Основные сведения о рациональных выражениях и их преобразованиях. Преобразование рациональных выражений Дробные рациональные выражения примеры с решениями

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.

Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:

Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.

Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.

Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». Но в том то и беда, что большинство людей эту тему именно «проходят». Они в 10-11 классе уже не помнят, как делается умножение, деление, вычитание и сложение рациональных дробей из 8-го класса, а ведь именно на этих простых знаниях строятся дальнейшие, более сложные конструкции, как решение логарифмических, тригонометрических уравнений и многих других сложных выражений, поэтому без рациональных дробей делать в старших классах практически нечего.

Формулы для решения задач

Давайте перейдем к делу. Прежде всего, нам потребуется два факта — два комплекта формул. Прежде всего, необходимо знать формулы сокращенного умножения:

${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — разность квадратов;
${{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}={{\left(a\pm b \right)}^{2}}$ — квадрат суммы или разности;
${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left(a+b \right)\left({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$ — сумма кубов;
${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left(a-b \right)\left({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$ — разность кубов.

В чистом виде они ни в каких примерах и в реальных серьезных выражениях не встречаются. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы научиться видеть под буквами $a$ и $b$ гораздо более сложные конструкции, например, логарифмы, корни, синусы и т.д. Научиться видеть это можно лишь при помощи постоянной практики. Именно поэтому решать рациональные дроби совершенно необходимо.

Вторая, совершенно очевидная формула — это разложение квадратного трехчлена на множители:

${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ — корни.

С теоретической частью мы разобрались. Но как решать реальные рациональные дроби, которые рассматриваются в 8 классе? Сейчас мы и потренируемся.

Задача № 1

\[\frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}\]

Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.

Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля». В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя. И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.

Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.

Преобразуем каждое выражение в точный куб:

Перепишем числитель:

\[{{\left(3a \right)}^{3}}-{{\left(4b \right)}^{3}}=\left(3a-4b \right)\left({{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}} \right)\]

Давайте посмотрим на знаменатель. Разложим его по формуле разности квадратов:

\[{{b}^{2}}-4={{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]

Теперь посмотрим на вторую часть выражения:

Числитель:

Осталось разобраться со знаменателем:

\[{{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left(b+2 \right)}^{2}}\]

Давайте перепишем всю конструкцию с учетом вышеперечисленных фактов:

\[\frac{\left(3a-4b \right)\left({{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}} \right)}{\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left(b+2 \right)}^{2}}}{{{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right)}{\left(b-2 \right)}\]

Нюансы умножения рациональных дробей

Ключевой вывод из этих построений следующий:

Далеко не каждый многочлен раскладывается на множители.
Даже если он и раскладывается, необходимо внимательно смотреть, по какой именно формуле сокращенного умножения.

Для этого, во-первых, нужно оценить, сколько всего слагаемых (если их два, то все, что мы можем сделать, то это разложить их либо по сумме разности квадратов, либо по сумме или разности кубов; а если их три, то это, однозначно, либо квадрат суммы, либо квадрат разности). Очень часто бывает так, что или числитель, или знаменатель вообще не требует разложения на множители, он может быть линейным, либо дискриминант его будет отрицательным.

Задача № 2

\[\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}\]

В целом, схема решения этой задачи ничем не отличается от предыдущей — просто действий будет больше, и они станут разнообразнее.

Начнем с первой дроби: посмотрим на ее числитель и сделаем возможные преобразования:

Теперь посмотрим на знаменатель:

Со второй дробью: в числителе вообще ничего нельзя сделать, потому что это линейное выражение, и вынести из него какой-либо множитель нельзя. Посмотрим на знаменатель:

\[{{x}^{2}}-4x+4={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left(x-2 \right)}^{2}}\]

Идем к третьей дроби. Числитель:

Разберемся со знаменателем последней дроби:

Перепишем выражение с учетом вышеописанных фактов:

\[\frac{3\left(1-2x \right)}{2\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left(2-x \right)\left({{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right)}=\]

\[=\frac{-3}{2\left(2-x \right)}=-\frac{3}{2\left(2-x \right)}=\frac{3}{2\left(x-2 \right)}\]

Нюансы решения

Как видите, далеко не все и не всегда упирается в формулы сокращенного умножения — иногда просто достаточно вынести за скобки константу или переменную. Однако бывает и обратная ситуация, когда слагаемых настолько много или они так построены, что формулы сокращенного умножения к ним вообще невозможно. В этом случае к нам на помощь приходит универсальный инструмент, а именно, метод группировки. Именно это мы сейчас и применим в следующей задаче.

Задача № 3

\[\frac{{{a}^{2}}+ab}{5a-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-5b}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]

Разберем первую часть:

\[{{a}^{2}}+ab=a\left(a+b \right)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) \right)=\]

\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]

Давайте перепишем исходное выражение:

\[\frac{a\left(a+b \right)}{\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]

Теперь разберемся со второй скобкой:

\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a={{a}^{2}}-10a+25-{{b}^{2}}=\left({{a}^{2}}-2\cdot 5a+{{5}^{2}} \right)-{{b}^{2}}=\]

\[={{\left(a-5 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \right)\]

Так как два элемента не получилось сгруппировать, то мы сгруппировали три. Осталось разобраться лишь со знаменателем последней дроби:

\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

Теперь перепишем всю нашу конструкцию:

\[\frac{a\left(a+b \right)}{\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)}\cdot \frac{\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \right)}{\left(a-b \right)\left(a+b \right)}=\frac{a\left(b-a+5 \right)}{{{\left(a-b \right)}^{2}}}\]

Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.

Нюансы решения

С группировкой мы разобрались и получили еще один очень мощный инструмент, который расширяет возможности по разложению на множители. Но проблема в том, что в реальной жизни нам никто не будет давать вот такие рафинированные примеры, где есть несколько дробей, у которых нужно лишь разложить на множитель числитель и знаменатель, а потом по возможности их сократить. Реальные выражения будут гораздо сложнее.

Скорее всего, помимо умножения и деления там будут присутствовать вычитания и сложения, всевозможные скобки — вообщем, придется учитывать порядок действий. Но самое страшное, что при вычитании и сложении дробей с разными знаменателями их придется приводить к одному общему. Для этого каждый из них нужно будет раскладывать на множители, а потом преобразовывать эти дроби: приводить подобные и многое другое. Как это сделать правильно, быстро, и при этом получить однозначно правильный ответ? Именно об этом мы и поговорим сейчас на примере следующей конструкции.

Задача № 4

\[\left({{x}^{2}}+\frac{27}{x} \right)\cdot \left(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9} \right)\]

Давайте выпишем первую дробь и попытаемся разобраться с ней отдельно:

\[{{x}^{2}}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{x}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+{{3}^{3}}}{x}=\]

\[=\frac{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\]

Переходим ко второй. Сразу посчитаем дискриминант знаменателя:

Он на множители не раскладывается, поэтому запишем следующее:

\[\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9}=\frac{{{x}^{2}}-3x+9+x+3}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}\]

Числитель выпишем отдельно:

\[{{x}^{2}}-2x+12=0\]

Следовательно, этот многочлен на множители не раскладывается.

Максимум, что мы могли сделать и разложить, мы уже сделали.

Итого переписываем нашу исходную конструкцию и получаем:

\[\frac{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\cdot \frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{x}\]

Все, задача решена.

Если честно, это была не такая уж и сложная задача: там все легко раскладывалось на множители, быстро приводились подобные слагаемые, и все красиво сокращалось. Поэтому сейчас давайте попробуем решить задачку посерьезней.

Задача № 5

\[\left(\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left(\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]

Сначала давайте разберемся с первой скобкой. С самого начала разложим на множители знаменатель второй дроби отдельно:

\[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)\]

\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{{{x}^{2}}}=\]

\[=\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1}{x-2}=\]

\[=\frac{x\left(x-2 \right)+{{x}^{2}}+8-\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]

Теперь поработаем со второй дробью:

\[\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}+2\left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}\]

Возвращаемся к нашей исходной конструкции и записываем:

\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ключевые моменты

Еще раз ключевые факты сегодняшнего видеоурока:

Необходимо знать «назубок» формулы сокращенного умножения — и не просто знать, а уметь видеть в тех выражениях, которые будут вам встречаться в реальных задачах. Помочь нам в этом может замечательное правило: если слагаемых два, то это либо разность квадратов, либо разность или сумма кубов; если три — это может быть только квадрат суммы или разности.
Если какая-либо конструкция не раскладывается при помощи формул сокращенного умножения, то нам на помощь приходит либо стандартная формула разложения трехчленов на множители, либо метод группировки.
Если что-то не получается, внимательно посмотрите на исходное выражение — а требуются ли вообще какие-то преобразования с ним. Возможно, достаточно будет просто вынести множитель за скобку, а это очень часто бывает просто константа.
В сложных выражениях, где требуется выполнить несколько действий подряд, не забывайте приводить к общему знаменателю, и лишь после этого, когда все дроби приведены к нему, обязательно приведите подобное в новом числителе, а потом новый числитель еще раз разложите на множители — возможно, что-то сократится.

Вот и все, что я хотел вам рассказать сегодня о рациональных дробях. Если что-то непонятно — на сайте еще куча видеоуроков, а также куча задач для самостоятельного решения. Поэтому оставайтесь с нами!

На предыдущем уроке уже было введено понятие рационального выражения, на сегодняшнем уроке мы продолжаем работать с рациональными выражениями и основной упор делаем на их преобразования. На конкретных примерах мы рассмотрим методы решения задач на преобразования рациональных выражений и доказательство связанных с ними тождеств.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Преобразование рациональных выражений

Вспомним сначала определение рационального выражения.

Определение. Рациональное выражение - алгебраическое выражение, не содержащее корней и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления (возведения в степень).

Под понятием «преобразовать рациональное выражение» мы имеем в виду, прежде всего, его упрощение. А это осуществляется в известном нам порядке действий: сначала действия в скобках, затем произведение чисел (возведение в степень), деление чисел, а затем действия сложения/вычитания.

Основной целью сегодняшнего урока будет приобретение опыта при решении более сложных задач на упрощение рациональных выражений.

Пример 1.

Решение. Сначала может показаться, что указанные дроби можно сократить, т. к. выражения в числителях дробей очень похожи на формулы полных квадратов соответствующих им знаменателей. В данном случае важно не спешить, а отдельно проверить, так ли это.

Проверим числитель первой дроби: . Теперь числитель второй: .

Как видно, наши ожидания не оправдались, и выражения в числителях не являются полными квадратами, т. к. у них отсутствует удвоение произведения. Такие выражения, если вспомнить курс 7 класса, называют неполными квадратами. Следует быть очень внимательными в таких случаях, т. к. перепутывание формулы полного квадрата с неполным - очень частая ошибка, а подобные примеры проверяют внимательность учащегося.

Поскольку сокращение невозможно, то выполним сложение дробей. У знаменателей нет общих множителей, поэтому они просто перемножаются для получения наименьшего общего знаменателя, а дополнительным множителем для каждой из дробей является знаменатель другой дроби.

Конечно же, далее можно раскрыть скобки и привести затем подобные слагаемые, однако, в данном случае можно обойтись меньшими затратами сил и заметить, что в числителе первое слагаемое является формулой суммы кубов, а второе - разности кубов. Для удобства вспомним эти формулы в общем виде:

В нашем же случае выражения в числителе сворачиваются следующим образом:

, второе выражение аналогично. Имеем:

Ответ. .

Пример 2. Упростить рациональное выражение .

Решение. Данный пример похож на предыдущий, но здесь сразу видно, что в числителях дробей находятся неполные квадраты, поэтому сокращение на начальном этапе решения невозможно. Аналогично предыдущему примеру складываем дроби:

Здесь мы аналогично способу, указанному выше, заметили и свернули выражения по формулам суммы и разности кубов.

Ответ. .

Пример 3. Упростить рациональное выражение .

Решение. Можно заметить, что знаменатель второй дроби раскладывается на множители по формуле суммы кубов. Как мы уже знаем, разложение знаменателей на множители является полезным для дальнейшего поиска наименьшего общего знаменателя дробей.

Укажем наименьший общий знаменатель дробей, он равен: , т. к. делится на знаменатель третьей дроби, а первое выражение вообще является целым, и для него подойдет любой знаменатель. Указав очевидные дополнительные множители, запишем:

Ответ.

Рассмотрим более сложный пример с «многоэтажными» дробями.

Пример 4. Доказать тождество при всех допустимых значениях переменной.

Доказательство. Для доказательства указанного тождества постараемся упростить его левую часть (сложную) до того простого вида, который от нас требуется. Для этого выполним все действия с дробями в числителе и знаменателе, а затем разделим дроби и упростим результат.

Доказано при всех допустимых значениях переменной.

Доказано.

На следующем уроке мы подробно рассмотрим более сложные примеры на преобразование рациональных выражений.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.

2. Разработки уроков, презентации, конспекты занятий ().

Домашнее задание

1. №96-101. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.

2. Упростите выражение .

3. Упростите выражение .

4. Докажите тождество .

Урок и презентация на тему: "Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К. Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н.

Понятие о рациональном выражении

Понятие "рациональное выражение" схоже с понятием "рациональная дробь". Выражение также представляется в виде дроби. Только в числители у нас - не числа, а различного рода выражения. Чаще всего этого многочлены. Алгебраическая дробь - дробное выражение, состоящее из чисел и переменных.

При решении многих задач в младших классах после выполнения арифметических операций мы получали конкретные числовые значения, чаще всего дроби. Теперь после выполнения операций мы будем получать алгебраические дроби. Ребята, помните: чтобы получить правильный ответ, необходимо максимально упростить выражение, с которым вы работаете. Надо получить самую маленькую степень, какую возможно; одинаковые выражения в числители и знаменатели стоит сократить; с выражениями, которые можно свернуть, надо так и поступить. То есть после выполнения ряда действий мы должны получить максимально простую алгебраическую дробь.

Порядок действий с рациональными выражениями

Порядок действий при выполнении операций с рациональными выражениями такой же, как и при арифметических операциях. Сначала выполняются действия в скобках, потом – умножение и деление, возведение в степень и наконец – сложение и вычитание.

Доказать тождество – это значит показать, что при всех значениях переменных правая и левая части равны. Примеров с доказательством тождеств очень много.

К основным способам решения тождеств относятся.

Преобразование левой части до равенства с правой.
Преобразование правой части до равенства с левой.
Преобразование левой и правой части по отдельности, до тех пор пока не получится одинаковое выражение.
Из левой части вычитают правую, и в итоге должен получиться нуль.

Преобразование рациональных выражений. Примеры решения задач

Пример 1.
Докажите тождество:

$(\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}):{\frac{a^2+5a}{1-5a}}+\frac{a^2+5}{a+1}=a-1$.

Решение.
Очевидно, нам надо преобразовать левую часть.
Сначала выполним действия в скобках:

1) $\frac{a+5}{5a-1}+\frac{a+5}{a+1}=\frac{(a+5)(a+1)+(a+5)(5a-1)}{(a+1)(5a-1)}=$
$=\frac{(a+5)(a+1+5a-1)}{(a+1)(5a-1)}=\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}$

Выносить общие множители надо стараться по максимуму.
2) Преобразуем выражение, на которое делим:

$\frac{a^2+5a}{1-5a}=\frac{a(a+5)}{(1-5a}=\frac{a(a+5)}{-(5a-1)}$

.
3) Выполним операцию деления:

$\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}:\frac{a(a+5)}{-(5a-1)}=\frac{(a+5)(6a)}{(a+1)(5a-1)}*\frac{-(5a-1)}{a(a+5)}=\frac{-6}{a+1}$.

4) Выполним операцию сложения:

$\frac{-6}{a+1}+\frac{a^2+5}{a+1}=\frac{a^2-1}{a+1}=\frac{(a-1)(a+1)}{a+})=a-1$.

Правая и левая части совпали. Значит, тождество доказано.
Ребята, при решении данного примера нам понадобилось знание многих формул и операций. Мы видим, что после преобразования большое выражение превратилось совсем в маленькое. При решении почти всех задач, обычно преобразования приводят к простым выражениям.

Пример 2.
Упростите выражение:

$(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}):(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2})$.

Решение.
Начнем с первых скобок.

1. $\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+2ab+b^2}=\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2(a+b)-a^3}{(a+b)^2}=$
$=\frac{a^3+a^2 b-a^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2b}{(a+b)^2}$.

2. Преобразуем вторые скобки.

$\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}=\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a-b)-a^2}{(a-b)(a+b)}=$
$=\frac{a^2-ab-a^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{-ab}{(a-b)(a+b)}$.

3. Выполним деление.

$\frac{a^2b}{(a+b)^2}:\frac{-ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2b}{(a+b)^2}*\frac{(a-b)(a+b)}{(-ab)}=$
$=-\frac{a(a-b)}{a+b}$

Ответ: $-\frac{a(a-b)}{a+b}$.

Пример 3.
Выполните действия:

$\frac{k-4}{k-2}:(\frac{80k}{(k^3-8}+\frac{2k}{k^2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k})-\frac{6k+4}{(4-k)^2}$.

Решение.
Как всегда надо начинать со скобок.

1. $\frac{80k}{k^3-8}+\frac{2k}{k^2+2k+4}-\frac{k-16}{2-k}=\frac{80k}{(k-2)(k^2+2k+4)} +\frac{2k}{k^2+2k+4}+\frac{k-16}{k-2}=$

$=\frac{80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4)}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{80k+2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64}{(k-2)(k^2+2k+4)}=$

$=\frac{k^3-12k^2+48k-64}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{(k-4)^3}{(k-2)(k^2+2k+4)}$.

2. Теперь выполним деление.

$\frac{k-4}{k-2}:\frac{(k-4)^3}{(k-2)(k^2+2k+4)}=\frac{k-4}{k-2}*\frac{(k-2)(k^2+2k+4)}{(k-4)^3}=\frac{(k^2+2k+4)}{(k-4)^2}$.

3. Воспользуемся свойством: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Выполним операцию вычитания.

$\frac{(k^2+2k+4)}{(k-4)^2}-\frac{6k+4}{(k-4)^2}=\frac{k^2-4k}{(k-4)^2}=\frac{k(k-4)}{(k-4)^2}=\frac{k}{k-4}$.

Как мы раньше говорили, упрощать дробь надо максимально.
Ответ: $\frac{k}{k-4}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Докажите тождество:

$\frac{b^2-14}{b-4}-(\frac{3-b}{7b-4}+\frac{b-3}{b-4})*\frac{4-7b}{9b-3b^2}=b+4$.

2. Упростите выражение:

$\frac{4(z+4)^2}{z-2}*(\frac{z}{2z-4}-\frac{z^2+4}{2z^2-8}-\frac{2}{z^2+2z})$.

3. Выполните действия:

$(\frac{a-b}{a^2+2ab+b^2}-\frac{2a}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{(a-b)^2})*\frac{a^4-b^4}{8ab^2}+\frac{2b^2}{a^2-b^2}$.

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Примеры:

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен:

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

Ответы:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

Это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:

Кстати, есть одна хитрость:

Например: .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

в степени

в степени.

Усложним задание:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить, чтобы получить?

Вот на и домножай. А домножай на:

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.

Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :

Отлично! Тогда:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

Так и напишем:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

То, что нужно!

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Посчитал?

Должно получиться.

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение.

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Решение:

Перво-наперво определим порядок действий.

Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Ответы:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Базовые операции упрощения:

Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.
ВАЖНО: сокращать можно только множители!
Сложение и вычитание дробей:
;
Умножение и деление дробей:
;