Pierwiastek równania tgx a można znaleźć ze wzoru. Równania trygonometryczne - wzory, rozwiązania, przykłady

Równanie falowe, równanie różniczkowe z pochodnymi cząstkowymi, opisujące proces propagacji zaburzeń w pewnym ośrodku Tichonow A.N. i Samarsky A.A., Equations of Mathematical Physics, wyd. 3, M., 1977. - s. 10-10. 155....

Klasyfikacje hiperbolicznych równań różniczkowych cząstkowych

Równanie ciepła jest cząstkowym równaniem różniczkowym typu parabolicznego opisującym proces rozchodzenia się ciepła w ośrodku ciągłym (gaz...

Metody matematyczne stosowane w teorii systemów kolejkowych

Prawdopodobieństwa stanów układu można wyznaczyć z układu równań różniczkowych Kołmogorowa, które zestawiono według następującej reguły: Po lewej stronie każdego z nich znajduje się pochodna prawdopodobieństwa i-tego stanu...

Niestacjonarne równanie Riccatiego

1. Ogólne równanie Riccatiego ma postać: , (1.1) gdzie P, Q, R są ciągłymi funkcjami x przy x zmianach w przedziale Równanie (1.1) zawiera jako szczególne przypadki równania, które już rozważaliśmy: za pomocą otrzymujemy równanie liniowe, z -równaniem Bernoulliego...

Podstawy badań naukowych i planowania eksperymentów w transporcie

Uzyskajmy zależność funkcjonalną Y = f(X) (równanie regresji) metodą najmniejszych kwadratów (LSM). Użyj zależności liniowych (Y = a0 + a1X) i kwadratowych (Y = a0 + a1X + a2X2) jako funkcji aproksymujących. Stosując metodę najmniejszych kwadratów, wartości a0...

Umieśćmy biegun biegunowego układu współrzędnych w początku prostokątnego układu współrzędnych, oś biegunowa jest zgodna z dodatnią osią x (ryc. 3). Ryż. 3 Weźmy równanie prostej w postaci normalnej: (3.1) - długość prostopadłej...

Biegunowy układ współrzędnych na płaszczyźnie

Utwórzmy równanie we współrzędnych biegunowych dla okręgu przechodzącego przez biegun, o środku na osi biegunowej i promieniu R. Z trójkąta prostokątnego OAA otrzymujemy OA = OA (rys. 4)...

Koncepcje teorii próbkowania. Seria dystrybucyjna. Analiza korelacji i regresji

Badanie: a) koncepcja sparowanej regresji liniowej; b) sporządzenie układu równań normalnych; c) właściwości oszacowań metodą najmniejszych kwadratów; d) technika znajdowania równania regresji liniowej. Załóżmy...

Konstrukcja rozwiązań równań różniczkowych w postaci szeregów potęgowych

Jako przykład zastosowania skonstruowanej teorii rozważmy równanie Bessela: (6.1) Gdzie. Punkt osobliwy z = 0 jest regularny. W końcowej części samolotu nie ma innych elementów. Zatem w równaniu (6.1) równanie definiujące ma postać, czyli...

Rozwiązywanie równań macierzowych

Równanie macierzowe XA=B można również rozwiązać na dwa sposoby: 1. Macierz odwrotną oblicza się dowolną ze znanych metod. Wtedy rozwiązanie równania macierzowego będzie wyglądać następująco: 2...

Rozwiązywanie równań macierzowych

Opisane powyżej metody nie nadają się do rozwiązywania równań w postaci AX=XB, AX+XB=C. Nie nadają się też do rozwiązywania równań, w których przynajmniej jeden z czynników nieznanej macierzy X jest macierzą osobliwą...

Rozwiązywanie równań macierzowych

Równania w postaci AX = HA rozwiązuje się w taki sam sposób jak w poprzednim przypadku, czyli element po elemencie. Rozwiązanie sprowadza się tutaj do znalezienia macierzy permutacji. Przyjrzyjmy się bliżej przykładowi. Przykład. Znajdź wszystkie macierze...

Stacjonarna praca sieci kolejkowej o konturze rombu

Ze stanu może przejść do jednego z następujących stanów: - w związku z pojawieniem się aplikacji w kolejce pierwszego węzła z intensywnością; - z powodu przyjęcia przetwarzanego w nim wniosku z pierwszego węzła do kolejki trzeciego węzła z intensywnością...

Funkcje trygonometryczne

Arcus tangens liczby to liczba, której sinus jest równy a: jeśli i. Wszystkie pierwiastki równania można znaleźć korzystając ze wzoru:...

Numeryczne metody rozwiązywania problemów matematycznych

Możesz zamówić szczegółowe rozwiązanie swojego problemu!!!

Równość zawierająca niewiadomą pod znakiem funkcji trygonometrycznej („sin x, cos x, tan x” lub „ctg x”) nazywa się równaniem trygonometrycznym i to właśnie ich wzory rozważymy dalej.

Najprostsze równania to „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a”, gdzie „x” to kąt, który należy znaleźć, „a” to dowolna liczba. Zapiszmy podstawowe formuły dla każdego z nich.

1. Równanie „grzech x=a”.

Dla `|a|>1` nie ma rozwiązań.

Kiedy `|a| \równ. 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Wzór pierwiastkowy: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Równanie „cos x=a”.

Dla `|a|>1` - podobnie jak w przypadku sinusa, nie ma ono rozwiązań wśród liczb rzeczywistych.

Kiedy `|a| \równ. 1` ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Wzór na pierwiastek: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Specjalne przypadki sinusa i cosinusa na wykresach.

3. Równanie `tg x=a`

Ma nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości `a`.

Wzór na pierwiastek: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Równanie `ctg x=a`

Ma również nieskończoną liczbę rozwiązań dla dowolnych wartości `a`.

Wzór na pierwiastek: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Wzory na pierwiastki równań trygonometrycznych w tabeli

Dla sinusa:
Dla cosinusa:
Dla stycznych i cotangensów:
Wzory do rozwiązywania równań zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne:

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych

Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów:

za pomocą przekształcenia go w najprostszy;
rozwiązać najprostsze równanie uzyskane przy użyciu wzorów pierwiastkowych i tabel zapisanych powyżej.

Przyjrzyjmy się głównym metodom rozwiązań na przykładach.

Metoda algebraiczna.

Metoda ta polega na zastąpieniu zmiennej i podstawieniu jej do równości.

Przykład. Rozwiąż równanie: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

dokonaj zamiany: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, następnie `2y^2-3y+1=0`,

znajdujemy pierwiastki: `y_1=1, y_2=1/2`, z czego wynikają dwa przypadki:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odpowiedź: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktoryzacja.

Przykład. Rozwiąż równanie: `sin x+cos x=1`.

Rozwiązanie. Przesuńmy wszystkie wyrazy równości w lewo: `sin x+cos x-1=0`. Używając , przekształcamy i rozkładamy na czynniki lewą stronę:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odpowiedź: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcja do równania jednorodnego

Najpierw musisz zredukować to równanie trygonometryczne do jednej z dwóch postaci:

`a sin x+b cos x=0` (jednorodne równanie pierwszego stopnia) lub `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (jednorodne równanie drugiego stopnia).

Następnie podziel obie części przez `cos x \ne 0` - w pierwszym przypadku i przez `cos^2 x \ne 0` - w drugim przypadku. Otrzymujemy równania dla `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, które należy rozwiązać znanymi metodami.

Przykład. Rozwiąż równanie: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rozwiązanie. Zapiszmy prawą stronę jako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 grzech^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` grzech^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Jest to jednorodne równanie trygonometryczne drugiego stopnia, dzielimy jego lewą i prawą stronę przez `cos^2 x \ne 0`, otrzymujemy:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Wprowadźmy zamianę `tg x=t`, w wyniku której otrzymamy `t^2 + t - 2=0`. Pierwiastkami tego równania są „t_1=-2” i „t_2=1”. Następnie:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Odpowiedź. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Przejście do połowy kąta

Przykład. Rozwiąż równanie: `11 grzech x - 2 cos x = 10`.

Rozwiązanie. Zastosujmy wzory na podwójny kąt i otrzymamy: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Stosując opisaną powyżej metodę algebraiczną otrzymujemy:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odpowiedź. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Wprowadzenie kąta pomocniczego

W równaniu trygonometrycznym „a sin x + b cos x = c”, gdzie a, b, c to współczynniki, a x to zmienna, podziel obie strony przez „sqrt (a^2+b^2)”:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Współczynniki po lewej stronie mają właściwości sinusa i cosinusa, czyli suma ich kwadratów jest równa 1, a moduły nie większe niż 1. Oznaczmy je następująco: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, następnie:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Przyjrzyjmy się bliżej następującemu przykładowi:

Przykład. Rozwiąż równanie: `3 grzech x+4 cos x=2`.

Rozwiązanie. Podziel obie strony równości przez „sqrt (3^2+4^2)”, otrzymamy:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 grzech x+4/5 cos x=2/5`.

Oznaczmy `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Ponieważ `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, przyjmujemy `\varphi=arcsin 4/5` jako kąt pomocniczy. Następnie zapisujemy naszą równość w postaci:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Stosując wzór na sumę kątów dla sinusa, naszą równość zapisujemy w postaci:

`grzech (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odpowiedź. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ułamkowe racjonalne równania trygonometryczne

Są to równości z ułamkami, których liczniki i mianowniki zawierają funkcje trygonometryczne.

Przykład. Rozwiązać równanie. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rozwiązanie. Pomnóż i podziel prawą stronę równości przez „(1+cos x)”. W rezultacie otrzymujemy:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Biorąc pod uwagę, że mianownik nie może być równy zero, otrzymujemy `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Przyrównajmy licznik ułamka do zera: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Następnie `sin x=0` lub `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Biorąc pod uwagę, że ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rozwiązaniami są `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \w Z`.

Odpowiedź. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trygonometria, a w szczególności równania trygonometryczne, są stosowane w prawie wszystkich obszarach geometrii, fizyki i inżynierii. Naukę rozpoczyna się w 10. klasie, zawsze są zadania na egzaminie Unified State Exam, więc postaraj się zapamiętać wszystkie wzory równań trygonometrycznych - na pewno ci się przydadzą!

Jednak nie musisz ich nawet zapamiętywać, najważniejsze jest zrozumienie istoty i umiejętność jej wyciągnięcia. To nie jest tak trudne, jak się wydaje. Przekonaj się sam, oglądając wideo.

Aby pomyślnie rozwiązać równania trygonometryczne wygodny w użyciu metoda redukcji do wcześniej rozwiązanych problemów. Zastanówmy się, jaka jest istota tej metody?

W każdym proponowanym problemie trzeba zobaczyć problem rozwiązany wcześniej, a następnie za pomocą kolejnych przekształceń równoważnych starać się zredukować postawiony problem do prostszego.

Zatem rozwiązując równania trygonometryczne, zwykle tworzą pewien skończony ciąg równań równoważnych, których ostatnim ogniwem jest równanie z oczywistym rozwiązaniem. Należy tylko pamiętać, że jeśli nie rozwinie się umiejętności rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych, rozwiązywanie bardziej złożonych równań będzie trudne i nieskuteczne.

Ponadto przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych nigdy nie należy zapominać, że istnieje kilka możliwych metod rozwiązania.

Przykład 1. Znajdź liczbę pierwiastków równania cos x = -1/2 na przedziale.

Rozwiązanie:

Metoda I Narysujmy funkcje y = cos x i y = -1/2 i znajdźmy liczbę ich wspólnych punktów na przedziale (ryc. 1).

Ponieważ wykresy funkcji mają dwa wspólne punkty na przedziale, równanie zawiera dwa pierwiastki na tym przedziale.

II metoda. Korzystając z okręgu trygonometrycznego (ryc. 2), znajdujemy liczbę punktów należących do przedziału, w którym cos x = -1/2. Rysunek pokazuje, że równanie ma dwa pierwiastki.

III metoda. Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania trygonometrycznego, rozwiązujemy równanie cos x = -1/2.

x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z);

x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z);

x = ± (π – π/3) + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z);

x = ± 2π/3 + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z).

Przedział zawiera pierwiastki 2π/3 i -2π/3 + 2π, k jest liczbą całkowitą. Zatem równanie ma dwa pierwiastki w danym przedziale.

Odpowiedź: 2.

W przyszłości równania trygonometryczne będą rozwiązywane jedną z proponowanych metod, co w wielu przypadkach nie wyklucza zastosowania innych metod.

Przykład 2. Znajdź liczbę rozwiązań równania tg (x + π/4) = 1 na przedziale [-2π; 2π].

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania trygonometrycznego otrzymujemy:

x + π/4 = arctan 1 + πk, k – liczba całkowita (k € Z);

x + π/4 = π/4 + πk, k – liczba całkowita (k € Z);

x = πk, k – liczba całkowita (k € Z);

Przedział [-2π; 2π] należą do liczb -2π; -π; 0; π; 2π. Zatem równanie ma pięć pierwiastków w danym przedziale.

Odpowiedź: 5.

Przykład 3. Znajdź liczbę pierwiastków równania cos 2 x + sin x · cos x = 1 na przedziale [-π; π].

Rozwiązanie:

Ponieważ 1 = sin 2 x + cos 2 x (podstawowa tożsamość trygonometryczna), pierwotne równanie przyjmuje postać:

cos 2 x + grzech x · cos x = grzech 2 x + cos 2 x;

grzech 2 x – grzech x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Iloczyn jest równy zero, co oznacza, że przynajmniej jeden z czynników musi być równy zero, zatem:

grzech x = 0 lub grzech x – cos x = 0.

Ponieważ wartości zmiennej, przy której cos x = 0 nie są pierwiastkami drugiego równania (sinus i cosinus tej samej liczby nie mogą być jednocześnie równe zeru), dzielimy obie strony drugiego równania przez cos x:

grzech x = 0 lub grzech x / cos x - 1 = 0.

W drugim równaniu wykorzystujemy fakt, że tg x = sin x / cos x, wówczas:

sin x = 0 lub tan x = 1. Korzystając ze wzorów mamy:

x = πk lub x = π/4 + πk, k – liczba całkowita (k € Z).

Od pierwszego szeregu pierwiastków do przedziału [-π; π] należą do liczb -π; 0; π. Z drugiego szeregu: (π/4 – π) i π/4.

Zatem pięć pierwiastków pierwotnego równania należy do przedziału [-π; π].

Odpowiedź: 5.

Przykład 4. Znajdź sumę pierwiastków równania tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 na przedziale [-π; 1,1π].

Rozwiązanie:

Przepiszmy równanie w następujący sposób:

tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 i dokonaj zamiany.

Niech tg x + сtgx = a. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu:

(tg x + сtg x) 2 = a 2. Rozwińmy nawiasy:

tg 2 x + 2tg x · сtgx + сtg 2 x = a 2.

Ponieważ tg x · сtgx = 1, to tg 2 x + 2 + сtg 2 x = a 2, co oznacza

tg 2 x + сtg 2 x = a 2 – 2.

Teraz oryginalne równanie wygląda następująco:

za 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Korzystając z twierdzenia Viety, stwierdzamy, że a = -1 lub a = -2.

Zróbmy odwrotne podstawienie, mamy:

tg x + сtgx = -1 lub tg x + сtgx = -2. Rozwiążmy powstałe równania.

tg x + 1/tgx = -1 lub tg x + 1/tgx = -2.

Z własności dwóch wzajemnie odwrotnych liczb stwierdzamy, że pierwsze równanie nie ma pierwiastków, a z drugiego równania mamy:

tg x = -1, tj. x = -π/4 + πk, k – liczba całkowita (k € Z).

Przedział [-π; 1,1π] należą do pierwiastków: -π/4; -π/4 + π. Ich suma:

-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.

Odpowiedź: π/2.

Przykład 5. Znajdź średnią arytmetyczną pierwiastków równania sin 3x + sin x = sin 2x na przedziale [-π; 0,5π].

Rozwiązanie:

Skorzystajmy ze wzoru sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α – β)/2), wówczas

grzech 3x + grzech x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x i równanie ma postać

2sin 2x cos x = grzech 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Weźmy wspólny czynnik sin 2x z nawiasu

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Rozwiąż otrzymane równanie:

grzech 2x = 0 lub 2cos x – 1 = 0;

grzech 2x = 0 lub cos x = 1/2;

2x = πk lub x = ±π/3 + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z).

W ten sposób mamy korzenie

x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k – liczba całkowita (k € Z).

Przedział [-π; 0,5π] należą do pierwiastków -π; -π/2; 0; π/2 (z pierwszego szeregu pierwiastków); π/3 (z drugiej serii); -π/3 (z trzeciej serii). Ich średnia arytmetyczna wynosi:

(-π – π/2 + 0 + π/2 + π/3 – π/3)/6 = -π/6.

Odpowiedź: -π/6.

Przykład 6. Znajdź liczbę pierwiastków równania sin x + cos x = 0 na przedziale [-1,25π; 2π].

Rozwiązanie:

Równanie to jest równaniem jednorodnym pierwszego stopnia. Podzielmy obie jego części przez cosx (wartości zmiennej, przy której cos x = 0 nie są pierwiastkami tego równania, ponieważ sinus i cosinus tej samej liczby nie mogą być jednocześnie równe zeru). Oryginalne równanie to:

x = -π/4 + πk, k – liczba całkowita (k € Z).

Przedział [-1,25π; 2π] należą do pierwiastków -π/4; (-π/4 + π); oraz (-π/4 + 2π).

Zatem dany przedział zawiera trzy pierwiastki równania.

Odpowiedź: 3.

Naucz się robić najważniejszą rzecz - jasno wyobraź sobie plan rozwiązania problemu, a wtedy każde równanie trygonometryczne będzie w zasięgu ręki.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

>> Arcus tangens i arccotangens. Rozwiązywanie równań tgx = a, ctgx = a

§ 19. Arcus tangens i arccotangens. Rozwiązywanie równań tgx = a, ctgx = a

W przykładzie 2 z §16 nie udało nam się rozwiązać trzech równań:

Dwa z nich rozwiązaliśmy już - pierwszy w § 17 i drugi w § 18, w tym celu musieliśmy wprowadzić pojęcia cosinus łukowy i arcus sinus. Rozważmy trzecie równanie x = 2.
Wykresy funkcji y=tg x i y=2 mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, odcięte wszystkich tych punktów mają postać - odcięta punktu przecięcia prostej y = 2 z główną gałęzią stycznej (ryc. 90). Dla liczby x1 matematycy wymyślili oznaczenie acrtg 2 (czytaj: „łuk tangens dwóch”). Wtedy wszystkie pierwiastki równania x=2 można opisać wzorem x=arctg 2 + pk.
Co to jest agctg 2? To jest numer tangens która jest równa 2 i która należy do przedziału
Rozważmy teraz równanie tg x = -2.
Wykresy funkcji mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, odcięte wszystkich tych punktów mają postać odcięta punktu przecięcia prostej y = -2 z główną gałęzią stycznej. Dla liczby x 2 matematycy wymyślili zapis arctg(-2). Wtedy wszystkie pierwiastki równania x = -2 można opisać wzorem

Co to jest acrtg(-2)? Jest to liczba, której tangens wynosi -2 i która należy do przedziału. Uwaga (patrz rys. 90): x 2 = -x 2. Oznacza to, że arctg(-2) = - arctg 2.
Sformułujmy definicję arcustangens w ogólnej formie.

Definicja 1. arсtg a (arc tangens a) jest liczbą z przedziału, którego tangens jest równy a. Więc,

Jesteśmy teraz w stanie wyciągnąć ogólny wniosek na temat rozwiązania równania x=a: równanie x = a ma rozwiązania

Zauważyliśmy powyżej, że arctg(-2) = -agctg 2. Ogólnie rzecz biorąc, dla dowolnej wartości wzoru obowiązuje

Przykład 1. Oblicz:

Przykład 2. Rozwiąż równania:

A) Stwórzmy formułę rozwiązania:

Nie możemy w tym przypadku obliczyć wartości arcustangens, dlatego rozwiązanie równania pozostawimy w otrzymanej postaci.
Odpowiedź:
Przykład 3. Rozwiąż nierówności:
Nierówności postaci można rozwiązać graficznie, stosując się do poniższych planów
1) skonstruować styczną y = tg x i prostą y = a;
2) wybrać dla głównej gałęzi tangejsoidy przedział osi x, na którym spełniona jest dana nierówność;
3) biorąc pod uwagę okresowość funkcji y = tan x, zapisz odpowiedź w formie ogólnej.
Zastosujmy ten plan do rozwiązania podanych nierówności.

: a) Skonstruujmy wykresy funkcji y = tgх i y = 1. Na głównej gałęzi stycznej przecinają się one w punkcie

Wybierzmy odstęp osi x, na którym główna gałąź stycznej znajduje się poniżej prostej y = 1 - jest to przedział
Biorąc pod uwagę okresowość funkcji y = tgх, wnioskujemy, że podana nierówność jest spełniona na dowolnym przedziale postaci:

Suma wszystkich takich przedziałów stanowi ogólne rozwiązanie danej nierówności.
Odpowiedź można zapisać w inny sposób:

b) Zbudujmy wykresy funkcji y = tan x i y = -2. Na głównej gałęzi stycznej (ryc. 92) przecinają się one w punkcie x = arctg(-2).

Wybierzmy odstęp osi x, na którym znajduje się główna gałąź stycznej

Rozważmy równanie z tg x=a, gdzie a>0. Wykresy funkcji y=ctg x i y =a mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, odcięte wszystkich tych punktów mają postać: x = x 1 + pk, gdzie x 1 =arccstg a jest odciętą punktu przecięcia prostej y=a z główną gałęzią stycznej (rys. 93). Oznacza to, że arcstg a jest liczbą, której cotangens jest równy a i która należy do przedziału (0, n); na tym przedziale zbudowana jest główna gałąź wykresu funkcji y = сtg x.

Na ryc. 93 przedstawiono także graficzną ilustrację rozwiązania równania c1tg = -a. Wykresy funkcji y = сtg x i y = -а mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, odcięte wszystkich tych punktów mają postać x = x 2 + pk, gdzie x 2 = агсстg (- а) jest odciętą punkt przecięcia linii y = -а z odgałęzieniem stycznej linii głównej. Oznacza to, że arcstg(-a) jest liczbą, której cotangens jest równy -a i która należy do przedziału (O, n); na tym przedziale zbudowana jest główna gałąź wykresu funkcji Y = сtg x.

Definicja 2. arccstg a (cotangens łuku a) jest liczbą z przedziału (0, n), którego cotangens jest równy a.
Więc,

Teraz możemy wyciągnąć ogólny wniosek na temat rozwiązania równania ctg x = a: równanie ctg x = a ma rozwiązania:

Uwaga (patrz rys. 93): x 2 = n-x 1. To znaczy, że

Przykład 4. Oblicz:

A) Powiedzmy

Równanie сtg x=а można prawie zawsze przekształcić do postaci, wyjątkiem jest równanie сtg x =0. Ale w tym przypadku skorzystaj z faktu, że możesz przejść do
równanie cos x=0. Zatem równanie w postaci x = a nie jest przedmiotem niezależnego zainteresowania.

A.G. Algebra Mordkowicza 10. klasa

Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo z matematyki online, Matematyka w szkole do pobrania

Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza na rok, zalecenia metodyczne, programy dyskusji Zintegrowane Lekcje

Na tej lekcji będziemy kontynuować naukę arcus tangens i rozwiązywać równania w postaci tg x = a dla dowolnego a. Na początku lekcji rozwiążemy równanie o wartości tabelarycznej i zilustrujemy rozwiązanie na wykresie, a następnie na okręgu. Następnie rozwiązujemy równanie tgx = a w formie ogólnej i wyprowadzamy ogólny wzór odpowiedzi. Zilustrujmy obliczenia na wykresie i okręgu i rozważmy różne formy odpowiedzi. Na koniec lekcji rozwiążemy kilka problemów, korzystając z rozwiązań przedstawionych na wykresie i okręgu.

Temat: Równania trygonometryczne

Lekcja: Arcus tangens i rozwiązywanie równania tgx=a (ciąg dalszy)

1. Temat lekcji, wprowadzenie

Na tej lekcji przyjrzymy się rozwiązaniu równania dla dowolnej liczby rzeczywistej

2. Rozwiązanie równania tgx=√3

Zadanie 1. Rozwiąż równanie

Znajdźmy rozwiązanie za pomocą wykresów funkcji (ryc. 1).

Rozważmy przedział, na którym funkcja jest monotoniczna, co oznacza, że osiągana jest tylko dla jednej wartości funkcji.

Odpowiedź:

Rozwiążmy to samo równanie za pomocą koła liczbowego (ryc. 2).

Odpowiedź:

3. Rozwiązanie równania tgx=a w postaci ogólnej

Rozwiążmy równanie w postaci ogólnej (ryc. 3).

Na przedziale równanie ma jednoznaczne rozwiązanie

Najmniejszy okres dodatni

Zilustrujmy to na okręgu liczbowym (ryc. 4).

4. Rozwiązywanie problemów

Zadanie 2. Rozwiąż równanie

Zmieńmy zmienną

Problem 3. Rozwiąż system:

Rozwiązanie (ryc. 5):

W pewnym momencie wartość jest zatem rozwiązaniem układu, który jest tylko punktem

Odpowiedź:

Zadanie 4. Rozwiąż równanie

Rozwiążmy za pomocą metody zmiany zmiennej:

Zadanie 5. Znajdź liczbę rozwiązań równania na przedziale

Rozwiążmy problem za pomocą wykresu (ryc. 6).

Równanie ma trzy rozwiązania w danym przedziale.

Zilustrujmy to na okręgu liczbowym (ryc. 7), chociaż nie jest to tak wyraźne jak na wykresie.

Odpowiedź: Trzy rozwiązania.

5. Wniosek, wniosek

Rozwiązaliśmy równanie dowolnej liczby rzeczywistej, korzystając z koncepcji arcustangens. W następnej lekcji wprowadzimy pojęcie tangensu łuku.

Bibliografia

1. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Podręcznik dla szkół ogólnokształcących (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra i analiza matematyczna dla klasy 10 (podręcznik dla uczniów szkół i klas z zaawansowaną nauką matematyki) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Dogłębne badanie algebry i analizy matematycznej - M .: Prosveshchenie, 1997.

5. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów do szkół wyższych (pod red. M. I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraic Simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Problemy algebry i zasady analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 szkół ogólnokształcących) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbiór problemów algebry i zasad analizy: podręcznik. dodatek dla klas 10-11. z głębią badane Matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

Praca domowa

Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Dodatkowe zasoby internetowe

1. Matematyka.

2. Problemy z portalem internetowym. ru.

3. Portal edukacyjny przygotowujący do egzaminów.