4 x boyutlu küp. Cybercube - dördüncü boyuta ilk adım

Bir görüntü, dört boyutlu bir küpün üç boyutlu uzaya yansımasıdır (perspektif).

Oxford Sözlüğü'ne göre, tesseract kelimesi 1888'de Charles Howard Hinton (1853-1907) tarafından A New Age of Thought adlı kitabında kullanılmış ve kullanılmıştır. Daha sonra, bazı insanlar aynı şekle "tetracubus" adını verdiler.

Geometri

Öklidyen dört boyutlu uzayda sıradan bir tesseract, noktaların (± 1, ± 1, ± 1, ± 1) dışbükey gövdesi olarak tanımlanır. Başka bir deyişle, aşağıdaki küme olarak temsil edilebilir:

Tesseract, tesseract ile kesişimi onun üç boyutlu yüzlerini (sıradan küpler olan) tanımlayan sekiz hiperdüzlem ile sınırlandırılmıştır. Her bir paralel olmayan 3B yüz çifti, 2B yüzler (kareler) oluşturmak için kesişir ve bu böyle devam eder. Son olarak, bir tesseract'ın 8 3B yüzü, 24 2B, 32 kenarı ve 16 köşesi vardır.

Popüler Açıklama

Üç boyutlu boşluktan çıkmadan hiperküpün nasıl görüneceğini hayal etmeye çalışalım.

Tek boyutlu "uzayda" - bir çizgi üzerinde - L uzunluğunda bir AB parçası seçin. AB'den L mesafesindeki iki boyutlu bir düzlemde, ona paralel bir DC parçası çizin ve uçlarını birleştirin. Sonuç bir kare ABCD'dir. Bu işlemi uçakla tekrarlayarak, üç boyutlu bir ABCDHEFG küpü elde ederiz. Ve küpü dördüncü boyutta (ilk üçe dik) L mesafesi kadar kaydırarak, ABCDEFGHIJKLMNOP hiperküpünü elde ederiz.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Tek boyutlu AB parçası, iki boyutlu ABCD karesinin kenarıdır, kare, sırasıyla dört boyutlu hiperküpün kenarı olacak olan ABCDHEFG küpünün kenarıdır. Düz bir doğru parçasının iki sınır noktası vardır, bir karenin dört köşesi ve bir küpün sekiz köşesi vardır. Böylece, dört boyutlu bir hiperküpte 16 köşe olacaktır: orijinal küpün 8 köşesi ve dördüncü boyutta kaydırılan 8 köşe. 32 kenarı vardır - 12'si orijinal küpün ilk ve son konumlarını verir ve 8 kenar daha dördüncü boyuta taşınan sekiz köşesini "çizecektir". Aynı mantık hiperküpün yüzleri için de yapılabilir. İki boyutlu uzayda, birdir (karenin kendisi), küpün 6 ​​tanesi vardır (hareket ettirilen kareden iki yüz ve dört tane daha kenarlarını tanımlayacaktır). Dört boyutlu bir hiperküpün 24 kare yüzü vardır - iki konumda orijinal küpün 12 karesi ve on iki kenarından 12 kare.

Benzer şekilde, daha fazla sayıda boyutlu hiperküpler için akıl yürütmeye devam edebiliriz, ancak dört boyutlu bir hiperküpün biz, üç boyutlu uzayın sakinleri için nasıl görüneceğini görmek çok daha ilginç. Bunun için tanıdık benzetme yöntemini kullanalım.

Tesseract'ı açmak

ABCDHEFG bir tel küp alın ve ona yüzün yanından bir gözle bakın. Düzlemde (yakın ve uzak yüzleri) dört çizgi - yan kenarlarla birbirine bağlanmış iki kare göreceğiz ve çizebiliriz. Benzer şekilde, üç boyutlu uzayda dört boyutlu bir hiperküp, birbirine yerleştirilmiş ve sekiz kenarla birbirine bağlanmış iki kübik "kutu" gibi görünecektir. Bu durumda, "kutuların" kendileri - üç boyutlu yüzler - "bizim" uzayımıza yansıtılacak ve onları birleştiren çizgiler dördüncü boyutta uzayacaktır. Ayrıca bir küpü projeksiyonda değil, uzamsal bir görüntüde hayal etmeye çalışabilirsiniz.

Üç boyutlu bir küp, bir yüzün uzunluğuyla kaydırılan bir kare tarafından oluşturulduğu gibi, dördüncü boyuta kaydırılan bir küp bir hiperküp oluşturacaktır. Perspektifte oldukça karmaşık bir figür gibi görünecek olan sekiz küple sınırlıdır. "Bizim" uzayda kalan kısmı düz çizgilerle, hiper uzaya giden kısmı ise noktalı çizgilerle çizilir. Aynı dört boyutlu hiperküp, sonsuz sayıda küpten oluşur, tıpkı üç boyutlu bir küpün sonsuz sayıda düz kareye "kesilebilmesi" gibi.

Üç boyutlu bir küpün altı yüzünü keserek, onu düz bir şekle genişletebilirsiniz - bir süpürme. Orijinal yüzün her iki tarafında bir kare artı bir tane daha olacak - bunun karşısındaki yüz. Dört boyutlu bir hiperküpün üç boyutlu açılımı, orijinal küpten, ondan "büyüyen" altı küpten ve bir tane daha - son "hiperyüzden" oluşacaktır.

Tesseract özellikleri, daha düşük boyutlu geometrik şekillerin özelliklerinin dört boyutlu uzayda devamıdır.

Projeksiyon

İki boyutlu uzaya

Bu yapı hayal gücü için zordur, ancak bir tesseratı 2B veya 3B uzaylara yansıtmak mümkündür. Ek olarak, düzleme projeksiyon, hiperküpün köşelerinin konumunun anlaşılmasını kolaylaştırır. Bu şekilde, artık tesseract içindeki uzamsal ilişkileri yansıtmayan, ancak aşağıdaki örneklerde olduğu gibi köşe bağlantılarının yapısını gösteren görüntüler elde edilebilir:


Üç boyutlu uzaya

Bir tesseratın üç boyutlu bir uzaya izdüşümü, karşılık gelen köşeleri bölümlerle birbirine bağlanan iki iç içe üç boyutlu küp ile temsil edilir. Üç boyutlu uzayda iç ve dış küplerin boyutları farklıdır, ancak dört boyutlu uzayda eşit küplerdir. Tesseract'ın tüm küplerinin eşitliğini anlamak için dönen bir tesseract modeli oluşturuldu.

Tesseract'ın kenarlarındaki altı kesik piramit, eşit altı küpün görüntüleridir.
Stereo çifti

Bir tesseratın stereo çifti, üç boyutlu uzaya iki projeksiyon olarak tasvir edilmiştir. Bu tesseract görüntüsü, derinliği dördüncü bir boyut olarak temsil edecek şekilde tasarlanmıştır. Her gözün bu görüntülerden yalnızca birini görmesi için bir stereo çift izlenir, tesseratın derinliğini yeniden üreten stereoskopik bir resim belirir.

Tesseract'ı açmak

Bir tesseratın yüzeyi sekiz küp halinde genişletilebilir (bir küpün yüzeyinin altı kareye genişletilmesine benzer şekilde). 261 farklı tesseract açılımı var. Tesseract'ın açılması, grafik üzerinde bağlantılı köşeler çizilerek hesaplanabilir.

Sanatta Tesseract

Edwine A.'nın New Abbott Plains'inde hiperküp hikaye anlatıcısıdır.
The Adventures of Jimmy Neutron'un bir bölümünde: Genius Boy Jimmy, Heinlein'ın 1963 tarihli Road of Glory romanındaki katlama kutusuna benzeyen dört boyutlu bir hiperküp icat eder.
Robert E. Heinlein en az üç bilim kurgu hikayesinde hiperküplerden bahsetti. The House of Four Dimensions (The House That Teale Building) (1940) adlı eserinde, inşa edilmiş bir evi bir tesseratın açılımı olarak tanımladı.
Heinlein'in romanı Road of Glory, içi dışından daha büyük olan büyük boy bir yemeği anlatıyor.
Henry Kuttner'ın "Mimsy Were the Borogoves" adlı öyküsü, yapı olarak bir tesserata benzeyen, uzak gelecekten gelen çocuklar için eğitici bir oyuncağı anlatıyor.
Alex Garland'ın (1999) romanında, "tesseract" terimi, hiperküpün kendisi için değil, dört boyutlu bir hiperküpün üç boyutlu açılımı için kullanılır. Bu, biliş sisteminin kavranabilir olandan daha geniş olması gerektiğini göstermek için tasarlanmış bir metafordur.
Cube 2: Hypercube, bir hiperküpte veya birbirine bağlı küpler ağında kapana kısılmış sekiz yabancıya odaklanır.
TV dizisi Andromeda, bir komplo cihazı olarak tesseract üreteçlerini kullanıyor. Öncelikle uzay ve zamanı manipüle etmek için tasarlanmıştır.
Salvador Dali'nin "Çarmıha Gerilme" (Corpus Hypercubus) tablosu (1954)
Nextwave çizgi romanı, 5 tesseract bölgesi içeren bir aracı tasvir ediyor.
Voivod Nothingface albümünde şarkılardan birinin adı “In my hypercube”.
Anthony Pierce'in "Route Cuba" adlı romanında, Uluslararası Kalkınma Derneği'nin yörüngesindeki uydularından birine, 3 boyuta sıkıştırılmış bir tesseract denir.
Üçüncü sezonda "Okul" Kara Delik "" dizisinde "Tesseract" dizisi var. Lucas gizli bir düğmeye basar ve okul matematiksel bir mozaik gibi şekillenmeye başlar.
"Tesseract" terimi ve bundan türetilen "tesserat" terimi Madeleine L'Engle'nin "The Fold of Time" adlı öyküsünde bulunur.

geometride hiperküp- bu n karenin boyutlu analojisi ( n= 2) ve küp ( n= 3). Şeklin zıt kenarlarında bulunan ve birbirine dik açılarla bağlanan paralel çizgi gruplarından oluşan kapalı, dışbükey bir şekildir.

Bu rakam olarak da bilinir teserakt(teserakt). Bir küp bir kareye atıfta bulunurken Tesseract bir küpü ifade eder. Daha resmi olarak, bir tesseract, sınırı sekiz kübik hücreden oluşan düzenli bir dışbükey dört boyutlu politop (politop) olarak tanımlanabilir.

Oxford İngilizce Sözlüğü'ne göre, tesseract 1888'de Charles Howard Hinton tarafından icat edildi ve A New Era of Thought adlı kitabında kullanıldı. Sözcük Yunanca "τεσσερες ακτινες" ("dört ışın")'dan oluşturulmuştur, dört koordinat ekseni vardır. Ayrıca bazı kaynaklarda aynı rakama tetraküp(tetraküp).

n-boyutlu hiperküp de denir n-küp.

Nokta, 0 boyutlu bir hiperküptür. Bir noktayı uzunluk birimiyle hareket ettirirseniz, birim uzunlukta bir segment elde edersiniz - boyut 1 hiperküp. doğru parçasına doğru, bir küp - 2 boyutlu bir hiperküp elde edersiniz. Bir kareyi, karenin düzlemine dik yönde bir uzunluk birimi kadar kaydırarak, bir küp elde edilir - 3 boyutlu bir hiperküp. Bu işlem herhangi bir sayıda boyuta genellenebilir. Örneğin, bir küpü dördüncü boyutta bir birim uzunlukta hareket ettirirseniz, bir tesseract elde edersiniz.

Hiperküp ailesi, herhangi bir boyutta temsil edilebilen birkaç düzenli çokyüzlüden biridir.

hiperküp öğeleri

boyut hiperküp n 2 tane var n"kenarlar" (tek boyutlu çizginin 2 noktası vardır; iki boyutlu kare - 4 kenar; üç boyutlu küp - 6 yüz; dört boyutlu mozaik - 8 hücre). Hiperküpün köşe (nokta) sayısı 2'dir. n(örneğin, bir küp için - 2 3 köşe).

Miktar m-sınırdaki boyutlu hiperküpler n-küp eşittir

Örneğin, bir hiperküpün kenarlığı 8 küp, 24 kare, 32 kenar ve 16 köşe içerir.

Düzlem projeksiyonu

Bir hiperküpün oluşumu şu şekilde temsil edilebilir:

• Bir AB doğru parçası oluşturmak için iki A ve B noktası bağlanabilir.
• AB ve CD iki paralel doğru parçası bir kare ABCD oluşturacak şekilde bağlanabilir.
• ABCDEFGH küpünü oluşturmak için iki paralel kare ABCD ve EFGH bağlanabilir.
• ABCDEFGH ve IJKLMNOP olmak üzere iki paralel küp ABCDEFGHIJKLMNOP hiperküpünü oluşturmak için bağlanabilir.

İkinci yapıyı hayal etmek kolay değildir, ancak projeksiyonunu 2B veya 3B uzaya yansıtmak mümkündür. Ayrıca, bir 2B düzlem üzerine yapılan projeksiyonlar, yansıtılan köşelerin konumlarını yeniden düzenleyebilmek suretiyle daha faydalı olabilir. Bu durumda, artık tesseract içindeki öğelerin uzamsal ilişkilerini yansıtmayan, ancak aşağıdaki örneklerde olduğu gibi tepe bağlantılarının yapısını gösteren görüntüler elde edebilirsiniz.

İlk çizim, prensipte, iki küpün birleştirilmesiyle bir tesseratın nasıl oluşturulduğunu gösterir. Bu diyagram, iki kare küp oluşturma şemasına benzer. İkinci diyagram, tesseratın tüm kenarlarının aynı uzunluğa sahip olduğunu göstermektedir. Bu şema ayrıca sizi birbirine bağlı küpleri aramaya zorlar. Üçüncü diyagramda, tesseratın köşeleri, alt noktaya göre kenarlar boyunca mesafelere göre yerleştirilmiştir. Bu şema, paralel hesaplama düzenlenirken işlemcileri birbirine bağlayan ağ topolojisi için temel bir şema olarak kullanılması bakımından ilginçtir: herhangi iki düğüm arasındaki mesafe 4 kenar uzunluğunu aşmaz ve yükü dengelemenin birçok farklı yolu vardır.

sanatta hiperküp

Hiperküp, 1940'tan beri bilim kurgu literatüründe, Robert Heinlein'in "Ve Çarpık Bir Ev İnşa Etti" hikayesinde, bir tesseract taraması şeklinde inşa edilmiş bir evi anlattığında ortaya çıktı. Hikayede, bu Ayrıca, bu ev çökerek dört boyutlu bir tesserata dönüşüyor. Bundan sonra, hiperküp birçok kitap ve romanda yer alır.

"Küp 2: Hiperküp" filmi, bir hiperküp ağında mahsur kalan sekiz kişinin hikayesini anlatıyor.

Salvador Dali'nin "Çarmıha Gerilme" ("Çarmıha Gerilme (Corpus Hypercubus)", 1954) adlı tablosu, İsa'nın bir tesseract taramasında çarmıha gerildiğini gösteriyor. Bu tablo New York Metropolitan Museum of Art'ta görülebilir.

Çözüm

Hiperküp, örneğinde dördüncü boyutun tüm karmaşıklığını ve olağandışılığını görebileceğiniz en basit dört boyutlu nesnelerden biridir. Ve üç boyutta imkansız görünen, muhtemelen dörtte, örneğin imkansız rakamlar. Böylece, örneğin, dört boyutta imkansız bir üçgenin çubukları dik açılarda bağlanacaktır. Ve bu şekil, tüm açılardan böyle görünecek ve üç boyutlu uzayda imkansız üçgenin gerçekleştirilmesinden farklı olarak bozulmayacaktır (bkz.

4-space'in ne olduğunu açıklayarak başlayalım.

Bu tek boyutlu bir uzay, yani sadece OX ekseni. Üzerindeki herhangi bir nokta bir koordinat ile karakterize edilir.

Şimdi OY eksenini OX eksenine dik çizelim. Böylece iki boyutlu bir uzayımız var, yani XOY düzlemi. Üzerindeki herhangi bir nokta iki koordinat ile karakterize edilir - apsis ve ordinat.

OZ eksenini OX ve OY eksenlerine dik çizelim. Sonuç, herhangi bir noktanın bir apsisi, ordinatı ve uygulaması olan üç boyutlu bir uzaydır.

Dördüncü eksen olan OQ'nun aynı anda OX, OY ve OZ eksenlerine dik olması mantıklıdır. Ancak böyle bir ekseni tam olarak inşa edemeyiz ve bu nedenle sadece onu hayal etmeye çalışmak kalır. Dört boyutlu uzaydaki her noktanın dört koordinatı vardır: x, y, z ve q.

Şimdi dört boyutlu küpün nasıl ortaya çıktığını görelim.

Resimde tek boyutlu bir uzay figürü - bir çizgi gösterilmektedir.

Bu çizginin OY ekseni boyunca paralel bir çevirisini yaparsanız ve ardından ortaya çıkan iki çizginin karşılık gelen uçlarını birleştirirseniz, bir kare elde edersiniz.

Benzer şekilde, kareyi OZ ekseni boyunca paralel çevirir ve ilgili köşeleri birleştirirseniz, bir küp elde edersiniz.

Ve küpün OQ ekseni boyunca paralel bir çevirisini yaparsak ve bu iki küpün köşelerini birleştirirsek, dört boyutlu bir küp elde ederiz. Bu arada, denir teserakt.

Bir uçakta bir küp çizmek için buna ihtiyacınız var proje... Şuna benziyor:

Yüzeyin üstündeki havada asılı olduğunu hayal edin tel kafes modeli küp, yani "telden yapılmış" gibi ve üstünde - bir ampul. Ampulü açarsanız, küpün gölgesini bir kalemle takip edin ve ardından ampulü kapatın, ardından küpün izdüşümü yüzeyde görüntülenecektir.

Biraz daha karmaşık olana geçelim. Ampullü çizime tekrar bakın: Gördüğünüz gibi, tüm ışınlar bir noktada birleşiyor. denir Ufuk Noktası ve inşa etmek için kullanılır perspektif projeksiyon(ve bazen tüm ışınlar birbirine paralel olduğunda paraleldir. Sonuç olarak, hacim hissi yaratılmaz, ancak daha hafiftir ve kaybolma noktası yansıtılan nesneden yeterince uzaktaysa, o zaman bu iki projeksiyon arasındaki fark pek fark edilmez). Ufuk noktasını kullanarak belirli bir düzleme belirli bir noktayı yansıtmak için, kaybolma noktası ve bu noktadan geçen düz bir çizgi çizmeniz ve ardından ortaya çıkan çizgi ile düzlemin kesişme noktasını bulmanız gerekir. Ve daha karmaşık bir figür, örneğin bir küp tasarlamak için, her bir köşesini yansıtmanız ve ardından karşılık gelen noktaları birleştirmeniz gerekir. bu not alınmalı altuzay izdüşüm algoritması sadece 3D-> 2D'ye değil, 4D-> 3D durumuna genelleştirilebilir.

Dediğim gibi, OQ ekseninin tam olarak nasıl göründüğünü ve tesseract'ın nasıl göründüğünü tam olarak hayal edemeyiz. Ama bunu cilt üzerine yansıtıp bilgisayar ekranına çizersek sınırlı bir fikir edinebiliriz!

Şimdi tesseract izdüşümünden bahsedelim.

Solda küpün düzleme izdüşümü ve sağda hacim üzerindeki tesseract. Oldukça benzerler: Bir küpün izdüşümü, biri diğerinin içinde olan ve karşılık gelen köşeleri çizgilerle birbirine bağlanan küçük ve büyük iki kareye benziyor. Ve tesseract projeksiyonu, biri diğerinin içinde ve karşılık gelen köşelerin bağlı olduğu küçük ve büyük iki küp gibi görünüyor. Ama hepimiz bir küp gördük ve hem küçük karenin hem de büyük karenin ve yukarıdaki, aşağıdaki, küçük karenin sağındaki ve solundaki dört yamuğun aslında kare olduğunu söyleyebiliriz ve onlar eşit. Ve tesseract aynı. Ve büyük küp ve küçük küp ve küçük küpün kenarlarındaki altı kesik piramit - bunların hepsi küptür ve eşittirler.

Programım sadece bir hacim üzerine bir tesseratın izdüşümü çizemez, aynı zamanda onu döndürebilir. Bunun nasıl yapıldığını görelim.

Başlamak için, size ne olduğunu söyleyeceğim düzleme paralel dönme.

Küpün OZ ekseni etrafında döndüğünü hayal edin. Daha sonra köşelerinin her biri OZ ekseni etrafında bir daire tanımlar.

Bir daire düz bir rakamdır. Ve bu dairelerin her birinin düzlemleri birbirine paraleldir ve bu durumda XOY düzlemine paraleldir. Yani sadece OZ ekseni etrafındaki dönüşten değil, XOY düzlemine paralel dönüşten de bahsedebiliriz.Gördüğünüz gibi XOY eksenine paralel dönen noktalarda sadece apsis ve ordinat değişimi uygulama kalıyor değişmemiş Ve aslında, sadece üç boyutlu uzayla uğraşırken düz bir çizgi etrafında dönme hakkında konuşabiliriz. İki boyutlu uzayda her şey bir noktanın etrafında döner, dört boyutlu uzayda - bir düzlemin etrafında, beş boyutlu uzayda bir hacim etrafında dönmeden bahsediyoruz. Ve eğer bir nokta etrafında dönmeyi hayal edebiliyorsak, o zaman bir düzlem ve hacim etrafında dönme düşünülemez bir şeydir. Ve eğer düzleme paralel dönüş hakkında konuşursak, o zaman herhangi bir n-boyutlu uzayda bir nokta düzleme paralel dönebilir.

Birçoğunuz muhtemelen rotasyon matrisini duymuşsunuzdur. Bir noktayı bununla çarparak, phi açısıyla düzleme paralel dönen bir nokta elde ederiz. İki boyutlu uzay için şöyle görünür:

Nasıl çarpılır: phi açısıyla döndürülen bir noktanın x = orijinal noktanın phi * x açısının kosinüsü eksi orijinal noktanın phi * y açısının sinüsü;
phi açısı = orijinal noktanın phi * x açısının sinüsü artı orijinal noktanın phi * y açısının kosinüsü.
Xa` = cosph * Xa - sinph * Ya
Ya` = sinph * Xa + cosph * Ya
, burada Xa ve Ya döndürülecek noktanın apsisi ve ordinatıdır, Xa' ve Ya' zaten döndürülen noktanın apsisi ve ordinatıdır

Üç boyutlu uzay için bu matris aşağıdaki gibi genelleştirilir:

XOY düzlemine paralel dönüş. Gördüğünüz gibi Z koordinatı değişmiyor, sadece X ve Y değişiyor.
Xa` = cosph * Xa - sinph * Ya + Za * 0
Ya` = sinph * Xa + cosph * Ya + Za * 0
Za` = Xa * 0 + Ya * 0 + Za * 1 (aslında, Za` = Za)

XOZ düzlemine paralel dönüş. Herşey aynı,
Xa` = cosph * Xa + Ya * 0 - sinph * Za
Ya` = Xa * 0 + Ya * 1 + Za * 0 (aslında, Ya` = Ya)
Za` = sinph * Xa + Ya * 0 + cosph * Za

Ve üçüncü matris.
Xa` = Xa * 1 + Ya * 0 + Za * 0 (aslında Xa` = Xa)
Ya` = Xa * 0 + cosph * Ya - sinph * Za
Za` = Xa * 0 + sinph * Ya + cosph * Za

Ve dördüncü boyut için şuna benziyorlar:


Sanırım neyi çarpacağınızı zaten anladınız, bu yüzden bir kez daha tarif etmeyeceğim. Ancak, üç boyutlu uzayda bir düzleme paralel dönmek için bir matrisle aynı şeyi yaptığına dikkat edin! Hem bu hem de bu sadece ordinatı ve uygulamayı değiştirir ve koordinatların geri kalanı dokunmaz, bu nedenle dördüncü koordinata dikkat etmeden üç boyutlu durumda kullanılabilir.

Ancak projeksiyon formülü o kadar basit değil. Ne kadar forum okursam okuyayım, projeksiyon yöntemlerinin hiçbiri aklıma gelmedi. Paralel bana uymadı, çünkü projeksiyon üç boyutlu görünmeyecek. Bazı projeksiyon formüllerinde, bir nokta bulmak için bir denklem sistemini çözmeniz gerekir (ve bir bilgisayara bunları çözmeyi nasıl öğreteceğimi bilmiyorum), diğerlerini anlamadım ... Genel olarak, karar verdim Kendi yöntemimi bulmak için. Bunun için bir 2D-> 1D projeksiyonu düşünün.

pov "Bakış açısı", ptp "projeden noktaya" anlamına gelir ve ptp` OX ekseninde istenen noktadır.

povptpB ve ptpptp`A açıları karşılık geldikleri kadar eşittir (kesik çizgi OX eksenine paraleldir, düz çizgi povptp sekanttır).
ptp` noktasının x'i, ptp noktasının x eksi ptp`A parçasının uzunluğuna eşittir. Bu segment ptpptp`A üçgeninden bulunabilir: ptp`A = ptpA / ptpptp`A açısının tanjantı. Bu tanjantı povptpB üçgeninden bulabiliriz: ptpptp`A açısının tanjantı = (Ypov-Yptp) (Xpov-Xptp).
Cevap: Xptp` = Xptp-Yptp / ptpptp`A.

Formül biraz değiştiğinde birçok özel durum olduğu için bu algoritmayı burada ayrıntılı olarak açıklamaya başlamadım. Kimin umurunda - programın kaynak koduna bakın, yorumlarda her şey orada açıklanıyor.

Üç boyutlu uzayda bir noktayı bir düzleme yansıtmak için, sadece iki düzlem düşünün - XOZ ve YOZ ve her biri için bu sorunu çözeceğiz. Dört boyutlu uzay durumunda, dikkate alınması gereken üç düzlem vardır: XOQ, YOQ ve ZOQ.

Ve son olarak, program hakkında. Şu şekilde çalışır: tesseract'ın on altı köşesini başlat -> kullanıcı tarafından girilen komutlara bağlı olarak, döndür -> hacme projelendir -> kullanıcı tarafından girilen komutlara bağlı olarak, projeksiyonunu döndür -> projeyi düzleme -> çiz.

Projeksiyonları yazdım ve kendim çevirdim. Az önce tarif ettiğim formüllere göre çalışırlar. OpenGL kitaplığı çizgiler çizer ve ayrıca renk karıştırma yapar. Ve tesseract'ın köşelerinin koordinatları aşağıdaki gibi hesaplanır:

Merkez ve uzunluk 2 - (1) ve (-1) olan doğrunun köşelerinin koordinatları;
- "-" - bir kare - "-" - ve bir kenar uzunluğu 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) ve (-1; -1);
- "-" - küp - "-" -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Gördüğünüz gibi, bir kare OY ekseninin bir satırı üstünde ve OY ekseninin bir satırı altındadır; bir küp, XOY düzleminin önünde bir kare ve onun arkasında bir karedir; Tesseract, XOYZ hacminin diğer tarafında ve bunun üzerinde bir küptür. Ancak bunları bir sütuna yazarsanız, bu birler ve eksiler değişimini algılamak çok daha kolaydır.

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

İlk sütunda, bir ve eksi bir alternatif. İkinci sütunda önce iki artı, sonra iki eksi var. Üçüncüde, dört artı birler ve sonra dört eksi birler. Bunlar bir küpün üst kısımlarıydı. Tesseract'ın iki katı kadarı vardır ve bu nedenle bunları bildirmek için bir döngü yazmak gerekliydi, aksi takdirde kafanın karışması çok kolaydır.

Programım ayrıca anaglif çizebilir. 3D gözlüklerin mutlu sahipleri stereoskopik bir resim görebilir. Resim çizmenin zor bir tarafı yoktur, sadece sağ ve sol gözler için bir düzleme iki projeksiyon çizer. Ancak program çok daha görsel ve ilginç hale geliyor ve en önemlisi - dört boyutlu dünya hakkında daha iyi bir fikir veriyor.

Daha az önemli işlevler - dönüşleri ve küçük kolaylıkları daha iyi görebilmeniz için kenarlardan birini kırmızıyla vurgulama - "göz" noktalarının koordinatlarının düzenlenmesi, dönüş hızını artırma ve azaltma.

Program, kaynak kodu ve kullanım talimatları ile arşivleyin.

Ameliyattan sonra ders verebilecek duruma gelir gelmez öğrencilerin sorduğu ilk soru:

Bize ne zaman 4 boyutlu bir küp çizeceksiniz? İlyas Abdulkhaevich bize söz verdi!

Değerli arkadaşlarımın bazen bir matematik eğitim programından hoşlandıklarını hatırlıyorum. Bu nedenle, burada matematikçiler için dersimden bir parça yazacağım. Ve sıkılmadan deneyeceğim. Bazı noktalarda dersi daha sıkı okuyorum elbette.

Önce anlaşalım. 4-boyutlu, hatta daha çok 5-6-7- ve genellikle k-boyutlu uzay bize duyusal duyumlarda verilmez.
Bana 4 boyutlu bir küpün ne olduğunu ilk söyleyen Pazar okulu öğretmenim, “Mutsuzuz çünkü sadece üç boyutluyuz” dedi. Pazar okulu elbette son derece dindardı - matematik. Bu sefer hiper-küpleri inceledik. Ondan bir hafta önce, matematiksel tümevarım, ondan bir hafta sonra, grafiklerde Hamilton döngüleri - sırasıyla, bu 7. sınıftır.

4D küplere dokunamayız, koklayamayız, duyamayız veya göremeyiz. Bununla ne yapabiliriz? Bunu hayal edebiliyoruz! Çünkü beynimiz gözlerimizden ve ellerimizden çok daha karmaşıktır.

O halde 4 boyutlu bir küpün ne olduğunu anlamak için önce bizim için neyin mevcut olduğunu anlayalım. 3 boyutlu küp nedir?

tamam tamam! Sizden net bir matematiksel tanım istemiyorum. Sadece en basit ve en yaygın üç boyutlu küpü hayal edin. sundunuz mu?

İyi.
3 boyutlu bir küpün 4 boyutlu bir uzaya nasıl genelleştirileceğini anlamak için, 2 boyutlu bir küpün ne olduğunu bulalım. Çok basit - bu bir kare!

Karenin 2 koordinatı vardır. Küpte üç tane var. Bir karenin noktaları iki koordinatlı noktalardır. Birincisi 0'dan 1'e, ikincisi 0'dan 1'e. Küpün noktalarının üç koordinatı var. Ve her biri 0'dan 1'e kadar herhangi bir sayıdır.

4 boyutlu bir küpün 4 koordinatlı ve 0'dan 1'e kadar her şeye sahip bir şey olduğunu hayal etmek mantıklıdır.

/ * 0'dan 1'e kadar basit bir segmentten başka bir şey olmayan 1 boyutlu bir küp hayal etmek de mantıklıdır. * /

Durun, 4 boyutlu bir küpü nasıl çizersiniz? Ne de olsa bir düzlemde 4 boyutlu uzay çizemeyiz!
Ama aynı zamanda bir düzlemde 3 boyutlu uzay çizmiyoruz, onu çiziyoruz. projeksiyonçizimin 2 boyutlu düzlemine. Üçüncü koordinatı (z) bir açıyla konumlandırıyoruz, çizim düzleminden eksenin "bize doğru" gittiğini hayal ediyoruz.

Şimdi 4 boyutlu bir küpün nasıl çizileceği oldukça açık. Üçüncü ekseni belirli bir açıyla yerleştirdiğimiz gibi, dördüncü ekseni de belirli bir açıyla konumlandırın.
Ve işte! - 4 boyutlu bir küpün bir düzlem üzerine izdüşümü.

Ne? Bu da nedir? Her zaman arka masalardan bir fısıltı duyuyorum. Bu satır karmaşasının ne olduğunu daha detaylı açıklayayım.
Önce üç boyutlu kübe bakın. Ne yaptık? Bir kare aldık ve üçüncü eksen (z) boyunca sürükledik. Bir yığın halinde birbirine yapıştırılmış çok sayıda kağıt kare gibidir.
4 boyutlu bir küp ile aynı. Kolaylık ve bilim kurgu amaçlı dördüncü eksene "zaman ekseni" diyelim. Sıradan bir üç boyutlu küp almamız ve "şimdi" zamanından "bir saat içinde" zamana sürüklememiz gerekiyor.

Şimdi bir küpümüz var. Resimde pembedir.

Ve şimdi onu dördüncü eksen boyunca - zaman ekseni boyunca (yeşil renkle gösterdim) sürüklüyoruz. Ve geleceğin küpünü alıyoruz - mavi.

"Şimdi küpünün" her köşesi zaman içinde bir iz bırakır - bir segment. Şimdisini geleceğiyle birleştiriyor.

Kısacası, sözler olmadan: iki özdeş 3 boyutlu küp çizdik ve karşılık gelen köşeleri birleştirdik.
3 boyutlu küpte yaptığımız gibi (2 özdeş 2 boyutlu küp çizin ve köşeleri birleştirin).

5 boyutlu bir küp çizmek için, 4 boyutlu küpün iki kopyasını (beşinci koordinatı 0 olan 4 boyutlu bir küp ve beşinci koordinatı 1 olan 4 boyutlu bir küp) çizmeniz ve karşılık gelen köşeleri birbirine bağlamanız gerekir. kenarlar. Doğru, uçakta öyle bir karışıklık ortaya çıkacak ki, hiçbir şeyi anlamak neredeyse imkansız olacak.

4 boyutlu bir küp hayal ettiğimizde ve hatta onu çizmeyi başardığımızda, onu herhangi bir şekilde keşfedebiliriz. Hem akılda hem de resimde keşfetmeyi unutmayın.
Örneğin. 2 boyutlu bir küp, 4 tarafından 1 boyutlu küplerle sınırlandırılmıştır. Bu mantıklıdır: 2 koordinatın her biri için hem başlangıcı hem de sonu vardır.
3 boyutlu bir küp 2 boyutlu küplerle 6 kenardan sınırlandırılmıştır. Üç koordinatın her biri için bir başlangıcı ve bir sonu vardır.
Bu, 4 boyutlu bir küpün sekiz adet 3 boyutlu küple sınırlandırılması gerektiği anlamına gelir. 4 koordinatın her birinde - her iki tarafta. Yukarıdaki resimde, onu "zaman" koordinatı boyunca bağlayan 2 yüzü açıkça görüyoruz.

İşte hiper-küpümüzü sola ve sağa sınırlayan iki küp (bir düzleme açılı olarak yansıtılan 2 boyuta sahip oldukları için biraz eğikler).

"Üst" ve "alt" ı fark etmek de kolaydır.

En zor şey, "ön" ve "arka"nın nerede olduğunu görsel olarak anlamaktır. Ön taraf "şimdi küpünün" ön yüzünden başlar ve "gelecek küpünün" ön yüzüne kadar - kırmızıdır. Arka sırasıyla mor.

Fark edilmesi en zor olanlardır çünkü diğer küpler ayaklarınızın altına dolanır ve bu da hiperküpü farklı bir öngörülen koordinatta sınırlar. Ancak küplerin hala farklı olduğuna dikkat edin! İşte "şimdi küp" ve "geleceğin küpü"nün vurgulandığı başka bir resim.

4 boyutlu bir küpü 3 boyutlu uzaya yansıtmak elbette mümkündür.
İlk olası uzamsal model neye benzediği açıktır: 2 küp iskeleti almanız ve ilgili köşelerini yeni bir kenarla birleştirmeniz gerekir.
Şimdi böyle bir modelim yok. Derste öğrencilere 4 boyutlu bir küpün biraz farklı 3 boyutlu bir modelini gösteriyorum.

Küpün böyle bir uçağa nasıl yansıtıldığını bilirsiniz.
Sanki yukarıdan bir kübe bakıyoruz.

En yakın çizgi elbette büyük. Ve uzaktaki kenar daha küçük görünüyor, onu yakındakinden görüyoruz.

4 boyutlu bir küpü bu şekilde yansıtabilirsiniz. Küp şimdi daha büyük, geleceğin küpünü uzaktan görüyoruz, bu yüzden daha küçük görünüyor.

Diğer tarafta. Üst taraftan.

Yüzün yanından düz:

Kaburganın yanından:

Ve son açı, asimetrik. "Bana kaburgalarının arasına baktığımı da söylüyorsun" bölümünden.

O zaman her şeyi bulabilirsin. Örneğin, bir düzlemde 3 boyutlu bir küpün süpürülmesi olduğu için (katlarken bir küp elde etmek için bir kağıt yaprağını bu şekilde kesmeniz gerekir), ayrıca 4 boyutlu bir küpün süpürmesi de vardır. uzayın içine. Bu, 4 boyutlu uzayda katlayarak bir tesseract elde etmek için bir tahta parçasını kesmek gibidir.

Yalnızca 4 boyutlu bir küpü değil, genellikle n boyutlu küpleri de inceleyebilirsiniz. Örneğin, n-boyutlu bir küpün çevresini saran bir kürenin yarıçapının, bu küpün kenar uzunluğundan küçük olduğu doğru mu? Veya burada daha basit bir soru var: n-boyutlu bir küpün kaç köşesi var? Kaç kenar (1 boyutlu yüzler)?

İnsan beyninin evrimi üç boyutlu uzayda gerçekleşti. Bu nedenle, boyutları üçten büyük olan uzayları hayal etmemiz zor. Aslında insan beyni, üçten büyük boyutlu geometrik nesneleri hayal edemez. Aynı zamanda, sadece üç boyutlu değil, aynı zamanda iki ve bir boyutlu geometrik nesneleri kolayca hayal edebiliriz.

Tek boyutlu ve iki boyutlu uzaylar arasındaki fark ve analoji ile iki boyutlu ve üç boyutlu uzaylar arasındaki fark ve analoji, bizi daha büyük boyutlu alanlardan ayıran gizem perdesini biraz açmamıza izin verir. Bu benzetmenin nasıl kullanıldığını anlamak için çok basit dört boyutlu bir nesneyi düşünün - bir hiperküp, yani dört boyutlu bir küp. Kesinlik için, diyelim ki, dört boyutlu bir küpün kare yüzlerinin sayısını saymak için belirli bir sorunu çözmek istiyoruz. Aşağıdaki tüm değerlendirme, herhangi bir kanıt olmaksızın, yalnızca analoji yoluyla çok gevşek olacaktır.

Sıradan bir küpten bir hiperküpün nasıl yapıldığını anlamak için önce sıradan bir kareden sıradan bir küpün nasıl yapıldığını görmelisiniz. Bu materyalin sunumunun özgünlüğü için, burada sıradan bir kareye Alt Küp diyeceğiz (ve onu bir succubus ile karıştırmayacağız).

Bir alt küpten bir küp oluşturmak için, alt küpü üçüncü boyut yönünde alt küpün düzlemine dik yönde germeniz gerekir. Bu durumda, küpün yanal iki boyutlu bir yüzü olan orijinal alt küpün her iki yanından bir alt küp büyüyecektir; bu, küpün üç boyutlu hacmini dört kenardan sınırlayacaktır; alt küpün düzlemi. Ve yeni üçüncü eksen boyunca, küpün üç boyutlu hacmini sınırlayan iki alt küp de var. Bu, alt küpümüzün orijinal olarak bulunduğu iki boyutlu yüz ve küpün yapımının sonunda alt küpün geldiği küpün iki boyutlu yüzüdür.

Az önce okuduklarınız aşırı derecede ayrıntılı ve birçok açıklama ile ortaya konmuştur. Ve sıradan değil. Şimdi bu numarayı yapacağız, önceki metindeki bazı kelimeleri resmi olarak şu şekilde değiştireceğiz:
küp -> hiperküp
alt küp -> küp
düzlem -> hacim
üçüncü -> dördüncü
iki boyutlu -> üç boyutlu
dört -> altı
üç boyutlu -> dört boyutlu
iki -> üç
uçak -> uzay

Sonuç olarak, artık fazla ayrıntılı görünmeyen aşağıdaki anlamlı metni elde ederiz.

Bir küpten hiperküp oluşturmak için, küpü dördüncü boyut yönünde küpün hacmine dik yönde germeniz gerekir. Bu durumda, hiperküpün yanal üç boyutlu bir yüzü olan orijinal küpün her iki yanından bir küp büyüyecek ve hiperküpün dört boyutlu hacmini altı kenardan sınırlayacak, her yöne üç dik olacak. küpün uzayı. Ve yeni dördüncü eksen boyunca, hiperküpün dört boyutlu hacmini sınırlayan iki küp de var. Bu, küpümüzün orijinal olarak yerleştirildiği üç boyutlu yüz ve hiperküpün yapımının sonunda küpün geldiği hiperküpün üç boyutlu yüzü.

Hiperküp yapımının doğru tanımını aldığımızdan neden bu kadar eminiz? Çünkü tam olarak aynı biçimsel kelimelerin yer değiştirmesi, küpün yapısının tanımını karenin yapısının açıklamasından alırız. (Kendiniz kontrol edin.)

Şimdi, küpün her iki yanından başka bir üç boyutlu küpün büyümesi gerekiyorsa, ilk küpün her bir kenarından bir yüz büyümesi gerektiği açıktır. Toplamda, bir küpün 12 kenarı vardır; bu, üç boyutlu uzayın üç ekseni boyunca dört boyutlu hacmi sınırlayan bu 6 küpte ek 12 yeni yüzün (alt küpler) görüneceği anlamına gelir. Ve hala bu dört boyutlu hacmi dördüncü eksen boyunca aşağıdan ve yukarıdan sınırlayan iki küp var. Bu küplerin her birinin 6 yüzü vardır.

Toplamda, hiperküpün 12 + 6 + 6 = 24 kare yüzü olduğunu elde ederiz.

Bir sonraki resim bir hiperküpün mantıksal yapısını göstermektedir. Bir hiperküpün üç boyutlu bir uzaya yansıması gibi. Bu, nervürlerden yapılmış üç boyutlu bir çerçeve ile sonuçlanır. Şekilde elbette bu çerçevenin düzleme izdüşümünü de görebilirsiniz.

Bu çerçevede, iç küp, deyim yerindeyse, yapının başladığı ve hiperküpün dört boyutlu hacmini alttan dördüncü eksen boyunca sınırlayan ilk küptür. Bu ilk küpü dördüncü ölçüm ekseni boyunca uzatıyoruz ve dış küpün içine geçiyor. Dolayısıyla bu şekildeki dış ve iç küpler hiperküpü dördüncü boyut ekseni boyunca sınırlar.

Ve bu iki küp arasında, ilk ikisi ile ortak yüzleri olan 6 yeni küp daha görünüyor. Bu altı küp, hiperküpümüzü üç boyutlu uzayın üç ekseni boyunca sınırlar. Görüldüğü gibi bu üç boyutlu çerçeve üzerinde sadece iç ve dış olan ilk iki küp ile temas halinde değiller, hala birbirleriyle temas halindeler.

Şekilde doğru bir şekilde hesaplayabilir ve hiperküpün gerçekten 24 yüzü olduğundan emin olabilirsiniz. Ama bu soru ortaya çıkıyor. 3B uzaydaki bu hiperküp iskeleti, boşluksuz sekiz 3B küple doldurulur. Bir hiperküpün bu üç boyutlu izdüşümünden gerçek bir hiperküp yapmak için, 8 küpün tamamı 4 boyutlu hacmi sınırlayacak şekilde bu çerçeveyi tersyüz etmek gerekir.

Bu böyle yapılır. Dört boyutlu uzayın bir sakinini ziyaret etmeye davet ediyoruz ve ondan bize yardım etmesini istiyoruz. Bu iskeletin iç küpünü alır ve onu bizim üç boyutlu uzayımıza dik olan dördüncü boyut yönünde kaydırır. Üç boyutlu uzayımızda, sanki tüm iç çerçeve kaybolmuş ve sadece dış küpün çerçevesi kalmış gibi algılarız.

Ayrıca, dört boyutlu asistanımız doğum hastanelerinde ağrısız doğum için yardım sunuyor, ancak hamile kadınlarımız bebeğin karınlarından kaybolacağı ve paralel bir üç boyutlu uzaya gideceği ihtimalinden korkuyor. Bu nedenle, dört adam kibarca reddedilir.

Ve hiperküpün çerçevesi ters çevrildiğinde bazı küplerimizin çözülüp çözülmediği sorusu bizi şaşırttı. Ne de olsa, hiperküpü çevreleyen bazı üç boyutlu küpler yüzleriyle çerçevedeki komşularına dokunursa, dört boyutlu çerçeveyi ters çevirirse, aynı yüzlere de dokunurlar mı?

Tekrar alt boyutlu uzaylarla analojiye dönelim. Hiperküpün tel kafes görüntüsünü, üç boyutlu küpün aşağıdaki resimde gösterilen düzleme izdüşümü ile karşılaştırın.

İki boyutlu uzayın sakinleri, küpün düzlemdeki izdüşümünün bir çerçevesini düzlem üzerine inşa ettiler ve biz üç boyutlu sakinleri bu çerçeveyi tersyüz etmeye davet ettiler. İç karenin dört köşesini alıyoruz ve onları düzleme dik olarak hareket ettiriyoruz. Aynı zamanda, iki boyutlu sakinler tüm iç çerçevenin tamamen kaybolduğunu görürler ve sadece dış karenin çerçevesine sahiptirler. Böyle bir işlemle kenarlarıyla temas halinde olan tüm kareler eskisi gibi aynı kenarlara dokunmaya devam eder.

Bu nedenle, hiperküpün çerçevesi ters çevrildiğinde de hiperküpün mantıksal şemasının ihlal edilmeyeceğini ve hiperküpün kare yüzlerinin sayısının artmayacağını ve 24'e eşit kalacağını umuyoruz. , bir kanıt değil, tamamen benzetme yoluyla bir tahmin ...

Buradaki her şeyi okuduktan sonra, beş boyutlu bir küpün mantıksal tel kafeslerini kolayca çizebilir ve kaç tane köşesi, kenarı, yüzü, küpü ve hiperküpü olduğunu hesaplayabilirsiniz. Hiç de zor değil.