Daj koncepcję współrzędnych wektorów. Jak znaleźć współrzędne wektora

Współrzędne wektora

Wartość jest nazywana ambiórek wektor i liczba jest jego wyznaczenie

Jak powstaje podstawa na płaszczyźnie

Jak tworzy się podstawa w przestrzeni

Podstawą przestrzeni wektorowej nazywany jest zamówionym maksymalnym liniowo niezależnym systemem wektorów z tej przestrzeni.

System definicji A1, A2 wektory ,. . . , Z przestrzeni wektorowej V nazywany jest systemem tworzenia tej przestrzeni, jeśli każdy wektor V jest liniowo wyrażony przez wektory A1, A2 ,. . . , An.

System zamówionych wektory jest podstawą przestrzeni Vector V, jeśli jest tylko wtedy, gdy jest to liniowo niezależny system formowania tej przestrzeni

Co nazywa się podstawą destyk

Jeśli wektory E1, E2, E3 są wzajemnie ortogonalne, a moduł jest równy, wówczas nazywa się one orts o prostokątnym systemie współrzędnych kartezjańskich, a sama podstawa jest ortonormalna podstawa nastawiona.

Sformułować właściwości współrzędnych wektorów w bazie kartezji

Co nazywa się współrzędnymi punktami

Odległości punktu z płaszczyzn współrzędnych nazywane są współrzędnymi punktem.
Odległość AA 1 punkty z samolotu P 1 nazywa się punktem wnioskodawcy i oznaczają przez A, odległość AA 2 punkty z samolotu P 2 - Punkt ordynacyjny i Onote - UA, odległość AA 3 punkty z samolotu P 3 - Punkt odcięcia i oznaczają x A.
Oczywiście koordynat punktu wniosku z a jest wysokością AA 1, współrzędna kolejności rzędnej w A jest głębokością AA 2, współrzędna z odcięcia pkt x A - Latheaa 3.

Jak obliczane są współrzędne wektora, jeśli współrzędne jego końca i początek są znane

Jak obliczyć odległość między dwoma punktami, jeśli znane są ich współrzędne

Wiesz, że AV (X1-X2; Y1-Y2)
Odległość między punktami jest długość wektora AV.

Co to jest Cosines Guide

Kosonowe przewodniki wektor. - Są to cosines kątów, które wektorowe tworzy się z pozytywnymi współrzędnikami współrzędnymi.

Przewodnik Cosines zdecydowanie ustawiają kierunek wektora.

To, co nazywa się projekcja wektorowa na osi, udowodnić właściwości prognoz.

Projekcja wektora na osi l. () Nazywa się to długościami jego składników na osi L. , wykonane za pomocą znaku "plus", jeśli kierunek składnika pokrywa się z kierunkiem osi l.oraz za pomocą znaku "minus", jeśli kierunek składnika jest przeciwnym kierunkiem osi.

Jeśli \u003d. , uważa się = .

Twierdzenie I Projekcja wektora na osi L jest równa produktowi jego modułu na cosinus kąta między tym wektorem a oś L.

Dowód. Od Vector \u003d Free, można założyć, że początek go o leży na osi l(Rys. 34).

Jeśli róg ostry, a następnie kierunek komponentu \u003d, wektor zbiega się z kierunkiem osi l.(Rysunek 34, A).

W tym przypadku mamy = + = . Jeśli róg (Rys. 34, B) , ten kierunek komponentu = wektor przeciwny kierunek osi l. Potem Get \u003d \u003d cos (-) \u003d sałata.

To samo - na wektor.

Co to jest produkt skalarny wektory

Praca skalarna dwa niezerowe wektory A i B nazywał się liczbą równą produktowi tych długości wektory Na cosinusie rogu między nimi.

Sformułować stan ortogonalności wektory

Stan ortogonalności wektory. Wideo wektora A i B. ortogonalny (prostopadły)Jeśli ich produkt skalarny wynosi zero.

Udowodnij właściwości skalarnego produktu wektory

Właściwości skalarnego produktu wektory

Scalar produkt samej wektora jest zawsze większy lub równy zero:

Scalar produkt wektora jest równy zero, jeśli i tylko wtedy, gdy wektor jest równy zero wektora:

a · A \u003d 0<=> A \u003d 0.

Scalar produkt samego wektora jest równy placu jego modułu:

Działanie mnożenia skalarnego komunikatywnego:

Jeśli skalarny produkt dwóch wektory nie zerowych wynosi zero, a następnie ortogonalny wektor:

a ≠ 0, B ≠ 0, A · B \u003d 0<=> A ┴ B.

(αa) · b \u003d α (A · b)
Dystrybucja operacyjna mnożenia skalarnego:

(A + B) · C \u003d A · C + B · C

Przynieś wyraz produktu skalarnego przez współrzędne

Sformułować właściwości wektorowe

Tylko 1 formuła

Jest to określone z góry.

Geometria analityczna

1. Udowodnij teoremy na ogólnej równaniu linii na płaszczyźnie

2. Przeprowadzić badanie równania ogólnego bezpośrednio na płaszczyźnie

3. Wyprowadzić równanie bezpośrednie w płaszczyźnie z współczynnikiem kątowym, a równanie jest proste w segmentach na osiach

4. Wyjmij równanie kanoniczne do linii na płaszczyźnie, napisz równania parametryczne, wyjście równania bezpośrednie przechodzące przez dwa określone punkty

5. Jak określ kąt między prostym samolotem, jeśli są ustalane przez równania kanoniczne lub równania z współczynnikiem kątowym?

6. Usuń warunki równoległości, zbieg okoliczności i prostopadłości bezpośrednio na płaszczyźnie

7. Uzyskaj formułę do obliczania odległości od punktu, aby bezpośrednio kierować samolotem

8. Udowodnij teoremy na całkowitym równaniu samolotu

9. Formuluj i udowodnij twierdzenie o wzajemnej lokalizacji pary samolotów

10. Przeprowadzić badanie równania ogólnego płaszczyzny

11. Uzyskaj równanie samolotu w segmentach i równaniu samolotu przechodzącego przez dwie wartości zadane

12. Uzyskaj formułę do obliczania odległości od punktu do samolotu

13. Jak wygląda kąt między samolotami?

14. Usuń warunki równoległości i prostopadłości dwóch samolotów

15. Zapisz ogólny widok równań bezpośrednich w przestrzeni, aby uzyskać kanoniczny widok równań bezpośrednio w przestrzeni

16. Aby uzyskać równania parametryczne do linii w przestrzeni, a także bezpośrednie przechodzące przez dwa punkty przestrzeni.

17. W jaki sposób kąt między dwoma bezpośrednim w przestrzeni? Zapisz warunki równoległości i prostopadłości bezpośredniej w przestrzeni

18. W jaki sposób określa kąt między prostym a samolotem? Zapisz warunki prostopadłości i równoległości prostej i płaszczyzny

19. Uzyskaj warunek do dwóch bezpośrednich samolotów

Analiza matematyczna

1. Jaka jest funkcja, jakie są sposoby pójścia do swojej pracy?

2. Co to ma świadomy i dziwne funkcje, jak zbudować swoje wykresy

3. Co to jest funkcje okresowe i odwrotne, jak zbudować swoje wykresy

4. Obraz w wykresach orientacyjnych i logarytmicznych funkcjach w A\u003e 1, a<1.

5. Jaka jest harmonijna zależność, jaki jest rodzaj grafiki?

6. Wytwarzanie wykresów y \u003d arcsinx, y \u003d arccosx, y \u003d arctgx, y \u003d arcctgx

7. Jaka jest funkcja podstawowa. Grafika głównych funkcji podstawowych

8. Jak zbudować wykresy formularza y \u200b\u200b\u003d cf (x), y \u003d f (cx), y \u003d f (x) + c, y \u003d f (x + c)

9. Jaka jest sekwencja numeryczna, jakie są sposoby przejścia do jej zadania?

10. Jaka jest monotonna i ograniczona sekwencja?

11. Co nazywa się limitem sekwencji? Zapisz definicję faktu, że liczba ta nie jest limitem tej sekwencji

12. Sformułować właściwości limitów sekwencji

13. Udowodnij dwie podstawowe właściwości sekwencji zbieżnych

14. Który z nich daje warunek konieczny dla konwergencji?

15. sformułować twierdzenie, który daje wystarczającą ilość konwergencji sekwencji

16. Udowodnij dowolną z właściwości limitów sekwencji

17. Co jest nieskończenie mała (duża) sekwencja?

18. sformułować właściwości nieskończenie małych sekwencji

19. Co nazywa się limitem funkcji?

20. sformułować właściwości granic funkcji

21. Co nazywa się ograniczeniem jednostronnym?

22. Zapisz pierwszy wspaniały limit i wycofaj swoją konsekwencję

23. Zapisz drugie wspaniały limit i wycofać jego dochodzenie

24. Jakie funkcje są nieskończenie małe, ograniczone, nieskończenie duże?

25. sformułować właściwości nieskończenie małych funkcji, aby udowodnić każdy z nich

26. Jakie zostaną wprowadzone koncepcje w celu porównania nieskończenie małych funkcji, dają im definicje

27. Jaka funkcja jest nazywana ciągłą w określonym punkcie?

28. Sformułuj kryteria ciągłości i charakteryzują typy przerw

29. Jaka jest funkcja pochodna w stałym punkcie?

30. Co nazywa się jednostronnymi pochodnymi?

31. Co to jest funkcja różnicowa i jak to jest związane z przyrostem funkcji?

32. Fizyczne znaczenie pierwszych i drugich pochodnych

33. Co to jest funkcja pochodna z funkcji?

34. Wymień właściwości instrumentów pochodnych, aby udowodnić dwa z nich (U + V) "i (UV)"

35. Napisz stół pochodnych, udowodnić dwa dwa wzory

36. Jakie jest geometryczne znaczenie pochodnej i różnicowej?

37. Usuń równanie stycznego i normalnego do wykresu

38. Udowodnij twierdzenie o funkcji kompleksu pochodnego

39. Wyświetla pochodną funkcji odwrotnej (podaj przykład swojej lokalizacji)

40. Uzasadnij twierdzenie o obliczeniu pochodnych

41. Udowodnij wszystkie teoremy średnio do funkcji różniczkowych

42. Sformułuj i udowodnij regułę lopital

43. Jakie funkcje są nazywane wzrastającym i zmniejszającym się w przedziale?

44. Udowodnij teorety na związku pochodnym z rosnącą funkcją

45. Jaki jest punkt ekstremum?

46. \u200b\u200bUzasadnij pożądany stan ekstremum

47. Wycofać dwa typy wystarczających warunków ekstremum

48. Jak znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie?

49. Co nazywa się funkcją wypukłą i wklęsłą?

50. Jak zbadać funkcję na wybrzuszenie i cążku? Co nazywa się punktami fleksekcji?

51. Asymptotes - Daj definicje, wyjaśnij, jak znaleźć sposoby

52. Aby uzyskać formułę do znalezienia pochodnej (pierwszej i drugiej) funkcji parametrycznie określonej.

53. Co to jest funkcja wektorowa, jej domy i jego mechaniczne znaczenie?

54. Charakteryzuje się wielkością i kierunkiem prędkości i przyspieszenia punktu materiału z jednolitym ruchem wokół okręgu

55. Określ szybkość i szybkość i przyspieszenie punktu materiału w rozmiarze i kierunku z nierównym ruchem wokół okręgu

56. Uzyskaj funkcje pochodne y \u003d e x, y \u003d sinx, y \u003d cosx, y \u003d tgx, y \u003d lnx, y \u003d arcsinx, y \u003d arccosx

Co nazywa się współrzędnymi wektorami

Współrzędne wektora Nazywane one one projekcje i ten wektor na osi i odpowiednio:

Wartość jest nazywana ambiórek wektor i liczba jest jego wyznaczenie. Fakt, że wektor ma współrzędne i jest zapisywane w następujący sposób :.

Na początku damy określenie współrzędnych wektorów w danym układzie współrzędnych. Aby wprowadzić tę koncepcję, definiujemy, że nazywamy układu współrzędnego prostokątnego lub destynacyjnego.

Definicja 1.

Prostokątny układ współrzędnych Jest to prostoliniowy układ współrzędnych z wzajemnie prostopadłymi osiami na płaszczyźnie lub w przestrzeni.

Korzystając z wprowadzenia prostokątnego układu współrzędnych na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej, możliwe jest opisywanie liczb geometrycznych wraz z ich właściwościami przy użyciu równania i nierówności, czyli, w stosowaniu metod algebraicznych w rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

W ten sposób możemy wiązać się z określonymi wektory układu współrzędnych. Znacząco rozszerzy nasze możliwości w rozwiązywaniu pewnych zadań.

Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie jest zwykle oznaczony O X Y, gdzie O X i O Y - oś współrzędnej. Oś O X nazywana jest oś odciążyła, a oś OH jest osi rzędnej (kolejna oś Z pojawia się w przestrzeni, która jest prostopadła do i o x i o y).

Przykład 1.

Dostarczamy więc prostokątny układ koordynatu destynacyjnego O XY na płaszczyźnie, jeśli odroczymy współrzędne IC → i J →, którego kierunek, którego odpowiednio zbiega się z pozytywnymi kierunkami osi wół i Oy, a ich długość będzie Bądź równy jednostce warunkowej, otrzymamy wektory współrzędne. To jest w tym przypadku i → i J → są wektory współrzędnych.

Współrzędne wektory

Definicja 2.

Wektory I → i j → kukurydza wektory współrzędnych dla danego układu współrzędnych.

Przykład 2.

Dekoracja od początku koordynuje arbitralny wektor A →. Opierając się na geometrycznej determinacji operacji nad wektorami, wektor A → może być reprezentowany jako A → \u003d A X · I → + A Y · J →, gdzie współczynniki X. i A Y. - jedyny w swoim rodzaju, ich wyjątkowość wystarczy, aby udowodnić metodą z paskudnej.

Rozkład wektor

Definicja 3.

Rozkład wektor A →. Przez współrzędne wektory I → i j → na powierzchni Nazywa się przedstawieniem formularza A → \u003d A X · I → + A Y · J →.

Definicja 4.

Współczynniki X i Y zwane współrzędnymi wektorami w tym układzie współrzędnych w płaszczyźnie.

Współrzędne wektora w tym systemie współrzędnych są podejmowane w celu rejestrowania w nawiasach, przez przecinek, podczas gdy określone współrzędne powinny być oddzielone od oznaczenia wektora równości równości. Na przykład, nagrywanie A → \u003d (2; - 3) oznacza, że \u200b\u200bwektor A → ma współrzędne (2; - 3) w tym układzie współrzędnych i może być reprezentowany jako rozkład przez współrzędne wektory I → i J → jako A → \u003d 2 · I → 3 · j →.

Komentarz

Należy zauważyć, że kolejność współrzędnych rejestracji jest ważna, jeśli nagryjesz współrzędne wektorowe w innej kolejności, otrzymasz zupełnie inny wektor.

W oparciu o definicję współrzędnych wektora i ich rozkładu staje się oczywiste, że pojedyncze wektory I → i J → mają odpowiednio współrzędne (1; 0) i (0; 1), i mogą być reprezentowane w formie następujące rozszerzenia I → \u003d 1 · i → + 0 · j →; j → \u003d 0 · i → + 1 · j →.

Jest też zerowy wektor 0 → z współrzędnymi (0; 0) i rozkład 0 → \u003d 0 · i → + 0 · j →.

Równe i przeciwne wektory

Definicja 5.

Wektory A → i B → równe Następnie, gdy ich współrzędne są równe.

Definicja 6.

Przeciwny wektor Nazywa się to wektor naprzeciwko.

Wynika z tego, że współrzędne tego wektora będą przeciwne do współrzędnych tego wektora, to znaczy - A → \u003d (- X; - A Y).

Wszystkie powyższe mogą być podobnie zidentyfikowane dla prostokątnego układu współrzędnych określonych w przestrzeni trójwymiarowej. W takim układzie współrzędnych znajduje się potrójnik współrzędnych wektorów I → J →, K → i arbitralny wektor A → jest rozwinięty przez dwa, ale już w trzech współrzędnych, a jedynym sposobem i forma A → \u003d AX · I → + AY · J → + AZ · K → i współczynniki tego rozkładu (AX; AY; AZ) współrzędne wektora w tym (trójwymiarowy) układ współrzędnych.

Dlatego też podejmowane są również wektory współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej, aby wziąć 1 i mają współrzędne I → \u003d (1; 0; 0), J → \u003d (0; 1; 0), K → \u003d (0; 0; 1), zero współrzędne wektorowe równe zero 0 → \u003d (0; 0; 0), a w tym przypadku dwa wektory będą uważane za równe, jeśli wszystkie trzy odpowiednie współrzędne wektory są równe A → \u003d B → ⇔ AX \u003d BX, AY \u003d Przez, AZ \u003d BZ, a współrzędne odwrotnego wektora A → są przeciwne odpowiednie współrzędne wektorowe wektora A →, to znaczy - A → \u003d (- AX; - AY; - AZ).

Aby wprowadzić tę definicję, musisz pokazać współrzędne współrzędne współrzędne w tym układzie współrzędnych.

Daj nam pewien prostokątny układ współrzędnych deżynowy o x y i jest ustawiony na dowolnym momencie m z współrzędnymi m (x m m).

Definicja 7.

Wektor O m →. nazywa punkt Radius. M. .

Definiujemy, jakie współrzędne w tym układzie współrzędnych ma punkt wektorowy promień

Wektor O m →. Posiada formę ilości OM → \u003d OM X → + OM Y → \u003d XM · i → + YM · J →, gdzie punkty M x i M Y są występami punktu M na współrzędnej Direct OY i Oy , odpowiednio (te rozumowanie wynika z projekcji definicji punktu do prostego), a I → i J → - więc współrzędnych wektorów, wektor O m →. Ma współrzędne (x m m m) w tym układzie współrzędnych.

Innymi słowy, współrzędne punktu wektora RADIUS M są równe odpowiednich współrzędnych punktów m W prostokątnym systemie współrzędnych kartezjańskich.

Podobnie w przestrzeni trójwymiarowej, punkt wektorowy Radius M (XM; Y; ZM) rozkłada się na wektory współrzędnych, jak OM → \u003d OM X → + OM Y → OM Z → \u003d XM · i → + YM · J → + z m · k →, dlatego Om → \u003d (x m; y m; z m).

Jeśli zauważysz błąd w tekście, wybierz go i naciśnij Ctrl + Enter

Nadal uważa się, że wektory są rozpatrywane w przestrzeni. Od teraz obudzić go, że wszystkie wektory są brane pod uwagę w samolocie. Załóżmy również, że układ współrzędnych jest ustawiony na płaszczyźnie (nawet jeśli nie wspomina o tym), reprezentujących dwie wzajemnie prostopadłe osi numeryczne - oś poziomej i osi pionowej . Potem każdy punkt
samolot jest zgodny z parą liczb.
które są jego współrzędnymi. Wstecz, każda para liczb
odpowiada płaszczyźnie punktu, tak że para liczb
są jego współrzędnymi.

Z podstawowej geometrii wiadomo, że jeśli w płaszczyźnie są dwa punkty
i
, Dystans
między tymi punktami wyraża się poprzez ich współrzędne o wzorze

Pozwól, aby system współrzędnych współrzędnych był zapytany w samolocie. Oś ORT. oznaczymy symbol i oś ort symbol . Arbitralny projekcyjny wektor na osi oznaczymy symbol
i projekcja na osi symbol
.

Zostawiać - arbitralny wektor w samolocie. Odbywa się następujący twierdzenie.

Twierdzenie 22.

Dla każdego wektora w samolocie znajduje się kilka liczb

W którym
,
.

Dowód.

Pozwól, aby wektor był podany . Piszemy wektor od początku współrzędnych. Oznaczać wektor projekcja wektor na osi i wektor projekcja wektor na osi . Następnie, jak widać na rysunku 21, istnieje równość

Według twierdzenia 9,

Oznaczać
,
. Potem dostać

Więc udowodniono, że dla każdego wektora jest kilka liczb
taka, że \u200b\u200bwłaściwa równość

Z inną lokalizacją wektorową jeśli chodzi o osie, dowód jest podobny.

Definicja.

Para liczb i taka
nazywa się współrzędnymi wektorami . Numer zwany współrzędną ICSO i liczbą gracz koordynować.

Definicja.

Para osi współrzędnych ortów
nazywa się ortonormalną podstawą na płaszczyźnie. Reprezentacja każdego wektora tak jak
zwany rozkładem wektor badacz
.

Bezpośrednio z określania współrzędnych wektorów wynika, że \u200b\u200bjeśli współrzędne wektory są równe, same wektory są równe. Przeciwne oświadczenie jest również sprawiedliwe.

Twierdzenie.

Równe wektory mają równe współrzędne.

Dowód.

i
. Dowodzimy to
,
.

Z równości wektorów wynika z tego

Przypuszczam, że
, ale
.

Następnie
i znaczenie
to nie jest prawda. Podobnie, jeśli
, ale
T.
. Stąd
to nie jest prawda. Wreszcie, jeśli to zakładasz
i
Wtedy to dostajemy

Oznacza to, że wektory i collineares. Ale to nie jest prawdą, ponieważ są prostopadłe. Dlatego też pozostaje
,
Zgodnie z wymaganiami udowodnić.

Tak więc współrzędne wektora całkowicie zdefiniują sam wektor. Wiedząc współrzędne i wektor możesz zbudować wektor , Buing wektory
i
i ich składanie. Tak często wektor oznaczać w formie pary jego współrzędnych i pisać
. Taki rekord oznacza to
.

Bezpośrednio z określania współrzędnych wektora postępuje zgodnie z następującym twierdzeniem.

Twierdzenie.

Gdy wektory są dodawane, ich współrzędne są składane, a gdy wektor mnożą się, jego współrzędne są pomnożone przez ten numer. Te stwierdzenia są rejestrowane w formie

Dowód.

Twierdzenie.

Zostawiać
i początek punktu wektorowego ma współrzędne
, a koniec wektora jest punkt
. Następnie współrzędne wektora są związane ze współrzędnymi jego końcami przez następujące relacje.

Dowód.

Zostawiać
i pozwól projekcji wektorowej wektora na osi sonowany z osią (Patrz rys. 22). Następnie

t. aK jako długość segmentu na osi numerycznej równa współrzędnej końca minus współrzędna lewego końca. Jeśli jest wektorowy

oś jest zanieczyszczona (jak na rys. 23), to

Figa. 23.

Jeśli
, a potem w tym przypadku
a potem dostać

Tak więc, z jakiegokolwiek układu wektora
w stosunku do osi współrzędnych współrzędnych równy

Podobnie udowodniono, że

Przykład.

Współrzędne dany końców wektora
:
. Znajdź współrzędne wektora
.

Decyzja.

Poniższy twierdzenie zapewnia ekspresję długości wektorowej poprzez współrzędne.

Twierdzenie 15.

Zostawiać
.Następnie

Dowód.

Zostawiać i - wektor projekcyjny wektor na osi i odpowiednio. Następnie, jak pokazano na dowodzie Twierdzenia 9, istnieje równość

W tym samym czasie, wektory i wzajemnie prostopadły. Dodając te wektory zgodnie z zasadą trójkąta, otrzymujemy prostokątny trójkąt (patrz rys. 24).

Twierdzenie Pitagore, które mamy

W związku z tym

Przykład.

.Znaleźć .

Przedstawiamy koncepcję wektorowych konstrukcji Cosine.

Definicja.

Niech wektorze
tworzy oś kąt i z osią kąt (Patrz rys. 25).

W związku z tym,

Jak dla każdego wektora jest równość

Gdzie - Ort Vector. To znaczy, wektorowa odosobniona długość, pokryta z wektorem T.

Wektor określa kierunek wektora . Jego współrzędne
i
zwany Przewodnik wektor Cosines . Wektor konstrukcji cosinusów można wyrazić poprzez współrzędne formuły.

Istnieje stosunek

Do tej pory ustęp ten uwierzył, że wszystkie wektory znajdują się w tym samym płaszczyźnie. Dokonaj uogólnienia dla wektory w przestrzeni.

Zakładamy, że system współrzędnych Kartańczyków z osiami jest ustawiony w przestrzeni ,i .

Osie osie ,i oznaczymy symbole ,i odpowiednio (Rys. 26).

Można pokazać, że wszystkie koncepcje i formuły uzyskane dla wektory w płaszczyźnie są podsumowane

Figa. 26.

wektory w przestrzeni. Wektory Troiki.
zwany ortonormalną podstawą w przestrzeni.

Zostawiać ,i - wektor projekcyjny wektor na osi ,i odpowiednio. Następnie

Z kolei

Jeśli wyznaczysz

Że mamy równość

Współczynniki przed podstawowymi wektory ,i określany jako współrzędne wektora . Tak więc dla każdego wektora w przestrzeni znajduje się trzy liczby. ,,zwane współrzędnymi wektorami takie, że dla tego wektora jest prawdziwe

Wektor w tym przypadku, o którym mowa w formularzu
. Jednocześnie współrzędne wektora są równe prognozach tego wektora na osi współrzędnych

gdzie - Kąt między wektor i oś ,- Kąt między wektor i oś ,- Kąt między wektor i oś .

Wektor długości jest wyrażony przez jego współrzędne o formule

Uczciwe stwierdzenia, że \u200b\u200brówne wektory mają równe współrzędne, przy dodawaniu wektory, ich współrzędne są złożone, a gdy wektor mnożący wektor, jego współrzędne są pomnożone przez ten numer.
,
i
zwany Przewodnik wektor Cosines . Są one związane z formułami współrzędnych wektorowych

,
,
.

Stąd stosunek

Jeśli końce wektora
mieć współrzędne
,
, potem współrzędne wektora
związane ze współrzędnymi końców wektora przez relacje

Przykład.

Zwrotnica
i
. Znajdź współrzędne wektora
.

Na osi odcięcia i treści są nazywane współrzędne wektor. Współrzędne wektorowe ogólnie akceptowane w formie (x, y)I samo wektor jest jak: \u003d (x, y).

Formuła określająca współrzędne wektora do zadań dwuwymiarowych.

W przypadku problemu dwuwymiarowego wektor znany współrzędne punktu A (x 1; w 1) i B (x. 2 ; y. 2 ) Możesz obliczyć:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formuła do określania współrzędnych wektora zadań przestrzennych.

W przypadku problemu przestrzennego wektor znany współrzędne punktuZA. (x 1; w 1;z. 1 ) oraz b. (x. 2 ; y. 2 ; z. 2 ) Możesz obliczyć zastosowanie formuły:

= (x. 2 - x. 1 ; y. 2 - y. 1 ; z. 2 - z. 1 ).

Współrzędne dają kompleksową charakterystykę wektora, ponieważ współrzędne mają możliwość budowania i samego wektora. Wiedząc współrzędne, łatwe do obliczenia i wektor długości. (Nieruchomość 3, pokazana poniżej).

Właściwości współrzędnych wektorów.

1. Any równe wektory W jednym układzie współrzędnych ma równe współrzędne.

2. Współrzędne wektory kolinkowe Proporcjonalny. Pod warunkiem, że żaden z wektorów nie ma zero.

3. Kwadrat długości dowolnego wektora jest równy sumie go kwadratów współrzędne.

4. W operacji mnożenie wektora na prawidłowy numer. Każda współrzędna jest pomnożona przez ten numer.

5. Wraz z tworzeniem wektorów obliczamy odpowiednią ilość odpowiadającą współrzędne wektory.

6. Produkt skalarny Dwa wektory równa się sumy produktów ich współrzędnych.

Znalezienie współrzędnych wektora dość często stwierdzono stan wielu zadań w matematyce. Zdolność do znalezienia współrzędnych wektora pomoże Ci w innych, bardziej złożonych zadań z podobnymi tematami. W tym artykule zajmiemy się formułą znalezienia współrzędnych wektora i kilku zadań.

Znalezienie współrzędnych wektora w płaszczyźnie

Co to jest samolot? Samolot jest uważany za przestrzeń dwuwymiarową, przestrzeń z dwoma wymiarami (miarą x i pomiar y). Na przykład papier jest samolotem. Powierzchnia stołu - samolot. Niektóre nieprosztowe postać (plac, trójkąt, trapez) jest również samolotem. Tak więc, jeśli w stanie zadania trzeba znaleźć współrzędne wektora, który leży na płaszczyźnie, natychmiast pamiętaj o X i Y. Znajdź współrzędne tego wektora w następujący sposób: Współrzędne wektora \u003d (XB - XA; YB - XA). Można go zobaczyć z formuły, że współrzędne punktu końcowego wymagają współrzędnych punktu wyjścia.

Przykład:

Płyta płyta wektorowa ma początkowy (5; 6) i skończony współrzędne (7; 8).
Znajdź współrzędne samego wektora.
Korzystając z wyżej wymienionej formuły, otrzymujemy następujące wyrażenie: CD \u003d (7-5; 8-6) \u003d (2; 2).
Tak więc współrzędne płyty CD wektor \u003d (2; 2).
W związku z tym współrzędna X jest dwie, współrzędne Y jest również dwa.

Znalezienie współrzędnych wektorów w przestrzeni

Co to jest przestrzeń? Przestrzeń jest już trójwymiarowym pomiarem, w którym podano 3 współrzędne: x, y, z. W przypadku, gdy musisz znaleźć wektor, który leży w przestrzeni, formuła praktycznie nie została zmieniona. Dodaje się tylko jedna współrzędna. Aby znaleźć wektor potrzebny od współrzędnych końca, aby wziąć pierwsze współrzędne. AB \u003d (XB - XA; YB - YA; ZB - ZA)

Przykład:

Wektor DF ma początek (2; 3; 1) i skończony (1; 5; 2).
Korzystając z wyżej wymienionej formuły, otrzymujemy: współrzędne DF \u003d (1-2; 5-3; 2-1) \u003d (-1; 2; 1).
Pamiętaj, że wartość współrzędna może być negatywna, nie ma w tym problemu.

Jak znaleźć współrzędne wektorowe online?

Jeśli z jakiegoś powodu nie chcesz znaleźć współrzędnych, możesz użyć kalkulatora online. Aby rozpocząć, wybierz wymiar wektora. Wymiar wektora jest odpowiedzialny za jego pomiar. Wymiar 3 oznacza, że \u200b\u200bwektor jest w przestrzeni, wymiar 2 jest to w samolocie. Następnie włóż współrzędne punktu do odpowiednich pól, a program określi współrzędne samego wektora. Wszystko jest bardzo proste.

Klikając przycisk, strona automatycznie przewija i zapewni poprawną odpowiedź wraz z etapami rozwiązań.

Zaleca się odkrywanie tego tematu dobrze, ponieważ koncepcja wektora znajduje się nie tylko w matematyce, ale także w fizyce. Studenci Wydziału Technologii Informacyjnych zbadają również tematów wektorów, ale na bardziej złożonym poziomie.