Jak rozwiązać rząd macierzy. Znajdź rangę macierzy: metody i przykłady

W tym artykule omówione zostanie takie pojęcie jak ranga macierzy oraz niezbędne pojęcia dodatkowe. Podamy przykłady i dowody na znalezienie rangi macierzy, a także powiemy, co to jest macierz minor i dlaczego jest tak ważna.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Macierz mniejsza

Aby zrozumieć, czym jest rząd macierzy, konieczne jest zrozumienie takiego pojęcia, jak macierz drugorzędna.

Definicja 1

Mniejszykmacierz rzędu - wyznacznik macierzy kwadratowej rzędu k × k, która składa się z elementów macierzy A, znajdujących się we wcześniej wybranych k-wierszach i k-kolumnach, przy zachowaniu położenia elementów macierzy A.

Mówiąc najprościej, jeśli usuniemy (pk) wiersze i (nk) kolumny w macierzy A i utworzymy macierz z tych elementów, które pozostały, zachowując układ elementów macierzy A, to wyznacznikiem macierzy wynikowej jest minor rzędu k macierzy A.

Z przykładu wynika, że ​​podrzędnymi pierwszego rzędu macierzy A są same elementy macierzy.

Możemy podać kilka przykładów nieletnich II rzędu. Wybierzmy dwa rzędy i dwie kolumny. Na przykład 1. i 2. wiersz, 3. i 4. kolumna.

Przy takim wyborze elementów drugorzędny drugiego rzędu będzie - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Kolejny drugorzędny drugorzędny macierzy A to 0 0 1 1 = 0

Podajmy ilustracje budowy nieletnich drugorzędnych macierzy A:

Drugorzędny stopień trzeciego rzędu uzyskuje się usuwając trzecią kolumnę macierzy A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 -0 × 2 × (- 4) = - 9

Ilustracja, w jaki sposób otrzymuje się moll trzeciego rzędu macierzy A:

Dla danej macierzy nie ma małoletnich wyższych niż III rzędu, ponieważ

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Ile podrzędnych k-tego rzędu jest dla macierzy A rzędu p×n?

Liczbę nieletnich oblicza się według następującego wzoru:

C p k × C n k , g e C p k = p ! k! (p - k) ! i C nk = n ! k! (n - k) ! - liczba kombinacji odpowiednio od p do k, od n do k.

Po ustaleniu, jakie są minory macierzy A, możemy przystąpić do wyznaczania rangi macierzy A.

Ranga macierzowa: metody znajdowania

Definicja 2

Ranga macierzy - najwyższy rząd macierzy inny niż zero.

Oznaczenie 1

stopień (A), Rg(A), Rang(A).

Z definicji rzędu macierzy i minora macierzy staje się jasne, że rząd macierzy zerowej jest równy zeru, a rząd macierzy niezerowej różni się od zera.

Znajdowanie rangi macierzy z definicji

Definicja 3

Drobna metoda wyliczania - metoda oparta na wyznaczeniu rangi macierzy.

Algorytm działań przez liczenie nieletnich :

Konieczne jest znalezienie rangi macierzy A rzędu P× n. Jeśli istnieje co najmniej jeden niezerowy element, to ranga macierzy jest co najmniej równa jeden ( bo jest molem pierwszego rzędu, który nie jest równy zero).

Następnie następuje wyliczenie nieletnich II rzędu. Jeśli wszystkie drugorzędne dzieci drugorzędne są równe zeru, to ranga jest równa jeden. Jeżeli jest co najmniej jedna niezerowa drugorzędna drugiego rzędu, należy przejść do wyliczenia drugorzędnych drugiego rzędu, a ranga macierzy w tym przypadku będzie równa co najmniej dwóm.

Zróbmy to samo z rangą trzeciego rzędu: jeśli wszystkie najmniejsze w macierzy są równe zeru, to rang będzie równy dwóm. Jeśli istnieje co najmniej jeden niezerowy drugorzędny trzeciorzędny, to ranga macierzy wynosi co najmniej trzy. I tak dalej, przez analogię.

Przykład 2

Znajdź rangę macierzy:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Ponieważ macierz jest niezerowa, jej ranga jest co najmniej równa jeden.

Drugorzędny drugorzędny - 1 1 2 2 = (-1) × 2 - 1 × 2 = 4 jest niezerowe. Oznacza to, że rząd macierzy A wynosi co najmniej dwa.

Sortujemy nieletnich trzeciego rzędu: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 sztuk.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (-7) - 1 × (-4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (-7) - 1 × (-4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Młodsze trzeciego rzędu wynoszą zero, więc ranga macierzy wynosi dwa.

Odpowiedź : Ranga (A) = 2.

Znalezienie rangi macierzy metodą marginalizacji nieletnich

Definicja 3

Metoda frędzlowania drobnego - metoda, która pozwala uzyskać wynik przy mniejszej ilości pracy obliczeniowej.

z frędzlami - podrzędna M ok (k + 1) -ty rząd macierzy A, który graniczy z podrzędną M rzędu k macierzy A, jeśli macierz odpowiadająca podrzędnej M ok "zawiera" macierz odpowiadającą podrzędnej M.

Mówiąc najprościej, macierz odpowiadająca graniczącemu mniejszemu M jest otrzymywana z macierzy odpowiadającej graniczącemu mniejszemu Mok przez usunięcie elementów jednego wiersza i jednej kolumny.

Przykład 3

Znajdź rangę macierzy:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Aby znaleźć rangę, bierzemy drugorzędne drugorzędne M = 2 - 1 4 1

Zapisujemy wszystkich nieletnich z pogranicza:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Dla uzasadnienia metody graniczenia nieletnich przedstawiamy twierdzenie, którego sformułowanie nie wymaga podstawy dowodowej.

Twierdzenie 1

Jeżeli wszystkie elementy drugorzędne graniczące z mniejszym k-tego rzędu macierzy A rzędu p przez n są równe zeru, to wszystkie elementy drugorzędne rzędu (k + 1) macierzy A są równe zeru.

Algorytm działania :

Aby znaleźć rangę matrycy, nie trzeba przechodzić przez wszystkie drugorzędne, wystarczy spojrzeć na granice.

Jeżeli graniczące nieletnie są równe zero, to ranga macierzy wynosi zero. Jeśli istnieje co najmniej jeden nieletni, który nie jest równy zeru, wówczas rozważamy graniczących nieletnich.

Jeśli wszystkie mają wartość zero, to Ranga (A) wynosi dwa. Jeśli istnieje co najmniej jeden nieletni graniczący z wartością niezerową, wówczas przystępujemy do rozważania jego graniczących nieletnich. I tak dalej, w podobny sposób.

Przykład 4

Znajdź rangę macierzy metodą marginalizacji nieletnich

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Jak zdecydować?

Ponieważ element a 11 macierzy A nie jest równy zero, to bierzemy minor pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać graniczącego nieletniego innego niż zero:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Znaleźliśmy graniczący drugorzędny drugiego rzędu, który nie jest równy zero 2 0 4 1 .

Wymieńmy graniczące nieletnie - (jest ich (4 - 2) × (5 - 2) = 6 sztuk.

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Odpowiedź : Ranga(A) = 2.

Znajdowanie rzędu macierzy metodą Gaussa (przy użyciu przekształceń elementarnych)

Przypomnij sobie, czym są transformacje elementarne.

Przekształcenia elementarne:

• zmieniając kolejność wierszy (kolumn) macierzy;
• mnożąc wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) macierzy przez dowolną liczbę niezerową k;

przez dodanie do elementów dowolnego wiersza (kolumny) elementów, które odpowiadają innemu wierszowi (kolumnie) macierzy, które są pomnożone przez dowolną liczbę k.

Definicja 5

Znajdowanie rzędu macierzy metodą Gaussa - metoda oparta na teorii równoważności macierzy: jeśli macierz B otrzymuje się z macierzy A za pomocą skończonej liczby przekształceń elementarnych, to Rank(A) = Rank(B).

Ważność tego stwierdzenia wynika z definicji macierzy:

• w przypadku permutacji wierszy lub kolumn macierzy, jej wyznacznik zmienia znak. Jeśli jest równy zero, to podczas permutacji wierszy lub kolumn pozostaje równy zero;
• w przypadku pomnożenia wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) macierzy przez dowolną liczbę k, która nie jest równa zeru, wyznacznik macierzy wynikowej jest równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej, która jest mnożona przez k;

w przypadku dodania do elementów pewnego wiersza lub kolumny macierzy odpowiednich elementów innego wiersza lub kolumny, które są pomnożone przez liczbę k, nie zmienia jej wyznacznika.

Istota metody elementarnych przekształceń : sprowadzić macierz, której rangę należy znaleźć, do trapezoidalnej za pomocą przekształceń elementarnych.

Po co?

Ranga tego rodzaju macierzy jest dość łatwa do odnalezienia. Jest równa liczbie wierszy, które mają co najmniej jeden element inny niż null. A ponieważ ranga nie zmienia się podczas przekształceń elementarnych, będzie to ranga macierzy.

Zilustrujmy ten proces:

• dla macierzy prostokątnych A rzędu p przez n, których liczba wierszy jest większa od liczby kolumn:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , Ranga (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , Ranga (A) = k

• dla macierzy prostokątnych A rzędu p przez n, których liczba wierszy jest mniejsza niż liczba kolumn:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn , R ank (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• dla macierzy kwadratowych A rzędu n przez n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , Ranga (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , Ranga (A) = k , k< n

Przykład 5

Znajdź rząd macierzy A za pomocą przekształceń elementarnych:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Jak zdecydować?

Ponieważ element a 11 jest niezerowy, konieczne jest pomnożenie elementów pierwszego rzędu macierzy A przez 1 a 11 \u003d 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Do elementów drugiego rzędu dodajemy odpowiednie elementy pierwszego rzędu, które są pomnożone przez (-3). Do elementów 3. rzędu dodajemy elementy 1. rzędu, które są pomnożone przez (-1):

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Element a 22 (2) jest niezerowy, więc mnożymy elementy drugiego rzędu macierzy A przez A (2) przez a 1 a 22 (2) = - 2 3:

(3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Do elementów trzeciego rzędu wynikowej macierzy dodajemy odpowiednie elementy drugiego rzędu, które są pomnożone przez 3 2 ;
• do elementów czwartego rzędu - elementy drugiego rzędu, które są pomnożone przez 9 2 ;
• do elementów 5 rzędu - elementy 2 rzędu, które są pomnożone przez 3 2 .

Wszystkie elementy wiersza mają wartość zero. Tak więc za pomocą przekształceń elementarnych sprowadziliśmy macierz do postaci trapezowej, z której widać, że R a n k (A (4)) = 2 . Wynika z tego, że ranga macierzy oryginalnej również jest równa dwa.

Komentarz

Jeśli przeprowadzasz transformacje elementarne, to wartości przybliżone są niedozwolone!

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Twierdzenie (o poprawności definicji rang). Niech wszyscy nieletni macierzowi m × n (\displaystyle A_(m\razy n)) zamówienie k (\styl wyświetlania k) są równe zero ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Następnie ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0) jeśli istnieją. Wzór:/ramka

Powiązane definicje

Nieruchomości

• Twierdzenie (na podstawie mniejszej): Pozwalać r = zadzwonił ⁡ A , M r (\displaystyle r=\operator (zadzwonił) A,M_(r))- podstawa minor macierzy A (\styl wyświetlania A), następnie:
• Konsekwencje:
• Twierdzenie (o niezmienności rang przy przekształceniach elementarnych): Wprowadźmy notację dla macierzy otrzymanych od siebie przez przekształcenia elementarne . Wtedy stwierdzenie jest prawdziwe: Jeśli A ∼ B (\displaystyle A\sim B), to ich rangi są równe.
• Twierdzenie  Kronecker - Cappelli: Układ liniowych równań algebraicznych jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd jego macierzy głównej jest równy rządowi jego macierzy rozszerzonej. W szczególności:
  • Liczba głównych zmiennych systemu jest równa randze systemu.
  • System spójny zostanie zdefiniowany (jego rozwiązanie jest jednoznaczne), jeśli ranga systemu będzie równa liczbie wszystkich jego zmiennych.
• Nierówność Sylvester: Jeśli A oraz b macierze rozmiarów m x n oraz n x k, następnie

r za n k A B ≥ r za n k A + r za n k B − n (\displaystyle rankAB\geq rankA+rankB-n)

Jest to szczególny przypadek następującej nierówności.

• Nierówność Frobenius: Jeśli AB, BC, ABC są dobrze zdefiniowane, to

r za n k A B C ≥ r za n k A B + r za n k B C − r za n k B (\displaystyle rankABC\geq rankAB+rankBC-rankB)

Transformacja liniowa i rząd macierzy

Pozwalać A (\styl wyświetlania A)- macierz rozmiarów m × n (\ Displaystyle m \ razy n) nad polem C (\displaystyle C)(lub R (\ Displaystyle R)). Pozwalać T (\displaystyle T) jest transformacją liniową odpowiadającą A (\styl wyświetlania A) w standardowej podstawie; to znaczy, że T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Ranga macierzy A (\styl wyświetlania A) jest wymiarem zakresu transformacji T (\displaystyle T).

Metody

Istnieje kilka metod znajdowania rangi macierzy:

• Metoda przekształceń elementarnych

Ranga macierzy jest równa liczbie niezerowych wierszy w macierzy po jej zredukowaniu do postaci schodkowej za pomocą przekształceń elementarnych nad wierszami macierzy.

• Metoda frędzlowania drobnego

Wpuść matrycę A (\styl wyświetlania A) niezerowe znalezione drobne k (\styl wyświetlania k)-tego rzędu M (\styl wyświetlania M). Weź pod uwagę wszystkich nieletnich (k + 1) (\displaystyle (k+1)) porządek, w tym (otoczenie) drobne M (\styl wyświetlania M); jeśli wszystkie są równe zeru, to rząd macierzy wynosi k (\styl wyświetlania k). W przeciwnym razie wśród nieletnich z pogranicza występuje niezerowy i cała procedura się powtarza.

Definicja. Ranga macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy traktowanych jako wektory.

Twierdzenie 1 o rzędzie macierzy. Ranga macierzy jest maksymalnym rzędem niezerowej podrzędnej macierzy.

Pojęcie nieletniego omówiliśmy już w lekcji o uwarunkowaniach, a teraz uogólnimy je. Weźmy kilka wierszy i kilka kolumn w macierzy, a to „coś” powinno być mniejsze niż liczba wierszy i kolumn w macierzy, a dla wierszy i kolumn to „coś” powinno mieć tę samą liczbę. Następnie na przecięciu ile wierszy i ile kolumn będzie macierz mniejszego rzędu niż nasza pierwotna macierz. Wyznacznikiem tej macierzy będzie mała część k-tego rzędu, jeśli wspomniane „coś” (liczba wierszy i kolumn) oznaczymy przez k.

Definicja. Mniejszy ( r+1)-ty rząd, w którym leży wybrany nieletni r-ty rząd nazywany jest granicznym dla danego nieletniego.

Dwie najczęściej stosowane metody znalezienie rangi macierzy. Ten sposób na frędzlowanie nieletnich oraz metoda elementarnych przekształceń(metodą Gaussa).

Metoda graniczących nieletnich wykorzystuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2 o rządzie macierzy. Jeśli możliwe jest skomponowanie minora z elementów matrycy r rzędu, który nie jest równy zero, to rząd macierzy jest równy r.

Przy metodzie przekształceń elementarnych wykorzystywana jest następująca właściwość:

Jeżeli na drodze przekształceń elementarnych otrzymamy macierz trapezoidalną równoważną macierzystej pierwotnej, to ranga tej macierzy to liczba linii w nim z wyjątkiem linii składających się wyłącznie z zer.

Znalezienie rangi macierzy metodą graniczących nieletnich

Za małoletniego graniczącego uważa się małoletniego wyższego rzędu w stosunku do danego, jeżeli ten małoletni wyższego rzędu zawiera danego małoletniego.

Na przykład, biorąc pod uwagę macierz

Weźmy nieletniego

obrzeża będą takie nieletnie:

Algorytm znajdowania rzędu macierzy Następny.

1. Znajdujemy nieletnich drugiego rzędu, które nie są równe zeru. Jeżeli wszystkie drugorzędne drugorzędne są równe zero, to ranga macierzy będzie równa jeden ( r =1 ).

2. Jeśli istnieje co najmniej jeden nieletni drugiego rzędu, który nie jest równy zero, to tworzymy graniczące z nim nieletnie dzieci trzeciego rzędu. Jeśli wszystkie nieletnie graniczące trzeciego rzędu mają wartość zero, to ranga macierzy wynosi dwa ( r =2 ).

3. Jeżeli co najmniej jeden z graniczących z nim nieletnich trzeciego rzędu nie jest równy zero, to komponujemy nieletnich graniczących z nim. Jeśli wszystkie graniczące nieletnie czwartego rzędu mają wartość zero, to ranga macierzy wynosi trzy ( r =2 ).

4. Kontynuuj tak długo, jak pozwala na to rozmiar matrycy.

Przykład 1 Znajdź rangę macierzy

.

Rozwiązanie. Nieletni drugiego rzędu .

Oprawiamy to. Będzie czterech nieletnich z granicy:

,

,

Tak więc wszystkie graniczące nieletnie dzieci trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga tej macierzy wynosi dwa ( r =2 ).

Przykład 2 Znajdź rangę macierzy

Rozwiązanie. Ranga tej macierzy wynosi 1, ponieważ wszystkie nieletnie drugorzędne tej macierzy są równe zeru (w tym, podobnie jak w przypadku nieletnich graniczących w kolejnych dwóch przykładach, drodzy studenci są proszeni o weryfikację dla siebie, być może stosując zasady obliczania wyznaczników), a wśród drugorzędnych drugorzędnych, czyli wśród elementów macierzy, nie są równe zero.

Przykład 3 Znajdź rangę macierzy

Rozwiązanie. Drugorzędny drugorzędny tej macierzy jest, a wszystkie drugorzędne drugorzędne tej macierzy są zerowe. Dlatego ranga tej macierzy wynosi dwa.

Przykład 4 Znajdź rangę macierzy

Rozwiązanie. Ranga tej macierzy wynosi 3, ponieważ jedyny trzeci rzędu drugorzędny tej macierzy to 3.

Znajdowanie rzędu macierzy metodą przekształceń elementarnych (metodą Gaussa)

Już w przykładzie 1 widać, że problem wyznaczenia rangi macierzy metodą graniczących nieletnich wymaga obliczenia dużej liczby wyznaczników. Istnieje jednak sposób na zredukowanie ilości obliczeń do minimum. Ta metoda opiera się na wykorzystaniu elementarnych przekształceń macierzy i jest również nazywana metodą Gaussa.

Przekształcenia elementarne macierzy oznaczają następujące operacje:

1) pomnożenie dowolnego wiersza lub dowolnej kolumny macierzy przez liczbę inną niż zero;

2) dodanie do elementów dowolnego wiersza lub dowolnej kolumny macierzy odpowiednich elementów innego wiersza lub kolumny, pomnożonych przez tę samą liczbę;

3) zamiana dwóch wierszy lub kolumn macierzy;

4) usuwanie wierszy „null”, to znaczy tych, których wszystkie elementy są równe zeru;

5) wykreślenie wszystkich linii proporcjonalnych, z wyjątkiem jednej.

Twierdzenie. Transformacja elementarna nie zmienia rangi macierzy. Innymi słowy, jeśli użyjemy przekształceń elementarnych z macierzy A przejdź do matrycy b, następnie .

Ranga macierzy jest ważną cechą liczbową. Najbardziej typowym problemem wymagającym znalezienia rzędu macierzy jest sprawdzenie zgodności układu liniowych równań algebraicznych. W tym artykule podamy pojęcie rangi macierzy i rozważymy metody jej znajdowania. Dla lepszego przyswojenia materiału przeanalizujemy szczegółowo rozwiązania kilku przykładów.

Nawigacja po stronach.

Wyznaczenie rangi macierzy i niezbędnych pojęć dodatkowych.

Przed wypowiedzeniem definicji rangi macierzy należy dobrze zrozumieć pojęcie nieletniego, a znalezienie nieletnich macierzy implikuje umiejętność obliczenia wyznacznika. Zalecamy więc, jeśli to konieczne, przywołać teorię artykułu, metody znajdowania wyznacznika macierzy, własności wyznacznika.

Weź macierz A porządku . Niech k będzie pewną liczbą naturalną nieprzekraczającą najmniejszej z liczb m i n , czyli .

Definicja.

Mniejsze k-te zamówienie macierz A jest wyznacznikiem kwadratowej macierzy porządku , składającej się z elementów macierzy A, które znajdują się we wstępnie wybranych k rzędach i k kolumnach, a położenie elementów macierzy A jest zachowane.

Innymi słowy, jeśli usuniemy (p–k) wierszy i (n–k) kolumn w macierzy A i utworzymy macierz z pozostałych elementów, zachowując układ elementów macierzy A, to wyznacznikiem wynikowej macierzy jest ​​moll rzędu k macierzy A.

Przyjrzyjmy się definicji macierzy pomocniczej na przykładzie.

Rozważ macierz .

Zapiszmy kilka drugorzędnych drugorzędnych w tej macierzy. Na przykład, jeśli wybierzemy trzeci wiersz i drugą kolumnę macierzy A, to nasz wybór odpowiada drugorzędnej . Innymi słowy, aby uzyskać tę mniejszą, skreśliliśmy pierwszy i drugi wiersz, a także pierwszą, trzecią i czwartą kolumnę z macierzy A, az pozostałego elementu wymyśliliśmy wyznacznik. Jeśli wybierzemy pierwszy wiersz i trzecią kolumnę macierzy A, to otrzymamy małą .

Zilustrujmy procedurę uzyskiwania uznanych nieletnich pierwszorzędowych
oraz .

W ten sposób drugorzędne pierwszego rzędu macierzy są same elementy macierzy.

Pokażmy kilku nieletnich drugiego rzędu. Wybierz dwa wiersze i dwie kolumny. Na przykład weź pierwszy i drugi wiersz oraz trzecią i czwartą kolumnę. Przy takim wyborze mamy drugorzędnego nieletniego . Ta podrzędna może być również utworzona przez usunięcie trzeciego wiersza, pierwszej i drugiej kolumny z macierzy A.

Innym drugorzędnym drugorzędnym macierzy A jest .

Zilustrujmy budowę tych nieletnich drugorzędnych
oraz .

Podobnie można znaleźć młodsze trzeciego rzędu macierzy A. Ponieważ w macierzy A są tylko trzy wiersze, wybieramy je wszystkie. Jeśli wybierzemy pierwsze trzy kolumny dla tych wierszy, otrzymamy minor trzeciego rzędu

Można go również zbudować, usuwając ostatnią kolumnę macierzy A.

Innym nieletnim trzeciego rzędu jest

uzyskany przez usunięcie trzeciej kolumny macierzy A.

Oto rysunek przedstawiający budowę tych nieletnich trzeciego rzędu
oraz .

Dla danej macierzy A nie ma drugorzędnych rzędu wyższego niż trzecia, ponieważ .

Ile istnieje podrzędnych k-tego rzędu macierzy A rzędu?

Liczbę rzędu k małoletnich można obliczyć jako , gdzie oraz - liczba kombinacji odpowiednio od p do k i od n do k.

Jak skonstruować wszystkie podrzędne rzędu k macierzy A rzędu p na n?

Potrzebujemy zestawu numerów wierszy macierzy i zestawu numerów kolumn. Nagrywanie wszystkiego kombinacje p elementów przez k(będą odpowiadać wybranym wierszom macierzy A przy konstruowaniu minora rzędu k). Do każdej kombinacji numerów wierszy dodajemy kolejno wszystkie kombinacje n elementów przez k numerów kolumn. Te zestawy kombinacji numerów rzędów i numerów kolumn macierzy A pomogą skomponować wszystkie drugorzędne rzędu k.

Weźmy przykład.

Przykład.

Znajdź wszystkie drugorzędne drugorzędne w macierzy.

Rozwiązanie.

Ponieważ kolejność oryginalnej matrycy wynosi 3 na 3, całkowita liczba nieletnich drugorzędnych będzie .

Zapiszmy wszystkie kombinacje od 3 do 2 numerów wierszy macierzy A: 1, 2; 1, 3 i 2, 3. Wszystkie kombinacje numerów kolumn 3 na 2 to 1, 2 ; 1, 3 i 2, 3.

Weź pierwszy i drugi wiersz macierzy A. Wybierając pierwszą i drugą kolumnę dla tych wierszy, pierwszą i trzecią kolumnę, drugą i trzecią kolumnę, otrzymujemy odpowiednio małe

Dla pierwszego i trzeciego rzędu, z podobnym wyborem kolumn, mamy

Pozostaje dodać pierwszą i drugą, pierwszą i trzecią, drugą i trzecią kolumnę do drugiego i trzeciego wiersza:

Tak więc znaleziono wszystkie dziewięć nieletnich drugiego rzędu macierzy A.

Teraz możemy przejść do określenia rangi macierzy.

Definicja.

Ranga macierzy jest najwyższym rzędem niezerowej macierzy pomocniczej.

Ranga macierzy A jest oznaczona jako Rank(A) . Możesz również zobaczyć oznaczenia Rg(A) lub Rang(A) .

Z definicji rzędu macierzy i minora macierzy możemy wywnioskować, że rząd macierzy zerowej jest równy zeru, a rząd macierzy niezerowej jest co najmniej jeden.

Znajdowanie rangi macierzy z definicji.

Tak więc pierwszą metodą znalezienia rangi macierzy jest drobna metoda wyliczania. Metoda ta opiera się na określeniu rangi macierzy.

Musimy znaleźć rząd macierzy A porządku .

Opisz krótko algorytm rozwiązanie tego problemu metodą liczenia nieletnich.

Jeśli istnieje co najmniej jeden element macierzy, który jest niezerowy, to rząd macierzy jest co najmniej równy jeden (ponieważ istnieje element drugorzędny pierwszego rzędu, który nie jest równy zero).

Następnie iterujemy po drugorzędnych drugorzędnych. Jeśli wszystkie nieletnie drugorzędne są równe zeru, to ranga macierzy jest równa jeden. Jeśli istnieje co najmniej jeden niezerowy drugorzędny drugorzędny, to przechodzimy do wyliczenia drugorzędnych drugorzędnych, a ranga macierzy jest co najmniej równa dwóm.

Podobnie, jeśli wszystkie nieletnie dzieci trzeciego rzędu mają wartość zero, to ranga macierzy wynosi dwa. Jeśli istnieje co najmniej jeden niezerowy nieletni trzeciego rzędu, to ranga macierzy wynosi co najmniej trzy i przystępujemy do wyliczania nieletnich nieletnich czwartego rzędu.

Zauważ, że ranga macierzy nie może przekraczać najmniejszego z p i n.

Przykład.

Znajdź rangę macierzy .

Rozwiązanie.

Ponieważ macierz jest niezerowa, jej ranga jest nie mniejsza niż jeden.

Nieletni drugiego rzędu jest różny od zera, dlatego rząd macierzy A wynosi co najmniej dwa. Przechodzimy do wyliczenia nieletnich III rzędu. Wszyscy rzeczy.

Wszystkie osoby nieletnie trzeciego rzędu są równe zeru. Dlatego ranga macierzy wynosi dwa.

Odpowiedź:

Ranga(A) = 2 .

Znalezienie rangi macierzy metodą marginalizacji nieletnich.

Istnieją inne metody znajdowania rang macierzy, które pozwalają uzyskać wynik przy mniejszej ilości pracy obliczeniowej.

Jedną z tych metod jest drobna metoda z frędzlami.

Zajmijmy się pojęcie granicy nieletniego.

Mówi się, że podrzędna M ok (k+1)-tego rzędu macierzy A otacza podrzędną M rzędu k macierzy A, jeśli macierz odpowiadająca podrzędnej M ok „zawiera” macierz odpowiadającą podrzędnej M .

Innymi słowy, macierz odpowiadająca graniczącemu mniejszemu M jest otrzymywana z macierzy odpowiadającej graniczącemu mniejszemu Mok przez usunięcie elementów jednego wiersza i jednej kolumny.

Rozważmy na przykład macierz i weź nieletni drugiego rzędu. Zapiszmy wszystkich nieletnich z pogranicza:

Sposób graniczenia nieletnich jest uzasadniony następującym twierdzeniem (przedstawiamy jego sformułowanie bez dowodu).

Twierdzenie.

Jeżeli wszystkie elementy drugorzędne graniczące z mniejszym k-tego rzędu macierzy A rzędu p przez n są równe zeru, to wszystkie elementy drugorzędne rzędu (k + 1) macierzy A są równe zeru.

Tak więc, aby znaleźć rangę macierzy, nie trzeba wymieniać wszystkich małoletnich, które są wystarczająco graniczące. Liczbę minorów graniczących z k-tym rzędu minor macierzy A rzędu określa wzór . Zauważ, że nie ma więcej elementów podrzędnych graniczących z podrzędnymi k-tego rzędu macierzy A niż jest (k + 1) podrzędnych podrzędnych w macierzy A . Dlatego w większości przypadków zastosowanie metody graniczenia nieletnich jest bardziej opłacalne niż zwykłe wyliczenie wszystkich nieletnich.

Przejdźmy do znalezienia rangi macierzy metodą frędzli nieletnich. Opisz krótko algorytm Ta metoda.

Jeśli macierz A jest niezerowa, to każdy element macierzy A, który jest różny od zera, traktujemy jako element drugorzędny pierwszego rzędu. Uważamy, że graniczy z nieletnimi. Jeśli wszystkie są równe zeru, to ranga macierzy jest równa jeden. Jeśli istnieje co najmniej jeden graniczący z niezerem małoletni (jego kolejność jest równa dwóm), to przechodzimy do rozważenia jego graniczących małoletnich. Jeśli wszystkie są zerowe, to Ranga(A) = 2 . Jeśli co najmniej jeden graniczący nieletni jest niezerowy (jego kolejność jest równa trzy), to bierzemy pod uwagę jego graniczące nieletnie. Itp. W rezultacie Rank(A) = k, jeśli wszystkie graniczące elementy drugorzędne (k + 1) rzędu macierzy A są równe zeru, lub Rank(A) = min(p, n), jeśli istnieje niezerowa małoletni graniczący z drugorzędnym rzędu (min( p, n) – 1) .

Przeanalizujmy na przykładzie sposób obramowania małoletnich w celu znalezienia rangi macierzy.

Przykład.

Znajdź rangę macierzy metodą graniczących nieletnich.

Rozwiązanie.

Ponieważ element a 1 1 macierzy A jest niezerowy, traktujemy go jako element drugorzędny pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać graniczącego nieletniego innego niż zero:

Znaleziono niezerowy graniczący drugorzędny element drugorzędny. Wymieńmy jego graniczących nieletnich (ich rzeczy):

Wszystkie drugorzędne graniczące z drugorzędnym drugorzędnym są równe zero, dlatego rząd macierzy A jest równy dwa.

Odpowiedź:

Ranga(A) = 2 .

Przykład.

Znajdź rangę macierzy z pomocą nieletnich z pogranicza.

Rozwiązanie.

Jako niezerową moll pierwszego rzędu, bierzemy element a 1 1 = 1 macierzy A . Frędzle to drobne drugiego rzędu nie jest równe zeru. Ten nieletni graniczy z nieletnim trzeciego rzędu
. Ponieważ nie jest równa zeru i nie ma dla niego granicy mniejszej, rząd macierzy A jest równy trzy.

Odpowiedź:

Ranga(A) = 3 .

Znajdowanie rangi za pomocą elementarnych przekształceń macierzy (metodą Gaussa).

Rozważ inny sposób na znalezienie rangi macierzy.

Następujące przekształcenia macierzy nazywane są elementarnymi:

• permutacja wierszy (lub kolumn) macierzy;
• pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) macierzy przez dowolną liczbę k różną od zera;
• dodanie do elementów dowolnego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) macierzy pomnożonej przez dowolną liczbę k.

Macierz B nazywana jest równoważną macierzy A, jeśli B otrzymuje się z A za pomocą skończonej liczby przekształceń elementarnych. Równoważność macierzy oznaczono symbolem „~”, to znaczy jest napisane A ~ B.

Wyznaczenie rangi macierzy za pomocą elementarnych przekształceń macierzy opiera się na stwierdzeniu: jeśli macierz B otrzymuje się z macierzy A przy użyciu skończonej liczby przekształceń elementarnych, to Rank(A) = Rank(B) .

Trafność tego stwierdzenia wynika z własności wyznacznika macierzowego:

• Kiedy wiersze (lub kolumny) macierzy są permutowane, jej wyznacznik zmienia znak. Jeśli jest równy zero, to podczas permutacji wierszy (kolumn) pozostaje równy zero.
• Mnożąc wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) macierzy przez dowolną liczbę k różną od zera, wyznacznik wynikowej macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej pomnożonej przez k. Jeżeli wyznacznik pierwotnej macierzy jest równy zero, to po pomnożeniu wszystkich elementów dowolnego wiersza lub kolumny przez liczbę k wyznacznik wynikowej macierzy również będzie równy zero.
• Dodanie do elementów pewnego wiersza (kolumny) macierzy odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) macierzy, pomnożonej przez określoną liczbę k, nie zmienia jej wyznacznika.

Istota metody elementarnych przekształceń jest doprowadzenie macierzy, której rząd musimy znaleźć, do trapezu (w szczególnym przypadku do trójkąta górnego) za pomocą przekształceń elementarnych.

Po co to jest? Ranga tego rodzaju macierzy jest bardzo łatwa do odnalezienia. Jest równa liczbie wierszy zawierających co najmniej jeden element inny niż null. A ponieważ rząd macierzy nie zmienia się podczas przekształceń elementarnych, wynikową wartością będzie rząd macierzy oryginalnej.

Podajemy ilustracje macierzy, z których jedną należy uzyskać po przekształceniach. Ich forma zależy od kolejności macierzy.

Te ilustracje to szablony, do których przekształcimy macierz A.

Opiszmy algorytm metody.

Załóżmy, że musimy znaleźć rząd niezerowej macierzy A rzędu (p może być równe n).

Więc, . Pomnóżmy wszystkie elementy pierwszego wiersza macierzy A przez . W tym przypadku otrzymujemy macierz ekwiwalentną, oznaczamy ją A (1) :

Do elementów drugiego wiersza wynikowej macierzy A (1) dodajemy odpowiednie elementy pierwszego wiersza pomnożone przez . Do elementów trzeciego rzędu dodaj odpowiednie elementy pierwszego rzędu pomnożone przez . I tak dalej aż do p-tej linii. Otrzymujemy macierz równoważną, oznaczamy ją A (2) :

Jeżeli wszystkie elementy macierzy wynikowej w wierszach od drugiego do p-tego są równe zero, to ranga tej macierzy jest równa jeden, a w konsekwencji ranga macierzy pierwotnej jest równa jeden .

Jeśli w wierszach od drugiego do p-tego jest co najmniej jeden niezerowy element, to kontynuujemy przekształcenia. Ponadto postępujemy dokładnie w ten sam sposób, ale tylko z częścią macierzy A zaznaczoną na rysunku (2)

Jeśli , to zmieniamy kolejność wierszy i (lub) kolumn macierzy A (2) tak, aby „nowy” element stał się niezerowy.

Liczba r nazywana jest rzędem macierzy A, jeżeli:
1) macierz A zawiera niezerową podrzędną rzędu r;
2) wszystkie mniejsze rzędu (r + 1) i wyższe, jeśli istnieją, są równe zeru.
W przeciwnym razie ranga macierzy jest najwyższym rzędem niezerowej liczby drugorzędnej.
Oznaczenia: rangA , r A lub r .
Z definicji wynika, że ​​r jest dodatnią liczbą całkowitą. W przypadku macierzy zerowej ranga jest uważana za zero.

Przypisanie usługi. Kalkulator online służy do wyszukiwania ranga macierzy. Rozwiązanie jest zapisywane w formacie Word i Excel. zobacz przykład rozwiązania.

Instrukcja. Wybierz wymiar matrycy, kliknij Dalej.

Definicja . Niech będzie dana macierz rang. Każda macierz mniejsza od zera i rzędu r nazywana jest podstawową, a wiersze i kolumny jej składników nazywane są wierszami i kolumnami podstawowymi.
Zgodnie z tą definicją macierz A może mieć kilka bazowych minorów.

Rząd macierzy jednostkowej E wynosi n (liczba wierszy).

Przykład 1 . Biorąc pod uwagę dwie macierze, i ich nieletnich , . Które z nich można przyjąć za podstawę?
Rozwiązanie. Mała M 1 = 0, więc nie może być bazą dla żadnej z macierzy. Mniejsza M 2 = -9≠0 i ma rząd 2, więc może być traktowana jako macierze bazowe A lub / i B, pod warunkiem, że mają one rangi równe 2 . Ponieważ detB=0 (jako wyznacznik z dwiema proporcjonalnymi kolumnami), to rangB=2 i M2 można przyjąć za podstawę minorową macierzy B. Rząd macierzy A wynosi 3, ponieważ detA=-27≠ 0, a zatem rząd, w którym podstawa mniejsza tej macierzy musi wynosić 3, to znaczy, że M 2 nie jest bazą macierzy A . Zauważ, że macierz A ma unikalną bazę mniejszą równą wyznacznikowi macierzy A .

Twierdzenie (o podstawowym moll). Dowolny wiersz (kolumna) macierzy jest kombinacją liniową jej podstawowych wierszy (kolumn).
Konsekwencje twierdzenia.

1. Dowolne (r+1) kolumny (wiersze) macierzy rzędu r są zależne liniowo.
2. Jeżeli ranga macierzy jest mniejsza niż liczba jej wierszy (kolumn), to jej wiersze (kolumny) są zależne liniowo. Jeśli rangA jest równe liczbie jego wierszy (kolumn), to wiersze (kolumny) są liniowo niezależne.
3. Wyznacznik macierzy A jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy jej wiersze (kolumny) są liniowo zależne.
4. Jeżeli kolejny wiersz (kolumna) pomnożony przez dowolną liczbę inną niż zero zostanie dodany do wiersza (kolumny) macierzy, to ranga macierzy nie ulegnie zmianie.
5. Jeśli przekreślisz wiersz (kolumnę) w macierzy, która jest liniową kombinacją innych wierszy (kolumn), to ranga macierzy nie ulegnie zmianie.
6. Ranga macierzy jest równa maksymalnej liczbie jej liniowo niezależnych wierszy (kolumn).
7. Maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy jest taka sama, jak maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn.

Przykład 2 . Znajdź rangę macierzy .
Rozwiązanie. Na podstawie definicji rangi macierzy będziemy szukać drobnej o najwyższym rzędzie, która jest różna od zera. Najpierw przekształcamy macierz do prostszej postaci. Aby to zrobić, pomnóż pierwszy wiersz macierzy przez (-2) i dodaj do drugiego, następnie pomnóż przez (-1) i dodaj do trzeciego.