Pobierz z Depositfiles.

Wykłady 5-6.

Topic2. Wiele integrałów.

Podwójna integralna.

Kontroluj pytania.

1. Podwójna integralna, jego znaczenie geometryczne i fizyczne

2. Podwójne właściwości integralne.

3. Obliczanie podwójnej integralności w współrzędnych kartezjańskich.

4. Wymiana zmiennych w podwójnej integralnej. Obliczanie podwójnej integralności w współrzędnych polarnych.

Pozwól funkcji z. = fA. (x. , y. ) Zdefiniowany w ograniczonym zamkniętym obszarze RE. Samolot. Demontuj obszar RE. Arbitralny sposób n. Podstawowe zamknięte regiony  1 , … , n. Posiadanie obszaru   1 , …,   n. i średnice. rE. 1 , …, rE. n. odpowiednio. Oznaczać rE. Największa o średnicach regionów  1 , … ,  n. . W każdym obszarze  k. Wybierz arbitralny punkt P. k. (x. k. , y. k.) I wyniosły suma integralna Funkcje fA.(x, y.)

S. =
(1)

Definicja. Podwójna integralna Funkcje fA.(x, y.) Według obszaru RE. Nazwał limit zintegrowanej kwoty

, (2)

jeśli istnieje.

Komentarz. Suma integralna S. zależy od sposobu dzieli regionu RE. i wybór punktów P. k. (k.=1, …, n. ). Jednak limit
Jeśli istnieje, nie zależy od sposobu podziału regionu RE. i wybór punktów P. k. .

Wystarczający warunek istnienia podwójnej integralności. Podwójna integralna (1) istnieje, jeśli funkcja fA.(x, y.) ciągły B. RE.z wyjątkiem skończonej liczby fragmentów gładkich krzywych i jest ograniczony do RE.. W przyszłości zakładamy, że istnieją wszystkie rozważane integrały podwójne.

Geometryczne znaczenie podwójnej integralności.

Jeśli fA.(x, y.) ≥0 w regionie RE.Następnie podwójna integralna (1) jest równa objętości "cylindrycznego" ciała pokazanego na rysunku:

V. =
(3)

Ciało cylindryczne jest ograniczone do obszaru dolnego. RE. , top  część powierzchni z. = fA. (x. , y. ) z boków  pionowe sekcje bezpośrednie granic łączących tej powierzchni i regionu RE.

Fizyczne znaczenie podwójnej integralnej. Masa płaskiej płyty.

Niech zostanie podana płyta płaska RE. ze znaną funkcją gęstości γ ( x,w. ), a następnie łamanie płyty D do części D jA. i wybierając arbitralne punkty
, dostajemy na masę talerza
lub w porównaniu z wzorem (2):

(4)

4. Niektóre właściwości podwójnej integralności.

Liniowość. Jeśli Z - Stała liczba, a następnie

Additivity. Jeśli obszar RE. "Złamany" w regionie RE. 1 i RE. 2, T.

3) obszar ograniczony obszar RE.równy

(5)

Obliczanie podwójnej integralności w współrzędnych kartezjańskich.

Pozwól obszarowi

Obrazek 1

D \u003d. { (x. , y. ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (x. ) ≤ y ≤ φ. 2 (x. ) } (6)

Region RE. zamknięty w pasku między prostym x. = zA. , y. = b. , na dole i górę są ograniczone odpowiednio krzywe y. = φ 1 (x. ) i y. = φ 2 (x. ) .

Podwójna integralna (1) w regionie RE.(4) jest obliczany przez przejście do ponownego całkowania:

(7)

Ta ponowna integralna jest obliczana w następujący sposób. Najpierw oblicza wewnętrzną integralną

według zmiennej y. , w którym x. Prowadzony. W rezultacie będzie funkcja ze zmiennej x. a następnie obliczany "zewnętrzny" integralną z tej funkcji według zmiennej x. .

Komentarz. Proces przejścia do ponownego integralną o wzorze (7), jest często zwany układ granicach integracji w podwójnej całki. Podczas układania limitów integracji musisz pamiętać dwa punkty. Po pierwsze, dolna granica integracji nie powinna przekraczać górnej, po drugie, zewnętrzne wartości integralne muszą być stałe, a wewnętrzny musi ogólnie zależeć od integracji zewnętrznej zintegrowanej zmiennej integracji.

Niech teraz RE.ma wygląd

D \u003d. { (x. , y. ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y. ) ≤ x ≤ ψ 2 (y. ) } . (8)

Następnie

. (9)

Załóżmy, że obszar RE.może być przedstawiony w postaci (6) i (8) w tym samym czasie. Potem jest równość

(10)

Przejście jednego ponownego całkowania drugiego w równości (10) jest nazywane zmieniając kolejność integracji Podwójna integralna.

Przykłady.

1) Zmień kolejność integracji w całce

Decyzja. Zgodnie z typem powtarzanego całkowania znajdujemy obszar

D \u003d. { (x. , y. ): 0 ≤ x ≤. 1, 2 x ≤ y≤. 2 } .

Pokazać obszar RE.. Na rysunku widzimy, że obszar ten znajduje się w poziomym pasku między prostym y. =0, y. \u003d 2 i między liniami x. =0 i X. \u003d D.

Czasami uprościć obliczenia dokonują zmiennych zastępczych:

,
(11)

Jeśli funkcje (11) są stale różniczkowalną i oznacza (jakobian) różnią się od zera w region znajdujący się pod uwagę:

(12)

Def. . Niech bądź
,

.

Zestaw nazywa się zamkniętą szczeliną lub zamkniętym drewnem .

Wiele zwanych odstępu otwartego

lub otwarty pasek .

Def. . Miara Paronav. i Nazywany wartością:

(Dokładniej
).

Def. . Jeśli
taka
potem luka zwany zdegenerowany I.
.

Właściwości pomiaru szczeliny:

ale). Poza:
, i
potem i tylko wtedy, gdy - zdegenerowany.

b). Pozytywna jednorodność :.

w). Additivity:

* dla
taka
;

* dla
i

.

re). Monotoniczność środka :.

Def. . Średnica paska (luki) nazywana jest wartością:

Zwróć uwagę na to
i
- To nie jest to samo. Na przykład, jeśli - zdegenerowany, a potem
, A.
(Ogólnie rzecz biorąc).

W którym: * ;

* ;*
.

Def. . Całkowity
suborted Luki nazywany podziałem luki , Jeśli: *;

*
; *
; *
; *
.

Wartość
zwany partycje partycji P.(w którym
).

Def. . Rozdzielać nazwał szlifowanie partycji Jeśli wszystkie elementy partycjonowania uzyskane przez podział elementów partycji .

Oznacza:
. Czytanie: mniejszy lub większy .

W związku "Większe - mniejsze" dość:

* Transpitivity -; *
;

*.


; *.

|
.

§. Definicja wielu integralności

Zostawiać
- Bar (interwał) w ,
- łamanie luki JA.. Na każdej z partycji zwróć uwagę na punkt
.

Otrzymać
podzielone punkty za oznaczone punkty za
.

Wartość
zwana integralną sumą Riemanna dla funkcji fA. (x.) W przedziale JA. przez podział z zaznaczonymi punktami
.

Def. :
=
=
.

Oznaczony - Wiele funkcji integrowanych na pasku JA. piszemy:

Def. : ε > 0 δ>0<.

Jeśli dla funkcji fA.(x.) na JA.i dzielenie
- Oznacz do
- największa i najmniejsza wartość funkcji fA.(x.) na JA. k. następnie wartości
=
i
=
zwane dolną i górną ilością Darbu.

§. Kryterium Darboux do istnienia wielu integralności.

T. 0 . Funkcjonować
został zintegrowany na barze (te.
) Jest to konieczne i wystarczy

. Δ▲.

Określona jest integracja funkcji w klamce w przestrzeni euklidesowej. Ale jak zintegrować funkcję w arbitralnym ograniczonym zestawie przestrzeni Euclidean?

Definiujemy integralną z funkcji fA. według zestawu
.

Def. : Zostawiać
i
- LIMITED, I.E.
. Funkcjonować
nazywamy charakterystyczną funkcją zestawu M..

Następnie:
≡
.

Definicja całki po zbiorze nie zależą od barana zawierający M.wybrany, tj.

.

Oznacza to, że definicja całkowania jest poprawna.

Wymagany stan integracji.Funkcjonować fA.(x.) na M.było to integrowane fA.(x.) był ograniczony do M.. Δ▲.

§. Właściwości wielu integli.

1  . Liniowość: zestaw R. M. Funkcje integrowane na zestawie M -liniowy

przestrzeń, A.
- Liniowa funkcjonalność.

2  . Stan zakończenia:
. Inna forma nagrywania
w rzeczywistości, to określa miarę dowolnego zestawu z przestrzeni euklidesowej.

3  . Jeśli integralna na zestawie wiodącej ma zero, istnieje, to on

równy zero.

Uwaga:Wiele M.nazywany mnogością zmiany zero,

jeśli

taka
i
.

4  . ale.;b.;

w.jeśli
i - Oddzielone od zera M.T.

5  .
i fA.=sOL.p.V. (prawie wszędzie) M.T.
.

6  . Additivity: IF.
i
że

,

Ogólnie:
.

Δ. Wynika z równości: ▲

7  . Monotonia:
i
że
.

8  . Integracja nierówności: jeśli
Ja do

.

9  . Zostawiać


. W celu
, konieczne jest i wystarczy, aby istnieć w wewnętrznym punkcie zestawu M., w którym fA. (x.)\u003e 0 i ciągły.

10  . Integracja modułu funkcji zintegrowanej:
.

11  . Środkowy twierdzenie:
,
na M.zapisuje znak I.
T.

.

Jeśli zestaw M.- Svyazno I. fA.(x.) - ciągły
że
taka
.

12  . W celu całkowania z funkcji nie-negatywnej do 0

jest to konieczne i wystarczy fA.(x.) \u003d 0 prawie wszędzie M..

13  . Twierdzenie Fubini.Dla podwójnej integralnej:

Niech obszar
- prostokąt :. Następnie, z zastrzeżeniem istnienia wewnętrznych integerów, aby znaleźć podwójną integralną, można przełączyć się na ponowne integracja (patrz rys. A):

lub.

MI.

jeśli obszar integracji nie jest prostokątem, Fubiniego twierdzenie jest nadal ważna i ma postać (patrz rys. B):
. (*)

Uwaga: Ograniczenia integracji zewnętrznych muszą być stałe, wewnętrzne limity integracji mogą zależeć od zmiennej, w której integracja jest nadal.

Formuła (*) można uzyskać za pomocą charakterystycznej funkcji zestawu RE..

Dla wielu integralnych:

Niech podzbiory spożywcze przestrzeni euklidowej i . Określić kartezjańską pracę tych zestawów, który jest podzbiorem przestrzeni euklidowej
:.

Następnie twierdzenie Fubini
ma formularz:
.

Twierdzenie jest ważne dla obu Bruus X.i Y.i dla bardziej złożonych konfiguracji.

Przykłady:

1 0 . Oblicz
Jeśli obszar granicy
ustaw równania:

. Znalezienie punktów przecięcia krzywych definiujących granicę regionu, otrzymujemy dwa punkty:
i
. Następnie ewentualne umieszczenie limitów integracji podczas przejścia do powtarzających się całek daje:

ale).
;

2

0 . Zmień kolejność integracji w ponownym integracji:
.

–

.

Przepis:Po rozmieszczeniu ograniczeń integracji w podwójnej integralnej zaleca się rozpoczęcie od zewnętrznych ograniczeń integracji.

3

0 . Oblicz:
, Jeśli

Przejście do ponownego całkowania daje:
.

W tym samym czasie, w potrójnym integralnym, ograniczenia należy rozpocząć od wewnętrznych granic integracji. Następnie obszar zębata V.w samolocie xoy.

umieszczenie limitów w okolicy RE.- Kłamstwo w samolocie xoy..

4 0 . Zmień kolejność integracji w ponownym integracji:
.

Pozwól nam przebywać więcej informacji na temat prac Ostrogradsky w wielu całkach.

Formuła Ostrogradsky do konwersji potrójnej integralności w podwójnym, które piszemy zwykle w formie

gdzie div A jest rozbieżnością dziedziny wektora A,

A jest skalarnym produktem wektora A na jednym wektorze zewnętrznej Normalnej N na powierzchni granicznej, w literaturze matematycznej, często kontaktowano wcześniej z nazwami Gaussa i zieleni.

W rzeczywistości, w pracy Gausa na temat atrakcyjności sferoidów, możliwe jest, aby zobaczyć tylko bardzo szczególne przypadki o wzorze (1), na przykład w P \u003d X, Q \u003d R \u003d 0 itp. Jak dla J. Green , a następnie w pracy nad teorią energii elektrycznej i magnetyzmu o wzorze (1) wcale nie jest; Zawiera inny związek między potrójnymi i podwójnymi całami, precyzyjnie, zielona formuła dla operatora Laplace, który może być napisany jako

Oczywiście możesz wycofać wzoru (1) i z (2), wierząc

w ten sam sposób można uzyskać formułę (2) z formuły (1), ale zielony nie wymyślił.

gdzie lewica jest integralna w objętości i po prawej integralnej na powierzchni granicznej, a esencja przewodnika cosines zewnętrznych normalnych.

Paryżanki Manuscripts of Ostrogradsky świadczy, z pełną nie odpowiedzialnością, że jest również właścicielem odkrycia i pierwszą wiadomość z twierdzenia integralnego (1). Po raz pierwszy został wyrażony i udowodniony, dokładnie tak, jak w "Dowód jednego zintegrowanego twierdzenia o rachunku coreni" reprezentowanych przez Paryż Akademii Nauk w dniu 13 lutego 1826 r., Po czym po raz kolejny został utworzony w tej części wspomnienia o rozprzestrzenianiu się ciepła w stałych stałych ", które Ostrogradsky przedstawiło 6 sierpnia 1827 r.," Memoir "został przekazany opinii Fourier i Poissona, a ostatnim z nich, na pewno przeczytałem, o czym świadczy rekord na pierwszych stronach obu części manuskryptu. Oczywiście, Poisson i nie przyszedł do przypisania się do twierdzenia, z którym spotkał się w składzie Ostrogradsky dwa lata przed prezentacją jego pracy na teorii elastyczności.

Jeśli chodzi o związek między pracą nad wieloma integralami Ostraogradsky i Green, przypominamy, że w "Uwaga na teorii ciepła" formuła należy, przytulając własną formułę zieleni, jako bardzo wyjątkowy przypadek. Niezwykłe teraz symbolizm Cauchy używany przez Ostrogradsky w "Uwaga", do niedawna HID z badaczy to ważne odkrycie. Oczywiście Girgin pozostaje honorowanie otwierania i pierwszej publikacji w 1828 r., Nazwa formuły operatorów Laplace.

Odkrycie formuły konwersji potrójnej integralnej w podwójnie pomocy Ostrogradsky rozwiązywać problem zmienności integralności P-wiele, jest to precyzyjnie przynieść ogólny formułę transformacji całkowania z ekspresji rodzaju rozbieżności zgodnie z region P-wymiarowy i integralny do ograniczenia go z supercrossurface S z równaniem L (X, Y, Z, ...) \u003d 0. Jeśli przylegasz do poprzednich oznaczeń, formuła ma formularz

Jednak Ostrogradsky nie zastosowało geometrycznych obrazów i warunków, których używamy: geometria obszarów wielowymiarowych w tym czasie nie istniała jeszcze.

W "pamiętniku na obliczaniu wielu integerów" rozważono dwie ważne kwestie teorii takich integantów. Po pierwsze, Ostrogradsky wyświetla formułę do wymiany zmiennych w wielowymiarowej integralnej; Po drugie po raz pierwszy daje kompletny i dokładny opis otrzymania obliczania wielu integralnych przy użyciu n kolejnych integracji dla każdej z zmiennych odpowiednio. Wreszcie, z formuł zawartych w tej memoir, ogólna reguła zróżnicowania jest łatwo wyświetlana zgodnie z wielowymiarowym parametrem integralnym, gdy nie tylko funkcja integranda, ale także granica obszaru integracji zależy od tego parametru. Nazwana reguła wynika z gotówki w formułach wspomnień tak naturalnych, że później matematycy nawet zidentyfikowali go jednym z formuł tego pamiętnika.

Wymiana zmiennych w wieloskładnikowych integralach Ostrogradsky dedykowanej pracy specjalnej. W celu podwójnej integralności odpowiednia reguła przyniosła elimer za pomocą formalnych transformacji dla potrójnych - Lagrange. Jednakże, chociaż wynik Lagange jest wierny, jego rozumowanie nie było dokładne: wydawało się, że pochodzą z faktu, że elementy objętości w starych i nowych zmiennych - współrzędne - między sobą są równe. Podobny błąd został wykonany najpierw w odpowiednich zasadach wyjściowych do zastępowania zmiennych Ostrobodskiego. Artykuł "Od transformacji zmiennych w wielu całkach" Ostogradsky ujawnił błąd Lagrangeran, a najpierw opisano tę wizualną metodę geometryczną do konwersji zmiennych w zintegrowaniu podwójnej, co, w nieznacznie rygorystycznej konstrukcji, jest prezentowany w naszych podręcznikach. Jest to, przy wymianie zmiennych w integralnej zgodnie z wzorami, obszar integracji jest podzielony przez linie współrzędnych dwóch systemów U \u003d Const, V \u003d Const na nieskończenie małych krzywoliniowych czworokątach. Następnie integralny można uzyskać, składając się z pierwszej jego elementów, które odpowiadają nieskończenie wąską taśmę krzywoliniową, a następnie kontynuowanie podsumowania elementów przez pasma, dopóki nie zostaną wyczerpane. Proste obliczenia daje obszar, który, z dokładnością małego zamówienia, można uznać za równoległoki, wyrażenie, gdzie jest wybrany tak, że obszar jest dodatni. W rezultacie okazuje się dobrze znaną formułę

Transkrypcja.

1 Agencja Federalna dla State Education State Educational Institution of Education Education Education Education Education "Samara State Aerospace University o nazwisku ACCADEMIC SP Queen" Wielokrotne integracje z zadania i ćwiczeń są zatwierdzane przez Radę Redakcyjną Publikacyjną Rady Uniwersytetu jako instrukcje metodologiczne z AM i R i SGA Wydawnictwo

2 UDC 7 7 Compiler Ohm Carrilova recenzent Canda tehn Nauki Associated całek Zadania i ćwiczenia: Metoda Instrukcje / Sosta Om Carpilova Samara: Wydawnictwo SAMAR Aerocosm University z kolekcji zawiera przykładowe rozwiązania typowych zadań w temacie: Double całek Całki potrójne Aplikacje stwardnienia Integrały w każdym temacie, typowe zadania są szczegółowo rozważane metody rozwiązywania ich i są oferowane zadania dla niezależnej pracy w aplikacji. Opcje otrzymują opcje dla indywidualnych prac domowych Wszystkie zadania są skompilowane zgodnie z programem w matematyce dla studentów uniwersytetów technicznych . metodyczne instrukcje Przygotowany na Wydziale Inżynierii i General Training są przeznaczone dla studentów Instytutu Energii i Transportu Samara państwa Aerospace University UDC 7 7 Samara State Aerospace University

3 Obliczanie podwójnych całek w współrzędnych kartezjańskich do obliczenia podwójnej integralności są reprezentowane jako powtarzane dwukrotne integralne rozwiązanie Przykładów Przykładów Przejdź z BAF do ponownego całkowania i umieść ograniczenia integracji, jeśli obszar jest ograniczony do linii: 6; b; w; r Trójkąt obwodowy ABC, gdzie a; B; 6 c ;; D Rozwiązanie: A my zbudujemy region: bezpośrednia oś równoległa; Bezpośrednia oś równoległa; 6 Bezpośredni przechodzący przez punkty; 6 i 6; Region jest trójkątnym ryżem ABC, aby znaleźć współrzędne punktu C, należy rozwiązać przez system równań Rysunek 6 z; Dlatego wewnątrz regionu, aby dowiedzieć się, jak zmienia bezpośrednią osi równoległą o i obszar przecięcia, ten bezpośredni wchodzi w obszarze wzdłuż linii A, w ten sposób znajduje się wzdłuż linii 6 lub 6, jest zatem w ten sposób obszar można ustawić w systemie nierówności: 6 teraz łatwo jest postawić granice w całki dwukrotny: F 6 F.

4 B Konstruuje: Parabola bezpośrednia oś osi równoległa o ryż, znajdziemy współrzędne punktów A, a na to, będziemy rozwiązać system ± wydać bezpośrednią oś równoleżącej o i przekraczanie obszaru ta linia jest zawarta w obszarze paraboli i Okazuje się w linii prostej. W ten sposób region jest ustawiony na nierówności FF. Budujemy obszar ryżu: symetryczny parabola względem osi o z wierzchołkiem na początku współrzędnych; Pozytywna gałąź paraboli w symetrycznym w stosunku do osi o z wierzchołkiem na początku ryb współrzędnych Znajdź punkty przecięcia tych linii: usunięcie obu części równania na placu dostajemy stąd linii i przecinając się w punktach; i a; Po wydaniu prostej równolegle o i przekraczanie regionu, zobacz, że linia wejściowa jest linią wyjściową

5 W ten sposób: dlatego FF G budujemy trójkąt ryż z rysunku. Jasne jest, że wewnątrz obszaru, bezpośredni równoległy o i obszar przejście wchodzi do trójkąta z boku AC i wychodzi z boku Równanie AV, bezpośrednie przechodzące przez dwa punkty M i M ma apetycję tej formuły do \u200b\u200bpisania równań partii AB i AS: AB: od miejsca, w którym; 6 AU: Od miejsca, w którym te: dlatego F F D Konstruuj region do tego konwersji równania granicznego: Aby podkreślić pełny kwadrat w stosunku do zmiennej: wynikające z tego równanie ustawia koło z promieniem w środku w punkcie; ryż ryżowy ryż do organizowania granic integracji. Konieczne jest rejestrowanie równań górnej i dolnej połowy obwodu linii wejściowej do obszaru i wyjścia z regionu, umożliwiając początkowe równanie w stosunku do: ±

6 Jest oczywiste, że górna połowa koła odpowiada w ten sposób niższe równanie w ten sposób: Dlatego jest przykładem zmiany kolejności integracji: B 6; f f; Oraz w roztworze FF: a obszar integracji jest określony przez system nierówności: budujemy obszar RIS6: Górna połowa paraboli jest dolna połowa paraboli ze zmianą kolejności integracji integralnej, weźmie formularz CF Rysunek 6. Znajdź współrzędne punktów przecięcia paraboli i bezpośrednio: ± SO A; W; Wydajemy bezpośrednio równolegle Oś O Linię wejściową obszaru przechodzącego w obszarze Parabol Linia wylotowa jest zatem w ten sposób obszar, a system nierówności: wtedy F F 6

7 b W tym przypadku obszar integracji jest określony przez system nierówności: 6 Konstruujemy ten obszar ryżu7: 6 hiperbola. Znajdziemy współrzędne punktów A i C w punkcie, a zatem w punkcie w konsekwencja taka; W; Wraz ze zmianą w celu integracji, integralny przyjmie postać F figura 7c od tego C; Wydajemy prostą równoległe oś O i linii przejściowej 6 wejść hiperbrozy, w którym linia wyjściowa znajduje się bezpośrednio z miejsca, w którym region jest ustawiony na nierówności: 6 Wreszcie uzyskaj 6 6 FF w obszarach konstruowania: i: granica regionu określa się przy pomocy równania ± rozwija zarówno w równaniu na placu Get równanie paraboli - Roy w miejscu.; A oś symetrii jest osi o ryż granica regionu podaje się przez następujące równania: bezpośrednie przechodzące przez pochodzenie i górną gałąź paraboli w taki sposób integracji.

8 Aby zorganizować limity integracji, aby znaleźć współrzędne punkty przecięcia linii granicznych, rozwiązując system równań; Stąd w ten sposób A; W; Z zmianą kolejności integracji integralna zewnętrzna zostanie pobrana zgodnie z zmienną wewnętrzną, więc przeprowadzimy obszar przecięcia bezpośredniego i osi równoległej Och, wchodzi do obszaru przez linię i idzie wzdłuż linii, zmieniając . kolejność integracji Pobierz FFF Tutaj zmiana procedury integracji upraszcza obliczenia jak to zajmie oblicz tylko jeden przykład obliczania; ; Tam, gdzie region jest ograniczony do roztworu liniowego konstruować obszar z figury 9: bezpośrednia osi równoległa O i bezpośrednie przekazywanie współrzędnych do obliczania całkowania przez przełączanie z podwójnej integralności, aby powtórzyć jako obszar można ustawić w systemie nierówności: a następnie obliczanie liczby 9 pierwszy wewnętrzny integralną Ilość jako stałe wartości jako całkowania Przekazywana przez zmienną: teraz pozostaje obliczania wynikowych całkę zewnętrznych:

9 Tak więc, przykład oblicz roztwór do konstruowania regionu: oś o, o prostej osi, równoległej przechodzącej bezpośrednio przez początek układu współrzędnych ryżu i przecinają się w punkcie A; Przechodząc do całki dwukrotny i obliczania go otrzymamy, jeśli ogranicza się do linii za pomocą stałych formuł 9

10 zadania niezależne rozwiązanie umieszczenia granice integracji w powtarzanych całki z którym M jest zmniejszona, jeśli powierzchnia jest ograniczona do linii: A; b; w; r; d trójkąt ABC, gdzie a; W; Z; Zmień kolejność integracji: A F; b f; w F; G F Oblicz podwójne całki licząc, że obszar jest ograniczony do określonych linii: A; 7; b; ; w; ; G E; 6 odpowiedzi A F; b f; w r f; D a f; b f f; w F; g f a; 7 b; w; F 6 g e f;

11 Podwójne integralne w współrzędnych polarnych Jeśli układ współrzędnych współowików i polarnych są również określone w płaszczyźnie, a biegun zbiega się z początkiem współrzędnych, a oś biegunowa jest wyrównana do osi OH, do przejścia do współrzędnych polarnych, wzory są stosowany w tym przypadku, jeżeli obszar jest ograniczony do promieni a p a krzywe C β α M roztwór Przykład Przykład Obliczanie\u003e decyzja Skonstruujemy ryż obszaru. promień okręgu bezpośredni przechodzącego przez początek układu współrzędnych Ponieważ obszar jest częścią Krąg wygodnie przejdzie do współrzędnych polarnych w tym samym czasie, w którym biegun jest kompatybilny z punktem O; a oś polarne wolno wzdłuż osi O, gdzie obszar jest ograniczony do linii ryżu teraz należy opisać obszar w współrzędnych biegunowych systemu wewnątrz zmian regionu od do CM Rice prosto k ry nachylonej do osi O

12 pod kątem stycznika, którego to jest tg; Tg stąd; Więc w obszarze belki, równanie z bieguna O i skrzyżowania wychodzi z regionu równaniem których we współrzędnych biegunowych jest więc obszar jest opisany przez układ nierówności: teraz łatwo jest umieść ograniczenia w wielokrotnym integralną i obliczyć jego przykład obliczyć E, gdzie pierścień jest ograniczone przez obszar 9, 9 ryż jest wygodne, aby przejść do współrzędnych biegunowych: Zatem równania granice będzie zapoznać; 9 Rys. Aby ustawić limity integracji w powtarzanej integralnej. Uwaga, że \u200b\u200bwewnątrz kąta obszaru bierze wszystkie wartości od do wykonania z początku współrzędnej obszarze przejściem, wchodzi do obszaru przez linię i idzie wzdłuż linia w ten sposób: wtedy

13 9 9 9 E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Eequality. Ponieważ górna połowa koła ryżu przenosi się do współrzędnych polarnych: równanie ryżu granicy w współrzędnych polarnych przyjmie formę wiarygodności regionu jest całkowicie zlokalizowany w pierwszym kwartale, więc w współrzędnych polarnych obszar jest ustawiony nierówności. Teraz Możesz obliczyć podwójną integralną

14 Zadania dla samodzielnych decyzji Oblicz przekazujący współrzędne polarne: gdzie górna połowa koła 6, gdzie region spełnia nierówności, w których obszar jest ograniczony do linii 9 6, gdzie ograniczone linie 6, w których obszar jest ograniczony do odpowiedzi ograniczonych przez krzywych ; ; ; ; Zastosowania z całości podwójnych zintegrowania stosowane przy obliczaniu: i obszaru z płaskim obszarem ograniczonym obszarem: S; B Objętość korpusu cylindrycznego ograniczonej z ponad ciągłej powierzchni F poniżej płaszczyzny i boku prostej cylindrycznej powierzchni cięcia na płaszczyźnie O obszarze:

15 f; W powierzchni danej równania F przez projekcję, której do płaszczyzny O jest region: σ Ponadto, podwójne całki stosuje się w mechanice do obliczania: i masy płaskiej płyty zajmującej płaszczyznę o i mieć zmienna gęstość powierzchni γ γ: m γ; B Momenty statystyczne płytki w stosunku do osi O i O:; M γ; M γ w współrzędnych środka ciężkości płyt: γ m c; M γ Roztwór przykładów CM γ γ 6 Przykład Znajdź obszar regionu Linia Linia Rozwiązanie Konstruuje równanie obszaru Określa równanie Parabola Bezpośredni przechodzące przez pochodzenie współrzędnych z FIG. Aby znaleźć punkty przecięcia tych linii poprzez rozwiązanie System równań: Stąd, a następnie bezpośrednio przekracza paraboli w punktach. i a; Zgodnie z formułą s, przykład jest przykładem znalezienia obszaru liczbowych ograniczonych linii poza pierwszym kręgiem;

16 Rozwiązanie Równanie Ustawia krąg promienia w środku na początku równania współrzędnych Ustawia krąg promienia z centrum w punkcie;: konieczne jest znalezienie obszaru Rysunku Ambasy Rys. 6 Jest to wygodne przenieść się do współrzędnych polarnych. Następnie pierwsze równanie przyjmie formę drugiego równania: Rys. 6 w celu określenia współrzędnych punktów A i rozwiązując system równań ± SO; ALE; W obszarze Ambn można określić nierówności według formuły 6 s przykładem znalezienia objętości ciała ograniczonego płaszczyzny współrzędnych i płaszczyzna decydującego, budujemy organizm 7 i jego projekcję w płaszczyźnie o fig. 6

17 Według formuły Rysunek 7 Rygi w przykładzie, region jest trójkąt OAV pokazany na ryżu, a powierzchnia jest określana przez równanie płaszczyzny, w której przykładem znalezienia objętości ciała ograniczonego przez płaszczyzny współrzędnych i powierzchni Roztwór korpus jest przedstawiony na rys. 9 Płaszczyzna przechodzi równolegle do osi o; paraboloid, którego wierzchołek jest w punkcie ;; Projekcja ciała na płaszczyźnie O jest trójkątna płaszczyzna przecięcia linii AV Ryżu Avo z samolotem równania Direct AB: gdzie 7

18 Według formuły Figura 9 cylindra ryżowego 6 Przykład Znajdź objętość ciała ograniczony przez paraboloid i samoloty, a roztwór korpus jest przedstawiony na ryżu dla wygody rozmieszczenia limitów integracji, konstruując projekcję ciała na płaszczyźnie o ryż przez ryż przez Formuła ryż

19 7 6 Przykład 6 Znajdź objętość ciała ograniczonego przez powierzchnie 7 Roztwór Ten korpus jest ograniczony do dwóch paraboloidów Linia ryżowa paraboloidów zależy od systemu równań z pierwszego równania linii przecięcia jest krąg promienia leżącego w Samolot: Projekcja tej linii do płaszczyzny O jest również okrągiem, więc wygodnie jest przejść do współrzędnych polarnych z FIG. Objętość korpusu może być obliczana jako różnica w objętości dwóch cylindrycznych Tel: Przykład 7 Znajdź powierzchnię sfery wewnątrz cylindra 9 Roztwór Cylindry na powierzchni sfery dwóch części symetrycznych względem płaszczyzny o ryżu z powodu symetrii wystarczy, aby obliczyć powierzchnię tylko górną "czapkę" i wynik, aby podwoić dziewięć powierzchni

20 Do obliczenia, używamy formuły, ponieważ obejmuje prywatne pochodne do obliczenia, a zatem mamy z równania kuli, a następnie ryż w ten sposób zgodnie z wzorem σ, w zależności od wzoru σ, projekcja powierzchni na płaszczyźnie o kółko jest wygodna do przeniesienia do polarna Współrzędne Widoku równania koła współrzędnego polarnego, więc w współrzędnych polarnych σ 9 Dlatego 9 przyjmuje się, ponieważ uważaliśmy za obszar tylko górne "czapki", a następnie całą powierzchnię jest σ σ n na przykład znalezienia środka ciężkości jednorodna płyta ABC, jeśli A; - B; DO; ; - Rozwiązanie do obliczania współrzędnych środka ciężkości będziemy używać wzorów 6, ponieważ płyta jest jednolita, następnie gęstość powierzchni γ jest stała, dlatego wzory przyjmą rodzaj C; DO.

21 Z rysunku można zauważyć, że płyta ma postać trapezu i symetryczny w odniesieniu do osi o, dlatego piszę równanie bezpośredniego BC i stosując wzór, który określa równanie bezpośrednio przechodzące przez dwie wartości zadane: C PNE :; Odp.: Ryż jest teraz obliczany oddzielnie numerator i mianownik frakcji współrzędnej definiującej: C 9 w mianowniku jest integralną częścią obszaru obszaru przewidywania ABC H; Możliwe jest obliczenie tego integralności AB C i bezpośrednio C; C jest przykładem 9 Znajdź masę górnej połowy elipsy, jeśli gęstość w każdym punkcie jest równa kolejności punktu roztworu BA Gęstość w każdym punkcie jest równa tym γ w zależności od wzoru m γ dla górnej połowy elipsa fig. 6 B. Dlatego fig

22 m A A A B A B A A B A A A B a A A B Zadania dla samostarunków AB Znajdź figurę liczbowych linii: A; b; w; g a; D Znajdź objętość ciała ograniczony do powierzchni: A; b; w; g Znajdź obszar określonej powierzchni: i części samolotu 6 więźnia w pierwszym ośmiornicy; b części płaszczyzny cięte z cylindrem A; w paraboloidu wewnątrz cylindra; Paraboloid cięcia przez cylinder paraboliczny i samolot, aby znaleźć środek ciężkości trapezu ABC, gdzie a; B; DO; ; Jeśli gęstość w każdym punkcie jest równa odcięciu tego punktu, aby znaleźć środek ciężkości jednorodnej liczby limitowanej paraboli i bezpośrednio 6 Znajdź masę okrągłej płyty promienia, jeśli gęstość powierzchni w każdym punkcie jest proporcjonalna do odległości Z środka koła odpowiada A; b; w; g a; D 6 i 6; b; w; g A.

23 a; b a; w; GCCCC 6 6 K Obliczanie potrójnych integronów w współrzędnych kartezjańskich do obliczania potrójnej integralności w postaci trzech czasów: Przykłady rozwiązania Przykład Przejdź z FBAFF do trzech czasu i usuwania ograniczeń integracyjnych, jeśli obszar jest ograniczony: i samolot i płaszczywy współrzędne; b stożek i samolot h; W piłce, rozwiązanie i budujemy obszar i projekcję tego obszaru w płaszczyźnie o fig. 7 Prosty AV jest linią skrzyżowania samolotu z samolotem jego równaniem, więc jest to Ohaw Rysunek 7 Rysunek Figura Łatwa do zobacz, że wydawanie bezpośredniej osi równolegle o i przekraczania trójkąta oeaw rho zauważa, że \u200b\u200bjest zawarty w linii i idzie wzdłuż tych

24 Aby dowiedzieć się, że limity zmiany będą przeprowadzić bezpośrednią oś równoleżącej o i obszar przecięcia z figury 7 wchodzi do obszaru na powierzchni, a w ten sposób w ten sposób znajduje się powierzchnia, obszar można opisać W związku z tym system nierówności 6, FF 6 b, aby umieścić limity w trzech czasach z integralności konstruować obszar i jego projekcję na płaszczyźnie linii o Rysunek 9 Linia równania obszarze ograniczającego uzyskuje się poprzez rozwiązanie systemu równań HH Ryż 9, który jest okrągiem z promieniem H z Centrum na początku współrzędnych, prowadząc bezpośrednią równoległą o i o przejazdu i uzyskaniu tego, co jest opisane przez system nierówności HHHHH, więc Hhhfff

25 Możesz wybrać w trzypokojowym integralnym. Inna procedura integracji jest wtedy naturalnie zmieniona, a ograniczenia integracji. Na przykład wyobraź sobie oryginalną integralną w formie CF, aby usunąć limity integracji, projektujemy płaszczyznę o i przeprowadzamy bezpośrednio równolegle O i O i przecinające się odpowiednio i ryż w tym przypadku są określone w nierównościach. Ryż HFF w konstrukcji obszaru i jego projekcję w samolocie o ryż ryżowy z rysunku pokazuje

26 F F F Przykład oblicza, jeśli organizm jest ograniczony do współrzędnych samolotów z płaszczyzną i roztworem stożkowym, konstruujemy organizm, a jego projekcję na płaszczyźnie o ryżu z rysunku jest widoczny, jak opisano przez nierówności: FIGA Zatem 6 6

27 Zadania dla samodzielnych decyzji Przejdź z F do trzech czasów i pozbyć się limitów integracji, jeśli organizm jest ograniczony: Ellipsoid; 9 B Paraboloid i samolot; W płaszczyźnie współrzędnych i samolotach 6 oblicz, jeśli organizm jest ograniczony do samolotów i sfery, jeśli organizm jest ograniczony do samolotów do obliczenia, a reakcje stożkowe 9, jeżeli organizm jest ograniczony do samolotów i f; b f; W F 6, zastępując zmienne w potrójnej integralnej cylindrycznych i sferycznych współrzędnych formuły do \u200b\u200bprzejścia do koordynatów cylindrycznych PIC:;; ; ; Formuły do \u200b\u200bprzejścia do współrzędnych sferycznych θ R RICA: R θ; R θ; R θ; R θrθ tutaj; θ; R7.

28 Przykłady rozwiązania Przykład obliczania ryżu rysunkowego, jeśli stożek jest ograniczony do stożka i płaszczyzny. Ciało jest przedstawione na ryżu przecięcia stożka, a płaszczyzna ma równanie. Tak więc projekcja ciała w samolocie o koło ryż6 Rysunek 6 Wprowadzaj się do współrzędnych cylindrycznych:; ; ; W tych współrzędnych równanie kręgu przedstawionego na FIG. 6 Równanie stożkowe i organizm jest określony w nierównościach; ; więc

29 V Przykład oblicza, jeśli organizm jest ograniczony do roztworów powierzchniowych do konstruowania obszaru; Płaszczyzna do konstruowania równania konwersji powierzchniowej: Równanie to określa kołowy cylinder u podstawy, z której znajduje się zakres promienia z centrum w punkcie ;; W ten sposób obszar integracji jest ryżem cylindra 7, dlatego wygodne jest stosowanie współrzędnych cylindrycznych w tych współrzędnych. Równanie cylindrycznego ograniczającego powierzchnię obszaru integracji weźmie formularz, z którego można się opisać, system nierówności; ; Rysunek 7 9.

30 Więc przykładem jest obliczenie, gdzie ciało jest górną połowę roztworu kulowym obszarze integracji jest częścią piłki wygodnie przejść do współrzędnych sferycznych: rrrrrrrrrrrrrr θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ powierzchnie oblicz, gdzie ograniczona do powierzchni

31 Oblicz oblicz oblicza, jeśli jest ograniczony do powierzchni, jeśli piłka odpowiedzieli na potrójne zintegrowane załącznik zintegrowany przy użyciu przy obliczaniu objętości ciała ω:;; 7 Ω b masy ciała zajmując omów obszarze o zmiennej gęstości objętościowej y: y m; Ω na współrzędne środka ciężkości co- ciała: C-γ m ω C γ 9 m Tt co c M M Ohm gdzie waga ciała, jeśli korpus jest jednolicie, a we wzorze 9 można umieścić γ; M Przykład roztworu Przykład Znajdź pojemność ciała ograniczony przez cylinder i samoloty roztwór organizmu i jego projekcja na płaszczyźnie o przedstawia ryżu na rys. Aby znaleźć współrzędne punktów A i rozwiązując system równań:

32 ± A; B; W ten sposób region ω jest opisany przez system nierówności; ; Zgodnie z formułą 7 Ω, przykład znalezienia masy ciała ograniczonego samolotami, jeśli gęstość w każdym punkcie γ konstruuje korpus ω i jego projekcję w płaszczyźnie o fig. 9 Figura 9 płaszczyzna przecięcia samolotu w bezpośrednim decydując systemu, aby uzyskać współrzędne punktu A; W ten sposób organizm jest opisany przez system nierówności; ; Zgodnie z wzorem korpusu M omów, przykład obliczenia masy ciała ograniczonego płaszczyznami 9 i paraboliczny cylindra, gdy gęstość w każdym momencie jest proporcjonalna do osi odciętych, a na odcinku odległości od płaszczyzny O jest równy

33 Rozwiązanie Gęstość jest proporcjonalna do odcięcia; W związku z tym, k γ jednostkę odległości od powierzchni o gęstości równej; W związku z tym, w γ, wówczas k K w ten sposób γ skonstruuj organizm ω i jego projekcję na płaszczyźnie o ryż ryżowy, aby znaleźć współrzędne punktu A decyduje system równań; 9A Zatem, region może być ustawiana przez system nierówności Ω omów 9, zgodnie z wzorem masy ciała równą omów M przykładu znaleźć współrzędne środka ciężkości korpusu o ograniczonym dolnej połowy kuli i A Paraboloid Jeśli gęstość w każdym punkcie jest proporcjonalna do kwadratu odległości od osi o

34 decyzja zbuduje górną część ciała paraboloid; ; Równanie jest w jednym, można konwertować na gatunek, który określa sferę promienia w środku w punkcie; ; Tak więc korpus ma prezentowanym na ryżu przez występ tego korpusu w płaszczyźnie O jest obwód jego równaniu można otrzymać poprzez rozwiązanie układu równań w płaszczyźnie Równanie linii przecięcia ma równanie postaci elementów wystających z ciało Ω do płaszczyzny ten sam typ omów ryżu, ponieważ koło jest wygodne, gdy należy przejść do obliczenia współrzędnych walcowych; ; W tych współrzędnych równanie granicy Ω ma formę; i spełnia kąt Stan paraboloidy równania w cylindrycznym układzie współrzędnych, z których równanie kuli: ± dla dolnej połowy zmiennej gęstości według stanu problemu jest proporcjonalna do kwadratu odległości pomiędzy osią O γ K w cylindrycznym układzie współrzędnych y k a korpus jest symetrycznie w stosunku do osi o, to jest oczywiste, że środek ciężkości leży na tej osi tych C; C Aby obliczyć C, używamy wzoru 9: C γ m Ω obliczanie pierwszego masy ciała M [Formula]:

35 6 k k k k k k k k m γ ω ω ω jest teraz obliczana Ω ω ω γ k k k k k k k k k k k we wzorze K K C, tak, aby środek ciężkości korpusu pod uwagę ma współrzędne; ; 7.

36 Zadania do samodzielnego rozwiązania 6 Znajdź objętość organizmu ograniczona: i samoloty; b Paraboloid i samolot; W powierzchniach i 6 znajdują dużo masy ciała: i kule, jeśli gęstość γ K; bowiem b, jeśli gęstość γ k; W stożku i samolotie B Jeśli gęstość jest proporcjonalna do kolejności punktu i na odległość odległości od płaszczyzny O jest równa γ 6 znaleźć współrzędne środka ciężkości jednorodnego ciała ograniczonego samolotami odpowiedzi 6 A; b; w 6 9 K γb 6 A k; b; przy 6 6 c ;; 6.

37 Opcje opcji Opcje aplikacji dla indywidualnych prac domowych Znajdź Centrum Grawitacyjne Płaskie kształty Linie ograniczone Znajdź powierzchnię więźnia cylindra wewnątrz cylindra Znajdź objętość ciała ograniczony do powierzchni znalezienia korpusu ciała ograniczonego do sfery i paraboliczną gdy gęstość w dowolnym miejscu jest równa aplika tej opcji punktu znaleźć środek ciężkości płaska figura ograniczona linią i jeden sinusoidy półfalowe znaleźć powierzchnię stożka spięte płaszczyznach znaleźć objętość Ciało ograniczone do powierzchni, aby znaleźć masy ciała ograniczoną część miski promienia w pierwszej Octan, jeśli gęstość w dowolnym momencie jest równa odległości od punktu do płaszczyzny o opcji, aby znaleźć ośrodek ciężkości płaski kształt limited znaleźć powierzchnię stożka w cylindrze 9 znaleźć objętości ciała ograniczony przez powierzchnie 9 9 znaleźć masy ciała ograniczony sferycznej warstwy pomiędzy powierzchniami 9 i 6, jeżeli gęstość w każdym momencie jest odwrotnie proporcjonalna do Odległość od punktu do początku Opcja współrzędnych LA Znajdź Centrum Grawitacji Płaski kształt Linie ograniczone 6\u003e Znajdź powierzchnię umieszczoną wewnątrz cylindra 6 Znajdź objętość korpusy powierzchni 7

38 Znajdź masy ciała ograniczony poprzez bezpośrednią kołowego wysokość promień cylindra, gdy gęstość w każdym miejscu jest równa do kwadratu odległości od punktu do osi symetrii opcji cylindra znaleźć środek ciężkości płaską postać z ograniczona okrąg o środku w punkcie początku współrzędnych o promieniu i dwóch promieni rozmieszczone symetrycznie w stosunku do osi o i tworzą kąt znaleźć powierzchnię stożka znajduje się wewnątrz cylindra Oblicz objętość korpusu ograniczone do powierzchnie znaleźć masy ciała ograniczony współrzędnych płaszczyzny, a płaszczyzna 6, jeżeli gęstość w każdym miejscu jest równa odciętej tego punktu Wariant 6 znaleźć środek ciężkości płaskiej figury ograniczonej osi o i górnej części elipsy BA Znajdź Powierzchnia walca nagranej z płaszczyzn Oblicz objętość korpusu ograniczają powierzchnie 6 Znajdź masy ciała ograniczony do powierzchni 6, jeżeli gęstość w każdym miejscu jest równa aplikaty tego punktu opcja 7 znaleźć środek ciężkości kształt płaskiej ograniczony Cardioid 7 Znajdź powierzchnię i zatężono rzeźbiony oznaczenie cylindra przechodzi na współrzędne biegunowe Oblicz objętość korpusu ograniczają powierzchnie znaleźć wagi ciała, ograniczoną przez powierzchnie\u003e Gdy gęstość jest równa kolejności punktu opcji znaleźć środek ciężkości płaski kształt ograniczony liniami P

39 Znajdź powierzchnię paraboloidy wewnątrz cylindra Znajdź objętość objętości ograniczonych powierzchni 6 Znajdź wiele powierzchni organizmów, jeśli gęstość w każdym punkcie jest opcja 9 Znajdź środek ciężkości płaskiej figury LIMITED LINES 9 9 \u003e Znajdź powierzchnię korpusu ograniczonego do sfery i paraboloid Znajdź objętość ciała ograniczony do powierzchni 6 9 poza cylindrem Znajdź masę ciała ograniczoną przez sferyczną warstwę między powierzchniami 6, jeśli gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do Odległość punktu z pochodzenia opcji współrzędnej w celu znalezienia środka ciężkości linii LIMITED Rysunek i bezpośrednia OA przechodząca przez pochodzenie i punkt A; Znajdź powierzchnię odcięcia kuli do cylindra, aby znaleźć objętość ciała ograniczonego przez powierzchnie; Wewnątrz cylindrów znajduje się masa ciała ograniczona przez piłkę o promieniu, jeśli gęstość jest proporcjonalna do sześcianu odległości od środka kuli i na odległość jest równa γ; Opcja Znajdź Centrum Grawitacyjnego Płaski kształt Linie ograniczone 6 Znajdź powierzchnię cylindra między samolotami, aby znaleźć objętość objętości ograniczonych powierzchni, aby znaleźć masę ciała ograniczonej cylindrycznej powierzchni i samolotów, jeśli gęstość jest równa Punkt ordynacyjny 9.

40 Opcja Znajdź Centrum Grawitacyjnego Płaski kształt Limited Cardioid Znajdź powierzchnię piłki zawartej wewnątrz cylindra Znajdź objętość ciała ograniczony do powierzchni, aby znaleźć masę korpusu ograniczonej do litowej piłki z płaszczyznami współrzędnych i Płaszczyzna, jeśli gęstość w każdym punkcie jest równa aplikacji tej opcji do znalezienia środka ciężkości płaski kształt limitowane linie Znajdź obszar powierzchni paraboloid więźnia między cylindrem a płaszczyzną kabiny, aby znaleźć masy ciała ograniczone przez Paraboloid i samolot, jeśli gęstość jest równa sumie kwadratów punktu współrzędnego opcji, znajdują środek ciężkości płaskiej figury ograniczonych linii Znajdź powierzchnię powierzchni cylindra między płaszczyzną o a powierzchnią znalezienia ograniczonych powierzchni ciała 6, jeśli gęstość jest proporcjonalna do kwadratu o odległości od punktu do osi opcji cylindra, aby znaleźć środek ciężkości płaskiej liczby Linii ograniczonych α α TG TG Znajdź powierzchnię Lokalizacja stożka Wewnątrz cylindra Znajdź objętość ciała ograniczonych powierzchni

41 Znajdź masę ciała ograniczoną przez powierzchnie\u003e Jeśli gęstość jest równa punktu ordynieniowym 6 Znajdź środek ciężkości płaskiej figury Linie ograniczone 6 Znajdź powierzchnię balonu 6 wewnątrz cylindrów Znajdź objętość ciała ograniczona do powierzchni Baab znaleźć wiele ciała ograniczonych powierzchni, gdy gęstość jest równa temperaturze nanoszącego 7 znaleźć środek ciężkości jest equifiable prostokątnego trójkąta z cathet gdy gęstość w każdym momencie jest proporcjonalna do kwadratu odległości od wierzchołek kąta bezpośredniego znaleźć powierzchnię stożka dłuta ruchu sygnalizacji cylindra do współrzędnych biegunowych znaleźć objętości ciała ograniczone powierzchniami 9 znajduje się masa piłki promienia, gdy gęstość jest proporcjonalna do Kuba Odległość od środka kuli i w odległości równej w wariancie y znaleźć środek ciężkości płaski kształt ograniczonych liniami znaleźć powierzchnię paraboloidy osadzonego w pierwszej Octante paraboloidy jest ograniczony do płaszczyzny 6. Oblicz objętość korpusu ograniczają powierzchnie 6 znaleźć masowych Cha STI misce promień w pierwszym Octante Jeżeli gęstość w każdym miejscu jest równa odległości od wariancie płaszczyzna O 9 znaleźć środek ciężkości płaska figura ograniczona liniami znaleźć powierzchnię ciała ograniczony kuli i paraboliczną

42 Oblicz objętość korpusu ograniczają powierzchnie znaleźć masy ciała ograniczony poprzez bezpośrednią kołowego wysokość promień cylindra, gdy gęstość jest równa kwadratu odległości od środka podstawy wyboru cylindra znaleźć środek ciężkości płaskie Figura ograniczonych liniami\u003e Znajdź powierzchnia powierzchnia 9 Cut Cylinder Znajdź ciała Ograniczone Powierzchnie Znajdź Mass Radius ciało Jeśli gęstość jest proporcjonalna do Kuby odległości od centrum i na dystansie odległości równej opcją y, aby znaleźć środek ciężkości płaskiej figury ograniczone Linie ± TG 6 Znajdź powierzchnię cylindra wewnątrz cylindra Znajdź objętość ciała ograniczony do powierzchni wewnątrz cylindra Znajdź masę ciała ograniczoną do całkowitej części dwóch kulek, jeśli gęstość jest proporcjonalna do odległości od punkty dysfrem do płaszczyzny środkowej o możliwość znajdowania kształt płaskiej ciężkości ograniczony kardioidalnych znaleźć powierzchnię stożka odcięcia płaszczyznach Oblicz objętość korpusu ograniczają powierzchnie zewnątrz cylindra 6 znajduje się wiele części kuli o promieniu Cofnięte w pierwszej oktanie, jeśli gęstość w każdym punkcie jest równa odległości do płaszczyzny o

43 Opcja Znajdź Centrum Grawitacyjne Płaskie kształt Linie ograniczone Znajdź powierzchnię paraboloid 6 więźnia między cylindrem a płaszczyzną Znajdź objętość ciała ograniczony do powierzchni, aby znaleźć masy ciała ograniczoną przez sferyczną warstwę między powierzchniami 6 Jeśli gęstość jest odwrotnie proporcjonalna do odległości od początku opcji współrzędnych do znalezienia środka grawitacyjnego płaskiego kształtu Linie ograniczone 9 Znajdź powierzchnię zlokalizowaną wewnątrz cylindra Znajdź objętość ciała ograniczony do powierzchni, aby znaleźć masy ciała ograniczone przez paraboloid i płaszczyznę, jeśli gęstość jest równa sumie kwadratów opcji punktów współrzędnych do znalezienia środka ciężkości płaskiej liczby linii ograniczonych Znajdź powierzchnię stożka wewnątrz cylindra Znajdź korpusowe powierzchnie Znajdź masy ciała Ograniczona wspólna część dwie kulki, jeśli gęstość jest proporcjonalna do odległości od punktu do płaszczyzny o

44 Spis treści Obliczanie podwójnych całek w Kartezjańskich koordynuje Podwójne integralne w Polar Współrzędne Zastosowania z całościami podwójnych Obliczanie triple integralni w koordynatach kartezjańskich Wymiana zmiennych w potrójnej integracji cylindrycznych i sferycznych 7 6 Zastosowania triple integralni Aplikacje Opcje dla indywidualnych prac domowych 7 Edycja edukacyjna Wiele integerów Zadania i metodyczne ćwiczenia Instrukcje skompilowane przez Karpilova Olga Mikhailovna Editor Yu N L i T i N O i Pustavka Yu N L i T i NO w podpisanym w formacie drukowania 6x / 6 Papierowy druk offsetowy Offset SIL rzeczywiście 7 cyrkulacji Art 9 / Samara State Aerospace University 6 Samara Moskwa Wydawnictwo Publishing House of Samara State Aerospace University 6 Samara Moskwa Highway

COS, SIN, J DD DD D D 2 Oblicz ZDDZ DDZ, gdzie zewnętrzna strona powierzchni Z, która jest odcięta przez płaszczyznę Z R E i E, powierzchnia jest paraboloidem podana przez wyraźnie przez równanie Z

Instytucja państwowa o wyższej edukacji zawodowej "Białorusko-Russian University" Wydział "Wyższa matematyka" wyższa matematyka. MATEMATYKA. Matematyka (głowa specjalna). ANALIZA MATEMATYCZNA

Metodyczne wytyczne dotyczące zadań rozliczeniowych w tempie wyższej matematyki "Równania różnicowe zwykłych różnicowych serii wielokrotnych integrałów" Część III Motyw wielokrotnych integrałów Spis treści Obliczanie podwójnego i potrójnego

Ministerstwo Transportu Federacji Federacji Federalnej Federalnej Stanów Edukacji budżetowej Ustanowienie szkolnictwa wyższego "Rosyjski Uniwersytet Transportowy (Miit)" Ittss Department "Wyższy i obliczeniowy

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalnej Stanowej Instytucji Edukacyjnej Stanowej Wyższej Edukacji Professional "Siberian State Industrial University"

Praktyczna lekcja 9 Obliczanie podwójnej integralności w współrzędnych polarnych podwójnego zastosowania zintegrowanego Rozważ szczególny przypadek wymiany zmiennych często stosowanych przy obliczaniu podwójnej integralności

Dual integrals Przykłady rozwiązywania problemów 1. Aby zmniejszyć podwójny integralny F (X, Y) DX, do powtórzenia na dwa sposoby (zgodnie z wzorem (1) i wzorem (2)), jeśli G Region ograniczony przez krzywe X \u003d 1 , y \u003d x 2, y \u003d

Ekspresja masy ciała przez potrójną integralną w cylindrycznych współrzędnych definicji i formuły do \u200b\u200brozwiązywania problemów Określenie cylindrycznego baru zorientowanego na ryżu OSI O nazywany jest organizmem G LIMITED

Ministerstwo Edukacji Republiki Białorusi Białorusi Krajowa Politechniki Departamentu Matematyki Inżynierskiej N.A. Kondratieva o.g. Vishnevskaya N.K. Prikhach Mathematics Metalical Manual

Podręcznik jest przeznaczony dla uczniów szefów drugiego roku uczenia się. Korzyści w krótkiej i dostępnej formie są uważane za tematy: wielokrotne integrały, integrały krzywoliniowe, wiersze, teoria prawdopodobieństwa.

Ministerstwo Nauki i Edukacja Federacji Rosyjskiej Moskiewska Państwowa Uniwersytet Geodezji i Kartografii AV Aristarkhova, Ng Babayev Indywidualne zadania na wyższej matematyce wiele integli

Zadania bankowe na temat "Integral Calculus" * Zmień kolejność integracji + DD * Znajdź obszar płaskiej powierzchni ograniczonej liniami \u003d, \u003d, \u003d * oblicz (D) + ACCTG D, gdzie) +, + 9 , \u003d (Region d,

Ministerstwo Kultury Federacji Rusian Federalnej Stanowej Instytucji Edukacyjnej budżetowej wyższej edukacji zawodowej, Stan Petersburg State University of Cinema i

Część. Przykładowe zadania egzaminacyjne w matematyce A. Najprostsze zadania dla trzech punktów. Oblicz całkowały Arcsin D) II Semestr ICIA i 9 C. oraz) 6 N k) 5 6 5 g) 6 g) COS Z) Z Arcsin Z. Oblicz pochodną

Ministerstwo Transportu Federacji Federacji Federalnej Federalnej Instytucja Edukacyjna Szkolnictwa Wyższego "Rosyjski Uniwersytet Transportowy (Miit)" Instytut Technologii Transportu

3 Region (D) W naszym przypadku n oznacza normalne normalne do płaszczyzny XOY, te nk () \u003d φ, φ, a następnie \u003d \u003d i n () cos γ \u003d, + + (φ) (φ) (φ) (φ) DQ \u003d + + DD Uwaga, jeśli powierzchnia (Q) jest poprawna w kierunku

Tasknik w matematyce (wydziały teniczne, semestr) 7 całkowitości Znajdź integrały DD SIN + D + + D + D + D 9 COS DD + D + 8 D 9 DD + D 9 + D + 7 TG D 8 COSS COS SIN 9 D

Wykład n 45 wielokrotnych integracji w polarnych, cylindrycznych i sferycznych współrzędnych zastosowania wielu całek z całkowania podwójnego w współrzędnych polarnych z potrójnej integralności w cylindrycznym i sferycznym

Rozdział. Wielokrotne zintegrowane .. zawód ... Zmniejszenie podwójnej integralności do ponownego obliczenia całkowania należy wyróżnić dwoma przypadkami. () Pierwszy przypadek. Obszar integracji jest ograniczony do lewej

Supreme College Communication Collection typowych obliczeń dotyczących dyscypliny "Matematyka wyższa" Część II dla studentów specjaliści T000 Komunikacja pocztowa Mińsk 00 skompilowany przez Ryabenkova La Edition zatwierdzony na spotkaniu

Wykład drugiego rzędu hiperboli jako przykładu znajdzie równania okręgu określającego, paraboli, elipsy i kręgu koła nazywa się zestaw punktów lotniczych, które są równomierne od określonego

Potrójna integralna Volchenko Yu.m. Zawartość wykład koncepcja potrójnej integralności. Warunki jego istnienia. Środkowy twierdzenie. Obliczanie potrójnej integralności w współrzędnych kartezjańskich i krzywoliniowych. Potroić

Wykład N. Obliczanie wielokrotnych integracji. Aktywny podwójny integralny w prostokątnych współrzędnych kartezjańskich ..... Obliczanie podwójnej integralnej (dowolna powierzchnia) ..... potrójna integralna ..... obliczenia

Wprowadzenie Instrukcje metodyczne zawierają 26 opcji indywidualnych prac domowych na tematy "Direct na płaszczyźnie iw przestrzeni", "samolot", "krzywe i powierzchnie drugiego zamówienia". Na podstawie jednostki

Spis treści Wprowadzenie Wielokrotne, Curvilinear I Negronami Elementy teorii pola zadań dla klas audytu Krótkie informacje z teorii Przykładowe zadania rozwiązań dla zadania zadania

Praktyczna lekcja 6 integrałów powierzchniowych 6 Właściwości definicji Obliczanie i zastosowanie powierzchni integralnej powierzchniowej - rodzaj 6 Definicja nieruchomości i obliczanie powierzchni integralnego rodzaju rodzaju rodzaju 6

B. M. MAVrin, E. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. Balaev Workies Rotation Workshop Samara 2005 Federalna Agencja Edukacji Państwowa Instytucja Edukacyjna o wyższej edukacji zawodowej "Samara

Podwójne całki z zadaniami i ćwiczeniami do samodzielnej pracy 1. Utwórz podwójną integralną część F (X, Y) DX D, aby powtórzyć na dwa sposoby, jeśli: G a) g trójkąta z wierzchołkami (1, 1), (4, 1) , (4, cztery); b)

Federalna agencja kolejowa Ural State University of Communications Department "Wyższa matematyka" i N Pirogova Geometria analityczna w przykładach i zadania Jekaterynburg

Klasy 1-2. Pewna integralna i jej załącznik I. Za pomocą formuły Newtona Labnic, oblicz określoną integralną: 1. (2 + 2) 2. / 3. (4.) 5. 6. 7. 8. Efimov-pospelov 7.324-7.352, 7.380- 7,385,

Wykład 7 Niepodłącznych integerów w całkach niezgodnych nazywane są pewne całki, dla których przynajmniej jeden z warunków istnienia pewnej (własnej) integralności :) lub

14. zawód. Mata potrójna integrała. Analiza, klej. Mata, trzeci semestrowy powtórzyć A1 w następującym integralnym, aby przejść do współrzędnych polarnych i umieścić limity integracji w drugim zamówieniu:

Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej Uniwersytetu Państwowego Yaroslavla. P.G. Demidow Departament Discrete Analysis Plane i bezpośrednio w przestrzeni zadania Kompilator Yaroslavl Cand.

Moskwa samochodowa i drogowa Uniwersytet techniczny (MADI) Zintegrowane opcje korulusowe Tasknik Moskwa Motoryzacja-Droga Drogowa techniczna

Federalna agencja transportu kolejowego Ural State University of Communications Department "Wyższej i stosowanej matematyki" P i Gnilken Zastosowania wielokrotnych i Curvilinear

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Stan Federalny Autonomiczny ustanowienie edukacji szkolnictwa wyższego "Samara State Aerospace University Nazwa

Dodatek 5 Ministerstwo Rolnictwa Federacji Rosyjskiej Federalnej Stanowej Instytucji Edukacyjnej Szkolnictwa Wyższego "Stan Saratowie Uniwersytet Agrarny

Elementy geometrii analitycznej na płaszczyźnie. Linia prosta 1. Oblicz obwód trójkąta, których wierzchołki służą jako (6; 7), B (3; 3), C (1; 5). 2. Znajdź punkt równomierny do punktów A (7;

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Uniwersytetu Państwowego Yaroslavla. P. G. Demidov Departament Algebry i Matematyczne Krzywe Logiki drugiego rzędu I Instrukcje metodyczne

Zawartość wielu integerów koncepcja wielu integralnych integralnych integralnych. Obszary w samolocie ................. powtarzane integralne ................ 3.3 Obliczanie podwójnej integralności w współrzędnych kartezjańskich .. ... ..................

Praktyczna lekcja 14 Temat: Plan paraboli 1. Definicja i kanoniczna równanie paraboli .. Właściwości geometryczne paraboli. Wzajemna lokalizacja paraboli i bezpośrednie przechodzące przez centrum. Konserwacja

1 najprostsze zadania geometrii analitycznej na płaszczyźnie 11 odległość między dwoma punktami Rozważmy prostokątny układ współrzędnych (Carteva, figura 1 dowolnego punktu M odpowiada współrzędnych OA X

Ministerstwo Transportu Federacji Federalnej Federalnej Instytucji Edukacyjnej Wyższej Edukacji Profesjonalnej Ulyanowsk Wyższa Szkoła Lotnictwa Cywilnego (Instytut)

Rozdział 5. Potrójna integralna. 5.1. Definiowanie potrójnej integralności. Po wprowadzeniu w poprzednim rozdziale koncepcja podwójnej integralnej byłoby naturalnie przeprowadzić dalszą uogólnienie w przestrzeni trójwymiarowej

Linie algebraiczne na samolocie .. Linia pierwszej kolejności (prosta na płaszczyźnie ... Główne typy równań linii prostych w płaszczyźnie niezerowe wektor N określone prostopadły Direct nazywany jest normalnie

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Stanowej Uniwersytetu Oliwkowego i Gazu o nazwie Imgubkin TS Philippov Antfilipowa Metodyczne instrukcje dotyczące badania tematu "Wiele i krzywoliniowe

Penza State Pedagogical University o nazwisku Vgbelinsky Felnikina Funkcje kilku zmiennych Zintegrowane obliczenia Szkolenia Instrukcja obsługi Penza jest drukowana przez decyzję publikowania redakcyjnego

Elementy tematyczne geometrii analitycznej w płaszczyźnie i w wykładzie przestrzeni .. Prosto na płaszczyźnie p l i n. Sposób współrzędnych na płaszczyźnie. Bezpośrednio w koordynuje kartezjańskimi. Warunek równoległości i prostopadłości

- Uniwersytet Techniczny Moskwa Państwowa Nazwana N.e. Bauman Wydział "Fundamental Sciences" Department "Modelowanie matematyczne" à.. Strona z à. Okupować

Rozdział 5 Powierzchni integali - typ (ciąg dalszy) 5 Zadania w klasie Zadanie 5 (4349) Oblicz integralną, gdzie część powierzchni stożka, x \u003d ρ cos φ sin α, y \u003d ρ sin φ sin α, z \u003d ρ cos α ((ρ h

Federalna Agencja Edukacji Ural State Leśnictwo Uniwersytet Departamentu Oporu Materiałów I Mechaniki Teoretycznej V. A. Kaletiev V. M. Kalinin L. T. Raevskaya N. I. Chashchen

Elementy samolotu zawodu geometrii analitycznej w przestrzeni trójwymiarowej napisz równanie płaszczyzny i wyjaśnić znaczenie wartości zawartych w tym równaniu, aby napisać ogólne równanie samolotu

3 Przykładowe wyrażenia rekordu do momentów statycznych domeny materiałowej płaskiej (D) na podstawie formuł (3), biorąc pod uwagę figurę (φ), mamy: ρ, DD, ρ, DD oparte na mechanicznym znaczeniu statycznego momentu ,

Zadanie 1 Znajdź współrzędne środka ciężkości półkoliny Y \u003d R 2 x 2. Zadanie 5 powierzchni powierzchni Z \u003d 1 4 XY, umieszczone wewnątrz powierzchni x 2 + Y 2 \u003d 16. Zmiana kolejność integracji

Ministerstwo Edukacji i Nauki Ukrainy Narodowej Akademii Metalurgicznej Ukrainy Instrukcje dotyczące rozwiązywania problemów dotyczących dyscypliny Najwyższej matematyki i opcje dla testów praktycznych

Zajęcia praktyczne na najwyższym kursie matematyki (III semestr) na podstawie instrukcji szkoleniowej "zbiór indywidualnych zadań na wyższej matematyce", objętość 3, ed. Ryabushko A.P. Na dzień uczniowie

Uniwersytet Techniczny Moskwy o nazwisku N.e. Bauman Wydział "Fundamental Sciences" Działu "Matematyka obliczeniowa i fizyki matematycznej" A.I. Levin wiele integerów elektronicznych

Zintegrowane obliczenie funkcji kilku zmiennych integrowanych całkowitej powierzchni długości łuku (pierwszej natężenia) powierzchni wzdłuż powierzchni (pierwszy rodzaj) Niech funkcja F () zdefiniowano

1.3. Lekcja 3 1.3.1. Obliczanie potrójnych integerów w współrzędnych kartezjańskich pozwól przestrzennym obszarze, d jego projekcję na płaszczyźnie tlenku. Obszar nazywa się --vile, jeśli dowolna pionowa linia prosta

Ministerstwo Edukacji Republiki Białorusi Białoruski Krajowy Dział Uniwersytetu Technicznego Matematyki Wyższe Przewodnik Matematyki do rozwiązywania problemów dla studentów mechanicznych i technologicznych

Praktyczny Lekcja 1 Temat: Plan hiperboliowy 1 Definicja i równanie kanoniczne Hiperboles Właściwości geometryczne Hiperboluje wzajemne rozmieszczenie hiperbębów i bezpośrednie przechodzące przez jego centrum asymptotów