo koje će se provesti je da izvučete loptice iz kutije, a rezultat svakog iskustva je elementarni ishod.

Događaj je jedan od mogućih ishoda iskustva - crvenu loptu, plavu kuglu, loptu s brojem šest, itd.

Test broj 1. Uključeno je 6 lopti, od kojih su tri obojana u plave, na njima se primjenjuju neparni brojevi, a tri su crvene s čak i brojevima.

Test broj 2. Uključeno je 6 kuglice s brojevima od jednog do šest.

Na temelju ovog primjera možete nazvati kombinacije:

• Pouzdan događaj. U №2 Događaj "Nabavite plavu loptu" je pouzdana, jer je vjerojatnost njegovog izgleda jednaka 1, jer sve kuglice plave i propust ne mogu biti. Budući da je događaj "dobiti loptu s brojem 1".
• Nemoguće događaj. U №1 s plavim i crvenim kuglicama događaj "dobiti ljubičastu loptu" je nemoguća, jer je vjerojatnost njegovog izgleda 0.
• Jednaki događaji. U №1 Događaji "Uzmite loptu s brojem 2" i "dobiti loptu s ravnotežom brojem 3", a događaji "dobiti loptu s parnim brojem" i "dobiti loptu s brojem 2" imaju različitu vjerojatnost ,
• Kompatibilni događaji. Dva puta za redom da biste dobili šest u procesu bacanja kostiju - to su kompatibilni događaji.
• Nespojivi događaji. U istom ISP-u. №1 Događaji "Uzmite crvenu kuglu" i "dobiti loptu s neparnim brojem" ne može se kombinirati u istom iskustvu.
• Suprotne događaje. Najupečatljiviji primjer o tome je bacanje kovanica kada je izvlačenje orla jednako za neto zatočeništvo rijeke, a zbroj njihovih vjerojatnosti je uvijek 1 (puna skupina).
• Ovisni događaji, Dakle, u ISP-u. №1 Možete postaviti cilj da dvaput uklonite crveni balon u nizu. Njegova ekstrakcija ili nepoznata po prvi put utječe na vjerojatnost izdvajanja drugog puta.

Može se vidjeti da prvi događaj značajno utječe na vjerojatnost drugog (40% i 60%).

Formula vjerojatnosti događaja

Prijelaz iz refleksije gadetiranja na točne podatke je posljedica prevođenja temu u matematičku ravninu. To jest, prosudbe o slučajnom događaju poput "velike vjerojatnosti" ili "minimalne vjerojatnosti" mogu se prenijeti na određene numeričke podatke. Takav materijal je dopušten procjenjivati, usporediti i uvesti u složenije izračune.

Sa stajališta izračuna, definicija vjerojatnosti događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda na iznos svih mogućih ishoda iskustva relativno specifičnog događaja. To je označeno vjerojatnost P (a), gdje R znači riječ "Probabilite", koji je preveden s francuskog kao "vjerojatnost".

Dakle, manifestacija vjerojatnosti:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, N - zbroj svih ishoda moguće za to iskustvo. U tom slučaju vjerojatnost događaja uvijek leži između 0 i 1:

0 ≤ p (a) ≤ 1.

Izračunavanje vjerojatnosti događaja. Primjer

Uzmi govor. №1 s loptima, koje su prethodno opisane: 3 plave kuglice s brojevima 1/3/5 i 3 crveno s 2/4/6 brojevima.

Na temelju ovog testa može se vidjeti nekoliko različitih zadataka:

• A - gubitak crvene zdjele. Crvene kuglice 3 i ukupne opcije 6. Ovo je najjednostavniji primjer u kojem je vjerojatnost događaja P (a) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• B - gubitak paran broj. Ukupno čak i brojevi 3 (2,4,6), a ukupan broj mogućih numeričkih varijanti je 6. Vjerojatnost ovog događaja je P (b) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• C je gubitak broja veći od 2. ukupne opcije 4 (3,4,5,6) od ukupnog iznosa mogućih ishoda 6. Vjerojatnost događaja s jednakim P (c) \u003d 4/6 \u003d 0,67 ,

Kao što se može vidjeti iz izračuna, događaj C ima veću vjerojatnost, budući da je broj vjerojatnih pozitivnih ishoda veći nego u A i V.

Nevažeći događaji

Takvi se događaji ne mogu istovremeno pojavljivati \u200b\u200bu istom iskustvu. Kao u №1 nemoguće je istovremeno doći do plave i crvene lopte. To jest, možete dobiti plavu ili crvenu loptu. Na isti način u igranju kosti, čak i neparan broj može biti u isto vrijeme.

Vjerojatnost dva događaja smatra se vjerojatnost njihovog iznosa ili rada. Iznos takvih događaja A + B smatra se takav događaj koji se sastoji u nastanku događaja A ili B, a rad od njih je u izgledu oba. Na primjer, izgled dvaju šesteraca odmah na rubovima dviju kocki u jednom bacanju.

Zbroj nekoliko događaja je događaj koji uključuje pojavu barem jednog od njih. Rad nekoliko događaja je zajednički izgled svih njih.

U teoriji vjerojatnosti, u pravilu, korištenje Unije "i" označava iznos, Uniju "ili" - umnožavanje. Formule s primjerima pomoći će razumjeti logiku dodavanja i množenja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerojatnost nepotpunih događaja

Ako se razmatra vjerojatnost nekonzistentnih događaja, vjerojatnost količine događaja jednaka je dodavanju njihove vjerojatnosti:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Na primjer: izračunam vjerojatnost da na računalu. 1 s plavim i crvenim kuglicama, broj 1 i 4. izračunaj ne u jednoj akciji, već zbroj vjerojatnosti elementarnih komponenti. Dakle, u ovom iskustvu samo 6 lopti ili 6 mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju stanje - 2 i 3. Vjerojatnost na slici 2 je 1/6, vjerojatnost na slici 3 je također 1/6. Vjerojatnost da će znamenka ispasti između 1 i 4 su:

Vjerojatnost nekompatibilnih događaja potpune skupine jednaka je 1.

Dakle, ako u eksperimentu s kockom, postavite vjerojatnosti ispadanja svih brojeva, onda kao rezultat dobivamo jedinicu.

Također je istina za suprotne događaje, na primjer, iskustvo s novcem, gdje je jedna strana događaj a, a drugi je suprotan događaj - kao što je poznato,

P (a) + p (m) \u003d 1

Vjerojatnost rada ne-istaknutih događaja

Multipliciranje vjerojatnosti primjenjuju se kada razmatraju pojavu dva ili više nepotpunih događaja u jednom promatranju. Vjerojatnost da će se događaji A i B pojaviti istovremeno, jednaka proizvodu svojih vjerojatnosti, ili:

P (a * b) \u003d p (a) * p (b)

Na primjer, vjerojatnost da u ISP-u. №1 Kao rezultat dva pokušaja, plava lopta će se pojaviti dvaput, jednaka

To jest, vjerojatnost pojave događaja, kada, kao rezultat dvaju pokušaja s uklanjanjem lopti, samo plave kuglice će biti izdvojene, jednake 25%. Vrlo je lako napraviti praktične eksperimente ovog zadatka i vidjeti je li doista.

Zajedničke događaje

Događaji se razmatraju zajedno kada se pojave jednog od njih može podudarati s pojavom drugog. Unatoč činjenici da su zajednički, smatra se vjerojatnost nezavisnih događaja. Na primjer, bacanje dvaju kosti mogu dati rezultat kada broj 6 padne na njih. Iako se događaji podudaraju i pojavili su se istodobno, oni su neovisni jedni od drugih - samo jedan šest, druga kost nema utjecaja na njega ,

Vjerojatnost zajedničkih događaja smatra se vjerojatnost njihovog iznosa.

Vjerojatnost zbroja zajedničkih događaja. Primjer

Vjerojatnost količine događaja A i B, koja u odnosu na međusobne zglobove, jednaka sumu vjerojatnosti događaja s odbitkom vjerojatnosti njihovog rada (to jest, njihova zajednička provedba):

P. (A + c) \u003d p (a) + p (b) - p (av)

Pretpostavimo da je vjerojatnost da ući u cilj s jednim pucanjem je 0,4. Tada događaj A - udaranje u cilj u prvom pokušaju, u drugi način. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da se cilj može pogoditi i od prvog i drugog metka. Ali događaji ne ovise. Koja je vjerojatnost pojave ciljanog poraz od dvije snimke (barem jedan)? Prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje je sljedeći: "Vjerojatnost ulaska u gol iz dvije snimke je 64%."

Ova formula vjerojatnosti događaja također se može primjenjivati \u200b\u200bna nepotpune događaje, gdje je vjerojatnost izglede događaja p (Av) \u003d 0. To znači da se vjerojatnost nepotpunih događaja može smatrati posebnim slučajem predložene formule.

Geometrija vjerojatnosti za jasnoću

Zanimljivo je da se vjerojatnost količine zajedničkih događaja može predstavljati kao dvije regije A i B, koji se sijeku zajedno. Kao što se može vidjeti iz slike, područje njihovog udruženja jednaka je ukupnoj površini u minuti njihovih područja raskrižja. Ovo geometrijsko objašnjenje čini razumnije nelogične na prvi pogled formulu. Imajte na umu da geometrijska rješenja nisu neuobičajena u teoriji vjerojatnosti.

Određivanje vjerojatnosti zbroja skupa (više od dva) zajednička događanja je prilično glomazna. Da biste je izračunali, morate koristiti formule koje se pružaju za te slučajeve.

Ovisni događaji

Zavisni događaji nazivaju se ako uvreda jednog (a) utječe na vjerojatnost drugog (b). Štoviše, uzet je u obzir utjecaj oba događaja a i njezine greške. Iako se događaji nazivaju ovisi o definiciji, ali samo jedan od njih (b) ovisi. Uobičajena vjerojatnost je označena kao P (b) ili vjerojatnost neovisnih događaja. U slučaju ovisnog, uveden je novi koncept - uvjetna vjerojatnost p a (b), koja je vjerojatnost ovisnog događaja u pod uvjetom da se događaj a (hipoteza) dogodila iz koje ovisi.

Ali nakon svega, događaj je također slučajno, tako da ima i mogućnost da vam je potrebno i može se uzeti u obzir u izračunatim izračunima. Zatim će se primjer prikazati kako raditi s ovisnim događajima i hipotezom.

Primjer izračunavanja vjerojatnosti ovisnih događaja

Dobar primjer za izračunavanje ovisnih događaja može biti standardna paluba kartica.

Na primjeru palube u 36 kartica, razmotrite ovisne događaje. Potrebno je odrediti vjerojatnost da će druga kartica izvučena s palube biti tamburinski, ako je prvi ekstrahiran:

1. Bubnovy.
2. Drugo odijelo.

Očito je da je vjerojatnost drugog događaja ovisi o prvom A. Dakle, ako je prva opcija istinita da je paluba postala 1 kartica (35) i 1 tambrourin (8) manje, vjerojatnost događaja u:

P (b) \u003d 8/35 \u003d 0.23

Ako je druga opcija poštena, paluba je postala 35 karata, a ukupan broj tamburina (9) je još uvijek sačuvan, a zatim vjerojatnost sljedećeg događaja u:

P (b) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

Može se vidjeti da ako je događaj dogovoren u činjenici da je prva kartica tamburinska, onda vjerojatnost događaja u smanjenju, i obrnuto.

Umnožavanje ovisnih događaja

Vođeni prethodnim poglavljem, prihvaćamo prvi događaj (a) kao činjenicu, ali ako kažemo u biti, ima slučajni lik. Vjerojatnost ovog događaja, odnosno vađenje tamburine s palube kartica, jednaka je:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Budući da teorija ne postoji samo po sebi, ali je osmišljen tako da služi u praktične svrhe, pravo je napomenuti da je vjerojatnost da je proizvod ovisnih događaja najčešće potreban.

Prema teoremu na proizvodu vjerojatnosti ovisnih događaja, vjerojatnost pojave zajednički ovisnih događaja A i B jednaka je vjerojatnosti jednog događaja a, pomnoženog uvjetnom vjerojatnošću događaja u (ovisnoj a):

P (ab) \u003d p (a) * p a (b)

Zatim u primjeru s palubom, vjerojatnost ekstrakcije dviju karata s MAHI od tamburine je:

9/36 * 8/35 \u003d 0,0571 ili 5,7%

I vjerojatnost ekstrakcije nije prvo tamburinska, a zatim su tamburine jednaki:

27/36 * 9/35 \u003d 0,19, ili 19%

Može se vidjeti da je vjerojatnost pojave događaja u više, pod uvjetom da se prva ekstrakcijska kartica ekstrahira iz tamburine. Ovaj rezultat je prilično logičan i razumljiv.

Puna vjerojatnost događaja

Kada problem s uvjetnim vjerojatnosti postane multiceted, nemoguće je izračunati uobičajene metode. Kada su hipoteze više od dva, naime A1, A2, ... i n, .. Hlađenje cjelovitu skupinu događanja:

• P (a i)\u003e 0, i \u003d 1,2, ...
• A i j \u003d Ø, ja j.
• Σ k a k \u003d Ω.

Dakle, formula za punu vjerojatnost za događaj u potpunoj skupini slučajnih događanja A1, A2, ... i N je:

Pogled u budućnost

Vjerojatno je neophodna u mnogim područjima znanosti: ekonometrijska, statistika, fizika itd. Kako se neki procesi ne mogu odrediti, jer oni sami imaju vjerojatnost vjerojatnosti, potrebne su posebne metode rada. Teorija vjerojatnosti događaja može se koristiti u bilo kojoj tehnološkoj sferi kao način određivanja mogućnosti pogreške ili kvara.

Može se reći da, učenje vjerojatnosti, radimo teoretski korak u budućnost na neki način, gledajući ga kroz prizmu formule.

PoglavljeI., Slučajni događaji. VJEROJATNOST

1.1. Uzorak i slučajnost, slučajna varijabilnost u točnim znanostima, biologiji i medicini

Teorija vjerojatnosti je područje matematike koja proučava obrasce u slučajnim fenomenima. Slučajni fenomen je fenomen koji, s ponovljenom reprodukcijom istog eksperimenta, može teći svaki put donekle drugačije.

Očito, u prirodi u prirodi ne postoji niti jedan fenomen u prirodi, na jedan ili drugi način, ali u različitim situacijama uzimamo u obzir na različite načine. Dakle, u nizu praktičnih problema mogu se zanemariti i uzeti u obzir umjesto stvarnog fenomena svoje pojednostavljene sheme - "model", pretpostavljajući da u ovim uvjetima iskustva, fenomen se prilično na određeni način nastavlja. To naglašava najvažnije, odlučni čimbenici koji karakteriziraju fenomen. To je takva shema studiranja fenomena najčešće primjenjuje u fizici, tehničaru, mehanici; Tako je otkriven glavni uzorak. , Propur s ovim fenomenom i daje mogućnost predviđanja rezultata iskustva navedenih izvornih uvjeta. A učinak slučajnih, sekundarnih, čimbenika na rezultat iskustva uzima se u obzir slučajnim pogreškama mjerenja (mi ćemo razmotriti metodu izračunavanja dalje).

Međutim, opisana klasična shema takozvanih točnih znanosti slabo je prilagođena za rješavanje mnogih zadataka u kojima su brojni, blisko isprepleteni slučajni čimbenici igraju uočljivo (često određivanje) ulogu. Ovdje, slučajna priroda fenomena, koja više nije zanemarena. Ovaj fenomen se mora proučavati sa stajališta uzoraka svojstvenih slučajnih fenomena. U fizici, primjeri takvih fenomena su smeđe pokret, radioaktivni propadanje, brojni kvantno mehanička procesa, itd.

Predmet proučavanja biologa i liječnika - živi organizam, podrijetlo, razvoj i postojanje određuje se vrlo mnogo i raznovrsnim, često slučajnim vanjskim i unutarnjim čimbenicima. Zbog toga su fenomeni i događaji živog svijeta na mnogo načina i nasumice po prirodi.

Elementi nesigurnosti, složenosti, višestruki raspon svojstveni slučajnim fenomenima određuju potrebu za stvaranjem posebnih matematičkih metoda za proučavanje tih pojava. Razvoj takvih metoda, uspostava specifičnih obrazaca osebljiv slučajnim fenomenima, - izazovima teorije vjerojatnosti. Značajno je da se ti uzorci izvode samo s masom slučajnih pojava. Štoviše, pojedinačne značajke pojedinih slučajeva su međusobno otplaćeni, a prosječni rezultat za masu slučajnih fenomena više nije slučajna, ali prilično prirodna . U velikoj mjeri, ta je okolnost bila razlog za široko rasprostranjeno širenje probabilističkih metoda istraživanja u biologiji i medicini.

Razmotrite osnovne pojmove teorije vjerojatnosti.

1.2. Vjerojatnost slučajnog događaja

Svaka znanost u razvoju opće teorije bilo kojeg kruga fenomena temelji se na brojnim osnovnim konceptima. Na primjer, u geometriji - to su koncepti točke, ravne linije; U mehanici - koncepti sile, mase, brzine itd. Glavni koncepti postoje u teoriji vjerojatnosti, jedan od njih je slučajni događaj.

Slučajni događaj je bilo koji fenomen (činjenica), koji, kao rezultat iskustva (test), može doći ili se ne dogoditi.

Slučajni događaji označeni su slovima A, b, s ... itd. Dajmo nekoliko primjera slučajnih događaja:

ALI- orla (grb) prilikom bacanja standardnog kovanice;

U - rođenje djevojke u ovoj obitelji;

IZ - rođenje djeteta s unaprijed određenom tjelesnom težinom;

D. - pojavu epidemije bolesti u regiji u određenom vremenskom razdoblju itd.

Glavna kvantitativna karakteristika slučajnog događaja je njegova vjerojatnost. Neka biti ALI - neki slučajni događaj. Vjerojatnost slučajnog događaja A je matematička vrijednost koja određuje mogućnost njegovog izgleda.To je označeno R(ALI).

Razmotrite dvije osnovne metode za određivanje te vrijednosti.

Klasična definicija vjerojatnosti slučajnog događajaobično se temelji na rezultatima analize spekulativnih eksperimenata (testova), čiji je bit određen uvjetom zadatka. U ovom slučaju, vjerojatnost slučajnog događaja R (a)jednak:

gdje m. - broj slučajeva koji su pogodni događaji ALI; n. - ukupan broj slučajeva ravnoteže.

Primjer 1. Laboratorijski štakor se nalazi u labirint, u kojem samo jedan od četiri moguća putova dovodi do poticanja u obliku hrane. Odrediti vjerojatnost odabira takve staze.

Odluka: pod uvjetom problema s četiri ravnoteže slučajeva ( n.\u003d 4) događaj ALI(Štakor pronalazi hranu)
samo jedan favorizira, to jest, m. \u003d 1 R(ALI) = R (Štakor pronalazi hranu) \u003d \u003d 0,25 \u003d 25%.

Primjer 2. U URN od 20 crnih i 80 bijelih kuglica. Jedna lopta je uklonjena iz njega. Odredite vjerojatnost da će ova lopta biti crna.

Odluka: Broj svih kuglica u URN je ukupan broj ravnoteže slučajeva n., tj. n. = 20 + 80 = 100, od kojih je događaj ALI (Crna Ball Extrakcija) je moguća samo na 20, tj. m. \u003d 20. Zatim R(ALI) = R(h. sh.) \u003d \u003d 0,2 \u003d 20%.

Mi navodimo svojstva vjerojatnosti nakon njegove klasične definicije - formula (1):

1. Vjerojatnost slučajnog događaja je vrijednost bezdimenzionalnog.

2. Vjerojatnost slučajnog događaja je uvijek pozitivan i manji od jednog, tj. 0< P. (A.) < 1.

3. Vjerojatnost pouzdanog događaja, tj. Događaji koji će se nužno pojaviti kao rezultat iskustva ( m. = n.) jednaka je jednom.

4. Vjerojatnost nemogućeg događaja ( m. \u003d 0) jednaka nuli.

5. Vjerojatnost bilo kojeg događaja nije negativna i ne prelazi jednu:
0 £ P. (A.) 1 £ 1.

Statistička definicija vjerojatnosti slučajnog događajakoristi se kada je nemoguće useclasical Definicija (1). To se često odvija u biologiji i medicini. U ovom slučaju, vjerojatnost R(ALI) Odredite generiranje rezultata stvarno provedenih testnih serija (eksperimenti).

Uvodimo koncept relativne učestalosti pojave slučajnog događaja. Neka se niz sastoji N. eksperimenti (broj N. može se unaprijed odabrati); Događaj koji vas zanima ALI se dogodilo M. od njih ( M. < N.). Stav broja iskustava M.u kojem se taj događaj dogodio, na ukupan broj eksperimenata N. Nazovite relativnu učestalost slučajnog događaja ALI U ovom nizu eksperimenata - R* (ALI)

R *(ALI) = .

Eksperimentalno se utvrđuje da ako se niz testova (eksperimenti) provode u istim uvjetima iu svakom od njih broj N. dovoljno velik, a zatim relativna frekvencija otkriva svojstvo stabilnosti : Iz serije do serije malo se mijenja , Približavanje s povećanjem broja eksperimenata određenoj konstantnoj vrijednosti . Prihvaća se za statističku vjerojatnost slučajnog događaja. ALI:

R(ALI) \u003d Lim, kada N. , (2)

Dakle, statistička vjerojatnost R(ALI) Slučajni događaj ALI Oni nazivaju granicu na koju relativna učestalost izgleda ovog događaja traži neograničeno povećanje broja testova (kada N. → ∞).

Približno statistička vjerojatnost slučajnog događaja jednaka je relativnoj učestalosti pojave ovog događaja s velikim brojem testova:

R(ALI) ≈ p *(ALI) \u003d (u cjelini N.) (3)

Na primjer, u eksperimentima na kovanicama, relativna učestalost grba grba u 12.000 puta bila je jednaka 0,5016, a na 24.000 bacanja - 0,5005. U skladu s formulom (1):

P.(grb) \u003d \u003d 0,5 \u003d 50%

Primjer . U liječničkom pregledu, 500 ljudi ima 5 osoba otkrilo je tumor u plućima (o l.). Odrediti relativnu frekvenciju i vjerojatnost ove bolesti.

Odluka: pod uvjetom zadatka M. = 5, N. \u003d 500, relativna frekvencija R* (o. l.) \u003d M./N. \u003d 5/500 \u003d 0,01; Ukoliko N. To je dovoljno velik, moguće je vjerovati s dobrom točnosti da je vjerojatnost prisutnosti tumora u plućima jednaka relativnoj učestalosti ovog događaja:

R(o l.) \u003d R* (o. l.) \u003d 0.01 \u003d 1%.

Prethodno navedena svojstva vjerojatnosti slučajnog događaja sačuvana je s statističkom određivanju te vrijednosti.

1.3. Vrste slučajnih događaja. Glavni teoremi teorije vjerojatnosti

Svi slučajni događaji mogu se podijeliti na:

¾ nepotpune;

¾ neovisno;

¾ ovisno.

Za svaku vrstu događaja, njihove karakteristike i teoremi teorije vjerojatnosti su karakteristične.

1.3.1. Nepotpuni slučajni događaji. Teorem o dodavanju vjerojatnosti

Slučajni događaji (a, b, c,D. ...) se nazivaju nepotpunim , ako izgled jednog od njih eliminira pojavu drugih događaja u istom testu.

PRIMJER1 . Dodan je novčić. Svojim jelom, pojavljivanje "grba" isključuje pojavu "jela" (natpisi koji određuju cijenu kovanice). Događaji "ispali su grb" i "ispustio žurbu" nepotpun.

Primjer 2. . Dobivanje studenta na jednom evaluacijskom ispitu "2", ili "3" ili "4" ili "5" - događaji nedosljednosti, budući da jedna od ovih procjena isključuje drugu na istom ispitu.

Za nepotpune slučajne događaje se izvode vjerojatno dodavanje teorem: vjerojatnost izgleda jedan, ali ipak, od nekoliko nepotpunih događaja A1, A2, A3 ... Ak. jednaka zbroju njihove vjerojatnosti:

P (a1i a2 ... ili ak.) \u003d P (A1) + p (A2) + ... + P (ak.). (4)

Primjer 3. U URN-u ima 50 kuglica: 20 bijela, 20 crna i 10 crvena. Pronađite vjerojatnost bijelog (događaj ALI) ili crvena kugla (događaj U) Kada zdjela nasumce izlazi iz URN-a.

Rješenje: R.(A ili B.) \u003d R.(ALI) + R.(U);

R(ALI) = 20/50 = 0,4;

R(U) = 10/50 = 0,2;

R(ALI ili U) \u003d R.(b. Sh. ili. Sh.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Primjer 4. . U razredu 40 djece. Od njih u dobi od 7 do 7,5 godina, 8 dječaka ( ALI) i 10 djevojčica ( U). Pronađite vjerojatnost prisutnosti u klasi ove dobi.

Rješenje: R.(ALI) \u003d 8/40 \u003d 0,2; R(U) = 10/40 = 0,25.

P (a ili c) \u003d 0,2 + 0,25 \u003d 0,45 \u003d 45%

Sljedeći važan koncept - full Event Group: Nekoliko nedosljedni događaji čine potpunu skupinu događaja, ako se samo jedan od događaja ove skupine može pojaviti kao rezultat svakog testa i ni jedan drugi.

Primjer 5. . Strelice su napravile metu. Jedan od sljedećih događanja održat će se: ulazak u "Deset", u "devet", u "osam", .., u "jedinici" ili promašajima. Ovih 11 nepotpunih događaja čine potpunu skupinu.

Primjer 6. . Na ispitu na sveučilištu, student može dobiti jednu od sljedećih četiriju procjena: 2, 3, 4 ili 5. Ova četiri slučaja bez presude također čine cjelovitu skupinu.

Ako su nepotpuni događaji A1, A2 ... ak. Oblikuju cjelovitu skupinu, a zatim je zbroj vjerojatnosti ovih događaja uvijek jednaka jednom:

R(A1.) + R.(A2.)+ ... R.(ALIk.) = 1, (5)

Ova se izjava često koristi u rješavanju mnogih primijenjenih zadataka.

Ako su dva događaja pojedinačna i nedosljedna, oni se nazivaju suprotno i označavaju ALI i . Takvi događaji čine cjelovitu skupinu, tako da je zbroj njihovih vjerojatnosti uvijek jednak jednom:

R(ALI) + R.() = 1. (6)

Primjer 7. Pustiti R(ALI) - vjerojatnost smrti s nekom bolešću; Poznat je i jednak je 2%. Tada je vjerojatnost prosperitetnog ishoda u ovoj bolesti je 98% ( R() = 1 – R(ALI) \u003d 0,98), jer R(ALI) + R() = 1.

1.3.2. Neovisni slučajni događaji. Vjerojatnost množenja teorem

Slučajni događaji nazivaju se neovisnim ako izgled jednog od njih ne utječe na vjerojatnost drugih događaja.

Primjer 1. . Ako postoje dva ili više urba s obojenim kuglicama, ekstrakcija bilo koje lopte iz jedne grane neće utjecati na vjerojatnost vađenja drugih kuglica iz preostalih urn.

Za neovisne događaje vrijedi Vjerojatnost množenja teorema: vjerojatnost spoja(istodobna) Izgled nekoliko neovisnih slučajnih događaja jednak je proizvodu njihove vjerojatnosti:

P (a1i A2 i A3 ... i ak.) \u003d P (A1) ∙ p (A2) ∙ ... ∙ P (ak.). (7)

Zglob (simultano) izgled događaja znači da se događaji događaju i A1, i A2,i A3.... I. ALIk. .

Primjer 2. . Postoje dva urna. Jedna je 2 crna i 8 bijela kuglica, u drugoj - 6 crna i 4 bijela. Neka događaj ALI - šef bijele zdjele prvog urna, U - od drugog. Što je vjerojatnost odabira u isto vrijeme s ovih urn na bijeloj kugli, tj. Što je jednako R (ALI i U)?

Odluka: Vjerojatnost da dobijete bijelu kuglu iz prvog urne
R(ALI) \u003d \u003d 0,8 od drugog - R(U) \u003d \u003d 0,4. Vjerojatnost istodobno prebacuje bijelu kuglu iz oba ulja -
R(ALI i U) = R(ALI)· R(U) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Primjer 3. Dijeta s smanjenim sadržajem joda uzrokuje povećanje štitne žlijezde u 60% životinja velike populacije. Za eksperiment su potrebne 4 povećane žlijezde. Pronađite vjerojatnost da će 4 slučajno odabrane životinje povećati štitnu žlijezdu.

Odluka: Slučajni događaj ALI - Odabir životinjske sirove s povećanom žlijezdom štitnjače. Uvjetom zadatka, vjerojatnost ovog događaja R(ALI) \u003d 0,6 \u003d 60%. Tada je vjerojatnost zajedničkog izgleda četiri neovisna događaja izbor na slučajnim 4 životinje s povećanom žlijezdom štitnjače - bit će jednaka:

R(ALI1 I. ALI2 I. ALI3 I. ALI4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. Ovisni događaji. Vjerojatnost množenja teorema za ovisne događaje

Slučajni događaji A i B nazivaju se ovisni, ako je izgled jednog od njih, na primjer, i mijenja vjerojatnost pojave drugog događaja - V.Stoga se dvije vjerojatnosti koriste za ovisne događaje: bezuvjetna i uvjetna vjerojatnost .

Ako a ALI i U ovisni događaji, onda vjerojatnost događaja U Prvo (tj. Prije događaja ALI) Nazvan bezuvjetan vjerojatnost Ovaj događaj je naznačen R(U). Vjerojatnost događaja U pod uvjetom da je događaj ALI već se dogodilo, nazvan uvjetna vjerojatnost događaji U I označava R(U/ALI) ili R.(U).

Isto značenje ima bezuvjetno - R(ALI) i uvjetno - R(A / B.) Vjerojatnost za događaj ALI.

Vjerojatnost množenja Teorem za dva ovisna događanja: Vjerojatnost istovremene pojave dva ovisna događanja A i B jednaka je nesporne vjerojatnosti prvog događaja na uvjetnoj vjerojatnosti drugog:

R(A i B.) \u003d R.(ALI) ∙ R.(V / a.) , (8)

ALI, ili

R(A i B.) \u003d R.(U) ∙ R.(A / c), (9)

ako dođe prvi događaj U.

Primjer 1. U URN od 3 crne kuglice i 7 bijela. Pronađite vjerojatnost da iz ovog URN-a jedan po jedan (i prva lopta se ne vraća u URN) 2 Bijele kuglice će biti izvađene.

Odluka: Vjerojatnost da dobijete prvu bijelu kuglu (događaj ALI) Jednak 7/10. Nakon što se ukloni, u URN ostaje 9 lopti, od kojih je 6 bijela. Tada je vjerojatnost izglede druge bijele kugle (događaj U) Jednak R(U/ALI) \u003d 6/9, i vjerojatnost uzimanja u nizu dvije bijele kugle jednake

R(ALI i U) = R(ALI)∙R(U/ALI) = = 0,47 = 47%.

Dana vjerojatnost množenja teorema za ovisne događaje omogućuje generalizaciju na bilo koji broj događaja. Posebno, za tri događaja međusobno povezane:

R(ALIi Ui IZ) \u003d R.(ALI) ∙ R.(V / a.) ∙ R.(C / ab). (10)

Primjer 2. U dva vrtića, od kojih svaki posjećuje 100 djece, izbijanja zarazne bolesti. Frakcije bolesti su odnosno 1/5 i 1/4, au prvoj instituciji 70%, au drugom - 60% bolesne djece mlađe od 3 godine. Rijetko birati jedno dijete. Odrediti vjerojatnost da:

1) Odabrano dijete se odnosi na prvi vrtić (događaj ALI) i bolesni (događaj U).

2) Dijete bira između drugog vrtića (događaj IZ), bolesni (događaj D.) i stariji od 3 godine (događaj E.).

Odluka. 1) Željena vjerojatnost -

R(ALI i U) = R(ALI) ∙ R(U/ALI) = = 0,1 = 10%.

2) željenu vjerojatnost:

R(IZ i D. i E.) = R(IZ) ∙ R(D./C.) ∙ R(E./CD) = = 5%.

1.4. Lagane formule.

Ako je vjerojatnost zajedničkog izgleda ovisnih događaja ALI i U ne ovisi o tome što se događaju tada R(ALIi U) \u003d R.(ALI) ∙ R.(V / a.) \u003d R.(U) × R(A / B.). U tom slučaju, uvjetna vjerojatnost jednog od događaja može se naći, znajući vjerojatnosti oba događaja i uvjetnu vjerojatnost drugog:

R(V / a.) = (11)

Generalizacija ove formule u slučaju mnogih događaja je Bayes formula.

Neka biti " n.»Nevažeći slučajni događaji H1, H2, ..., nn.Oblikuju potpunu skupinu događaja. Vjerojatnost ovih događaja - R(H1), R(H2.), ..., r(N.n.) su poznati i budući da oni tvore potpunu skupinu, onda \u003d 1.

Neki slučajni događaj ALI povezane s događajima H1, H2, ..., nn., a uvjetne vjerojatnosti događaja su poznate. ALI sa svakim događajima N.i. , tj. su poznati R(A / n1), R(A / H2.), ..., r(A / N.n.). U ovom slučaju, zbroj uvjetnih vjerojatnosti R(A / N.i.) Ne može biti jednak jedinici koja je. ≠ 1.

Zatim uvjetnu vjerojatnost događaja N.i. Prilikom provedbe događaja ALI (tj. Pod uvjetom da je događaj ALI se dogodilo) određuje ga Bayes formula :

I za ove uvjetne vjerojatnosti .

Bayes formula je široko korištena ne samo u matematici, već iu medicini. Na primjer, koristi se za izračunavanje vjerojatnosti određenih bolesti. Dakle, ako N.1,…, N.n. - navodne dijagnoze za određeni pacijent, ALI - Neke značajke povezane s njima (simptom, određeni pokazatelj analize krvi, urin, dentnografski dio, itd.) I uvjetna vjerojatnost R(A / N.i.) Manifestacije ove značajke sa svakom dijagnozom N.i. (i. = 1,2,3,…n.) su unaprijed poznati, Bayes formula (12) omogućuje nam izračunavanje uvjetnih vjerojatnosti bolesti (dijagnoza) R(N.i./ALI) Nakon što se utvrdi da je karakteristična značajka ALI Prisutni u pacijentu.

PRIMJER1. Uz primarno ispitivanje pacijenta pretpostavlja se 3 dijagnoze N.1, N.2, N.3. Njihove vjerojatnosti, prema liječniku, distribuiraju se ovako: R(N.1) = 0,5; R(N.2) = 0,17; R(N.3) \u003d 0,33. Prema tome, prvi je najvjerojatnije prva dijagnoza. Da ga razjasni, dodijeljena je, na primjer, krvni test u kojem povećanje ESP-a (događaj ALI). Poznato je unaprijed (na temelju rezultata istraživanja) da su vjerojatnosti povećanja ESR-a sa sumnjivim bolestima jednake:

R(ALI/N.1) = 0,1; R(ALI/N.2) = 0,2; R(ALI/N.3) = 0,9.

U rezultirajućoj analizi zabilježila je povećanje ESP-a (događaj ALI došlo). Tada izračun prema laganoj formuli (12) daje vrijednosti vjerojatnosti navodnih bolesti s povećanom vrijednošću ESP-a: R(N.1/ALI) = 0,13; R(N.2/ALI) = 0,09;
R(N.3/ALI) \u003d 0,78. Ove brojke pokazuju da, uzimajući u obzir laboratorijske podatke, najrealniji nije prvi, a treća dijagnoza, čija je vjerojatnost sada prilično velika.

Gore navedeni primjer je najjednostavnija ilustracija o tome kako korištenje Bayes formule možete formalizirati logiku liječnika prilikom dijagnosticiranja i, zahvaljujući tome, stvoriti dijagnostičke metode računala.

Primjer 2. Odredite vjerojatnost procjenu rizika od perinatalne * smrtnosti djeteta kod žena s anatomski uskim zdjelici.

Odluka: Neka događaj N.1 - prosperitetna porođaja. Prema kliničkim izvješćima, R(N.1) \u003d 0.975 \u003d 97,5%, a ako H2. - činjenicu perinatalne smrtnosti, a zatim R(N.2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Označiti ALI - činjenicu prisutnosti uskog zdjelice u ženi u radu. Iz provedenih studija su poznati: a) R(ALI/N.1) - Vjerojatnost uskog zdjelice s povoljnim porođajem, R(ALI/N.1) \u003d 0,029, b) R(ALI/N.2) - vjerojatnost uskog zdjelice s perinatalnom smrtnošću,
R(ALI/N.2) \u003d 0,051. Tada se željena vjerojatnost perinatalne smrtnosti u uskoj tazi u ženskoj u radnoj labir izračunava Formula (12) i jednaka je:

Prema tome, rizik od perinatalne smrtnosti s anatomski uskom zdjelicu je znatno veći (gotovo dva puta) srednjeg rizika (4,4% u odnosu na 2,5%).

Takvi izračuni, obično se izvode pomoću računala, podupiru metode formiranja skupina visokorizičnih skupina bolesnika povezanih s prisutnošću određenog agresivnog faktora.

Bayes formula je vrlo korisna za procjenu mnogih drugih medicinskih i bioloških situacija, što će postati očito pri rješavanju zadataka danih u priručniku.

1.5. O slučajnim događajima s vjerojatnostima blizu 0 ili 1

Prilikom izrade mnogih praktičnih zadataka potrebno je nositi se s događajima čija je vjerojatnost vrlo mala, tj. Je blizu nule. Na temelju iskustva u odnosu na takve događaje, usvojen je sljedeći princip. Ako slučajni događaj ima vrlo nisku vjerojatnost, može se praktično smatrati da u jednom testu neće doći, drugim riječima, mogućnost njegovog izgleda može zanemariti. Odgovor na pitanje o tome kako mala vjerojatnost treba odrediti bićem riješenih zadataka, koliko je važno rezultat predviđanja. Na primjer, ako je vjerojatnost da padobran kada se skok neće otvoriti jednak 0,01, onda je korištenje takvih padobrana neprihvatljiva. Međutim, jednak istom 0.01 je vjerojatnost da će vlak udaljenosti doći kasno, čini nas gotovo sigurni da će stići na vrijeme.

Dovoljno je mala vjerojatnost na kojoj se (u ovom zadatku) događaj može smatrati gotovo nemogućim, nazvan razina važnosti. U praksi se razina značaja obično uzima jednak 0,01 (jedinstvena razina značajnosti) ili 0,05 (pet posto razine značajnosti), a još manje često je potrebno jednak 0,001.

Uvođenje razine značajnosti omogućuje vam da potvrdite da ako neki događaj ALI gotovo nemoguće, a zatim suprotan događaj - gotovo pouzdano, tj. Za njega R() » 1.

PoglavljeIi., Slučajne varijable

2.1. Slučajne varijable

U matematici, vrijednost je ukupno ime raznih kvantitativnih karakteristika predmeta i fenomena. Duljina, površina, temperatura, tlak itd. - Primjeri različitih količina.

Vrijednost koja uzima razne numeričke vrijednosti pod utjecajem slučajnih okolnosti nazivaju se slučajna varijabla., Primjeri slučajnih varijabli: broj bolesnika na recepciji liječnika; Točne dimenzije unutarnjih organa ljudi, itd.

Razlikovati diskretne i kontinuirane slučajne varijable .

Slučajna vrijednost naziva se diskretna, ako je potrebno samo određene odvojene vrijednosti, što se može instalirati i navesti.

Primjeri diskretne slučajne varijance su:

- broj studenata u publici - može biti samo cijeli pozitivan broj: 0,1,2,3,4 ... .. 20 ... ..;

- brojka koja se pojavljuje na gornjoj lici prilikom bacanja kostiju - može uzeti samo cijele vrijednosti od 1 do 6;

- relativna učestalost uzimanja u cilj na 10 snimaka - njegova značenja: 0; 0,1; 0,2; 0,3 ... 1.

- Broj događaja koji se pojavljuju u istom vremenskom intervalima: frekvencija impulsa, broj hitne pomoći po satu, broj operacija mjesečno s fatalnim ishodom, itd.

Slučajna vrijednost se naziva kontinuirana, ako može poduzeti bilo kakve vrijednosti u određenom intervalu, koje ponekad ima oštro izražene granice, a ponekad - ne*. Kontinuirane slučajne vrijednosti uključuju, na primjer, tjelesnu težinu i rast odraslih, tjelesne težine i volumena mozga, kvantitativni sadržaj enzima kod zdravih ljudi, veličine krvnih krvnih elemenata, rH Krv, itd

Koncept slučajne varijable igra odlučujuću ulogu u trenutnoj teoriji vjerojatnosti, koji je razvio posebne tehnike za prijelaz iz slučajnih događaja do slučajnih vrijednosti.

Ako slučajna vrijednost ovisi o vremenu, onda možemo govoriti o slučajnom procesu.

2.2. Diskretna slučajna varijabla

Da biste dobili potpunu karakteristiku diskretne slučajne varijable, morate odrediti sve moguće vrijednosti i njihove vjerojatnosti.

Korespondencija između mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable i njihove vjerojatnosti naziva se zakon distribucije te vrijednosti.

Označite moguće vrijednosti slučajne varijable H. kroz h.i.i odgovarajuću vjerojatnost - kroz ri. *. Tada se tranzit diskretne slučajne varijable može postaviti na tri načina: u obliku tablice, grafike ili formule.

U tablici, koji se naziva niz distribucije, Sve moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable navedene su. H. i odgovara ovim vrijednostima vjerojatnosti R(H.):

H.

…..

…..

P.(X.)

…..

…..

U ovom slučaju, zbroj svih vjerojatnosti ri. Mora biti jednak jednom (normalizaciji):

ri. = p.1 + p.2 + ... + pn. = 1. (13)

Grafički Zakon je zastupljen slomljenom linijom, koja je uobičajena za pozivanje poligona distribucije (sl. 1). Ovdje se na horizontalnoj os, sve moguće vrijednosti slučajne varijance su odgođene. h.i., , i na okomitoj osi - vjerojatnost koja im odgovara ri.

Analitički Zakon je izražen formulom. Na primjer, ako je vjerojatnost ulaska u gol u jednom snimku jednaka r, tada je vjerojatnost ciljanja ciljanja 1 puta n. Snimci su dani formulu R(n.) = n. qn.-1 × p.gdje p: \u003d 1 - p- Vjerojatnost propuštenog na jednom.

2.3. Zakon distribucije kontinuirane slučajne varijable. Distribucija vjerojatnosti

Za kontinuirane slučajne varijable nemoguće je primijeniti zakon o distribuciji u gore navedenim oblicima, budući da ova vrijednost ima bezbroj ("nebrojeno") mnoge moguće vrijednosti, potpuno popunjavajući neki interval. Stoga, napraviti tablicu u kojoj bi se popisale sve njegove moguće vrijednosti, ili za izgradnju raspodjele poligona ne može se graditi. Osim toga, vjerojatnost bilo koje pojedine vrijednosti je vrlo mala (blizu 0) *. U isto vrijeme, različita područja (intervala) mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable nisu jednako jednake. Dakle, u ovom slučaju postoji određeni zakon distribucije, iako ne u bivšem smislu.

Razmotrite kontinuirani slučajni iznos H.čije su moguće vrijednosti potpuno popunite određeni interval (ali, b.)**. Zakon distribucije vjerojatnosti takve veličine trebalo bi omogućiti pronalaženje vjerojatnosti njegovih vrijednosti u bilo kojem intervalu ( x1, X2) leži unutra ( ali,b.), Sl.2.

Ova vjerojatnost je označena R(x1< Х < х2 ), ili
R(x1£ H.£ x2).

Razmotrite prvi vrlo mali interval vrijednosti H. - OT h. prije ( x +.D.h.); Vidi sliku.2. Mala vjerojatnost d.R to slučajno H. će uzeti neku vrijednost iz intervala ( x, x +D.h.) bit će proporcionalna veličini ovog intervala D.x:d.R~ D.h.ili uvođenjem koeficijenta proporcionalnosti f.koji mogu ovisiti o tome h.Dobit ćemo:

d.P \u003d.f.(h.) × D. x \u003df.(x.) × dx (14)

Funkcija je uvedena ovdje f.(h.) Nazvan gustoća distribucije vjerojatnosti Nasumična varijabla X, ili, ukratko, gustoća vjerojatnosti, gustoća distribucije, Jednadžba (13) je diferencijalna jednadžba, čija otopina daje vjerojatnost H. u intervalu ( x1, x2):

R(x1< H.< x2) = f.(h.) d.x. (15)

Grafički vjerojatnost R(x1< H.< x2) jednaka području curvilinear trapeza, ograničene osi apscisa, krivulje f.(h.) I ravno X \u003d x1 i x \u003d x2(Sl.3). To proizlazi iz geometrijskog značenja određene cjelovite (15) krivulje f.(h.) Naziva se krivulja raspodjele.

Iz (15) slijedi da ako je funkcija poznata f.(h.), Da, mijenjaju granice integracije, možete pronaći vjerojatnost za bilo koji interval koji nas zanimaju. Stoga je to zadatak f.(h.) Potpuno određuje zakon o distribuciji za kontinuirane slučajne varijable.

Za gustoću vjerojatnosti f.(h.) Uvjet normalizacije treba izvršiti:

f.(h.) d.x \u003d 1, (16)

ako je poznato da sve vrijednosti H.leži u intervalu ( ali,b.) ili u obliku:

f.(h.) d.x \u003d 1., (17)

ako granice intervala za vrijednosti H. točno neizvjestan. Uvjeti za normalizaciju gustoće vjerojatnosti (16) ili (17) su posljedica vrijednosti slučajne varijable H.pouzdano leže u ( ali,b.) ili (- ¥, + ¥). Iz (16) i (17) slijedi da je područje slike, ograničena krivulja raspodjele i Assissa os, uvijek jednaka 1 .

2.4. Glavne numeričke karakteristike slučajnih varijabli

Rezultati navedeni u stavcima 2.2 i 2.3. Pokazuju da se mogu dobiti potpuna karakteristika diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, znajući zakone njihove distribucije. Međutim, u mnogim praktično značajnim situacijama koristi se tzv numeričke karakteristike slučajnih varijabli, glavna svrha tih karakteristika je izraziti najvažnije značajke raspodjele slučajnih varijabli u komprimiranom obliku. Važno je da su ovi parametri specifične (konstantne) vrijednosti koje se mogu procijeniti pomoću podataka dobivenih u eksperimentima. Ove procjene su uključene u "deskriptivnu statistiku".

U teoriji vjerojatnosti i matematičke statistike, postoji dosta različitih karakteristika, ali mi ćemo razmotriti samo najviše konzumirane. I samo za dio njih dajemo formule za koje se izračunavaju njihove vrijednosti, u drugim slučajevima, izračuni će napustiti računalo.

Smatrati Značajke pozicije - Matematičko očekivanje, moda, medijan.

Oni karakteriziraju položaj slučajne varijable na numeričkoj osi , tj. Navedite neke približne vrijednosti, u blizini koje su sve moguće vrijednosti slučajne varijance grupirane. Među njima, matematičko očekivanje igra ključnu ulogu. M.(H.).