Pochodna logarytmu naturalnego x. Złożone pochodne

złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna funkcji wykładniczej

Nieustannie doskonalimy naszą technikę różnicowania. W tej lekcji skonsolidujemy omówiony materiał, rozważymy bardziej złożone pochodne, a także zapoznamy się z nowymi sztuczkami i sztuczkami do znajdowania pochodnej, w szczególności z pochodną logarytmiczną.

Ci czytelnicy, którzy mają niski poziom przygotowania, powinni zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań co pozwoli Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozum i rozwiąż Wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią z rzędu, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest trzymanie się pozycji „Gdzie jeszcze? Tak, i to wystarczy! ”, Ponieważ wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z prawdziwych testów i często można je znaleźć w praktyce.

Zacznijmy od powtórzeń. Na lekcji Pochodna funkcji zespolonej rozważyliśmy szereg przykładów ze szczegółowymi komentarzami. W trakcie studiowania rachunku różniczkowego i innych działów analizy matematycznej będziesz musiał bardzo często różnicować i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) malowanie przykładów z dużą szczegółowością. Dlatego będziemy ćwiczyć ustne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:

Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej :

Przy studiowaniu innych tematów matan w przyszłości, taki szczegółowy zapis najczęściej nie jest wymagany, zakłada się, że uczeń potrafi znaleźć podobne pochodne na autopilocie. Wyobraźmy sobie, że o 3 nad ranem zadzwonił telefon i miły głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch x?”. Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: .

Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 1

Znajdź ustnie następujące pochodne w jednym kroku, na przykład: . Aby wykonać zadanie, wystarczy użyć tabela pochodnych funkcji elementarnych(jeśli jeszcze nie pamiętała). Jeśli masz jakiekolwiek trudności, polecam ponownie przeczytać lekcję Pochodna funkcji zespolonej.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Odpowiedzi na koniec lekcji

Złożone pochodne

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 załącznikami funkcji będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym skomplikowane, ale jeśli zostaną zrozumiane (ktoś cierpi), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji zespolonej przede wszystkim konieczne jest prawidłowy ZROZUMIEĆ INWESTYCJE. W przypadkach, w których pojawiają się wątpliwości, przypominam o przydatnym triku: bierzemy na przykład wartość eksperymentalną „x” i próbujemy (w myślach lub szkicowo) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, aby suma była najgłębszym zagnieżdżeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie kostka cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie, najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Formuła różniczkowania złożonej funkcji są stosowane w odwrotnej kolejności, od najbardziej zewnętrznej funkcji do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wydaje się, że nie ma błędu...

(1) Bierzemy pochodną pierwiastka kwadratowego.

(2) Bierzemy pochodną różnicy stosując regułę

(3) Pochodna trójki jest równa zeru. W drugim członie bierzemy pochodną stopnia (sześcian).

(4) Bierzemy pochodną cosinusa.

(5) Bierzemy pochodną logarytmu.

(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego zagnieżdżenia .

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz cały urok i prostotę analizowanej pochodnej. Zauważyłem, że lubią dawać podobne rzeczy na egzaminie, aby sprawdzić, czy uczeń rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy nie rozumie.

Poniższy przykład dotyczy rozwiązania samodzielnego.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Podpowiedź: Najpierw stosujemy zasady liniowości oraz zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść do czegoś bardziej kompaktowego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że w przykładzie podany jest iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw przyjrzymy się, ale czy możliwe jest przekształcenie iloczynu trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w produkcie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w tym przykładzie wszystkie funkcje są różne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sukcesywnie zastosować zasadę różnicowania produktów dwa razy

Sztuczka polega na tym, że dla "y" oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a dla "ve" - logarytm:. Dlaczego można to zrobić? Czy to? - to nie jest iloczyn dwóch czynników i zasada nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Nadal można zboczyć i wyciągnąć coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Powyższy przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Oba rozwiązania są absolutnie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, w próbce jest ono rozwiązane w pierwszy sposób.

Rozważ podobne przykłady z ułamkami.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie można napisać bardziej zwięźle, jeśli przede wszystkim zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład jest rozwiązany, a pozostawienie go w takiej formie nie będzie błędem. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić szkic, ale czy można uprościć odpowiedź? Doprowadzamy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbyć się trzypiętrowej frakcji:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest to, że istnieje ryzyko popełnienia błędu nie przy szukaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie sobie” pochodnej.

Prostszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy techniki znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, w którym proponuje się „straszny” logarytm do różniczkowania

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść długą drogę, korzystając z zasady różniczkowania funkcji złożonej:

Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża cię w przygnębieniu - musisz wziąć nieprzyjemną pochodną stopnia ułamkowego, a potem także z ułamka.

Więc zanim jak obliczyć pochodną logarytmu „fantazyjnego”, uproszczono to wcześniej za pomocą znanych własności szkolnych:

! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, skopiuj te formuły właśnie tam. Jeśli nie masz zeszytu, narysuj je na kartce papieru, ponieważ pozostałe przykłady z lekcji będą krążyć wokół tych wzorów.

Samo rozwiązanie można sformułować tak:

Przekształćmy funkcję:

Znajdujemy pochodną:

Wstępne przekształcenie samej funkcji znacznie uprościło rozwiązanie. Tak więc, gdy do różnicowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest „rozbicie go”.

A teraz kilka prostych przykładów samodzielnego rozwiązania:

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Wszystkie przemiany i odpowiedzi na koniec lekcji.

pochodna logarytmiczna

Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, to pojawia się pytanie, czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Mogą! A nawet konieczne.

Przykład 11

Znajdź pochodną funkcji

Podobne przykłady rozważaliśmy ostatnio. Co robić? Można sukcesywnie stosować zasadę różniczkowania ilorazu, a następnie zasadę różniczkowania iloczynu. Wadą tej metody jest to, że dostajesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.

Ale w teorii i praktyce jest tak cudowna rzecz jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można sztucznie zorganizować, „zawieszając” je po obu stronach:

Notatka : bo funkcja może przyjmować wartości ujemne, wtedy ogólnie mówiąc należy użyć modułów: , które znikają w wyniku różnicowania. Jednak obecny projekt jest również akceptowalny, gdzie domyślnie kompleks wartości. Ale jeśli z całym rygorem, to w obu przypadkach konieczne jest dokonanie rezerwacji, że.

Teraz trzeba jak najbardziej „rozbić” logarytm prawej strony (wzory przed oczami?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:

Zacznijmy od zróżnicowania.
Obie części kończymy uderzeniem:

Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę tego komentować, ponieważ jeśli czytasz ten tekst, powinieneś sobie z tym spokojnie poradzić.

A co z lewą stroną?

Po lewej stronie mamy złożona funkcja. Przewiduję pytanie: „Dlaczego pod logarytmem jest jedna litera „y”?”.

Faktem jest, że ta „jedna litera y” - JEST FUNKCJĄ SAMODZIELNĄ(jeśli nie jest to bardzo jasne, patrz artykuł Pochodna funkcji domyślnie określonej). Dlatego logarytm jest funkcją zewnętrzną, a „y” jest funkcją wewnętrzną. I używamy reguły różniczkowania funkcji złożonych :

Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki, mamy pochodną. Dalej, zgodnie z zasadą proporcji, rzucamy „y” z mianownika lewej strony do góry prawej strony:

A teraz pamiętamy, o jakiej funkcji „gry” rozmawialiśmy podczas różnicowania? Spójrzmy na warunek:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 12

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład zrób to sam. Przykładowy projekt przykładu tego typu na końcu lekcji.

Za pomocą pochodnej logarytmicznej można było rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje są tam prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.

Pochodna funkcji wykładniczej

Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja wykładnicza to funkcja, która ma a stopień i podstawa zależą od „x”. Klasyczny przykład, który zostanie ci podany w dowolnym podręczniku lub na dowolnym wykładzie:

Jak znaleźć pochodną funkcji wykładniczej?

Konieczne jest zastosowanie właśnie omówionej techniki - pochodnej logarytmicznej. Po obu stronach zawieszamy logarytmy:

Z reguły stopień wyjmuje się spod logarytmu po prawej stronie:

W efekcie po prawej stronie mamy iloczyn dwóch funkcji, który będzie różnicowany według standardowego wzoru .

Znajdujemy pochodną, w tym celu obie części zamykamy kreskami:

Kolejne kroki są proste:

Wreszcie:

Jeśli jakaś transformacja nie jest całkowicie jasna, przeczytaj uważnie ponownie wyjaśnienia przykładu 11.

W zadaniach praktycznych funkcja wykładnicza będzie zawsze bardziej skomplikowana niż rozważany przykład wykładowy.

Przykład 13

Znajdź pochodną funkcji

Używamy pochodnej logarytmicznej.

Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - "x" i "logarytmu logarytmu x" (inny logarytm jest zagnieżdżony pod logarytmem). Różniczkując stałą, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć ją ze znaku pochodnej, aby nie przeszkadzała; i oczywiście zastosuj znaną zasadę :

Przy różnicowaniu wykładniczej funkcji potęgowej lub niewygodnych wyrażeń ułamkowych wygodnie jest użyć pochodnej logarytmicznej. W tym artykule przyjrzymy się przykładom jego zastosowania wraz ze szczegółowymi rozwiązaniami.

Dalsza prezentacja implikuje umiejętność posługiwania się tablicą pochodnych, regułami różniczkowania oraz znajomością wzoru na pochodną funkcji zespolonej.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną logarytmiczną.

Najpierw sprowadzamy logarytm do podstawy e, upraszczamy postać funkcji korzystając z własności logarytmu, a następnie znajdujemy pochodną podanej niejawnie funkcji:

Na przykład znajdźmy pochodną wykładniczej funkcji potęgowej x do potęgi x.

Logarytm daje . Zgodnie z własnościami logarytmu. Zróżnicowanie obu części równości prowadzi do wyniku:

Odpowiedź: .

Ten sam przykład można rozwiązać bez użycia pochodnej logarytmicznej. Możesz dokonać pewnych przekształceń i przejść od różniczkowania wykładniczej funkcji potęgowej do znalezienia pochodnej funkcji zespolonej:

Przykład.

Znajdź pochodną funkcji .

Rozwiązanie.

W tym przykładzie funkcja jest ułamkiem, a jego pochodną można znaleźć korzystając z reguł różniczkowania. Ale ze względu na kłopotliwe wyrażenie będzie to wymagało wielu przekształceń. W takich przypadkach rozsądniej jest zastosować wzór na pochodną logarytmiczną . Czemu? Teraz zrozumiesz.

Znajdźmy to najpierw. W przekształceniach użyjemy własności logarytmu (logarytm ułamka jest równy różnicy logarytmów, a logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów, a stopień wyrażenia pod znak logarytmu można również wyprowadzić jako współczynnik przed logarytmem):

Te przekształcenia doprowadziły nas do dość prostego wyrażenia, którego pochodna jest łatwa do znalezienia:

Otrzymany wynik podstawiamy do wzoru na pochodną logarytmiczną i otrzymujemy odpowiedź:

Aby skonsolidować materiał, podajemy jeszcze kilka przykładów bez szczegółowych wyjaśnień.

Przykład.

Znajdź pochodną wykładniczej funkcji potęgowej

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Pochodna logarytmu naturalnego x równa się jedynce podzielonej przez x:
(1) (lnx)′ =.

Pochodna logarytmu do podstawy a jest równa jedności podzielonej przez zmienną x pomnożoną przez logarytm naturalny a :
(2) (log x)′ =.

Dowód

Niech będzie jakaś liczba dodatnia nie równa jedynce. Rozważmy funkcję, która zależy od zmiennej x , która jest logarytmem podstawowym:
.
Ta funkcja jest zdefiniowana za pomocą . Znajdźmy jego pochodną względem x . Z definicji pochodną jest granica:
(3) .

Przekształćmy to wyrażenie, aby zredukować je do znanych właściwości i reguł matematycznych. Aby to zrobić, musimy znać następujące fakty:
A) Własności logarytmu. Potrzebujemy następujących formuł:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Ciągłość logarytmu i własność granic dla funkcji ciągłej:
(7) .
Oto jakaś funkcja, która ma limit i ta granica jest dodatnia.
V) Znaczenie drugiej wspaniałej granicy:
(8) .

Stosujemy te fakty do naszego limitu. Najpierw przekształcamy wyrażenie algebraiczne
.
W tym celu stosujemy właściwości (4) i (5).

.

Używamy własności (7) i drugiej godnej uwagi granicy (8):
.

I na koniec zastosuj właściwość (6):
.
logarytm podstawowy mi nazywa naturalny logarytm. Jest oznaczony tak:
.
Następnie ;
.

W ten sposób otrzymaliśmy wzór (2) na pochodną logarytmu.

Pochodna logarytmu naturalnego

Jeszcze raz wypisujemy wzór na pochodną logarytmu o podstawie a:
.
Wzór ten ma najprostszą postać logarytmu naturalnego, dla którego , . Następnie
(1) .

Ze względu na tę prostotę logarytm naturalny jest bardzo szeroko stosowany w rachunku różniczkowym i innych dziedzinach matematyki związanych z rachunkiem różniczkowym. Funkcje logarytmiczne o innych podstawach można wyrazić w postaci logarytmu naturalnego za pomocą własności (6):
.

Bazową pochodną logarytmu można znaleźć ze wzoru (1), jeśli ze znaku różniczkowania wyjmiemy stałą:
.

Inne sposoby udowodnienia pochodnej logarytmu

Tutaj zakładamy, że znamy wzór na pochodną wykładnika:
(9) .
Następnie możemy wyprowadzić wzór na pochodną logarytmu naturalnego, zakładając, że logarytm jest odwrotnością wykładnika.

Udowodnijmy wzór na pochodną logarytmu naturalnego, zastosowanie wzoru na pochodną funkcji odwrotnej:
.
W naszym przypadku . Odwrotnością logarytmu naturalnego jest wykładnik:
.
Jego pochodną określa wzór (9). Zmienne mogą być oznaczone dowolną literą. We wzorze (9) zastępujemy zmienną x przez y:
.
Ponieważ wtedy
.
Następnie
.
Formuła została sprawdzona.

Teraz udowodnimy wzór na pochodną logarytmu naturalnego używając zasady różniczkowania funkcji złożonej. Ponieważ funkcje i są odwrotne do siebie, to
.
Rozróżnij to równanie ze względu na zmienną x :
(10) .
Pochodna x jest równa jeden:
.
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:
.
Tutaj . Zastąp w (10):
.
Stąd
.

Przykład

Znajdź pochodne w 2x, w 3x oraz w nx.

Rozwiązanie

Podobną formę mają oryginalne funkcje. Dlatego znajdziemy pochodną funkcji y = log nx. Następnie podstawiamy n = 2 i n = 3 . I tak otrzymujemy wzory na pochodne w 2x oraz w 3x .

Więc szukamy pochodnej funkcji
y = log nx .
Przedstawmy tę funkcję jako złożoną funkcję składającą się z dwóch funkcji:
1) Funkcje zależne od zmiennych : ;
2) Funkcje zależne zmiennych : .
Wtedy pierwotna funkcja składa się z funkcji i :
.

Znajdźmy pochodną funkcji względem zmiennej x:
.
Znajdźmy pochodną funkcji względem zmiennej:
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
.
Tutaj mamy podstawione .

Więc znaleźliśmy:
(11) .
Widzimy, że pochodna nie zależy od n. Wynik ten jest całkiem naturalny, jeśli przekształcimy pierwotną funkcję za pomocą wzoru na logarytm iloczynu:
.
- jest stałą. Jego pochodna wynosi zero. Następnie zgodnie z zasadą różniczkowania sumy mamy:
.

Odpowiedź

; ; .

Pochodna logarytmu modulo x

Znajdźmy pochodną innej bardzo ważnej funkcji - logarytmu naturalnego modułu x:
(12) .

Rozważmy przypadek. Wtedy funkcja wygląda tak:
.
Jego pochodną określa wzór (1):
.

Rozważmy teraz przypadek. Wtedy funkcja wygląda tak:
,
gdzie .
Ale znaleźliśmy również pochodną tej funkcji w powyższym przykładzie. Nie zależy od n i jest równe
.
Następnie
.

Łączymy te dwa przypadki w jedną formułę:
.

W związku z tym dla logarytmu o podstawie a mamy:
.

Pochodne wyższego rzędu logarytmu naturalnego

Rozważ funkcję
.
Znaleźliśmy jego pochodną pierwszego rzędu:
(13) .

Znajdźmy pochodną drugiego rzędu:
.
Znajdźmy pochodną trzeciego rzędu:
.
Znajdźmy pochodną czwartego rzędu:
.

Widać, że pochodna n-tego rzędu ma postać:
(14) .
Udowodnijmy to za pomocą indukcji matematycznej.

Dowód

Podstawmy wartość n = 1 do wzoru (14):
.
Ponieważ , to dla n = 1 , formuła (14) jest poprawna.

Załóżmy, że wzór (14) jest spełniony dla n = k . Udowodnijmy, że z tego wynika, że wzór jest ważny dla n = k + 1 .

Rzeczywiście, dla n = k mamy:
.
Różnicuj względem x :

.
Więc dostaliśmy:
.
Wzór ten pokrywa się ze wzorem (14) dla n = k + 1 . Zatem z założenia, że wzór (14) jest ważny dla n = k, wynika, że wzór (14) jest ważny dla n = k + 1 .

Zatem wzór (14) dla pochodnej n-tego rzędu jest ważny dla dowolnego n .

Pochodne wyższego rzędu logarytmu o podstawie a

Aby znaleźć n-tą pochodną logarytmu podstawowego a , musisz wyrazić ją w postaci logarytmu naturalnego:
.
Stosując wzór (14), znajdujemy n-tą pochodną:
.

Czy uważasz, że do egzaminu jest jeszcze dużo czasu? Czy to miesiąc? Dwa? Rok? Praktyka pokazuje, że uczeń najlepiej radzi sobie z egzaminem, jeśli zaczął się do niego wcześniej przygotowywać. W Unified State Examination jest wiele trudnych zadań, które stoją na drodze studentowi i przyszłemu kandydatowi do uzyskania najwyższych wyników. Te przeszkody trzeba nauczyć się pokonywać, poza tym nie jest to trudne. Musisz zrozumieć zasadę pracy z różnymi zadaniami z biletów. Wtedy nie będzie problemów z nowymi.

Logarytmy na pierwszy rzut oka wydają się niezwykle złożone, ale po bliższej analizie sytuacja staje się znacznie prostsza. Jeśli chcesz zdać egzamin z najwyższym wynikiem, powinieneś zrozumieć pojęcie, o którym mowa, co proponujemy w tym artykule.

Najpierw oddzielmy te definicje. Co to jest logarytm (log)? Jest to wskaźnik siły, do jakiej należy podnieść podstawę, aby uzyskać określoną liczbę. Jeśli nie jest to jasne, przeanalizujemy elementarny przykład.

W takim przypadku podstawa poniżej musi zostać podniesiona do drugiej potęgi, aby uzyskać liczbę 4.

Zajmijmy się teraz drugą koncepcją. Pochodną funkcji w dowolnej postaci nazywamy pojęciem charakteryzującym zmianę funkcji w danym punkcie. Jest to jednak program szkolny, a jeśli masz problemy z tymi pojęciami osobno, warto powtórzyć temat.

Pochodna logarytmu

W zadaniach USE na ten temat jako przykład można podać kilka zadań. Zacznijmy od najprostszej pochodnej logarytmicznej. Musimy znaleźć pochodną następującej funkcji.

Musimy znaleźć następną pochodną

Istnieje specjalna formuła.

W tym przypadku x=u, log3x=v. Podstaw wartości z naszej funkcji do wzoru.

Pochodna x będzie równa jeden. Logarytm jest trochę trudniejszy. Ale zrozumiesz tę zasadę, jeśli po prostu zamienisz wartości. Przypomnijmy, że pochodna lg x jest pochodną logarytmu dziesiętnego, a pochodna ln x jest pochodną logarytmu naturalnego (o podstawie e).

Teraz wystarczy podstawić uzyskane wartości do wzoru. Spróbuj sam, a następnie sprawdź odpowiedź.

Jaki może być problem dla niektórych? Wprowadziliśmy pojęcie logarytmu naturalnego. Porozmawiajmy o tym, a jednocześnie wymyślmy, jak rozwiązać z nim problemy. Nie zobaczysz niczego skomplikowanego, zwłaszcza gdy zrozumiesz zasadę jego działania. Powinieneś się do tego przyzwyczaić, ponieważ jest często używany w matematyce (szczególnie w szkołach wyższych).

Pochodna logarytmu naturalnego

W swej istocie jest to pochodna logarytmu o podstawie e (jest to liczba niewymierna, która wynosi około 2,7). W rzeczywistości ln jest bardzo proste, dlatego jest często używane w matematyce w ogóle. Właściwie rozwiązanie problemu z nim również nie będzie problemem. Warto pamiętać, że pochodna logarytmu naturalnego o podstawie e będzie równa jedynce podzielonej przez x. Najbardziej orientacyjne będzie rozwiązanie z poniższego przykładu.