Теоретический материал. §6 Частные производные сложных функций нескольких переменных Решение сложных частных производных

1°. Случай одной независимой переменной . Если z=f(x,y) есть дифференцируемая функция аргументов х и у, которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : , то производная сложной функции может быть вычислена по формуле

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример . Найти частную производную и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f (x ; y ) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t : х = x (t ), у = y (t ). В этом случае функция z = f (x (t ); y (t )) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Теорема . Если z == f (x ; у) - дифференцируемая в точке М(х;у) D функция и х = x (t ) и у =y (t ) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z (t ) == f (x (t ); y (t )) вычисляется по формуле

Частный случай: z = f (x ; у), где у = у(х), т.е. z = f (x ; y (x )) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

.

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f (x ; y ), где х = x (u ; v ), y = y (u ; v ). Тогда z = f { x (u ; v ); y (u ; v )) - сложная функция независимых переменных и и v . Ее частные производные и можно найти, используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней , соответствующими частными производными

Таким образом, производная сложной функции (z ) по каждой независимой переменной (и и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти и , если z =f (x ,y ), где x =uv , .

Решение. Применяя формулы (4) и (5), получим:

Пример. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Функция зависит от х и у через промежуточный аргумент , поэтому

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь:

Т. е. функция z удовлетворяет данному уравнению.

Производная в данном направлении и градиент функции

1°. Производная функции в данном направлении . Производной функции z=f (x,y) в данном направлении называется , где и - значения функции в точках и . Если функция z дифференцируема, то справедлива формула

где - углы между направлением l и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении.

Пример. Найти производную функции z = 2х 2 - Зу 2 в точке P (1; 0) в направлении, составляющем с осью ОХ угол в 120°.

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке P .

Пример. Найти , если , где .

Решение. По формуле (1) имеем:

Пример. Найти частную производную и полную производную , если .

Решение. .

На основании формулы (2) получаем .

2°. Случай нескольких независимых переменных.

Пусть z = f(x;y) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией

независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z=f(x(t);y(t)) является

сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Теорема . Если z == f (x; у) - дифференцируемая в точке М(х;у) D функция

и х = x(t) и у =y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t,

то производная сложной функции z(t) == f (x(t);y(t)) вычисляется по формуле

(3)

Частный случай: z = f(x; у), где у = у(х), т.е. z = f(x;y(x)) - сложная функция одной

независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной

t играет х. Согласно формуле (3) имеем:

.

Последняя формула носит название формулы полной производной.

Общий случай: z = f(x;y), где х = x(u;v), y=y(u;v). Тогда z = f{x(u;v);y(u;v)) - сложная

функция независимых переменных и и v. Ее частные производные и можно найти,

используя формулу (3) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней ,

соответствующими частными производными

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (и и v)

равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным

переменным (x и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности полного дифференциала).

Пример. Найти и , если z=f (x,y), где x=uv, .

§ 5. Частные производные сложных функций. дифференциалы сложных функций

1. Частные производные сложной функции.

Пусть – функция двух переменных, аргументы которой и , сами являются функциями двух или большего числа переменных. Например, пусть
,
.

Тогда будет сложной функцией независимых переменных и , переменные и будут для нее промежуточными переменными. Как в этом случае найти частные производные функции по и ?

Можно, конечно, выразить непосредственно через и :

и искать частные производные от получившейся функции. Но выражение может оказаться очень сложным, и нахождение частных производных , потребует тогда больших усилий.

Если функции
,
,
дифференцируемы, то найти и можно не прибегая к непосредственному выражению через и . В этом случае будут справедливы формулы

(5.1)

Действительно, дадим аргументу приращение
, – const. Тогда функции
и получат приращения

а функция получит приращение

где , – бесконечно малые при
,
. Разделим все члены последнего равенства на . Получим:

Так как по условию функции и дифференцируемы, то они непрерывны. Следовательно, если
, то и . А значит, переходя в последнем равенстве к пределу при получим:

(так как , – бесконечно малые при , ).

Аналогично доказывается и второе равенство из (5.1).

ПРИМЕР. Пусть
, где
,
. Тогда является сложной функцией независимых переменных и . Для нахождения ее частных производных воспользуемся формулой (5.1). Имеем

Подставляя в (5.1), получаем

,

Формулы (5.1) естественным образом обобщаются на случай функции большего числа независимых и промежуточных аргументов. А именно, если ,

………………………

и все рассматриваемые функции дифференцируемы, то для любого
имеет место равенство

Возможен также случай, когда аргументы функции являются функциями только одной переменной, т.е.

,
.

Тогда будет являться сложной функцией только одной переменной и можно ставить вопрос о нахождении производной . Если функции ,
,
дифференцируемы, то она может быть найдена по формуле
(5.2)

ПРИМЕР. Пусть
, где
,
. Здесь является сложной функцией одной независимой переменной . Пользуясь формулой (5.2) получим

.

И, наконец, возможен случай, когда роль независимой переменной играет , т.е. ,

где
.

Из формулы (5.2) тогда получаем

(5.3)

(так как
). Производная , стоящая в формуле (5.3) справа – это частная производная функции по . Она вычисляется при закрепленном значении . Производная в левой части формулы (5.3) называется полной производной функции . При ее вычислении учтено, что зависит от двояким образом: непосредственно и через второй аргумент .

ПРИМЕР. Найти и для функции
, где
.

Имеем
.

Для нахождения воспользуемся формулой (5.3). Получим

.

И в заключение этого пункта заметим, что формулы (5.2) и (5.3) легко обобщить на случай функций с большим числом промежуточных аргументов.

2. Дифференциал сложной функции.

Напомним, что если

– дифференцируемая функция двух независимых переменных, то по определению

, (5.4)

или в другом виде
. (5.5)

Преимущество формулы (5.5) в том, что она остается верна и в том случае, когда – сложная функция.

Действительно, пусть , где , . Предположим, что функции , , дифференцируемы. Тогда сложная функция тоже будет дифференцируема и ее полный дифференциал по формуле (5.5) будет равен

.

Применяя формулу (5.1) для вычисления частных производных сложной функции, получаем

Так как в скобках стоят полные дифференциалы функций и , то окончательно имеем

Итак, мы убедились, что и в том случае, когда и – независимые переменные, и в том случае, когда и – зависимые переменные, дифференциал функции можно записать в виде (5.5). В связи с этим, данная форма записи полного дифференциала называется инвариантной . Предложенная в (5.4) форма записи дифференциала не будет инвариантной, она может использоваться только в том случае, когда и – независимые переменные. Не будет инвариантной и форма записи дифференциала -го порядка. Напомним, что ранее мы показали, что дифференциал порядка функции двух переменных может быть найден по формуле

. (4.12)

Но если и не являются независимыми переменными, то формула (4.12) при
перестает быть верной.

Очевидно, что все рассуждения, проведенные в этом пункте для функции двух переменных, можно повторить и в случае функции большего числа аргументов. Следовательно, для функции дифференциал тоже может быть записан в двух видах:

причем вторая форма записи будет инвариантной, т.е. справедливой и в том случае, когда
являются не независимыми переменными, а промежуточными аргументами.

§ 6. Дифференцирование неявных функций

Говоря о способах задания функции одной и нескольких переменных, мы отмечали, что аналитическое задание функции может быть явным или неявным. В первом случае значение функции находится по известным значениям аргументов; во втором – значение функции и ее аргументов связаны некоторым уравнением. При этом мы не уточняли, когда уравнения

и

определяют неявно заданные функции и соответственно. Удобные для применения достаточные условия существования неявной функции переменных (
) содержатся в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 6.1 . (существования неявной функции) Пусть функция
и ее частные производные
определены и непрерывны в некоторой окрестности точки . Если
и
, то существует такая окрестность точки , в которой уравнение

определяет непрерывную функцию причем

1) Рассмотрим уравнение
. Условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки
. Следовательно, в некоторой окрестности точки
это уравнение определяет как неявную функцию двух переменных и . Явное выражение этой функции легко получить, разрешив уравнение относительно :

2) Рассмотрим уравнение
. Оно определяет две функции двух переменных и . Действительно, условия теоремы выполняются, например, в любой окрестности точки

, в которой заданное уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке значение
.

С другой стороны, условия теоремы выполняются в любой окрестности точки
. Следовательно, в некоторой окрестности точки уравнение определяет непрерывную функцию, принимающую в точке значение
.

Так как функция не может принимать в одной точке два значения, значит здесь идет речь о двух различных функциях
и соответственно. Найдем их явные выражения. Для этого разрешим исходное уравнение относительно . Получим

3) Рассмотрим уравнение
. Очевидно, что условия теоремы выполняются в любой окрестности точки
. Следовательно, найдется такая окрестность точки
, в которой уравнение определяет как неявную функцию переменной . Получить явное выражение для этой функции невозможно, так как уравнение нельзя разрешить относительно .

4) Уравнение
не определяет никакой неявной функции, так как нет таких пар действительных чисел и , которые ему удовлетворяют.

Функция
, заданная уравнением
, согласно теореме 6.1, имеет в окрестности точки непрерывные частные производные по всем аргументам. Выясним, как можно их найти, не имея явного задания функции.

Пусть функция
удовлетворяет условиям теоремы 6.1. Тогда уравнение
непрерывную функцию
. Рассмотрим сложную функцию
, где . Функция является сложной функцией одной переменной , причем если
, то

(6.1)

С другой стороны, по формуле (5.3) для вычисления полной производной
(6.2)

Из (6.1) и (6.2) получаем, что если , то

(6.3)

Замечание. Делить на можно, так как согласно теореме 6.1
в любой точке окрестности .

ПРИМЕР. Найти производную неявной функции , заданной уравнением и вычислить ее значение при
.

,
.

Подставив частные производные в формулу (6.3), получим

.

Далее, подставляя в исходное уравнение , найдем два значения :
и
.

Следовательно, в окрестности точки уравнение определяет две функции:
и
, где
,
. Их производные при будут равны

и
.

Пусть теперь уравнение
определяет в некоторой окрестности точки
функцию . Найдем . Напомним, что фактически это обыкновенная производная функции , рассматриваемой как функция переменной при постоянном значении . Поэтому мы можем применить для нахождения формулу (6.3), считая функцией, – аргументом, – константой. Получим

. (6.4)

Аналогично, считая функцией, – аргументом, – константой по формуле (6.3) находим

. (6.5)

ПРИМЕР. Найти частные производные функции , заданной уравнением
.

,
,
.

Пользуясь формулами (6.4) и (6.5), получим

,
.

И, наконец, рассмотрим общий случай, когда уравнение

определяет в некоторой окрестности точки функцию переменных . Повторяя рассуждения, проведенные для неявно заданной функции двух переменных, получим

,
, …,
.

§ 7. Производная по направлению

1. Производная по направлению.

Пусть функция двух переменных определена в некоторой области
плоскости
, – точка области , –вектор любого направления. Перейдем из точки
в точку в направлении вектора . Функция получит при этом приращение

Разделим приращение функции
на длину отрезка смещения
. Полученное отношение
дает среднюю скорость изменения функции на участке
. Тогда предел этого отношения при
(если он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции в точке
в направлении вектора . Его называют производной функции в точке по направлению вектора и обозначают
или
.

Помимо величины скорости изменения функции, позволяет определить и характер изменения функции в точке в направлении вектора (возрастание или убывание):

Доказываются эти утверждения также, как и подобные для функции одной переменной.

Заметим, что частные производные функции являются частным случаем производной по направлению. А именно,
это производная функции по направлению вектора (направлению оси
), – производная функции по направлению вектора (направлению оси
).

Предположим, что функция дифференцируема в точке . Тогда

где – бесконечно малая при
.

) мы уже неоднократно сталкивались с частными производными сложных функций наподобие и более трудными примерами. Так о чём же ещё можно рассказать?! …А всё как в жизни – нет такой сложности, которую было бы нельзя усложнить =) Но математика – на то и математика, чтобы укладывать многообразие нашего мира в строгие рамки. И иногда это удаётся сделать одним-единственным предложением:

В общем случае сложная функция имеет вид , где, по меньшей мере, одна из букв представляет собой функцию , которая может зависеть от произвольного количества переменных.

Минимальный и самый простой вариант – это давно знакомая сложная функция одной переменной, производную которой мы научились находить в прошлом семестре. Навыками дифференцирования функций вы тоже обладаете (взгляните на те же функции ) .

Таким образом, сейчас нас будет интересовать как раз случай . По причине великого разнообразия сложных функций общие формулы их производных имеют весьма громоздкий и плохо усваиваемый вид. В этой связи я ограничусь конкретными примерами, из которых вы сможете понять общий принцип нахождения этих производных:

Пример 1

Дана сложная функция , где . Требуется:
1) найти её производную и записать полный дифференциал 1-го порядка;
2) вычислить значение производной при .

Решение : во-первых, разберёмся с самой функцией. Нам предложена функция, зависящая от и , которые в свою очередь являются функциями одной переменной:

Во-вторых, обратим пристальное внимание на само задание – от нас требуется найти производнУЮ , то есть, речь идёт вовсе не о частных производных , которые мы привыкли находить! Так как функция фактически зависит только от одной переменной, то под словом «производная» подразумевается полная производная . Как её найти?

Первое, что приходит на ум, это прямая подстановка и дальнейшее дифференцирование. Подставим в функцию :
, после чего с искомой производной никаких проблем:

И, соответственно, полный дифференциал:

Это решение математически корректно, но маленький нюанс состоит в том, что когда задача формулируется так, как она сформулирована – такого варварства от вас никто не ожидает =) А если серьёзно, то придраться тут действительно можно. Представьте, что функция описывает полёт шмеля, а вложенные функции меняются в зависимости от температуры. Выполняя прямую подстановку , мы получаем лишь частную информацию , которая характеризует полёт, скажем, только в жаркую погоду. Более того, если человеку не сведущему в шмелях предъявить готовый результат и даже сказать, что это за функция, то он так ничего и не узнает о фундаментальном законе полёта!

Вот так вот совершенно неожиданно брат наш жужжащий помог осознать смысл и важность универсальной формулы:

Привыкайте к «двухэтажным» обозначениям производных – в рассматриваемом задании в ходу именно они. При этом следует быть очень аккуратным в записи: производные с прямыми значками «дэ» – это полные производные , а производные с округлыми значками – это частные производные . С последних и начнём:

Ну а с «хвостами» вообще всё элементарно:

Подставим найденные производные в нашу формулу:

Когда функция изначально предложена в замысловатом виде, то будет логичным (и тому дано объяснение выше!) оставить в таком же виде и результаты:

При этом в «навороченных» ответах лучше воздержаться даже от минимальных упрощений (тут, например, напрашивается убрать 3 минуса) – и вам работы меньше, и мохнатый друг доволен рецензировать задание проще.

Однако не лишней будет черновая проверка. Подставим в найденную производную и проведём упрощения:


(на последнем шаге использованы тригонометрические формулы , )

В результате получен тот же результат, что и при «варварском» методе решения.

Вычислим производную в точке . Сначала удобно выяснить «транзитные» значения (значения функций ) :

Теперь оформляем итоговые расчёты, которые в данном случае можно выполнить по-разному. Использую интересный приём, в котором 3 и 4 «этажа» упрощаются не по обычным правилам , а преобразуются как частное двух чисел:

И, конечно же, грех не проверить по более компактной записи :

Ответ :

Бывает, что задача предлагается в «полуобщем» виде:

«Найти производную функции , где »

То есть «главная» функция не дана, но её «вкладыши» вполне конкретны. Ответ следует дать в таком же стиле:

Более того, условие могут немного подшифровать:

«Найти производную функции »

В этом случае нужно самостоятельно обозначить вложенные функции какими-нибудь подходящими буквами, например, через и воспользоваться той же формулой:

К слову, о буквенных обозначениях. Я уже неоднократно призывал не «цепляться за буквы», как за спасательный круг, и сейчас это особенно актуально! Анализируя различные источники по теме, у меня вообще сложилось впечатление, что авторы «пошли вразнос» и стали безжалостно бросать студентов в бурные пучины математики =) Так что уж простите:))

Пример 2

Найти производную функции , если

Другие обозначения не должны приводить в замешательство! Каждый раз, когда вы встречаете подобное задание, нужно ответить на два простых вопроса:

1) От чего зависит «главная» функция? В данном случае функция «зет» зависит от двух функций («у» и «вэ»).

2) От каких переменных зависят вложенные функции? В данном случае оба «вкладыша» зависят только от «икса».

Таким образом, у вас не должно возникнуть трудностей, чтобы адаптировать формулу к этой задаче!

Краткое решение и ответ в конце урока.

Дополнительные примеры по первому виду можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.1) , ну а мы берём курс на функцию трёх переменных :

Пример 3

Дана функция , где .
Вычислить производную в точке

Формула производной сложной функции , как многие догадываются, имеет родственный вид:

Решайте, раз догадались =)

На всякий случай приведу и общую формулу для функции :
, хотя на практике вы вряд ли встретите что-то длиннее Примера 3.

Кроме того, иногда приходится дифференцировать «урезанный» вариант – как правило, функцию вида либо . Оставляю вам этот вопрос для самостоятельного исследования – придумайте какую-нибудь простенькие примеры, подумайте, поэкспериментируйте и выведите укороченные формулы производных.

Если что-то осталось недопонятым, пожалуйста, неторопливо перечитайте и осмыслите первую часть урока, поскольку сейчас задача усложнится:

Пример 4

Найти частные производные сложной функции , где

Решение : данная функция имеет вид , и после прямой подстановки и мы получаем привычную функцию двух переменных:

Но такой страх не то чтобы не принято, а уже и не хочется дифференцировать =) Поэтому воспользуемся готовыми формулами. Чтобы вы быстрее уловили закономерность, я выполню некоторые пометки:

Внимательно просмотрите картинку сверху вниз и слева направо….

Сначала найдём частные производные «главной» функции:

Теперь находим «иксовые» производные «вкладышей»:

и записываем итоговую «иксовую» производную:

Аналогично с «игреком»:

и

Можно придерживаться и другого стиля – сразу найти все «хвосты» и потом записать обе производные.

Ответ :

О подстановке что-то как-то совсем не думается =) =), а вот причесать результаты немножко можно. Хотя, опять же, зачем? – только усложните проверку преподавателю.

Если потребуется, то полный дифференциал тут записывается по обычной формуле, и, кстати, как раз на данном шаге становится уместной лёгкая косметика:


Такой вот... ....гроб на колёсиках.

Ввиду популярности рассматриваемой разновидности сложной функции пара заданий для самостоятельного решения. Более простой пример в «полуобщем» виде – на понимание самой формулы;-):

Пример 5

Найти частные производные функции , где

И посложнее – с подключением техники дифференцирования:

Пример 6

Найти полный дифференциал функции , где

Нет, я вовсе не пытаюсь «отправить вас на дно» – все примеры взяты из реальных работ, и «в открытом море» вам могут попасться какие угодно буквы. В любом случае потребуется проанализировать функцию (ответив на 2 вопроса – см. выше) , представить её в общем виде и аккуратно модифицировать формулы частных производных. Возможно, сейчас немного попутаетесь, но зато поймёте сам принцип их конструирования! Ибо настоящие задачи только начинаются:)))

Пример 7

Найти частные производные и составить полный дифференциал сложной функции
, где

Решение : «главная» функция имеет вид и по-прежнему зависит от двух переменных – «икса» и «игрека». Но по сравнению с Примером 4, добавилась ещё одна вложенная функция, и поэтому формулы частных производных тоже удлиняются. Как и в том примере, для лучшего вИдения закономерности, я выделю «главные» частные производные различными цветами:

И снова – внимательно изучите запись сверху вниз и слева направо.

Так как задача сформулирована в «полуобщем» виде, то все наши труды, по существу, ограничиваются нахождением частных производных вложенных функций:

Справится первоклассник:

И даже полный дифференциал получился вполне себе симпатичный:

Я специально не стал предлагать вам какую-то конкретную функцию – чтобы лишние нагромождения не помешали хорошо разобраться в принципиальной схеме задачи.

Ответ :

Довольно часто можно встретить «разнокалиберные» вложения, например:

Здесь «главная» функция хоть и имеет вид , но всё равно зависит и от «икс», и от «игрек». Поэтому работают те же самые формулы – просто некоторые частные производные будут равны нулю. Причём, это справедливо и для функций вроде , у которых каждый «вкладыш» зависит от какой-то одной переменной.

Похожая ситуация имеет место и в двух заключительных примерах урока:

Пример 8

Найти полный дифференциал сложной функции в точке

Решение : условие сформулировано «бюджетным» образом, и мы должны сами обозначить вложенные функции. По-моему, неплохой вариант:

Во «вкладышах» присутствуют (ВНИМАНИЕ! ) ТРИ буквы – старые-добрые «икс-игрек-зет», а значит, «главная» функция фактически зависит от трёх переменных. Её можно формально переписать в виде , и частные производные в этом случае определяются следующими формулами:

Сканируем, вникаем, улавливаем….

В нашей задаче: