Największa i najmniejsza wartość funkcji na segmencie. Jak znaleźć maksimum lub minimum funkcji kwadratowej Znajdź najmniejszą i największą wartość całkowitą funkcji

Niech funkcja y=F(X) ciągły na odcinku [ a, b]. Jak wiadomo, taka funkcja osiąga swoje maksymalne i minimalne wartości na tym segmencie. Funkcja może przyjąć te wartości albo w punkcie wewnętrznym odcinka [ a, b] lub na granicy segmentu.

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji na segmencie [ a, b] niezbędny:

1) znajdź punkty krytyczne funkcji w przedziale ( a, b);

2) obliczyć wartości funkcji w znalezionych punktach krytycznych;

3) obliczyć wartości funkcji na końcach segmentu, to znaczy dla X=A i x = B;

4) spośród wszystkich obliczonych wartości funkcji wybierz największą i najmniejszą.

Przykład. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji

na segmencie.

Znalezienie punktów krytycznych:

Punkty te leżą wewnątrz segmentu; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

w punkcie X= 3 i w punkcie X= 0.

Badanie funkcji wypukłości i punktu przegięcia.

Funkcjonować y = F (X) zwany wypukły pomiędzy (A, B) , jeśli jego wykres leży pod styczną narysowaną w dowolnym punkcie tego przedziału i nazywa się wypukły w dół (wklęsły) jeśli jego wykres leży powyżej stycznej.

Nazywa się punkt przejścia, przez który wypukłość zostaje zastąpiona wklęsłością lub odwrotnie punkt przegięcia.

Algorytm badania wypukłości i punktu przegięcia:

1. Znajdź punkty krytyczne drugiego rodzaju, czyli punkty, w których druga pochodna jest równa zeru lub nie istnieje.

2. Umieść punkty krytyczne na osi liczbowej, dzieląc ją na przedziały. Znajdź znak drugiej pochodnej na każdym przedziale; jeśli , to funkcja jest wypukła w górę, jeśli , to funkcja jest wypukła w dół.

3. Jeżeli przechodząc przez punkt krytyczny drugiego rodzaju zmienia znak iw tym momencie druga pochodna jest równa zeru, to punkt ten jest odciętą punktu przegięcia. Znajdź jego rzędną.

Asymptoty wykresu funkcji. Badanie funkcji w asymptoty.

Definicja. Asymptota wykresu funkcji nazywa się prosty, który ma tę właściwość, że odległość od dowolnego punktu wykresu do tej prostej dąży do zera przy nieograniczonym usuwaniu punktu wykresu ze środka układu współrzędnych.

Istnieją trzy rodzaje asymptot: pionowe, poziome i pochylone.

Definicja. Dzwoniono bezpośrednio pionowa asymptota wykres funkcji y = f(x), jeśli co najmniej jedna z jednostronnych granic funkcji w tym punkcie jest równa nieskończoności, to znaczy

gdzie jest punktem nieciągłości funkcji, czyli nie należy ona do dziedziny definicji.

Przykład.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - punkt krytyczny.

Definicja. Prosty y=A zwany asymptota pozioma wykres funkcji y = f(x) w, jeśli

Przykład.

X
y

Definicja. Prosty y=kx +B (k≠ 0) jest wywoływana asymptota ukośna wykres funkcji y = f(x) w, gdzie

Ogólny schemat badania funkcji i kreślenia.

Algorytm badania funkcjiy = f(x) :

1. Znajdź dziedzinę funkcji D (y).

2. Znajdź (jeśli to możliwe) punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych (z X= 0 i w y = 0).

3. Zbadaj funkcje parzyste i nieparzyste ( y (‒ X) = y (X) ‒ parytet; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ dziwne).

4. Znajdź asymptoty wykresu funkcji.

5. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji.

6. Znajdź ekstrema funkcji.

7. Znajdź przedziały wypukłości (wklęsłości) i punkty przegięcia wykresu funkcji.

8. Na podstawie przeprowadzonych badań skonstruować wykres funkcji.

Przykład. Zbadaj funkcję i wykreśl jej wykres.

1) D (y) =

X= 4 - punkt krytyczny.

2) Kiedy X = 0,

(0; – 5) – punkt przecięcia z ej.

Na y = 0,

3) y(‒ X)= funkcja ogólna (ani parzysta, ani nieparzysta).

4) Badamy asymptoty.

a) pionowo

b) poziomy

c) znajdź ukośne asymptoty gdzie

‒ równanie z asymptotą skośną

5) W równaniu tym nie jest wymagane znajdowanie przedziałów monotoniczności funkcji.

6)

Te punkty krytyczne dzielą całą dziedzinę funkcji na przedział (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Otrzymane wyniki wygodnie jest przedstawić w postaci poniższej tabeli:

				bez dodatkowych opłat.

Z tabeli widać, że punkt X= ‒2‒maksymalny punkt, w punkcie X= 4‒ brak ekstremum, X= 10 – punkt minimalny.

Podstaw wartość (‒ 3) do równania:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Maksimum tej funkcji wynosi

(– 2; – 4) – ekstremum maksymalne.

Minimum tej funkcji to

(10; 20) to ekstremum minimalne.

7) zbadać wypukłość i punkt przegięcia wykresu funkcji

Niech funkcja $z=f(x,y)$ będzie zdefiniowana i ciągła w pewnym ograniczonym domkniętym obszarze $D$. Niech dana funkcja ma skończone pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w tym obszarze (z możliwym wyjątkiem skończonej liczby punktów). Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji dwóch zmiennych w danym obszarze zamkniętym, potrzebne są trzy kroki prostego algorytmu.

Algorytm znajdowania największej i najmniejszej wartości funkcji $z=f(x,y)$ w dziedzinie domkniętej $D$.

1. Znajdź punkty krytyczne funkcji $z=f(x,y)$ należące do regionu $D$. Oblicz wartości funkcji w punktach krytycznych.
2. Zbadaj zachowanie się funkcji $z=f(x,y)$ na granicy obszaru $D$, znajdując punkty możliwych wartości maksymalnych i minimalnych. Oblicz wartości funkcji w otrzymanych punktach.
3. Z wartości funkcji uzyskanych w poprzednich dwóch akapitach wybierz największą i najmniejszą.

Co to są punkty krytyczne? Pokaż ukryj

Pod punkt krytyczny implikują punkty, w których obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zeru (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ i $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) lub co najmniej jedna pochodna cząstkowa nie istnieje.

Często nazywane są punkty, w których pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zeru punkty stacjonarne. Zatem punkty stacjonarne są podzbiorem punktów krytycznych.

Przykład 1

Znajdź maksymalne i minimalne wartości funkcji $z=x^2+2xy-y^2-4x$ w obszarze zamkniętym ograniczonym prostymi $x=3$, $y=0$ i $y=x +1 $.

Postępujemy zgodnie z powyższym, ale najpierw zajmiemy się wyrysowaniem danego obszaru, który oznaczymy literą $D$. Otrzymujemy równania trzech linii prostych, które ograniczają ten obszar. Prosta $x=3$ przechodzi przez punkt $(3;0)$ równoległy do ​​osi y (oś Oy). Prosta $y=0$ jest równaniem osi odciętych (osi Ox). Otóż, aby skonstruować linię prostą $y=x+1$ znajdźmy dwa punkty, przez które poprowadzimy tę linię prostą. Możesz oczywiście zastąpić kilka dowolnych wartości zamiast $x$. Na przykład podstawiając $x=10$, otrzymamy: $y=x+1=10+1=11$. Znaleźliśmy punkt $(10;11)$ leżący na prostej $y=x+1$. Lepiej jednak znaleźć te punkty, w których prosta $y=x+1$ przecina się z prostymi $x=3$ i $y=0$. Dlaczego jest lepiej? Ponieważ położymy parę pieczeni na jednym ogniu: otrzymamy dwa punkty za zbudowanie prostej $y=x+1$ i jednocześnie dowiemy się, w jakich punktach ta prosta przecina inne proste ograniczające daną obszar. Prosta $y=x+1$ przecina prostą $x=3$ w punkcie $(3;4)$, a prostą $y=0$ - w punkcie $(-1;0)$. Aby nie zaśmiecać przebiegu rozwiązania pomocniczymi wyjaśnieniami, kwestię uzyskania tych dwóch punktów postawię w notatce.

W jaki sposób uzyskano punkty $(3;4)$ i $(-1;0)$? Pokaż ukryj

Zacznijmy od punktu przecięcia prostych $y=x+1$ i $x=3$. Współrzędne żądanego punktu należą zarówno do pierwszej, jak i drugiej linii, więc aby znaleźć nieznane współrzędne, musisz rozwiązać układ równań:

$$ \left \( \begin(wyrównane) & y=x+1;\\ & x=3. \end(wyrównane) \right. $$

Rozwiązanie takiego układu jest banalne: podstawiając $x=3$ do pierwszego równania otrzymamy: $y=3+1=4$. Punkt $(3;4)$ jest pożądanym punktem przecięcia prostych $y=x+1$ i $x=3$.

Teraz znajdźmy punkt przecięcia prostych $y=x+1$ i $y=0$. Ponownie układamy i rozwiązujemy układ równań:

$$ \left \( \begin(wyrównane) & y=x+1;\\ & y=0. \end(wyrównane) \right. $$

Podstawiając $y=0$ do pierwszego równania, otrzymujemy: $0=x+1$, $x=-1$. Punkt $(-1;0)$ jest pożądanym punktem przecięcia prostych $y=x+1$ i $y=0$ (oś odciętych).

Wszystko jest gotowe do zbudowania rysunku, który będzie wyglądał tak:

Kwestia notatki wydaje się oczywista, bo wszystko widać z rysunku. Warto jednak pamiętać, że rysunek nie może służyć jako dowód. Rysunek jest tylko ilustracją dla jasności.

Nasz obszar został wyznaczony za pomocą równań linii, które go ograniczają. To oczywiste, że te linie definiują trójkąt, prawda? A może nie do końca oczywiste? A może otrzymujemy inny obszar, ograniczony tymi samymi liniami:

Oczywiście warunek mówi, że teren jest zamknięty, więc pokazany obrazek jest błędny. Ale aby uniknąć takich niejasności, lepiej jest zdefiniować regiony za pomocą nierówności. Interesuje nas część płaszczyzny znajdująca się pod linią $y=x+1$? Ok, więc $y ≤ x+1$. Nasz obszar powinien znajdować się nad linią $y=0$? Świetnie, więc $y ≥ 0$. Nawiasem mówiąc, ostatnie dwie nierówności można łatwo połączyć w jedną: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(wyrównane) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(wyrównane) \right. $$

Te nierówności definiują dziedzinę $D$ i definiują ją jednoznacznie, bez żadnych dwuznaczności. Ale jak to pomaga nam w pytaniu na początku przypisu? To też pomoże :) Musimy sprawdzić czy punkt $M_1(1;1)$ należy do regionu $D$. Podstawmy $x=1$ i $y=1$ do systemu nierówności definiujących ten region. Jeśli obie nierówności są spełnione, to punkt leży wewnątrz regionu. Jeśli przynajmniej jedna z nierówności nie jest spełniona, to punkt nie należy do regionu. Więc:

$$ \left \( \begin(wyrównane) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(wyrównane) \right. \;\; \left \( \begin(wyrównane) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(wyrównane) \right.$$

Obie nierówności są prawdziwe. Punkt $M_1(1;1)$ należy do regionu $D$.

Teraz kolej na zbadanie zachowania się funkcji na granicy dziedziny, tj. iść do. Zacznijmy od prostej $y=0$.

Prosta $y=0$ (oś odciętych) ogranicza obszar $D$ pod warunkiem $-1 ≤ x ≤ 3$. Podstaw $y=0$ do podanej funkcji $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Wynikowa funkcja podstawienia jednej zmiennej $x$ będzie oznaczona jako $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Teraz dla funkcji $f_1(x)$ musimy znaleźć największą i najmniejszą wartość w przedziale $-1 ≤ x ≤ 3$. Znajdź pochodną tej funkcji i przyrównaj ją do zera:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Wartość $x=2$ należy do odcinka $-1 ≤ x ≤ 3$, więc do listy punktów dodajemy również $M_2(2;0)$. Dodatkowo obliczamy wartości funkcji $z$ na końcach odcinka $-1 ≤ x ≤ 3$, czyli w punktach $M_3(-1;0)$ i $M_4(3;0)$. Nawiasem mówiąc, gdyby punkt $M_2$ nie należał do rozważanego odcinka, to oczywiście nie byłoby potrzeby obliczania w nim wartości funkcji $z$.

Obliczmy więc wartości funkcji $z$ w punktach $M_2$, $M_3$, $M_4$. Możesz oczywiście podstawić współrzędne tych punktów w oryginalnym wyrażeniu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Na przykład dla punktu $M_2$ otrzymujemy:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Obliczenia można jednak nieco uprościć. W tym celu warto pamiętać, że na odcinku $M_3M_4$ mamy $z(x,y)=f_1(x)$. Opiszę to szczegółowo:

\begin(wyrównane) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(wyrównane)

Oczywiście zwykle nie ma potrzeby tak szczegółowych wpisów, aw przyszłości zaczniemy spisywać wszystkie obliczenia w krótszy sposób:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Przejdźmy teraz do prostej $x=3$. Ta prosta ogranicza $D$ pod warunkiem $0 ≤ y ≤ 4$. Podstaw $x=3$ do podanej funkcji $z$. W wyniku takiego podstawienia otrzymujemy funkcję $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Dla funkcji $f_2(y)$ musisz znaleźć największą i najmniejszą wartość na odcinku $0 ≤ y ≤ 4$. Znajdź pochodną tej funkcji i przyrównaj ją do zera:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Wartość $y=3$ należy do segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, więc do wcześniej znalezionych punktów dodajemy $M_5(3;3)$. Dodatkowo należy obliczyć wartość funkcji $z$ w punktach na końcach odcinka $0 ≤ y ≤ 4$, tj. w punktach $M_4(3;0)$ i $M_6(3;4)$. W punkcie $M_4(3;0)$ obliczyliśmy już wartość $z$. Obliczmy wartość funkcji $z$ w punktach $M_5$ i $M_6$. Przypomnę, że na odcinku $M_4M_6$ mamy $z(x,y)=f_2(y)$, zatem:

\begin(wyrównane) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(wyrównane)

I na koniec rozważ ostatnią granicę $D$, tj. wiersz $y=x+1$. Ta prosta ogranicza region $D$ pod warunkiem $-1 ≤ x ≤ 3$. Podstawiając $y=x+1$ do funkcji $z$, otrzymamy:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Ponownie mamy funkcję jednej zmiennej $x$. I znowu musisz znaleźć największą i najmniejszą wartość tej funkcji na odcinku $-1 ≤ x ≤ 3 $. Znajdź pochodną funkcji $f_(3)(x)$ i przyrównaj ją do zera:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Wartość $x=1$ należy do przedziału $-1 ≤ x ≤ 3$. Jeśli $x=1$, to $y=x+1=2$. Dodajmy $M_7(1;2)$ do listy punktów i sprawdźmy, jaka jest w tym momencie wartość funkcji $z$. Punkty na końcach odcinka $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. Punkty $M_3(-1;0)$ i $M_6(3;4)$ były rozważane wcześniej, już znaleźliśmy w nich wartość funkcji.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi krok rozwiązania jest zakończony. Otrzymaliśmy siedem wartości:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Zwróćmy się do. Wybierając największe i najmniejsze wartości z tych liczb, które uzyskaliśmy w trzecim akapicie, będziemy mieli:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6,$$

Problem rozwiązany, pozostaje tylko zapisać odpowiedź.

Odpowiedź: $z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6$.

Przykład nr 2

Znajdź maksymalne i minimalne wartości funkcji $z=x^2+y^2-12x+16y$ w obszarze $x^2+y^2 ≤ 25$.

Najpierw zbudujmy rysunek. Równanie $x^2+y^2=25$ (to jest granica danego obszaru) definiuje okrąg o środku w początku (tj. w punkcie $(0;0)$) i promieniu 5. Nierówność $x^2 +y^2 ≤ 25$ spełnia wszystkie punkty wewnątrz i na wspomnianym okręgu.

Będziemy działać dalej. Znajdźmy pochodne cząstkowe i znajdźmy punkty krytyczne.

$$ \frac(\częściowe z)(\częściowe x)=2x-12; \frac(\częściowe z)(\częściowe y)=2y+16. $$

Nie ma punktów, w których znalezione pochodne cząstkowe nie istnieją. Sprawdźmy, w jakich punktach obie pochodne cząstkowe są jednocześnie równe zeru, tj. znaleźć punkty stacjonarne.

$$ \left \( \begin(wyrównane) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(wyrównane) \right. \;\; \left \( \begin(wyrównane) & x =6;\\ & y=-8.\end(wyrównane) \right.$$

Otrzymaliśmy punkt stacjonarny $(6;-8)$. Jednak znaleziony punkt nie należy do regionu $D$. Łatwo to pokazać, nawet bez uciekania się do rysunku. Sprawdźmy, czy zachodzi nierówność $x^2+y^2 ≤ 25$, która definiuje naszą dziedzinę $D$. Jeśli $x=6$, $y=-8$, to $x^2+y^2=36+64=100$, tj. nierówność $x^2+y^2 ≤ 25$ nie jest spełniona. Wniosek: punkt $(6;-8)$ nie należy do obszaru $D$.

Zatem wewnątrz $D$ nie ma punktów krytycznych. Przejdźmy do. Musimy zbadać zachowanie się funkcji na granicy danego obszaru, tj. na okręgu $x^2+y^2=25$. Możesz oczywiście wyrazić $y$ w kategoriach $x$, a następnie podstawić wynikowe wyrażenie do naszej funkcji $z$. Z równania okręgu otrzymujemy: $y=\sqrt(25-x^2)$ lub $y=-\sqrt(25-x^2)$. Podstawiając np. $y=\sqrt(25-x^2)$ do podanej funkcji, otrzymamy:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^ 2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Dalsze rozwiązanie będzie całkowicie identyczne z badaniem zachowania się funkcji na granicy obszaru w poprzednim przykładzie nr 1. Jednak rozsądniejsze wydaje mi się w tej sytuacji zastosowanie metody Lagrange'a. Interesuje nas tylko pierwsza część tej metody. Po zastosowaniu pierwszej części metody Lagrange'a otrzymamy punkty, w których zbadamy funkcję $z$ dla wartości minimalnej i maksymalnej.

Tworzymy funkcję Lagrange'a:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Znajdujemy pochodne cząstkowe funkcji Lagrange'a i tworzymy odpowiedni układ równań:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (wyrównane) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(wyrównane) \ prawo. \;\; \left \( \begin(wyrównane) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( wyrównane)\do prawej.$$

Aby rozwiązać ten układ, od razu wskażmy, że $\lambda\neq -1$. Dlaczego $\lambda\neq -1$? Spróbujmy podstawić $\lambda=-1$ do pierwszego równania:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Wynikająca z tego sprzeczność $0=6$ mówi, że wartość $\lambda=-1$ jest niepoprawna. Wyjście: $\lambda\neq -1$. Wyraźmy $x$ i $y$ za pomocą $\lambda$:

\begin(wyrównane) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(wyrównane)

Myślę, że tutaj staje się oczywiste, dlaczego konkretnie określiliśmy warunek $\lambda\neq -1$. Zrobiono to, aby dopasować wyrażenie $1+\lambda$ do mianowników bez interferencji. To znaczy, aby mieć pewność, że mianownik to $1+\lambda\neq 0$.

Podstawmy otrzymane wyrażenia dla $x$ i $y$ do trzeciego równania układu, tj. w $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Z wynikowej równości wynika, że ​​$1+\lambda=2$ lub $1+\lambda=-2$. Stąd mamy dwie wartości parametru $\lambda$, a mianowicie: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. W związku z tym otrzymujemy dwie pary wartości $x$ i $y$:

\begin(wyrównane) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(wyrównane)

Mamy więc dwa punkty możliwego ekstremum warunkowego, tj. $M_1(3;-4)$ i $M_2(-3;4)$. Znajdź wartości funkcji $z$ w punktach $M_1$ i $M_2$:

\begin(wyrównane) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(wyrównane)

Powinniśmy wybrać największe i najmniejsze wartości spośród tych, które uzyskaliśmy w pierwszym i drugim kroku. Ale w tym przypadku wybór jest niewielki :) Mamy:

$$z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125. $$

Odpowiedź: $z_(min)=-75; \; z_(maks)=125$.

W praktyce dość często stosuje się pochodną do obliczenia największej i najmniejszej wartości funkcji. Czynność tę wykonujemy wtedy, gdy zastanawiamy się, jak zminimalizować koszty, zwiększyć zyski, obliczyć optymalne obciążenie produkcji itp., czyli wtedy, gdy konieczne jest wyznaczenie optymalnej wartości parametru. Aby prawidłowo rozwiązać takie problemy, trzeba dobrze rozumieć, jaka jest największa i najmniejsza wartość funkcji.

Zwykle definiujemy te wartości w pewnym przedziale x, który z kolei może odpowiadać całemu zakresowi funkcji lub jej części. Może to być segment [ a ; b ] i przedział otwarty (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , przedział nieskończony (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) lub przedział nieskończony - ∞ ; za , (- ∞ ; za ] , [ za ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

W tym artykule wyjaśnimy, jak obliczyć największą i najmniejszą wartość jawnie danej funkcji z jedną zmienną y=f(x) y = f (x) .

Podstawowe definicje

Zaczynamy, jak zawsze, od sformułowania głównych definicji.

Definicja 1

Największą wartością funkcji y = f (x) na pewnym przedziale x jest wartość m a x y = f (x 0) x ∈ X , która dla dowolnej wartości x x ∈ X , x ≠ x 0 tworzy nierówność f (x ) ≤ fa (x 0) .

Definicja 2

Najmniejszą wartością funkcji y = f (x) na pewnym przedziale x jest wartość m i n x ∈ X y = f (x 0) , która dla dowolnej wartości x ∈ X , x ≠ x 0 tworzy nierówność f(X fa (x) ≥ fa(x0) .

Definicje te są dość oczywiste. Można jeszcze prościej powiedzieć: największa wartość funkcji to jej największa wartość w znanym przedziale na odciętej x 0, a najmniejsza to najmniejsza akceptowana wartość w tym samym przedziale na x 0.

Definicja 3

Punkty stacjonarne to takie wartości argumentu funkcji, przy których jej pochodna przyjmuje wartość 0.

Dlaczego musimy wiedzieć, co to są punkty stacjonarne? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy pamiętać o twierdzeniu Fermata. Wynika z niej, że punktem stacjonarnym jest punkt, w którym znajduje się ekstremum funkcji różniczkowalnej (tj. jej lokalne minimum lub maksimum). W konsekwencji funkcja przyjmie najmniejszą lub największą wartość w pewnym przedziale dokładnie w jednym z punktów stacjonarnych.

Inna funkcja może przyjąć największą lub najmniejszą wartość w tych punktach, w których sama funkcja jest określona, ​​a jej pierwsza pochodna nie istnieje.

Pierwsze pytanie, które pojawia się podczas studiowania tego tematu, brzmi: czy we wszystkich przypadkach możemy określić maksymalną lub minimalną wartość funkcji w danym przedziale? Nie, nie możemy tego zrobić, gdy granice danego przedziału pokrywają się z granicami dziedziny definicji lub gdy mamy do czynienia z przedziałem nieskończonym. Zdarza się również, że funkcja w danym przedziale lub w nieskończoności przyjmie nieskończenie małe lub nieskończenie duże wartości. W takich przypadkach nie jest możliwe określenie największej i/lub najmniejszej wartości.

Te momenty staną się bardziej zrozumiałe po obrazie na wykresach:

Pierwszy rysunek pokazuje nam funkcję, która przyjmuje największe i najmniejsze wartości (m a x y i m i n y) w punktach stacjonarnych znajdujących się na przedziale [ - 6 ; 6].

Przeanalizujmy szczegółowo przypadek wskazany na drugim wykresie. Zmieńmy wartość segmentu na [ 1 ; 6] i otrzymujemy, że największa wartość funkcji zostanie osiągnięta w punkcie z odciętą na prawej granicy przedziału, a najmniejsza w punkcie stacjonarnym.

Na trzecim rysunku odcięte punkty reprezentują punkty graniczne odcinka [- 3 ; 2]. Odpowiadają one największej i najmniejszej wartości danej funkcji.

Spójrzmy teraz na czwarty obrazek. W nim funkcja przyjmuje m a x y (największą wartość) i m i n y (najmniejszą wartość) w punktach stacjonarnych w przedziale otwartym (- 6 ; 6).

Jeśli weźmiemy przedział [ 1 ; 6), to możemy powiedzieć, że najmniejsza wartość funkcji na nim zostanie osiągnięta w punkcie stacjonarnym. Nie poznamy wartości maksymalnej. Funkcja mogłaby przyjąć największą wartość przy x równą 6, gdyby x = 6 należało do przedziału. To właśnie ten przypadek pokazano na rysunku 5.

Na wykresie 6 funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość na prawej granicy przedziału (- 3 ; 2 ] i nie możemy wyciągnąć jednoznacznych wniosków na temat największej wartości.

Na rysunku 7 widzimy, że funkcja będzie miała m a x y w punkcie stacjonarnym, mając odciętą równą 1 . Funkcja osiąga swoją minimalną wartość na granicy przedziału po prawej stronie. Przy minus nieskończoności wartości funkcji asymptotycznie zbliżą się do y = 3 .

Jeżeli weźmiemy przedział x ∈ 2 ; + ∞ , to zobaczymy, że dana funkcja nie przyjmie na siebie ani najmniejszej, ani największej wartości. Jeśli x dąży do 2, wówczas wartości funkcji będą dążyć do minus nieskończoności, ponieważ prosta x = 2 jest asymptotą pionową. Jeśli odcięta dąży do plus nieskończoności, wówczas wartości funkcji asymptotycznie zbliżą się do y = 3. Tak jest w przypadku pokazanym na rysunku 8.

W tym akapicie podamy sekwencję działań, które należy wykonać, aby znaleźć największą lub najmniejszą wartość funkcji w określonym przedziale.

1. Najpierw znajdźmy dziedzinę funkcji. Sprawdźmy, czy segment określony w warunku jest w nim zawarty.
2. Teraz obliczmy punkty zawarte w tym segmencie, w których pierwsza pochodna nie istnieje. Najczęściej można je znaleźć w funkcjach, których argument jest zapisany pod znakiem modułu lub w funkcjach potęgowych, których wykładnik jest liczbą ułamkową wymierną.
3. Następnie dowiadujemy się, które punkty stacjonarne mieszczą się w danym segmencie. Aby to zrobić, musisz obliczyć pochodną funkcji, następnie zrównać ją do 0 i rozwiązać wynikowe równanie, a następnie wybrać odpowiednie pierwiastki. Jeśli nie otrzymamy ani jednego punktu stacjonarnego lub nie mieszczą się one w danym segmencie, to przechodzimy do kolejnego kroku.
4. Ustalmy, jakie wartości przyjmie funkcja w danych punktach stacjonarnych (jeśli występują), lub w tych punktach, w których pierwsza pochodna nie istnieje (jeśli istnieje), albo obliczamy wartości dla x = a i x = b.
5. 5. Mamy szereg wartości funkcji, z których musimy teraz wybrać największą i najmniejszą. Będą to największe i najmniejsze wartości funkcji, które musimy znaleźć.

Zobaczmy, jak poprawnie zastosować ten algorytm podczas rozwiązywania problemów.

Przykład 1

Stan : schorzenie: dana jest funkcja y = x 3 + 4 x 2. Wyznacz jego największą i najmniejszą wartość na odcinkach [ 1 ; 4] i [-4; - 1 ] .

Rozwiązanie:

Zacznijmy od znalezienia dziedziny tej funkcji. W tym przypadku będzie to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem 0. Innymi słowy, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Oba segmenty określone w warunku będą znajdować się wewnątrz obszaru definicji.

Teraz obliczamy pochodną funkcji zgodnie z regułą różniczkowania ułamka:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Dowiedzieliśmy się, że pochodna funkcji będzie istniała we wszystkich punktach odcinków [ 1 ; 4] i [-4; - 1 ] .

Teraz musimy wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji. Zróbmy to za pomocą równania x 3 - 8 x 3 = 0. Ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, który wynosi 2. Będzie to punkt stacjonarny funkcji i będzie mieścił się w pierwszym segmencie [ 1 ; 4 ] .

Obliczmy wartości funkcji na końcach pierwszego odcinka i w zadanym punkcie, tj. dla x = 1 , x = 2 i x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Otrzymaliśmy, że największa wartość funkcji m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 zostanie osiągnięte przy x = 1 , a najmniejsze m ja n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – przy x = 2 .

Drugi odcinek nie zawiera żadnych punktów stacjonarnych, więc musimy obliczyć wartości funkcji tylko na końcach danego odcinka:

r (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Stąd m za x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ja n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Odpowiedź: Dla segmentu [ 1 ; 4 ] - m za x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ja n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , dla segmentu [ - 4 ; - 1 ] - m za x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ja n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Widzieć zdjęcie:

Zanim nauczysz się tej metody, radzimy zapoznać się z tym, jak poprawnie obliczyć granicę jednostronną i granicę w nieskończoności, a także poznać podstawowe metody ich znajdowania. Aby znaleźć największą i/lub najmniejszą wartość funkcji w przedziale otwartym lub nieskończonym, wykonujemy kolejno następujące kroki.

1. Najpierw należy sprawdzić, czy dany przedział będzie podzbiorem dziedziny danej funkcji.
2. Wyznaczmy wszystkie punkty, które mieszczą się w wymaganym przedziale iw których pierwsza pochodna nie istnieje. Zwykle występują one w funkcjach, których argument jest zawarty w znaku modułu oraz w funkcjach potęgowych z wykładnikiem ułamkowo wymiernym. Jeśli brakuje tych punktów, możesz przejść do następnego kroku.
3. Teraz określamy, które punkty stacjonarne mieszczą się w danym przedziale. Najpierw przyrównujemy pochodną do 0, rozwiązujemy równanie i znajdujemy odpowiednie pierwiastki. Jeśli nie mamy ani jednego punktu stacjonarnego lub nie mieszczą się one w określonym przedziale, to od razu przystępujemy do dalszych działań. Są one określone przez rodzaj interwału.

• Jeśli przedział wygląda jak [ a ; b) , to musimy obliczyć wartość funkcji w punkcie x = a i granicy jednostronnej lim x → b - 0 f (x) .
• Jeżeli przedział ma postać (a ; b ] , to musimy obliczyć wartość funkcji w punkcie x = b i granicy jednostronnej lim x → a + 0 f (x) .
• Jeśli przedział ma postać (a ; b) , to musimy obliczyć granice jednostronne lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Jeśli przedział wygląda jak [ a ; + ∞) , to należy obliczyć wartość w punkcie x = a i granicę do plus nieskończoności lim x → + ∞ f (x) .
• Jeśli przedział wygląda jak (- ∞ ; b ] , obliczamy wartość w punkcie x = b i granicę w minus nieskończoności lim x → - ∞ f (x) .
• Jeśli - ∞; b , wtedy rozważamy granicę jednostronną lim x → b - 0 f (x) oraz granicę w minus nieskończoności lim x → - ∞ f (x)
• Jeśli - ∞; + ∞ , wtedy rozważamy granice do minus i plus nieskończoności lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Na koniec należy wyciągnąć wniosek na podstawie uzyskanych wartości funkcji i granic. Istnieje wiele opcji tutaj. Tak więc, jeśli jednostronna granica jest równa minus nieskończoność lub plus nieskończoność, to od razu widać, że nic nie można powiedzieć o najmniejszej i największej wartości funkcji. Poniżej rozważymy jeden typowy przykład. Szczegółowe opisy pomogą ci zrozumieć, co jest co. W razie potrzeby możesz wrócić do rycin 4 - 8 w pierwszej części materiału.

Przykład 2

Warunek: dana funkcja y = 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 . Oblicz jego największą i najmniejszą wartość w przedziałach - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Rozwiązanie

Najpierw znajdujemy dziedzinę funkcji. Mianownik ułamka to trójmian kwadratowy, który nie powinien iść do 0:

x 2 + x - 6 = 0 re = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ re (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Otrzymaliśmy zakres funkcji, do którego należą wszystkie przedziały określone w warunku.

Teraz zróżniczkujmy funkcję i otrzymajmy:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 mi 1 x 2 + x - 6 " = 3 mi 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 mi 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

W konsekwencji pochodne funkcji istnieją w całej dziedzinie jej definicji.

Przejdźmy do znajdowania punktów stacjonarnych. Pochodna funkcji przyjmuje wartość 0 przy x = - 1 2 . Jest to punkt stacjonarny znajdujący się w przedziałach (- 3 ; 1 ] i (- 3 ; 2) .

Obliczmy wartość funkcji w x = - 4 dla przedziału (- ∞ ; - 4 ] , a także granicę w minus nieskończoności:

y (- 4) \u003d 3 mi 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 mi 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Skoro 3 e 1 6 - 4 > - 1 , to m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Nie pozwala to jednoznacznie wyznaczyć najmniejszej wartości funkcji. Możemy jedynie stwierdzić, że istnieje granica poniżej - 1 , ponieważ do tej wartości funkcja dąży asymptotycznie w minus nieskończoności.

Cechą drugiego przedziału jest to, że nie ma on ani jednego punktu stacjonarnego, ani jednej ścisłej granicy. Dlatego nie możemy obliczyć ani największej, ani najmniejszej wartości funkcji. Definiując granicę w minus nieskończoności, a argument zmierza do - 3 po lewej stronie, otrzymujemy tylko zakres wartości:

granica x → - 3 - 0 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = granica x → - 3 - 0 3 mi 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 mi 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (+ 0) - 4 = 3 mi + ∞ - 4 = + ∞ granica x → - ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Oznacza to, że wartości funkcji będą się mieścić w przedziale - 1; +∞

Aby znaleźć maksymalną wartość funkcji w trzecim przedziale, wyznaczamy jej wartość w punkcie stacjonarnym x = - 1 2 jeśli x = 1 . Musimy również znać granicę jednostronności dla przypadku, gdy argument zmierza do - 3 po prawej stronie:

y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 mi 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 granica x → - 3 + 0 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = granica x → - 3 + 0 3 mi 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 mi 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (- 0) - 4 = 3 mi - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Okazało się, że funkcja przyjmie największą wartość w punkcie stacjonarnym m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Co do najmniejszej wartości, nie możemy jej wyznaczyć. wiem, jest obecność dolnego limitu do -4.

Dla przedziału (- 3 ; 2) weźmy wyniki poprzedniego obliczenia i jeszcze raz obliczmy, ile wynosi granica jednostronności przy dążeniu do 2 z lewej strony:

y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 mi 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 mi 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 - 0 - 4 = 3 mi - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Stąd m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , a najmniejszej wartości nie można określić, a wartości funkcji są ograniczone od dołu liczbą - 4 .

Na podstawie tego, co zrobiliśmy w dwóch poprzednich obliczeniach, możemy stwierdzić, że w przedziale [ 1 ; 2) funkcja przyjmie największą wartość przy x = 1, a najmniejszej nie da się znaleźć.

Na przedziale (2 ; + ∞) funkcja nie osiągnie ani największej, ani najmniejszej wartości, tj. przyjmie wartości z przedziału - 1; +∞ .

granica x → 2 + 0 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = granica x → - 3 + 0 3 mi 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 mi 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (+ 0) - 4 = 3 mi + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Po obliczeniu, jaka będzie wartość funkcji przy x = 4, dowiadujemy się, że m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , a dana funkcja w plus nieskończoności asymptotycznie zbliży się do prostej y = - 1 .

Porównajmy to, co otrzymaliśmy w każdym obliczeniu z wykresem danej funkcji. Na rysunku asymptoty są pokazane liniami przerywanymi.

To wszystko, co chcieliśmy powiedzieć o znajdowaniu największej i najmniejszej wartości funkcji. Te sekwencje działań, które podaliśmy, pomogą ci wykonać niezbędne obliczenia tak szybko i prosto, jak to możliwe. Pamiętaj jednak, że często warto najpierw dowiedzieć się, w jakich przedziałach funkcja będzie się zmniejszać, aw których rosnąć, po czym można wyciągnąć dalsze wnioski. Możesz więc dokładniej określić największą i najmniejszą wartość funkcji i uzasadnić wyniki.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Dzięki tej usłudze możesz znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji jedna zmienna f(x) z projektem rozwiązania w Wordzie. Jeżeli dana jest funkcja f(x,y), to trzeba znaleźć ekstremum funkcji dwóch zmiennych. Można również znaleźć przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Zasady wprowadzania funkcji:

Warunek konieczny dla ekstremum funkcji jednej zmiennej

Równanie f "0 (x *) \u003d 0 jest warunkiem koniecznym ekstremum funkcji jednej zmiennej, tj. w punkcie x * pierwsza pochodna funkcji musi zniknąć. Wybiera punkty stacjonarne x c, w których funkcja nie rośnie i nie maleje.

Warunek wystarczający dla ekstremum funkcji jednej zmiennej

Niech f 0 (x) będzie dwukrotnie różniczkowalna względem x należącego do zbioru D . Jeżeli w punkcie x * spełniony jest warunek:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Wtedy punkt x * jest punktem lokalnego (globalnego) minimum funkcji.

Jeżeli w punkcie x * spełniony jest warunek:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ten punkt x * jest maksimum lokalnym (globalnym).

Przykład 1. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: na segmencie .
Rozwiązanie.

Punktem krytycznym jest jeden x 1 = 2 (f'(x)=0). Ten punkt należy do odcinka . (Punkt x=0 nie jest krytyczny, ponieważ 0∉).
Obliczamy wartości funkcji na końcach odcinka oraz w punkcie krytycznym.
fa(1)=9, fa(2)= 5 / 2 , fa(3)=3 8 / 81
Odpowiedź: f min = 5 / 2 dla x=2; f maks = 9 przy x = 1

Przykład nr 2. Korzystając z pochodnych wyższego rzędu, znajdź ekstremum funkcji y=x-2sin(x) .
Rozwiązanie.
Znajdź pochodną funkcji: y’=1-2cos(x) . Znajdźmy punkty krytyczne: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Znajdujemy y''=2sin(x), obliczamy , więc x= π / 3 +2πk, k∈Z to punkty minimalne funkcji; , więc x=- π / 3 +2πk, k∈Z są punktami maksymalnymi funkcji.

Przykład nr 3. Zbadaj funkcję ekstremum w sąsiedztwie punktu x=0.
Rozwiązanie. Tutaj konieczne jest znalezienie ekstremum funkcji. Jeśli ekstremum x=0 , znajdź jego typ (minimum lub maksimum). Jeżeli wśród znalezionych punktów nie ma x = 0, to oblicz wartość funkcji f(x=0).
Należy zauważyć, że gdy pochodna po każdej stronie danego punktu nie zmienia swojego znaku, możliwe sytuacje nie wyczerpują się nawet dla funkcji różniczkowalnych: może się zdarzyć, że dla dowolnie małego sąsiedztwa po jednej stronie punktu x 0 lub po obu stronach pochodna zmienia znak. W tych punktach trzeba zastosować inne metody badania funkcji do ekstremum.

Przykład nr 4. Podziel liczbę 49 na dwa wyrazy, których iloczyn będzie największy.
Rozwiązanie. Niech x będzie pierwszym wyrazem. Wtedy (49-x) jest drugim wyrazem.
Iloczyn będzie maksymalny: x (49-x) → max

Opcja 1. Na

1. Wykres funkcji y=F(X) pokazano na rysunku.

Podaj największą wartość tej funkcji 1

na segmencie [ A; B]. A 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Funkcje y=F(X) ustawić na segmencie [ A; B]. Na

Na rysunku przedstawiono wykres jego pochodnej

y=F ´(X). Eksploruj w poszukiwaniu ekstremów 1 B

funkcjonować y=F(X). W odpowiedzi proszę podać ilość. A 0 1 x

minimalne punkty.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Znajdź największą wartość funkcji y \u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Znajdź najmniejszą wartość funkcji na segmencie .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> ma minimum w punkcie xo=1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.Na

9. Podaj największą wartość funkcji y=F(X) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – X2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y=2grzech-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Próba 14 Największa (najmniejsza) wartość funkcji.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Wykres funkcji y=F(X) pokazano na rysunku.

Podaj najmniejszą wartość tej funkcji 1

na segmencie [ A; B]. A B

0 1 X

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. Na Rysunek przedstawia wykres funkcji y=F(X).

Ile maksymalnych punktów ma ta funkcja?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. W jakim punkcie znajduje się funkcja y \u003d 2x2 + 24x -25 przyjmuje najmniejszą wartość?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> w segmencie [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> ma minimum w punkcie xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.Na

9. Podaj najmniejszą wartość funkcji y=F(X) ,

którego wykres przedstawiono na rysunku. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Znajdź największą wartość funkcji y=dziennik11 (121 – X2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Znajdź największą wartość funkcji y=2sałata+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Odpowiedzi :