Bir denklem kullanarak bir daire çizin. Koordinat düzleminde daire

yapı işlevi

Tüm hakları şirkete ait olan, çevrimiçi fonksiyon çizelgeleri çizme hizmetini dikkatinize sunuyoruz. Desmos... İşlevleri girmek için sol sütunu kullanın. Bunu manuel olarak veya pencerenin altındaki sanal klavyeyi kullanarak girebilirsiniz. Pencereyi grafikle büyütmek için hem sol sütunu hem de sanal klavyeyi gizleyebilirsiniz.

Çevrimiçi grafik çizmenin faydaları

• Girilen fonksiyonların görsel gösterimi
• Çok karmaşık grafikler oluşturma
• Örtülü olarak verilen grafiklerin oluşturulması (örneğin, elips x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
• İnternetteki herkesin kullanımına açık hale gelen çizelgeleri kaydetme ve bunlara bir bağlantı alma yeteneği
• Ölçek kontrolü, çizgi rengi
• Sabitleri kullanarak, noktalara göre grafik çizme imkanı
• Birkaç fonksiyon grafiğinin aynı anda oluşturulması
• Kutupsal koordinatlarda çizim (r ve θ (\ teta) kullanın)

Bizimle çevrimiçi olarak değişen karmaşıklıkta çizelgeler oluşturmak kolaydır. İnşaat anında yapılır. Servis, fonksiyonların kesişme noktalarını bulmak, problem çözerken bir Word belgesinde daha sonraki hareketleri için grafikleri göstermek, fonksiyon grafiklerinin davranışsal özelliklerini analiz etmek için talep edilmektedir. Sitenin bu sayfasındaki grafiklerle çalışmak için en uygun tarayıcı Google Chrome'dur. Diğer tarayıcılarda çalışması garanti edilmez.

Birim numaralı daireyi bir koordinat düzlemine yerleştirirseniz, noktaları için koordinatlar bulunabilir. Sayısal daire, merkezi düzlemin başlangıç ​​noktasıyla, yani O noktasıyla (0; 0) çakışacak şekilde konumlandırılmıştır.

Genellikle birim numarası çemberinde, çember üzerindeki orijine karşılık gelen noktalar işaretlenir.

• çeyrek - 0 veya 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
• orta çeyrek - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
• çeyreklerin üçte biri - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.

Üzerinde birim çemberin yukarıdaki konumu olan koordinat düzleminde, çemberin bu noktalarına karşılık gelen koordinatları bulabilirsiniz.

Çeyreklerin uçlarının koordinatlarını bulmak çok kolaydır. Çemberin 0 noktasında x koordinatı 1'dir ve y 0'dır. A (0) = A (1; 0) olarak gösterilebilir.

İlk çeyreğin sonu pozitif y ekseninde yer alacaktır. Bu nedenle, B (π / 2) = B (0; 1).

İkinci çeyreğin sonu negatif yarım eksen üzerindedir: C (π) = C (-1; 0).

Üçüncü çeyreğin sonu: D ((2π) / 3) = D (0; -1).

Fakat mahallelerin orta noktalarının koordinatlarını nasıl buluyorsunuz? Bunu yapmak için dik açılı bir üçgen oluşturun. Hipotenüsü, dairenin merkezinden (veya orijinin) çeyrek dairenin orta noktasına kadar olan bir segmenttir. Bu dairenin yarıçapıdır. Daire birim olduğundan, hipotenüs 1'dir. Daha sonra, dairenin noktasından herhangi bir eksene bir dik çizilir. x eksenine doğru olsun. Bacakların uzunlukları dairenin noktasının x ve y koordinatları olan dik açılı bir üçgen ortaya çıkıyor.

Çeyrek daire 90º'dir. Ve yarım çeyrek 45 derecedir. Hipotenüs çeyreğin ortasına çekildiği için hipotenüs ile orijinden uzanan bacak arasındaki açı 45º'dir. Ancak herhangi bir üçgenin iç açılarının toplamı 180º'dir. Bu nedenle hipotenüs ile diğer bacak arasındaki açı da 45º'dir. Bir ikizkenar dik üçgen ortaya çıkıyor.

Pisagor teoreminden x 2 + y 2 = 1 2 denklemini elde ederiz. x = y ve 1 2 = 1 olduğundan, denklem x 2 + x 2 = 1 olarak sadeleştirilir. Bunu çözerek x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2 elde ederiz.

Böylece noktanın koordinatları M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2; √2 / 2) olur.

Diğer çeyreklerin orta noktalarının noktalarının koordinatlarında sadece işaretler değişecek ve dik açılı üçgen sadece ters çevrileceği için değerlerin modülleri aynı kalacaktır. Alırız:
M 2 ((3π) / 4) = M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)

Çemberin çeyreklerinin üçüncü kısımlarının koordinatları belirlenirken, dik açılı bir üçgen de oluşturulur. π / 6 noktasını alıp x eksenine dik çizersek, hipotenüs ile x ekseninde uzanan bacak arasındaki açı 30º olur. 30 derecelik bir açının karşısında duran bir bacağın hipotenüsün yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Böylece, y koordinatını bulduk, ½'ye eşit.

Pisagor teoremine göre hipotenüsün ve bacaklardan birinin uzunluklarını bilerek, başka bir bacak buluruz:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3 / 2

Böylece T 1 (π / 6) = T 1 (√3 / 2; ½).

İlk çeyreğin ikinci üçte birlik noktası (π / 3) için, eksene dik olanı y eksenine çizmek daha iyidir. O zaman koordinatların başlangıç ​​noktasındaki açı da 30º olacaktır. Burada x koordinatı sırasıyla ½ ve y'ye eşit olacaktır, √3 / 2: T 2 (π / 3) = T 2 (½; √3 / 2).

Üçüncü çeyrekteki diğer noktalar için koordinat değerlerinin işaretleri ve sırası değişecektir. x eksenine daha yakın olan tüm noktalar bir x koordinat modulo √3 / 2'ye sahip olacaktır. Y eksenine daha yakın olan noktalar, mutlak değerde √3 / 2 y değerine sahip olacaktır.
T 3 ((2π) / 3) = T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) = T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) = T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) = T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) = T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) = T 8 (√3 / 2; -½)

Analitik geometri, geometrik problemleri çözmek için tek tip teknikler sağlar. Bunu yapmak için, belirtilen ve gerekli tüm noktalar ve çizgiler tek bir koordinat sistemine yönlendirilir.

Koordinat sisteminde, her nokta kendi koordinatlarıyla ve her çizgi, grafiği bu çizginin olduğu iki bilinmeyenli bir denklemle karakterize edilebilir. Böylece, geometrik bir problem, tüm hesaplama tekniklerinin iyi geliştirilmiş olduğu cebirsel bir probleme indirgenir.

Daire, belirli bir özelliğe sahip noktaların geometrik yeridir (dairenin her noktası, merkez adı verilen bir noktadan eşit uzaklıktadır). Çemberin denklemi bu özelliği yansıtmalı, bu koşulu sağlamalıdır.

Daire denkleminin geometrik yorumu dairenin doğrusudur.

Bir daireyi bir koordinat sistemine yerleştirirseniz, dairenin tüm noktaları bir koşulu yerine getirir - onlardan dairenin merkezine olan mesafe aynı ve daireye eşit olmalıdır.

Nokta merkezli daire A ve yarıçap r koordinat düzlemine koyun.

Merkezin koordinatları ise (a; b) ve dairenin herhangi bir noktasının koordinatları (x; y) , sonra dairenin denklemi şu şekildedir:

Bir dairenin yarıçapının karesi, dairenin herhangi bir noktasının ve merkezinin karşılık gelen koordinatlarının farklarının karelerinin toplamına eşitse, bu denklem dairenin düz bir koordinat sistemindeki denklemidir.

Çemberin merkezi başlangıç ​​noktası ile çakışıyorsa, çemberin yarıçapının karesi, çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarının karelerinin toplamına eşittir. Bu durumda çemberin denklemi şu şekli alır:

Sonuç olarak, noktaların yeri olarak herhangi bir geometrik şekil, noktalarının koordinatlarını birleştiren denklem tarafından belirlenir. Tersine, koordinatları bağlayan denklem NS ve NS , bir çizgiyi, koordinatları verilen denklemi karşılayan düzlemin noktalarının yeri olarak tanımlayın.

Bir dairenin denklemi ile ilgili problem çözme örnekleri

Görev. Verilen bir daireyi eşitle

O merkezi (2; -3) ve yarıçapı 4 olan bir daireyi eşitleyin.

Çözüm.
Çemberin denklemi için formüle dönelim:
R2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Değerleri formüle yerleştirelim.
Daire yarıçapı R = 4
Daire merkez koordinatları (gerektiği gibi)
bir = 2
b = -3

Alırız:
(x - 2) 2 + (y - (-3)) 2 = 4 2
veya
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Görev. Bir nokta bir dairenin denklemine mi ait?

Noktanın ait olup olmadığını kontrol edin bir (2; 3) daire denklemi (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

Çözüm.
Bir nokta bir daireye aitse, koordinatları dairenin denklemini sağlar.
Koordinatları verilen noktanın çembere ait olup olmadığını kontrol etmek için noktanın koordinatlarını verilen çemberin denkleminde yerine koyarız.

denklemde ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
duruma göre, A (2; 3) noktasının koordinatlarını değiştiririz, yani
x = 2
y = 3

Elde edilen eşitliğin doğruluğunu kontrol edelim.
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 eşitlik yanlış

Yani verilen nokta ait değilçemberin verilen denklemi.

Dairenin yarıçapı olsun , ve merkezi noktada
... Puan
daire üzerinde yer alır ancak ve ancak vektörün modülü varsa
eşittir , yani. Son eşitlik, ancak ve ancak şu durumda geçerlidir:

Denklem (1), dairenin istenen denklemidir.

Belirli bir noktadan geçen, belirli bir vektöre dik olan bir doğrunun denklemi

vektöre dik
.

Puan

ve
dik. vektörler
ve
diktir, ancak ve ancak nokta çarpımları sıfır ise, yani
... Koordinatlarına göre verilen vektörlerin skaler çarpımını hesaplamak için formülü kullanarak, istenen düz çizginin denklemini forma yazıyoruz.

Bir örneğe bakalım. içinden geçen doğrunun denklemini bulunuz

noktaların koordinatları sırasıyla A (1; 6), B (5; 4)'e eşitse, AB parçasının ortası bu parçaya diktir.

Aşağıdaki gibi tartışacağız. Bir doğrunun denklemini bulmak için, bu doğrunun geçtiği noktayı ve bu doğruya dik olan vektörü bilmemiz gerekir. Verilen doğruya dik olan vektör, vektör olacaktır, çünkü problem ifadesine göre doğru, AB doğru parçasına diktir. Puan
düz çizginin AB ortasından geçmesi koşulundan tanımlayın. Sahibiz. Böylece
ve denklem şeklini alır.

Bu doğrunun M (7; 3) noktasından geçip geçmediği sorusuna açıklık getirelim.

Dolayısıyla elimizde bu doğru belirtilen noktadan geçmiyor.

Belirli bir vektöre paralel belirli bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi

Çizginin noktadan geçmesine izin verin
vektöre paralel
.

Puan
eğer ve sadece vektörler varsa düz bir çizgi üzerinde bulunur
ve
eşdoğrusal. vektörler
ve
ancak ve ancak koordinatları orantılıysa eşdoğrusal, yani

(3)

Ortaya çıkan denklem, istenen düz çizginin denklemidir.

Denklem (3) şu şekilde temsil edilebilir:

, nerede herhangi bir değer alır
.

Bu nedenle yazabiliriz

, nerede
(4)

(4) denklem sistemine düz çizginin parametrik denklemleri denir.

Bir örneğe bakalım. noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz. Bir nokta ve ona paralel veya dik bir vektör biliyorsak, düz bir çizginin denklemini kurabiliriz. İki nokta mevcuttur. Ancak iki nokta düz bir çizgi üzerinde bulunuyorsa, onları birleştiren vektör bu düz çizgiye paralel olacaktır. Bu nedenle, vektör olarak alarak (3) denklemini kullanacağız.
vektör
... alırız

(5)

Denklem (5), verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi olarak adlandırılır.

Düz çizginin genel denklemi

Tanım. Bir düzlemde birinci dereceden bir çizginin genel denklemi, formun bir denklemidir.
, nerede
.

Teorem. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi, birinci dereceden bir doğrunun denklemi şeklinde verilebilir ve birinci dereceden bir doğrunun herhangi bir denklemi, bir düzlemdeki bazı düz doğruların denklemidir.

Bu teoremin ilk kısmının ispatı kolaydır. Herhangi bir düz çizgide bir nokta belirtebilirsiniz.
ona dik vektör
... Daha sonra, (2)'ye göre böyle bir düz çizginin denklemi forma sahiptir. biz belirtiriz
... Sonra denklem formu alır
.

Şimdi teoremin ikinci kısmına dönüyoruz. bir denklem olsun
, nerede
... Kesinlik için, varsayıyoruz
.

Denklemi şu şekilde yeniden yazalım:

;

Uçakta noktayı düşünün
, nerede
... Daha sonra elde edilen denklem forma sahiptir ve noktadan geçen düz çizginin denklemidir.
vektöre dik
... Teorem ispatlandı.

Teoremi kanıtlama sürecinde, yol boyunca kanıtladık

Beyan. Formun düz bir çizgi denklemi varsa
, sonra vektör
bu çizgiye dik.

formun denklemi
düzlemdeki bir doğrunun genel denklemi olarak adlandırılır.

Düz bir çizgi olsun
ve nokta
... Belirtilen noktadan düz çizgiye olan mesafeyi belirlemek gerekir.

Keyfi bir nokta düşünün
düz bir çizgide. Sahibiz
... Mesafe noktadan
düz çizgiye vektör projeksiyonunun modülüne eşittir
vektör başına
bu çizgiye dik. Sahibiz

,

dönüştürme, formülü elde ederiz:

Genel denklemler tarafından verilen iki düz çizgi olsun

,
... Daha sonra vektörler

sırasıyla birinci ve ikinci düz çizgilere diktir. Enjeksiyon
düz çizgiler arasındaki açıya eşittir vektörler arasındaki açı
,
.

O zaman düz çizgiler arasındaki açıyı belirleme formülü:

.

Düz çizgilerin diklik koşulu:

.

Doğrular paralel veya çakışıyorsa ve ancak vektörler varsa

eşdoğrusal. nerede düz çizgilerin tesadüf koşulu şu şekildedir::
,

ve kavşak olmaması şartı şu şekilde yazılır:
... Son iki koşulu kendiniz kanıtlayın.

Doğrunun davranışının doğasını onun genel denklemine göre inceleyelim.

Çizginin genel denklemi verilsin
... Eğer
, sonra düz çizgi orijinden geçer.

Katsayıların hiçbirinin sıfıra eşit olmadığı durumu düşünün.
... Denklemi şu şekilde yeniden yazıyoruz:

,

,

Nereye
... Parametrelerin anlamını bulalım
... Doğrunun koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun. NS
sahibiz
, ve
sahibiz
... Yani
koordinat eksenlerinde düz bir çizgi ile kesilen parçalardır. Bu nedenle denklem
doğru parçalarının denklemi denir.

Ne zaman
sahibiz

... Ne zaman
sahibiz
... Yani, düz çizgi eksene paralel olacaktır. .

Hatırlamak düz çizginin eğimi bu doğrunun eksene olan eğim açısının tanjantı denir
... Çizginin eksende kesilmesine izin verin Bölüm ve eğimi var ... nokta olsun
bununla yatıyor

Sonra
==... Ve düz çizginin denklemi şeklinde yazılacaktır.

.

Çizginin noktadan geçmesine izin verin
ve eğimi var ... nokta olsun
bu düz çizgi üzerinde yatıyor.

Sonra =
.

Ortaya çıkan denklem, belirli bir noktadan belirli bir eğimle geçen düz bir çizginin denklemi olarak adlandırılır.

iki satır verildi
,
... biz belirtiriz
- aralarındaki açı. İzin vermek ,karşılık gelen düz çizgilerin X eksenine eğim açıları

Sonra
=
,
.

O zaman düz çizgilerin paralellik koşulu şu şekildedir:
ve diklik koşulu

Sonuç olarak, iki sorunu ele alacağız.

Görev ... ABC üçgeninin köşelerinin koordinatları vardır: A (4; 2), B (10; 10), C (20; 14).

Şunları bulun: a) A köşesinden çizilen medyanın denklemi ve uzunluğu;

b) üst A'dan çizilen yüksekliğin denklemi ve uzunluğu;

c) A köşesinden çizilen açıortay denklemi;

Medyan AM denklemini tanımlayalım.

М () noktası, BC doğru parçasının ortasıdır.

Sonra , ... Sonuç olarak, M noktası M (15; 17) koordinatlarına sahiptir. Analitik geometri dilinde medyan denklemi, vektöre = (11; 15) paralel A noktasından (4; 2) geçen düz bir çizginin denklemidir. O zaman medyan denklemi şu şekildedir. Medyan uzunluk AM = .

AS yükseklik denklemi, = (10; 4) vektörüne dik A noktasından (4; 2) geçen düz bir çizginin denklemidir. O halde yükseklik denklemi 10 (x-4) +4 (y-2) = 0.5x + 2y-24 = 0 olur.

Yükseklik uzunluğu, A noktasından (4; 2) BC doğrusuna olan mesafedir. Bu doğru, = (10; 4) vektörüne paralel B noktasından (10; 10) geçer. Onun denklemi şu şekildedir: , 2x-5y + 30 = 0. A noktasından (4; 2) BC doğrusuna AS mesafesi, bu nedenle, AS = eşittir .

Bisektörün denklemini belirlemek için bu düz çizgiye paralel bir vektör buluyoruz. Bunu yapmak için eşkenar dörtgen diyagonalin özelliğini kullanacağız. A noktasından vektörlerden eşit olarak yönlendirilen birim vektörleri çıkarırsak, toplamlarına eşit olan vektör açıortaya paralel olacaktır. O zaman = + var.

={6;8}, , ={16,12}, .

O zaman = Verilenle aynı doğrultuda olan vektör = (1; 1), istenen düz çizginin yön vektörü olarak hizmet edebilir. Daha sonra doğrunun denklemi gerekli düz çizgiyi görmüş veya x-y-2 = 0.

Görev. Nehir, A (4; 3) ve B (20; 11) noktalarından geçen düz bir çizgide akar. Kırmızı Başlıklı Kız C noktasında (4; 8) ve büyükannesi D noktasında (13; 20) yaşıyor. Kırmızı Başlıklı Kız her sabah evden boş bir kova alır, nehre gider, su alır ve büyükannesine götürür. Kırmızı Başlıklı Kız için en kısa yolu bulun.

Nehre göre büyükanneye simetrik olan E noktasını bulalım.

Bunu yapmak için önce nehrin aktığı düz çizginin denklemini buluruz. Bu denklem, vektöre paralel A noktasından (4; 3) geçen bir doğrunun denklemi olarak düşünülebilir. O halde AB çizgisinin denklemi şu şekildedir.

Daha sonra, AB'ye dik D noktasından geçen DE düz çizgisinin denklemini buluruz. Vektöre dik D noktasından geçen düz bir çizginin denklemi olarak düşünülebilir.
... Sahibiz

Şimdi S noktasını buluyoruz - D noktasının AB çizgisine izdüşümü, AB ve DE çizgilerinin kesişimi olarak. bir denklem sistemimiz var

.

Bu nedenle, S noktasının koordinatları S (18; 10).

S, DE doğru parçasının orta noktası olduğuna göre.

Aynı şekilde.

Sonuç olarak, E noktası E (23; 0) koordinatlarına sahiptir.

Bu doğrunun iki noktasının koordinatlarını bilerek CE doğrusu denklemini bulalım.

M noktasını AB ve CE doğrularının kesişimi olarak buluyoruz.

bir denklem sistemimiz var

.

Sonuç olarak, M noktasının koordinatları vardır
.

Konu 2. Uzayda bir yüzeyin denklemi kavramı. Küre denklemi. Belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi, belirli bir vektöre diktir. Düzlemin genel denklemi ve etüdü İki düzlemin paralellik durumu. Noktadan düzleme uzaklık. Çizgi denklemi kavramı. Uzayda düz bir çizgi. Uzayda bir doğrunun kanonik ve parametrik denklemleri. Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemleri. Bir doğrunun ve bir düzlemin paralelliği ve dikliği için koşullar.

İlk olarak, uzayda bir yüzey denklemi kavramının tanımını veriyoruz.

Uzayda izin ver
biraz yüzey verilmiş ... denklem
yüzey denklemi denir iki koşul karşılanırsa:

1. herhangi bir nokta için
koordinatlarla
yüzeyde yatarken memnun
, yani koordinatları yüzey denklemini sağlar;

2. herhangi bir nokta
koordinatları denklemi sağlayan
, hatta yatıyor.