Üçgen ispatında orantılı parçalar. Ders "bir dik üçgende orantılı bölümler"

Dik üçgenlerin benzerlik işareti

İlk önce dik açılı üçgenlerin benzerlik işaretini tanıtalım.

Teorem 1

Dik üçgenlerin benzerlik işareti: her biri bir eşit dar açıya sahip olduklarında iki dik üçgen benzerdir (Şekil 1).

Şekil 1. Benzer Dik Üçgenler

Kanıt.

Bize $\angle B=\angle B_1$ verilsin. Üçgenler dik açılı olduğundan, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Bu nedenle üçgenlerin benzerliğinin ilk işaretine göre benzerdirler.

Teorem kanıtlanmıştır.

Bir dik üçgende yükseklik teoremi

Teorem 2

Dik açının köşesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, üçgeni her biri verilen üçgene benzeyen iki benzer dik üçgene böler.

Kanıt.

Bize $C$ açısı olan bir $ABC$ dik üçgeni verilsin. $CD$ yüksekliğini çizin (Şekil 2).

Şekil 2. Teorem 2'nin Çizimi

$ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin $ABC$ üçgenine benzer olduğunu ve $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin benzer olduğunu ispatlayalım.

$\angle ADC=(90)^0$ olduğundan, $ACD$ üçgeni dik açılıdır. $ACD$ ve $ABC$ üçgenlerinin $A$ ortak açısı vardır, bu nedenle Teorem 1'e göre $ACD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir.

$\angle BDC=(90)^0$ olduğundan, $BCD$ üçgeni dik açılıdır. $BCD$ ve $ABC$ üçgenlerinin $B$ ortak açısı vardır, bu nedenle Teorem 1'e göre $BCD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir.

Şimdi $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerini düşünün

\[\açı A=(90)^0-\açı ACD\] \[\Açı BCD=(90)^0-\açı ACD=\açı A\]

Bu nedenle, Teorem 1'e göre, $ACD$ ve $BCD$ üçgenleri benzerdir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Ortalama orantılı

Teorem 3

Dik açının köşesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, yüksekliğin bu üçgenin hipotenüsünü böldüğü bölümler için ortalama orantılıdır.

Kanıt.

Teorem 2'ye göre, $ACD$ ve $BCD$ üçgenleri benzerdir, bu nedenle

Teorem kanıtlanmıştır.

teorem 4

Bir dik üçgenin bacağı, hipotenüs ile bacak arasında kalan hipotenüsün segmenti ile açının tepe noktasından çizilen yükseklik arasındaki ortalama orantılıdır.

Kanıt.

Teoremin ispatında Şekil 2'deki gösterimi kullanacağız.

Teorem 2'ye göre, $ACD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir, dolayısıyla

Teorem kanıtlanmıştır.

Ders 40 C.b. a. h. C. M.Ö. H. ac. A. V. Bir dik açının tepesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, üçgeni her biri belirli bir üçgene benzeyen 2 benzer dik üçgene böler. Dik üçgenlerin benzerlik işareti. Her biri aynı dar açıya sahipse, iki dik üçgen benzerdir. XY segmenti, Özellik 1 ise AB ve CD segmentleri için ortalama orantılı (geometrik ortalama) olarak adlandırılır. Dik açının tepesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır. Özellik 2. Bir dik üçgenin bacağı, hipotenüs ile bu bacağın hipotenüs üzerindeki izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır.

Geometri 8. Sınıf

"Pisagor teoremi ile ilgili problemlerin çözümü" - Üçgen ABC ikizkenar. Pisagor teoreminin pratik uygulaması. ABCD bir dörtgendir. Kare alan. Güneşi bul. Kanıt. Bir ikizkenar yamuk tabanı. Pisagor teoremini düşünün. Bir dörtgenin alanı. Dikdörtgen Üçgenler. Pisagor teoremi. Hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.

"Bir paralelkenarın alanını bulma" - Temel. Yükseklik. Paralelkenarın yüksekliğini belirleme. Dik üçgenlerin eşitlik belirtileri. Bir paralelkenarın alanı. Üçgenin alanını bulun. Alan özellikleri. sözlü egzersizler Paralelkenarın alanını bulun. Paralelkenar yükseklikleri. Karenin çevresini bulun. Bir üçgenin alanı. Karenin alanını bulun. Dikdörtgenin alanını bulun. Kare alan.

“Kvadrat 8. sınıf” - Siyah kare. Meydanın çevresinde sözlü çalışma için görevler. Kare alan. Kare işaretler. Meydan aramızda. Kare, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir. Meydan. Kare tabanlı çanta. sözlü görevler Resimde kaç kare gösterilmiştir. Kare özellikleri. Zengin tüccar. Meydan alanında sözlü çalışma için görevler. Bir karenin çevresi.

"Eksenel simetrinin tanımı" - Aynı dikte uzanan noktalar. İki çizgi çizin. İnşaat. Arsa noktaları. İpucu. Eksenel simetriye sahip olmayan şekiller. Çizgi segmenti. Eksik koordinatlar. Figür. İkiden fazla simetri eksenine sahip şekiller. Simetri. Şiirde simetri. Üçgenler oluşturun. Simetri eksenleri. Segment oluşturma. Bir nokta inşa etmek. İki simetri eksenine sahip şekiller. İnsanlar. Üçgenler. orantılılık.

"Benzer Üçgenleri Tanımlama" - Çokgenler. orantılı kesimler Benzer üçgenlerin alanlarının oranı. İki üçgene benzer denir. Şartlar. Köşede açıortay ve iki açısı verilen bir üçgen oluşturun. Diyelim ki direğe olan mesafeyi belirlememiz gerekiyor. Üçgenlerin benzerliğinin üçüncü işareti. Bir üçgen oluşturalım. ABC. ABC ve ABC üçgenlerinin üç eşit kenarı vardır. Bir nesnenin yüksekliğini belirleme.

"Pisagor teoreminin Çözümü" - Pencere parçaları. En basit kanıt. Hammurabi. Diyagonal. Tam kanıt. Çıkarma ile ispat. Pisagorcular. Ayrıştırma yöntemiyle ispat. Teoremin tarihi. Çap. Tamamlayıcı yöntemiyle ispat. Epstein'ın kanıtı. Cantor. Üçgenler. takipçiler. Pisagor teoreminin uygulamaları. Pisagor teoremi. Teoremin ifadesi. Perigal'in Kanıtı. Teoremin uygulanması.

Dersin Hedefleri:

1. iki segmentin ortalama orantılı (geometrik ortalama) kavramını tanıtmak;
2. bir dik üçgende orantılı parçalar problemini düşünün: bir dik açının tepesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliğinin bir özelliği;
3. öğrencilerin problem çözme sürecinde çalışılan konuyu kullanma becerilerini oluşturmak.

Ders türü: ders yeni malzeme öğrenme.

Plan:

1. Organizasyon anı.
2. Bilgi güncellemesi.
3. Bir dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yükseklik özelliğinin incelenmesi:
   - hazırlık aşaması;
   - giriiş;
   - asimilasyon.
4. İki segmentle orantılı ortalama kavramının tanıtılması.
5. İki segmentin ortalama orantılı kavramının özümsenmesi.
6. Sonuçların kanıtı:
   - dik açının tepesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, hipotenüsün bu yüksekliğe bölündüğü bölümler arasındaki ortalama orantılıdır;
   - bir dik üçgenin bacağı, hipotenüs ile bacak ve yükseklik arasında kalan hipotenüsün segmenti arasındaki ortalama orantılıdır.
7. Problem çözme.
8. Özetleme.
9. Ev ödevi ayarlama.

Dersler sırasında

I. ORGANİZASYON

Merhaba arkadaşlar, oturun. Herkes derse hazır mı?

İşe başlıyoruz.

II. BİLGİ GÜNCELLEMESİ

Önceki derslerde hangi önemli matematiksel kavramı öğrendiniz? ( üçgen benzerliği kavramı ile)

- Hangi iki üçgene benzer dendiğini hatırlayalım mı? (Açıları sırasıyla eşitse ve bir üçgenin kenarları diğer üçgenin benzer kenarlarıyla orantılıysa iki üçgene benzer denir.))

İki üçgenin benzerliğini kanıtlamak için ne kullanırız? (

- Bu işaretleri listeleyin. (üçgenlerin benzerliğinin üç işaretini formüle edin)

III. DİK AÇININ KÖŞESİNDEN GERÇEKLEŞTİRİLEN BİR DİKDÖRTGEN ÜÇGENİN YÜKSEKLİĞİNİN ÖZELLİKLERİNİN İNCELENMESİ

a) hazırlık aşaması

- Çocuklar, lütfen ilk slayta bakın. ( Başvuru) İşte iki dik açılı üçgen - ve . ve sırasıyla yükseklikler ve vardır. .

Görev 1. a) Benzer olup olmadığını belirleyin.

Üçgenlerin benzerliğini kanıtlamak için ne kullanırız? ( üçgenlerin benzerlik işaretleri)

(ilk işaret, problemdeki üçgenlerin kenarları hakkında hiçbir şey bilinmediğinden)

. (İki çift: 1. ∟B= ∟B1 (düz çizgiler), 2. ∟A= ∟A 1)

- Bir sonuca varın. ( üçgenlerin benzerliğinin ilk işareti ile ~)

Görev 1. b) Benzer olup olmadığını belirleyin.

Hangi benzerlik kriterini kullanacağız ve neden? (ilk işaret, çünkü problemde üçgenlerin kenarları hakkında hiçbir şey bilinmiyor)

Kaç tane eşit açı çifti bulmamız gerekiyor? Bu çiftleri bul (Üçgenler dik açılı olduğu için bir çift eşit açı yeterlidir: ∟A= ∟A 1)

- Bir sonuç çıkar. (üçgenlerin benzerliğinin ilk işaretiyle, bu üçgenlerin benzer olduğu sonucuna varırız).

Konuşmanın bir sonucu olarak, slayt 1 şöyle görünür:

b) teoremin keşfi

Görev 2.

ve ve benzer olup olmadığını belirleyin. Konuşma sonucunda, slayta yansıtılan cevaplar oluşturulur.

- Şekil bunu gösteriyordu. Görev sorularını cevaplarken bu derece ölçüsünü kullandık mı? ( Hayır, kullanılmadı)

- Çocuklar, bir sonuca varın: dik açının tepe noktasından çizilen yükseklik hangi üçgenlere dik üçgeni böler? (bir sonuca varmak)

- Soru ortaya çıkıyor: yüksekliğin dik açılı üçgeni böldüğü bu iki dik üçgen birbirine benzer olacak mı? Eşit açı çiftlerini bulmaya çalışalım.

Konuşma sonucunda bir kayıt oluşturulur:

- Ve şimdi tam bir sonuca varalım. ( SONUÇ: Dik açının tepe noktasından çizilen bir dik üçgenin yüksekliği üçgeni ikiye böler benzer

- O. bir dik üçgenin yüksekliğinin özelliği üzerine bir teorem formüle ettik ve kanıtladık.

Teoremin yapısını oluşturalım ve bir çizim yapalım. Teoremde verilenler ve kanıtlanması gerekenler nelerdir? Öğrenciler defterlerine şunları yazarlar:

Yeni çizim için teoremin ilk noktasını ispatlayalım. Hangi benzerlik kriterini kullanacağız ve neden? (Birincisi, teoremde üçgenlerin kenarları hakkında hiçbir şey bilinmediği için)

Kaç tane eşit açı çifti bulmamız gerekiyor? Bu çiftleri bulun. (Bu durumda bir çift yeterlidir: ∟A-genel)

- Bir sonuç çıkar. Üçgenler benzer. Sonuç olarak, teoremin formülasyonunun bir örneği gösterilmiştir.

- İkinci ve üçüncü noktaları evde kendiniz yazın.

c) teoremin asimilasyonu

- Öyleyse, teoremi tekrar formüle edin (Bir dik üçgenin dik açının tepe noktasından çizilen yüksekliği, üçgeni ikiye böler. benzer her biri buna benzeyen dik açılı üçgenler)

- Bu teorem ile "bir dik üçgende, bir dik açının tepe noktasından yükseklik" yapısında kaç tane benzer üçgen çifti bulunabilir? ( üç çift)

Öğrencilere aşağıdaki görev verilir:

IV. İKİ HATLARIN ORTALAMA ORANSAL KAVRAMINA GİRİŞ

Şimdi yeni bir kavram öğreneceğiz.

Dikkat!

Tanım.Çizgi segmenti XY aranan ortalama orantılı (geometrik ortalama) segmentler arasında AB ve CD, eğer

(not defterine yazın).

V. İKİ HATLARIN ORTALAMA ORANSAL KAVRAMININ İLİŞKİLENDİRİLMESİ

Şimdi bir sonraki slayta geçelim.

1. Egzersiz. MN = 9 cm, KP = 16 cm ise, MN ve KP ortalama orantılı bölümlerinin uzunluğunu bulun.

- Görevde ne veriliyor? ( İki segment ve uzunlukları: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

- Ne bulman gerekiyor? ( Bu segmentlerin ortalama orantılı uzunluğu)

- Ortalama orantı formülü nedir ve nasıl buluruz?

(Verileri formülde yerine koyarız ve ortalama prop'un uzunluğunu buluruz.)

Görev numarası 2. AB ve CD doğru parçalarının ortalama oranı 90 cm ve CD = 100 cm ise AB doğru parçasının uzunluğunu bulunuz.

- Görevde ne veriliyor? (CD doğru parçasının uzunluğu = 100 cm ve AB ve CD doğru parçalarının orantısı 90 cm'dir)

Problemde ne bulunmalı? ( AB segmentinin uzunluğu)

- Sorunu nasıl çözeceğiz? (AB ve CD'nin ortalama orantılı bölümlerinin formülünü yazalım, AB'nin uzunluğunu bundan ifade edelim ve problemin verilerini değiştirelim.)

VI. ÇÖZÜM

- Aferin çocuklar. Şimdi teoremde tarafımızdan ispatlanan üçgenlerin benzerliğine dönelim. Teoremi yeniden ifade edin. ( Dik açının tepe noktasından çizilen dik üçgenin yüksekliği üçgeni ikiye böler. benzer her biri verilen bir şeye benzeyen dik üçgenler)

- Önce üçgenlerin benzerliğini kullanalım ve . Bundan ne çıkar? ( Benzerliğin tanımı gereği, taraflar benzer taraflarla orantılıdır.)

- Oranın temel özelliği kullanıldığında nasıl bir eşitlik elde edilecektir? ()

– CD'yi ifade edin ve bir sonuç çıkarın (;.

Çözüm: dik açının tepesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, hipotenüsün bu yüksekliğe bölündüğü bölümler arasındaki ortalama orantılıdır.)

- Ve şimdi bir dik üçgenin bacağının, hipotenüs ile bacak ve yükseklik arasında kalan hipotenüsün segmenti arasındaki ortalama orantılı olduğunu kanıtlayın. bu yükseklik )

Bir dik üçgenin ayağı, ... (- ... hipotenüs ve bu bacak ile yükseklik arasında kalan hipotenüsün segmenti )

– Öğrenilen ifadeleri nerede uygularız? ( Problemleri çözerken)

IX. EV ÖDEVİ AYARLAMAK

gün/z: 571, No. 572 (a, e), bir defterde bağımsız çalışma, teori.

Bugün dikkatinizi şaşırtıcı ve gizemli bir konu olan geometri üzerine başka bir sunuma davet ediyoruz. Bu sunumda, size geometrik şekillerin yeni bir özelliğini, özellikle de dik üçgenlerde orantılı parçalar kavramını tanıtacağız.

İlk önce üçgenin ne olduğunu hatırlamanız gerekiyor? Bu, üç parçayla birbirine bağlanan üç köşeden oluşan en basit çokgendir. Dik üçgen, açılarından birinin 90 derece olduğu bir üçgendir. Dikkatinize sunduğumuz önceki eğitim materyallerimizde zaten onlarla daha ayrıntılı olarak tanıştınız.

Bugün konumuza dönersek, 90 derecelik bir açıyla çizilen dik üçgenin yüksekliğinin onu hem birbirine hem de orijinaline benzer iki üçgene böldüğünü belirtiyoruz. İlgilendiğiniz tüm çizimler ve grafikler önerilen sunumda verilmiştir ve açıklanan açıklamalarla birlikte bunlara başvurmanızı öneririz.

Yukarıdaki tezin grafik bir örneği ikinci slaytta görülebilir. Üçgenler benzerdir çünkü iki özdeş açıya sahiptirler. Daha ayrıntılı olarak belirtirseniz, hipotenüse indirilen yükseklik onunla dik bir açı oluşturur, yani zaten aynı açılar vardır ve oluşturulan açıların her birinin ayrıca ilk açıyla ortak bir açısı vardır. Sonuç birbirine eşit iki açıdır. Yani üçgenler benzerdir.

Bir de “orantılı ortalama” veya “geometrik ortalama” kavramlarının tek başına ne anlama geldiğini belirtelim? Bu, uzunluklarının çarpımının kareköküne eşit olduğunda, AB ve CD segmentleri için belirli bir XY segmentidir.

Buradan da, bir dik üçgenin bacağının, hipotenüs ile bu bacağın hipotenüse, yani diğer bacağa izdüşümü arasındaki geometrik ortalama olduğu sonucu çıkar.

Bir dik üçgenin bir başka özelliği de, 90 o'luk bir açıyla çizilen yüksekliğinin, bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri arasındaki ortalama orantılı olmasıdır. Dikkatinize sunulan sunuma ve diğer materyallere başvurursanız, bu tezin çok basit ve erişilebilir bir biçimde bir kanıtı olduğunu göreceksiniz. Daha önce ortaya çıkan üçgenlerin birbirine ve orijinal üçgene benzer olduğunu zaten kanıtlamıştık. Daha sonra, bu geometrik şekillerin bacaklarının oranını kullanarak, bir dik üçgenin yüksekliğinin, yüksekliğin aşağıdan indirilmesi sonucu oluşan bölümlerin çarpımının karekökü ile doğru orantılı olduğu sonucuna varıyoruz. orijinal üçgenin dik açısı.

Sunumdaki son şey, bir dik üçgenin bacağının, hipotenüs ve bacak ile 90 dereceye eşit bir açıyla çizilen yükseklik arasında bulunan segmentinin geometrik ortalaması olmasıdır. Bu durum, bu üçgenlerin birbirine benzediği ve birinin bacağının diğerinin hipotenüsü ile elde edildiği yönünden düşünülmelidir. Ancak önerilen materyalleri inceleyerek bunu daha ayrıntılı olarak öğreneceksiniz.

Dik üçgenlerin benzerlik işareti

İlk önce dik açılı üçgenlerin benzerlik işaretini tanıtalım.

Teorem 1

Dik üçgenlerin benzerlik işareti: her biri bir eşit dar açıya sahip olduklarında iki dik üçgen benzerdir (Şekil 1).

Şekil 1. Benzer Dik Üçgenler

Kanıt.

Bize $\angle B=\angle B_1$ verilsin. Üçgenler dik açılı olduğundan, $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Bu nedenle üçgenlerin benzerliğinin ilk işaretine göre benzerdirler.

Teorem kanıtlanmıştır.

Bir dik üçgende yükseklik teoremi

Teorem 2

Dik açının köşesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, üçgeni her biri verilen üçgene benzeyen iki benzer dik üçgene böler.

Kanıt.

Bize $C$ açısı olan bir $ABC$ dik üçgeni verilsin. $CD$ yüksekliğini çizin (Şekil 2).

Şekil 2. Teorem 2'nin Çizimi

$ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin $ABC$ üçgenine benzer olduğunu ve $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerinin benzer olduğunu ispatlayalım.

$\angle ADC=(90)^0$ olduğundan, $ACD$ üçgeni dik açılıdır. $ACD$ ve $ABC$ üçgenlerinin $A$ ortak açısı vardır, bu nedenle Teorem 1'e göre $ACD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir.

$\angle BDC=(90)^0$ olduğundan, $BCD$ üçgeni dik açılıdır. $BCD$ ve $ABC$ üçgenlerinin $B$ ortak açısı vardır, bu nedenle Teorem 1'e göre $BCD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir.

Şimdi $ACD$ ve $BCD$ üçgenlerini düşünün

\[\açı A=(90)^0-\açı ACD\] \[\Açı BCD=(90)^0-\açı ACD=\açı A\]

Bu nedenle, Teorem 1'e göre, $ACD$ ve $BCD$ üçgenleri benzerdir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Ortalama orantılı

Teorem 3

Dik açının köşesinden çizilen bir dik üçgenin yüksekliği, yüksekliğin bu üçgenin hipotenüsünü böldüğü bölümler için ortalama orantılıdır.

Kanıt.

Teorem 2'ye göre, $ACD$ ve $BCD$ üçgenleri benzerdir, bu nedenle

Teorem kanıtlanmıştır.

teorem 4

Bir dik üçgenin bacağı, hipotenüs ile bacak arasında kalan hipotenüsün segmenti ile açının tepe noktasından çizilen yükseklik arasındaki ortalama orantılıdır.

Kanıt.

Teoremin ispatında Şekil 2'deki gösterimi kullanacağız.

Teorem 2'ye göre, $ACD$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir, dolayısıyla

Teorem kanıtlanmıştır.