Matematyka z nieletnim. Porządkowanie zbioru liczb naturalnych Twierdzenia o największych i najmniejszych liczbach naturalnych
Odcinek N szeregu naturalnego to zbiór liczb naturalnych nieprzekraczających liczby naturalnej a, czyli N = (x|x N i x a).
Np. N jest zbiorem liczb naturalnych nieprzekraczających 7, tj. N =(1,2,3,4,5,6,7).
Zwróćmy uwagę na dwie najważniejsze właściwości odcinków ciągu naturalnego:
1) Każdy segment N zawiera jeden. Właściwość ta wynika z definicji odcinka ciągu naturalnego.
2) Jeżeli liczba x zawarta jest w przedziale N i x a, to następująca po nich liczba x+1 również należy do N.
Zbiór A nazywa się skończonym, jeśli jest równoważny pewnemu segmentowi N szeregu naturalnego. Na przykład zbiór A wierzchołków trójkąta, zbiór B liter w słowie „świat” są zbiorami skończonymi, ponieważ są one równe segmentowi N = (1,2,3), tj. A~B~ N.
Jeżeli niepusty skończony zbiór A jest równy segmentowi N, to liczbę naturalną a nazywamy liczbą elementów zbioru A i zapisujemy n(A) = a. Na przykład, jeśli A jest zbiorem wierzchołków trójkąta, to n(A) = 3.
Każdy niepusty zbiór skończony jest równoważny jednemu i tylko jednemu segmentowi szeregu naturalnego, tj. każdy skończony zbiór A może być powiązany z jednoznacznie określoną liczbą a, tak że zbiór A jest odwzorowany jeden do jednego na ten segment N.
Ustalenie korespondencji jeden do jednego między elementami niepustego skończonego zbioru A a odcinkiem szeregu naturalnego nazywa się liczeniem elementów zbioru A. Ponieważ tylko jedna liczba naturalna odpowiada dowolnemu niepustemu zbiorowi skończonemu, cały zbiór zbiorów skończonych jest podzielony na klasy zbiorów o równej mocy. Jedna klasa będzie zawierać wszystkie zbiory jednoelementowe, inna będzie zawierała zbiory dwuelementowe itd. I tę liczbę można uznać za ogólną własność klasy skończonych zbiorów o jednakowej mocy. Zatem z punktu widzenia teorii mnogości liczba naturalna jest ogólną własnością klasy zbiorów skończonych o równej liczności.
Liczba 0 ma również interpretację mnogościową - jest ona porównywana ze zbiorem pustym: n() = 0.
Zatem liczbę naturalną a jako cechę ilości można rozpatrywać z dwóch pozycji:
1) jako liczbę elementów zbioru A uzyskaną w wyniku zliczenia;
2) jako ogólna własność klasy zbiorów skończonych o jednakowej mocy.
Ustalone powiązanie między zbiorami skończonymi a liczbami naturalnymi pozwala na przedstawienie teorii mnogościowej relacji „mniej niż”.
Jeżeli a = n(A), b = n(B), to liczba a jest mniejsza od liczby b wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest równy swojemu własnemu podzbiorze zbioru B, tj. A~B, gdzie B B, B B, B (ryc. 1). Lub gdy odcinek szeregu naturalnego N jest podzbiorem właściwym odcinka N, tj. N N .
Liczby a i b są równe, jeśli są określone przez równe zbiory: a = k A~B, gdzie n(A) = a, n (B) = k. Na przykład 2 = 2, ponieważ n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Własności relacji „mniejszy niż” dla liczb naturalnych również otrzymują interpretację mnogościową: przechodniość i antysymetria tej relacji wiążą się z faktem, że relacja „być podzbiorem” jest przechodnia i antysymetryczna.
Pokażmy, korzystając z teorii mnogości relacji „mniej niż” dla liczb naturalnych, że 2
Weźmy zbiór A zawierający 2 elementy i zbiór B zawierający 5 elementów, tj. n(A) = 2, n(B) = 5. Na przykład A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Ze zbioru B możemy wybrać podzbiór B równy zbiorowi A: na przykład B = (c, d) i A~B. Zgodnie z definicją współczynnika „mniej niż”, 2
Ważność tej nierówności wynika także z faktu, że N
Nierówność tę widać na rysunku 2. Niech 2 będzie liczbą okręgów, a 5 liczbą kwadratów. Jeśli umieścimy kółka na kwadratach, zobaczymy, że niektóre kwadraty pozostaną odkryte.
Oznacza to, że liczba okręgów jest mniejsza niż liczba kwadratów, tj. 2
Teoretyczne znaczenie nierówności 0
Porównywanie liczb w początkowym toku matematyki odbywa się na różne sposoby - opiera się na wszystkich rozważanych przez nas podejściach do interpretacji relacji „mniej niż”.
Liczba naturalna to liczba używana do liczenia obiektów. Powstała z praktycznych potrzeb człowieka. Rozwój koncepcji liczby naturalnej można podzielić na kilka etapów: 1. Starożytni ludzie, w celu porównania zbiorów, ustalili odpowiedniki: na przykład tyle, ile palec u ręki. Wada - porównywane zestawy musiały być jednocześnie widoczne. 2. Wiele - pośredników, na przykład kamienie, muszle, patyki. Pojęcie liczby nie jest jeszcze ukończone. A liczby są powiązane z konkretnymi pozycjami. 3. Wygląd liczby (Oznaczenie liczby w postaci liczb). Początki arytmetyki. Arytmetyka jako nauka powstała w krajach starożytnego Wschodu – Chinach, Indiach, Egipcie, a dalszy rozwój nastąpił w Grecji. Terminu „liczba naturalna” po raz pierwszy użył rzymski naukowiec Boecjusz. Liczenie jest niezbędne do określenia ilości zestawu. Podzielmy wszystkie zbiory ilościowe na klasy równoważności, na przykład na jedną klasę równoważności. będzie zawierać wiele wierzchołków trójkątów, boków kwadratu, wiele liter w świecie słów. Jeśli będziemy kontynuować ten proces, to ze względu na to, że w odniesieniu do równoważności wszystko jest relacją równie potężną. Zbiory skończone zostaną podzielone na klasy. To. teoretycznie liczba mnoga kardynalnej liczby naturalnej jest ogólną własnością klasy zbiorów skończonych o równej mocy. Każda klasa ma swój własny numer ilościowy. Zero jest umieszczane zgodnie ze zbiorem pustym.
Mówi się, że liczby A i B są równe, jeśli są zdefiniowane przez zbiory o równej liczności.
Metodę tę stosuje się w klasach podstawowych.
Metody pracy nad problemami ujawniającymi specyficzny sens działań arytmetycznych.
Zadania arytmetyczne zajmują ważne miejsce na lekcjach matematyki. Prawie połowę czasu na lekcjach matematyki poświęca się na rozwiązywanie problemów. Tłumaczy się to ich wielką rolą edukacyjno-wychowawczą, jaką odgrywają w nauczaniu dzieci. Rozwiązywanie problemów arytmetycznych pomaga odkryć podstawowe znaczenie działań arytmetycznych, sprecyzować je i powiązać z konkretną sytuacją życiową. Problemy przyczyniają się do asymilacji pojęć matematycznych, relacji i wzorców. Rozwiązując problemy, dzieci rozwijają dobrowolną uwagę, obserwację, logiczne myślenie, mowę i inteligencję. Rozwiązywanie problemów przyczynia się do rozwoju takich procesów poznawczych, jak analiza, synteza, porównywanie, uogólnianie.
W procesie rozwiązywania problemów arytmetycznych uczniowie uczą się planowania i kontrolowania swoich działań, opanowują techniki, samokontroli (sprawdzanie zadania, szacowanie problemów itp.), rozwijają wytrwałość, wolę i zainteresowanie poszukiwaniem rozwiązania problem. Rozwiązywanie problemów odgrywa ogromną rolę w przygotowaniu dzieci do życia i przyszłej pracy. Rozwiązując problemy z opowiadaniem, uczniowie uczą się tłumaczyć relacje między obiektami i ilościami na „język matematyki”. Zadania arytmetyczne wykorzystują materiał liczbowy, który odzwierciedla sukcesy kraju w różnych sektorach gospodarki narodowej, kultury, nauki itp. Pomaga to poszerzać horyzonty uczniów, wzbogacając ich o nową wiedzę na temat otaczającej rzeczywistości. Studenci opanowują umiejętność rozwiązywania problemów arytmetycznych z dużym trudem.
Przyczyny błędnych rozwiązań problemów u dzieci leżą przede wszystkim w osobliwościach ich myślenia. W procesie uczenia się rozwiązywania problemów należy unikać szkolenia w rozwiązywaniu problemów określonego rodzaju, należy uczyć świadomego podejścia do rozwiązywania problemów, uczyć, jak poruszać się w określonej sytuacji życiowej opisanej w problemie, uczyć świadomego doboru zadań danych, świadomy wybór działań. W procesie pracy nad dowolnym problemem arytmetycznym można wyróżnić następujące etapy:
1. Pracuj nad treścią zadania.
2. Znalezienie rozwiązania problemu.
3. Rozwiązanie problemu.
4. Formułowanie odpowiedzi.
5. Sprawdzenie rozwiązania problemu.
6. Kontynuacja pracy nad rozwiązanym problemem.
Dużą uwagę należy poświęcić pracy nad treścią zadania, tj. nad zrozumieniem sytuacji określonej w zadaniu, ustaleniem związku między danymi a tym, czego się szuka. Kolejność pracy nad opanowaniem treści zadania;
a) analiza niezrozumiałych słów lub wyrażeń;
b) zapoznanie się z tekstem zadania przez nauczyciela i uczniów;
c) rejestrowanie warunków wystąpienia problemu;
d) powtórzenie zadania w formie pytań.
Należy uczyć uczniów, jak ekspresyjnie czytać tekst problemu. Należy pamiętać, że dzieci należy uczyć czytania ekspresyjnego, gdyż same nie potrafią poprawnie odczytać problemu, nie potrafią kłaść nacisków logicznych itp.
Wraz z określeniem treści zadania za pomocą obiektów, szablonów i rysunków, w praktyce nauczycieli szkolnych upowszechniły się następujące formy utrwalania treści zadania:
1. Skrócona forma zapisu, w której z tekstu zadania wypisywane są dane liczbowe oraz tylko te słowa i wyrażenia, które są niezbędne do zrozumienia logicznego znaczenia problemu.
2. Skrócona strukturalna forma zapisu, w której każda logiczna część problemu jest zapisana w nowym wierszu.
3. Schematyczna forma zapisu.
4. Graficzna forma zapisu.
Ponieważ funkcja kontrolna u dzieci jest osłabiona, sprawdzanie rozwiązania problemu ma nie tylko znaczenie edukacyjne, ale także edukacyjne. W niższych klasach konieczne jest:
1. Sprawdź ustnie sformułowane zadania, wykonując czynności na przedmiotach.
2. Sprawdź prawdziwość odpowiedzi.
3. Sprawdź zgodność odpowiedzi z warunkami i pytaniem zadania. Sprawdzenie rozwiązania problemu innymi sposobami jego rozwiązania możliwe jest już od klasy 4.
Aby kontrolować poprawność rozwiązywania problemów, wykorzystuje się także elementy treningu programowego. Element ten jest bardzo przydatny, ponieważ uczeń natychmiast otrzymuje wzmocnienie za poprawność lub odwrotnie, błąd swojego działania. Jeśli decyzja jest błędna, szuka nowych rozwiązań.
Nauczyciel w szkole często nie może mieć pewności, że rozwiązanie problemu jest zrozumiałe dla wszystkich uczniów. Dlatego bardzo przydatna jest praca nad ujednoliceniem rozwiązania tego problemu. Prace nad utrwaleniem rozwiązania problemu można prowadzić na różne sposoby.
1. Postawiono pytania kluczowe dotyczące treści problemu.
2. Proponuje się opowiedzieć cały proces rozwiązywania problemu wraz z uzasadnieniem wyboru działań.
3. Zadawane są pytania dotyczące poszczególnych działań lub kwestii. Dla studentów ważna jest nie liczba rozwiązanych podobnych problemów, ale zrozumienie sytuacji przedmiotu w odniesieniu do danych. Temu celowi służy późniejsza praca nad rozwiązanym problemem, co można uznać za ważną technikę rozwijającą umiejętności rozwiązywania tego typu problemów. Lepsze zrozumienie merytorycznej treści problemów, powiązania danych z wymaganymi ułatwia rozwiązywanie problemów z dodatkowymi lub brakującymi danymi liczbowymi, zapisanymi nie cyframi, ale słownie. Z obserwacji wynika, że najlepsi nauczyciele powszechnie wykorzystują układanie zadań przez samych uczniów jako jedną z metod nauczania rozwiązywania problemów.
Tworzenie problemów pomaga dzieciom lepiej zrozumieć żywotne i praktyczne znaczenie zadania, lepiej zrozumieć jego strukturę, a także rozróżnić różne rodzaje problemów i zrozumieć metody ich rozwiązywania. Przygotowanie problemów odbywa się równolegle z rozwiązywaniem gotowych problemów. Doświadczenie i obserwacja pokazują, że dla studentów najłatwiejsze jest częściowe ułożenie problemów. Należy zachęcać uczniów do układania problemów z wykorzystaniem różnorodnych wątków. Sprzyja to rozwojowi ich wyobraźni, pomysłowości i inicjatywy. Jest to bardzo przydatne, gdy przy układaniu zadań uczniowie korzystają z materiałów „zdobytych” podczas wycieczek, z podręczników, gazet, czasopism itp. Uczniowie szkół średnich muszą uczyć się wypełniania i pisania dokumentów biznesowych związanych z określonymi obliczeniami. Na przykład napisz pełnomocnictwo, wypełnij formularz przelewu itp. Wszystkie powyższe techniki mogą być szeroko stosowane w rozwiązywaniu wszelkiego rodzaju problemów.
Prosty problem arytmetyczny to problem, który można rozwiązać za pomocą jednej operacji arytmetycznej. Proste zadania odgrywają niezwykle ważną rolę w nauczaniu matematyki uczniów. To proste zadania, które pozwalają odkryć główne znaczenie i określić operacje arytmetyczne, tworząc pewne pojęcia matematyczne. Problemy proste są integralną częścią problemów złożonych, dlatego też rozwijając umiejętność ich rozwiązywania, nauczyciel przygotowuje uczniów do rozwiązywania problemów złożonych.
W każdym roku akademickim studenci zapoznają się z nowymi rodzajami prostych problemów. Ich stopniowe wprowadzanie tłumaczy się różnym stopniem trudności pojęć matematycznych, miejscem badania tych operacji arytmetycznych, specyficznym znaczeniem, jakie ujawniają. Przy wyborze zadań tego typu na nie mniejszą uwagę zasługuje specyfikacja i treść nauczyciela. Na koniec nauczyciel uczy, jak określić treść problemu, ujawniając związek danych z tym, czego się szuka, stosując różne formy krótkiej notacji.
Doświadczenie najlepszych nauczycieli pokazuje, że przygotowanie do rozwiązywania problemów arytmetycznych należy rozpoczynać od wzbogacania i rozwijania praktycznych doświadczeń uczniów, orientując ich w otaczającej rzeczywistości. Należy wprowadzić uczniów w sytuację życiową, w której muszą liczyć, rozwiązywać zadania arytmetyczne i wprowadzać zmiany. Co więcej, nie należy początkowo stwarzać tych sytuacji sztucznie, należy jedynie zwrócić na nie uwagę uczniów i ukierunkować je. Nauczyciel organizuje obserwację zmian w liczbie elementów zbiorów przedmiotowych zawartości naczyń itp., co przyczynia się do rozwoju wyobrażeń uczniów na temat ilości i zaznajomienia ich z określoną terminologią, z którą później spotkamy się w sformułowaniu werbalnym problemów: stało się, wszystko pozostało, wzięło, wzrosło, zmalało itp. Należy tak organizować zabawę i zajęcia praktyczne uczniów, aby będąc bezpośrednimi uczestnikami tej aktywności, a także obserwując, uczniowie sami mogli wyciągnąć wnioski w każdym indywidualnym przypadku; liczba elementów zbioru wzrosła lub spadła oraz jaka operacja i wyrażenie słowne odpowiadają temu wzrostowi lub zmniejszeniu. Ten etap prac przygotowawczych zbiega się z rozpoczęciem pracy nad pierwszymi dziesięcioma liczbami i zapoznaniem się z działaniami arytmetycznymi, rozwiązywaniem i zestawianiem przykładów operacji na zbiorach celów.
Przed rozpoczęciem nauczania rozwiązywania problemów arytmetycznych nauczyciel musi jasno wyobrazić sobie, jaką wiedzę, umiejętności i zdolności należy przekazać uczniom. Aby rozwiązać zadanie, uczniowie muszą rozwiązać przykłady arytmetyczne, wysłuchać, a następnie przeczytać zadanie, powtórzyć zadanie pytanie po pytaniu, z krótkiej notatki, z pamięci, zidentyfikować elementy zadania, rozwiązać zadanie i sprawdzić jego poprawność. W klasie 1 uczniowie uczą się rozwiązywać zadania polegające na znajdowaniu sumy i reszty. Zadania te zostały wprowadzone po raz pierwszy podczas nauki pierwszych dziesięciu liczb. Ucząc się rozwiązywania problemów ze znajdowaniem sumy identycznych wyrazów, dzieleniem na równe części lub dzieleniem przez treść, należy opierać się na zrozumieniu przez uczniów istoty działań arytmetycznych mnożenia i dzielenia. Przed rozwiązaniem problemu różnych porównań uczniowie muszą podać koncepcję porównywania obiektów jednego zbioru, dwóch zbiorów przedmiotowych, ilości, liczb, ustalania relacji równości i nierówności między nimi. Złożony lub złożony problem arytmetyczny to problem, który można rozwiązać za pomocą dwóch lub więcej operacji arytmetycznych. Badania psychologiczne nad charakterystyką rozwiązywania złożonych problemów arytmetycznych pokazują, że dzieci nie rozpoznają znanych prostych problemów w kontekście nowego złożonego problemu. Praca przygotowawcza do rozwiązywania problemów złożonych powinna składać się z systemu ćwiczeń i technik, które celowo prowadzą uczniów do opanowania rozwiązywania problemów złożonych. Nauczyciel może przejść do rozwiązywania problemów złożonych, gdy jest przekonany, że uczniowie opanowali techniki rozwiązywania prostych problemów, które zostaną zawarte w zadaniu złożonym i potrafią sami stworzyć proste zadanie określonego typu. Rozwiązując problemy złożone, uczniowie muszą albo zadawać pytania do danych, albo wybierać dane, aby odpowiedzieć na pytanie. Dlatego w okresie przygotowawczym, tj. przez cały pierwszy rok oraz na początku drugiego roku studiów studentom należy zaproponować zadania:
1. Wybierz pytania do gotowego warunku.
2. Ułóż problem na podstawie pytania, zaznaczając brakujące dane liczbowe.
Komponując problemy proste i złożone, uczniowie stopniowo nauczą się rozpoznawać problemy proste w problemie złożonym, bardzo przydatne są ćwiczenia komponowania problemów złożonych, których doświadczyli już przy ich rozwiązywaniu. Przyczyni się to do lepszego przyswojenia rodzajów prostych problemów, umiejętności ich identyfikacji w problemie złożonym oraz pomoże uczniom w bardziej świadomej analizie problemów. Podczas rozwiązywania problemów złożonych należy uczyć uczniów ogólnych technik pracy nad problemem; umiejętność analizy treści zadania, podkreślenia znanych danych, tego, czego się szuka (tj. ustalenia, czego należy się nauczyć w zadaniu), określenia, jakich danych brakuje, aby odpowiedzieć na główne pytanie w zadaniu. W praktyce szkolnej sprawdził się sposób pracy z kartami, zadaniami, w których określona jest kolejność pracy nad zadaniem. Podczas rozwiązywania problemów zapisuje się formalizację rozwiązania za pomocą pytań lub każde działanie jest zapisywane i wyjaśniane. Rozwój uogólnionej metody rozwiązywania problemów tego typu zapewnia wielokrotne rozwiązywanie problemów o różnych typach, fabułach, rozwiązywanie gotowych problemów opracowanych przez samych uczniów, porównywanie problemów tego typu z wcześniej rozwiązanymi typami problemów itp.
1. Wyjaśnić metodę obliczeniową dla przypadków 40+20, 50-30, 34+20, 34+2, 48-30, 48-3 - wszystkie metody obliczeniowe ze stu koncentracji.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d=2d=20
3) 34+20= 3d+4ed+2d=5d 4d=54
4) 34+2 = 3d+4ed+2d=3d 6d=36
5) 48-30 = 4d+8ed-3d=1d 8d= 18
6) 48-3= 4d+8ed-3d=4d 5d=45
Wszystkie metody obliczeń mają charakter ustny i przeprowadzane są na zasadzie dodawania i odejmowania cyfr.
Do egzaminu państwowego w specjalności
1. Przestrzeń liniowa (wektorowa) nad polem. Przykłady. Podprzestrzenie, najprostsze własności. Zależność liniowa i niezależność wektorów.
2. Podstawa i wymiar przestrzeni wektorowej. Macierz współrzędnych układu wektorowego. Przejście z jednej podstawy na drugą. Izomorfizm przestrzeni wektorowych.
3. Domkliwość algebraiczna ciała liczb zespolonych.
4. Pierścień liczb całkowitych. Porządkowanie liczb całkowitych. Twierdzenia o „największych” i „najmniejszych” liczbach całkowitych.
5. Grupa, przykłady grup. Najprostsze właściwości grup. Podgrupy. Homomorfizm i izomorfizm grup.
6. Podstawowe własności podzielności liczb całkowitych. Liczby pierwsze. Nieskończoność zbioru liczb pierwszych. Rozkład kanoniczny liczby złożonej i jej jednoznaczność.
7. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego (kryterium spójności układu równań liniowych).
8. Podstawowe własności porównań. Kompletne i zredukowane systemy odliczeń modulo. Pierścień klasy pozostałości Modulo. Twierdzenia Eulera i Fermata.
9. Zastosowanie teorii porównań do wyprowadzania kryteriów podzielności. Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny i określenie długości jego kropki.
10. Sprzężenie pierwiastków urojonych wielomianu ze współczynnikami rzeczywistymi. Wielomiany nieredukowalne na ciele liczb rzeczywistych.
11. Porównania liniowe z jedną zmienną (kryterium rozwiązywalności, metody rozwiązywania).
12. Równoważne układy równań liniowych. Metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych.
13. Pierścień. Przykłady pierścieni. Najprostsze właściwości pierścieni. Podpierścień. Homomorfizmy i izomorfizmy pierścieni. Pole. Przykłady pól. Najprostsze właściwości. Minimalność pola liczb wymiernych.
14. Liczby naturalne (podstawy aksjomatycznej teorii liczb naturalnych). Twierdzenia o „największych” i „najmniejszych” liczbach naturalnych.
15. Wielomiany nad ciałem. Twierdzenie o dzieleniu z resztą. Największy wspólny dzielnik dwóch wielomianów, jego właściwości i metody znajdowania.
16. Relacje binarne. Relacja równoważności. Klasy równoważności, zbiór współczynników.
17. Indukcja matematyczna dla liczb naturalnych i całkowitych.
18. Własności liczb względnie pierwszych. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb całkowitych, jej właściwości i metody znajdowania.
19. Pole liczb zespolonych, pola liczbowe. Reprezentacja geometryczna i postać trygonometryczna liczby zespolonej.
20. Twierdzenie o dzieleniu z resztą dla liczb całkowitych. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych, jego właściwości i metody znajdowania.
21. Operatory liniowe przestrzeni wektorowej. Jądro i obraz operatora liniowego. Algebra operatorów liniowych w przestrzeni wektorowej. Wartości własne i wektory własne operatora liniowego.
22. Przekształcenia afiniczne płaszczyzny, ich własności i metody wyznaczania. Grupa przekształceń afinicznych płaszczyzny i jej podgrup.
23. Wielokąty. Powierzchnia wielokąta. Twierdzenie o istnieniu i jedyności.
24. Równa wielkość i jednakowy skład wielokątów.
25. Geometria Łobaczewskiego. Spójność układu aksjomatów geometrii Łobaczewskiego.
26. Pojęcie równoległości w geometrii Łobaczewskiego. Względne położenie linii na płaszczyźnie Łobaczewskiego.
27. Formuły ruchu. Klasyfikacja ruchów płaskich. Zastosowania do rozwiązywania problemów.
28. Względne położenie dwóch płaszczyzn, prostej i płaszczyzny, dwóch prostych w przestrzeni (w ujęciu analitycznym).
29. Transformacje projekcyjne. Twierdzenie o istnieniu i jedyności. Wzory na transformacje rzutowe.
30. Iloczyny skalarne, wektorowe i mieszane wektorów, ich zastosowanie do rozwiązywania problemów.
31. System aksjomatów Weyla trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej i jej zgodność treściowa.
32. Ruchy płaszczyzny i ich właściwości. Grupa ruchów płaskich. Twierdzenie o istnieniu i jedyności ruchu.
33. Płaszczyzna rzutowa i jej modele. Transformacje projekcyjne, ich właściwości. Grupa transformacji projekcyjnych.
34. Przekształcenia podobieństwa płaskiego, ich własności. Grupa przekształceń podobieństwa płaskiego i jej podgrupy.
35. Gładkie powierzchnie. Pierwsza postać kwadratowa powierzchni i jej zastosowania.
36. Projektowanie równoległe i jego właściwości. Obraz figur płaskich i przestrzennych w rzucie równoległym.
37. Gładkie linie. Krzywizna krzywej przestrzennej i jej obliczanie.
38. Elipsa, hiperbola i parabola jako przekroje stożkowe. Równania kanoniczne.
39. Kierunkowa własność elipsy, hiperboli i paraboli. Równania biegunowe.
40. Stosunek podwójny czterech punktów na prostej, jego właściwości i obliczanie. Harmoniczna separacja par punktów. Zupełny czworobok i jego właściwości. Zastosowanie do rozwiązywania problemów konstrukcyjnych.
41. Twierdzenia Pascala i Brianchona. Polacy i polarnicy.
Przykładowe pytania dotyczące analizy matematycznej
Twierdzenia o „największych” i „najmniejszych” liczbach całkowitych
Twierdzenie 4 (o „najmniejszej” liczbie całkowitej). Każdy niepusty zbiór liczb całkowitych ograniczony od dołu zawiera najmniejszą liczbę. (Tutaj, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, zamiast słowa „podzbiór” użyto słowa „zbiór” E
Dowód. Niech O A C Z i A będą ograniczone poniżej, tj. 36? ZVa? A(ur< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Niech teraz b A.
Następnie Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).
Utwórzmy zbiór M wszystkich liczb postaci a - b, gdzie a przebiega przez zbiór A, tj. M = (c [ c = a - b, a E A)
Oczywiście zbiór M nie jest pusty, gdyż A 74 0
Jak zauważono powyżej, M. C. N. Zatem z twierdzenia o liczbach naturalnych (54, rozdz. III) w zbiorze M znajduje się najmniejsza liczba naturalna m. Wtedy m = a1 - b dla pewnej liczby a1? A, a skoro m jest najmniejsze w M, to Ua? Na< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Twierdzenie 5 (o „największej” liczbie całkowitej). Każdy niepusty, ograniczony zbiór liczb całkowitych zawiera największą liczbę.
Dowód. Niech O 74 A C Z i A będą ograniczone z góry liczbą b, tj. ? ZVa i A(a< Ь). Тогда -а >b dla wszystkich liczb a? A.
W konsekwencji zbiór M (gdzie r = -a, a? A) nie jest pusty i jest od dołu ograniczony liczbą (-6). Zatem zgodnie z poprzednim twierdzeniem najmniejsza liczba występuje w zbiorze M, tj. as? MU? SM< с).
Czy to oznacza Wah? A(c)< -а), откуда Уа? А(-с >A)
H. Różne formy metody indukcji matematycznej dla liczb całkowitych. Twierdzenie o dzieleniu z resztą
Twierdzenie 1 (pierwsza postać metody indukcji matematycznej). Niech P(c) będzie predykatem jednomiejscowym zdefiniowanym na zbiorze Z liczb całkowitych, 4. Wtedy, jeśli dla jakiejś LICZBY a Z zdanie P(o) i dla dowolnej liczby całkowitej K > a z P(K) następuje po P(K -4- 1), to zdanie P(r) obowiązuje dla wszystkich liczb całkowitych z > a (tj. następujący wzór na rachunek predykatów jest prawdziwy na zbiorze Z:
Р(а) łuk > + 1)) Ус > аР(с)
dla dowolnej ustalonej liczby całkowitej a
Dowód. Niech wszystko, co zostanie powiedziane w warunkach twierdzenia, będzie prawdziwe dla zdania P (c), tj.
1) P(a) - prawda;
2) UK Shch k + jest również prawdą.
Z odwrotności. Załóżmy, że istnieje taka liczba
b > a, to RF) jest fałszywe. Oczywiście b a, ponieważ P(a) jest prawdziwe. Utwórzmy zbiór M = (z ? > a, P(z) jest fałszywe).
Wtedy zbiór M 0, ponieważ b? M i M- są ograniczone od dołu liczbą a. W konsekwencji, na mocy twierdzenia o najmniejszej liczbie całkowitej (Twierdzenie 4, 2), w zbiorze M znajduje się najmniejsza liczba całkowita c. Stąd c > a, co z kolei implikuje c - 1 > a.
Udowodnijmy, że P(c-1) jest prawdziwe. Jeśli c-1 = a, to P (c-1) jest prawdziwe na mocy warunku.
Niech c- 1 > a. Zatem założenie, że P(c-1) jest fałszywe, pociąga za sobą przynależność do 1? M, czego nie można zrobić, gdyż liczba c jest najmniejsza ze zbioru M.
Zatem c - 1 > a i P(c - 1) jest prawdziwe.
Zatem na mocy warunków tego twierdzenia zdanie P((c- 1) + 1) jest prawdziwe, tj. R(s) - prawda. Jest to sprzeczne z wyborem liczby c, ponieważ c? M Twierdzenie zostało udowodnione.
Należy zauważyć, że twierdzenie to uogólnia wniosek 1 aksjomatów Peano.
Twierdzenie 2 (druga postać metody indukcji matematycznej dla liczb całkowitych). Niech P(c) będzie jakimś jednomiejscowym predykatem zdefiniowanym na zbiorze Z liczb całkowitych. Następnie, jeśli twierdzenie P(c) obowiązuje dla pewnej liczby całkowitej K i dla dowolnej liczby całkowitej s K z ważności twierdzenia P(c) Dla wszystkich liczb całkowitych spełniających nierówność K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >DO.
Dowód tego twierdzenia w dużej mierze powtarza dowód podobnego twierdzenia dla liczb naturalnych (Twierdzenie 1, 55, Rozdział III).
Twierdzenie 3 (trzecia postać metody indukcji matematycznej). Niech P(c) będzie predykatem jednomiejscowym zdefiniowanym na zbiorze Z liczb całkowitych. Wtedy, jeśli P(c) jest prawdziwe dla wszystkich liczb jakiegoś nieskończonego podzbioru M zbioru liczb naturalnych i dla dowolnej liczby całkowitej a, prawdziwość P(a) implikuje prawdziwość P(a - 1), to twierdzenie P(c) jest ważne dla wszystkich liczb całkowitych.
Dowód jest podobny do dowodu odpowiedniego twierdzenia dla liczb naturalnych.
Oferujemy to jako ciekawe ćwiczenie.
Należy zauważyć, że w praktyce trzecia forma indukcji matematycznej jest mniej powszechna niż pozostałe. Wyjaśnia to fakt, że aby go zastosować, konieczna jest znajomość nieskończonego podzbioru M zbioru liczb naturalnych, o którym mowa w twierdzeniu. Znalezienie takiego zestawu może być trudnym zadaniem.
Ale przewaga trzeciej formy nad innymi polega na tym, że za jej pomocą można udowodnić twierdzenie P(c) dla wszystkich liczb całkowitych.
Poniżej podamy ciekawy przykład zastosowania trzeciej formy.” Ale najpierw przedstawmy jedno bardzo ważne pojęcie.
Definicja. Wartość bezwzględna liczby całkowitej a jest liczbą określoną przez regułę
0, jeśli a O a, jeśli a > O
A jeśli A< 0.
Zatem, jeśli 0, to? N.
Zachęcamy czytelnika do udowodnienia następujących właściwości wartości bezwzględnej:
Twierdzenie (o dzieleniu z resztą). Dla dowolnych liczb całkowitych a i b, gdzie b 0, istnieje zresztą tylko jedna para liczb q U m taka, że a r: bq + T L D.
Dowód.
1. Istnienie pary (q, m).
Niech a, b? Z i 0. Pokażmy, że istnieje para liczb q i spełniająca warunki
Dowód przeprowadzamy przez indukcję w trzeciej formie na liczbie a dla ustalonej liczby b.
M = (mlm= n lbl, n? N).
Jest oczywiste, że M C jest odwzorowaniem f: N M, zdefiniowanym przez regułę f(n) = nlbl dla dowolnego n? N, jest bijekcją. Oznacza to, że M N, tj. M – w nieskończoność.
Udowodnijmy, że dla dowolnej liczby a? Stwierdzenie M (i b-fixed) twierdzenia o istnieniu pary liczb q i m jest prawdziwe.
Rzeczywiście, niech a (- M. Zatem pf! dla jakiegoś n? N.
Jeśli b > 0, to a = n + O. Teraz ustawiając q = n i m O, otrzymamy wymaganą parę liczb q i m. Jeśli b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Przyjmijmy teraz założenie indukcyjne. Załóżmy, że dla dowolnej liczby całkowitej c (i dowolnego ustalonego b 0) stwierdzenie twierdzenia jest prawdziwe, tj. istnieje para liczb (q, m) taka, że
Udowodnimy, że dotyczy to również liczby (z 1). Z równości c = bq -4- wynika, że bq + (t - 1). (1)
Mogą być przypadki.
1) m > 0. Wtedy 7" - 1 > 0. W tym przypadku wstawiając - m - 1 otrzymujemy c - 1 - bq + Tl, gdzie para (q, 7"1,) oczywiście spełnia warunek
0. Następnie c - 1 bq1 + 711 , gdzie q1
Łatwo możemy udowodnić, że 0< < Д.
Zatem stwierdzenie jest prawdziwe także dla pary liczb
Pierwsza część twierdzenia została udowodniona.
P. Wyjątkowość pary q itp.
Załóżmy, że dla liczb a i b 0 istnieją dwie pary liczb (q, m) i (q1, zatem spełniające warunki (*)
Udowodnijmy, że są one zbieżne. Więc pozwól
i bq1 LO< Д.
Oznacza to, że b(q1 -q) m- 7 1 1. Z tej równości wynika, że
Jeśli teraz założymy, że q ql, to q - q1 0, skąd lq - q1l 1. Mnożąc te nierówności wyraz po wyrazie przez liczbę lbl, otrzymamy φ! - q11 D. (3)
Jednocześnie z nierówności 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Ćwiczenia:
1. Wykonaj dowody Twierdzeń 2 i 3 z 5 1.
2. Udowodnij wniosek 2 z twierdzenia 3, 1.
3. Udowodnij, że podzbiór H C Z, składający się ze wszystkich liczb postaci< п + 1, 1 >(n? N), zamknięte na dodawanie i mnożenie.
4. Niech H oznacza ten sam zbiór co w ćwiczeniu 3. Udowodnić, że odwzorowanie ј : M spełnia warunki:
1) ј - bijekcja;
2) ј(n + m) = ј(n) + j(m) i j(nm) = ј(n) j(m) dla dowolnych liczb n, m (tzn. ј realizuje izomorfizm algebr (N , 4 i (H, +,).
5. Dokończ dowód Twierdzenia 1 z 2.
6. Udowodnij, że dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c zachodzą następujące implikacje:
7. Udowodnij drugie i trzecie twierdzenie Z.
8. Udowodnij, że pierścień Z liczb całkowitych nie zawiera dzielników zera.
Literatura
1. Bourbaki N. Teoria mnogości. M.: Mir, 1965.
2. Winogradow I. M. Podstawy teorii liczb. M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. Podstawy arytmetyki. M.: Uchpedgiz, 1963.
4. Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Podstawy teorii grup.
M.: Nauka, 1972.
5. Kostrikin A.I. Wprowadzenie do algebry. M.: Nauka, 1994.
B. Kulikov L. Ya. Algebra i teoria liczb. M.: Wyżej. szkoła, 1979.
7. Kurosh A.G. Wyższy kurs algebry. M.: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky V. A. Podstawowe pojęcia matematyki szkolnej. M.: Edukacja, 1987.
9. Lyapin UE. i inne.Ćwiczenia z teorii grup. M.: Nauka, 1967.
10. Maltsev A.I. Systemy algebraiczne. M.: Nauka, 1970.
11. MenDelson E. Wprowadzenie do logiki matematycznej. M.: Nauka, 1971.
12. Nieczajew V.I. Systemy numeryczne. M.: Edukacja, 1975.
13. Nowikow P.S. Elementy logiki matematycznej. M.. Nauka, 1973.
14. Petrova V. T. Wykłady z algebry i geometrii.: Po 2 godzinach.
CHL. M.: Włados, 1999.
15. Współczesne podstawy szkolnego kursu matematyki Auth. Pułkownik: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Stolyar A.A. M.: Edukacja, 1980.
16. Skornyakov L. A. Elementy algebry. M.: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Zbiór, logika, teorie aksjomatyczne. M.; Oświecenie, 1968.
18. Stolyar A. A. Logiczne wprowadzenie do matematyki. Mińsk: NAJWYŻSZY. szkoła, 1971.
19. Filippov V.P. Algebra i teoria liczb. Wołgograd: VGPI, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hilel I. Podstawy teorii mnogości. M.: Mir, 1966.
21. Fuchs L. Układy częściowo uporządkowane. M.: Mir, 1965.
Publikacja edukacyjnaWyd
Władimir Konstantinowicz Kartaszow
WSTĘPNY KURS MATEMATYKI
Instruktaż
Przygotowanie redakcyjne: O. I. Molokanova. Oryginalny układ przygotował A. P. Boschenko
„PR 020048 z dnia 20.12.96
Podpisano do publikacji 28 sierpnia 1999. Format 60x84/16. Druk biurowy Bum. typ. M 2. Uel. piekarnik l. 8.2. Wyd. akademickie. l. 8.3. Nakład 500 egzemplarzy. Zamówienie 2
Wydawnictwo „Peremena”
Jak wiadomo, zbiór liczb naturalnych można uporządkować za pomocą relacji „mniejsze niż”. Jednak zasady konstruowania teorii aksjomatycznej wymagają, aby relacja ta była nie tylko zdefiniowana, ale także dokonana w oparciu o pojęcia już zdefiniowane w tej teorii. Można tego dokonać poprzez zdefiniowanie relacji „mniej niż” poprzez dodanie.
Definicja. Liczba a jest mniejsza od liczby b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = B.
W tych warunkach mówi się również, że liczba B więcej A i napisz b > a.
Twierdzenie 12. Dla dowolnych liczb naturalnych A I B zachodzi jedna i tylko jedna z trzech relacji: a = b, a > b, A < B.
Pomijamy dowód tego twierdzenia.. Z twierdzenia tego wynika, że jeśli
a¹ b, albo A< b, Lub a > b, te. relacja „mniej” ma właściwość powiązania.
Twierdzenie 13. Jeśli A< b I B< с. To A< с.
Dowód. Twierdzenie to wyraża własność przechodniości relacji „mniej niż”.
Ponieważ A< b I B< с. wówczas z definicji relacji „mniej niż” istnieją liczby naturalne Do Więc co b = a + k i c = b + I. Ale wtedy do = (a + k)+ / i na podstawie własności łączności dodawania otrzymujemy: do = za + (k +/). Ponieważ k + ja - liczba naturalna, zatem zgodnie z definicją „mniejszego niż” A< с.
Twierdzenie 14. Jeśli A< b, to nieprawda B< а. Dowód. Twierdzenie to wyraża własność antysymetria„mniej” relacji.
Udowodnijmy to najpierw dla nie jednej liczby naturalnej A nie ty-!>! ■ )jej postawa A< A. Załóżmy odwrotnie, tj. Co A< а występuje. Wtedy z definicji relacji „mniej niż” wynika liczba naturalna Z, Co A+ Z= A, co jest sprzeczne z Twierdzeniem 6.
Udowodnimy teraz, że jeśli A< B, to nie jest to prawdą B < A. Załóżmy odwrotnie, tj. co jeśli A< b , To B< а wykonane. Ale z tych równości, na podstawie Twierdzenia 12, mamy A< а, co jest niemożliwe.
Ponieważ zdefiniowana przez nas relacja „mniejszy niż” jest antysymetryczna, przechodnia i ma właściwość spójności, jest to relacja porządku liniowego, a zbiór liczb naturalnych zbiór liniowo uporządkowany.
Z definicji „mniejszego niż” i jego właściwości możemy wywnioskować znane właściwości zbioru liczb naturalnych.
Twierdzenie 15. Ze wszystkich liczb naturalnych jedna jest najmniejszą liczbą, tj. I< а для любого натурального числа a¹1.
Dowód. Pozwalać A - dowolną liczbę naturalną. Możliwe są wtedy dwa przypadki: a = 1 i a¹ 1. Jeśli a = 1, to jest liczba naturalna B,śledzony przez a: a = b " = b + ja = 1 + B, tj. z definicji relacji „mniej niż”, 1< A. Dlatego każda liczba naturalna jest równa 1 lub większa niż 1. Lub jeden jest najmniejszą liczbą naturalną.
Relacja „mniej niż” związana jest z dodawaniem i mnożeniem liczb poprzez właściwości monotoniczności.
Twierdzenie 16.
a = b => a + do = b + c i a do = b do;
A< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c i ac > bc.
Dowód. 1) Ważność tego stwierdzenia wynika z wyjątkowości dodawania i mnożenia.
2) Jeśli A< b,
wtedy istnieje taka liczba naturalna k, Co A
+ k = b.
Następnie B+ do = (a + k) + do = za + (k + c) = za + (ok+ Do)= (a + c) + k. Równość B+ do = (a + c) + k Oznacza to, że a + c< b
+ Z.
W ten sam sposób zostaje to udowodnione A< b =>AC< bс.
3) Dowód jest podobny.
Twierdzenie 17(odwrotność Twierdzenia 16).
1) A+ do = b + do Lub ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с Lub AC< pneÞ A< Ь:
3) za + c > b+ z lub ac > pneÞ a > b.
Dowód. Udowodnijmy na przykład, że z AC< bс powinien A< b Załóżmy odwrotnie, tj. że wniosek twierdzenia nie jest spełniony. W takim razie to nie może być to a = b. od tego momentu równość byłaby spełniona ac = bc(Twierdzenie 16); to nie może być A> B, bo wtedy by było ac > pne(Twierdzenie! 6). Zatem, zgodnie z Twierdzeniem 12, A< b.
Z twierdzeń 16 i 17 możemy wyprowadzić dobrze znane zasady dodawania i mnożenia nierówności wyraz po wyrazie. Zostawiamy je.
Twierdzenie 18. Dla dowolnych liczb naturalnych A I B; istnieje liczba naturalna n taka, że p b> a.
Dowód. Dla kazdego A jest taki numer P, Co n > a. Aby to zrobić, wystarczy wziąć n = + 1. Mnożenie nierówności wyraz po wyrazie P> A I B> 1, otrzymujemy pb > A.
Z rozważanych własności relacji „mniejszy niż” wynikają istotne cechy zbioru liczb naturalnych, które przedstawiamy bez dowodu.
1. Nie dla żadnej liczby naturalnej A nie ma takiej liczby naturalnej P, Co A< п < а +
1. Ta właściwość nazywa się nieruchomość
dyskrecja zbiory liczb naturalnych i liczb A I + 1 nazywa się sąsiedni.
2.
Dowolny niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera
najmniejsza liczba.
3. Jeśli M- niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych
i jest taka liczba B, to dla wszystkich liczb x od M nie wykonany
równość x< B, wtedy w obfitości M jest największą liczbą.
Zilustrujmy właściwości 2 i 3 na przykładzie. Pozwalać M- zbiór liczb dwucyfrowych. Ponieważ M jest podzbiorem liczb naturalnych i dla wszystkich liczb w tym zbiorze nierówność x< 100, то в множестве M jest największą liczbą 99. Najmniejsza liczba zawarta w danym zbiorze M, - numer 10.
Zatem relacja „mniej niż” umożliwiła rozważenie (a w niektórych przypadkach udowodnienie) znacznej liczby własności zbioru liczb naturalnych. W szczególności jest uporządkowany liniowo, dyskretny i ma najmniejszą liczbę 1.
Dzieci w szkołach podstawowych zapoznawane są z zależnością „mniejszy niż” („większy niż”) dla liczb naturalnych już na samym początku swojej edukacji. Często też, wraz z jej teorią mnogościową, w sposób dorozumiany używana jest definicja podana przez nas w ramach teorii aksjomatycznej. Uczniowie mogą na przykład wyjaśnić, że 9 > 7, ponieważ 9 to 7+2. Powszechne jest również ukryte wykorzystanie właściwości monotoniczności dodawania i mnożenia. Na przykład dzieci wyjaśniają, że „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Ćwiczenia
1. Dlaczego zbioru liczb naturalnych nie można uporządkować za pomocą relacji „natychmiast podążaj”?
Zdefiniuj postawę a > b i udowodnij, że jest ona przechodnia i antysymetryczna.
3. Udowodnij, że jeśli a, b, c są liczbami naturalnymi, to:
A) A< b Þ ас < bс;
B) A+ Z< b + сÞ> A< Ь.
4. Jakie twierdzenia o monotoniczności dodawania i mnożenia można zastosować
do wykorzystania przez młodszych uczniów przy realizacji zadania „Porównaj bez wykonywania obliczeń”:
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27 -18.
5. Z jakich właściwości zbioru liczb naturalnych uczniowie szkół podstawowych korzystają w sposób dorozumiany podczas wykonywania następujących zadań:
A) Zapisz liczby większe niż 65 i mniejsze niż 75.
B) Podaj numery poprzednie i kolejne w odniesieniu do liczby 300 (800 609 999).
C) Podaj najmniejszą i największą liczbę trzycyfrową.
Odejmowanie
W aksjomatycznej konstrukcji teorii liczb naturalnych odejmowanie jest zwykle definiowane jako odwrotna operacja dodawania.
Definicja. Odejmowanie liczb naturalnych a i b jest operacją spełniającą warunek: a - b = c wtedy i tylko wtedy, gdy b + c = a.
Numer a - b nazywa się różnicą między liczbami a i B, numer A– Minuenda, liczba B- podlegający potrąceniu.
Twierdzenie 19. Różnica liczb naturalnych A- B istnieje wtedy i tylko wtedy B< а.
Dowód. Niech różnica A- B istnieje. Zatem z definicji różnicy istnieje liczba naturalna Z, Co b + do = a, co oznacza że B< а.
Jeśli B< а, wówczas z definicji relacji „mniej niż” istnieje liczba naturalna c taka, że b + do = a. Następnie, z definicji różnicy, c = a - b, te. różnica a - b istnieje.
Twierdzenie 20. Jeżeli różnica liczb naturalnych A I B istnieje, to jest wyjątkowy.
Dowód. Załóżmy, że istnieją dwie różne wartości różnicy między liczbami A I B;: a – b= s₁ I a - b= s₂, I s₁ ¹ s₂ . Zatem z definicji różnicy mamy: a = b + c₁, I za = b + do₂: . Wynika, że B+ do ₁ = b + do₂ : i na podstawie Twierdzenia 17 dochodzimy do wniosku, с₁ = с₂.. Doszliśmy do sprzeczności z założeniem, co oznacza, że jest fałszywe, ale to twierdzenie jest poprawne.
Opierając się na definicji różnicy liczb naturalnych i warunków jej istnienia, można uzasadnić znane zasady odejmowania liczby od sumy i sumy od liczby.
Twierdzenie 21. Pozwalać A. B I Z- liczby całkowite.
i jeśli a > c, wtedy (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Jeśli b > c. następnie (a + b) - c - a + (b - c).
c) Jeśli a > c i b > c. wtedy możesz użyć dowolnej z tych formuł.
Dowód. W przypadku a) różnica liczb A I C istnieje ponieważ a > s. Oznaczmy to przez x: a - c = x. Gdzie za = do + x. Jeśli (A+ b) - c = y. wówczas z definicji różnicy A+ B = Z+ Na. Zamiast tego podstawmy pod tę równość A wyrażenie c + x:(c + x) + b = do + y. Skorzystajmy z właściwości łączenia dodawania: do + (x + b) = do+ Na. Przekształćmy tę równość w oparciu o właściwość monotoniczności dodawania i otrzymajmy:
x + b = ty.Zastąpienie x w tej równości wyrażeniem a - c, będzie miał (A - G) + b = y. W ten sposób udowodniliśmy, że jeśli a > c, wtedy (a + b) - c = (a - c) + b
Dowód przeprowadza się analogicznie w przypadku b).
Sprawdzone twierdzenie można sformułować w formie wygodnej do zapamiętania reguły: aby odjąć liczbę od sumy, wystarczy odjąć tę liczbę od jednego wyrazu sumy i dodać do otrzymanego wyniku inny wyraz.
Twierdzenie 22. Pozwalać a, b i c - liczby całkowite. Jeśli a > b+ s, zatem A- (b + c) = (a - b) - do Lub a - (b + c) = (a - c) - b.
Dowód tej teorii jest podobny do dowodu Twierdzenia 21.
Twierdzenie 22 można sformułować co do zasady: aby od jakiejś liczby odjąć sumę liczb, wystarczy od tej liczby odjąć po kolei każdy wyraz.
W nauczaniu matematyki na poziomie podstawowym definicja odejmowania jako odwrotności dodawania z reguły nie jest podawana w formie ogólnej, ale jest stale stosowana, począwszy od wykonywania działań na liczbach jednocyfrowych. Uczniowie powinni jasno zrozumieć, że odejmowanie jest powiązane z dodawaniem i wykorzystywać tę zależność w obliczeniach. Odejmując na przykład liczbę 16 od liczby 40, uczniowie rozumują w ten sposób: „Odjęcie liczby 16 od 40 oznacza znalezienie takiej liczby, że po dodaniu do liczby 16 otrzymamy 40; ta liczba będzie wynosić 24, ponieważ 24 + 16 = 40. Zatem. 40 - 16 = 24."
Zasady odejmowania liczby od sumy i sumy od liczby na początkowym kursie matematyki stanowią teoretyczną podstawę różnych technik obliczeniowych. Na przykład wartość wyrażenia (40 + 16) - 10 można znaleźć nie tylko obliczając sumę w nawiasach, a następnie odejmując od niej liczbę 10, ale także w ten sposób;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.
Ćwiczenia
1. Czy prawdą jest, że każdą liczbę naturalną otrzymuje się od najbliższej następnej przez odjęcie jednego?
2. Co jest specjalnego w logicznej strukturze Twierdzenia 19? Czy można je sformułować używając słów „konieczne i wystarczające”?
3. Udowodnij, że:
i jeśli b > c, To (a + b) - do = a + (b - do);
b) jeśli a > b + c, To a - (ur+ c) = (a - b) - c.
4. Czy można bez obliczeń stwierdzić, które wyrażenia będą miały te same wartości:
a) (50 + 16) - 14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.
5. Jakie właściwości odejmowania stanowią podstawę teoretyczną następujących technik obliczeniowych poznanych na początkowym kursie matematyki:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 = 16-6 - P;
c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 =18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Opisz możliwe sposoby oceny wartości wyrażenia postaci. a - b- Z i zilustruj je konkretnymi przykładami.
7. Udowodnij to kiedy B< а i dowolne naturalne c równość jest prawdziwa (a – b) do = ac – bc.
Notatka. Dowód opiera się na aksjomacie 4.
8. Określ wartość wyrażenia bez wykonywania pisemnych obliczeń. Uzasadnij swoje odpowiedzi.
a) 7865 × 6 – 7865 ×5: b) 957 × 11 – 957; c) 12×36 – 7×36.
Dział
W aksjomatycznej konstrukcji teorii liczb naturalnych dzielenie jest zwykle definiowane jako odwrotna operacja mnożenia.
Definicja. Dzielenie liczb naturalnych a i b jest operacją spełniającą warunek: a: b = c wtedy i tylko wtedy, gdy Do kiedy b× c = a.
Numer a:b zwany prywatny liczby A I B, numer A podzielny, liczba B- dzielnik.
Jak wiadomo, dzielenie na zbiorze liczb naturalnych nie zawsze zachodzi i nie ma tak wygodnego znaku istnienia ilorazu, jaki istnieje dla różnicy. Istnieje jedynie warunek konieczny istnienia konkretu.
Twierdzenie 23. Aby istniał iloraz dwóch liczb naturalnych A I B, to konieczne aby B< а.
Dowód. Niech iloraz liczb naturalnych A I B istnieje, tj. istnieje liczba naturalna c taka, że bc = a. Ponieważ dla dowolnej liczby naturalnej 1 nierówność 1 £ Z, następnie mnożąc obie jego części przez liczbę naturalną B, otrzymujemy B£ pne. Ale bc = a, stąd, B£ A.
Twierdzenie 24. Jeśli iloraz liczb naturalnych A I B istnieje, to jest wyjątkowy.
Dowód tego twierdzenia jest podobny do dowodu twierdzenia o jedyności różnicy liczb naturalnych.
Na podstawie definicji ilorazu liczb naturalnych i warunków jego istnienia można uzasadnić znane zasady dzielenia sumy (różnicy, iloczynu) przez liczbę.
Twierdzenie 25. Jeśli liczby A I B podzielna przez liczbę Z, następnie ich suma a + b podzielone przez c i iloraz uzyskany przez podzielenie sumy A+ B na numer Z, równa sumie ilorazów otrzymanych przez dzielenie A NA Z I B NA Z, tj. (a + b):do = a:c + b:Z.
Dowód. Od numeru A podzielony przez Z, wtedy istnieje liczba naturalna x = A; to jest to a = cx. Podobnie istnieje taka liczba naturalna y = b:Z, Co
B= su. Ale wtedy a + b = cx+ cy = - c(x + y). To znaczy, że a + b dzieli się przez c, a iloraz otrzymany przez podzielenie sumy A+ B przez liczbę c, równą x + y, te. topór + b: c.
Sprawdzone twierdzenie można sformułować jako regułę dzielenia sumy przez liczbę: aby podzielić sumę przez liczbę, wystarczy podzielić każdy wyraz przez tę liczbę i dodać otrzymane wyniki.
Twierdzenie 26. Jeśli liczby naturalne A I B podzielna przez liczbę Z I a > b, wtedy różnica a - b dzieli się przez c, a iloraz uzyskany przez podzielenie różnicy przez liczbę c jest równy różnicy ilorazów otrzymanych przez podzielenie A NA Z I B na c, tj. (a - b):c = a:c - b:c.
Dowód tego twierdzenia jest podobny do dowodu poprzedniego twierdzenia.
Twierdzenie to można sformułować jako regułę dzielenia różnicy przez liczbę: Dla Aby podzielić różnicę przez liczbę, wystarczy podzielić odjemną i odejmowaną przez tę liczbę i odjąć drugą od pierwszego ilorazu.
Twierdzenie 27. Jeśli liczba naturalna A jest podzielna przez liczbę naturalną c, to przez dowolną liczbę naturalną B praca ok podzielone przez s. W tym przypadku iloraz uzyskany przez podzielenie iloczynu ok do numeru s , równy iloczynowi ilorazu otrzymanego przez dzielenie A NA Z, i liczby b: (a × b):c - (a:c) × b.
Dowód. Ponieważ A podzielony przez Z, wtedy istnieje liczba naturalna x taka, że a:c= x, gdzie a = cx. Mnożąc obie strony równości przez B, dostajemy ab = (cx)b. Zatem mnożenie jest łączne (cx) b = c(x b). Stąd (a b):c = x b= (a:c) b. Twierdzenie można sformułować jako regułę dzielenia iloczynu przez liczbę: aby podzielić iloczyn przez liczbę, wystarczy podzielić jeden z czynników przez tę liczbę i otrzymany wynik pomnożyć przez drugi czynnik.
W elementarnej edukacji matematycznej definicja dzielenia jako odwrotnej operacji mnożenia z reguły nie jest podawana w formie ogólnej, ale jest stale stosowana, począwszy od pierwszych lekcji zapoznawania się z dzieleniem. Uczniowie powinni jasno zrozumieć, że dzielenie wiąże się z mnożeniem i wykorzystywać tę zależność podczas wykonywania obliczeń. Dzieląc na przykład 48 przez 16, uczniowie rozumują w następujący sposób: „Podzielenie 48 przez 16 oznacza znalezienie liczby, która pomnożona przez 16 daje 48; taka liczba wyniosłaby 3, ponieważ 16×3 = 48. Zatem 48:16 = 3.
Ćwiczenia
1. Udowodnij, że:
a) jeśli iloraz liczb naturalnych a i b istnieje, to jest wyjątkowy;
b) jeśli liczby a i b Są podzielone na Z I a > b, To (a - b): do = a: do - b: do.
2. Czy można powiedzieć, że wszystkie te równości są prawdziwe:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 = 850:10:17.
Jaka zasada uogólnia te przypadki? Sformułuj to i udowodnij.
3. Jakie własności podziału stanowią podstawę teoretyczną
realizując następujące zadania stawiane uczniom szkół podstawowych:
Czy można bez dzielenia stwierdzić, które wyrażenia będą miały te same wartości:
a) (40+ 8):2; c) 48:3; e) (20+ 28):2;
b) (30 + 16):3; g)(21+27):3; f) 48:2;
Czy równości są prawdziwe:
a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Opisz możliwe sposoby obliczania wartości wyrażenia
typ:
A) (A+ pne; B) A:B: Z; V) ( a × b): Z .
Zilustruj proponowane metody konkretnymi przykładami.
5. Znajdź znaczenie wyrażenia w sposób racjonalny; ich
uzasadnij swoje działania:
a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Uzasadnij następujące sposoby dzielenia przez liczbę dwucyfrową:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Bez dzielenia narożnikiem znajdź najbardziej racjonalny
w sposób ilorazowy; Uzasadnij wybraną metodę:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Wykład 34. Własności zbioru liczb całkowitych nieujemnych
1. Zbiór nieujemnych liczb całkowitych. Własności zbioru nieujemnych liczb całkowitych.
2. Pojęcie odcinka ciągu naturalnego liczb i elementów liczących zbioru skończonego. Liczby naturalne porządkowe i kardynalne.
Ładowanie...