Nakon pripreme preliminarne umjetnosti, primjeri će biti manje strašni, s 3-4-5 privitaka funkcija. Možda će se sljedeća dva primjera činiti neki komplicirani, ali ako ih razumiju (netko i peels), onda gotovo sve ostalo u diferencijalnom računalu izgledat će kao šala za djecu.

Primjer 2.

Pronađite derivatnu funkciju

Kao što je navedeno, kada pronađete derivativnu funkciju, prije svega, potrebno je pravoRazumjeti ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam korisnog prijema: uzimamo eksperimentalno značenje "X", na primjer, i pokušati (mentalno ili na nacrtu) za zamjenu ove vrijednosti u "strašnom izrazu".

1) Prvo, moramo izračunati izraz, to znači da je iznos najdublje ulaganje.

2) Tada je potrebno izračunati logaritam:

4) Tada se kosine ugraditi u kocku:

5) U petom koraku, razlika:

6) i konačno, većina vanjsku funkciju je kvadratni korijen:

Funkcija kompleksa formule diferencijacije Primijenit će se obrnutim redoslijedom, od same vanjske funkcije, do najdublje. Mi odlučujemo:

Čini se bez pogrešaka:

1) Uzmite derivat kvadratnog korijena.

2) Uzmite derivat razlike pomoću pravila

3) Trojka derivat je nula. U drugom roku uzimamo derivat na stupnju (Kuba).

4) Uzimamo derivat kosine.

6) i konačno poduzmite derivat najdublja ulaganja.

Može se činiti previše tvrdim, ali to nije najbrza primjer. Uzmi, na primjer, Kuznetsov zbirka i cijenit ćeš ljepotu i jednostavnost rastavljenog derivata. Primijetio sam da volim dati sličnu stvar da se na ispitu provjeriti, razumije studenta kako pronaći derivat složene funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer je za neovisno rješenje.

Primjer 3.

Pronađite derivatnu funkciju

Savjet: Prvo nanesite pravila linearnosti i izvedba rada

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da se pomaknete na nešto kompaktnije i lijepo.
Situacija nije rijetka kada se primjer daje proizvod ne dva, već tri funkcije. Kako pronaći derivat iz posla od tri multiplikatora?

Primjer 4.

Pronađite derivatnu funkciju

Prvo, pogledajte, i da li je nemoguće pretvoriti rad triju funkcija u rad od dvije funkcije? Na primjer, ako smo imali dva polinoma u radu, bilo bi moguće otkriti zagrade. No, u ovom primjeru, sve funkcije su različite: stupanj, izlagač i logaritam.

U takvim slučajevima potrebno je slijedprimijenite proizvodnju diferencijacije pravila dvaput

Fokus je da za "y" označavamo proizvod od dvije funkcije: i za "ve" - \u200b\u200blogaritam :. Zašto to može biti učinjeno? A ne - Ovo nije rad dvaju multiplikatora i pravilo ne radi?! Ne postoji ništa komplicirano:

Sada ostaje drugi put da primijeni pravilo Do nosača:

Još uvijek možete igrati i uzeti nešto iza zagrada, ali u ovom slučaju odgovor je bolji napustiti u ovom obliku - bit će lakše provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno jednaka.

Primjer 5.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovo je primjer za neovisno rješenje, u uzorku se rješava na prvi način.

Razmotrite slične primjere s frakcijama.

Primjer 6.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovdje možete ići nekoliko načina:

Ili tako:

Ali rješenje će biti napisano sve kompaktnije ako najprije koristi pravilo privatne diferencijacije , Prihvaćanje cijelog brojčanika:

U načelu, primjer je riješen, a ako ga ostavite u ovom obliku, to neće biti pogreška. Ali u nazočnosti vremena uvijek je poželjno provjeriti na nacrtu, i je li moguće pojednostaviti odgovor?

Predstavljamo izraz brojača generalnom denominatoru i dobili osloboditi od tri priča:

Minus dodatnih pojednostavljenja je da postoji rizik da ne dopusti pogrešku više kada je derivat već otegnuta, ali kada banalne škole transformacije. S druge strane, nastavnici se često sjećaju zadatka i zatražiti "donijeti na pamet" derivat.

Jednostavniji primjer za samo rješenja:

Primjer 7.

Pronađite derivatnu funkciju

Nastavljamo učiti domjenke derivata, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se predlaže "zastrašujući" logaritam za diferencijaciju

Složeni derivati. Logaritamski derivat.
Derivat postupne indikativne funkcije

Nastavljamo povećavati tehniku \u200b\u200bdiferencijacije. U ovoj lekciji konsolidirat ćemo popunjeni materijal, razmotriti složenije derivate, a također se upoznate s novim tehnikama i trikovima pronalaženja derivata, posebno, s logaritamskim derivatom.

Koji čitatelji, koji imaju nisku razinu pripreme, trebaju kontaktirati članak Kako pronaći derivat? Primjeri otopinakoji će podići vaše vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo naučiti stranicu Derivativna složena funkcija, razumjeti i razbiti sve Primjeri koji mi daju. Ova lekcija logično treći u nizu, a nakon razvoja ćete pouzdano razlikovati prilično složene funkcije. Potrebno je pridržavati se položaja "Gdje drugdje? Da, i tako dovoljno! ", Budući da se svi primjeri i prihvaćanja odluke uzimaju iz stvarnih kontrolnih radova i često se nalaze u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. U lekciji Derivativna složena funkcijapregledali smo nekoliko primjera s detaljnim komentarima. Tijekom proučavanja diferencijalnog računa i drugih dijelova matematičke analize potrebno je vrlo često razlikovati, a to nije uvijek prikladno (i to nije uvijek potrebno) za bojenje primjera u vrlo detaljnim. Stoga prakticiramo u usmenom temeljima derivata. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati \u200b\u200bnajjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složene funkcije :

Prilikom studiranja drugih tema Matana u budućnosti, kao detaljan ulazak najčešće nije potrebno, pretpostavlja se da učenik može pronaći slične derivate na autopilot stroju. Zamislite da je u 3 sata noć bio telefonski poziv, a lijep glas je pitao: "Što je tangentni derivat od dva X?". Treba slijediti gotovo trenutni i pristojan odgovor. .

Prvi primjer će biti odmah namijenjen neovisnom rješenju.

Primjer 1.

Pronađite sljedeće derivate usmeno, u jednoj akciji, na primjer:. Za obavljanje zadatka koji trebate koristiti samo tablica derivata osnovnih funkcija (Ako se još nije sjećala). Ako je teško, preporučujem da ponovno pročitajte lekciju Derivativna složena funkcija.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Nakon pripreme preliminarne umjetnosti, primjeri će biti manje strašni, s 3-4-5 privitaka funkcija. Možda će se sljedeća dva primjera činiti neki komplicirani, ali ako ih razumiju (netko i peels), onda gotovo sve ostalo u diferencijalnom računalu izgledat će kao šala za djecu.

Primjer 2.

Pronađite derivatnu funkciju

Kao što je navedeno, kada pronađete derivativnu funkciju, prije svega, potrebno je pravoRazumjeti ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam korisnog prijema: uzimamo eksperimentalno značenje "X", na primjer, i pokušati (mentalno ili na nacrtu) za zamjenu ove vrijednosti u "strašnom izrazu".

1) Prvo, moramo izračunati izraz, to znači da je iznos najdublje ulaganje.

2) Tada je potrebno izračunati logaritam:

4) Tada se kosine ugraditi u kocku:

5) U petom koraku, razlika:

6) i konačno, većina vanjsku funkciju je kvadratni korijen:

Funkcija kompleksa formule diferencijacije Primijenit će se obrnutim redoslijedom, od same vanjske funkcije, do najdublje. Mi odlučujemo:

Čini se da nema pogrešaka ....

(1) Uzmite derivat iz kvadratnog korijena.

(2) Uzmite derivat razlike pomoću pravila

(3) Trojka derivat je nula. U drugom roku uzimamo derivat na stupnju (Kuba).

(4) Uzmite derivat kosine.

(5) Uzmite derivat logaritam.

(6) I konačno, uzimamo derivat najdublja ulaganja.

Može se činiti previše tvrdim, ali to nije najbrza primjer. Uzmi, na primjer, Kuznetsov zbirka i cijenit ćeš ljepotu i jednostavnost rastavljenog derivata. Primijetio sam da volim dati sličnu stvar da se na ispitu provjeriti, razumije studenta kako pronaći derivat složene funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer je za neovisno rješenje.

Primjer 3.

Pronađite derivatnu funkciju

Savjet: Prvo nanesite pravila linearnosti i izvedba rada

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da se pomaknete na nešto kompaktnije i lijepo.
Situacija nije rijetka kada se primjer daje proizvod ne dva, već tri funkcije. Kako pronaći derivat iz posla od tri multiplikatora?

Primjer 4.

Pronađite derivatnu funkciju

Prvo, pogledajte, i da li je nemoguće pretvoriti rad triju funkcija u rad od dvije funkcije? Na primjer, ako smo imali dva polinoma u radu, bilo bi moguće otkriti zagrade. No, u ovom primjeru, sve funkcije su različite: stupanj, izlagač i logaritam.

U takvim slučajevima potrebno je slijedprimijenite proizvodnju diferencijacije pravila dvaput

Fokus je da za "y" označavamo proizvod od dvije funkcije: i za "ve" - \u200b\u200blogaritam :. Zašto to može biti učinjeno? A ne - Ovo nije rad dvaju multiplikatora i pravilo ne radi?! Ne postoji ništa komplicirano:

Sada ostaje drugi put da primijeni pravilo Do nosača:

Još uvijek možete igrati i uzeti nešto iza zagrada, ali u ovom slučaju odgovor je bolji napustiti u ovom obliku - bit će lakše provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno jednaka.

Primjer 5.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovo je primjer za neovisno rješenje, u uzorku se rješava na prvi način.

Razmotrite slične primjere s frakcijama.

Primjer 6.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovdje možete ići nekoliko načina:

Ili tako:

Ali rješenje će biti napisano sve kompaktnije ako najprije koristi pravilo privatne diferencijacije , Prihvaćanje cijelog brojčanika:

U načelu, primjer je riješen, a ako ga ostavite u ovom obliku, to neće biti pogreška. Ali u nazočnosti vremena uvijek je poželjno provjeriti na nacrtu, i je li moguće pojednostaviti odgovor? Dajemo izraz brojača općeg imena i riješite se trokatni frakcija:

Minus dodatnih pojednostavljenja je da postoji rizik da ne dopusti pogrešku više kada je derivat već otegnuta, ali kada banalne škole transformacije. S druge strane, nastavnici se često sjećaju zadatka i zatražiti "donijeti na pamet" derivat.

Jednostavniji primjer za samo rješenja:

Primjer 7.

Pronađite derivatnu funkciju

Nastavljamo učiti domjenke derivata, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se predlaže "zastrašujući" logaritam za diferencijaciju

Primjer 8.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovdje možete dugo ići pomoću pravila diferencijacije složene funkcije:

Ali prvi korak odmah se pretvara u potištenost - da se neugodan derivat djelovanja, a zatim i iz frakcije.

stoga prije Kako uzeti derivat iz "lukav" logaritam, preliminarno je pojednostavljen pomoću poznatih školskih svojstava:

! Ako vaša ruka ima bilježnicu s praksom, prepišite ove formule upravo tamo. Ako nema prijenosno računalo, ponovno ih ponovno povucite na letku, budući da će preostali primjeri lekcije rotirati oko tih formula.

Samo odluka može se izdati nešto ovako:

Pretvorimo funkciju:

Pronađite derivat:

Preliminarna transformacija funkcije značajno je pojednostavljeno rješenje. Dakle, kada se predlaže sličan logaritam za diferencijaciju, uvijek je poželjno "uništiti".

A sada par jednostavnih primjera za neovisno rješenje:

Primjer 9.

Pronađite derivatnu funkciju

Primjer 10.

Pronađite derivatnu funkciju

Sve transformacije i odgovore na kraju lekcije.

Logaritamski derivat

Ako je derivat logaritama takva slatka glazba, onda se postavlja pitanje, i je li nemoguće organizirati logaritam u nekim slučajevima? Limenka! I čak i treba.

Primjer 11.

Pronađite derivatnu funkciju

Srodni primjeri koje smo nedavno razmotrili. Što učiniti? Moguće je dosljedno primijeniti pravilo o diferencijaciji udjela, a zatim pravila izvedbe proizvoda. Nedostatak metode je da je ogromna trokatnica snimanja, s kojom se uopće ne želim nositi.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao logaritamski derivat. Logaritmi se mogu organizirati umjetno, "navigacijom" ih na oba dijela:

Bilješka : Jer Funkcija može uzeti negativne vrijednosti, a zatim, općenito govoreći, morate koristiti module: koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni ukras je dopušten, gdje se prema zadanim postavkama uzima u obzir. kompleks vrijednosti. Ali ako sa svim strogosti, onda u to iu drugom slučaju treba napraviti rezervaciju.

Sada morate "otkinuti" logaritam desne strane (formula prije očiju?). Vrlo detaljno ispitujem ovaj proces:

Zapravo nastaviti do diferencijacije.
Zaključujemo oba dijela pod barkod:

Derivat desne strane je vrlo jednostavan, neću komentirati na njega, jer ako čitate ovaj tekst, morate se nositi s njom.

Kako biti s lijevom strani?

Na lijevom dijelu SAD-a složena funkcija, Predviđam pitanje: "Zašto, postoji jedna bukova" igarek "pod logaritmom?".

Činjenica je da je ovaj "jedan bukč igre" - Samo po sebi je funkcija (Ako ne i vrlo jasno, pogledajte članak koji je naveden iz funkcije implicitno). Stoga je logarithm vanjska funkcija, a "Igrek" je unutarnja funkcija. I koristimo pravilo diferencijacije složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao čarobni štapić, derivat "nacrta" bio je "oslikan". Nadalje, prema pravilu o omjeru, bacimo "igarek" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se sjećam što smo takvi "igrek" -funkcije smo razmišljali s diferencijacijom? Gledamo uvjet:

Završni odgovor:

Primjer 12.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Uzorak dizajna primjera ovog tipa na kraju lekcije.

Uz pomoć logaritamskog derivata, može se riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je da je lakše, a možda i upotreba logaritamskog derivata nije previše oslobođen.

Derivat postupne indikativne funkcije

Još nismo razmotrili ovu funkciju. Početna indikativna funkcija je funkcija koja i stupanj i temelj ovise o "x", Klasičan primjer koji će se dati u bilo kojem udžbeniku ili na bilo kojem predavanju:

Kako pronaći derivat iz postupne indikativne funkcije?

Potrebno je koristiti samo razmatranje od strane prijema - logaritamski derivat. Stavljanje logaritama na oba dijela:

U pravilu, u pravom dijelu logaritam je napravljen stupanj:

Kao rezultat toga, na desnoj strani imali smo proizvod od dvije funkcije, koje će se diferencirati standardnom formulom .

Nalazimo derivat, za to zaključujemo oba dijela za dodir:

Sljedeći koraci su jednostavni:

Konačno:

Ako neka transformacija nije posve jasna, pažljivo ponovno pročitajte objašnjenja Primjerice br. 11.

U praktičnim zadacima, postupno indikativna funkcija uvijek će biti teže od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13.

Pronađite derivatnu funkciju

Koristite logaritamski derivat.

U desnom dijelu imamo konstantan i rad dvaju čimbenika - "iksa" i "logarithm logaritam" (za logaritam još jedan logaritam). Kada se razlikuju konstantno, kao što se sjećamo, bolje je odmah izvaditi derivativni znak tako da ne ometa noge; I, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :

U ovoj lekciji naučit ćemo pronaći derivativna složena funkcija, Lekcija je logičan nastavak nastave Kako pronaći derivat?gdje rastavljamo najjednostavnije derivate, i također se upoznali s pravilima diferencijacije i nekim tehnikama pronalaženja derivata. Dakle, ako niste vrlo jasni s derivatima funkcija, nećete biti potpuno jasni, a zatim prvo pročitajte gore navedenu lekciju. Molimo vas da postavite na ozbiljan način - materijal nije jednostavan, ali još uvijek ga pokušavam jednostavno i dostupan.

U praksi, derivat složene funkcije mora se vrlo često suočiti, ja bih čak reći, gotovo uvijek kada ste zadaci pronašli derivate.

Gledamo stolom za pravilo (br. 5) diferencijacije složene funkcije:

Razumijemo. Prije svega, obratite pozornost na zapisnik. Ovdje imamo dvije funkcije - i, štoviše, funkcija, figurativno govoreći, ulaže se u funkciju. Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugrađena u drugu) i naziva se složena funkcija.

Nazvat ću funkciju vanjska funkcijai funkcija - unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teoretski i ne bi se trebali pojaviti u klipnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze "vanjske funkcije", "unutarnja" funkcija samo kako bi vam olakšalo da razumijete materijal.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite:

Primjer 1.

Pronađite derivatnu funkciju

Pod sinusom, mi nismo samo slovo "X", već cijeli broj izraz, tako da neće biti moguće odmah pronaći derivat na stolu. Također primijećumo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da sinus nije "odvojen u dijelove":

U ovom primjeru, iz mojih objašnjenja, to je intuitivno da je funkcija složena funkcija, a polinom je unutarnja funkcija (vezanost) i vanjska je funkcija.

Prvi korakza izvođenje pri pronalaženju derivativne složene funkcije shvatite što je funkcija unutarnja i koja je vanjska.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se da se čini da se polinomi ulože u sinus. Ali što ako sve nije očito? Kako točno odrediti što je funkcija vanjska, a što je unutarnji? Da bih to učinio, predlažem da koristim sljedeći prijem, koji se može provesti mentalno ili na nacrtu.

Zamislite da trebamo izračunati vrijednost vrijednosti izraza na kalkulatoru (umjesto jedinice može biti bilo koji broj).

Što prvo izračunavamo? Kao prvo Morat ćete izvesti sljedeće: dakle, polinom i bit će unutarnja funkcija:

Drugo Bit će potrebno pronaći, pa će sinus - biti vanjska funkcija:

Nakon što smo mi Su shvatili Uz unutarnje i vanjske funkcije, vrijeme je za primjenu pravila diferencijacije složene funkcije.

Počinjemo riješiti. Iz lekcije Kako pronaći derivat? Sjeti se da dekoracija rješenja bilo kojeg derivata uvijek počinje tako - zaključujemo izraz u zagradama i staviti na desno na vrh barkod:

Prvi Nalazimo vanjsku funkciju derivat (sinus), gledamo na tablicu derivatnih elementarnih funkcija i primijetimo da. Sve tablične formule su primjenjive iu slučaju, ako je "X" zamijenjen složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da unutarnja funkcija nije se promijenilo, ne diramo je.

Pa, to je sasvim očito

Rezultat primjene formule u klipnom dizajnu izgleda ovako:

Stalni multiplikator obično izdržava izraze:

Ako ostane bilo koji nesporazum, ponovno napišite odluku o papiru i ponovno pročitajte objašnjenja.

Primjer 2.

Pronađite derivatnu funkciju

Primjer 3.

Pronađite derivatnu funkciju

Kao i uvijek, napišite:

Razumijemo gdje imamo vanjsku funkciju i gdje je unutarnji. Da biste to učinili, pokušajte (mentalno ili na nacrtu) za izračunavanje vrijednosti izraza na. Što treba prvo izvršiti? Prije svega, potrebno je brojati ono što je jednako bazi:, to znači da je polinom unutarnja funkcija:

I, samo tada se vježba provodi u mjeri, stoga je funkcija napajanja vanjska funkcija:

Prema formuli, prvo trebate pronaći derivat iz vanjske funkcije, u ovom slučaju, u tom slučaju. Željeli smo potrebnu formulu u tablici :. Ponovljamo ponovno: bilo koja tablična formula vrijedi ne samo za "X", već i za složeni izraz, Dakle, rezultat primjene diferencijacije runt složene funkcije je kako slijedi:

Ponovno naglašavam da kada uzimamo derivat vanjske funkcije, unutarnja funkcija se ne mijenja s nama:

Sada ostaje pronaći potpuno jednostavan derivat iz unutarnje funkcije i malo "češljanje" rezultat:

Primjer 4.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovo je primjer za neovisno rješenje (odgovor na kraju lekcije).

Da bih osigurao razumijevanje derivativne složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušati shvatiti sebe, boje, gdje vanjski i gdje je unutarnja funkcija, zašto su zadaci riješeni na ovaj način?

Primjer 5.

a) Pronađite derivatnu funkciju

b) Pronađite derivatnu funkciju

Primjer 6.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovdje imamo korijen, a kako bismo informirali korijen, mora biti predstavljen u obliku stupnja. Dakle, prvo dati funkciju odgovarajućem obliku:

Analizirajući funkciju, zaključujemo da je zbroj triju termina unutarnja funkcija, a vanjska funkcija je vanjska funkcija. Primijenite pravilo diferencijacije složene funkcije:

Stupanj ponovno predstavlja u obliku radikala (korijen), a za derivat unutarnje funkcije, koristite jednostavno pravilo količine diferencijacije:

Spreman. Također možete staviti izraz na opći nazivnik i zapisati s jednom frakcijom u zagradama. Lijepo, naravno, ali kada se dobivaju glomazni dugi derivati \u200b\u200b- bolje je to učiniti (lako je biti zbunjen, kako bi se omogućila nepotrebna pogreška, a učitelj će biti nezgodno ček).

Primjer 7.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovo je primjer za neovisno rješenje (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je napomenuti da ponekad umjesto postupka za diferencijaciju složene funkcije, možete koristiti pravilo diferencijacije udjela , Ali takvo rješenje će izgledati kao perversion zabava. Ovdje je karakterističan primjer:

Primjer 8.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije udio Ali mnogo je profitabilnije pronaći derivat kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju diferencijacije - uzimamo minus po znaku derivata, a kosinus se povećava u brojčanik:

Cosine je unutarnja funkcija, vanjska funkcija je vanjska funkcija.
Koristimo naše pravilo:

Nalazimo derivat unutarnje funkcije, kosine se odbacuje natrag:

Spreman. U ispitivanom primjeru važno je ne biti zbunjen u znakovima. Usput, pokušajte ga riješiti pomoću pravila. Odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9.

Pronađite derivatnu funkciju

Ovo je primjer za neovisno rješenje (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo smatrali slučajeve kada je samo jedna investicija bila u našoj složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često je moguće ispuniti derivate, gdje je, kao što je Matryoshki, jedan na drugi, ugrađen u jednom 3, ili čak 4-5 funkcija.

Primjer 10.

Pronađite derivatnu funkciju

Razumijemo u ulaganjima ove funkcije. Pokušavamo izračunati izraz koristeći eksperimentalnu vrijednost. Kako bismo vjerovali u kalkulator?

Prvo trebate pronaći, to znači, Arkksinus je najdublje ulaganje:

Tada bi se ove arxinus jedinice trebale ugraditi na trg:

I konačno, sedam se podiže u stupanj:

To je, u ovom primjeru, imamo tri različite funkcije i dvije privitke, dok je unutarnja funkcija Arxinus, a vanjska funkcija je indikativna funkcija.

Počinjemo odlučiti

Prema pravilu, prvo morate uzeti derivat iz vanjske funkcije. Mi gledamo na tablicu derivata i pronađite derivat indikativne funkcije: jedina razlika je umjesto "X" imamo težak izraz koji ne poništava valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene diferencijation runt složene funkcije je kako slijedi:

Pod moždanim udarom ponovno imamo kompliciranu funkciju! Ali to je lakše. Lako je osigurati da je unutarnja funkcija arxinus, vanjska funkcija je stupanj. Prema diferencijaciji složene funkcije, prvo trebate uzeti derivat.

Ako a g.(x.) I. f.(u.) - diferencijalne funkcije njihovih argumenata, odnosno na točkama x. i u.= g.(x.), tada se složena funkcija također razlikuje u točki x.i nalazi se po formuli

Tipična pogreška u rješavanju zadataka derivatima - automatsko prijenos pravila diferencijacije jednostavnih funkcija na složenim funkcijama. Naučit ćemo izbjeći tu pogrešku.

Primjer 2.Pronađite derivatnu funkciju

Pogrešna odluka: Izračunajte prirodni logaritam svakog termina u zagradama i potražite količinu derivata:

Ispravno rješenje: Opet, definiramo gdje je "jabuka" i gdje je "mljeveno". Ovdje je prirodni logaritam iz izraza u zagradama "jabuka", odnosno funkcija intermedijarnom argumentom u.i izraz u zagradama je "mljeven", to jest, posredni argument u. na neovisnoj varijabli x..

Zatim (primjena formule 14 iz tablice derivata)

U mnogim stvarnim zadacima, izraz s logaritamom je nešto složeniji, tako da postoji lekcija

Primjer 3.Pronađite derivatnu funkciju

Pogrešna odluka:

Ispravno rješenje. Još jednom definiramo gdje je "jabuka" i gdje je "mljeveno". Ovdje je kosinu iz izraza u zagradama (formula 7 u tablici derivata) je "jabuka", pripremljena je u načinu 1, što utječe samo na njega, a izraz u zagradama (izvedeni stupanj - broj 3 u derivatima) Tablica) je "mljevena", priprema se u 2 načina, što utječe samo na njega. I kao i uvijek povezujemo dva derivata s znakom rada. Proizlaziti:

Derivat kompleksne logaritalne funkcije je čest zadatak u testiranju, tako da preporučujemo da posjetite lekciju "derivatne logaritalne funkcije".

Prvi primjeri bili su na složenim funkcijama u kojima je posredni argument za neovisnu varijablu bila jednostavna funkcija. No, u praktičnim zadacima, često je potrebno pronaći derivat složene funkcije, gdje je posredni argument ili sam složena funkcija ili sadrži takvu funkciju. Što učiniti u takvim slučajevima? Pronađite derivate takvih funkcija na tablicama i pravilima diferencijacije. Kada je pronađen derivat međuproizvedenog argumenta, jednostavno je supstituiran u željeno mjesto formule. U nastavku su dva primjera, kao što je učinjeno.

Osim toga, korisno je znati sljedeće. Ako se složena funkcija može predstavljati kao lanac od tri funkcije

treba se naći kao proizvod derivata svake od tih funkcija:

Da biste riješili mnoge domaće zadaće, možda ćete morati otvoriti prednosti u novim prozorima. Akcije sa stupnjevima i korijenima i Akcije s frakcijama .

Primjer 4.Pronađite derivatnu funkciju

Primijeniti pravilo diferencijacije složene funkcije, ne zaboravljajući da je u dobivenom proizvodu derivata u srednjoj argumentu za neovisnu varijablu x. ne mijenja:

Pripremamo drugu tvornicu rada i primijenimo pravilu diferencijacije količine:

Drugi izraz je korijen, dakle

Dakle, dobiveno je da je posredni argument, koji je iznos, kao jedan od uvjeta sadrži složenu funkciju: izgradnju složene funkcije i činjenicu da je ugrađena u diplomu - srednji argument za neovisnu varijablu x..

Stoga ponovno primjenjuju pravilo diferencijacije složene funkcije:

Stupanj prvog faktora se transformira u korijen, a razlikujući drugi faktor, ne zaboravite da je konstantan derivat nula:

Sada možemo pronaći derivat srednjeg argumenta potreban za izračun problema potreban problemom derivativne funkcije y.:

Primjer 5.Pronađite derivatnu funkciju

Prvo, koristite količinu diferencijacije iznosa:

Primio količinu derivata dviju složenih funkcija. Pronađite prvi od njih:

Ovdje je izgradnja sinusa u stupanj složena funkcija, a sama sinus je srednji argument za neovisnu varijablu x., Stoga koristimo pravilo diferencijacije složene funkcije, na putu namjeravanje množitelja za zagrade :

Sada nalazimo drugi pojam iz formiranja izvedene funkcije y.:

Ovdje je izgradnja kosine u stupanj - složena funkcija f., a sama kosine je srednji argument za neovisnu varijablu x., Koristit ćemo pravilo diferencijacije složene funkcije:

Rezultat je željeni derivat:

Tablica derivata nekih složenih funkcija

Za složene funkcije na temelju pravila diferencijacije složene funkcije, formula derivata jednostavne funkcije uzima drugu vrstu.

1. Derivativna složena funkcija snage, gdje u. x.
2. Derivativni korijen od izraza
3. Derivatna indikativna funkcija
4. Privatni slučaj indikativne funkcije
5. Derivativna logaritalna funkcija s proizvoljnom pozitivnom bazom ali
6. Derivativna složena logaritalna funkcija, gdje u. - funkcija diferencijalne argumenta x.
7. Derivat sinusa
8. Derivat kosine
9. Derivat tangenta
10. Derivat kotandena
11. Izrivak Arksinusa
12. Arkkosinus derivat
13. Izrivak arctangena
14. Derivat arkkothence

Rad pronalaženja derivata naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja derivata od najjednostavnijih (i ne vrlo jednostavnih) funkcija za određivanje derivata kao granicu odnosa prema argumentu, pojavio se tablica derivata i upravo definiranih pravila diferencijacije. Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) prvi su bili na području nalaza derivata.

Stoga, u našem vremenu, pronaći derivat bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gornju granicu omjera prirasta funkcije za povećanje argumenta, a vi samo trebate koristiti tablicu derivata i pravila diferencijacije , Da biste pronašli derivat, odgovara je sljedeći algoritam.

Pronaći derivat, potrebno je za izražavanje pod znakom moždanog udara rastavite komponente jednostavnih funkcija i odrediti koje radnje (Rad, iznos, privatno) Te su funkcije povezane. Dalje, derivati \u200b\u200belementarnih funkcija nalaze se u tablici derivata i formula derivata, iznosa i privatnog - u pravilima diferencijacije. Tablica derivata i pravila diferencijacije daju se nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite derivatnu funkciju

Odluka. Iz pravila diferencijacije otkrivamo da je derivat funkcije funkcija količina derivata, tj.

Od tablice derivata otkrivamo da je derivat "ICCA" jednak jedan, a derivat sinusa je kosinus. Zamijenimo te vrijednosti u količini derivata i smatramo da je potrebno stanje derivata zadatka:

Primjer 2. Pronađite derivatnu funkciju

Odluka. Diferenciranje kao izvedeni iznos u kojem se može postići drugi pojam s konstantnim čimbenikom:

Ako još postoje pitanja, od mjesta gdje se uzima, oni obično razjašnjavaju nakon upoznavanja s derivatima tablice i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Idemo ih upravo sada.

Tablica izvedenih jednostavnih funkcija

1. Derivativna konstanta (brojevi). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200 ...), koji je u izrazu funkcije. Uvijek jednaka nuli. Vrlo je važno zapamtiti jer je potrebno vrlo često
2. Derivat neovisne varijable. Najčešće "iksa". Uvijek jednaka jednom. Također je važno zapamtiti dugo vremena.
3. Izvedeni stupanj. Stupanj u rješavanju zadataka koje trebate pretvoriti nequadant korijene.
4. Varijabilni derivat do stupnja -1
5. Trg derivat korijena
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosine
8. Derivativna tangenta
9. Derivat Kotangensa
10. Arkkinus derivat
11. Derivat arckosina
12. Arctangen derivat
13. Derivat Arkkotangena
14. Derivat prirodnog logaritam
15. Derivat logaritamska funkcija
16. Izložbeni derivat
17. Derivatska indikativna funkcija

Pravila diferencijacije

1. Izvorna količina ili razlika
2. Derivativni rad
2a. Derivat ekspresije pomnožen s konstantnim multiplikatorom
3. Privatni derivat
4. Derivativna složena funkcija

Pravilo 1. Ako funkcije funkcije

različito u nekom trenutku, onda u istoj točki razlikovati i funkcije

i

oni. Derivat algebarske količine funkcija jednak je algebarskoj količini derivata tih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencijske funkcije razlikuju na trajnom roku, njihovi derivati \u200b\u200bsu jednaki,

Pravilo 2. \\ tAko funkcije funkcije

u nekom trenutku, onda na istoj točki drugačije i njihov rad

i

oni. Derivat dviju funkcija jednak je količini radova svake od tih funkcija na različitom derivatu.

Posljedica 1. Trajni multiplikator može se izvršiti za derivatnu oznaku:

Korolarna 2. Derivat rada nekoliko različitih funkcija jednak je količini proizvoda derivata svakog od čimbenika na sve ostale.

Na primjer, za tri multiplikatora:

Pravilo 3. \\ tAko funkcije funkcije

u nekom trenutku i , tada na ovom trenutku drugačije i njihove privatneu / v, i

oni. Derivat privatnih dviju funkcija jednak je frakciji, čiji je brojnik razlika u proizvodima denominatora na derivatu numeriranja i numeritoru na derivatu denominatora, a nazivnik je kvadrat prethodnog broja ,

Gdje što tražiti na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivata rada i privatnog u stvarnim zadacima, uvijek se može primijeniti nekoliko pravila diferencijacije, tako da više primjera za ove derivate - u članku"Derivativni rad i privatne funkcije".

Komentar.Ne smije se konstantno zbuniti (to jest broj) kao pojam u iznosu i kao stalni multiplikator! U slučaju temelja, njegov derivat je nula, au slučaju konstantnog multiplikatora, podnese se na znak derivata. To je tipična pogreška koja se nalazi u početnoj fazi proučavanja derivata, ali kao i nekoliko jednokratni primjeri već riješeni, prosječni student ove pogreške ne čini.

I ako, s diferencijacijom rada ili privatnog, pojavio se pojam u."vlan , u kojem u. - Broj, na primjer, 2 ili 5, to jest, konstantan, derivat ovog broja bit će nula i stoga će cijeli pojam biti nula (takav je slučaj rastavljen u primjeru 10).

Druga česta pogreška je mehanička otopina derivatne složene funkcije kao derivata jednostavne funkcije. stoga derivativna složena funkcija Namjenski odvojeni članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći derivate jednostavnih funkcija.

Na tečaju nemojte raditi bez transformacija izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti prednosti u novim prozorima. Akcije sa stupnjevima i korijenima i Akcije s frakcijama .

Ako tražite rješenja derivata s stupnjevima i korijenima, to jest, kada je funkcija kao vrsta , Slijedite zanimanje "derivat frakcija s stupnjevima i korijenima."

Ako imate zadatak , onda ste na "derivata jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak-po-korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite derivatnu funkciju

Odluka. Određujemo dio izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja rad, a njegovi su čimbenici sumi, u drugoj od kojih jedan od uvjeta sadrži trajni multiplikator. Koristimo izvođenje proizvoda: derivat rada dviju funkcija jednak je količini radova svake od tih funkcija na različitom derivatu:

Zatim primijeniti iznos količine diferencijacije: derivat algebarske količine funkcija jednaka je algebarskoj količini derivata tih funkcija. U našem slučaju svaki iznos je drugi termin s minus znakom. U svakom iznosu vidimo i neovisnu varijablu, od kojih je derivat jednak jednom, a konstantna (broj), od kojih je derivat nula. Dakle, "x" pretvaramo se u jedan, i minus 5 - u nuli. U drugom izrazu "X" se umnožava s 2, tako da se dva pomnožava s istom jedinicom kao derivat "iksa". Dobivamo sljedeće vrijednosti derivata:

Zamijenimo pronađene derivate u količini radova i dobivaju traženi uvjet za problem derivata cijele funkcije:

I možete provjeriti rješenje na derivativni problem.

Primjer 4. Pronađite derivatnu funkciju

Odluka. Moramo pronaći privatni derivat. Koristeći formulu za diferencijaciju privatnog: derivat privatnih dviju funkcija jednaka je frakciji, čiji je brojnik razlika proizvoda denominatora na derivatu numeriranja i numerizača na derivatu denominatora i Denominator je kvadrat prethodnog broja. Dobivamo:

Već smo pronašli derivat čimbenika u broju u primjeru 2. Neću ni zaboraviti da je rad koji je drugi tvornica u numeritoru u trenutnom primjeru uzima se s minus znakom:

Ako tražite rješenja za takve zadatke u kojima je potrebno pronaći derivatnu funkciju, gdje su čvrste rase korijena i stupnjeva, kao što je, na primjer, , onda dobrodošli u zanimanje "Derivat frakcija s stupnjevima i korijenima" .

Ako trebate saznati više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenata i drugih trigonometrijskih funkcija, to jest, kada se funkcija čini Onda ste na lekciji "Derivati \u200b\u200bjednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite derivatnu funkciju

Odluka. U ovoj značajki vidimo rad, čiji je jedan od čija čimbenika kvadratni korijen neovisne varijable, s derivatom od kojih smo pročitali tablicu derivata. Prema izvođenju proizvoda i vrijednosti tablice kvadratnog derivata korijena, dobivamo:

Provjerite rješenje problema na derivatu može biti uključeno kalkulator Derivati \u200b\u200bonline .

Primjer 6. Pronađite derivatnu funkciju

Odluka. U ovoj značajki vidimo privatne, što je kvadratni korijen od neovisne varijable. Prema pravilu diferencijacije privatnog, koje smo ponovili i primjenjivali u Primjeru 4, dobivamo tabletibilnu vrijednost kvadratnog derivata korijena:

Da biste dobili osloboditi od frakcije u numeritoru, pomnožite brojčanika i nazivnika.